Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông

THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM Đinh Quốc Khánh HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Chun ngành: LL PPDH mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Lê Thị Hoài Châu Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồnh thành luận văn Tôi xin chân trọng cảm ơn PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi kiến thức thú vị didactic toán, cung cấp cho công cụ cần thiết hiệu để thực việc nghiên cửu Tôi xin chân thành cảm ơn: - Tất bạn khóa, người tơi làm quen, học tập ngiên cứu didactic toán suốt khóa học - Ban giám hiệu thầy cơ, đồng nghiệp trường THCS Nguyễn Gia Thiều quận Tân Bình trường Trung Học Thực Hành ĐHSP TPHCM nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ ln động viên để tơi hồn thành tốt khóa học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thân yêu gia đình ln động viên nâng đỡ mặt Đinh Quốc Khánh MỞ ĐẦU Do đặc tính biểu thị quan hệ biến thiên phụ thuộc lẫn đại lượng – quan hệ phổ biến phản ánh chất tượng khoa học sống, hàm số khơng xuất tốn học mà cịn sử dụng cơng cụ để giải vấn đề thực tiễn nhiều lĩnh vực khác vật lí, kinh tế, trắc địa, tin học, …Trong giáo trình, sách giáo khoa tốn, hàm số thường xuất trước hết với tư cách đối tượng nghiên cứu, sau với tư cách cơng cụ để giải nhiều tốn thuộc nội dung tốn học khác phương trình, bất phương trình, … Cũng vai trị quan trọng mà hàm số chủ đề xuyên suốt chương trình mơn tốn bậc trung học nhiều thập niên qua Chẳng hạn, chương trình hành, hàm số định nghĩa tường minh lớp 7, sau có mặt liên tục lớp 9, 10, 11 12 Cũng vai trị cơng cụ hàm số mà mục đích khơng thể khơng nói đến dạy học hàm số giúp học sinh thấy vai trị thực tế tập cho họ khả sử dụng vào giải vấn đề thực tế Điều hoàn toàn phù hợp với mục tiêu dạy học tốn nhà soạn thảo chương trình trường phổ thông khẳng định: “Mục tiêu xây dựng chương trình cần đạt ý nghĩa, ứng dụng kiến thức Toán học vào đời sống, vào việc phục vụ môn học khác Do cần tăng cường thực hành vận dụng, thực dạy học phải gắn với thực tiễn” (Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, Bộ Giáo dục Đào tạo, năm 2006, trang 7) Câu hỏi đặt cho : thực tế, việc dạy học hàm số đạt mục tiêu chưa ? nói cách khác, học sinh sử dụng kiến thức hàm số cung cấp để giải vấn đề thực tế hay không? Chúng ta biết hàm số biểu thị hệ thống biểu đạt khác Công thức đồ thị hai hệ thống biểu đạt Khi biết biểu thức xác định hàm số, ta dùng cơng cụ đại số - giải tích để nghiên cứu tính chất phác thảo đồ thị Ngược lại, nhìn vào đồ thị, ta đọc nhiều tính chất hàm số : chiều biến thiên khoảng, tính chẵn lẻ, tính tuần hồn, tính bị chặn, giá trị cực đại, cực tiểu, … Vấn đề thực tế nhiều người ta phải nghiên cứu tượng mà biểu thức xác định hàm số f(x) mơ tả tượng chưa ra, đồ thị khơng biết, biết có tập rời rạc hữu hạn đồ thị vài nét khái quát f(x) Muốn nghiên cứu tượng công cụ hàm số phải tìm biểu thức f(x) Trong nhiều trường hợp, khơng thể tìm hàm số f(x) người ta mong muốn tìm hàm số “xấp xỉ” với f(x), có tính chất f(x) dĩ nhiên có đồ thị trùng với đồ thị f(x) tập điểm rời rạc biết Có thể nói việc vào đồ thị để tìm cơng thức biểu thị hàm số, hay tìm biểu thức xấp xỉ với hàm số đó, bước cần phải thực ta muốn sử dụng kiến thức toán học hàm số để nghiên cứu tượng thực tế hay khoa học khác, đây, người ta thường chưa biết biểu thức xác định hàm số gắn liền với tượng cần nghiên cứu Với nhận xét này, giới hạn câu hỏi nêu dạng sau : học sinh có cung cấp kiến thức kỹ cần thiết để xác định hàm số xấp xỉ với hàm số cần tìm biết số hữu hạn điểm đồ thị nó, từ nghiên cứu vấn đề thực tiễn (hay khoa học khác) công cụ hàm số hay không ? Câu hỏi thúc đẩy chúng tơi thực đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Một lí quan trọng để đưa hàm số vào chương trình Tốn phổ thơng nằm cần thiết sống Do câu hỏi đặt thể chế dạy học hành đáp ứng đáp ứng với yêu cầu phát huy tính ứng dụng hàm số tình thực tiễn? Câu hỏi có liên quan đến vấn đề mơ hình hóa dạy học tốn nói chung dạy học hàm số nói riêng Một thực tế cho thấy sử dụng cơng cụ hàm số để giải tốn liên quan đến chuyển động vật, trước hết ta cần phải thiết lập biểu thức hàm số tương ứng với chuyển động vật Khi nghiên cứu toán thường xem xét số thời điểm định Do thơng tin mà nhận thường rời rạc, thông tin thường ghi lại dạng bảng hay dạng số điểm chúng xem đồ thị hàm số Điều dẫn đến câu hỏi liên quan đến trình chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số: Đứng trước thông tin cho dạng bảng hay số điểm thuộc đồ thị Học sinh có biết cách thiết lập biểu thức hàm số tương ứng hay không? Đồ thị mô tả chuyển động vật thường đa dạng phức tạp Do khn khổ luận văn chúng tơi tiến hành nghiên cứu chuyển động mà đồ thị chúng đường thẳng đường cong bậc hai Để làm điều trước hết chúng tơi phải tìm hiểu kĩ thuật chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số Toán học số lĩnh vực khác ngồi Tốn học, tiếp đến cần làm rõ vấn đề liên quan đến việc chuyển từ đồ thị sang biểu thức xác định hàm số chương trình sử dụng cho việc dạy học toán lớp 7, 10, nơi mà hai đối tượng hàm số bậc nhất, bậc hai xem xét Phân tích chương trình, sách giáo khoa (SGK) cho phép chúng tơi làm rõ lựa chọn chương trình, sách giáo khoa dạy học chủ đề hàm số nói chung, hàm số bậc bậc hai nói riêng Cụ thể hơn, chúng tơi muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi sau: Q1' Trong Toán học số lĩnh vực ngồi Tốn học q trình chuyển từ đồ thị sang biểu thức xác định hàm số thực nào? Mục đích gì? Q'2 Trong chương trình tốn hành yêu cầu chuyển từ đồ thị sang biểu thức xác định hàm số có đặt hàm số bậc nhất, bậc hai ? mục đích việc chuyển hệ thống biểu đạt gì? Với câu hỏi nói mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu trình chuyển từ đồ thị sang biểu thức xác định hàm số Toán học số lĩnh vực ngồi Tốn học thực nào? Mục đích gì? Tìm hiểu xem chương trình sách giáo khoa thực trình chuyển đổi sao, nhằm mục đích gì? Xây dựng thực nghiệm để nghiên cứu cách thức chuyển đổi thông qua học sinh thấy vai trị hàm số thực tế? Cơ sở lí thuyết Chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi Didactic tốn, cụ thể Thuyết nhân chủng Ngồi ra, có đề cập đến việc sử dụng kiến thức toán học vào giải vấn đề thực tiễn nên không tham chiếu vào quy trình mơ hình hóa tốn học Đồng thời chúng tơi cố gắng tính thỏa đáng cho lựa chọn phạm vi lý thuyết Tuy nhiên luận văn, yếu tố lí thuyết phương pháp luận nghiên cứu không đề câp cách tuyến tính, mà theo nhu cầu phân tích giai đoạn khác cơng trình  Lí thuyết nhân chủng : quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức Lí thuyết nhân chủng didactic khơng xem xét hoạt động tốn học nghiên cứu toán học cách tách rời, mà toàn thể hoạt động người thể chế xã hội, đặt đồng thời thời gian không gian Đặt nghiên cứu phạm vi lí thuyết nhân chủng, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I đối tượng O, mối quan hệ cá nhân X đối tượng O, mà các câu hỏi liên quan khái niệm Cần nói thêm đối tượng O “Mơ hình hóa với việc nghiên cứu q trình chuyển đổi từ đồ thị đường thẳng đường cong bậc hai sang biểu thức hàm số”, thể chế I mà quan tâm dạy học hàm số theo chương trình tốn hành lớp 7, 9, 10 cá nhân xem xét học sinh với tư cách chủ thể chiếm giữ vị trí người học I Khái niệm tổ chức toán học Chevarllard (1998) đưa vào cơng cụ để phân tích quan hệ thể chế với đối tượng tri thức  Tổ chức tốn học : Một cơng cụ nghiên cứu mối quan hệ thể chế Một tổ chức praxéologique, theo Chevarllard bốn thành phần T , , ,   : kiểu nhiệm vụ T, kỹ thuật  để giải kiểu nhiệm vụ T, công nghệ  giải thích cho kỹ thuật  , lý thuyết  đóng vai trị cơng nghệ  , nghĩa giải thích cho  Một tổ chức praxéologique mà thành phần nêu mang chất toán học, gọi tổ chức tốn học Trong luận văn này, việc xác định tổ chức toán học gắn với đối tượng O cho phép : - Vạch rõ quan hệ thể chế R(I,O) - Hình dung quan hệ cá nhân vị trí người học thể chế I O  Dạy học mơ hình hóa : Vấn đề sử dụng kiến thức vào việc giải vấn đề ngồi tốn học gắn liền với quy trình mơ hình hóa Để làm rõ quy trình này, tham khảo chủ yếu hai tài liệu sau:  Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn tốn trường phổ thơng, Nhà Xuất đại học quốc gia TPHCM  Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Trường ĐHSP TPHCM Một mục tiêu dạy học toán học cung cấp cho học sinh số tri thức tốn học cơng cụ quan trọng vận dụng chúng vào việc giải vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Chính điều cho phép làm rõ vai trò ý nghĩa thực tiễn tri thức toán học Để làm điều thiết phải xây dựng mơ hình tốn học thực tiễn Địi hỏi có liên quan tới mơ hình hóa dạy học tốn Nói khác vấn đề dạy học mơ hình hóa dạy học mơ hình hóa Để phân biệt hai khái niệm lược trích Phương pháp dạy học mơn Tốn tác giả Lê Văn Tiến: “Một cách sơ lược hiểu, dạy học mơ hình hóa dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học thực tiễn, nhắm tới trả lời cho câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn” Tuy nhiên, thuật ngữ “dạy học mơ hình hóa” hiểu có dẫn tới cách hiểu sai lệch : trước xây dựng mơ hình thực tế, cần phải có tri thức tốn học Từ quy trình dạy học là: Dạy học tri thức tốn học lí thuyết  Vận dụng tri thức vào việc giải tốn thực tiễn vào việc xây dựng mơ hình thực tiễn Quy trình làm vai trò động tốn thực tiễn làm nguồn gốc thực tiễn tri thức toán học : tri thức tốn học khơng cịn nảy sinh từ nhu cầu giải toán thực tiễn Quan niệm dạy học mơ hình hóa cho phép khắc phục khuyết điểm Theo quan niệm này, vấn đề dạy học tốn thơng qua dạy học mơ hình hóa Như vậy, tri thức tốn học cần giảng dạy nảy sinh qua trình giải tốn thực tiễn Quy trình dạy học : Bài tốn thực tiễn  Xây dựng mơ hình toán học  Câu trả lời cho toán thực tiễn  Tri thức cần giảng dạy  Vận dụng tri thức vào giải toán thực tiễn.” (Lê Văn Tiến (2005), tr 171-172) Trong luận văn chúng tơi quan tâm đến vấn đề dạy học mơ hình hóa Cũng cần nói thêm rằng, q trình mơ hình hóa tốn cho vấn đề thực tiễn thường trải qua bước:  Bước Xây dựng mơ hình định tính vấn đề, tức xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng xác lập quy luật mà phải tuân theo  Bước Xây dựng mô hình tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả lại dạng ngơn ngữ tốn học cho mơ hình định tính Khi có hệ thống ta chọn biến cố đặc trưng cho trạng thái hệ thống Mơ hình tốn học thiết lập mối quan hệ biến cố hệ số điều khiển tượng  Bước Sử dụng công cụ toán học để khảo sát giải tốn hình thành bước hai Căn vào mơ hình xây dựng cần phải chọn xây dựng phương pháp cho phù hợp  Bước Phân tích kiểm định lại kết thu bước ba Trong phần phải xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính toán với vấn đề thực tế (Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu, năm 1998, trích theo Quách Huỳnh Hạnh, tr 8-9) Q trình mơ hình hóa hệ thống ngồi tốn học Coulange tóm tắt lại sơ đồ tác giả Lê Văn Tiến mô lại Phương pháp dạy học mơn Tốn sau: Phạm vi ngồi tốn Hệ thống hay tình ngồi tốn Câu hỏi hệ thống (Bài tốn thực tiễn) Câu trả lời cho BT thực tiễn Câu trả lời cho toán thực tiễn Bài toán thực Phạm vi thực tiễn Mơ hình thực tiễn Bài toán toán học Giải Câu trả lời cho tốn tốn học Mơ hình tốn học Phạm vi tốn học Những phân tích cho thấy dạy-học mơ hình hóa u cầu tự nhiên việc hoàn thiện, nâng cao lực học sinh, cách để giúp họ biết vận dụng kiến thức học vào việc giải vấn đề thực tiễn cách có hiệu Do tính ứng dụng Hàm số mà việc dạy-học mô hình hóa dường khơng thể bỏ qua Trình bày lại câu hỏi luận văn Trong phạm vi lí thuyết chọn, hai câu hỏi Q’1, Q’2 nêu phát biểu lại sau: Q1 Trong toán học, kỹ thuật cho phép thực kiểu nhiệm vụ chuyển từ đồ thị hàm số sang biểu thức xác định hàm số (hay xấp xỉ với hàm số)? Kiểu nhiệm vụ hình thành từ nhu cầu tốn học lĩnh vực ngồi tốn học ? Để thuận tiện, quy ước từ sau tập hợp từ “chuyển từ đồ thị hàm số sang biểu thức xác định hàm số (hay xấp xỉ với hàm số)” nói cách ngắn gọn “chuyển từ đồ thị sang biểu thức”, hay nhiều gọn “sự chuyển đổi” Q Trong thể chế I vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức có tính đến hay khơng? Trong tổ chức tốn học cần có mặt chuyển đổi ? Vấn đề dạy học mơ hình hóa có thể chế quan tâm đến xây dựng trình chuyển đổi hai đối tượng hàm số này? Q Sự lựa chọn thể chế ảnh hưởng đến học sinh họ đứng trước kiểu nhiệm vụ liên quan đến việc chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức, hay kiểu nhiệm vụ đòi hỏi phải có mặt mơ hình hóa? Tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 , Q2 , Q3 mục đích nghiên cứu chúng tơi Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu, xác định phương pháp nghiên cứu sơ đồ hóa sau: Q1 MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN Trong lĩnh vực : Tốn, Vật lí, Địa chất Q2 NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ Nghiên cứu: Chương trình SGK lớp 7,9,10 Q3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Đối với học sinh Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp luận nghiên cứu sau:  Đối với câu hỏi Q1, khơng có điều kiện tư liệu thời gian nên dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ hầu hết lĩnh vực mà có mặt hàm số Do giới hạn lại xem xét số lĩnh vực Trắc địa, Vật lí Tốn để tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 Kết trình bày chương sở tham chiếu cho nghiên cứu  Tham chiếu kết thu từ chương 1, sử dụng khái niệm tổ chức toán học, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân để tiến hành phân tích chương trình tốn trung học phổ thơng phân tích sách giáo khoa tốn lớp 7, 9, 10 hành lớp mà đối tượng hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai đưa vào để trả lời cho câu hỏi Q2 Nghiên cứu trình bày chương  Dựa kết nghiên cứu hai phần cho phép chúng tơi dự đốn tồn học sinh lớp 10 Đây sở để chúng tơi hình thành giả thuyết nghiên cứu xây dựng thực nghiệm nhằm tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Q3 Nghiên cứu trình bày chương Chương MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ VẤN ĐỀ CHUYỂN TỪ ĐỒ THỊ SANG BIỂU THỨC Nghiên cứu chương nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q1 Chúng xin nhắc lại nội dung câu hỏi sau: Q1 Trong toán học, kỹ thuật cho phép thực kiểu nhiệm vụ chuyển từ đồ thị hàm số sang biểu thức? Kiểu nhiệm vụ hình thành từ nhu cầu tốn học lĩnh vực ngồi tốn học ? Để tìm yếu tố trả lời cho Q1, trước hết nghiên cứu số giáo trình tốn bậc đại học Sau đó, chúng tơi tiến hành nghiên cứu chuyển đổi hai lĩnh vực ngồi tốn học Trắc địa Vật lí, cụ thể Động học chất điểm Những tài liệu mà tham khảo là:  Nguyễn Viết Đông – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ (2009), Toán cao cấp tập 1, Nhà Xuất Giáo dục  Lương Duyên Bình (2009), Vật lí đại cương, Nhà Xuất Giáo dục  Nguyễn Hữu Thọ (2009), Bài Tập Vật Lí, Nhà Xuất đại học quốc gia TPHCM  Textbook notes of Lagrangian Method of interpolation, Autar Kaw and Michael Keteltas  Nguyễn Đình Chí (2009), Tốn Cao Cấp tập 2, Nhà Xuất Giáo dục I Vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức Toán học Nghiên cứu giáo trình Tốn Cao Cấp tập 1, chúng tơi nhận thấy mối liên hệ hàm số đồ thị thể rõ nét Cụ thể, tính chất đơn điệu, bị chặn, chẵn, lẻ, tuần hoàn, sau nêu định nghĩa người ta nói ý nghĩa hình học khái niệm Một vài tính chất hàm ý nghĩa hình học chúng  Hàm số đơn điệu  Ý nghĩa hình học Thơng thường biểu diễn mặt phẳng tọa độ, khoảng tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) hàm số mô tả đường lên (đi xuống) đồ thị  Ví dụ y y y = xn (n chẵn ) O O x y = xn (n lẻ) x  Chiến lược SB2-TVBTB2 : Thay giá trị vào biểu thức hàm bậc toán Sử dụng chiến lược học sinh thay giá trị t  0,3 vào biểu thức hàm bậc hai tìm  Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược: Câu Với t  0,3 Thay vào biểu thức h(t) = – 1,6t2 + 5,2t Ta có h  0,3  1,416m Do chiều cao đạt bóng thời điểm t  0,3 giây 1,416m Câu Đồ thị hàm số từ cầu thủ sút bóng đến thủ thành chụp bóng qua hai điểm  0,25;1,2  &  0,5;2,2  điểm (0;0) thời thời bắt đầu sút bóng nên có dạng hình (H5): h 2, 1,416 1,2 O | 0,250, 0,5 t Hình (H5): Đồ thị hàm bậc hai Đối với toán chúng tơi dự đốn cịn xảy chiến lược sau:  Chiến lược SB1-TLX : Tìm tỉ lệ xích Sử dụng chiển lược học sinh tìm tỉ lệ hình vẽ so với thực tế Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược:  Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược: N D E C 8m B 6m M A Khoảng cách đo hình vẽ hai điểm chân cổng đường hầm 9,5cm khoảng cách thực tế 6m Nên ta có tỉ lệ xích : 1: 63 Để chiều cao đạt tối đa xe tải phải vào đưởng hầm Khi khoảng cách thực từ tim đường đến bánh xe tải phải 1,95m Với khoảng cách ta tìm khoảng cách hình vẽ tính từ tim đường sang hai bên trái phải là: 3,1cm Trên hình vẽ, đánh dấu hai điểm có khoảng cách đến tim đường 3,1cm A B Dựng đường vng góc qua hai điểm A, B cắt đường viền cổng đường hầm C D Gọi E giao điểm CD với đường trung trực MN đoạn thẳng nối hai điểm chân cổng đường hầm ( với M trùng với tim đường N điểm đỉnh cổng đường hầm) Đo khoảng cách MN ME hình vẽ ta được: MN = 10,6cm ME = 8,4cm Gọi hmax chiều cao tối đa xe tải Khi tính tỉ lệ hình vẽ tỉ lệ thực tế ta có: 10,6cm 8m  8,4cm hmax m Suy : hmax  6,3m Do chiều cao tối đa xe tải 6,4m  Chiến lược SB1-TSB : Thiết lập dãy tỉ số Sử dụng chiến lược học sinh thiết lập dãy tỷ số chiều cao chiều rộng, để tìm chiều cao xe tải  Lời giải quan sát tương ứng với chiến lược: Gọi x chiều cao xe tải Do đường hầm có chiều cao 8m bề ngang 6m (chiều cao được hiểu khoảng cách từ tim đường đến điểm cổng đường hầm, bề ngang hiểu khoảng cách hai điểm chân cổng đường hầm) Cịn xe tải có chiều cao x mét bề ngang 3,9m Nên ta có: x  3,9 Suy : x  5,2m Vậy chiều cao tối đa xe tải phải nhỏ 5,2m 3.1.2 Pha (phiếu số 3) Có thể nhận cách trả lời từ nhóm học sinh sau:  Câu  Chiều cao đạt bóng thời điểm t  0,3 giây 1,416m Vì đồ thị hàm số phần đường cong nên biểu thức hàm số phải đa thức bậc hai  Chiều cao đạt bóng thời điểm t  0,3 giây 1,4m Vì nghiên xem xét khoảng thời gian nhỏ nên đồ thị hàm số xem thẳng biểu thức hàm số hàm tuyến tính  Câu Khi biết dạng đồ thị (Bài toán 1) - Chọn mặt tọa độ - Gọi biểu thức dạng tổng quát đồ thị - Tìm số điểm thuộc đồ thị thay vào biểu thức tổng quát tìm hệ số chưa biết Khi chưa biết dạng đồ thị (Bài toán 2) - Dự đoán đồ thị hàm số cần tìm gọi biểu thức tổng quát đồ thị - Tìm số điểm thuộc đồ thị thay vào biểu thức tổng quát tìm hệ số chưa biết 3.2 Phân tích biến 3.2.1 Biến tình giá trị chúng V1 Phương thức làm việc: cá nhân, theo nhóm, lớp - Làm việc cá nhân: cho phép học sinh tạo sản phẩm cá nhân, từ làm thuận lợi phong phú cho cơng việc nhóm - Làm việc theo nhóm: tăng cường trao đổi, thảo luận, tạo thua học tập - Làm việc tập thể, lớp: tạo tranh luận, cho phép thực pha hợp thức hóa V2 Bản chất hình kích thước cho Hình cho mang tính tượng trưng, làm phong phú sinh động cho tình cần diễn đạt Các kích thước cho có mục đích làm dễ dàng cho tính tốn kết quả, ngồi số liệu giúp phản ánh tình thực tế V3 :Cách thức đá cầu thủ Khi cầu thủ đá mũi bàn chân hay lòng bàn chân ảnh hướng đến đường bóng 3.2.2 Biến didactic giá trị chúng V4: Hình dáng đường hầm Biến có hai giá trị  V4.1: Xấp xỉ với đồ thị đường cong bậc hai  V4.2: Không xấp xỉ không đồ thị đường cong bậc hai Trong tốn chúng tơi chọn giá trị V4.1 biến V4 giá trị V4.2 biến V4 , thiết nghĩ chiến lược chọn hệ trục tọa tọa lập phương trình trở nên đắt giá V5: Tọa độ điểm Tọa độ điểm chọn để xem xét đường bay bóng ảnh hưởng đến chiến lược chọn Biến có hai giá trị  V5.1: Khi điểm chọn gần hay khảo sát thời điểm có khoảng cách gần  V5.2: Khi điểm chọn xa hay khảo sát thời điểm cách xa Trong tốn biến V5 nhận giá trị V5.1 Với giá trị biến hai chiến lược hàm bậc hàm bậc hai có khả xuất Cịn ngược lại chiến lược hàm bậc hai chiếm ưu V6 : Số lượng điểm khảo sát Biến có ba giá trị  V6.1: Số lượng điểm khảo sát không hai điểm  V6.2: Số lượng điểm khảo sát không ba điểm  V6.3: Số lượng điểm khảo sát nhiều ba điểm Khi biến V6 nhận giá trị V6.1 chiến lược xây dựng hàm tuyến tính bậc chiếm ưu Khi biến V6 nhận giá trị V6.2 chiến lược xây dựng hàm tuyến tính chiến lược xây dựng xây dựng hàm bậc hai có khả xuất hiện, tốn chúng tơi chọn giá trị V6.2 Cịn giá trị V6.3 chúng tơi thiết nghĩ hai hai chiến lược hàm bậc bậc hai khơng có khả xuất V7 : Quỹ đạo trái banh Biến có hai giá trị  V7.1: Quỹ đạo trái banh được giới hạn lại Cụ thể xét quỹ đạo trái banh từ lúc sút khỏi mặt đất banh chạm đất  V7.2: Xét hết quỹ đạo trái banh Trong toán chúng tơi chọn giá trị V7.1 biến V7 khuôn khổ luận văn nghiên cứu đồ thị hàm bậc hai Phân tích a posteriori tốn thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành 45 học sinh lớp 10A1 trường Trung Học Thực Hành ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh học xong chương hàm số bậc bậc hai Dữ liệu thu thông qua thực nghiệm bao gồm: Bài làm cá nhân học sinh phiếu số 1, lời giải phiếu số nhóm giấy croquis, số giấy nháp học sinh 4.1 Ghi nhận tổng quát  Trong pha 1(pha làm việc cá nhân học sinh), ghi nhận kết đáng ý sau: Bài toán 1: Kết thống kê lời giải học sinh toán thể bảng 4.1 sau: Số thu Tỷ lệ 13 28,9% 2,2% 25 55,6% Chiến lược S1BT1 (Chọn hệ trục tọa độ lập phương trình) Chiến lược S2BT1 (Tính diện tích) Chiến lược S3BT1 (Chiến lược khác) Không làm 13,3% Tổng cộng 45 100% Bảng 4.1 Bảng thống kê lời giải Bài toán pha Bài toán 2: Kết thống kê lời giải học sinh toán thể bảng 4.2 sau: Số thu Tỷ lệ 15,6% 12 26,7% 26 57,7% 45 100% Chiến lược S1BT2 (Chọn đa thức tuyến tính) Chiến lược S2BT2 (Chọn đa thức bậc hai) Không xác định công thức hàm số không làm Tổng cộng Bảng 4.2 Bảng thống kê lời giải Bài toán pha Các câu trả lời học sinh pha theo chiến lược dự kiến Nhưng qua bảng 4.1 4.2 nhận thấy tỉ lệ học sinh không tìm biểu thức xác định hàm số chiếm tỉ lệ cao, khoảng 71,1% toán khoảng 57,7% toán  Trong pha pha 3, nhóm làm việc sôi để giải câu hỏi bảo vệ ý kiến nhóm Chúng tơi thống kê lại chiến lược nhóm sử dụng để giải toán phát phiếu số bảng 4.3 đây: Bài tốn Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm SB1-TSB (Chiến lược tỉ số bằng) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) Bài tốn Khơng trả lời SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) SB1-TBT SB1-TBTTT (Chiến lược tìm biểu thức) (Tìm biểu thức tuyến tính) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) SB1-TLX Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Khơng trả lời (Chiến lược tỉ lệ xích) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) SB1-TBT Khơng trả lời (Chiến lược tìm biểu thức) SB1-TBT (Chiến lược tìm biểu thức) SB2-TBTB2 (Chiến lược tìm biểu thức bậc 2) Bảng 4.3 Bảng thống kê lời giải nhóm pha Trong pha câu trả lời nhóm theo chiến lược dự kiến Trong bảng 4.3, nhận thấy nhóm có câu trả lời cho tốn có đến 6/8 nhóm chọn chiến lược xây dựng biểu thức hàm số Đối với tốn có ba nhóm khơng đưa câu trả lời, cịn nhóm cịn lại có đến nhóm chọn biểu thức hàm số đa thức bậc 2, có nhóm chọn biểu thức xác định hàm số đa thức tuyến tính  Trong pha 4, học sinh nêu bước để tìm biểu thức xác định hàm số Như vây, thông qua pha thực nghiệm đa số học sinh tiếp cận với kĩ thuật chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số thấy phần ứng dụng hàm số thực tiễn 4.2 Phân tích chi tiết kết thực nghiệm Sự xuất tiếp cận kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số Trong pha 1, tốn có 13 học sinh chọn hệ trục tọa độ xác định biểu thức hàm số tốn có 19 học sinh dự đốn đồ thị tìm biểu thức xác định hàm số, hầu hết học sinh lại sử dụng chiến lược khác mà phân tích tiên nghiệm Cụ thể tốn 1: Có đến 25 học sinh sử dụng chiến lược S3BT1 (chiến lược khác), xem xét lời giải học sinh nhận thấy đa phần lời giải học sinh đốn xe tải qua hay khơng qua đường hầm Chẳng hạn như: HS1: Xe tải phép qua đường hầm đường chiều nên xe vào Hơn chiều cao xe 4,8m đỉnh đường hầm cao 8m; bề ngang xe 3,9m nhỏ bề ngang đường hầm 6m Nên xe đường xe qua đường hầm dễ dàng HS2: Xe tải khơng phép qua đường hầm, chiều cao xe khoảng ½ chiều cao đường hầm bề ngang thùng xe gần 4m qua hầm đụng vào hai vách xe khơng chạy đường thẳng mà có lúc quẹo Nếu người lái xe bất cẩn dẫn đến tai nạn Tại nạn xảy khó đem xe khỏi hầm lúc gây ùn tắc giao thơng Hầm có dạng parabol nên bề rộng khơng đều, ngun nhân gây nguy hiểm Tóm lại, để phịng tránh cố Chính phủ cần ban lệnh cấm xe tải có kích cỡ lớn khơng phép qua đường hầm Có học sinh sử dụng chiến lược S2BT1 (chiến lược tính diện tích) Xem xét lời giải học sinh này, thấy sau tính diện tích tam giác có ba đỉnh hai điểm chân điểm lại đỉnh cổng đường hầm, học sinh quay qua tính diện tích tam giác lập tỉ số, sau khơng cho kết Có thể học sinh nhìn thấy khơng hợp lí q trình suy luận Trong tốn 2, có 26 học sinh khơng tìm biểu thức xác định hàm số Tuy nhiên xem xét làm họ, thấy đa phần học sinh nêu nét khái quát hàm số phác thảo đồ thị hàm số mô tả đường banh Ví dụ như: HS3: Hàm số mơ tả đường bóng từ sau cầu thủ sút bóng đến thủ thành chụp hàm số bậc hai theo t HS4: Cầu thủ đá trái banh phải dùng lực lớn nên banh phải theo đường thẳng HS5: Đồ thị hàm số phải có dạng sau (H4) Nhưng pha 2, tốn tất nhóm đưa lời giải cách nhanh chóng, nhóm sử dụng chiến lược SB1-TBT “Chọn hệ trục tọa độ tìm biểu thức xác định hàm số” Có lẽ pha 1- làm việc cá nhân, họ hình dung chiến lược tối ưu phải tìm biểu thức xác định hàm số Xem xét giấy nháp nhóm, chúng tơi nhận thấy cách thức chọn hệ trục tọa độ họ rơi vào hai ba trường hợp mà chúng tơi phần phân tích tiên nghiệm Cụ thể trường hợp (hình H1) trường hợp (hình H3), với nhóm chọn hệ tọa độ hình H3 điều chúng tơi lấy làm lạ, chương trình tốn bậc phổ thông không thấy kiểu nhiệm vụ mà kĩ thuật thực đòi hỏi việc chọn hệ trục tọa độ với chiều dương trục Ox hướng xuống Học sinh làm điều họ làm quen kĩ thuật Vật lí Ở tốn thứ có đến nhóm tìm biểu thức xác định hàm số Trong nhóm có nhóm chọn biểu thức tuyến tính làm biểu thức xác định hàm số Như vậy, qua đến pha thứ hai hầu hết học sinh tiếp cận với kĩ thuật để tìm biểu thức xác định hàm số Sự vận dụng tiến triển kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số Sự tiếp cận vận dụng kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số theo nhóm tóm tắt bảng sau: Bài tốn Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Tiếp cận x x Vận dụng x x Nhóm x x x x x x x x Bảng 4.4 Sự tiếp cận vân dụng nhóm Bài tốn1 Bài tốn Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Nhóm Tiếp cận x x x x x Vận dụng x x x x x Bảng 4.5 Sự tiếp cận vân dụng nhóm Bài tốn Trong bảng 4.4 có 6/8 nhóm học sinh tiếp cận vận dụng kĩ thuật tìm biểu thức xác định hàm số cho đáp số chiều cao tối đa xe tải Phân tích chiến lược sử dụng nhóm 5: + Nhóm sử dụng chiến SB1-TSB (chiến lược tỉ số bằng) phần trình bày họ sau: “ Để đạt chiều cao tối đa xe phải Gọi : r1 chiều rộng đường hầm = 6m h1 chiều cao đườn hầm = 8m r2 chiều rộng thùng xe = 3,9m h2 chiều cao thùng xe = ? (m) Xét h1 4r    h1  r1 3 h2 tính theo h1 r2 tính theo r1 suy : h2  4r2 4.3,9   5,2(m) 3 suy h2 max < 5,2(m) ” Trong pha (pha tranh luận đóng góp ý kiến), học sinh sai lầm nhóm sau: - HS6: Không thể so sánh tỉ số hình có hình dáng khác Thơng qua tranh luận đóng góp ý kiến pha với kết thu nhóm khác, ta có sở để bác bỏ chiến lược + Nhóm sử dụng chiến lược SB1-TLX (chiến lược tỉ lệ xích) Một thành viên nhóm khẳng định sau: “Mọi hình vẽ lại hay chụp lại từ hình thực tế theo tỉ lệ Do cách tìm tỉ lệ xích hình vẽ với hình thực tế, nhóm tìm kết : Chiều cao tối đa xe tải 6,415m.” Khẳng định dường học sinh khác thừa nhận pha tranh luận chúng tơi khơng thấy phản ứng từ học trị Tuy nhiên thấy nhầm lẫn học trị chỗ hình cho tốn khơng phải hình chụp hay hình vẽ lại mà hình mang tính chất minh họa, nên kích thước hình khơng phản ánh xác kích thước hình chụp lại Chúng ta thấy thay đổi hai kích thước hình vẽ tỷ lệ xích mà học sinh tính thay đổi theo điều dễ thấy chiều cao cần tính xe tải thay đổi theo Do ta thấy sai lầm chiến lược học sinh Ở bảng 4.5 nhóm học sinh tìm biểu thức xác định hàm số, có nhóm sử dụng chiến lược SB2-TBTTT (chiến lược tìm biểu thức tuyến tính) thành viên nhóm giải thích sau: “Vì xét khoảng thời gian ngắn đồ thị hàm số mô tả đường bóng đường thẳng hàm bậc nhất” Lời giải thích khơng tán thành có số ý kiến đưa sau: HS6: Vậy bóng bay lên trời hồi sao? HS7: Đồ thị khơng thể đường thẳng ba điểm không thẳng hàng Rõ ràng với lời nhận xét HS7 giúp ta có sở để khẳng định chiến lược tối ưu SB2TBTB2-chiến lược chọn biểu thức bậc hai Điều khẳng định thêm lần kết thu từ pha tất nhóm thống với chiến lược SB2-TBTB2-chiến lược chọn biểu thức bậc hai, đồng thời chúng tơi nhận thấy nhóm nêu lên phương pháp tìm biểu thức hàm số cho tốn tốn Tóm lại, qua pha thực nghiệm học sinh tiếp cận với kĩ thuật tìm biểu hàm số cho toán phần thấy vai trò hàm số thực tiễn Giải thích việc khơng trả lời tốn nhóm 1, Quan sát giấy nháp thông qua vấn số học sinh nhóm cho thấy: - Các nhóm nhiều thời gian cho toán thứ - Các tính tốn giấy nháp chứng tỏ họ thất bại việc sử dụng cơng cụ vật lí Ví dụ giấy nháp nhóm 7: “Ta có: t12  t22  Nên 2h 2h 2.1,2 g   38,4m / s2 g t 0,252 2h 2h 2.2,2 g   17,6m / s2 g t2 0,5 v1  g1t1  3,84.0,25  9,6m / s v2  g2t2  17,6.0,2  8,8m / s ………… ” Sự có mặt vấn đề mơ hình hóa Trong pha 2, nhóm sử dụng chiến lược “tìm biểu thức hàm số” kĩ thuật họ có mặt vấn đề mơ hình hóa Cụ thể như: + Lời giải tốn nhóm 4: Chọn gốc tọa độ O đỉnh hầm Ta có  P  : y  ax -3 O   9a a  P : y  x Bề ngang xe tải : 3,9m x 3,9  1,95 y 8 x   1,95  3,38 9 y  hmax   3,38  4,62m  Đường hầm cho phép xe có độ cao lớn 4,62m qua x  Xe tải khơng phép qua đường hầm + Lời giải tốn nhóm 6:  P  : y  ax  bx  c  0;0    P   c   0,25;1,2    P   1,2  0,0625a  0,25b (1)  0,5;2,2    P   2,2  0,25a  0,5b (2) 26 Từ (1) (2) suy ra: a   ; b  5  P  : h   85 t  26 t Với t  0,3  h  1,416m Đồ thị hàm số có dạng : h(m) 2, 1,2 O * t(s) | 0,250, 0,5 Qua lời giải trên, nhận thấy học sinh thực hai bước sau: Bước 1: Chọn biểu thức xác định hàm số Bước 2: Sử dụng cơng cụ tốn học để tìm biểu thức chọn bước đầu Tuy nhiên, trước đến định chọn chiến lược “tìm biểu thức xác định hàm số” để giải toán rõ ràng họ phải phải xây dựng mơ hình định tính vấn đề xét Đặc biệt tốn 2, học sinh cịn phải kiểm định lại kết tìm thơng qua việc biểu diễn đồ thị hàm số lên mặt phẳng tọa độ Đem so sánh bước làm với bước q trình mơ hình hóa, ta có bảng thống kê sau: Các bước trình mơ hình hóa Bài tốn Bài tốn Bước Bước Bước Ngầm ẩn Tường minh Tường minh Ngầm ẩn Tường minh Tường minh Bước Tường minh Bảng 4.6 Bảng so sánh bước kĩ thuật giải với bước việc mơ hình hóa Như vậy, vấn đề mơ hình hóa xuất việc giải hai tốn nói 4.3 Kết luận Kết thực nghiệm cho phép hợp thức hóa giả thiết nghiên cứu Bên cạnh việc thực theo pha thực nghiệm, phân tích cho thấy có tiến triển việc tiếp cận vận dụng kĩ thuật vấn đề tìm biểu thức mơ tả hàm số Ngoài ra, thực nghiệm tạo tình học sinh tiếp xúc với dạng tốn địi hỏi phải thực việc mơ hình hóa tốn KẾT LUẬN Nghiên cứu q trình chuyển từ đồ thị sang hàm số đồng thời cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy kết thu từ thực nghiệm cho phép chúng tơi có câu trả lời thỏa đáng cho câu hỏi đặt từ đầu luận văn khẳng định giả thuyết nghiên cứu đặt Sau số kết nghiên cứu Trong chương 1, qua việc tìm hiểu vấn đề chuyển từ đồ thị sang hàm số số lĩnh vực Toán học, Địa chất Vật lí, chúng tơi làm rõ mục đích kĩ thuật việc chuyển đổi nói - Việc chuyển đổi từ đồ thị sang hàm số nhằm vào hai mục đích:  Nghiên cứu tính chất hàm số đồ thị  Tìm biểu thức mơ tả hàm số từ giải vấn đề thực tiễn - Kĩ thuật chuyển đổi thường sử dụng lĩnh vực Toán học Địa chất chọn đa thức bậc n có dạng : Pn  x  : a0  a1x   an x n ,an  với a0 ,a1 , ,an  R , cho Pn(x) trùng với f(x) mút xi, i  0,n , nghĩa Pn  x i   f  x i   y i làm biểu thức xác định hàm số Đa thức tìm phương pháp nội suy theo kiểu Lagrange, nội suy theo kiểu Newton hay nội suy ghép trơn - Kĩ thuật Vật lí mà cụ thể Cơ học chất điểm thường gắn với việc chọn hệ trục tọa độ tương ứng với chuyển động, tìm mối liên hệ đại lượng xây dựng phương trình chuyển động Trong chương 2, làm rõ ràng buộc thể chế dạy học trường phổ thông với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức đặt hai đối tượng hàm số bậc bậc hai - Trong thể chế dạy học toán Việt Nam, vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số vấn đề mơ hình hóa tốn có xuất Nhưng xét “mức độ quan tâm” vấn đề thể chế coi trọng tâm - Kết việc phân tích mối quan hệ thể chế dẫn đến việc tồn giả thuyết nghiên cứu: “Kỹ chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số chưa thực hình thành học sinh” Nghiên cứu thực nghiệm chương đối tượng học sinh lớp 10 sau học xong kiến thức hàm bậc bậc hai, cho phép làm rõ quan hệ cá nhân với vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức vấn đề mơ hình hóa Thực nghiệm bao gồm việc xây dựng triển khai tiểu đồ án didactic cho phép học sinh lớp 10 tiếp cận với vấn đề chuyển đổi từ đồ thị sang biểu thức hàm số vấn đề mơ hình hóa tốn Kết thu chứng tỏ tính hợp thức giả thuyết nghiên cứu Để xây dựng tình dạy học vấn đề chuyển từ đồ thị sang biểu thức hàm số thỏa mãn tất hàm số đưa vào chương trình phổ thơng cần phải tiến hành nghiên cứu sâu rộng Tuy nhiên khuôn khổ giới hạn luận văn thạc sĩ, chưa nghiên cứu vấn đề Đây hướng nghiên cứu gợi từ luận văn ... day học đồ thị hàm số bậc y  ax  b sau: “Biết đồ thị hàm số y  ax  b đường thẳng Biết vẽ đồ thị hàm số y  ax  b cách xác định hai điểm thuộc đồ thị? ?? Từ tự hỏi, liệu ta xác định biểu thức hàm. .. giản: lớp dưới, học sinh học đầy đủ hàm số y  ax hàm số y  ax ; phép tịnh tiến đồ thị, tương ứng ta có đồ thị hàm số y  ax  b & y  ax  bx  c từ đồ thị mà suy biến thiên hàm số - Cách tiếp... đại số 10 Nâng cao, tr.69) Như vậy, trường phổ thông số kết thu việc sử dụng đồ thị chấp nhận mà khơng cần đến biểu thức hàm số Nói khác đồ thị dạng tắc thay cho biểu thức hàm Một tình đặt đồ thị