Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Bởi: PGS TS NGƯT Phạm Văn Huấn a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 an1x1 + an2x2 + + annxn bn } hay Ax = b (*) A = (aij) = ( a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann ) () () b1 ;b= b2 bn x1 ;x= x2 xn Nếu ma trận A không suy biến, tức a11 a12 a1n detA = ∣ a21 a22 a2n ∣ ≠0 an1 an2 ann hệ (*) có nghiệm Có thể tính nghiệm theo công thức Cramer xi = detAi detA , 1/6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ai − ma trận A với cột i bị thay cột số hạng tự b Phương pháp loại biến Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính: Thí dụ cho hệ a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a15 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a25 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = a35 (1) a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = a45 }}} Giả sử phần tử a11 ≠ Chia phương trình thứ cho a11, ta có x1 + b12x2 + b13x3 + b14x4 = b15, (2) với b1j = a1j a11 (j = 2,3,4,5) Dùng phương trình (2) để loại ẩn x1 khỏi phương trình số 2, 3, hệ (1): Muốn vậy, nhân phương trình (2) với a21,a31,a41 lấy phương trình số 2, 3, trừ tích tương ứng vừa nhận được, ta có ba phương trình: (1) (1) (1) a(1) 22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = a25 (1) (1) (1) a(1) 32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = a35 (1) (1) (1) a(1) 42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = a45 (3) }} a(1) ij = aij − ai1b1j(i = 2,3,4;j = 2,3,4,5) (4) Bây chia phương trình thứ hệ (3) cho phần tử a(1) 22 ta có: (1) (1) x2 + b(1) 23 x3 + b24 x4 = b25 , (5) 2/6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính b(1) 2j = a(1) 2j a(1) (j = 3,4,5) 22 Bằng cách tương tự loại x1, ta loại x2 khỏi phương trình thứ ba thứ tư, ta có: (2) (2) a(2) 33 x3 + a34 x4 = a35 (2) (2) a(2) 43 x3 + a44 x4 = a45 (6) } (1) (1) (1) a(2) ij = aij − ai2 b2j (i = 3,4;j = 3,4,5) (7) Chia phương trình thứ hệ (6) cho phần tử a(2) 33 , ta có: (2) x3 + b(2) 34 x4 = b35 , (8) b(2) 3j = a(2) 3j (j a(2) 33 = 4,5) Sau nhờ (8) ta loại x3 khỏi phương trình thứ hai hệ (6), nhận được: (3) a(3) 44 x4 = a45 (2) (2) (2) a(3) 4j = a4j − a43 b3j (j = 4,5) (9) Như ta đưa hệ (1) hệ tương đương có ma trận hệ số ma trận tam giác 3/6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính x1 + b12x2 + b13x3 + b14x4 = b15 (1) (1) x2 + b(1) 23 x3 + b24 x4 = b25 (2) x3 + b(2) 34 x4 = b35 (3) 44 (10) (3) 45 a x =a }}} Từ (10) xác định ẩn (3) x4 = a(3) 45 / a44 (2) x3 = b(2) 35 − x4b34 (1) (1) x2 = b(1) 25 − x4b24 − x3b23 (11) x1 = b15 − x4b14 − x3b13 − x2b12 }}} Vậy thủ tục giải hệ phương trình đại số tuyến tính bậc quy hai trình: a) Quá trình thuận: đưa hệ (1) dạng tam giác (10); b) Quá trình nghịch: tìm ẩn theo công thức (11) Nếu phần tử hệ không cần thay đổi chỗ phương trình hệ tương ứng để làm cho phần tử khác không Số phép tính số học N cần thực phương pháp Gauss N= 2n(n + 1)(n + 2) + n(n − 1) Vậy số phép tính số học xấp xỉ tỷ lệ với luỹ thừa bậc ba số ẩn Phương pháp bậc giải hệ phương trình đại số tuyến tính trường hợp ma trận A ma trận đối xứng Phương pháp thuận lợi trường hợp hệ phương trình A x = b (12) có ma trận A ma trận đối xứng, điều thường gặp toán kỹ thuật 4/6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Theo phương pháp ma trận A biểu diễn thành tích hai ma trận tam giác chuyển vị A = T'T (13) T= ( t11 t12 t1n t22 t2n 0 tnn )( ' ,{T = t11 t12 t22 t1n t2n tnn ) Nhân hai ma trận T' T cho tích ma trận A, ta suy cá công thức tính phần tử tij: t11 = √a11,t1j = a1j t11 (j > 1) tii = √aii − ∑ik −= 11 t2ki(1 < i ≤ n) tij = aij − ∑ik −= 11 tkitkj tii (14) (i < j) tij = 0khii > j Như ta thay hệ (12) hai hệ tương đương T' y = b, T x = y 15) hay t11y1 = b1 t12y1 + t22y2 = b2 (16) t1ny1 + t2ny2 + +tnnyn = bn }}} 5/6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính t11x1 + t12x2 + +t1nxn = y1 t22x2 + +t2nxn = y2 (17) tnnxn = yn }}} Từ suy công thức tính: y1 = b1 t11 ,yi = bi − ∑i − tkiyk k=1 (i tii > 1) (18) xn = yn tnn ,xi = yi − ∑n t x k = i + ik k tii (i < n) (19) Vậy trình thuận gồm tính phần tử ma trận T theo công thức (14) Quá trình nghịch tính ma trận cột y x theo công thức (18), (19) 6/6 ... t11y1 = b1 t12y1 + t22y2 = b2 (16) t1ny1 + t2ny2 + +tnnyn = bn }}} 5/6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính t11x1 + t12x2 + +t1nxn = y1 t22x2 + +t2nxn = y2 (17).. .Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ai − ma trận A với cột i bị thay cột số hạng tự b Phương pháp loại biến Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính: ... = 2, 3,4;j = 2, 3,4,5) (4) Bây chia phương trình thứ hệ (3) cho phần tử a(1) 22 ta có: (1) (1) x2 + b(1) 23 x3 + b24 x4 = b25 , (5) 2/ 6 Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến