Qua thực hiện giảng dạy môn toán tôi nhận thấy phần:Giá trị tuyệt đối Trong chương trình toán THCS là đa số học sinh chức nắm được kiến thức này. Các em chưa đồng nhất được hai định nghĩa về giá trị tuyệt đối. Có nhiều tính chất không được hệ thống, chứng minh. Do đó học sinh vẫn chưa linh hoạt để giải quyết bài tập. Để tháo gỡ những khúc mắc trên tôi mạnh dạn đưa ra một chuyên đề nhỏ về giá trị tuyệt đối mà tôi đã tìm hiểu tập hợp được qua thực tế giảng dạy. Đó là Giá trị tuyết đối trong chương trình toán THCS . Để hoàn thành đề tài này tôi đã cố gắng tập hợp lại những kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy của bản thân và quá trình tìm tòi nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Phần I: Phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài : Đất nước đã và đang bước vào kỷ nguyên của khoa học và thông tin, đòi hỏi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những giải pháp tốt nhất giúp các tài năng tương lai của đất nước mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng đất nước phồn vinh theo sự phát triển của toàn nhân loại. Toán học là môn khoa học tự nhiên, có từ lâu đời, nó nghiên cứu nhiều thể loại đa dạng và phong phú. Hiện nay với những yêu cầu chung của sự phát triển của nhân loại, của nước nhà, đặc biệt sự phát triển của môn toán học đòi hỏi học sinh phải nắm được kiến thức một cách thật sự. Đặc biệt người thầy chúng ta phải thực hiện mục tiêu đào tạo học sinh thành người lao động tự chủ, năng động trong cuộc sống. Việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo, tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường đặc biệt là môn toán. Qua thực hiện giảng dạy môn toán tôi nhận thấy phần:"Giá trị tuyệt đối" Trong chương trình toán THCS là đa số học sinh chức nắm được kiến thức này. - Các em chưa đồng nhất được hai định nghĩa về giá trị tuyệt đối. - Có nhiều tính chất không được hệ thống, chứng minh. Do đó học sinh vẫn chưa linh hoạt để giải quyết bài tập. Để tháo gỡ những khúc mắc trên tôi mạnh dạn đưa ra một chuyên đề nhỏ về giá trị tuyệt đối mà tôi đã tìm hiểu tập hợp được qua thực tế giảng dạy. Đó là " Giá trị tuyết đối trong chương trình toán THCS ". Để hoàn thành đề tài này tôi đã cố gắng tập hợp lại những kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy của bản thân và quá trình tìm tòi nghiên cứu các tài liệu liên quan. Tuy nhiên do thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế, rất mong những ý kiến đóng góp, xây dựng của thầy cô giáo và các bạn để đề tài này hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 1 II- Nhiệm vụ nghiên cứu : - Các khái niệm, tính chất về giá trị tuyệt đối mà học sinh Trung học cơ sở được học và sử dụng. - Tìm cách giải quyết một số loại bài tập về Giá trị tuyệt đối. III- Đối tượng nghiên cứu : - Học sinh đại trà các lớp 6, 7, 8,9. - Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán Trung học cơ sở. IV- Phương pháp nghiên cứu : - Tham khảo, thu thập tài liệu, đúc rút tổng kết kinh nghiệm. - Trao đổi, kiểm tra kết quả chất lượng của học sinh ( dự giờ, kiểm tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng: Giỏi, khá, Trung bình, yếu về môn toán). V- Phương pháp nghiên cưú : Phần Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán THCS Phần II- Nội dung. A- Những kiến thức cơ bản về Giá trị tuyệt đối. I- các định nghĩa: 1 Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là a là: < ≥ = 0anÕua- 0a nÕua a 2- Nhận xét : Gía trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ f: R R + <− ≥ = 0 a nÕu 0a nÕu a a aa Ví dụ : | 1 | =1 |0| = 0 |-1| = -( -1) =1 2 13)31(|31| −=−−=− 12|12| −=− Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có: Ví dụ: 3- Định nghĩa 2: Khoảng cách từ điểm a đến điểm O trên trục số là giá trị tuyệt đối của a | - a | | a| Ví dụ 1: | - 3 | | 3 | * Với a = 3 thì | a| = |3| =3 Với a= -3 thì |a| = |-3| * Ngược lại: − ==>= 3 3 3 aa Tổng quát: − ==> > = b b a b ba 0 Rba b b aba ∈∀ − =><== , VÝ dô 2: | 5 | 3 < ≥ = 0A(x) A(x)nÕu - 0 A(x) nÕu | )( |)( xA xA <− ≥ = < ≥− = 3 5 x nÕu 3 5 x nÕu5-3x 05- 3x nÕu3x-5 05-3xÕu 5-3x x nx 35 53 →← Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của O là số O. * Giá trị tuyệt đối của số nguyên dương là chính nó. * Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dương). * Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn. * Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau. Ví dụ 3: Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3] và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3] -3 0 3 Tổng quát: Ví dụ 4: Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ∞; 3] và [3; +∞] và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi hai khoảng tương ứng với các khoảng số đó. Tổng quát: II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối: 4 0,, 0 || >∈∀≤≤−⇔ > ≤ bRbabab b ba 03 03 303 3 ≤≤−⇔ <≤− ≤≤ ⇒ <≤ ≥≤ ⇒≤ a a aa 0anÕu3a - 0anÕu a −≤ ≥ ⇔ <≤ ≥≥ ⇔ <≥ ≥≥ ⇒≥ 3 333 3 a aaa a 0a nÕu3 a - 0 a nÕu 0a nÕu3a- 0 a nÕu Rba ba ba b ba ∈∀ −≤ ≥ ⇔ > ≥ , 0 || 1) | a | ≥ 0 ∀ a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối) 2) |a| = 0 < => a = 0 3) | a | = | -a | ; | a | 2 = a 2 Thật vậy: * | a | = | -a | (do a và -a là hai số đối nhau nên theo định nghĩa | a | = | -a |) * | a | 2 = | a | . | a | - Nếu a> 0 thì |a | 2 = a. a = a 2 - nếu a < 0 thì |a |a 2 | = (-a). (-a )= a 2 Vậy : | a | 2 = a 2 4) - |a | ≤ a ≤ |a| Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có: < ≥ = 0 a a nÕu- 0a nÕua a => | a | ≥ a => -| a | ≤ -a 5) | a + b | ≤ | a | + | b | Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 Thật vậy: theo (4) -|a| ≤ a ≤ |a| - |b|≤ b ≤ |b| => -( |a| + |b| ≤ a+ b ≤ |a| + |b | (đccm) 6) |a|- | b | ≤ |a| + | b | Dấu "= " (|a| -|b| = |a – b|) xảy ra khi và chỉ khi ≥ ≥ ba ab 0 Thật vậy: |a| =| a-b+b| ≤ |a- b | + | b| => |a| - | b| ≤ |a-b| (1) |a – b | =| a + ( -b)| ≤ |a| + |- b | => |a| + | b| => |a – b| ≤ | a| + | b| (2) Từ (1) và (2) => |a| - | b| ≤ | a-b | ≤ |a | + |b | (đccm) 7) ||a| - | b| |≤ | a ∓ b| Đẳng thức | | a| -| b| | = |a – b | khi ab ≥ 0 Thật vậy : 5 Theo (6) |a| – |b |≤ | a - b| (1) | b | - | a | ≤ | b- a | = | -(b – a ) | = | a – b | => -( |a – b |) ≤ | a - b| (2) )3( )( −− − =− ba ba ba Từ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| – |b | | ≤ | a - b| (4) Mặt khác: | |a| – |b | | = | |a| – |b | | ≤ | a + b| => | |a| – |b | | ≤ | a + b| (5) Từ (4) và (5) => | |a| – |b | | ≤ | a ∓ b| (đccm). 8) | a. b| = | a | |b| Thật vậy xét các khả năng sau: = ≠ ≠ = = = 0b 0a hoÆchoÆc 0 0 0 0 b a b a 0≠= b b a b a Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1) Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m. 6 )5())(()(; 0 0 )4()(; 0 0 )3()(; 0 0 )2(; 0 0 baabbababaabbbaa b a baabbabaabbbaa b a baabbabaabbbaa b a baabbaabbbaa b a ==>=−−=−−===>>−=−==> < < ==>=−−=−==><=−==> > < =⇒=−−=−==><−===> < > ==>===>>===> > > ab 0 ab vµ ab 0 ab vµ ab 0 ab vµ ab 0ab vµ 9) Thật vậy: xét các khả năng sau: Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh. III- Bài tập áp dụng : 1- Bài tập áp dụng khái niệm : a- Bài tập trắc nghiệm : Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d) nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3) Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a| a) | a | = a b) | a | = - a c) | a | = 0 d) | a | ≥ 0 Câu 2 : Cho a ∈ Z tìm kết luận đúng a) | a | ∉ N b) | a | = a c) | a | ∈ N d) | a | = - a 7 )5( || || || || ; 0 0 )4( || || || || ; 0 0 )3( || || || || ; ; 0 0 )2( || || |||| || ; || || ; ; 0 0 )1( || || 0 || 0 || || ;000,0 b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a b a b a b a b a b a bbaa b a b a b a bb a b a Taba ==>= − − == >−=−==> < < ==>−= − =−=⇒ <=−= > < ==>−= − =−= <−== < > ==>=== >−== > > ==>====>=≠= vµ b a dã Khi 0ab vµ vµ b a 0abvµ thi b a dã Khi 0abvµ thi b a dã Khi 0abvµ thi b a cã Câu 3 : Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ≤ ;≥ ; >; < = để các khẳng định sau là đúng : a) | a |… a với mọi a b) | a | …0 với mọi a c) Nếu a> 0 thì a… | a | d) Nếu a = 0 thì a… | a | e) Nếu a < 0 thì a… | a | Câu 4 : Biết | a | = |b| a) a= b b) a = -b c) a = b = 0 d) a = b ; a = - b. Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để được : a) | x | < 2 1) x< -3; x >3 b) | 2x | = - 3 2) x∈ [-5 ; 5] c) 5 ≥ |x| 3) – 2 < x < 2 d) | x | >3 4) -2 2 Cho số nguyên a 5) x ∈ {- 5 ; - 3; -1 ; 1 ; 3; 5 } b – Các bài toán Bài 1: Các khẳng định sau có đúng với mọi số nguyên a và b không? Cho ví dụ: Bổ xung thêm điều kiện để các khẳng định đó đúng . a) | a | = | b | => a = b b) a > b =>| a | >| b | Bài 2: Tìm a biết a ∈ Z và a thoả mãn một trong các điều kiện sau: a) | a – 1 | = 0 b) | a – 1 | = 1 c) | a – 1 | = - 1 d) | a | ≤ 1 e) | a | ≥ - 2 8 g) 0 < | a | ≤ 4 Biểu diễn các số a thoả mãn điều kiện trên trên trục số. Bài 3: a) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn | x | < 30 b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | ( Các cặp số nguyên (1, 2 ) và (2, 1) khác nhau) c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | < 5 Bài 4 : Cho | x | = 7 ; | y | = 20 với x, y ∈ Z Tính x – y Bài 5: Cho | x | ≤ 3; | y | ≤ 5 với x, y ∈ Z Biết x- y = 2 Tìm x và y. Bài 6: Cho x < y < 0 và | x | - | y | = 100 Tính x – y. 2 – Bài tập áp dụng tính chất : a- Bài tập trắc nghiệm : Câu 1: Điền dấu ≥, ≤, = cho thích hợp a) | a + b | ………….| a | +|b| b) | a - b | ………….| a | - |b| Với | a | ≥ |b| c) | a b | ………….| a| |b| d) b a b a Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3) Ta có a + b = | a | - |b| với a) a, b trái dấu b) a, b cùng dấu c) a>0, b < 0 d) a>0, b < 0 và | a | > |b| Câu 3: Ta có a + b = - |( a | - |b|) a) a, b trái dấu b) a, b cùng dấu 9 c ) a, b cùng âm d) a, b cùng dương b – Các bài toán : Bài 1: Chứng minh | a – b | < 5 Biết | a – c | < 3 ; | b – c | < 2 Bài 2: Có số nguyên x nào để a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12 b) | x | + | x – 5 | = 0 c) | - x – 3 | + | - 49 | = 27 Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm – 2 đến điểm 1 rồi từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số. Dựa vào giá trị của x hãy rút gọn biểu thức sau: a) | x - 1 | + | x + 2 | b) | x - 1 | - | x + 2 | c) | x + 2 | - | x - 1 | d) - | x - 1 | - | x + 2 | Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau: a) | a | + a b) | a | - a c) | a | a d) [ [ a a e) | x – 3 | + 5 f) | x + 2 | + | x – 5 | g) 4x + 5 - | x + 3 | với x ≥ 3 Hướng dẫn - Đáp số 1- Bài tập áp dụng khái niệm Câu 1: (d) Câu 2: (c) Câu 3: (d) 10 [...]... 2 ) ( 3 - x ) 0 < => 2 x 3 Vy Min B = 1 < => 2 x 3 Bi3: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc C = x2 x 2 Ta thấy C = với x Z x x 2 ; x 2 =1 + 2 x 2 C dạt giá trị nhỏ nhất = C' * Xột |x| > 2 => B> 0 vi |x| >2 * Xột |x| B < 0 29 2 x 2 dạt gía trị nhỏ nhất C' t giỏ tr nh nht < => | x | - 2 l s nguyờn õm ln nht < => |x| - 2 = - 1 < => | x | = 1 < => x = 1 Vậy min C = 1+ 2 = 1 2 = 1 x = 1 1- 2... gii) - ng trc mt bi toỏn phi phõn tớch k bi tỡm ra hng gii - Vi mi bi toỏn phi rỳt ra nhn xột cho bn thõn cỏc bi toỏn v giỏ tr tuyt i cú rt nhiu ng dng trong thc t cng nh trongcỏc dng toỏn khỏc Do khuụn kh ti cú hn nờn tụi ch trỡnh by mt s ng dng trong gii phng trỡnh, gii bt phng trỡnh, toỏn cc tr, th Ngoi ra nú cũn c vn dng o chiu di, chiu cao ti c hon thnh cựng vi s c gng ca bn thõn song khụng... Du " =" xy ra < => ( x - 2 ) ( 7- x ) 0 < => x 2 ; x 7 Vy max D = 5 < => x 2 ; x 7 Bi tp ngh Bi 1: Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc a) A = x + 1 9 1 b) B = 2 +1 x c) C = x +1 x Z x2 Bài 2 : Tim giá trị lớn nhất của biểu thức a) A =5 2x - 1 2 b) B = x 2 +2 x 3 3 c) C x +4 + x 5 d) D = ( x 2004 ) 2 + e) E = ( x 2005 ) 2 x +2 ( 1 + x + ) 1 + 30 x +2 ( 1 x + ) 1 Bi3: Cho M =3x2- 2x + 3x2 - 2x + 6... giỏo viờn ra bi tp khú hn B- Nhng kinh nghim rỳt ra : Trong quỏ trỡnh thc hin chuyờn , tụi nhn thy lm tt chuyờn ny, yờu cu giỏo viờn v hc sinh phi tin hnh theo nhng bc sau õy: 1- i vi thy : - Nghiờn cu k sỏch giỏo khoa v ti liu tham kho - Trỏnh mt s sai lm m hc sinh vng mc, ng nhn - Giỳp hc sinh suy ngh tỡm ra phng phỏp gii bi tp lm ch yu - Trong quỏ trỡnh dy cn cỏc em nm vng lý thuyt vn dng v... x ; 6 3 4 A( x) B ( x) < => Dng 4: B( x) 0 A( x) B ( x) A( x) B ( x) B( x) 0 x 0 x 2 1 x 2 x +1 1 2 x (4) x +1 2 x 1 2 x 1 0 x x x x 0 1 2 2 1 2 Không có giá trị của x 1 x 2 2 Vớ d: Gii bt phng trỡnh : | x + 1 | 2x - 1 (4) Vy nghim ca bt phng trỡnh (4) l Dng 5: 1 1 x 2 hay x ; 2 2 2 A( x) B( x) [ A( x)] [ B( x)] 2 2 Vớ d : Gii bt phng trỡnh... 2 vi a 0 = - a2 vi a 5 g) 3x + 2 (vi x - 3) B Cỏc dng toỏn v giỏ tr tuyt i trong chng trỡnh toỏn trung hc c s I Mt s dng phng trỡnh thng gp 1- Dng 1: | A( x ) = b A( x) = b b 0 A( x) = b Vớ d: Gii cỏc phng trỡnh sau a) | 2x 1 | = 5 (1) 2 x 1 = 5 x = 2 (1) 2 x 1... tuyt i (c bit cú th dựng tớnh cht | a | + | b | | a + b |) Vớ d: Gii bt phng trỡnh |x-1|+|x-2|>x+3 +) Lp bng xột du x x-1 x-2 + Nu x < 1 1 0 2 + - + + (6) 1 - x + 2 - x > x + 3 < => 3x < 0 => x < 0 Trong khong ny x< 0 (*) + Nu 1 x 2 (6) x - 1 + 2 - x > x + 3 < => x < - 2 (loi ) + Nu x > 2 (6) < => x - 1 + x - 2 > x + 3 < => x > 6 (**) Kt hp (*) v (**) nghim cu bt phng trỡnh l x < 0 ; x > 6... giỏ tr tuyt i ca mt s bt k - Rốn luyn tớnh chớnh xỏc, khoa hc khi hc sinh ỏp dng quy tc - Giỏo dc hc sinh lũng yờu thớch, say mờ hc tp b mụn II - Chun b: Thy : + Mụ hỡnh mt trc s nm ngang + ốn chiu, giy trong, bỳt vit, bng ph + Ghi chỳ trang 71; nhn xột trang 72 Trũ: + Hỡnh v mt trc s nm ngang + ễn tp tp hp cỏc s nguyờn III- Tin trỡnh trờn lp : 1- Kim tra bi c: 1) Tp hp cỏc s nguyờn gm nhng s no Vit ký