Phương pháp tính giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Khóa Luận Tốt Nghiệp SVTH: Tô Thị Ánh Tình  Khoa Toán Trang Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán Sau thời gian học tập nghiên cứu hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo ThS Trần Nhân Tâm Quyền, đến khóa luận tốt nghiệp tơi hồn thành Đầu tiên xin bày tỏ biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng, Ban chủ nhiệm khoa Toán, tạo hội cho học tập làm khóa luận tốt nghiệp Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tất thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy cô giáo khoa Tốn tận tình dạy, truyền đạt cho tơi kiến thức bổ ích q báu suốt bốn năm vừa qua Xin cảm ơn giúp đỡ, chia tất bạn thời gian bốn năm học trường thời gian để hồn thành khóa luận Cuối xin chân thành cảm ơn thầy Trần Nhân Tâm Quyền - người trực tiếp hướng dẫn tôi, ln quan tâm, động viên dẫn tận tình để tơi hồn thành khóa luận Tuy có nhiều cố gắng xong khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức trình bày, tơi mong nhận đóng góp q thầy cô bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn ! Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên thực Tơ Thị Ánh Tình SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết việc tìm nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính dạng tốn quen thuộc toán học Chúng ta học nhiều cách để giải hệ phương trình Tuy nhiên, việc giải dễ dàng thực hệ phương trình đơn giản với số bước thực ngắn Cịn hệ phương trình phức tạp, cần phải thực nhiều bước tìm nghiệm việc tìm nghiệm khó khăn, địi hỏi nhiều thời gian cơng sức, chí có ta khơng thể thực Do đó, phương pháp giải gần hệ phương trình đại số tuyến tính xây dựng, nhiều phương pháp trở thành kinh điển phổ biến Vì thế, việc tìm hiểu phương pháp giải gần giúp ích cho ta nhiều việc giải tốn phức tạp tốn mang tính thực tế Như biết, có nhiều phần mềm ứng dụng dùng để giải toán MATCAD, MAPLE…Những phần mềm với máy vi tính giúp người giải nhanh thực nhiều tốn mà có người phải ngày chí năm giải Cùng với phần mềm vậy, MATLAB phần mềm có nhiều ứng dụng toán học kĩ thuật Tuy nhiên, chưa phát triển rộng rải chưa đưa vào học MATCAD Do đó, tơi chọn đề tài với mục đích, thứ để kiểm chứng lại nghiệm mà phương pháp giải đưa có khơng phần giới thiệu đến người đọc biết ứng dụng phần mềm MATLAB Mục đích Nắm phương pháp giải để tìm nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo tính định thức SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán Viết chương trình phần mềm Matlab để tìm nghiệm, tìm ma trận nghịch đảo tính định thức Phạm vi nghiên cứu Đề tài xoay quanh phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính, đặc biệt phương pháp tính gần nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính Đề tài gồm phần sau: - NỘI DUNG: o Chương 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI o Chương 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA MATLAB - KẾT LUẬN - TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang  Khóa Luận Tốt Nghiệp Khoa Toán NỘI DUNG Chương 1: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI 1.1 Giới thiệu phương pháp tính Phương pháp tính mơn học nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu giải phương trình, toán xấp xỉ hàm số toán tối ưu Thoạt đầu, toán học phát sinh nhu cầu giải tốn thực tế: Tính diện tích đất đai, quỹ đạo chổi, đường tàu bn biển v v… Như nói lúc đầu tốn học đồng nghĩa với tốn học tính tốn Cùng với phát triển nội toán học nghành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết toán ứng dụng Tuy nhiên, nhà toán học vĩ đại Newton, Lagrange, Euler, Gauss, Chebysev v v…đều có cơng trình móng phương pháp tính Từ năm 1950 trở lại đây, từ năm 1980, phương pháp tính đặc biệt phát triển với phát triển tin học Ngày nay, với xuất siêu máy tính (Super Computer) khả song song hóa q trình tính tốn mở rộng Nhiều thuật toán song song đề xuất áp dụng giải toán thực tế Như nói, ba nhiệm vụ phương pháp tính là: Xấp xỉ hàm số: Thay hàm có dạng phức tạp, hàm cho dạng bảng hàm số đơn giản Trong lý thuyết xấp xỉ hàm, người ta thường nghiên cứu toán nội suy, toán xấp xỉ xấp xỉ trung bình phương Giải gần phương trình: Phương trình đại số siêu việt, hệ phương trình đại số tuyến tính, hệ phương trình phi tuyến, tốn tìm vectơ riêng, giá trị riêng ma trận, giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, phương trình trình tích phân SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán Giải gần toán tối ưu: quy hoạch tuyến tính, quy hoạch lồi, quy hoạch tồn phương, quy hoạch ngun, điều khiển tối ưu, trị chơi vi phân v v… Trong luận văn vào nghiên cứu nhiệm vụ thứ hai phương pháp tính giải gần phương trình đại số tuyến tính Nếu tốn lý thuyết quan tâm đến việc chứng minh tồn nghiệm, khảo sát dáng điệu nghiệm số tính chất định tính nghiệm tốn tính đề xuất thuật tốn giải máy Phương pháp tính đặc biệt quan tâm đến vấn đề: thời gian máy hồn thành cơng viêc tính tốn, nhớ cần sử dụng để giải toán, tốc độ hội tụ ổn định thuật tốn 1.2 Quan hệ tốn tính tin học Giữa tốn tính tin học có mối liên hệ mật thiết tác động qua lại Do việc tăng tốc độ tính tốn máy gặp nhiều khó khăn kỹ thuật, lại địi hỏi chi phí lớn, nên để tính tốn nhanh người ta thiên cải tiến phương pháp giải toán Từ xuất phép biến đổi nhanh Fourier, thuật toán song song v v…Cùng với đời siêu máy tính: Máy tính song song, máy tính vectơ v v…xuất nhiều phương pháp song song Hiện ta chứng kiến xu song song hóa diễn tất lĩnh vực giải tích Để tiết kiệm nhớ máy tính, người ta đề xuất phương pháp hữu hiệu xử lý hệ lớn, thưa: kỹ thuật nén ma trận, kỹ thuật tiền xử lý ma trận v v… Để thấy mối quan hệ toán học tin học, luận văn tơi trình bày ứng dụng tin học vào toán học Đó dùng phần mềm Matlab để giải phương trình đại số tuyến tính SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán 1.3 Giới thiệu MATLAB MATLAB – phần mềm tiếng công ty MathWorks, ngôn ngữ hiệu cao cho tính tốn kỹ thuật Nó thích hợp tính tốn, hiển thị lập trình mơi trường dễ sử dụng Các ứng dụng tiêu biểu MATLAB gồm:  Hỗ trợ tốn học tính tốn  Phát triển thuật tốn  Mơ hình, mơ  Phân tích, khảo sát hiển thị số liệu  Đồ họa khoa học kỹ thuật  Phát triển ứng dụng với giao diện đồ họa Tên phần mềm MATLAB bắt nguồn từ thuật ngữ “Matrix Laboratory” Đầu tiên viết FORTRAN để cung cấp truy nhập dễ dàng tới phần mềm ma trận phát triển dự án LINPACK EISPACK Sau viết ngơn ngữ C sở thư viện nêu phát triển thêm nhiều lĩnh vực tính tốn khoa học ứng dụng kỹ thuật Ngoài MATLAB với khả phong phú đề cập sau, phần mềm MATLAB trang bị thêm ToolBox – gói chương trình (thư viện) cho lĩnh vực ứng dụng đa dạng xử lý tín hiệu, nhận dạng hệ thống, xử lý ảnh, mạng nơ ron, tài chính, tối ưu hóa, phương trình đạo hàm riêng… Đây tập hợp mã nguồn viết MATLAB dựa theo giải thuật mới, hữu hiệu mà người dùng chỉnh sửa bổ sung thêm hàm MATLAB thiết kế để giải tốn số khơng nhằm mục đích tính tốn ký hiệu MATHEMATICA MAPLE Tuy SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán nhiên, MATLAB tính tốn ký hiệu nhờ hàm Symbolic Math ToolBox 1.3.1 Một số đặc trưng MATLAB: - MATLAB ngơn ngữ thơng dịch Vì làm việc hai chế độ: tương tác lập trình Trong chế độ tương tác MATLAB thực lệnh gõ cửa sổ lệnh sau dấu nhắc lệnh kết tính tốn cửa sổ này, đồ thị cửa sổ khác Trong chế độ lập trình tập lệnh soạn thảo ghi thành tệp đuôi m (m-file) Các hàm tổ chức thành m-file Một chương trình gồm nhiều m-file Để chạy chương trình cần gõ tên m-file cửa sổ lệnh Enter - Các hàm MATLAB (không kể thư viện chuyên dụng gọi ToolBox) chia làm hai loại: hàm hàm Các hàm hàm cài đặt sẵn (built-ins) tức tồn dạng mã nhị phân nên ta xem mã nguồn chúng, thí dụ hàm sin, sqrt, log, clc, Đây hàm hay sử dụng hàm đòi hỏi nhiều thời gian xử lý Các hàm hàm tồn dạng mã nguồn mà người dùng tham khảo chỉnh sửa, bổ sung cần thiết, thí dụ log10, ode23,… - Phần tử liệu MATLAB ma trận (mảng) mà kích thước chúng không cần khai báo trước ngơn ngữ lập trình khác Tuy nhiên, để tăng tốc độ xử lý cần báo trước cho MATLAB biết kích thước tối đa mảng để phân bổ nhớ lệnh gán 1.3.2 Các khả MATLAB bản: - Thực tính tốn tốn học bao gồm: ma trận đại số tuyến tính, đa thức nội suy, phân tích số liệu thống kê, tìm cực trị hàm biến nhiều biến, tìm nghiệm phương trình, tính gần tích SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang Khóa Ḷn Tớt Nghiệp  Khoa Toán phân, giải phương trình vi phân - Đồ họa hai chiều ba chiều: MATLAB cung cấp nhiều hàm đồ họa, nhờ ta nhanh chóng vẽ đồ thị hàm biến hai biến, vẽ kiểu mặt, contour, trường vận tốc,…Ngoài MATLAB vẽ tốt đối tượng ba chiều phức tạp hình trụ, hình cầu, hình xuyến,…và cung cấp khả xử lý ảnh hoạt hình SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang  Khóa Luận Tốt Nghiệp Khoa Toán Chương 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG MATLAB Chương trình bày cách giải phương trình đại số tuyến tính, tìm ma trận nghịch đảo tính định thức Các thuật tốn trình bày thơng qua tập số giải mẫu 2.1 Các khái niệm ký hiệu Xét hệ đại số tuyến tính Ax  b , (1.1)  a11 K A  (a ij )   M O a L  n1 a1n  M , a nn  ma trận hệ số b  (b1, b2 ,K , bn )T , x  (x1, x , , x n )T (1.2) vectơ cột vế phải ẩn Nếu A không suy biến tức là: a11 a12 a a detA= 21 22 K K a n1 a n K K K K a1n a 2n  0, K a nn hệ (1.1) có nghiệm Thật vậy, det A  nên tồn ma trận ngược A1 Nhân bên trái hai vế (1.1) với A1 ta được: 1 A1 Ax = A1 b  x  A b (*) Rất rõ, (*) cho ta nghiệm hệ (1.1) nghiệm Về mặt lý thuyết, trường hợp đó, việc tìm nghiệm khơng khó x i (i = 1, 2,…, n) cho công thức Cramer: SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 10  Khóa Luận Tốt Nghiệp Khoa Toán 21 98 15 98 9 121 25 121 x (0) -0,6422 0,4732 1,0510 2,033 x (1) -1,065 -0,0525 0,856 1,87 x (2) -0,9546 0,056 1,04 2,0318 x (3) -1,0165 -0,017 0,9775 1,98076 x (4) -0,9922 0,009 1,0087 1,9999 13 98 13 121 Ta đánh giá sai số sau: x(4)  x(3)  (4) (3) = max(0,0243; 0,008; 0,0312; 0,01914) =  max x  x i i  i 0,0312 Và: x (5)  x   x(5)  x   B 1 B x (5)  x (4)   0,5 0,0312  0,0312  0,5 Như ta nghiệm gần hệ (-0,9922; 0,009; 1,0087; 1,9999) Nghiệm hệ (-1; 0; 1; 2) Giải phần mềm MATLAB: + Chương trình chạy MATLAB sau: >> B=[0 -12/109 -21/109 -9/109;-3/28 -15/112 -25/112;-21/98 -15/98 13/98;-9/121 -25/121 -13/121 0] B= -0.1101 -0.1927 -0.0826 SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 78  Khóa Luận Tốt Nghiệp -0.1071 Khoa Toán -0.1339 -0.2232 -0.2143 -0.1531 -0.1327 -0.0744 -0.2066 -0.1074 >> c=[-70/109;53/112;103/98;246/121] c= -0.6422 0.4732 1.0510 2.0331 >> x0=[-0.6422;0.4732;1.0510;2.033] x0 = -0.6422 0.4732 1.0510 2.0330 >> tol=0.001 tol = 1.0000e-003 >> x=lapdon(B,c,x0,tol) x= [9] [4x1 double] >> x{1} ans = >> x{2} ans = -1.0001 -0.0001 0.9999 SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 79  Khóa Luận Tốt Nghiệp Khoa Toán 1.9999 >> Bài 13: Giải hệ phương pháp lặp đơn với số  =10^-2 5x1  x  x3   x1  5x  x3  x  x  5x   Giải: Ta có a ii   a ij nên ta biến đổi hệ theo phương pháp thứ j1 j i Cụ thể: x1   0,2x  0,2x3   x  0,2  0,2x1  0,2x   x  Bx  c x3  0,2  0,2x1  0,2x   Với 0,2 0,2       B   0,2 0,2  , c   0,2   0,2 0,2  0,2      Ta có: b k 1 1k = + 0,2 + 0,2 = 0,4 b k 1 2k = 0,2 +0 + 0,2 = 0,4 3k = 0,2 + 0,2 + = 0,4 b k 1 Do đó: B   max  bij  max(0,4; 0,4; 0,4) = 0,4 < i j1 Điều kiện hội tụ hệ thõa mãn Vậy trình lặp đơn áp dụng vào hệ hội tụ Chọn x(0) = (1; 0,2; 0,2)T = c thực trình lặp x(k+1) = Bx(k) +c Quá trình cho bảng sau: SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 80  Khóa Luận Tốt Nghiệp x1 x2 x3 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 x (0) 0,2 0,2 x (1) 0,92 -0,04 -0,004 x (2) 1,016 0,024 0,024 x (3) 0,995 0,008 -0,008 x (4) 0,997 0,001 -0,001 B Khoa Toán Ta chọn x(4) làm nghiệm gần Như ta nghiệm gần hệ (0,997; 0,001; -0,001) Nghiệm hệ (1; 0; 0) Ta đánh giá sai số sau: x(4)  x(3)  (4) (3) = max(0,002; 0,007; 0,007) = 0,007  max x  x i i  i Và: B 1 B x (4)  x   x(4)  x   x (4)  x (3)   0,4 0,007  0,0047  0,4 Giải phần mềm MATLAB Chương trình chạy sau: >> B=[0 -0.2 -0.2;-0.2 -0.2;-0.2 -0.2 0] B= -0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000 >> c=[1;0.2;0.2] c= SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 81 Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán 1.0000 0.2000 0.2000 >> x0=[1;0.2;0.2] x0 = 1.0000 0.2000 0.2000 >> tol=0.01 tol = 0.0100 >> x=lapdon(B,c,x0,tol) x= [5] [3x1 double] >> x{1} ans = >> x{2} ans = 0.9986 -0.0013 -0.0013 >> Bài 14: Giải hệ phương pháp Seidel với sai số  =0,0001 7,9x1  0,2x  0,3x3  7,7  0,1x1  3,7x  0,1x  3,8 0,2x  3,7x  0,2  SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 82  Khóa Luận Tốt Nghiệp Khoa Toán Giải: Ta có a ii   a ij nên ta biến đổi hệ theo phương pháp thứ j1 j i Cụ thể: 77   x  x3  79 79 79  38 1  x2   x1  x   x  Bx  c 37 37 37  2  x3   x2  37 37 x1  Với    B  37    2 79 3  77    79  79    1  38   ,c  37  37    2  2    0 37   37  Ta có: b 1k k 1 = 0,0633 b k 1 2k = 0,054 3k = 0,054 b k 1 Do đó: B   max  bij  max(0,0633; 0,054; 0,054) = 0,0633 < i j1 Điều kiện hội tụ hệ thõa mãn Vậy trình lặp seidel áp dụng vào hệ hội tụ Chọn x(0) = (0,975; -1,03; -0,054)T thực trình lặp x(k+1) = Bx(k) +c Quá trình cho bảng sau: SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 83  Khóa Luận Tốt Nghiệp x1 x2 x3 -2/79 3/79 1/37 -1/37 -2/37 x (0) 0,975 -1,03 -0,054 x (1) 0,9986 -0,9986 -7,6.10-5 x (2) 0,99996 -0,99999 -5,5.10-8 B Khoa Toán Ta chọn x(2) làm nghiệm gần Như ta nghiệm gần hệ (0,99996; -0,99999; -5,5.10-8) Nghiệm hệ (1; -1; 0) Ta đánh giá sai số sau: x(2)  x(1)  (2) (1) = max(0,00136; 0,00139; 0,000076) = 0,00139  max x  x i i  i Ta có: q1= b11 + b12 + b13 = 0,0633; p1 = b11 =0  q1 0,0633   0,0633  p1 1 q2= b22 + b23 = 0,027; p2 = b21 = 0,027  q2 0,027   0,028  p2  0,027 q3= b33 = 0; p1 = b31 + b32 =0,054  q3    p3  0,054   max i qi = max(0,0633; 0,028; 0) = 0,0633  pi x(2)  x    x(2)  x(1) 1    0,0633 0,00139  0,000094  0,0633 Giải phần mềm MATLAB + Ta xây dựng thuật tốn phương pháp Seidel sau: SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang 84 Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán function x=seidel(B,c,x0,tol) Bt=B; Bd=B; [m,n]=size(B); for i=1:m for j=1:n if i>j Bt(i,j)=0; else Bd(i,j)=0; end end I=eye(m); E=inv(I-Bd)*Bt; F=inv(I-Bd)*c; x=lapdon(E,F,x0,tol); end + Chương trình chạy sau: >> B=[0 -2/79 3/79;1/37 -1/37;0 -2/37 0] B= -0.0253 0.0380 0.0270 -0.0270 -0.0541 >> c=[77/79;-38/37;-2/37] c= 0.9747 -1.0270 -0.0541 >> x0=[0.975;-1.03;-0.054] x0 = 0.9750 -1.0300 -0.0540 >> tol=0.0001 tol = SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 85 Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán 1.0000e-004 >> x=seidel(B,c,x0,tol) x= [3] [3x1 double] >> x{1} ans = >> x{2} ans = 1.0000 -1.0000 -0.0000 >> Bài 15 Giải hệ sau phương pháp Seidel với sai số  = 0,01 5x1  x  x   x1  5x  x  x  5x  5x   Giải: Ta có a ii   a ij nên ta biến đổi hệ theo phương pháp thứ j1 j i Cụ thể: x1   0,2x  0,2x3   x  0,2  0,2x1  0,2x   x  Bx  c x3  0,2  0,2x1  0,2x   Với 0,2 0,2       B   0,2 0,2  ,c   0,2   0,2 0,2  0,2      Ta có: b k 1 1k = + 0,2 + 0,2 = 0,4 SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 86  Khóa Luận Tốt Nghiệp Khoa Toán b k 1 2k = 0,2 +0 + 0,2 = 0,4 3k = 0,2 + 0,2 + = 0,4 b k 1 Do đó: B   max  bij  max(0,4; 0,4; 0,4) = 0,4 < i j1 Điều kiện hội tụ hệ thõa mãn Vậy trình lặp Seidel áp dụng vào hệ hội tụ Chọn x(0) = (1; 0,2; 0,2)T = c thực trình lặp x(k+1) = Bx(k) +c Quá trình cho bảng sau: x1 x2 x3 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 -0,2 x (0) 0,2 0,2 x (1) 0,92 -0,024 -0,024 x (2) 1,001 -0,004 -0,001 x (3) 1,001 -0,000 0,000 Chọn x(3) làm nghiệm gần Như ta nghiệm gần hệ (1,001; -0,000; 0,000) Nghiệm hệ (1; 0; 0) Ta đánh giá sai số sau: x(3)  x(2)   max xi(3)  xi(2)  = max(0,000; 0,004; 0,001) = 0,004 i Ta có: q1 = b11 + b12 + b13 = 0,4; p1 = b11 =0 SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 87  Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán q1 0,4   0,4  p1  q2 = b22 + b23 = 0,2; p2 = b21 = 0,2  q2 0,2   0,25  p2  0,2 q3 = b33 = 0; p1 = b31 + b32 = 0,4  q3    p3  0,4   max i qi = max(0,4; 0,25; 0) = 0,4  pi x(3)  x    x(3)  x(2) 1    0,4 0,004  0,00267  0,4 Giải phần mềm MATLAB + Ta xây dựng thuật toán phương pháp Seidel sau: function x=Seidel(B,c,x0,tol) Bt=B; Bd=B; [m,n]=size(B); for i=1:m for j=1:n if i>j Bt(i,j)=0; else Bd(i,j)=0; end end I=eye(m); E=inv(I-Bd)*Bt; F=inv(I-Bd)*c; x=lapdon(E,F,x0,tol); end + Chương trình chạy sau: >> B=[0 -0.2 -0.2;-0.2 -0.2;-0.2 -0.2 0] B= -0.2000 -0.2000 -0.2000 -0.2000 SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 88  Khóa Luận Tốt Nghiệp -0.2000 -0.2000 Khoa Toán >> c=[1;0.2;0.2] c= 1.0000 0.2000 0.2000 >> x0=[1;0.2;0.2] x0 = 1.0000 0.2000 0.2000 >> tol=0.01 tol = 0.0100 >> x=seidel(B,c,x0,tol) x= [3] [3x1 double] >> x{1} ans = >> x{2} ans = 1.0007 -0.0003 -0.0001 >> Bài 16: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 89  Khóa Luận Tốt Nghiệp 1  1 A 4  0 2 Khoa Toán 2  1  2 Giải: Q trình trình bày bảng sau: A  E 1 0 -1 1 0 -2 0 2 0 1 0 1 0 11 -6 -7 -4 -16 2 0 3/2 1/2 1/2 0 11/2 -6 -7 -4 -16 -7 -1 -1 -5 7/6 4/6 -1/6 16/6 -1 -1/2 2/5 -2/5 -1/5 2/5 6/5 2/5 -2/5 -1/5 2/5 6/5 1/5 7/15 1/15 -7/1 -1/2 1/6 5/2 1 SVTH: Tô Thị Ánh Tình 1/6 1/3 19/15 7/6 Trang 90  Khóa Luận Tốt Nghiệp 1/3 Khoa Toán 1/3 -1/3 4/3 Ta ma trận nghịch đảo là: 1/ 1/ 1/    1/ 1/ 1/ 1/  1  A   1/ / 15 1/ 15 7 / 15     / 2 / 1/ /  Giải phần mềm MATLAB: >> A=[1 2;-1 1;4 -2 1;0 2] A= 1 -1 -2 2 >> inv(A) ans = 0.3333 0.3333 -0.3333 -0.5000 0.1667 0.1667 0.3333 0.2000 0.4667 0.0667 -0.4667 0.4000 -0.4000 -0.2000 0.4000 >> KẾT LUẬN Với kiến thức thời gian cịn hạn chế, đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp, chia thầy bạn đọc để đề tài hồn thiện Đề tài cịn phát triển, mở rộng nhiều khía cạnh, nhiều mức độ SVTH: Tô Thị Ánh Tình Trang 91 Khóa Luận Tốt Nghiệp  Khoa Toán khác TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh: Giải tích số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 1996 Tạ Văn Đĩnh: Phương pháp tính Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1999 Phạm Phú Triêm, Nguyễn Bường: Giải tích số Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Dỗn Tam Hịe: Tốn học tính tốn Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2005 Nguyễn Minh Chương (Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường: Giải tích số Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 2001 Nguyễn Hoài Sơn (Chủ biên), Đỗ Thanh Việt, Bùi Xuân Lâm: Ứng dụng MATLAB tính tốn kĩ thuật Nhà xuất Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh SVTH: Tơ Thị Ánh Tình Trang 92 ... trung bình phương Giải gần phương trình: Phương trình đại số siêu việt, hệ phương trình đại số tuyến tính, hệ phương trình phi tuyến, tốn tìm vectơ riêng, giá trị riêng ma trận, giải phương trình. .. Phạm vi nghiên cứu Đề tài xoay quanh phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính, đặc biệt phương pháp tính gần nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính Đề tài gồm phần sau: - NỘI DUNG:... T)2 = 2.4 Phương pháp lặp đơn Những phương pháp lặp phương pháp giải gần hệ phương trình đại số tuyến tính Chúng cho nghiệm gần hệ phương trình, dù phép tính trung gian tính hồn tồn, ta tính nghiệm