Cuộc sống ngầm ẩn của tính toán đại số trong dạy học hàm số ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trịnh Duy Trọng Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HỒI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Chí Thành nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức thú vị didactic toán, cung cấp cho công cụ cần thiết hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn: - Tất bạn khóa, người làm quen, học tập nghiên cứu didactic tốn suốt khóa học - Ban giám hiệu thầy cô, đồng nghiệp Trường THPT Trường Chinh nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên để tơi hồn thành tốt khóa học - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi học tập, nghiên cứu suốt khóa học - Ban Giám hiệu thầy, cô tổ toán Trường THPT Nguyễn Hữu Cầu, Trường THPT Trường Chinh tạo điều kiện giúp đỡ tiến hành thực nghiệm Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình ln động viên nâng đỡ tơi mặt TRỊNH DUY TRỌNG DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thông TXĐ : Tập xác định [ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục [BT-ĐS10] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục [SGV-ĐS10] : Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục [GT12] : Đồn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục [BT-GT12] : Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục [SGV-GT12] : Đồn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục MỞ ĐẦU Những vấn đề đặt 1.1 Tính tốn đại số: hình thái hình thức hình thái hoạt động Thuật ngữ tính tốn đại số dùng để tính toán biểu thức đại số Trong viết Bước chuyển từ số học sang đại số giảng dạy toán học trường trung học sở , tác giả Yves CHEVALLARD cho thấy vai trò cách biểu diễn khác biểu thức đại số Chẳng hạn, nghiên cứu hàm số xác định biểu thức f(x) = x3  x  x : x2  5x   Việc phân tích mẫu số x2 – 5x + = (x – 2)(x – 3) (có thể thơng qua giải phương trình bậc hai tương ứng) cần thiết để xác định TXĐ hàm số x3  x  x x3  Bằng cách viết biểu thức f(x) dạng f(x) = ta xác định x2 giới hạn hàm số x tiến đến 2 2  Trong đó, biểu thức f(x) viết dạng f(x) = x + + 22 x  36 phù x2  5x  hợp với việc xác định tiệm cận xiên đồ thị hàm số  Nhưng để tìm ngun hàm hàm số dừng lại chưa đủ mà phải tiếp tục biến đổi 22 x  36 8 30 8 30 = để có f(x) = x + +   x  5x  x  x  x 2 x 3 Như vậy, dạng biểu diễn biểu thức f(x) sử dụng để nghiên cứu vấn đề khác hàm số xác định f(x) Sự lựa chọn dạng biểu diễn phù hợp tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu vấn đề hàm số Các tính tốn đại số sử dụng để đưa biểu thức f(x) dạng xem phù hợp Lựa chọn tính tốn đại số cần thực hoàn toàn yêu cầu nội Le passage de l’arithmétique l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit X, no19 nhiệm vụ giải quy định yêu cầu, dẫn cho trước Tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề này, Chevallard đề cập đến hai mặt hình thức hoạt động (hình thái hình thức hình thái hoạt động) tính tốn đại số Tác giả phân biệt khác hai hình thái sau: Tính tốn hình thức tính tốn mà học sinh thực cách bình thường để đáp ứng dẫn, yêu cầu cổ điển tính tốn thực phép tính, rút gọn, phân tích thành nhân tử, khai triển, … Đó thao tác biến đổi biểu thức đại số khơng nhằm mục đích ngồi việc tính toán đại số Tác giả đưa số ví dụ phân tích sau để làm rõ quan điểm mình: “Tính biểu thức: (2a + 1) + (2a + 3)” Câu trả lời mong đợi câu trả lời nảy sinh qua giảng dạy, tạo thành từ kết sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + Một dấu hiệu hình thức tiêu chí để kết thúc phép tính: coi tính tốn trọn vẹn nhận biểu thức 4a + 4? Tại người ta không thực tiếp để viết sau: (2a + 1) + (2a + 3) = … = 4a + = 4(a + 1) Trong trường hợp dạng kết tính tốn khơng đáp ứng u cầu ngồi tính tốn, với tư cách tính tốn hình thức, việc kết thúc xác định mà người ta gọi “quy tắc hướng dẫn tính tốn đại số” (quy tắc mà không xem xét động lực nguồn gốc nó) thuyết phục 4a + dạng “đẹp” số tất dạng Nhiều thay đổi tính tốn xuất “hoạt động” (fonctionnel), tức xuất thời điểm lời giải tốn mà u cầu khơng đơn tính toán Chẳng hạn, xét toán “Chứng minh rằng: tổng số nguyên lẻ liên tiếp bội 4” Thực thao tác biến đổi, tính toán đại số biểu thức (2a + 1) + (2a + 3) mang lại câu trả lời cho câu hỏi Nhưng đây, việc kết thúc tính tốn điểm xác định tốn mà người ta cố gắng giải quyết, nằm ngồi việc tính tốn Dạng 4a + khơng xem dạng tối ưu mà dạng 4(a + 1) hợp thức Như vậy, mặt “hoạt động” tính tốn đại số việc sử dụng cơng cụ để giải tốn cho phép mang lại nghĩa tính tốn đại số 1.2 Tính tốn đại số trường phổ thơng: khó khăn học sinh Theo tài liệu “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, công bố Pháp, bước chuyển từ tính tốn số sang tính tốn đại số thực cách mạng Việc xác định đại lượng chưa biết, thay đổi, chưa xác định chữ đưa chữ vào tính toán tương tự đại lượng biết làm tăng khả tính tốn Phương pháp đại số buộc học sinh phải xem lại cách sâu sắc chiến lược tính tốn chúng Trong số học, phát triển từ biết đến chưa biết cách tạo kết trung gian Trong đại số, phải thiết lập mối liên hệ biết chưa biết, sau tính tốn mối liên hệ đến nhận kết cần tìm Chính đảo ngược tư tưởng khiến việc giảng dạy thường gặp phải khó khăn Bên cạnh đó, cách thức điều khiển tính tốn thay đổi Nếu tính tốn số nhắm đến việc tìm giá trị số biểu thức số, tính tốn đại số lại nhắm đến kết tổng quát cho tất biểu thức đạt cách gán giá trị cụ thể cho chữ có mặt biểu thức Trong trường hợp này, tính thỏa đáng kết nhiệm vụ cần giải quy định, tính tốn khơng phải mục đích mà cơng cụ Nói cách khác, tính tốn đại số điều khiển ý nghĩa tình Sức mạnh thể khả khỏi nghĩa “bên ngoài” biến đổi thực quy tắc rõ ràng Điều tạo điều khiển tính tốn khác, làm tác động đến nghĩa bên biểu thức Tuy nhiên, phần lớn tính tốn này, đặc biệt tính tốn gắn liền với vấn đề tìm nghiệm phương trình, bất phương trình nhanh chóng algorith hóa, chí tự động hóa Việc thiếu kiểm sốt nghĩa tính tốn đại số khiến cho nghĩa bị che dấu Ấy mà khả thực tính tốn đại số mối liên hệ lại địi hỏi kiểm sốt nghĩa tính tốn thao tác, nhận biết dạng chúng (phân tích thành nhân tử, khai triển, đưa dạng tắc hay đẳng thức đáng nhớ, …) Mỗi dạng mang thông tin đặc thù đối tượng mà xác định, gần hay xa với lời giải cần tìm Theo Chevallard, nhiều sai lầm tái diễn học sinh khó khăn mà họ gặp phải chiếm lĩnh tính tốn 1.3 Tính tốn đại số hàm số: câu hỏi nghiên cứu Ta biết có bốn cách để biểu thị hàm số: lời, bảng, đồ thị biểu thức giải tích Hai cách biểu diễn có từ thuở ban đầu lịch sử toán học, người ta quan tâm đến phụ thuộc lẫn đại lượng biến thiên Nhưng cách biểu diễn cuối mang lại nhiều thuận lợi cho việc nghiên cứu hàm số Trong lịch sử tốn học, xuất sau hệ thống ký hiệu đại số đời Sự hình thành nên hệ thống ký hiệu giúp cho việc giải vấn đề toán học trở nên dễ dàng nhiều so với việc sử dụng hệ thống biểu đạt tồn trước Sức mạnh hệ thống biểu đạt đại số khiến Descartes Fermat tìm cách “du nhập” vào hình học từ xây dựng nên ngành Hình học giải tích Cũng nhờ hệ thống biểu đạt mà Giải tích – ngành tốn học có hàm số đối tượng nghiên cứu – phát triển nhanh chóng Như vậy, nghiên cứu hàm số qua biểu thức giải tích biểu diễn phương pháp mang lại nhiều hiệu Có lẽ ngun nhân khiến cho Việt Nam lựa chọn truyền thống chương trình ưu tiên xem xét hàm số biểu diễn biểu thức giải tích Nghiên cứu hàm số biểu diễn dạng bắt buộc người ta phải thao tác biểu thức, phải thực tính tốn đại số Thế nhưng, Chevallard nói, việc tính tốn thường algorit hóa dẫn đến chỗ nhiều học sinh không hiểu nghĩa tính tốn đại số, mà hậu họ khơng biết khai thác tính toán để giải vấn đề theo cách thức tối ưu Khi nghiên cứu vị trí, vai trị tính tốn đại số chương trình Tốn THPT Pháp, tác giả Claude RIQUET (2004) khóa luận “Mặt hoạt động tính tốn đại số lớp 10” rằng: “Tính tốn số tính tốn đại số khơng hệ thống thành chương mà tìm thấy qua nhiều chương khác Đặc biệt, trình bày mối Un aspect fonctionnel du calcul algebrique en classe de 2nde quan hệ hẹp với việc nghiên cứu hàm số Giống hình học, hoạt động tính tốn phải hội để phát triển suy luận chứng minh” Những phân tích hướng quan tâm chúng tơi đến đề tài Cuộc sống tính toán đại số dạy học hàm số Trung học phổ thơng Và, nghĩa tính toán đại số thường bị che dấu, nên để rõ hơn, xác định đề tài nghiên cứu Cuộc sống ngầm ẩn tính tốn đại số dạy học hàm số Trung học phổ thông Những câu hỏi mà tự đặt cho là: – Tính tốn đại số diện thực tế dạy học trường phổ thơng Việt Nam? – Các tính tốn đại số sử dụng việc nghiên cứu hàm số? Nghĩa tính tốn đại số có thể thông qua việc nghiên cứu hàm số hay không? Phạm vi lý thuyết tham chiếu Chúng đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, cụ thể “Lý thuyết nhân chủng học” khái niệm “Hợp đồng didactic” Sau đây, chúng tơi trình bày sơ lược số khái niệm “Lý thuyết nhân chủng học” khái niệm “Hợp đồng didactic” Đồng thời, cố gắng làm rõ tính thỏa đáng lựa chọn 2.1 Lý thuyết nhân chủng học  Quan hệ cá nhân Một đối tượng O tồn cá nhân X Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng O, R(X, O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … R(X, O) rõ cách thức mà X biết O Một người cá nhân, thời điểm xác định lịch sử nó, tập hợp mối quan hệ cá nhân với đối tượng mà biết Dưới quan điểm này, học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Sự học tập làm thay đổi người Những khái niệm trình bày sách song ngữ Việt – Pháp “Những yếu tố Didactic toán” tác giả Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến  Quan hệ thể chế Một cá nhân X khơng thể tồn lơ lửng mà ln ln phải thể chế I Từ suy việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X, O) phải đặt thể chế I có tồn X Hơn thế, I O phải có quan hệ xác định Đối tượng O tồn độc lập thể chế Nói cách khác, O sống mối quan hệ chằng chịt với đối tượng khác O sinh ra, tồn phát triển mối quan hệ Theo cách tiếp cận sinh thái (écologie) O phát triển có lý tồn (raison d’être), ni dưỡng quan hệ, ràng buộc Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trị I, … Phân tích sinh thái phân tích nhằm làm rõ quan hệ R(I, O) Hiển nhiên, thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R (I, O) Một câu hỏi đặt làm để vạch rõ quan hệ thể chế R(I, O) quan hệ cá nhân R(X, O)? Lý thuyết nhân chủng học cung cấp cho cơng cụ để thực cơng việc  Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm mà Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chavallard, praxeologie gồm thành phần [T,  ,  ,  ], đó: T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T,  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật  ,  lí thuyết giải thích cho  , nghĩa công nghệ công nghệ  Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique) Theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tiến hành thông qua việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O: “Mối quan hệ thể chế với đối tượng […] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định” Hơn thế, theo Bosch M Chevallard Y, việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cịn cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X (tồn I) với O, vì: “Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Như vậy, với công cụ Lý thuyết nhân chủng học chúng tơi phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Toán Việt Nam với đối tượng tính tốn đại số, đối tượng hàm số hai đối tượng có quan hệ, ràng buộc nào; đồng thời, tìm hiểu rõ mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng nêu Điều cho phép trả lời câu hỏi ban đầu mà đặt 2.2 Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng dạy – học mơ hình hóa quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng Nó tập hợp quy tắc (thường không phát biểu tường minh) phân chia hạn chế trách nhiệm thành viên, học sinh giáo viên, tri thức giảng dạy” toán học giảng dạy Hợp đồng chi phối quan hệ thầy trò kế hoạch, mục tiêu, định, hoạt động đánh giá sư phạm Chính hợp đồng lúc vị trí tương hỗ đối tác nhiệm vụ phải hoàn thành rõ ý nghĩa sâu sắc hoạt động tiến hành, phát biểu lời giải thích Nó quy tắc giải mã cho hoạt động sư phạm mà học tập nhà trường phải trải qua Để thấy hiệu ứng hợp đồng didactic, người ta tiến hành sau:  Tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) tình khác lạ gọi tình phá vỡ hợp đồng cách: Câu Việc chuyển từ vấn đề thực tế sống thành vấn đề toán học giải vấn đề toán học quen thuộc không dễ dàng học sinh Chính vậy, kết thu từ câu khơng nằm ngồi dự đốn chúng tơi Học sinh thực gặp nhiều khó khăn việc tự thành lập biểu thức đại số thực tính tốn đại số biểu thức đại số (cũng thành lập hàm số chọn lựa vấn đề hàm số để nghiên cứu) Chỉ có 22/124 học sinh thành cơng giải nhiệm vụ giao câu – thành lập hàm số chọn vấn đề cần nghiên cứu tìm giá trị lớn hàm số để suy giá bán sản phẩm Qua làm học sinh cho thấy, có nhiều học sinh biết số sản phẩm bán, lý theo x (giá sản phẩm tăng lên x triệu) biết phải lập biểu thức, hàm số biểu thị tổng số tiền thu thất bại lập biểu thức, hàm số (mặc dù tiến hành thực nghiệm chúng tơi nói rõ tổng số tiền thu tổng số tiền bán lý sẩm phẩm) Điều cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc tự thực tính tốn đại số: 10 cộng x giá bán sản phẩm; 10 + x nhân với số sản phẩm bán số tiền bán sản phẩm; số tiền bán sản phẩm ((1000 – 100x)(10 + x)) cộng với số tiền lý sản phẩm không bán (4.100x) tổng số tiền thu Như trường hợp H11N2, sau tìm số sản phẩm bán số sản phẩm lý 1000 – 100x 100x, H11N2 làm sau: Gọi giá tiền sản phẩm 10 + m Tổng lợi nhuận: 100m(10 + m) + (1000 – 100m)40m = 100m + 100m2 + 40000m – 4000m2 = 4100m2 + 41000m Gọi f(m) = 4100m2 + 41000m f’(m) = 4100m + 41000 f’(m) =  m = – Bài làm cho thấy, H11N2 hiểu tốn biết cần phải làm để giải toán Tuy biết sử dụng x để tìm 100x, 1000 – 100x H111N2 lại khơng tính giá bán sản phẩm theo x mà lại tính theo m Sau đó, tính tổng lợi nhuận, H11N2 lại thể rõ khó khăn, sai lầm việc sử dụng tính toán đại số H11N2 lấy giá bán sản phẩm nhân với số sản phẩm lý (tính theo m 100m), số sản phẩm bán lại nhân với số tiền lý sản phẩm (theo cách tính H11N2 40m) Chính khó khăn, sai lầm làm cho H11N2 thất bại việc lập hàm số tìm giá bán sản phẩm H11N2 xác định vấn đề tìm giá trị lớn hàm số (khảo sát biến thiên) Xét làm học sinh H17N2 H33N2 cho thấy học sinh tìm số sản phẩm lý bán 100x 1000 – 100x Nhưng H11N2, H17N2 khơng tính giá bán sản phẩm theo x mà gọi m số tiền phải bán thiết lập biểu thức: y = (1000 – 100x)m + 400x Như vậy, gọi giá bán sản phẩm m số sản phẩm bán số sản phẩm lý tính theo x Và hai ẩn m, x lúc xuất làm cho H17N2 thực ý định tiếp tục giải toán (trong giấy nháp H17N2 tiến hành nhân phân phối m với 1000 – 100x) Trường hợp H10N5 lại dạng sai lầm khác H10N5 tính số sản phẩm lý bán theo x 100x 1000 – 100x học sinh H10N5 tính tổng số tiền thu sau: Tổng số tiền công ty thu tăng giá lên x triệu: (1000 – 100x)10 + 100x.4 = 10000 – 100x – 400x = 10000 – 600x Ở đây, H10N5 biết tăng giá sản phẩm lên x triệu số sản phẩm bán 1000 – 100x số sản phẩm phải lý 100x tính tổng số tiền thu H10N5 lại khơng tính giá sản phẩm bán theo x mà sử dụng giá bán 10 triệu Việc tự tính giá sản phẩm theo x khó khăn H10N5? Khơng giống học sinh trên, H26N5 tính giá bán sản phẩm theo x 10 + x Nhưng tính tổng số tiền thu được, H26N5 tính số tiền bán 1000 – 100x sản phẩm mà không cộng số tiền lý sản phẩm (điều nhắc nhiều lần thực nghiệm) Ta có: 10 + x số tiền tăng lên x triệu (10 + x)(1000 – 100x) = 10000 – 1000x + 1000x – 100x2 = – 100x2 + 10000 Đặt f(x) = – 100x2 + 10000 y’ = – 200x y’ =  x = x  y’  + - 10000 y   Vậy phải bán 10 triệu thu nhiều Ngồi khó khăn, sai lầm học sinh phân tích trên, cịn nhiều học sinh tính số sản phẩm phải lý số sản phẩm bán theo x 100x 1000 – 100x họ lại không thiết lập biểu thức, hàm số tính tổng số tiền thu theo x Phải khó khăn, sai lầm phân tích (trong việc tự tính giá bán sản phẩm theo x tính số tiền bán sản phẩm lý sản phẩm khơng bán để tính tổng số tiền thu theo x) làm cho học sinh giải nhiệm vụ giao? Trong số 22 học sinh giải nhiệm vụ đề – tìm giá bán sản phẩm, có đến 18 học sinh sử dụng cơng cụ đạo hàm để tìm giá trị lớn hàm số biểu thị tổng số tiền thu Chỉ có học sinh sử dụng tính tốn đại số việc biến đổi, đánh giá f(x) để tìm giá trị lớn hàm số Điều cho thấy ảnh hưởng mạnh mẽ công cụ đạo hàm, đồng thời thể vai trị mờ nhạt tính tốn đại số việc giải nhiệm vụ đề  Kết luận từ kết thực nghiệm pha 1: Những kết thu từ pha thực nghiệm cho phép chúng tơi khẳng định tính đắn giả thuyết nghiên cứu H Cụ thể, kết thu từ pha thực nghiệm cho thấy: Học sinh gặp nhiều khó khăn việc chọn lựa thực tính tốn đại số cho phù hợp với nhiệm vụ đề Những khó khăn tồn học sinh có kỹ thực tính tốn đại số tốt Hệ việc là, nghiên cứu vấn đề hàm số cho biểu thức f(x), học sinh thực theo thuật tốn học sử dụng trực tiếp (xem xét, biến đổi, phân tích đánh giá, …) biểu thức f(x) để giải nhiệm vụ đề Khi nghiên cứu vấn đề hàm số xác định biểu thức f(x), nhiều học sinh không quan tâm tới việc xem xét, biến đổi f(x) cho phù hợp, thuận lợi cho vấn đề cần giải Việc chuyển vấn đề thực tế thành vấn đề toán học giải tốn học thực khó khăn học sinh Một nguyên nhân hạn chế khả sử dụng tính tốn đại số hình thái hoạt động học sinh 3.5.1.2 PHA Bảng 3.3: Thống kê kết pha thực nghiệm CÂU CHIẾN LƯỢC SK CÂU CÂU SBĐ SỐ NHĨM Trả lời Khơng trả lời SBĐ.q SBĐ.qr 23 SK  SBĐ Xét f(x) – g(x) > 13 (4 không thành công) Xét minf maxg (7 không thành công) Khác (2 không thành công) 0 Trong pha 2, lớp thực nghiệm chúng tơi chia thành nhóm (mỗi nhóm – học sinh) Tổng số 23 nhóm Qua bảng thống kê kết pha 2, thấy khó khăn học sinh gặp phải giải câu pha khắc phục hồn tồn tất 23 nhóm giải thành công yêu cầu đặt câu chiến lược SBĐ.qr Như vậy, học sinh thấy vai trị tính tốn đại số cần thiết việc biến đổi biểu thức P(x) trước tính giá trị Tuy nhiên, khó khăn học sinh gặp phải giải câu pha (thực theo SBĐ) thể pha nhóm giải câu Nếu giá trị lớn hàm số f lớn giá trị nhỏ hàm số g (trên ) đồ thị hàm số f ln nằm đồ thị hàm số g Chính vậy, có đến nhóm tìm giá trị nhỏ hàm số g (mặc dù chọn hàm số g hàm quen thuộc khơng có giá trị lớn – hàm số bậc ba) Những nhóm cho thấy khó khăn họ việc chuyển vấn đề nghiên cứu hàm số vấn đề tính tốn đại số Trong 13 nhóm so sánh f(x) g(x) có tới nhóm trước thất bại việc chứng minh g(x) < Trong 13 nhóm biết cách chuyển từ việc nghiên cứu vấn đề hàm số thành vấn đề tính tốn đại số có nhóm khơng thành cơng việc chọn lựa thực tính tốn đại số cho phù hợp tìm kết tốn Những khó khăn thể rõ giấy nháp nhóm 1, nhóm N2: Nhóm N2: Cm: x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + > – x3 – x2 – x +  x4 – x3 + 3x2 – x + > x4 + 3x2 + > x3 + x (x + 1)(x + 2) > x(x2 + 1) Hay f(x) – g(x) = x4 – x3 + 3x2 – x + = x4 – x3 + 2x2 + x2 – 2x + – + x = x4 – x3 + 2x2 + x – + x + Hay x4 – x3 + 2x2 + x – + (x – 2)2 x2(x2 – 2) – x3 + x – + (x – 2)2 x2((x – 2)2 + 4x) – x3 + 3x + (x – 2)2 x2(x – 2)2 + 4x3 – x3 + 3x + (x – 2)2 Những khó khăn nhóm thừa nhận pha Nhóm N2: x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + > – x3 – x2 – x + x4 – x3 + 3x2 – x + >   (x2 – 1)(x2 – x + x4 – 2x3 – x2 Hay x4 – x3 + 3x2 – x + = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2) x4 + x2 – 2x3 – 2x + x2 x4 + 2x2 – 2x3 – 4x + x2 + Hay x4 – x3 + 3x2 – x + = (x2 – 2x + 1)(x2 + x + 1) x4 + x3 – 2x3 – 2x2 + x2 + x – x3 – x2 + x Như vậy, việc đánh giá f(x) – g(x) > tính tốn đại số thực khó khăn nhóm Ngồi ra, ngồi nháp, số nhóm xét f(x) – g(x) dường như, khó khăn việc chọn lựa thực tính toán đại số dẫn đến kết thảo luận nhóm so sánh giá trị lớn hàm số với giá trị nhỏ hàm số Chẳng hạn, hai nhóm 4C 4N5 nháp có trình bày: x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + > – x3 – x2 – x +  x4 – x3 + 3x2 – x + > Một lần nữa, kết thực nghiệm cho phép thêm phần khẳng định tính đắn giả thuyết H đưa Cũng kết cho thấy, mục đích chúng tơi tiến hành pha thực nghiệm đạt Trong câu 4, tất nhóm nhận thấy cần thiết tính toán đại số việc biến đổi P(x) trước tính giá trị giá trị x Trong câu 5, có tới 10 nhóm thành cơng việc chọn lựa thực tính tốn đại số để tìm kết tốn Đặc biệt, tính tốn đại số nhóm chọn lựa thực theo nhiều cách khác Xét làm số nhóm: Nhóm 4N2: f(x) – g(x) >  x4 – x3 + 3x2 – x + >  x2(x2 – 2x + 1) + 2x2 + x3 – x + >  x2(x – 1)2 + x(x2 – 2x + 1) + 4x2 – 2x + >  x2(x – 1)2 + x(x – 1)2 + (x2 – 2x + 1) + 3x2 + >  (x – 1)2(x2 + x + 1) + 3x2 + >  (x – 1)2[ (x + ) + ] + 3x2 + > Nhóm 6N2: f(x) – g(x) >  x4 – x3 + 3x2 – x + >  (x2 + 1)(x2 – x + 2) > Xét dấu x2 – x + = g(x)  = – < 0; a >  g(x) > x  Nhóm 2N5: f(x) – g(x) > x   x4 – x3 + 3x2 – x + > x   (x2)2 – 2x2 x +  x (x – )2 + 2  11x  11x 21   + + > x    –  2 11 11 11      x (x – )2 +  11x  21  > x    + 11 11   2 2 x 11x + – x + > x  4 2 Nhóm 3N5: f(x) – g(x) >  x4 – x3 + 3x2 – x + >  x2(x2 – x + 1) + (x2 – x + 1) + x2 + > Vì: x2 – x + > x  x2+ > x  Nên: f(x) – g(x) > x  Nhóm thực thành cơng theo chiến lược khác 5H5 Bài làm nhóm 5H5: Phương trình hồnh giao điểm (C) (C’): x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + = – x3 – x2 – x +  x4 – x3 + 3x2 – x + =  (x2 – x + 2)(x2 + 1) =   x  x   VN  VN x 1   (C) (C’) khơng có giao điểm  (C) nằm nằm (C’) Chọn giá trị x bất kì, ví dụ: x = f(1) = g(1) =  f(1) > g(1)  (C) nằm (C’) Như vậy, nhóm 5H5 sử dụng kỹ thuật thường gặp xét tương giao hai đồ thị sử dụng phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị Tuy nhiên, tính tốn đại số thể rõ vai trị giải nhóm 5H5 Qua đó, nhóm 5H5 thể khả lựa chọn thực tính tốn q trình chứng minh phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’) vơ nghiệm Trong 13 nhóm khơng tìm kết câu phần lớn khó khăn, sai lầm việc chuyển từ vấn đề đồ thị hàm số sang vấn đề tính tốn đại số  Kết luận từ kết thực nghiệm pha 2: Kết thu từ pha thực nghiệm cho thấy, chúng tơi phần đạt mục đích đề Cụ thể, việc phân tích kết thực nghiệm rằng: Nhiều học sinh thể khó khăn phải thực tính tốn đại số hình thái hoạt động Tuy nhiên, làm việc nhóm giúp cho nhiều học sinh khắc phục khó khăn gặp phải pha Cũng việc trao đổi, thảo luận nhóm giúp cho nhóm nhận cần thiết phải xem xét, biến đổi biểu thức f(x) cho phù hợp với vấn đề giải Ngoài ra, làm việc theo nhóm giúp cho việc chọn lựa thực tính tốn đại số hiệu Chúng tơi tạo tình mà việc giải giúp cho học sinh phần nhận thấy nghĩa tính tốn đại số 3.5.1.3 PHA 3: Thơng qua phần trình bày kết làm việc nhóm cho thấy, học sinh hiểu thêm nghĩa tính tốn đại số Cụ thể: Trích phần làm việc tập thể N2: Giáo viên: Đại diện nhóm trình bày xem nhóm giải câu nào? Nhóm 7: Rút gọn biểu thức P(x), sau ta giá trị x vào Giáo viên: Tại nhóm lại phải làm vậy? Nhóm 7: Lúc biểu thức gọn dễ tính Giáo viên: Cơng việc tối ưu chưa? Cả lớp: Đồng ý … Giáo viên: Nhóm trình bày kết câu Nhóm 8: Xét x, f(x) > g(x) (C) nằm (C’) Giáo viên: Đó ý tưởng, cịn nhóm cụ thể hóa ý tưởng nào? Nhóm 8: Nhóm đưa f(x) – g(x) dạng tích Xét x0, (x0 + 1)2  ( x02 - x + 2) > nên f(x0) > g(x0) … Giáo viên: Nhóm giải thích lại dừng x4 – x3 + 3x2 – x + > 0? Nhóm 1: Hồi nhóm phân tích biểu thức thành nhân tử giống bạn bị bế tắc Trích phần làm việc tập thể N5: Giáo viên: Các nhóm nhận xét nhóm khác có làm giống nhóm khơng? Giáo viên: Cách tính nhóm câu giống Đại diện nhóm lên nói cách tính nhóm Nhóm 1: Ta phân tích vế sau x2  x  x2  3x  thành nhân tử ta có: ( x  1)( x  2) rút gọn x – 2, có mẫu chung x – Quy đồng, sau ta ( x  1)( x  2) x + Thế giá trị vào tính Giáo viên: Như vậy, bạn thực việc biến đổi P(x) trước Mục đích biến đổi P(x) nhóm để làm gì? Nhóm 1: Để đơn giản dễ tính Giáo viên: Như vậy, nhóm biến đổi P(x) đơn giản thay x vào Các nhóm khác có làm giống nhóm Cả lớp: Có Giáo viên: Như vậy, làm việc với biểu thức P(x), quan tâm đến P(x) nhiều cơng việc đỡ vất vả … Giáo viên: Nhóm trình bày kết câu Nhóm 2: Để chứng minh (C) nằm (C’) f(x) > g(x) Giáo viên: Như vậy, nhóm chuyển từ toán đồ thị hàm số thành toán chứng minh f(x)> g(x) Cụ thể nhóm chứng minh nào? Nhóm 2: biến đổi đưa f(x) – g(x) thành dạng tổng bình phương công với số dương 3.5.2 Kết luận phần thực nghiệm Chúng tơi tóm lược kết thu từ thực nghiệm sau: Học sinh gặp nhiều khó khăn việc sử dụng tính tốn đại số hình thái hoạt động, khó khăn tồn học sinh có kỹ thực tính tốn đại số tốt (ở hình thái hình thức) Hệ là, nghiên cứu vấn đề hàm số xác định biểu thức f(x), nhiều học sinh không quan tâm tới việc xem xét, biến đổi f(x) dạng phù hợp, thuận lợi cho việc giải nhiệm vụ giao Nói cách khác, kết thực nghiệm khẳng định tính đắn giả thuyết H mà nêu phần luận văn Các toán xây dựng thực nghiệm với cách thức tổ chức thực nghiệm đặt học sinh vào tình khiến họ bộc lộ khó khăn việc sử dụng tính tốn đại số hình thái hoạt động Những khó khăn cản trở họ giải thành công nhiệm vụ giao như: nghiên cứu vấn đề hàm số, chuyển vấn đề thực tế thành vấn đề toán học giải tốn học, … Qua đó, họ nhận vai trị quan trọng tính tốn đại số việc giải vấn đề toán học nói chung nghiên cứu hàm số nói riêng Từ đó, họ nhận thấy nghĩa tính tốn đại số KẾT LUẬN Kết nghiên cứu luận văn cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đặt phần đầu, qua phần làm rõ “Cuộc sống ngầm ẩn tính toán đại số dạy học hàm số THPT” Cụ thể, kết luận văn là:  Khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với tính tốn đại số chúng tơi nhận thấy: Ở cấp THCS, tính tốn đại số giới thiệu tương đối đầy đủ Nó đề cập đến hai hình thái phân biệt Chevallard: hình thái hình thức hình thái hoạt động Nhưng, yêu cầu chủ yếu chương trình học sinh biết thực tính tốn đại số hình thức Hình thái hoạt động tính tốn đại số dường có mặt nghiên cứu vấn đề giải phương trình việc giải tốn có nội dung thực tế Hầu tính tốn đại số khơng khai thác nghiên cứu hàm số cấp học  Khi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với hàm số cấp THPT nhận thấy: + Từ sử dụng phương pháp sơ cấp đến phương pháp cao cấp (sử dụng công cụ đạo hàm) để nghiên cứu vấn đề hàm số, tính tốn đại số ln thể vai trị quan trọng (mặc dù thể chế khơng cho thấy mối liên hệ tính tốn đại số nghiên cứu hàm số mục tiêu, yêu cầu mình) Bằng cách chọn lựa thực tính tốn đại số cách thích hợp (tùy thuộc vào nội toán), vấn đề hàm số giải chí giải nhanh hơn, thuận tiện + Nói cách khác, tính tốn đại số sử dụng hình thái hoạt động Chính việc nghiên cứu vấn đề hàm số mang lại nghĩa cho tính tốn đại số  Tuy nhiên, kết từ phần thực nghiệm rằng: Việc sử dụng tính tốn đại số hình thái hoạt động việc giải vấn đề toán học nói chung nghiên cứu hàm số nói riêng không dễ dàng nhiều học sinh Ngay học sinh có kỹ thực tính tốn đại số tốt (ở hình thái hình thức) gặp nhiều khó khăn việc chọn lựa (khai triển hay rút gọn hay phân tích thành nhân tử, ) thực (khai triển, rút gọn, phân tích thành nhân tử, … nào) tính tốn đại số cho phù hợp với nhiệm vụ cần giải  Kết phân tích thể chế phân tích thực nghiệm cho thấy: việc giải nhiệm vụ ngồi tốn học cơng cụ toán học toán mà nội dung mang tính thực tế, … hội tốt để học sinh nhận nghĩa tri thức tốn học nói chung tính tốn đại số nói riêng Tuy nhiên, toán chưa thực quan tâm mực Chúng thấy, thực cần thiết có nghiên cứu sâu hơn, đầy đủ việc sử dụng toán học, mà cụ thể tính tốn đại số để giải vấn đề ngồi tốn học Đó hướng nghiên cứu lý thú mở từ luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bộ giáo dục đào tạo (2007), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 11 mơn Tốn”, NXB giáo dục Đồn Quỳnh (2006), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thơng mơn Tốn”, NXB giáo dục Đoàn Quỳnh (2006), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thơng mơn Tốn”, NXB giáo dục Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục Đồn Quỳnh (2008), “Đại số Giải tích 11 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số Giải tích 11 Nâng cao”, NXB giáo dục Đồn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục Đồn Quỳnh (2008), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục 10 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), “Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy học tốn: Đồ án didactic mơi trường máy tính bỏ túi”, Luận văn Thạc sĩ 11 Nguyễn Bá Kim (1994), “Phương pháp dạy học mơn Tốn” (những vấn đề cụ thể), NXB giáo dục 12 Nguyễn Bá Kim (1994), “Phương pháp dạy học mơn Tốn” (phần đại cương), NXB giáo dục 13 Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục 14 Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Đại số Giải tích 11 Nâng cao”, NXB giáo dục 15 Nguyễn Huy Đoan (2008), “Bài tập Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục 16 Nguyễn Thành Long (2004), “Nghiên cứu didactic khái niệm giới hạn dạy học toán trường trung học phổ thông”, Luận văn Thạc sĩ 17 Nguyễn Thế Thạch (2008), “Hướng dẫn thực chương trình, sách giáo khoa lớp 12 mơn Tốn”, NXB giáo dục 18 Nguyễn Thế Thạch (2008), “Hướng dẫn thực chương trình, sách giáo khoa lớp 12 mơn Tốn”, NXB giáo dục 19 Nguyễn Thị Nga (2003), “Dạy học hàm số trường phổ thông – Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm”, Luận văn tốt nghiệp đại học 20 Nguyễn Thị Nga (2007), “Nghiên cứu đồ án didactic dạy học khái niệm hàm số tuần hoàn”, Luận văn thạc sĩ 21 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 22 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 23 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 1”, NXB giáo dục 24 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 2”, NXB giáo dục 25 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 26 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 27 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 1”, NXB giáo dục 28 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 2”, NXB giáo dục 29 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 30 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 31 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 1”, NXB giáo dục 32 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 2”, NXB giáo dục 33 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 34 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 35 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 1”, NXB giáo dục 36 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 2”, NXB giáo dục 37 Trần Anh Dũng (2005), “Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận didactic”, Luận văn Thạc sĩ Tiếng Pháp Chevallard Y (1987), “La dialectique entre études locales et théorisation: Le cas de l’algèbre dans l’enseignement du second degré”, Didactique et acquisition des connaissances scientifiques, Actes du colloque de Sèvres, pp 305-323, éd La pensé sauvage Riquet C (2004), Un aspect fonctionnel du calcul algébrique en classe de 2nde, Mémoire professionnel de mathématiques “Commission de réflexion sur l’enseignement des mathématiques”, rapport d’étape sur le calcul, Grenoble Poursuivre le calcul algébrique, IREM de RENNES (1998) Chevallard Y (1989), Le passage de l’arithmétique l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au collège, Petit x, n0 19, pp 43-72 ... nghĩa tính tốn đại số thường bị che dấu, nên để rõ hơn, xác định đề tài nghiên cứu Cuộc sống ngầm ẩn tính tốn đại số dạy học hàm số Trung học phổ thông Những câu hỏi mà tự đặt cho là: – Tính tốn đại. .. 2: TÍNH TỐN ĐẠI SỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 2.1 Mở đầu Trong chương này, mục đích chúng tơi làm rõ mối quan hệ thể chế với hàm số, qua tìm hiểu tác động hình thái hoạt động tính. .. chủ thể hệ thống dạy học điều cần thiết Phần 1: HÀM SỐ VÀ TÍNH TOÁN ĐẠI SỐ: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Chương 1: HÀM SỐ VÀ TÍNH TỐN ĐẠI SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS 1.1 Tính tốn đại số THCS Chương trình