Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở phổ thông

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM Đinh Quốc Khánh Chun ngành: LL PPDH mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Lê Thị Hồi Châu Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010 - LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hồi Châu, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồnh thành luận văn Tơi xin chân trọng cảm ơn PGS.TS.Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Cơng Khanh nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức thú vị didactic toán, cung cấp cho công cụ cần thiết hiệu để thực việc nghiên cửu Tôi xin chân thành cảm ơn: - Tất bạn khóa, người tơi làm quen, học tập ngiên cứu didactic tốn suốt khóa học - Ban giám hiệu thầy cô, đồng nghiệp trường THCS Nguyễn Gia Thiều quận Tân Bình trường Trung Học Thực Hành ĐHSP TPHCM nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ ln động viên để tơi hồn thành tốt khóa học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình ln động viên nâng đỡ tơi mặt Đinh Quốc Khánh MỞ ĐẦU Chúng ta nhận thấy hàm số không xuất tốn học mà cịn có mặt lĩnh vực khác như: vật lí, kinh tế, trắc địa, tin học, …Trong lĩnh vực toán học hàm số xuất trước hết với tư cách đối tượng nghiên cứu, sau với tư cách cơng cụ để xây dựng khái niệm toán học khác như: khái niệm phương trình, khái niệm bất phương trình….Cịn chương trình Tốn trường phổ thơng hành hàm số đưa vào cách tường minh lớp sau đối tượng hàm số có mặt liên tục lớp 9, 10, 11 12 Chúng ta thấy có ngắt quãng đây, điều giải thích dựa vào mục tiêu kiến thức xây dựng chương trình tốn bậc trung học cở Ở bậc học mục tiêu chương trình xây dựng bước hồn thiện kiến thức tốn học Do thời điểm lớp hàm số không đưa vào mà nhường chỗ cho việc giới thiệu xây dựng khái niệm tốn học khác như: phương trình bất phương trình Khi nói đến hàm số ta khơng thể khơng nói đến vai trị đồ thị đồ thị xem cơng cụ để nghiên cứu hàm số, phương tiện để biểu thị hàm số Hơn biểu thức hàm số tương ứng với đồ thị cho thường dùng để giải vấn đề thực tế Do chắn mục đích khơng thể khơng nói đến việc dạy học hàm số giúp học sinh thấy vai trò hàm số thực tế đồng thời sử dụng kiến thức hàm số để giải vấn đề thực tiễn Việc cho học học sinh thấy vai trò hàm số thực tiễn khả sử dụng kiến thức hàm số để giải vấn đề thực tiễn mục tiêu dạy học hàm số nói riêng dạy học tốn nói chung Điều thể chế khẳng định mục tiêu, quan điểm xây dựng phát triển chương trình tốn trường phổ thơng, cụ thể: “Mục tiêu xây dựng chương trình cần đạt ý nghĩa, ứng dụng kiến thức Toán học vào đời sống, vào việc phục vụ mơn học khác Do cần tăng cường thực hành vận dụng, thực dạy học phải gắn với thực tiễn” (Chương Trình Giáo Dục Phổ Thơng Mơn Tốn, Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo) Tuy nhiên câu hỏi đặt cho : liệu học sinh sử dụng kiến thức hàm số cung cấp để giải vấn đề thực tế hay không? Câu hỏi đồng nghĩa với việc học sinh xác định biểu thức hàm số biết trước số yếu tố thuộc đồ thị hay không? Chính phong phú đa dạng thúc đẩy chúng tơi tìm hiểu đối tượng tri thức Mục đích nghiên cứu Một lí quan trọng để đưa hàm số vào chương trình Tốn phổ thơng nằm cần thiết sống Do câu hỏi đặt thể chế dạy học hành đáp ứng đáp ứng với yêu cầu phát huy tính ứng dụng hàm số tình thực tiễn? Câu hỏi có liên quan đến vấn đề mơ hình hóa dạy học tốn nói chung dạy học hàm số nói riêng Một thực tế cho thấy sử dụng công cụ hàm số để giải toán liên quan đến chuyển động vật, trước hết ta cần phải thiết lập biểu thức hàm số tương ứng với chuyển động vật Khi nghiên cứu toán thường xem xét số thời điểm định Do thơng tin mà nhận thường rời rạc, thông tin thường ghi lại dạng bảng hay dạng số điểm chúng xem đồ thị hàm số Điều dẫn chúng tơi đến câu hỏi liên quan đến q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số: Đứng trước thông tin cho dạng bảng hay số điểm thuộc đồ thị Học sinh có biết cách thiết lập biểu thức hàm số tương ứng hay không? Đồ thị mô tả chuyển động vật thường đa dạng phức tạp Do khn khổ luận văn tiến hành nghiên cứu chuyển động mà đồ thị chúng đường thẳng đường cong bậc hai Để làm điều trước hết muốn tìm hiểu lĩnh vực Tốn học số lĩnh vực khác ngồi Tốn, kĩ thuật chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số thực nào? Tiếp đến muốn làm rõ vấn đề liên quan đến việc chuyển đổi chương trình hành, với mục tiêu cho việc dạy học chuyển đổi cụ thể hóa mục tiêu sách giáo khoa (SGK), mà cụ thể SGK Toán lớp 7, lớp lớp 10, nơi mà hai đối tượng hàm số đưa vào Từ xem xét ảnh hưởng yếu tố lên hoạt động học tập học sinh Cụ thể hơn, muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: Q1' Trong lĩnh vực Toán học số lĩnh vực ngồi Tốn q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số thực nào? Mục đích gì? Q'2 Trong chương trình tốn hành u cầu cho việc chuyển đổi có đặt hai đối tượng hàm số này, mục đích việc chuyển đổi gì? Với câu hỏi nói mục đích nghiên cứu chúng tơi : Nghiên cứu q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số lĩnh vực Tốn học số lĩnh vực ngồi tốn thực nào? Mục đích gì? Tìm hiểu chương trình sách giáo khoa thực trình chuyển đổi sao, nhằm mục đích gì? Xây dựng thực nghiệm để nghiên cứu cách thức chuyển đổi thơng qua học sinh thấy vai trò hàm số thực tế? Cơ sở lí thuyết Chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, cụ thể Thuyết nhân học khái niệm Hợp đồng didactic lí thuyết tính với phương pháp dạy học mơ hình hóa làm sở cho việc xác định phương pháp luận nghiên cứu tảng cho việc tìm kiếm câu trả lời câu hỏi Đồng thời cố gắng tính thỏa đáng cho lựa chọn phạm vi lý thuyết Tuy nhiên luận văn, yếu tố lí thuyết phương pháp luận nghiên cứu khơng đề câp cách tuyến tính, mà theo nhu cầu phân tích giai đoạn khác cơng trình  Lí thuyết nhân chủng : mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân Lí tuyết nhân chủng didactic khơng xem xét hoạt động tốn học nghiên cứu toán học cách tách rời, mà toàn thể hoạt động người thể chế xã hội, đặt đồng thời thời gian không gian Đặt nghiên cứu phạm vi lí thuyết nhân chủng, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I đối tượng O, mối quan hệ cá nhân X đối tượng O, mà các câu hỏi liên quan khái niệm Cần nói thêm đối tượng O “Mơ hình hóa với việc nghiên cứu q trình chuyển đổi từ đồ thị đường thẳng đường cong bậc hai sang biểu thức hàm số”, thể chế I mà quan tâm dậy học theo chương trình hành trường phổ thơng, cịn cá nhân xem xét học sinh Tuy nhiên, khiếm khuyết cách đặt vấn đề theo mối quan hệ thể chế, theo Bosch et Chevarllard (1999), thiếu phương pháp phân tích thực tế thể chế Khái niệm tổ chức toán học đưa vào Chevarllard (1998) nhằm khắc phục lỗ hổng  Tổ chức toán học : Một công cụ nghiên cứu mối quan hệ thể chế Một tổ chức praxéologique, theo Chevarllard bốn thành phần T , , ,   : kiểu nhiệm vụ T, kỹ thuật  để giải kiểu nhiệm vụ T, cơng nghệ  giải thích cho kỹ thuật  , lý thuyết  đóng vai trị cơng nghệ  , nghĩa giải thích cho  Một tổ chức praxéologique mà thành phần nêu mang chất tốn học, gọi tổ chức toán học Trong luận văn này, việc xác định tổ chức toán học gắn với đối tượng O cho phép : - Vạch rõ quan hệ thể chế R(I,O) - Hình dung quan hệ cá nhân thể chế I trì O  Dạy học mơ hình hóa : Để làm rõ vài vấn đề liên quan đến nó, chúng tơi tham khảo số tài liệu:  Các phương pháp tối ưu hóa; Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu; Nhà xuất giao thông vận tải  Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thông, Lê Văn Tiến, Nhà xuất đại học quốc gia TPHCM Một mục tiêu dạy học toán học cung cấp cho học sinh tri thức tốn học cơng cụ quan trọng cách vận dụng tri việc giải vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Qua cho phép làm rõ vai trị ý nghĩa thực tiễn tri thức toán học Để làm điều thiết phải xây dựng mơ hình tốn học thực tiễn Chúng tơi nhận thấy địi hỏi có liên quan mơ hình hóa dạy học tốn Nói khác vấn đề dạy học mơ hình hóa dạy học mơ hình hóa Để phân biệt hai khái niệm chúng tơi lược trích Phương pháp dạy học mơn Tốn tác giả Lê Văn Tiến: “Một cách sơ lược hiểu, dạy học mơ hình hóa dạy học cách thức xây dựng mơ hình toán học thực tiễn, nhắm tới trả lời cho câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Tuy nhiên, thuật ngữ “dạy học mơ hình hóa” hiểu có dẫn tới cách hiểu sai lệch : trước xây dựng mơ hình thực tế, cần phải có tri thức tốn học Từ quy trình dạy học là: Dạy học tri thức tốn học lí thuyết  Vận dụng tri thức vào việc giải toán thực tiễn vào việc xây dựng mơ hình thực tiễn Quy trình làm vai trị động toán thực tiễn làm nguồn gốc thực tiễn tri thức tốn học : tri thức tốn học khơng nảy sinh từ nhu cầu giải tốn thực tiễn Quan niệm dạy học mơ hình hóa cho phép khắc phục khuyết điểm Theo quan niệm này, vấn đề dạy học tốn thơng qua dạy học mơ hình hóa Như vậy, tri thức tốn học cần giảng dạy nảy sinh qua trình giải tốn thực tiễn Quy trình dạy học : Bài tốn thực tiễn  Xây dựng mơ hình tốn học  Câu trả lời cho toán thực tiễn  Tri thức cần giảng dạy  Vận dụng tri thức vào giải tốn thực tiễn.” Trong luận văn quan tâm đến vấn đề dạy học mơ hình hóa Cũng cần nói thêm rằng, q trình mơ hình hóa tốn cho vấn đề thực tiễn thường trải qua bước:  Bước Xây dựng mơ hình định tính vấn đề, tức xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập quy luật mà phải tn theo  Bước Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả lại dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính Khi có hệ thống ta chọn biến cố đặc trưng cho trạng thái hệ thống Mơ hình tốn học thiết lập mối quan hệ biến cố hệ số điều khiển tượng  Bước Sử dụng cơng cụ tốn học để khảo sát giải tốn hình thành bước hai Căn vào mơ hình xây dựng cần phải chọn xây dựng phương pháp cho phù hợp  Bước Phân tích kiểm định lại kết thu bước ba Trong phần phải xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính tốn với vấn đề thực tế Q trình mơ hình hóa hệ thống ngồi tốn học Coulange tóm tắt lại sơ đồ tác giả Lê Văn Tiến mô lại Phương pháp dạy học mơn Tốn sau: Phạm vi ngồi tốn Hệ thống hay tình ngồi tốn Câu hỏi hệ thống (Bài toán thực tiễn) Câu trả lời cho BT thực tiễn Câu trả lời cho toán thực tiễn Bài toán thực Phạm vi thực tiễn Mơ hình thực tiễn Bài tốn tốn học Giải Câu trả lời cho tốn tốn học Mơ hình tốn học Phạm vi tốn học Những phân tích cho thấy dạy-học mơ hình hóa u cầu tự nhiên việc hoàn thiện, nâng cao lực học sinh, cách để giúp họ biết vận dụng kiến thức học vào việc giải vấn đề thực tiễn cách có hiệu Do tính ứng dụng hàm số mà việc dạy-học mơ hình hóa dường khơng thể bỏ qua Trình bày lại câu hỏi luận văn Trong phạm vi lí thuyết chọn, chúng tơi trình bày lại câu hỏi luận văn sau: Q1 Trong lĩnh vực Toán học số lĩnh vực ngồi Tốn q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số thực có mặt tổ chức praxéologique nào? Q Trong thể chế I_ thể chế dạy học hàm số bậc bậc hai, trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số có tính đến hay khơng? Trong tổ chức tốn học cần có mặt chuyển đổi? Vấn đề dạy học mơ hình hóa có thể chế quan tâm đến xây dựng trình chuyển đổi hai đối tượng hàm số này? Q Sự lựa chọn thể chế ảnh hưởng đến học sinh họ đứng trước kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số, hay kiểu nhiệm vụ địi hỏi phải có mặt mơ hình hóa? Phương pháp nghiên cứu Luận văn nhằm tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi nêu Để đạt mục đích nghiên cứu, xác định phương pháp nghiên cứu sơ đồ hóa sau: Q1 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN Trong lĩnh vực : Tốn, Vật lí, Địa chất Q2 NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Nghiên cứu: Chương trình SGK lớp 7,9,10 Q3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Đối với học sinh Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu sau:  Đối với câu hỏi Q1, khơng có điều kiện tư liệu thời gian nên dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ hầu hết lĩnh vực mà có mặt hàm số Do chúng tơi giới hạn lại xem xét số lĩnh vực Trắc địa, Vật lí Tốn để tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 Kết trình bày chương sở tham chiếu cho nghiên cứu  Tham chiếu kết thu từ chương 1, sử dụng khái niệm tổ chức toán học, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến hành phân tích chương trình tốn trung học phổ thơng phân tích sách giáo khoa toán lớp 7, 9, 10 hành lớp mà đối tượng hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai đưa vào để trả lời cho câu hỏi Q2 Nghiên cứu trình bày chương  Dựa kết nghiên cứu hai phần cho phép chúng tơi dự đốn tồn học sinh Đây sở để chúng tơi hình thành giả thuyết nghiên cứu xây dựng thực nghiệm nhằm tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 Nghiên cứu trình bày chương Chương NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN VỀ VẤN ĐỀ CHUYỂN ĐỔI TỪ ĐỒ THỊ SANG HÀM SỐ Nghiên cứu chương nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 Chúng xin nhắc lại nội dung câu hỏi sau: Q1 Trong lĩnh vực Toán học số lĩnh vực ngồi Tốn q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số thực nào? Do mục đích nghiên cứu chúng tơi nghiên cứu q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số Do trước hết tiến hành nghiên cứu mức độ khoa học luận để xem kĩ thuật chuyển đổi thực nào? Vì lí thực tế nhiều ta phải giải toán ngược: ta khơng biết xác hàm số f(x) mà biết tập rời rạc hữu hạn đồ thị vài nét khái quát hàm số f(x); ta muốn dựng lại hàm số f(x) dĩ nhiên dựng nguyên xi hàm số f(x) (vì thân hàm số f(x) lại chưa biết) ta hy vọng dựng hàm số có tính chất hàm số f(x) dĩ nhiên đồ thị hàm số dựng gần trùng với đồ thị f(x) tập điểm rời rạc cho trước Trong chương tiến hành nghiên cứu trình chuyển đổi lĩnh vực Trắc địa, Vật lí mà cụ thể Động học chất điểm Tốn học Các tài liệu chúng tơi sử dụng:  Toán Cao Cấp tập 1, Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ, Nhà Xuất Bản Giáo Dục  Vật Lí Đại Cương, Lương Dun Bình (chủ biên), Nhà Xuất Bản Giáo Dục  Bài Tập Vật Lí, Nguyễn Hữu Thọ, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia TPHCM – 2009  Textbook notes of Lagrangian Method of interpolation, Autar Kaw and Michael Keteltas  Toán Cao Cấp tập 2, Nguyễn Đình Chí (chủ biên), Nhà Xuất Bản Giáo Dục I Trong động học chất điểm Động học chất điểm môn học nghiên cứu đặc trưng chuyển động dạng chuyển động khác Trong động học chất điểm, muốn xác định vị trí vật khơng gian ta phải tìm khoảng cách từ vật tới hệ vật khác mà ta quy ước đứng yên Hệ vật mà ta quy ước đứng yên dùng làm mốc để xác định vị trí vật khơng gian gọi hệ quy chiếu Trong động học chất điểm ta có khái niệm chất điểm Chất điểm vật có kích thước nhỏ khơng đáng kể so với khoảng cách, kích thước mà ta khảo sát Thí dụ: xét chuyển động viên đạn khơng khí, chuyển động trái đất xung quanh mặt trời,…ta coi viên đạn, đất, … chất điểm Để xác định chuyển động chất điểm người ta thường gắn vào hệ quy chiếu hệ tọa độ Hệ tọa độ Đêcac gồm có ba trục Ox, Oy, Oz vng góc Câu Với t  0,3 Thay vào biểu thức h(t) = – 1,6t2 + 5,2t Ta có h  0,3  1,416m Do chiều cao đạt bóng thời điểm t  0,3 giây 1,416m Câu Đồ thị hàm số từ cầu thủ sút bóng đến thủ thành chụp bóng qua hai điểm  0,25;1,2  &  0,5;2,2  điểm (0;0) thời thời bắt đầu sút bóng nên có dạng hình (H5): h 2,2 1,416 1,2 | O 0,25 0,3 0,5 t Hình (H5): Đồ thị hàm bậc hai Đối với toán chúng tơi dự đốn cịn xảy chiến lược sau:  Chiến lược SB1-TLX : Tìm tỉ lệ xích Sử dụng chiển lược học sinh tìm tỉ lệ hình vẽ so với thực tế Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược:  Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược: N D E C 8m B 6m M A Khoảng cách đo hình vẽ hai điểm chân cổng đường hầm 9,5cm khoảng cách thực tế 6m Nên ta có tỉ lệ xích : 1: 63 Để chiều cao đạt tối đa xe tải phải vào đưởng hầm Khi khoảng cách thực từ tim đường đến bánh xe tải phải 1,95m Với khoảng cách ta tìm khoảng cách hình vẽ tính từ tim đường sang hai bên trái phải là: 3,1cm Trên hình vẽ, đánh dấu hai điểm có khoảng cách đến tim đường 3,1cm A B Dựng đường vng góc qua hai điểm A, B cắt đường viền cổng đường hầm C D Gọi E giao điểm CD với đường trung trực MN đoạn thẳng nối hai điểm chân cổng đường hầm ( với M trùng với tim đường N điểm đỉnh cổng đường hầm) Đo khoảng cách MN ME hình vẽ ta được: MN = 10,6cm ME = 8,4cm Gọi hmax chiều cao tối đa xe tải Khi tính tỉ lệ hình vẽ tỉ lệ thực tế ta có: 10,6cm 8m  8,4cm hmax m Suy : hmax  6,3m Do chiều cao tối đa xe tải 6,4m  Chiến lược SB1-TSB : Thiết lập dãy tỉ số Sử dụng chiến lược học sinh thiết lập dãy tỷ số chiều cao chiều rộng, để tìm chiều cao xe tải  Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược: Gọi x chiều cao xe tải Do đường hầm có chiều cao 8m bề ngang 6m (chiều cao được hiểu khoảng cách từ tim đường đến điểm cổng đường hầm, bề ngang hiểu khoảng cách hai điểm chân cổng đường hầm) Cịn xe tải có chiều cao x mét bề ngang 3,9m Nên ta có: x  3,9 Suy : x  5,2m Vậy chiều cao tối đa xe tải phải nhỏ 5,2m 3.1.2 Pha (phiếu số 3) Có thể nhận cách trả lời từ nhóm học sinh sau:  Câu  Chiều cao đạt bóng thời điểm t  0,3 giây 1,416m Vì đồ thị hàm số phần đường cong nên biểu thức hàm số phải đa thức bậc hai  Chiều cao đạt bóng thời điểm t  0,3 giây 1,4m Vì nghiên xem xét khoảng thời gian nhỏ nên đồ thị hàm số xem thẳng biểu thức hàm số hàm tuyến tính  Câu Khi biết dạng tắc đồ thị (Bài toán 1) - Chọn mặt tọa độ - Gọi biểu thức dạng tổng quát đồ thị - Tìm số điểm thuộc đồ thị thay vào biểu thức tổng quát tìm hệ số chưa biết Khi chưa biết dạng tắc đồ thị (Bài toán 2) - Dự đoán đồ thị hàm số cần tìm gọi biểu thức tổng quát đồ thị - Tìm số điểm thuộc đồ thị thay vào biểu thức tổng quát tìm hệ số chưa biết 3.2 Phân tích biến 3.2.1 Biến tình giá trị chúng V1 Phương thức làm việc: cá nhân, theo nhóm, lớp - Làm việc cá nhân: cho phép học sinh tạo sản phẩm cá nhân, từ làm thuận lợi phong phú cho cơng việc nhóm - Làm việc theo nhóm: tăng cường trao đổi, thảo luận, tạo thua học tập - Làm việc tập thể, lớp: tạo tranh luận, cho phép thực pha hợp thức hóa V2 Bản chất hình kích thước cho Hình cho mang tính tượng trưng, làm phong phú sinh động cho tình cần diễn đạt Các kích thước cho có mục đích làm dễ dàng cho tính tốn kết quả, số liệu giúp phản ánh tình thực tế V3 :Cách thức đá cầu thủ Khi cầu thủ đá mũi bàn chân hay lòng bàn chân ảnh hướng đến đường bóng 3.2.2 Biến didactic giá trị chúng V4: Hình dáng đường hầm Biến có hai giá trị  V2.1: Xấp xỉ với đồ thị đường cong bậc hai  V2.2: Không xấp xỉ không đồ thị đường cong bậc hai Trong toán chọn giá trị V1.1 biến V1 giá trị V2.1 biến V2 , thiết nghĩ chiến lược chọn hệ trục tọa tọa lập phương trình trở nên đắt giá V5: Tọa độ điểm Tọa độ điểm chọn để xem xét đường bay bóng ảnh hưởng đến chiến lược chọn Biến có hai giá trị  V1.1: Khi điểm chọn gần hay khảo sát thời điểm có khoảng cách gần  V1.2: Khi điểm chọn xa hay khảo sát thời điểm cách xa Trong tốn biến V1 nhận giá trị V1.1 Với giá trị biến chiến lược SHBI có điều kiện thuận lợi để xuất V6 : Số lượng điểm khảo sát Biến có ba giá trị  V2.1: Số lượng điểm khảo sát không hai điểm  V2.2: Số lượng điểm khảo sát từ hai đến ba điểm  V2.3: Số lượng điểm khảo sát nhiều ba điểm Khi biến V2 nhận giá trị V2.1 chiến lược xây dựng hàm tuyến tính bậc chiếm ưu thế, cịn biến V2 nhận giá trị V2.3 chiến lược xây dựng hàm tuyến tính khơng có khả xuất mà ngược lại chiến lược xây dựng xây dựng hàm bậc hai lại chiếm ưu Do tốn chọn giá trị V2.2 V7 : Quỹ đạo trái banh Biến có hai giá trị  V3.1: Quỹ đạo trái banh được giới hạn lại Cụ thể xét quỹ đạo trái banh từ lúc sút khỏi mặt đất banh chạm đất  V3.1: Xét hết quỹ đạo trái banh Trong toán chúng tơi chọn giá trị V3.1 biến V3 khuôn khổ luận văn nghiên cứu đồ thị hàm bậc hai V8: Số câu hỏi phát Biến có hai giá trị  V4.1: Phát số câu  V4.2: Phát hết câu lúc Trong toán chọn giá trị V4.1 biến V4, thiết nghĩ cách cách làm làm cho chiến lược lập phương trinh tuyến tính hàm bậc có nhiều khả xuất Phân tích a posteriori tốn thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 45 học sinh lớp 10A1 trường Trung Học Thực Hành ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh học xong chương hàm số bậc bậc hai Dữ liệu thu thông qua thực nghiệm bao gồm: Bài làm cá nhân học sinh phiếu số 1, lời giải phiếu số nhóm giấy croquis, số giấy nháp học sinh 4.1 Ghi nhận tổng quát  Trong pha 1(pha làm việc cá nhân học sinh), ghi nhận kết đáng ý sau: Bài toán 1: Kết thống kê lời giải học sinh toán thể bảng 4.1 sau: Số thu Tỷ lệ 13 28,9% 2,2% 25 55,6% Không làm 13,3% Tổng cộng 45 100% Chiến lược S1BT1 (Chọn hệ trục tọa độ lập phương trình) Chiến lược S2BT1 (Tính diện tích) Chiến lược S3BT1 (Chiến lược khác) Bảng 4.1 Bảng thống kê lời giải Bài toán pha Bài toán 2: Kết thống kê lời giải học sinh toán thể bảng 4.2 sau: Chiến lược S1BT2 (Chọn đa thức tuyến tính) Chiến lược S2BT2 (Chọn đa thức bậc hai) Số thu Tỷ lệ 15,6% 12 26,7% Không xác định công thức hàm số không làm Tổng cộng 26 57,7% 45 100% Bảng 4.2 Bảng thống kê lời giải Bài toán pha Các câu trả lời học sinh pha theo chiến lược dự kiến Nhưng qua bảng 4.1 4.2 nhận thấy tỉ lệ học sinh không tìm biểu thức xác định hàm số chiếm tỉ lệ cao, khoảng 71,1% toán khoảng 5,7% toán  Trong pha pha 3, nhóm làm việc sôi để giải câu hỏi bảo vệ ý kiến nhóm Chúng tơi thống kê lại chiến lược nhóm sử dụng để giải toán phát phiếu số bảng 4.3 đây: Bài tốn Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm SB1-TSB (Chiến lược tỉ số bằng) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) Bài tốn Khơng trả lời SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) SB1-TBT SB1-TBTTT (Chiến lược tìm biểu thức) (Tìm biểu thức tuyến tính) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB1-TLX (Chiến lược tỉ lệ xích) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) Khơng trả lời SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) Khơng trả lời SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) Bảng 4.3 Bảng thống kê lời giải nhóm pha Trong pha câu trả lời nhóm theo chiến lược dự kiến Trong bảng 4.3, nhận thấy nhóm có câu trả lời cho tốn có đến 6/8 nhóm chọn chiến lược xây dựng biểu thức hàm số Đối với tốn có ba nhóm khơng đưa câu trả lời, cịn nhóm cịn lại có đến nhóm chọn biểu thức hàm số đa thức bậc 2, có nhóm chọn biểu thức xác định hàm số đa thức tuyến tính  Trong pha 4, học sinh nêu bước để tìm biểu thức xác định hàm số Thông qua pha thực nghiệm đa số em tiếp cận với kĩ thuật chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số thấy phần ứng dụng hàm số thực tiễn 4.2 Phân tích chi tiết kết thực nghiệm Sự xuất tiếp cận kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số Trong pha 1, tốn có 13 học sinh chọn hệ trục tọa độ xác định biểu thức hàm số tốn có 19 học sinh dự đốn đồ thị tìm biểu thức xác định hàm số, hầu hết học sinh lại sử dụng chiến lược khác mà phân tích tiên nghiệm Cụ thể tốn 1: Có đến 25 học sinh sử dụng chiến lược S3BT1 (chiến lược khác), xem xét lời giải học sinh nhận thấy đa phần lời giải học sinh đốn xe tải qua hay khơng qua đường hầm Chẳng hạn như: HS1: Xe tải phép qua đường hầm đường chiều nên xe vào Hơn chiều cao xe 4,8m đỉnh đường hầm cao 8m; bề ngang xe 3,9m nhỏ bề ngang đường hầm 6m Nên xe đường xe qua đường hầm dễ dàng HS2: Xe tải khơng phép qua đường hầm, chiều cao xe khoảng ½ chiều cao đường hầm bề ngang thùng xe gần 4m qua hầm đụng vào hai vách xe khơng chạy đường thẳng mà có lúc quẹo Nếu người lái xe bất cẩn dẫn đến tai nạn Tại nạn xảy khó đem xe khỏi hầm lúc gây ùn tắc giao thơng Hầm có dạng parabol nên bề rộng khơng đều, ngun nhân gây nguy hiểm Tóm lại, để phịng tránh cố Chính phủ cần ban lệnh cấm xe tải có kích cỡ lớn không phép qua đường hầm Có học sinh sử dụng chiến lược S2BT1 (chiến lược tính diện tích) Xem xét lời giải học sinh này, chúng tơi thấy sau tính diện tích tam giác có ba đỉnh hai điểm chân điểm lại đỉnh cổng đường hầm, học sinh quay qua tính diện tích tam giác lập tỉ số, sau khơng cho kết Có thể học sinh nhìn thấy khơng hợp lí q trình suy luận Trong tốn 2, có 26 học sinh khơng tìm biểu thức xác định hàm số Tuy nhiên xem xét làm họ, thấy đa phần học sinh nêu nét khái quát hàm số phác thảo đồ thị hàm số mô tả đường banh Ví dụ như: HS3: Hàm số mơ tả đường bóng từ sau cầu thủ sút bóng đến thủ thành chụp hàm số bậc hai theo t HS4: Cầu thủ đá trái banh phải dùng lực lớn nên banh phải theo đường thẳng HS5: Đồ thị hàm số phải có dạng sau (H4) Nhưng pha 2, tốn tất nhóm đưa lời giải cách nhanh chóng, nhóm sử dụng chiến lược SB1-TBT “Chọn hệ trục tọa độ tìm biểu thức xác định hàm số” Có lẽ pha 1làm việc cá nhân, họ hình dung chiến lược tối ưu phải tìm biểu thức xác định hàm số Xem xét giấy nháp nhóm, chúng tơi nhận thấy cách thức chọn hệ trục tọa độ họ rơi vào hai ba trường hợp mà phần phân tích tiên nghiệm Cụ thể trường hợp (hình H1) trường hợp (hình H3), với nhóm chọn hệ tọa độ hình H3 điều chúng tơi lấy làm lạ, chương trình tốn bậc phổ thông không thấy kiểu nhiệm vụ mà kĩ thuật thực đòi hỏi việc chọn hệ trục tọa độ với chiều dương trục Ox hướng xuống Học sinh làm điều họ làm quen kĩ thuật Vật lí Ở tốn thứ có đến nhóm tìm biểu thức xác định hàm số Trong nhóm có nhóm chọn biểu thức tuyến tính làm biểu thức xác định hàm số Như vậy, qua đến pha thứ hai hầu hết học sinh tiếp cận với kĩ thuật để tìm biểu thức xác định hàm số Sự vận dụng tiến triển kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số Sự tiếp cận vận dụng kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số theo nhóm tóm tắt bảng sau: Bài tốn Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Tiếp cận x x Vận dụng x x Nhóm x x x x x x x x Bảng 4.4 Sự tiếp cận vân dụng nhóm Bài tốn1 Bài tốn Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Tiếp cận x x x x x Vận dụng x x x x x Trong bảng 4.4 có 6/8 nhóm học sinh tiếp cận vận dụng kĩ thuật tìm biểu thức xác Bảng 4.5 Sự tiếp cận vân dụng nhóm Bài tốn định hàm số cho đáp số chiều cao tối đa xe tải Phân tích chiến lược sử dụng nhóm 5: + Nhóm sử dụng chiến SB1-TSB (chiến lược tỉ số bằng) phần trình bày họ sau: “ Để đạt chiều cao tối đa xe phải Gọi : r1 chiều rộng đường hầm = 6m h1 chiều cao đườn hầm = 8m r2 chiều rộng thùng xe = 3,9m h2 chiều cao thùng xe = ? (m) Xét h1 4r    h1  r1 3 h2 tính theo h1 r2 tính theo r1 suy : h2  4r2 4.3,9   5,2(m) 3 suy h2 max < 5,2(m) ” Trong pha (pha tranh luận đóng góp ý kiến), học sinh sai lầm nhóm sau: - HS6: Khơng thể so sánh tỉ số hình có hình dáng khác Thơng qua tranh luận đóng góp ý kiến pha với kết thu nhóm khác, ta có sở để bác bỏ chiến lược + Nhóm sử dụng chiến lược SB1-TLX (chiến lược tỉ lệ xích) Một thành viên nhóm khẳng định sau: “Mọi hình vẽ lại hay chụp lại từ hình thực tế theo tỉ lệ Do cách tìm tỉ lệ xích hình vẽ với hình thực tế, nhóm tìm kết : Chiều cao tối đa xe tải 6,415m.” Khẳng định dường học sinh khác thừa nhận pha tranh luận chúng tơi khơng thấy phản ứng từ học trị Tuy nhiên thấy nhầm lẫn học trị chỗ hình cho tốn khơng phải hình chụp hay hình vẽ lại mà hình mang tính chất minh họa, nên kích thước hình khơng phản ánh xác kích thước hình chụp lại Chúng ta thấy thay đổi hai kích thước hình vẽ tỷ lệ xích mà học sinh tính thay đổi theo điều dễ thấy chiều cao cần tính xe tải thay đổi theo Do ta thấy sai lầm chiến lược học sinh Ở bảng 4.5 nhóm học sinh tìm biểu thức xác định hàm số, có nhóm sử dụng chiến lược SB2-TBTTT (chiến lược tìm biểu thức tuyến tính) thành viên nhóm giải thích sau: “Vì xét khoảng thời gian ngắn đồ thị hàm số mô tả đường bóng đường thẳng hàm bậc nhất” Lời giải thích khơng tán thành có số ý kiến đưa sau: HS6: Vậy bóng bay lên trời hồi sao? HS7: Đồ thị khơng thể đường thẳng ba điểm không thẳng hàng Rõ ràng với lời nhận xét HS7 giúp ta có sở để khẳng định chiến lược tối ưu SB2TBTB2-chiến lược chọn biểu thức bậc hai Điều khẳng định thêm lần kết thu từ pha tất nhóm thống với chiến lược SB2-TBTB2-chiến lược chọn biểu thức bậc hai, đồng thời nhận thấy nhóm nêu lên phương pháp tìm biểu thức hàm số cho tốn tốn Tóm lại, qua pha thực nghiệm học sinh tiếp cận với kĩ thuật tìm biểu hàm số cho toán phần thấy vai trị hàm số thực tiễn Giải thích việc khơng trả lời tốn nhóm 1, Quan sát giấy nháp thông qua vấn số học sinh nhóm cho thấy: - Các nhóm nhiều thời gian cho tốn thứ - Các tính tốn giấy nháp chứng tỏ họ thất bại việc sử dụng cơng cụ vật lí Ví dụ giấy nháp nhóm 7: “Ta có: t12  t22  Nên 2h 2h 2.1,2 g   38,4m / s2 g t 0,25 2h 2h 2.2,2 g   17,6m / s2 g t2 0,5 v1  g1t1  3,84.0,25  9,6m / s v2  g2t2  17,6.0,2  8,8m / s ………… ” Sự có mặt vấn đề mơ hình hóa Trong pha 2, nhóm sử dụng chiến lược “tìm biểu thức hàm số” kĩ thuật họ có mặt vấn đề mơ hình hóa Cụ thể như: + Lời giải toán nhóm 4: -3 O Chọn gốc tọa độ O đỉnh hầm Ta có  P  : y  ax y   9a a  P : y  x Bề ngang xe tải : 3,9m x 3,9  1,95 y 8 x   1,95   3,38 9  hmax   3,38  4,62m  Đường hầm cho phép xe có độ cao lớn 4,62m qua  Xe tải khơng phép qua đường hầm + Lời giải tốn nhóm 6:  P  : y  ax  bx  c  0;0    P   c   0,25;1,2    P   1,2  0,0625a  0,25b (1)  0,5;2,2   P   2,2  0,25a  0,5b (2) 26 Từ (1) (2) suy ra: a   ; b  5  P  : h   85 t  26 t Với t  0,3  h  1,416m Đồ thị hàm số có dạng : x h(m) 2,2 1,2 O * t(s) | 0,25 0,3 0,5 Qua lời giải trên, nhận thấy học sinh thực hai bước sau: Bước 1: Chọn biểu thức xác định hàm số Bước 2: Sử dụng cơng cụ tốn học để tìm biểu thức chọn bước đầu Tuy nhiên, trước đến định chọn chiến lược “tìm biểu thức xác định hàm số” để giải toán rõ ràng họ phải phải xây dựng mơ hình định tính vấn đề xét Đặc biệt tốn 2, học sinh cịn phải kiểm định lại kết tìm thơng qua việc biểu diễn đồ thị hàm số lên mặt phẳng tọa độ Đem so sánh bước làm với bước q trình mơ hình hóa, ta có bảng thống kê sau: Các bước trình mơ hình hóa Bài tốn Bài tốn Bước Bước Bước Ngầm ẩn Tường minh Tường minh Ngầm ẩn Tường minh Tường minh Bước Tường minh Bảng 4.6 Bảng so sánh bước kĩ thuật giải với bước việc mơ hình hóa Như vậy, vấn đề mơ hình hóa xuất việc giải hai tốn nói 4.3 Kết luận Kết thực nghiệm cho phép hợp thức hóa giả thiết nghiên cứu Bên cạnh việc thực theo pha thực nghiệm, phân tích cho thấy có tiến triển việc tiếp cận vận dụng kĩ thuật vấn đề tìm biểu thức mơ tả hàm số Ngoài ra, thực nghiệm tạo tình học sinh tiếp xúc với dạng tốn địi hỏi phải thực việc mơ hình hóa tốn KẾT LUẬN Nghiên cứu q trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số đồng thời cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy kết thu từ thực nghiệm cho phép chúng tơi có câu trả lời thỏa đáng cho câu hỏi đặt từ đầu luận văn khẳng định giả thiết nghiên cứu đặt Sau số kết nghiên cứu Trong chương 1, qua việc tìm hiểu vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số số lĩnh vực Toán học, Địa chất Vật lí, chúng tơi làm rõ mục đích kĩ thuật việc chuyển đổi nói - Việc chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số nhằm vào hai mục đích:  Nghiên cứu tính chất hàm số đồ thị  Tìm biểu thức mơ tả hàm số từ giải vấn đề thực tiễn - Kĩ thuật chuyển đổi thường sử dụng lĩnh vực Toán học Địa chất chọn đa thức bậc n có dạng : Pn  x  : a0  a1x   an x n ,an  với a0 ,a1 , ,an  R , cho Pn(x) trùng với f(x) mút xi, i  0,n , nghĩa Pn  x i   f  x i   y i làm biểu thức xác định hàm số Đa thức tìm phương pháp nội suy theo kiểu Lagrange, nội suy theo kiểu Newton hay nội suy ghép trơn - Kĩ thuật Vật lí mà cụ thể Cơ học chất điểm thường gắn với q trình mơ hình hóa Trong chương 2, chúng tơi làm rõ ràng buộc thể chế dạy học trường phổ thông với vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số đặt hai đối tượng hàm số bậc bậc hai - Trong thể chế dạy học toán Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số vấn đề mơ hình hóa tốn có xuất Nhưng xét “mức độ quan tâm” vấn đề thể chế coi trọng tâm - Kết việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn giả thiết nghiên cứu: “Kỹ chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực hình thành học sinh” Nghiên cứu thực nghiệm chương đối tượng học sinh lớp 10 sau học xong kiến thức hàm bậc bậc hai, cho phép làm rõ quan hệ cá nhân với vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số vấn đề mơ hình hóa Thực nghiệm bao gồm việc xây dựng triển khai tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số vấn đề mơ hình hóa tốn Kết thu chứng tỏ tính hợp thức giả thiết nghiên cứu Để xây dựng tình dạy học vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số thỏa mãn tất hàm số đưa vào chương trình phổ thơng cần phải tiến hành nghiên cứu sâu rộng Tuy nhiên khuôn khổ giới hạn luận văn thạc sĩ, chưa nghiên cứu vấn đề Đây hướng nghiên cứu gợi từ luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2009), “Toán Cao Cấp tập 1”, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Lương Dun Bình (2009), “Vật Lí Đại Cương”, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Nguyễn Hữu Thọ (2009), “Bài Tập Vật Lí”, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia TPHCM Nguyễn Đình Chí (2009), “Tốn Cao Cấp tập 2”, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Lê Văn Tiến (2005), “Phương pháp dạy học mơn Tốn trường phổ thông”, Nhà xuất Đại học quốc gia TPHCM Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ba, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thiên Hương (người dịch), “Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học tập 1, 2”, Nhà xuất Giáo dục – 1999 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), “Đại số 10”, Nhà xuất Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), “Đại số 10 nâng cao”, Nhà xuất Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), “Đại số 10 – sách giáo viên”, Nhà xuất Giáo dục 10 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), “Đại số 10 nâng cao – sách giáo viên”, Nhà xuất Giáo dục 11 Phan Đức Chính (2008), “Toán – Sách giáo viên – tập 1,2”, Nhà xuất giáo dục 12 Phan Đức Chính (2008), “Sách giáo khoa toán – tập 1,2”, Nhà xuất giáo dục 13 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 1”, Nhà xuất giáo dục 14 Phan Đức Chính (2008), “Sách giáo khoa tốn – tập 1”, Nhà xuất giáo dục 15 “Chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn”,Bộ giáo dục đào tạo ... day -học đồ thị hàm số bậc y  ax  b sau: “Biết đồ thị hàm số y  ax  b đường thẳng Biết vẽ đồ thị hàm số y  ax  b cách xác định hai điểm thuộc đồ thị? ?? Từ tự hỏi, liệu ta xác định biểu thức hàm. .. giản: lớp dưới, học sinh học đầy đủ hàm số y  ax hàm số y  ax ; phép tịnh tiến đồ thị, tương ứng ta có đồ thị hàm số y  ax  b & y  ax  bx  c từ đồ thị mà suy biến thiên hàm số - Cách tiếp... trình Khi nói đến hàm số ta khơng thể khơng nói đến vai trị đồ thị đồ thị xem công cụ để nghiên cứu hàm số, phương tiện để biểu thị hàm số Hơn biểu thức hàm số tương ứng với đồ thị cho thường dùng