tài liệu tuyển chọn học sinh toán tỉnh và thành phố

−1 Blog TOÁN HỌC CHO MỌI NGƯỜI https://thcmn.wordpress.com/ https://www.facebook.com/thcmn/ blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 – 2017 TRẦN MINH NGỌC – LƯƠNG VĂN KHẢI VÕ THÀNH ĐẠT – HOÀNG ĐÌNH HIẾU – LÊ THÀNH LONG – ĐẶNG NHÌ – NGUYỄN DUY TÙNG NGUYỄN TRƯỜNG HẢI – ĐỖ TRẦN NGUYÊN HUY – PHẠM THỊ HỒNG NHUNG – PHẠM QUỐC THẮNG TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN TRONG KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN CỦA CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016 – 2017 Tháng 12 năm 2016 LỜI NÓI ĐẦU Ban biên tập "Đi nhiều người, bạn xa." Với mục đích giúp quý thầy cô bạn học sinh có tài liệu chất lượng để chuẩn bị cho kì thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán (VMO), tập thể quản trị viên blog Toán học cho người biên soạn sách "Tuyển chọn theo chuyên đề toán kì thi chọn đội tuyển VMO tỉnh, thành phố" Trong sách này, toán liệt kê trước, sau phần lời giải, đáp số Trong số toán, có đưa nhiều cách tiếp cận, có toán mà thấy cần hướng dẫn sơ lược lời giải, qua giúp bạn đọc chủ động trình đọc tài liệu Nhiều giải chưa phải cách làm hay nhất, tốt cho toán tương ứng, mong nhận đánh giá, đóng góp bạn đọc để lần biên soạn sau, chất lượng tuyển tập nâng lên Các phần sách người biên soạn cụ thể sau: • Bất đẳng thức: Võ Thành Đạt (Sinh viên khoa Toán - Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM) • Đa thức, Phương trình Hệ phương trình: Đỗ Trần Nguyên Huy (Học sinh trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM) Phạm Quốc Thắng (Học sinh trường THPT chuyên Long An) • Hình học: Trần Minh Ngọc (Học viên Cao học Đại học Sư phạm Tp HCM), Lương Văn Khải Nguyễn Duy Tùng (Sinh viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học tự nhiên Tp HCM) • Số học: Phạm Thị Hồng Nhung (Học sinh trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu) • Tổ hợp: Hoàng Đình Hiếu (Sinh viên khoa Công nghệ thông tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM) Đặng Nhì (Sinh viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM) • Giải tích: Nguyễn Trường Hải (Học sinh trường THPT chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận) • Phương trình hàm: Lê Thành Long (Sinh viên khoa Điện - Điện tử trường Đại học Bách khoa Tp HCM) Chúng xin chân thành cảm ơn TS Trần Nam Dũng (trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM), anh Lê Phúc Lữ (FPT Software, Tp HCM), bạn Đào Nguyễn Nguyên Trân (Swiss UMEF, Thuỵ Sĩ), bạn Đỗ Thuỳ Anh (THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá), bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh (THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ), bạn Hoàng Hữu Quốc Huy (THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa - Vũng Tàu) giúp đỡ nhiều trình biên soạn sách Cảm ơn thành viên diễn đàn NangKhieuToan.com (nangkhieutoan.com), Diễn đàn Mathscope (forum.mathscope.org), Diễn đàn Toán học Việt Nam (diendantoanhoc.net), Diễn đàn Art of Problem Solving (artofproblemsolving.com) đóng góp đề lời giải Trong trình biên soạn, chắn không tránh khỏi sai sót đề lời giải, mong lắng nghe nhận xét, góp ý phê bình thẳng thắn từ bạn Mọi thắc mắc đóng góp xin vui lòng liên hệ fanpage Toán học cho người địa www.facebook.com/thcmn qua email blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com Cảm ơn tất bạn ! http://www.facebook.com/thcmn Mục lục I CÁC BÀI TOÁN Bất đẳng thức 8 Đa thức 11 Giải tích 13 Hình học 19 Phương trình hệ phương trình 28 Số học 30 Tổ hợp 33 II 39 LỜI GIẢI Bất đẳng thức 39 Đa thức 60 Giải tích 81 Hình học 112 Phương trình hệ phương trình 167 Số học 179 Tổ hợp 201 http://thcmn.wordpress.com Phần I CÁC BÀI TOÁN Bất đẳng thức Bài (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Cho x, y số thực dương cho 2x + y 2y +x khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= (2x + y)(4x + y ) (2y + x)(4y + x ) + − 3(x + y) (2x + y − 2)2 (x + 2y − 2)2 Cho a, b, c > cho a + b + c = Chứng minh a b (c a + 1) + b c (ab + 1) + c a (bc + 1) ≥ (1 + abc)(ab + bc + c a) Bài (Trường Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Tp HCM) Tìm số nguyên dương k nhỏ cho bất đẳng thức x k y k z k (x + y + z ) ≤ với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Bài ( THPT chuyên Đại học Vinh) Tìm tất số thực k cho bất đẳng thức sau với số thực không âm a, b, c ab + bc + c a ≤ (a + b + c)2 + k max{(a − b)2 , (b − c)2 , (c − a)2 } ≤ a + b + c Bài (Bà Rịa - Vũng Tàu) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x y z = Chứng minh bất đẳng thức 1 + + ≤ 2 (2x + y + z) (2y + z + x) (2z + x + y) 16 Cho x, y, z không âm thỏa x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức (x y + y z + z x) x2 + + y2 + + ≤ z2 + http://www.facebook.com/thcmn Bài (Bắc Ninh) Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức T= ab bc ca + + − 3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3ac + 4a + 5b ab(a + 2c)(b + 2c) Bài (Bến Tre) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1344 a + ab + abc − 2016 a +b +c Bài (Bình Thuận) Cho số thực dương x, y, z Chứng minh y2 z2 x +y +z yz xy zx x2 + + ≥ ≥ + + y +z z +x x +y y +z x +y z +x Bài (Đồng Nai) Cho số thưc dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh : a + b +c b + a +c c ≥ a +b 3 a3 + b3 + c + Bài (Hà Nam) Cho a, b, c ≥ Tìm giá trị nhỏ của: a + b +c P= b + a +c c a +b Bài 10 (Hà Nội) Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + c a + 2abc = Tìm giá trị nhỏ P= 1 + + − 2(a + b + c) a b c Bài 11 (Hà Tĩnh) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a6b6 + b6c + c a6 ≤ Bài 12 (Hải Phòng) Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a + b + c = chứng minh ab + bc + c a ≥ abc + ab + bc + c a − http://thcmn.wordpress.com Bài 13 (Hòa Bình) Cho a, b, c số dương thỏa mãn abc = x, y, z thuộc R Chứng minh : x (a + b) + y (b + c) + z (c + a) ≥ 2(x y + y z + zx) Bài 14 (Khánh Hòa) Cho hai số thực x y thỏa mãn x + x y + y ≤ Chứng minh 5x + 2x y + 2y ≤ 12 Bài 15 (Lạng Sơn) Cho x, y, z > thỏa mãn x y z = Tìm giá trị lớn : P= x + 2y + + y + 2z + + z + 2x + Bài 16 (Nam Định) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a +b +c = Chứng minh rằng: (a + b)2 a − ab + b (b + c)2 + b − bc + c (c + a)2 + c − c a + a2 ≤ 12 Bài 17 (Ninh Bình) Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x+ y + y+ z + z+ x ≥4 1 + + x +7 y +7 z +7 Bài 18 (Quảng Bình) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a ≥ b ≥ c Chứng minh a(a + b − ab) + b(a + c − ac) + c(c + b − bc) ≥ a + b + c Bài 19 (Quảng Nam) Cho số thực không âm a, b, c, d Chứng minh bất đẳng thức: (a + b + c + d )3 ≤ 4(a + b + c + d ) + 24(abc + bcd + cd a + d ab) Bài 20 (Quảng Ninh) Cho a, b, c > thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 10 a − ab + b ab + + b − bc + c bc + + c − c a + a2 ca + http://www.facebook.com/thcmn Bài 21 (Quảng Ngãi) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a +b +c = Chứng minh b +1 c +1 8 1 a +1 + + + + + ≥6≥ + + 2 2 2 a b c 1+b 1+c 1+a a + b + b + c + c + a2 + Bài 22 (Quảng Trị) Cho số không âm x, y, z thỏa x + y + z = Chứng minh x y + y z + z x ≤ x + y + z ≤ + (x + y + z ) Bài 23 (Tp HCM) Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (a + 1)2 + (b + 1)2 + c + 1)2 + 6abc Bài 24 (Thái Nguyên) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 21 1 (ab + bc + c a) ≥ + + + (1 + a)3 (1 + a)3 (1 + a)3 32 32 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z ≥ z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức F= y − z3 x + + + y + x 3(1 + x y) Bài 25 (Thanh Hóa) Cho x, y, z > thỏa x + y + z = 1 + + Chứng minh x y z 1 + + ≤ (2x y + y z + zx)2 (2y z + zx + x y)2 (2zx + x y + y z)2 16x y z 2 Đa thức Bài (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Tìm tất đa thức hệ số thực thỏa mãn P (x) − P x + 3P (x )P = x2 Bài (Bến Tre) Cho khai triển (1 − 2x + x )n = a0 + a1 x + a2 x + + +a3n x 3n Xác định hệ số a6 biết a0 + a1 a2 a 3n + + + 3n = 2 2 http://thcmn.wordpress.com 15 11 Bài (Bến Tre) Cho phương trình x − x − 5x + x + 4x − = Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt Với x i (i = 1, 5) nghiệm phương trình trên, tính tổng S biết: S = xi + i =1 2x i − x i − Bài (Bình Dương) Cho dãy đa thức hệ số thực {P n (x)}, n = 1, 2, 3, thỏa mãn điều kiện P n (2 cos x) = 2n cos(nx), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗ Chứng minh với n ∈ N∗ P n (x) đa thức hệ số nguyên bậc n x ≤ n P n (x), ∀x > Bài (Đà Nẵng) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho tồn đa thức f (x) bậc n có hệ số nguyên thỏa mãn: f (0) = 0, f (1) = với m ∈ N∗ , f (m)( f (m) − 1) bội 2017 Bài (Đà Nẵng) Chứng minh với m ∈ N, tồn đa thức f m (x) có hệ số hữu tỉ thỏa mãn với n ∈ N∗ thì: 12m+1 + 22m+1 + + n 2m+1 = f m (n(n + 1)) Bài (Đồng Nai) Cho số tự nhiên n ≥ n số thực a1 , a2 , , an cho a1 > −1, a2 ≥ n −1 Giả sử phương trình x nn + a1 x n−1 + a2 x n−2 + + an−1 x + an = có n nghiệm thực Chứng minh tất nghiệm nằm đoạn [−a1 , a1 + 2] Bài (Hà Nam) Cho P,Q, R đa thức hệ số thực thỏa mãn: P (Q(x)) + P (R(x)) = c ∀x ∈ R với c = const ∈ R Chứng minh P (x) ≡ const [Q(x) + R(x)] ≡ const Bài (Hà Tĩnh) Cho đa thức P (x),Q(x), R(x) với hệ số thực có bậc tương ứng 3, 2, thỏa mãn đẳng thức P (x)+Q (x) = R (x), ∀x ∈ R Hỏi đa thức T (x) = P (x).Q(x).R(x) có nghiệm thực (kể nghiệm bội) Bài 10 (Hải Phòng) Cho dãy đa thức hệ số thực P n (x) +∞ n=0 xác định sau P (x) = 2, P (x) = 2x, P n+1 (x) = 2x.P n (x) + − x P n−1 (x) ∀n ≥ 1 Xác định công thức tổng quát P n (x) Tìm tất số tự nhiên n để P n (x) chia hết cho x + Bài 11 (Hòa Bình) Cho đa thức P (x) = x + ax +bx +c x +d Q(x) = x + px + q thuộc Q[x] Biết hai đa thức nhận giá trị âm khoảng I có độ dài lớn hai khoảng I chúng nhận giá trị không âm Chứng minh tồn x o ∈ R đề P (x o ) < Q(x o ) Bài 12 (Tp HCM) Cho đa thức P (x) = x 2016 + a2015 x 2015 + a2014 x 2014 + + a1 x + a0 có P / (2) P / (1) > + 2016 Giả sử P (x) có 2016 nghiệm thực, P (2) P (1) chứng minh số đó, có nghiệm thuộc khoảng (1; 2) hệ số thực với P (1)P (2) = Bài 13 (Khánh Hòa) Cho P (x) đa thức với hệ số nguyên Chứng minh tồn hai đa thức Q(x) R(x) cho 12 http://www.facebook.com/thcmn P (x)R(x) đa thức x P (x)R(x) đa thức x Bài 14 (Long An) Tìm tất đa thức P (x) thỏa mãn: P (−x).P (3x) + P (2x) = P (x).P (5x), ∀x ∈ R Bài 15 (Nghệ An) Cho m số nguyên dương thỏa mãn m ≡ 1(mod2017) Chứng minh đa thức P (x) = x 2017 − mx + 2016 đa thức bất khả quy Z[x] Bài 16 (Phú Thọ) Tìm tất đa thức P (x) hệ số thực thỏa mãn (x − 6x + 8)P (x) − (x + 2x)P (x − 2) = 6x − 12x Bài 17 (Quảng Bình) Cho đa thức f (x) = x 2017 + ax + bx + c a, b, c ∈ Z có ba nghiệm nguyên x , x , x Chứng minh biểu thức sau bội 2017 (a 2017 + b 2017 + c 2017 + 1)(x − x )(x − x )(x − x ) Bài 18 (Quảng Nam) Tìm tất đa thức P (x) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: P (x ) + P (x).P (x + 1) = 0, ∀x ∈ R Bài 19 (Vĩnh Phúc) Cho P i (x) = x + bi x + c i (i = 1, 2, , n) n đa thức đôi phân biệt với hệ số thực cho với ≤ i < j ≤ n đa thức Q i , j (x) = P i (x) + P j (x) có nghiệm thực Tìm giá trị lớn n Giải tích Bài (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Cho dãy số (x n ) thỏa x = 3, x = và: x n+2 = x n+1 − x n2 + x n , n ∈ N∗ Đặt dãy: n yn = k=1 x k Chứng minh (y n ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn http://thcmn.wordpress.com 13 Bài (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) Tìm a để dãy số (u n ) hội tụ, biết u = a và:    2u n − u n > , n ∈ N∗ u n+1 = −1 − ≤ u n ≤   u + 4u + u < −1 n n n Bài (THPT chuyên ĐH Vinh) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn: f (1) > f (x y − 1) + f (x) f (y) = 3x y − 1∀x, y ∈ R Bài (THPT chuyên ĐH Vinh) Cho số thực a ≥ dãy số u n xác đinh bởi:   u = a  u n+1 = u n + ln un + , n ∈ N∗ 2u n − Chứng minh dãy u n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài (Bà Rịa - Vũng Tàu) Chứng minh không tồn hàm số f : R → R thỏa mãn: f (x − 2016 f (y)) = y − 2017 f (x) ∀x, y ∈ R Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x + y f (x)) = x f (y) + f (x) ∀x, y ∈ R Bài (Bà Rịa - Vũng Tàu) Cho dãy số x n xác định bởi:    x =   x n+1 = Chứng minh x n ≤ nx n2 + (n + 1)x n , n ∈ N∗ , ∀n ≥ n(n + 1) n Với số nguyên dương n , đặt y n = kx k Chứng minh dãy số có giới k=1 + (k + 1)x k hạn hữu hạn tính giới hạn Bài (Bình Dương) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (x) f (y z) ≥ 1 f (x y) + f (xz) − 3 Bài (Bình Thuận) 14 http://www.facebook.com/thcmn a Tìm lim u n với u n = · · · · 2n + n ∈ N 2n + b Cho dãy số (u n ) xác định bởi:     u =    u n+1 = + u n2 − un , n ∈ N∗ Tìm công thức tổng quát (u n ) Bài (Đà Nẵng) Cho dãy Fibonacci xác định sau: u1 = u2 = u n = u n−1 + u n−2 Chứng minh với số nguyên tố p ≥ có số u p−1 , u p+1 bội p Bài 10 (Đồng Nai) Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn f (x − 2y f (x)) + f (y ) = f (x − y), ∀x, y ∈ R Bài 11 (Đồng Nai) Cho dãy số (u n ) xác định bởi:   u ∈ 1; 2 u  u n+1 = + u n − n , ∀n ∈ N∗ Chứng minh u n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài 12 (Hà Nam) Cho hai dãy số xác định bởi:   x1 = y =      x n+1 = x n + + x n2 yn    y n+1 =    + + y2 , ∀n ∈ N∗ n Chứng minh x n y n ∈ (2; 3) ∀n ≥ 2 Tính lim y n n→+∞ Bài 13 (Hà Nội) Cho dãy số u n có u = 1, u n = n u n−1 + n với n ∈ N n ≥ n −1 Xác định công thức u n Chứng minh u + u + + u 2016 < 20163 http://thcmn.wordpress.com 15 Bài 14 (Hà Tĩnh) Với số nguyên dương n , xét hàm số f n R xác định f n (x) = x 2n + x 2n−1 + + x + x + 1 Chứng minh hàm số f n đạt giá trị nhỏ điểm Gọi giá trị nhỏ hàm số f n s n Chứng minh dãy số (s n ) có giới hạn hữu hạn Bài 15 (Hải Phòng) Cho dãy số (u n ) thỏa:   u =  u n+1 = Chứng minh dãy un n u n2 + n 2u n , n ∈ N∗ có giới hạn hữu hạn Bài 16 (Hòa Bình) Xác định tất hàm f : R → R thỏa mãn: f ([x]y) = f (x)[ f (y)] với [x] số nguyên lớn không vượt x Bài 17 (Hòa Bình) Cho (x n ) xác định sau: x > 0; x n+1 = xn + x n2 ,n ∈ N Tìm lim 2nxn Bài 18 (Hòa Bình) Cho dãy số (x n ) xác định bởi:    x =1   o x = 41    x n+2 = 3x n + + x n2 ), n ∈ N 8(x n+1 Chứng minh số hạng dãy số nguyên Bài 19 (Tp HCM) Cho dãy số u n xác định công thức:    u = 1, u = u n+1 +   u = , n ∈ N∗  n+2 un + Chứng minh dãy số u n có giới hạn hữu hạn Bài 20 (Khánh Hòa) Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn: f (x y)+ f (x − y)+ f (x + y +1) = x y + 2x + với x, y ∈ R Bài 21 (Khánh Hòa) Cho dãy số (u n ) xác định bởi:   u = a un n ∗  u n+1 = n + u , n ∈ N n 16 http://www.facebook.com/thcmn Chứng minh u n2 = n n ≥ Bài 22 (Lạng Sơn) Cho dãy số (u n ) xác định u1 = − un + u n+1 + =     u n2 +      Chứng minh u n+1 + < 3(u n + 1) 10 ∀n ∈ N∗ ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy (u n ) hội tụ Tính lim u n n→+∞ Bài 23 (Lạng Sơn) Tìm tất hàm số f : R → R đơn điệu R thỏa mãn: f (x + f (y)) = f (x) + y∀x, y ∈ R Bài 24 (Lào Cai) Cho dãy số thực (x n ) xác định    x =   x = n+1 x n3 − 12x n + 20n + 21 n +1 Chứng minh dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài 25 (Ninh Bình) Cho hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn điều kiện sau: i f (m) < f (n) ∀m, n ∈ N∗ ; m < n ii f (mn) = f (m) f (n) ∀m, n ∈ N∗ ; (m, n) = iii ∃i ∈ N∗ , i > cho f (i ) = i Chứng minh f (1) = , f (3) = Tìm tất hàm f (n) thỏa mãn yêu cầu đề Bài 26 (Ninh Bình) Cho dãy số (x n ) xác định hệ thức:  x = 1 x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1, n ∈ N∗ n Đặt y n = Tính lim y n i =1 x i + http://thcmn.wordpress.com 17 Bài 27 (Phú Thọ) Xét dãy số thực vô hạn x , x , · · · , x n thỏa mãn |x m+n − x m − x n | < m +n với số nguyên dương m, n Chứng minh (x n ) cấp số cộng Bài 28 (Quảng Bình) Tìm tất hàm số f : N ∗ → N ∗ cho ba số a, f (b), f (b+ f (a)−1) độ dài ba cạnh tam giác với a, b ∈ N ∗ Bài 29 (Quảng Binh) Cho a số thực dãy số thực (x n ) xác định x n = 2016n + a n + 1 Tìm a cho dãy số (x n ) có giới hạn hữu hạn Tìm a để dãy số dãy tăng từ lúc Bài 30 (Quảng Ninh) Cho a, b số thực dương Xét dãy số u n xác định u n = a n + bn , với n ∈ N∗ Tính Li m u n Bài 31 (Quảng Trị) Cho dãy số x n xác định    x1 = 2x n +  x n+1 = x + n Tìm số hạng tổng quát x n tìm lim x n Bài 32 (Thái Bình) Cho dãy số (an ) có a1 ∈ R an+1 = an − 21−n , ∀n ∈ N∗ Tìm lim an Bài 33 (Thanh Hóa) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn: f ( f (x) + f (y)) = f (x ) + 2x f (y) + ( f (y))2 với x, y ∈ R Bài 34 (Thanh Hóa) Với số thực a = −1       cho trước ,xét dãy số an cho a1 = a 2a n2 + − 14  a = n+1     4a n + 2a n2 + Xác định a để dãy có giới hạn hữu han 18 http://www.facebook.com/thcmn Hình học Bài (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) ABC nhọn (AB < AC ) có H ,O trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp Điểm E thuộc cạnh AC cho OE //BC OE cắt đường tròn ngoại tiếp E BC F Tiếp tuyển F đường tròn ngoại tiếp E BC cắt BC , AH P,Q Chứng minh đường tròn (K ) ngoại tiếp B PQ qua trung điểm M AH P A, P H cắt (K ) S, T khác P Chứng minh hai tiếp tuyển (K ) S, T cắt điểm M E Bài (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) Tứ giác ABC D nội tiếp (O) cho ABC D hình thang Tiếp tuyến C , D (O) cắt T T A cắt B D S , E dối xứng với D qua S AB cắt đường tròn ngoại tiếp E BC F EC cắt T A P Chứng minh P F tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp E BC Giả sử P F cắt AC Q , H , K hình chiếu Q lên F A, F C M trung điểm F A Chứng minh tiếp tuyến qua A (O) đường thẳng qua Q v song song AO cắt đường tròn ngoại tiếp M H K Bài (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) ABC nhọn nội tiếp (O) có H trực tâm P điểm nằm trung trực BC nằm ABC Đường thẳng qua A song song P H cắt (O) E khác A Đường thẳng qua E song song AH cắt (O) F khác E Gọi Q điểm đối xứng với P qua O Đường thẳng qua F song song với AQ cắt P H G Chứng minh B,C , P,G thuộc đường tròn tâm K AQ cắt (O) R khác A PQ cắt F R L Chứng minh K L = OP Bài (THPT chuyên KHTN, ĐH KHTN, ĐHQG HN) ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I ) Đường tròn qua B,C tiếp xúc (I ) P AI giao BC X Tiếp tuyến qua X (I ) khác BC , giao tiếp tuyến (I ) P S AS giao (O) T khác A Chứng minh AT I = 90o Bài (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) Cho ABC nhọn Đường tròn (I ) có tâm I thuộc BC tiếp xúc với cạnh AB, AC E , F Llấy hai điểm M , N bên tứ giác BC E F cho tứ giác E F N M nội tiếp (I ) đường thẳng BC , M N , E F đồng quy M F cắt N E P , AP cắt BC D Chứng minh A, D, E , F thuộc đường tròn Trên đường thẳng B N ,C M lấy điểm H , K cho AC H = AB K = 90o Lấy T trung điểm H K Chứng minh T B = T C http://thcmn.wordpress.com 19 Bài (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM) ABC có B AC tù, H chân đường cao kẻ từ A xuống BC Điểm M thay đổi cạnh AB Dựng N cho B M N ∼ HC A (H , N ) nằm khác phía với AB C M cắt đường tròn ngoại tiếp qua điểm cố định B M N K khác M Chứng minh N K N H cắt AC P Dựng Q cho H PQ ∼ H N M (Q, M khác phía với N P Chứng minh Q thuộc đường thẳng cố định Bài (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Cho ABC Đường tròn (I ) nội tiếp ABC tiếp xúc với BC ,C A, AB D, E , F Đường thẳng D I cắt đường tròn tâm A bán kính AE M , N (N ) nằm M D ) Các đường thẳng AD, E F cắt P đường thẳng M A, N P cắt Q Gọi H giao điểm thứ hai AD (I ) Đường thẳng qua trung điểm D H , DE cắt AC L Chứng minh rằng: Q H ⊥ AD DL//E F Bài (THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội) Hai đường tròn (O ) (O ) tiếp xúc A BC tiếp tuyến chung (O ) (O ), với B ∈ (O ) C ∈ (O ) Gọi M trung điểm BC , P,Q theo thứ tự điểm đối xứng B,C qua O ,O M P theo thứ tự cắt BO , B A X , Y MQ cắt CO ,C A Z , T Chứng minh rằng: Các tứ giác B Z T P,C X Y Q nội tiếp AM , Z T, X Y đồng quy Bài (THPT chuyên ĐH Vinh) ABC vuông A nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng qua A song song BC cắt (O) điểm thứ hai D Gọi I giao điểm AC B D Đường thẳng qua I song song AB cắt AD J Đường tròn tâm C bán kính C I cắt (O) E F (E thuộc cung B AC Gọi S giao điểm I J với C D Chứng minh S, E , F thẳng hàng Chứng minh E J ⊥ AF Bài 10 (THPT chuyên ĐH Vinh) ABC có M di chuyển cạnh AC Đường tròn ngoại tiếp AB M cắt cạnh BC điểm thứ hai D Đường tròn ngoại tiếp BC M cắt cạnh AB điểm thứ hai E Gọi O giao điểm AD C E Chứng minh A, E ,O, M thuộc đường tròn Gọi I , J , N giao điểm cặp đường thẳng AB D M , BC E M , A J C I Chứng minh đường thẳng M N qua điểm cố định 20 http://www.facebook.com/thcmn