Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông

  BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thiện Chí KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔTHÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010     LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Tiến, người tận tình hướng dẫn tơi mặt nghiên cứu khoa học góp phần quan trọng vào việc hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS.Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức niềm say mê Didactic Toán Tôi xin trân trọng cám ơn: PGS.TS.Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS.Vũ Như Thư Hương nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài giải đáp thắc mắc cần thiết cho Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập trường - Ban Giám hiệu Trường THCS Võ Việt Tân đồng nghiệp thuộc Bộ mơn Tốn tạo thuận lợi cho lúc học tập trường ĐHSP TP.HCM Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn lớp Didactic khóa 18 học tập, trải qua ngày vui buồn khó khăn khóa học Sau cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình tơi, ln động viên giúp đỡ tơi mặt NGUYỄN THIỆN CHÍ     DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK: Sách giáo khoa SBT: Sách tập SGV: Sách giáo viên PT: Phương trình QT: Quy tắc BP: Bình phương XD: Xét dấu TL: Trả lời d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm M6: Sách giáo khoa toán tập E6: Sách tập toán tập G6: Sách giáo viên toán tập M7: Sách giáo khoa toán tập E7: Sách tập toán tập G7: Sách giáo viên toán tập M8: Sách giáo khoa toán tập E8: Sách tập toán tập G8: Sách giáo viên toán tập M9: Sách giáo khoa toán tập E9: Sách tập toán tập G9: Sách giáo viên toán tập M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban ) E10: Sách tập đại số lớp 10 ( Ban ) G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban bản)   1  MỞ ĐẦU  Lý chọn đề tài Câu hỏi ban đầu  Khung lý thuyết tham chiếu  Mục đích nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu Lý chọn đề tài câu hỏi ban đầu Giá trị tuyệt đối đối tượng xuất chương trình tốn phổ thơng xun suốt từ bậc trung học sở đến trung học phổ thơng, với vị trí quan trọng Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn học kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối Đặc biệt, thường nhận thấy tượng sau: Hầu hết học sinh cho câu trả lời với tốn tính giá trị tuyệt đối số cụ thể (chẳng hạn  = 7), lại sai lầm cho kết  a = a, chẳng hạn ( x  5)  x  Tại học sinh phạm phải sai lầm này? Còn sai lầm khác gắn liền với khái niệm không ? Chắc chắn sai lầm xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau, có hai yếu tố cần nêu lên nhận xét trên: - Có khác biệt chuyển từ giá trị tuyệt đối số cụ thể sang giá trị tuyệt đối số biểu thị chữ, hay biểu thức - Dấu “ - ” dường đóng vai trị quan trọng tạo nên khó khăn sai lầm học sinh tiếp cận với tình có giá trị tuyệt đối Từ ghi nhận gợi hỏi định chọn chủ đề “Khái niệm giá trị tuyệt đối dạy học tốn trường phổ thơng” làm đề tài cho luận văn thạc sĩ Cụ thể hơn, mục tiêu luận văn trả lời cho câu hỏi khởi đầu đặt sau đây: - Khái niệm giá trị tuyệt đối đưa vào chương trình phổ thơng nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa sao? Những dạng toán liên quan   2  đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng phát triển qua khối lớp, bậc học? - Học sinh thường gặp lầm giải tình gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm sinh từ đâu? - Các đối tượng “Số âm”, thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trị khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải yếu tố gắn liền với khó khăn sai lầm học sinh ? - Nội dung hình thức tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối chương trình sách giáo khoa (kết lựa chọn hệ thống dạy học) ảnh hưởng đến việc học học sinh khái niệm giá trị tuyệt đối việc giải dạng toán liên quan đến khái niệm này? Khung lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu đặt phạm vi didactic toán, với việc vận dụng yếu tố lý thuyết sau đây: 2.1 Lý thuyết nhân chủng học Trong lý thuyết nhân chủng học, sử dụng khái niệm: “ quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học” Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) xác định thông qua nghiên cứu tổ chức toán học, praxéologie khái niệm Chevallard (1998) đưa mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối tượng tri thức O Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần , , ,  , T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  lý thuyết giải thích cho cơng nghệ  2.2 Chướng ngại 2.2.1 Chướng ngại sai lầm (Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4]) Trong logic tiếp cận trình học tập phát triển Piajet, Bachelard Brousseau Kiến thức thu kết thích nghi học sinh với   3  tình – tình biện minh cho cần thiết kiến thức nói đến cách chứng tỏ hiệu Trong học tập việc thích nghi với tình huống, kiến thức xây dựng học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền cách tùy tiện với kiến thức khác Nó thường mang tính chất tạm thời khơng hồn tồn xác Quan điểm dẫn đến cách nhìn sai lầm học sinh: “Sai lầm hậu không hiểu biết, không chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ người theo chủ nghĩa kinh nghiệm chủ nghĩa hành vi, mà hậu kiến thức có từ trước, kiến thức có ích việc học tập trước kia, lại sai, đơn giản khơng cịn phù hợp việc lĩnh hội kiến thức Những sai lầm kiểu không dự kiến trước , chúng tạo nên chướng ngại Trong hoạt động thầy giáo hoạt động học sinh, sai lầm sinh từ nghĩa kiến thức thu nhận chủ thể này” (Brousseau, 1983) Ở chủ thể, sai lầm khác có nguồn gốc chung Việc phân tích sai lầm làm bật lên chướng ngại việc học tập 2.2.2 Đặc trưng chướng ngại (Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4-5]) Trước tiên, cần phải nói rõ khơng phải khó khăn xem chướng ngại Về việc này, Duroux nêu lên đặc trưng khái niệm chướng ngại mà theo chướng ngại kiến thức, quan niệm Kiến thức, quan niệm tạo câu trả lời phù hợp số ngữ cảnh thường xuyên gặp, lại dẫn đến câu trả lời sai ngồi ngữ cảnh Để có câu trả lời xác trường hợp, cần phải có thay đổi quan điểm Sự phân biệt khó khăn chướng ngại nói rõ El Bouazzauori, tiếp cận song song quan điểm lịch sử quan điểm nhận thức   4  “Nếu vấn đề đặt thời đại đó, lý thuyết tốn học giải mà khơng cần phải xem xét lại quan điểm lý thuyết nói đến, người ta nói khó khăn vượt qua Dấu hiệu tồn khó khăn tốn học thời kỳ bị bế tắc, cho dù phương tiện để giải vấn đề có sẵn […] Người ta nói khó khăn tiến triển mặt quan niệm chủ thể khái niệm toán học […] Nếu ngược lại, vấn đề giải sau có xây dựng lại kiến thức thay đổi quan trọng quan điểm, người ta nói chướng ngại vượt qua Dấu hiệu tồn chướng ngại lý thuyết thời đại kìm hãm ngăn cản việc giải vấn đề đặt Theo cách thức vậy, người ta nói chướng ngại tiến triển mặt quan niệm chủ thể khái niệm toán học” (El Bouazzauori, 1988) Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn gốc chúng: - Chướng ngại khoa học luận, chướng ngại gắn liền với phát triển lịch sử kiến thức mà việc loại bỏ địi hỏi phải đưa vào cách tường minh tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh - Chướng ngại didactic, kiến thức sinh từ chuyển đổi didactic, chúng dường phụ thuộc vào lựa chọn dự án dạy học hệ thống giáo dục - Chướng ngại thuộc phát triển cá thể, chướng ngại gắn liền với hạn chế nhận thức học sinh thời điểm q trình phát triển - Chướng ngại văn hóa, chướng ngại lưu hành sống văn hóa, giải mặt khoa học, luôn tồn Chỉ có chướng ngại khoa học luận chướng ngại mà việc vượt qua chúng đóng vai trò định việc xây dựng tri thức Và người ta có   5  thể tìm lại chướng ngại khoa học luận lịch sử phát sinh khái niệm nói đến Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh từ lựa chọn việc chuyển đổi didactic khái niệm, đặc trưng cho thể chế mà khái niệm sống 2.3 Quan niệm quy tắc hành động (Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4]) 2.3.1 Quan niệm Ta gọi quan niệm mơ hình nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử nhận thức học sinh trước kiểu vấn đề liên quan đến khái niệm toán học Mơ hình cho phép: - Vạch rõ tồn nhiều quan điểm khái niệm, cách thức xử lý kết hợp với chúng, thích ứng chúng với lời giải lớp tốn; - Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với kiến thức thực tế học sinh xây dựng G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp quy tắc, cách thực hành, tri thức cho phép giải cách tương đối tốt lớp tình vấn đề, lại tồn lớp tình khác mà quan niệm dẫn đến thất bại, gợi lên câu trả lời sai, kết thu cách khó khăn điều kiện bất lợi” Việc nghiên cứu quan niệm làm từ hai tiếp cận (bổ sung cho nhau): - Phân tích chiến lược sản phẩm học sinh; - Nghiên cứu khái niệm mặt khoa học luận, mối liện hệ với định nghĩa tính chất khác 2.3.2 Quy tắc hành động Quy tắc hành động mơ hình xây dựng nhằm giải thích rõ kiến thức mà học sinh sử dụng để đưa câu trả lời thực nhiệm vụ xác định Quy tắc hành động liên quan đến hay nhiều tính chất tốn học gắn bó chặt chẽ với quy trình hay câu trả lời học sinh   6  Các quy tắc hành động rõ qua việc nghiên cứu câu trả lời sai học sinh, mang lại câu trả lời số tình Những tình xác định phạm vi hợp thức quy tắc hành động Thơng thường phạm vi hợp thức khơng rỗng, chí dường rộng học sinh, tình mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng quy tắc hành động ngồi phạm vi hợp thức Mục đích nghiên cứu Trong khn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, chúng tơi trình bày lại câu hỏi mà việc tìm kiếm số yếu tố cho phép trả lời chúng mục đích nghiên cứu luận văn này: Q1: Hai khái niệm “chữ” “số âm” có đặc trưng mặt khoa học luận sư phạm? Chướng ngại gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này? Q2: Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối đề cập nào? Nghĩa chúng gì? Khái niệm tiến triển sao? Q3: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối xây dựng tiến triển thể chế dạy học toán trường phổ thơng? Đặc trưng tổ chức tốn học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học tiến triển qua khối lớp, bậc học? Có tương đồng khác biệt ghi nhận mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối bậc đại học bậc phổ thông? Q4: Những ràng buộc thể chế dạy học có ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, quan niệm học sinh vận dụng góp phần tạo sai lầm a  a (với số nguyên a) ( x  5)  x  (với số thực x)? Còn sai lầm khác gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối không?   7  Phương pháp nghiên cứu Từ câu hỏi ban đầu, lựa chọn khung lý thuyết phù hợp đặt câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3, Q4 Để trả lời câu hỏi Q1, tham khảo số luận văn didactic cơng bố vai trị chữ bước chuyển từ số cụ thể sang chữ Mặt khác, phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, có tác dụng bổ sung cho nhau, nghiên cứu thể chế nghiên cứu điều tra khoa học luận khái niệm số âm Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho hiểu nguồn gốc phát sinh chất khái niệm số âm Đó sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, phân tích thể chế dạy học giúp cho hiểu rõ khái niệm số âm xuất đâu, nào, giữ vai trị thể chế Nó giúp cho xác định nguồn gốc didactic khó khăn mà học sinh thường gặp Từ đưa dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm Các kết thu cho phép đưa câu trả lời cho câu hỏi Q1 trình bày chương 1: “Một số đặc trưng khoa học luận sư phạm khái niệm chữ số âm ” Để trả lời câu hỏi Q2, chúng tơi tiến hành phân tích vài nét lịch sử khái niệm giá trị tuyệt mục đích tìm tiến triển nghĩa khái niệm lịch sử Đó sở tham chiếu cho việc phân tích giáo trình toán bậc đại học Kết thu cho phép trả lời câu hỏi Q2 trình bày chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối cấp độ tri thức khoa học” Để trả lời câu hỏi Q3, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách tập hành lớp 6, 7, 8, 9, 10 Chúng cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, tổ chức toán học với tiến triển chúng qua khối lớp, bậc học   104  Bài 2: Rút gọn biểu thức M= ( x  3)  (Với x   x  3 ) x3 Bảng 4.8 Thống kê lời giải học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1a Dựa vào số cụ thể Kết M = 11 10,19% S1b Lý – (x+3) số âm Kết M = 62 57,40% S2a Kết M = -2 5,56% S2b Kết M = ;M = -2 2,78% S3: Chiến lược “dùng định nghĩa ” 18 16,67% S4:Chiến lược “dùng tính chất” 2,78 S5a Xét dấu biểu thức chứa giá trị tuyệt đối 1,85% S5b Chỉ xét x  , x < bỏ dấu giá trị tuyệt đối 1,85% Không trả lời 0,92% 108 100% S1: Chiến lược “Bỏ dấu “-”” S2: Chiến lược “Công thức” S5: Chiến lược khác Tổng cộng * Nhận xét: - Có 73/108 (67,59%) sử dụng chiến lược chiến lược S1.Trong chiến lược S1 vấn đề mà quan tâm giải thích bỏ dấu giá trị tuyệt đối Cụ thể có 11/108 (10,19%) học sinh áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối số cụ thể sang biểu thức chữ Tỷ lệ thấp lớp 6, 7, đối tượng học sinh lớp thường xuyên gặp phải tình dấu giá trị tuyệt đối biểu thức chữ Có 62/108 (57,40%) bỏ dấu giá trị tuyệt giải thích – (x+3) số âm So sánh với kết thực nghiệm toán có 60,19% học sinh quan niệm (-a) ln số âm Với quan niệm họ đưa vào giải thích cho cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối toán Như vậy, giả thuyết H1 kiểm chứng đồng thời cho thấy số âm tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối - Chỉ có 9/108 (8,34%) học sinh sử dụng chiến lược S2 - Có 21/108 (19,45%) học sinh sử dụng chiến lược S3 S4   105  Tóm lại, giả thuyết H1 qui tắc R1 kiểm chứng học sinh lớp Bài 3: Giải phương trình: x   x  Bảng 4.9.Thống kê lời giải học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ 11 10,19% 68 62,96% 1,86% 6,48% S3a Kết luận phương trình cho vơ nghiệm 16 14,81% S3b Chưa đến kết 3,70% 108 100% S1: Chiến lược “Cơng thức” S1a: Giải phương trình 2x-3 = x-5, tìm x = -2 S1b: Giải phương trình 2x-3 = x-5; 2x - 3= - (x-5) a) Kết luận phương trình có hai nghiệm -2 b) Chưa tìm hai giá trị x S2: Chiến lược “dùng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối” Kết luận phương trình vô nghiệm S3: Chiến lược “dùng định nghĩa” Tổng * Nhận xét : - Chỉ có 27/108 học sinh sử dụng chiến lược S2 S3, có 23/108 (chiếm 21,29%) học sinh giải câu -Có đến 68/108 (62,96%) học sinh sử dụng chiến lược S1b Như qui tắc hành động sau tồn học sinh lớp A( x)  B( x)  A( x)   B ( x) 4.3.4 Các toán dành cho học sinh lớp 10 Chúng tiến hành thực nghiệm 118 học sinh (3 lớp ) trường Trung học phổ thông Vĩnh Kim (Tiền Giang)   106  Bài 1: Bảng 4.10 Thống kê câu trả lời học sinh Kiểu câu trả lời Chiến lược quan sát S1: Chiến lược dấu “-” Tổng TL1 TL2 TL3 69 0 69 S2: Chiến lược “Số”: Gán cho a giá trị số cụ thể S2a Chỉ gán cho a giá trị dương 0 S2b Chỉ gán cho a giá trị âm 0 0 S2c Gán cho a giá trị dương âm 0 12 12 S3: Chiến lược “Biến”: Xét điều kiện biến a S3a Chỉ xét a  0 19 19 S3b Xét a > a  0 15 15 Tổng 72 19 27 118 * Nhận xét: - Có 19/118 (16,11%) sử dụng chiến lược S3a trả lời “ a tồn a  ” - Chỉ có 15/118 (12,71%) sử dụng S3b 12/118 (10,17%) sử dụng S2c trả lời “ a tồn a  ; a khơng tồn a > 0” - Có đến 72/118 (61,01%) sử dụng chiến lược S1 S2a cho “ a không tồn với a” Đặc biệt có 69/118 (58,47%) sử dụng chiến lược S1 với giải thích điển hình chiến lược S1 là: “Vì khơng thể lấy bậc hai số âm”; “Vì dấu bậc hai khơng thể có dấu “-” được”; “Vì (-a) số thực âm” Điều chứng tỏ tồn học sinh lớp 10 quan niệm (-a) số âm với a khác Như vậy, nói dấu “-” ký hiệu số âm xét tập hợp số cụ thể thật tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm tập hợp số diện dạng ký hiệu chữ Đến giả thuyết H1 phần đựơc kiểm chứng học sinh lớp 10   107  Bài 2: Rút gọn biểu thức M= ( x  3)  (Với x   x  3 ) x3 Bảng 4.11.Thống kê lời giải học sinh Chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1a Dựa vào số cụ thể Kết M = 5,94% S1b Vì –(x+3) số âm Kết M = 67 56,78% S2a Kết M = -2 19 16,10% S2b Kết M = M = -2 16 13,56% S3:Chiến lược “dùng định nghĩa” 3,39% S4: Chiến lược “dùng tính chất” 0% S5a Xét dấu biểu thức chứa giá trị tuyệt đối 2,54% S5b Chỉ xét x  , x < bỏ dấu giá trị tuyệt đối 1,69% 118 100% S1:Chiến lược “Bỏ dấu “-”” S2: Chiến lược “Công thức” S5: Chiến lược khác Tổng cộng * Nhận xét: - Có 74/118 (62,72%) sử dụng chiến lược chiến lược S1.Trong chiến lược S1 vấn đề mà quan tâm giải thích bỏ dấu giá trị tuyệt đối Cụ thể có 7/118 (5,94%) học sinh áp dụng cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối số sang chữ Có 67/108 (56,78%) bỏ dấu giá trị tuyệt giải thích – (x+3) số âm cho rằng: ( x  3)  (( x  3))  x  So sánh với kết thực nghiệm có 61,01% học sinh quan niệm (-a) số âm Có thể với quan niệm họ đưa vào giải thích bỏ dấu giá trị tuyệt đối toán Như vậy, giả thuyết H1 kiểm chứng đồng thời số âm tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối - Có 35/118 (29,66%) học sinh sử dụng chiến lược S2 Đặc biệt, có 16/118 (13,56%) cho kết rút gọn, họ quan tâm đến số trường hợp xảy bỏ dấu giá trị tuyệt đối, mà không quan tâm đến điều kiện tương ứng biến - Chỉ có 4/118 (3,39%) học sinh sử dụng chiến lược S3 khơng có học sinh sử dụng chiến lược S4   108  Tóm lại, giả thuyết H1 qui tắc R1 kiểm chứng học sinh lớp 10 Bài 3: Giải phương trình: x   x  Bảng 4.12 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỷ lệ S1: Chiến lược “công thức” S1a: Giải phương trình 2x-3 = x-5, tìm x = -2 0,85% 62 52,54 2,54 10 8,47% 5,93% 1,70% 4,24% 21 17,80% b) Giải sai phương trình (1) 5,08% Khơng trả lời 0,85% 118 100% S1b: Giải phương trình 2x-3 = x-5; 2x-3 = -(x-5) a) Kết luận phương trình có hai nghiệm -2 b) Tìm sai giá trị x, kết luận hai giá trị tìm nghiệm S2: Chiến lược “dùng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối” Kết luận phương trình vơ nghiệm S3: Chiến lược “dùng định nghĩa” Kết luận phương trình vơ nghiệm S4: Chiến lược “bình phương” S4a Đưa đến phương trình hệ quả, kết luận phương trình vơ nghiệm S4b Đưa đến phương trình tương đương, kết hợp với điều kiện x  để loại nghiệm.Từ kết luận phương trình cho vơ nghiệm S4c Đưa đến phương trình tương đương 3x  x  16  (1) a) Kết luận phương trình có hai nghiệm -2 Tổng cộng * Nhận xét : - Chỉ có 24/118 (20,34%) học sinh sử dụng chiến lược S2, S3, S4a, S4b - Có đến 65/118 (55,08%) học sinh sử dụng chiến lược S1b cho lời giải sai Các học sinh kết luận phương trình cho có nghiệm, phương trình vơ nghiệm Ngun nhân dẫn đến sai lầm học sinh sử dụng quy tắc hành   109  động sau A( x)  B( x)  A( x)   B( x) , mà không quan tâm đến phạm vi hợp thức: B(x)  Như vậy, quy tắc R2a kiểm chứng học sinh lớp 10 Sự tồn quy tắc chứng tỏ giải kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối dạng A( x)  B( x) ”, với tình vế phải số cụ thể (số dương) tạo nên chướng ngại cho việc giải phương trình tình vế phải biểu thức chứa ẩn - Có 27/118 (22,88%) học sinh sử dụng chiến lược S4c, tức quy tắc R2b kiểm chứng A( x)  B( x)  [ A( x)]2  [ B ( x)]2 Phạm vi hợp thức B(x)  Tóm lại, Có 55,08% sử dụng quy tắc hành động R2a (Đã tồn lớp Trung học sở) 22,88% học sinh áp dụng quy tắc hành động R2b (Chỉ tồn lớp 10) Mặc dù có 55,08% sử dụng R2a thấp so với lớp (có 62,96%) Tuy nhiên lại nhường chỗ cho sai lầm khác có 22,88% sử dụng R2b Như vậy, quy tắc hành động R2 kiểm chứng học sinh lớp 10 Bảng 4.13 Thống kê tỉ lệ phần trăm sai lầm học sinh trung học sở lớp 10 Lớp R1 R2a R2b A( x)  B( x)  A( x)   B( x) 88,69 % 43,45% 76,67 % 51,11% 67,59 % 62,96% 10 62,72 % 55,08% A( x)  B( x)  [ A( x)]2  [ B ( x)]2 22,88% * Nhận xét: Sai lầm cho (-a) < (Với a  ) tồn dai dẳng lớp trung học sở lớp 10 Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm là: sử dụng kí hiệu dấu “-” với nghĩa khác nhau: để phép trừ, số âm, số đối Vấn đề xuất lịch sử khái niệm số âm thể chế phổ thơng, cụ thể từ lớp Từ dấu “-” ký hiệu số âm xét tập   110  hợp số cụ thể trở thành chướng ngại cho việc hiểu số âm tập hợp số diện dạng ký hiệu chữ Qui tắc hành động R1 tồn dai dẳng lớp trung học sở lớp 10 Qui tắc sinh từ quan niệm (-a) số âm với a khác học sinh hiểu khái niệm giá trị tuyệt đối mang nghĩa “số cụ thể” (nghĩa xuất lịch sử thể chế phổ thông) Như vậy, số âm việc học tập giá trị tuyệt đối tập hợp số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập giá trị tuyệt đối xét tập hợp số diện dạng ký hiệu chữ Tuy nhiên tỷ lệ phần trăm học sinh phạm sai lầm có xu hướng giảm dần qua khối lớp bậc học Có thể lý giải điều này, học sinh lớp 8, 10 thường xuyên tiếp cận với kiểu nhiệm vụ mà dấu giá trị tuyệt đối biểu thức chứa biến Chính điều làm cho họ quan tâm đến nghĩa “hàm số” khái niệm giá trị tuyệt đối Qui tắc hành động R2a tồn dai dẳng lớp trung học sở lớp 10 Qui tắc có nguồn gốc từ việc học sinh tiến hành giải nhiều tập dạng “Tìm x, biết A( x)  m , với m  số cụ thể ” lóp 6, tiếp tục gặp lại lớp Chính điều gây nên trở ngại chuyển sang phương trình dạng A( x)  B ( x) (với B(x) biểu thức chứa ẩn), họ không quan tâm đến điều kiện B(x)  Đây nguyên nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm mà cụ thể qui tắc R2a tiếp tục xuất lớp 8, 10 với tỷ lệ cao   111  KẾT LUẬN Các nghiên cứu chương 1, 2, 3, cho phép chúng tơi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu đặt trước Sau kết nghiên cứu đạt được: Phân tích khoa học luận lịch sử khái niệm số âm (với tư cách đối tượng liên quan để nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối ), Chúng tơi tính phức tạp nghĩa dấu “-” Cụ thể có ba nghĩa khác như: dấu “-” để phép trừ giới thiệu Vidman (1489) dấu để số âm số đối (theo Cauchy (1821)) Đặc biệt với số đối có ký hiệu sau: Dấu “-” (theo Cauchy), “ a ” (theo Wilekens), “oppa” (theo Hanken) Tuy nhiên Cauchy lại sử dụng ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” dấu hiệu số âm dấu số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”) Mặt khác qua phân tích thể chế, chúng tơi tính đa nghĩa ký hiệu dấu “-” Cụ thể dấu “-” mang ba nghĩa khác tồn lịch sử Từ dẫn đến chướng ngại didactic gắn liền với khái niệm số âm: Dấu “-” ký hiệu số âm xét tập hợp số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm tập hợp số diện dạng ký hiệu chữ Từ chướng ngại biểu dạng sai lầm tồn học sinh quan niệm (-a) số âm với a khác Điều kiểm chứng thực nghiệm lớp 6, 7, 8, 10 Phân tích tổng hợp số nghiên cứu khoa học luận thể chế khái niệm chữ cho phép chúng tơi tính đa nghĩa ký hiệu chữ, chẳng hạn : chữ gán giá trị, chữ nhãn, chữ ẩn số, chữ biến số,…Từ nghiên cứu thể chế trường hợp cụ thể đối tượng “giá trị tuyệt đối”, nhận thấy ký hiệu chữ dấu giá trị tuyệt đối có vai trò khác nhau, cụ thể chữ gán giá trị (người ta thay giá trị số), chữ ẩn số, chữ biến số Mặt khác từ phân tích vài nét lịch sử khái niệm giá trị tuyệt đối cho thấy tồn hai nghĩa khác khái niệm này, nghĩa “số cụ thể” nghĩa “hàm số”   112  Qua phân tích thể chế hai nghĩa xuất lớp trung học sở lớp 10 Thực nghiệm chứng tỏ nghĩa “số cụ thể” tạo nên chướng ngại cho việc hiểu “hàm số” học tập học sinh Cụ thể sai lầm tồn dai dẳng học sinh lớp trunh học sở lớp 10, cho a  a với a Hai lý dẫn đến sai lẩm xuất phát từ quan niệm (-a) số âm học sinh áp dụng cách tìm giá trị tuyệt đối tập hợp số cụ thể cho chữ Từ cho phép khẳng định số âm thật tạo nên chướng ngại cho việc học tập khái niệm giá trị tuyệt đối Việc tìm giá trị tuyệt đối tập hợp số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc tìm giá trị tuyệt đối tập hợp số diện dạng ký hiệu chữ Đối với kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối dạng A( x)  B( x) ”, nghiên cứu gắn kết câu trả lời sai học sinh trung học sở học sinh lớp 10 với quy tắc hành động : R2a: A( x)  B( x)  A( x)   B( x) Phạm vi hợp thức B(x)  R2b: A( x)  B( x)  [ A( x)]2  [ B ( x)]2 Phạm vi hợp thức B(x)  Quy tắc hành động R2a sinh từ việc học sinh tiến hành giải nhiều tốn với tình vế phải số cụ thể (số dương) Quy tắc hành động R2b sinh từ quan niệm sau bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối ln thu phương trình tương đương với Thực nghiệm sai lầm tồn dai dẳng học sinh trung học sở lớp 10 Điều Perrin-Glorian nói: “Những sai lầm gây nên chướng ngại thường tồn dai dẳng tái xuất chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức mình” *Hướng nghiên cứu mở từ luận văn : Do hạn chế thời gian nên chưa thực nghiệm để kiểm chứng tồn giả thuyết H1, H2 học sinh lớp Mặt khác, luận văn chưa đề cập đến sai lầm học sinh giải kiểu nhiệm vụ: “Giải bất phương   113  trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối” Nếu sau có điều kiện, Chúng tiếp tục nghiên cứu vấn đề nêu Việc học sinh phạm phải sai lầm tồn dai dẳng học tập khái niệm “giá trị tuyệt đối” Điều tạo cho chúng tơi câu hỏi gợi ý Có thể xây dựng tình xung đột nhận thức, cho phép làm ổn định dẫn tới phá hủy kiến thức cũ, địa phương, nguồn gốc sai lầm đề cập hay không? Đây câu hỏi mà cần nghiên cứu thời gian tới     TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt đời nghiệp nhà toán học, NXB Trẻ Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXBGD Lê Thị Hồi Châu (1997), Nghiên cứu lý luận dạy học khoa học luận việc dạy học vectơ hai thể chế : lớp mười Việt Nam lớp tương ứng Pháp Luận án Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, Lê văn Tiến (2009), Những yếu tố didactic tốn, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Phan Đức Chính, Tơn Thân (2002), Tốn Tập 1, NXBGD Phan Đức Chính, Tơn Thân (2002), SGV Tốn Tập 1, NXBGD Phan Đức Chính, Tơn Thân (2003), Toán Tập 1, NXBGD Phan Đức Chính, Tơn Thân (2003), SGV Tốn Tập 1, NXBGD Phan Đức Chính, Tơn Thân (2004), Tốn Tập 2, NXBGD 10 Phan Đức Chính,Tơn Thân (2005), SGV Tốn Tập 2, NXBGD 11 Phan Đức Chính, Tơn Thân (2005), Tốn Tập 1, NXBGD 12 Phan Đức Chính, Tơn Thân (2005), SGV Tốn Tập1, NXBGD 13 Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), Giáo trình lịch sử toán, NXBĐHSP 14 Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), Đại số 10, BKHXH, NXBGD 15 Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), Bài tập Đại số 10, BKHXH, NXBGD 16 Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2006), SGV Đại số 10, BKHXH, NXBGD 17 Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2008), Giải tích 12, BKHXH, NXBGD 18 Trần Văn Hạo,Vũ Tuấn (2008), SGV Giải tích 12, BKHXH, NXBGD 19 Phan Thị Hằng (2002), Vai trò ý nghĩa chữ việc dạy học số học lớp chương trình cải cách Giáo dục trường hợp Phép chia Euclide, Luận văn thạc sĩ giáo dục học 20 Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số số học Tập 2, NXBGD     21 Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc hai việc dạy học trung học Việt Nam Pháp, Luận án Tiến sĩ 22 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Tốn học 1, NXBGD 23 Hồng Q, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thơngTốn học 2, NXBGD 24 Tơn Thân (2003), Bài tập Tốn Tập 1, NXBGD 25 Tơn Thân (2003), Bài tập Tốn Tập 1, NXBGD 26 Tơn Thân (2004), Bài tập Tốn Tập 2, NXBGD 27 Tơn Thân (2005), Bài tập Tốn Tập 1, NXBGD 28 Lê văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thơng, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh 29 Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết học tập”, nghiên cứu Giáo dục số 137 Tiếng pháp 30 Boýe (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs, pp.127-141 31 Cauchy A (1821), Cours d’analyse de l’école royale Polytechniques, Paris 32 Duroux (1983), La valeur absolue difficultés majeures pour une notion mineure, petit x numéro 3, pp 43-67 33 Schubring G (1986), Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs, petit x numéro 12, pp 5-32 34 http://fr.wikipeadia.org/wiki/valeur-absolu     PHỤ LỤC Phụ lục Phiếu tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp Các em thân mến! Phiếu gồm tốn Các em có 20 phút để trình bày lời giải phía phần làm.Tuy nhiên Bài em đánh chéo vào thích hợp giải thích Lời giải khơng nhằm để đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Toán Xin cám ơn tham gia em Bài 1: “Cho số nguyên a khác Sau phát biểu bạn học sinh lớp  Bạn Nam nói: “ (-a) ln ln số nguyên âm ”  Bạn An nói : “ (-a) luôn số nguyên dương ”  Bạn Bình nói : “ (-a) số nguyên dương số nguyên âm” Hãy cho biết ý kiến em phát biểu bạn cách đánh chéo vào thích hợp bảng sau giải thích Đúng sai Giải thích em đánh Phát biểu bạn Nam Phát biểu bạn An Phát biểu bạn Bình Bài 2:Tìm :  a (với a số nguyên ) Giải thích cách làm em Bài 3: Tìm x   , biết : x  2010 BÀI LÀM Bài 2: _ Bài 3: _     Phụ lục Phiếu tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp Các em thân mến! Phiếu gồm tốn em có 20 phút để trình bày lời giải phía phần làm Tuy nhiên em đánh chéo vào ô thích hợp giải thích Lời giải khơng nhằm để đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Toán Xin cám ơn tham gia em Bài 1: “Cho số hữu tỉ a khác Sau phát biểu bạn học sinh lớp  Bạn Nam nói: “ (-a) luôn số hữu tỉ âm ”  Bạn An nói : “ (-a) ln ln số hữu tỉ dương ”  Bạn Bình nói : “ (-a) số hữu tỉ dương số hữu tỉ âm” Hãy cho biết ý kiến em phát biểu bạn cách đánh chéo vào thích hợp bảng sau giải thích Đúng sai Giải thích em đánh Phát biểu bạn Nam Phát biểu bạn An Phát biểu bạn Bình Bài 2:Tìm :  a (với a số hữu tỉ ) Giải thích cách làm em Bài 3: Tìm x   ,biết : x   3 BÀI LÀM Bài 2: _ Bài 3: _     Phụ lục Phiếu tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp lớp 10 Các em thân mến! Phiếu gồm tốn Các em có 30 phút để trình bày lời giải phía phần làm Lời giải không nhằm để đánh giá em mà để góp phần cải thiện việc dạy học Tốn Xin cám ơn tham gia em Bài 1: a ( với a   ) có tồn khơng ? Vì ? Bài 2: Cho biểu thức M= ( x  3)  (Với x   x  3 ) x3 Hãy rút gọn biểu thức (cần giải thích rõ bỏ dấu giá trị tuyệt đối) Bài 3: Giải phương trình sau: 2x   x  BÀI LÀM Bài 1: _ Bài 2: _ Bài 3: _   ... QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI  Giá trị tuyệt đối chương trình tốn bậc phổ thông  Giá trị tuyệt đối sách giáo khoa trung học sở  Giá trị tuyệt đối sách giáo khoa lớp 10 Mục... giá trị tuyệt đối sau: - Nếu dấu giá trị tuyệt đối số dương giá trị tuyệt đối số   42  - Nếu dấu giá trị tuyệt đối số âm giá trị tuyệt đối số số đối +Yếu tố cơng nghệ 1: Các nhận xét - Giá trị. .. nguyên a khác   24  Chương KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC  Vài nét lịch sử khái niệm giá trị tuyệt đối  Khái niệm giá trị tuyệt đối số giáo trình đại học Mục tiêu chương Mục