Phương trình bất phương trình hàm số mũ và hàm số LÔGARIT

1 Cơng trình hồn thành BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHYLABOUD INPANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Gia Định Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… năm …… TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thơng tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2012 - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Các phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số Lý chọn đề tài: lơgarit Phương trình, bất phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Đặc biệt phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số - Các tốn phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit thuộc chương trình phổ thơng trung học Phương pháp nghiên cứu: lôgarit nội dung hay khó học sinh thường xuất ñề thi ñại học, thi học sinh giỏi Hiện nay, Nước cộng hòa Dân chủ Nhân dân (CHDCND) - Thu thập, phân tích, khảo sát, tổng hợp tài liệu, sách giáo khoa, có liên quan đến phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lơgarit Lào ñang ñặc biệt quan tâm phát triển giáo dục Trong chương trình mơn tốn bậc trung học phổ thơng nước CHDCND Lào, nội dung phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit đưa vào giảng dạy từ lớp 10 Tuy nhiên tài liệu phục vụ cho học tập giảng dạy phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit chưa nhiều Là sinh viên Lào, với mục đích tìm hiểu phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit hệ thống số lớp tốn thuộc dạng này, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ "phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: - Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lôgarit - Hệ thống số lớp tốn phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit - Trao ñổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn ñể thực ñề tài Cấu trúc luận văn: Nội dung luận văn ñược chia thành chương Chương Hàm số mũ hàm số lôgarit Chương nhắc lại cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số lơgarit tính chất chúng Các chi tiết liên quan xem tài liệu Chương2 Phương trình, bất phương trình hàm số mũ Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ số thí dụ minh họa Chương3 Phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit số thí dụ minh họa 5 CHƯƠNG a >1 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT < a < a < 1.1.2 Tính chất hàm số mũ a) Hàm số y = a x liên tục ñiểm x = x0 b) Miền giá trị hàm số y = a x ( 0, + ∞ ) c) Hàm số y = a x tăng a > giảm < a < 1.1.3 Bảng biến thiên ñồ thị hàm số mũ Bảng biến thiên hàm số mũ Đồ thị hàm số y = a x với a >1 Đồ thị hàm số y = a x với < a , x > y g) Nếu < a < , x > y h) ax = a y i) Nếu < b < a , ax y x có tập giá trị ( 0, + ∞ ) Do có hàm số ngược, xác định khoảng ( 0, + ∞ ) có tập giá trị ( −∞ , +∞ ) = a xy Để tìm cơng thức hàm số ngược ta xuất phát từ công thức hàm số mũ y = a x , biểu thị x qua y Theo định nghĩa = a x bx lơgarit, ta có x x = log a y ⇔ ⇔ ax > a y ⇔ ax < ay y = log a x hàm số ngược hàm số mũ y = a x Hàm số ngược ñược gọi hàm số lôgarit số a Như ta có định nghĩa sau x=y Cho số a > , a ≠ , hàm số lơgarit theo số a xác định với x>0 ⇔ bx < a x x a x 1.2 Hàm số lôgarit giá trị dương biến số x cho công thức y = log a x 1.2.3 Tính chất hàm số lơgarit Căn vào tính chất hàm số mũ y = a x từ chỗ hàm 1.2.1 Định nghĩa Cho số a > a ≠ Lôgarit số a số b > số c mà lũy thừa a với số mũ c b Ký hiệu lơgarit số y = log a x hàm số ngược hàm số y = a x , ta suy tính chất sau hàm số lơgarit a) Hàm số y = log a x số a b log a b Vậy c = log a b Thay kí hiệu x y cho nhau, ta ñược hàm số ⇔ ac = b 1.2.2 Định nghĩa Cho số a > a ≠ Ta ñã biết hàm số mũ y = a x hàm số ñơn ñiệu xác định tồn tập số thực, tức khoảng ( x > 0, a ≠ 1) hàm số xác ñịnh liên tục ñiểm x0 > , x = y = b) Miền giá trị hàm số y = log a x ( −∞ , + ∞ ) c) Khi a > hàm số y = log a x hàm số tăng, < a < hàm số y = log a x giảm 10 1.2.4 Bảng biến thiên ñồ thị hàm số lôgarit 1.2.6 Số e lôgarit tự nhiên Bảng biến thiên hàm số y = log a x x a >1 < a < a < ∀b > Với < a ≠ , b , c > , ta có log a ( bc ) = log a b + log a c y y b log a   = log a b − log a c c log a bα = α log a b x a logb c = c logb a , b ≠ , c ≠ x Khi a > log a b > log a c ⇔ Khi < a < log a b > log a c a >1 < a c ⇔ b 0, a ≠ ⇔ f ( x) = g ( x) a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh Bước : Biến đổi hàm số mũ có phương trình số Bước : Sử dụng tính ñơn ñiệu hàm số mũ ñể giải b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau x +5 x +17 32 x − = 0, 25.128 x −3 Bước : Điều kiện phương trình: x ≠ 3, x ≠ 5( x + ) Bước : Phương trình ⇔ ⇔ Bước : Phương trình ⇔ ⇔ x −7 5( x + ) x −7 = 2−2 = ( x + 5) x−7 7( x +17 ) x−3 x+125 x−3 = x + 125 x−3 ( x + )( x − 3) = ( x + 25 )( x − ) 13 14 ⇔ 16 x − 160 = ⇔ x = 10 thỏa ñiều kiện 2.1.3 Phương pháp ñặt ẩn phụ 2.1.2 Phương pháp lơgarit hóa Khi phương trình hàm số mũ có số hạng, biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, ñối nhau, f ( x ) = log a b ⇔ lượng liên hiệp nhau, nghịch ñảo người ta thường đặt ẩn phụ ñể giải, gọi giải phương trình phương pháp đặt ẩn a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện ( có ) để phương trình xác Bước : Biến đổi phương trình dạng a f ( x ) = b f ( x) phụ a) Quy trình phương pháp ñịnh a x = log 30 24 Vậy phương trình có nghiệm x = log 30 24 Vậy phương trình có nghiệm x = 10 f ( x) = b a  0 < a ≠ 1, b > ⇔ Bước : Phương trình =b g ( x) Lấy lôgarit hai vế, tách ẩn số khỏi số mũ hàm lũy thừa Bước : Đặt ñiều kiện (nếu có) để phương trình xác định Bước : Biến đổi phương trình để làm xuất ẩn phụ Chọn ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ Bước : Giải phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị ẩn Bước : Giải phương trình thu phụ vừa tìm giải phương trình theo ẩn ban đầu b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau x x −1 x +1 b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau = 40 x − 2.6 x = 3.9 x Bước : Điều kiện phương trình: x ≥ ⇔ Bước : Phương trình ⇔ x x ⇔ 30 ⇔ log 30 30 ⇔ x x x = 3 5.5 x = 40 Bước : Chia vế phương trình cho x , ta 1− 40 = log 30 24 x = log 30 24 6x 9x = 4x 4x x ⇔ = 24 x x Bước : Phương trình xác định với x x    3    +   −1 = 2    x 3 Đặt t =   , ñiều kiện t > , phương trình trở thành 2 15 16 3t + 2t −1 = Bước : Phương trình ⇔ b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau  t = − loại  t =  x 3 1 t=   = ⇒ x = log   3     1   Vậy phương trình có nghiệm x = log   x2 − x ≤ x −1 Bước : Điều kiện bất phương trình x ≥ Bước : Bất phương trình ⇔ 2− Bước : Bất phương trình ⇔ − x − x ≤ x −1 2.2 Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ giải phương trình hàm số mũ 2.2.1 Phương pháp ñưa số a > ⇔ f ( x) ≥ g ( x)  f ( x) g x ≥ a () a ñịnh Bước : Biến đổi hàm số mũ có bất phương trình số Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ ñể giải ≤ x −1 x2 − x ≥ − x ⇔  1 − x ≤   x − x ≥   1 − x >    x − x ≥ (1− x ) ⇔ x ≥ thỏa ñiều kiện Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ 2.2.2 Phương pháp lơgarit hóa a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để bất phương trình xác x2 − x ⇔ Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ tương tự 0 < a < ⇔ f ( x) ≤ g ( x)  f ( x) g x ≥ a () a x ≤ f ( x) < b a  b > ⇔  a >    f ( x ) < log a b   0 < a <   f ( x ) > log a b  17 a f ( x) >b 18  b ≤    f ( x ) có nghóa   b > 0, a >   f ( x ) > loga b   b > 0, < a <    f ( x ) < loga b ⇔ ⇒ ≤ ⇒ ≤ x Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit số thí dụ minh họa , điều kiện t > , bất phương trình trở 3.1 Một số phương pháp giải phương trình hàm số lơgarit thành: 3.1.1 Phương pháp ñưa số t2 − 8t − > ⇔ Bước :  t < − không thỏa điều kiện  t > t = 3x − x+4 > = 32 ⇔ x− x + > ⇔ x + < x−2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh x − >  x + < x − 4x + x >   x − 5x > 0 < a ≠  b  f ( x ) = a 0 < a ≠ log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) > log a f ( x ) = b ⇔ Bước : Biến đổi hàm số lơgarit có phương trình số x >   x <   x > x > thỏa ñiều kiện Vậy nghiệm bất phương trình ∀x > Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số lơgarit để giải b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau ( ) ( log2 x + = x − log x +1 − ) Bước : Điều kiện phương trình x +1 − > ⇔ x > Bước : Phương trình ⇔ ( ) ( log2 x + = log2 x − log2−1 x +1 − ) 21 Bước ⇔ ) + ) = log ( ⇔ log2 x + = log2 x + log2 x +1 − ⇔ log2 : Phương trình ⇔ ( (4 22 ⇔ (2 ) (2 ) x x 2 x ( ( ( ) + = 2x Đặt t = log2 x −1 ( x + 1) , ñiều kiện t > ( x >  x x +1 −    x + = x x +1 − ) ) ) Phương trình trở thành −3.2 − = x ⇔  x = − loaïi  x  = = ⇔ x = thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm Bước : Nếu t = ⇔ Nếu t − 3t + = ⇔ t = thỏa ñiều kiện  t = ⇒ log2 x −1 ( x + 1) = x + = 2x − ⇔ t = ⇒ log2 x −1 ( x + 1) = ⇔ x + = ( x − 1) ⇔ x − 5x = : Đặt ñiều kiện (nếu có) để phương trình xác định : Biến đổi phương trình để làm xuất ẩn phụ Chọn ẩn phụ, ñặt : Giải phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị ẩn phụ vừa tìm phương trình có giải phương trình theo ẩn ban đầu b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau ( ) log2 x −1 x + x − + log x +1 ( x − 1) = Bước Bước : Điều kiện phương trình < x ≠1 ⇔  x = loaïi   x = thỏa điều kiện  nghiệm x = x = ⇔ Phương pháp giải bất phương trình hàm số lơgarit tương tự giải phương trình hàm số lơgarit log2 x −1 ( x + 1)( x − 1)  + log x +1 ( x −1) = log2 x −1 ( x + 1) + log x +1 ( x −1) = 3.2 Một số phương pháp giải bất phương trình hàm số lơgarit : Phương trình ⇔ 2 điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ Bước x = thỏa ñiều kiện = log2 x −1 ( x − 1) a) Quy trình phương pháp Bước ⇔ x = 3.1.2 Phương pháp ñặt ẩn phụ Bước = t t+ − 2x ) 3.2.1 Phương pháp ñưa số 23 log a f ( x ) < loga g ( x ) log a f ( x ) < b ⇔ ⇔   a >    < f ( x ) < g ( x )    < a <  f ( x ) > g ( x ) >     a >  b   < f ( x ) < a    < a <   f ( x ) > ab   ⇔ log a f ( x ) > b 24 9 x − 72 >  x log3 − 72 >  0 < x ≠ ( ⇔ x > log9 73 > ñương với ( ) log3 x − 72 ≤ x = log3 3x Bước : Bất phương trình ⇔ x − 72 ≤ 3x ⇔ (3 ) x − 3x − 72 ≤ ⇔ < 3x ≤ ⇔ x ≤ Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình a) Quy trình phương pháp ñịnh 0 < x ≠  x 9 > 73 ⇔ Bước : Vì điều kiện x > , nên bất phương trình tương   a >  b   f ( x ) > a    < a <  0 < f ( x ) < a b   Bước : Đặt ñiều kiện (nếu có) để bất phương trình xác ) log9 73 < x ≤ 3.2.2 Phương pháp ñặt ẩn phụ Bước : Biến đổi hàm số lơgarit có bất phương trình a) Quy trình phương pháp số Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để bất phương trình xác Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số lơgarit để giải b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau ( ) log x  log3 x − 72  ≤   Bước : Bất phương trình xác định với x thỏa mãn ñịnh Bước : Biến ñổi bất phương trình để làm xuất ẩn phụ Chọn ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn bất phương trình qua ẩn phụ Bước : Giải bất phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị ẩn phụ vừa tìm giải bất phương trình theo ẩn ban đầu 25 26 b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau KẾT LUẬN log5 x − log x 125 < Bước : Điều kiện bất phương trình là: < x ≠ Qua thời gian tìm hiểu, khảo sát, tiếp cận ñề tài, luận văn Bước : Bất phương trình ⇔ hồn thành đạt mục tiêu ñã ñề Cụ thể luận văn ñã thực log5 x − 3log x − < ñược vấn ñề sau: Đặt t = log5 x , ñiều kiện t ≠ 2t − Bất phương trình ⇔ ⇒ < t = log5 x < 125 dụ minh họa tập tương tự trình bày 2) Tuyển tập, phân loại số lớp phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit, phương pháp giải tương ứng Một t < −  0 < t <  số ví dụ minh họa tập tương tự trình bày Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hồn thiện nữa, nhằm trở thành tài liệu tham khảo hữu < x < ích cho tác giả trở giảng dạy nước cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ⇒ 1< x < Vậy nghiệm bất phương trình 1< x < trình hàm số mũ, phương pháp giải tương ứng Một số ví 2t − t − < t ⇔ t = log5 x < − −1 < t ⇔ Bước : 1) Tuyển tập, phân loại số lớp phương trình, bất phương 125 < x < ... CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ Chương trình bày số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ số thí dụ minh họa 2.1 Phương pháp giải phương trình hàm số mũ 2.1.1 Phương. .. trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ số thí dụ minh họa Chương3 Phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương. .. hiểu phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lôgarit hệ thống số lớp tốn thuộc dạng này, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ "phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số