nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông

Nó giữ vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về xác định tính biến thiên của hàm số, xác định tiếp tuyến với một đường cong, … Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận thấy rằng: hệ

Tr ần Lê Vương Quốc

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

Tr ần Lê Vương Quốc

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : LL&PP d ạy học bộ môn Toán

Mã s ố : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn này;

Tất cả quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi sự hứng thú đối

với chuyên ngành Didactic Toán Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua đã chỉ dẫn, gợi mở và định hướng đề tài

luận văn cho chúng tôi

Tôi xin chân thành c ảm ơn:

Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh

Quý thầy cô và các em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường THPT Phan Văn Trị, các em học sinh lớp 9 (năm học 2012 – 2013) Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã nhiệt tình hỗ trợ và giúp đỡ tôi tiến hành

thực nghiệm tại trường;

Tôi xin bày t ỏ lòng biết ơn:

Các bạn học cùng lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đã đồng hành cùng tôi, chia sẻ những khó khăn và kinh nghiệm giảng dạy trong suốt khóa học

Tôi xin dành những dòng cuối cùng để cảm ơn sự động viên, chia sẻ và

tạo những điều kiện tốt nhất từ phía gia đình, đặc biệt là cha mẹ tôi, đã giúp tôi tự tin trong công việc, học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm học cao học

Tr ần Lê Vương Quốc

MỤC LỤC

Trang

L ỜI CẢM ƠN

M ỤC LỤC DANH M ỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

Ch ữ viết tắt Ch ữ viết đầy đủ

SGK9.T1 Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1

SGV9.T1 Sách giáo viên toán lớp 9 tập 1

SBT9.T1 Sách bài tập toán lớp 9 tập 1

ĐS10.NC Sách giáo khoa Đại số lớp 10 nâng cao GVĐS10.NC Sách giáo viên Đại số lớp 10 nâng cao BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao ĐS10.CB Sách giáo khoa Đại số lớp 10 cơ bản HH10.NC Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao BTHH10.NC Sách Bài tập Hình học lớp 10 nâng cao HH10.CB Sách giáo khoa Hình học lớp 10 cơ bản

THPT Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một trong những khái niệm có ý nghĩa hết sức quan trọng trong toán học cũng như trong thực tiễn Trong toán học, chủ đề về hàm số có mặt hầu như xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học cho đến Đại học Trong đó, hàm

số bậc nhất là một dạng hàm số cơ bản nhất trong tất cả các dạng hàm số ở trường

phổ thông Nó giữ vai trò là nền tảng để học sinh nghiên cứu các dạng hàm số khác

phức tạp hơn

Khái niệm hàm số nói chung và hàm số bậc nhất nói riêng được học sinh bắt đầu tiếp cận từ lớp 7 với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) và đến lớp 9 thì học sinh được

học hàm số bậc nhất dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0)

Ở lớp 7, bước đầu học sinh có những hiểu biết sơ lược về hàm số bậc nhất và

đồ thị của nó trong trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0) Việc cung cấp kiến thức về hình dạng của đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng làm nền tảng để xây dựng

đồ thị của hàm số bậc nhất tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), trong đó hệ số a của x chưa

có một tên gọi chính thức mà sau này đến lớp 9 thì hệ số a của x được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Đến lớp 9, học sinh được cung cấp khá đầy đủ những đặc trưng của hàm số

bậc nhất (tập xác định, tính biến thiên) và đồ thị của hàm số bậc nhất, trong đó đáng chú ý nhất là khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” được học sinh tiếp cận qua cả hai phân môn Đại số lẫn Hình học

Ở phân môn Đại số, ngoài việc củng cố, nhắc lại các kiến thức cơ bản về hàm

số bậc nhất mà học sinh đã được học ở lớp 9 như tập xác định, đồ thị của hàm số

bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách cơ bản và nâng cao) còn bổ sung thêm

bảng biến thiên của hàm số bậc nhất Chính hình ảnh trực quan này đã làm nổi bật tính biến thiên của hàm số bậc nhất Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 còn mở rộng

một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất trong trường hợp a = 0 Hàm số đó có

dạng y = b, gọi là hàm số hằng và đồ thị của nó cũng là một đường thẳng

Ở phân môn Hình học, bằng phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối tượng đường thẳng được xây dựng một cách bài bản hơn, tổng quát hơn thông qua

việc xây dựng “phương trình đường thẳng” Ở đây, khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng một lần nữa được củng cố và đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox Nhưng trong nó vẫn tồn tại một sự khác biệt so với cách

tiếp cận ở bậc THCS, đó là hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng

Hơn nữa, đến lớp 11, một lần nữa học sinh được tiếp cận khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng nhưng nó được đặt trong mối liên hệ với một phân môn mới

của toán học đó là Giải tích Theo đó, qua bài toán tiếp tuyến của đường cong, người ta đã chỉ ra rằng hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm của hàm số, một trong những khái niệm cơ bản của Giải tích: Hệ số góc của tiếp tuyến

thành một công cụ đắc lực trong toán học Nó giữ vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về xác định tính biến thiên của hàm số, xác định tiếp tuyến với

một đường cong, …

Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận thấy rằng: hệ số góc của đường thẳng tồn tại trong nhiều phân môn của toán học như Đại số, Hình học và Giải tích Với sự xuất

hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau đó đã làm nổi lên mối liên hệ

mật thiết giữa các phân môn của toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số

Hình 1 Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên

Xuất phát từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự hỏi rằng sự tồn tại phong phú

và đa dạng của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ sinh thái giữa các phân môn của toán học có những nghĩa gì? với cách tiếp cận của chương trình giảng dạy toán ở THCS và THPT hiện hành (gọi chung là bậc phổ thông) thì học sinh hiểu gì

về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?

Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là “Nghĩa của

h ệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông”

Dưới góc độ toán học thì trong hai phạm vi Hình học và Đại số - Giải tích luôn mang trong nó nhiều kiến thức sâu và rộng Vì vậy trong khuôn khổ của luận văn này, mục tiêu chính của chúng tôi là đi tìm nghĩa của hệ số góc của đường thẳng

Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ không đi sâu phân tích mối liên hệ sinh thái giữa Hình học và Đại số - Giải tích Thay vào đó, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khái

niệm hệ số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng với cách

hiểu là sự xuất hiện và sự tồn tại của nó trong mối liên hệ với các phân môn của toán học, trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác trong toán học cũng như trong các liên mônP

1 P

(chẳng hạn như môn Kinh tế lượng) Trong đó, chúng tôi sẽ

1 Liên môn ở đây chúng ta có thể hiểu là những phân môn khác trong các lĩnh vực ngoài toán học nhưng có liên quan và sử dụng đến những kiến thức của toán học.

tập trung chỉ ra các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong phạm vi của HH và ĐS-GT Đặc biệt, qua phân tích chương trình và SGK bậc phổ thông hiện hành ở

Việt Nam, chúng tôi sẽ chỉ ra sự xuất hiện và sự hình thành các nghĩa của hệ số góc

của đường thẳng ở học sinh

Cụ thể, nghiên cứu của chúng tôi sẽ khởi đầu với các câu hỏi sau đây:

- Trong các phân môn c ủa toán học và các liên môn, hệ số góc của đường

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng mà chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời cho các câu hỏi đó Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong

phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các

hiện tượng trong giảng dạy và học tập” [1, tr.9]

Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hiện hành ở trường phổ thông của Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa các cách tiếp cận O trong các phạm vi của toán học, trong việc dạy học hệ số góc của

đường thẳng ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” của Thuyết nhân học do Chevallard (1998) đặt nền móng Câu hỏi “Học sinh phổ thông

“quan hệ cá nhân” của lý thuyết này Cá nhân được xét ở đây là đối tượng học sinh

đã được học về hệ số góc của đường thẳng Câu hỏi “Nghĩa của hệ số góc của

đường thẳng được sách giáo khoa và chương trình phổ thông trình bày như thế

“quan h ệ thể chế” của lý thuyết này Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược

những khái niệm đó và cố gắng giải thích tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu của luận văn Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ

quyển sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố cơ bản của Didactic Toán”

(2009)

Chúng tôi sử dụng các khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”

và “t ổ chức toán học” Mối quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O)

được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một

khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà qua việc phân tích chúng, cho phép chúng tôi xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O

2.1 Quan hệ thể chế R(I, O)

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà

thể chế I có với tri thức O Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I

2.2 Quan hệ cá nhân R(X,O)

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về

O, có thể thao tác O ra sao,… Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O

Với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm (hệ số góc của đường thẳng), phân tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được nghĩa của O trong I từ đó chúng tôi sẽ làm rõ vai trò, phạm vi tác động cũng như mối liên hệ giữa các lựa chọn của thể chế

I trên con đường tiếp cận nghĩa của O, đặc biệt là ở bậc trung học cơ sở và trung

học phổ thông Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” và “quan hệ cá nhân” đối với đối tượng tri

thức mà chúng tôi quan tâm Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối

quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức toán học”

2.3 Tổ chức toán học

Theo Chevallard (1998), mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,τ,θ,Θ] trong đó T là KNV, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết KNV T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ và Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique) Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn

liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của

một chủ thể X tồn tại trong O Do đó, việc chúng tôi lựa chọn Thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình là hoàn toàn thỏa đáng

3 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi ban đầu và trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này

Gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hệ số góc

của đường thẳng theo chương trình phổ thông hiện hành ở Việt Nam

CH1 Về mặt tri thức luận, đối tượng O được nghiên cứu trong những phân môn nào, những phạm vi nào của toán học? Trong mỗi phạm vi đó, đối tượng O được hiểu như thế nào? Nó có những nghĩa gì? Nó liên hệ với những đối tượng toán học nào?

CH2 Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình bày như thế nào? Trong các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao? Những mong muốn và ràng

buộc nào của thể chế đối với O trong các cách tiếp cận này? Có những tổ chức toán

học nào trong thể chế nhằm làm rõ nghĩa của O?

Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc nghiên cứu các giáo trình đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, phân tích các kết quả từ các công trình nghiên cứu đã có, phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được

giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam (bao gồm các bộ sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao)

Trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích về O ở góc

độ tri thức bác học Bởi vì để tồn tại trong một thể chế nào đó thì mỗi tri thức phải được biến đổi cho phù hợp Chính sự biến đổi đó đã tạo nên một khoảng cách giữa tri thức được trình bày trong SGK và tri thức bác học Vì vậy để có sự hiểu biết đầy

đủ về O thì một phân tích O ở góc độ tri thức bác học là thật sự cần thiết

Phạm vi hoạt động của mỗi tri thức toán học thường rất lớn và đối tượng hệ số góc của đường thẳng cũng không ngoại lệ Do đó, chúng tôi không thể thực hiện một nghiên cứu khoa học về hệ số góc một cách đầy đủ Thay vào đó, chúng tôi sẽ chỉ tiến hành nghiên cứu O thông qua việc tổng hợp các kết quả đã có về đường thẳng

và hệ số góc của đường thẳng

Kết quả thu được từ việc nghiên cứu tri thức bác học về hệ số góc của đường

thẳng và phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam sẽ làm cơ sở cho phép chúng tôi đưa

ra các giả thuyết nghiên cứu về hiểu biết của học sinh đối với nghĩa của hệ số góc

của đường thẳng Từ đó, chúng tôi xây dựng hai thực nghiệm (một ở THCS và một

ở THPT) nhằm kiểm chứng lại giả thuyết nghiên cứu đã nêu ở trên

4 Tổ chức của luận văn

Chương 1 Các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn

c ủa toán học và trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác

Chúng tôi sẽ phân tích các tính chất toán học của đường thẳng và hệ số góc

của đường thẳng dưới góc độ toán học Qua việc phân tích những tính chất này, chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng Từ đó chúng tôi trả lời được câu hỏi CH1

Chương 2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong d ạy – học toán ở trường phổ thông

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm

hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT

hiện hành Qua đó, chúng tôi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ số góc của đường

thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng Kết quả nghiên cứu mối quan hệ thể

chế sẽ cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2 và nêu lên các giả thuyết nghiên cứu

Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm

Chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng một hệ thống các câu hỏi và bài toán Đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 9 và lớp 11 đã học

về hệ số góc của đường thẳng

Mục đích của việc xây dựng thực nghiệm là nhằm kiểm chứng tính thích đáng

của các giả thuyết nghiên cứu đã nêu lên ở cuối chương 2

Chương 1 CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN

HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC

1.1 Mục tiêu của chương

Như chúng tôi đã đề cập ở phần mở đầu, đường thẳng được nghiên cứu trong nhiều phân môn của toán học như Hình học (HH), Đại số (ĐS) và Giải tích (GT)

Sự xuất hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau được tìm thấy trong

mối liên hệ mật thiết giữa các phân môn của toán học (h.1)

Ta đã biết, “đường thẳng” là một trong những đối tượng nghiên cứu của toán

học Trong cả HH lẫn ĐS-GT, “đường thẳng” đều là một tập hợp của vô số các điểm thẳng hàng Nhưng trong HH, “đường thẳng” là một tập hợp vô số các điểm

thẳng hàng thỏa mãn những tiên đề hình học của Hilbert Còn trong ĐS-GT, “đường

thẳng” cũng là một tập hợp vô số các điểm thẳng hàng nhưng các điểm của nó phải

thỏa mãn một “phương trình đại số”

- Trong HH, “Góc” tạo bởi hai đường thẳng là một đối tượng quan trọng – vì đối tượng này huy động các kiến thức lượng giác Còn trong ĐS-GT thì một trong

những đặc trưng của đường thẳng chính là “Hệ số góc” của nó Dù xét trong phạm

vi nào của toán học, trong HH hay trong ĐS-GT, thì cả hai khái niệm “Góc” và “Hệ

số góc” của đường thẳng có mối liên hệ với nhau thông qua “Lượng giác”

- Trong ĐS-GT, “Hệ số góc của đường thẳng” giữ vai trò là một công cụ hữu

hiệu trong việc xác định phương trình đường thẳng, cũng như xác định phương trình

tiếp tuyến với đường cong (liên quan đến công cụ “Đạo hàm của hàm số”) Tuy nhiên, trong ĐS-GT, mọi quan hệ hình học giữa các đối tượng trong toán học đều được đại số hóa Điều này làm cho một số tính chất hình học bị che khuất, đặc biệt

là nghĩa của nó

Như vậy ẩn chứa sau mối liên hệ giữa HH và ĐS-GT thì các đối tượng toán

học, cụ thể là “Đường thẳng” và “Hệ số góc” của nó trong mặt phẳng, có những tính

chất nào? Về mặt toán học, hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng được hiểu như thế nào? Nghĩa của nó trong toán học là gì?

Chính vì vậy, mục tiêu của chương này là nhằm phân tích các tính chất toán

học của đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng dưới góc độ toán học Qua việc phân tích những tính chất này, chúng ta sẽ có cái nhìn rõ hơn khái niệm hệ số góc

của đường thẳng và nghĩa của nó trong mặt phẳng Để đạt được mục tiêu đó, chúng tôi tham khảo các giáo trình toán cao cấp và công trình nghiên cứu đã có liên quan đến đồ thị hàm số, đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng

Với tư cách là một đối tượng toán học, hệ số góc của đường thẳng được đề cập

trong nhiều phân môn của toán học như đã trình bày trong sơ đồ trên (h.1) Câu hỏi đặt ra là: Trong những phân môn khác nhau của toán học, hệ số góc của đường

thẳng mang những ý nghĩa gì?

Trong chương này, chúng tôi sử dụng các giáo trình, các tài liệu tham khảo và các kết quả nghiên cứu trước đây có liên quan như sau:

- Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm – Một

Chí Minh

- Phạm Trí Cao – Vũ Minh Châu (2009), Kinh tế lượng ứng dụng (Dành cho

- Phan Huy Điển – Phan Huy Khải – Tạ Duy Phượng (2002), Cơ sở giải tích

- Nguyễn Thúc Hào (1992), Hình học vectơ, Nxb Khoa học và Kỹ thuật Hà

- Nguyễn Minh Phong (2012), Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và giải tích

Tp.Hồ Chí Minh

- S.M.Nikolski – Nhóm dịch giả, Từ điển bách khoa phổ thông toán học Tập

1, 2, Nxb Giáo dục

- Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong

qua phương trình của nó, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh

1.2 Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học 1.2.1 Trong Hình học tổng hợp

Trong HH, các khái niệm cơ bản như mặt phẳng, điểm, đường thẳng, ba điểm

thẳng hàng, tia, góc; các mối quan hệ: liên thuộc, song song, vuông góc, …; các khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn, … được xây dựng dựa trên hệ tiên đề Hilbert Xét trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề có liên quan đến đường thẳng mà thôi

Theo hệ tiên đề Hibert, mỗi đường thẳng được đồng nhất với tập hợp tất cả các điểm thẳng hàng với nhau Vì thế, với hai đường thẳng cắt nhau thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất Khi ấy ta có khái niệm “góc giữa hai đường thẳng” Từ

điển toán học thông dụng đã định nghĩa góc giữa hai đường thẳng và phép cộng các

góc như sau:

[…] Góc định hướng giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng

C ặp đường thẳng có thứ tự đi qua O trong mặt phẳng (d,δ), d là đường thẳng đầu, δ là đường thẳng cuối; O gọi là đỉnh của góc

Phép c ộng các góc định hướng giữa hai đường thẳng và có hệ thức Chasles:

(d,δ) + (δ,∆) = (d,∆); (d,δ) = -(δ,d) (d, δ, ∆ là ba đường thẳng trong mặt phẳng cùng đi qua O) Sau khi m ặt phẳng đã được định hướng: số đo bằng độ là số thực xác định sai khác cộng k.180 P

0

P (k ∈), số đo radian được xác định sai khác cộng kπ (k ∈  )

Do đó: (d,δ) + (δ,∆) = (d,∆) + kπ; (d,δ) = -(δ,d) + kπ (k ∈  )

Sau khi định hướng mặt phẳng, có hàm số tang xác định trên tập các góc định hướng giữa các cặp đường thẳng không vuông góc là:

sin( , ) tan( , )

os( , )

Ou Ov d

δ = Trong đó, O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov là một tia của δ; tập giá trị của hàm số tang là  [12,tr.270-273]

• Nh ận xét

Trong HH, đường thẳng là một trong những khái niệm cơ bản Nó là một tập

hợp các điểm thẳng hàng với nhau Trong mặt phẳng có định hướng, góc định hướng ( , )d δ giữa các đường thẳng không vuông góc d và δ là

sin( , )

tan( , )

os( , )

Ou Ov d

δ = , trong đó O là đỉnh của góc (d,δ), Ou là một tia của d, Ov

là một tia của δ Như vậy khái niệm “Góc” trong HH được xây dựng dựa trên tỉ số

lượng giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Đặc trưng của khái niệm “Góc” là luôn

gắn với sự định hướng của hai đường thẳng không vuông góc trong mặt phẳng

Vậy vì sao lại có sự ràng buộc đó?

Rõ ràng từ định nghĩa trên cho ta thấy có hai lí do Lí do thứ nhất, sự ràng

buộc “hai đường thẳng không vuông góc” tức cos (Ou, Ov) ≠ 0 làm cho tan (d,δ) xác định Lí do thứ hai, sự ràng buộc “mặt phẳng định hướng” làm cho các góc tạo

thành giữa hai đường thẳng không bị thu hẹp trong giới hạn của góc nhọn (lớn hơn

) mà trái lại nó đạt được những giá trị rộng hơn (giá trị của góc sai khác k.180P

0

P

nếu tính theo độ và sai khác k.π nếu tính theo radian)

1.2.2 T rong Đại số - Giải tích

Trong ĐS-GT, một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học

đó là “Hàm số” và “Đồ thị của hàm số”

[…] Hàm s ố là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác

T ừ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất rộng, [ ] nói chung là phần tử của một tập hợp bất kỳ” [18, tr.324]

[…] Đồ thị của một hàm là tập hợp các điểm của mặt phẳng có tọa độ vuông góc

(x, y), trong đó y = f(x) là hàm của x trong miền xác định E của hàm Ở đây y = f(x) là hàm của một biến x Nhưng đồ thị có thể chỉ xác định một đường cắt mọi đường thẳng song song với trục Oy tại chỉ một điểm Để thoát khỏi sự hạn chế đó, người ta cho một đường dưới dạng ẩn nhờ phương trình: F(x, y) = 0, trong đó F(x, y) là một hàm số nào

đó của hai biến x và y [18, tr 356]

[…] Đồ thị của hàm số y = f(x) cho trên đoạn [a, b] , hoặc trong khoảng (a, b), là một đường liên tục nếu hàm số f(x) liên tục; và trơn nếu hàm số f(x) có đạo hàm liên

thị của hàm số nào cả Do vậy, một đường thẳng không thẳng đứng trong mặt phẳng

tọa độ được biểu diễn bởi hàm số dạng y = ax + b và luôn có hệ số góc Theo đó, hệ

số góc của đường thẳng được định nghĩa như sau:

Định nghĩa [về hệ số góc của đoạn thẳng]

Chứng minh: Nếu đường thẳng nằm ngang thì rõ ràng ta có điều khẳng định trên, bởi

vì mọi đoạn thẳng trên đường thẳng đều có hệ số góc bằng 0 Trong những trường hợp

còn lại, ta quan sát hai hình dưới đây:

x1 x2

x O

y1 P1

P2

y2

H y

Hình 1.1

Hình 1.2

=

Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh bởi vì các hệ số góc của hai đoạn thẳng

chính là những số đối của hai tỉ lệ ở trên

[…] Định nghĩa [về hệ số góc của đường thẳng không thẳng đứng]

Hệ số góc của một đường thẳng không thẳng đứng là hệ số góc của một đoạn thẳng

bất kỳ của đường thẳng” [Bùi anh Tuấn(2007), tr.20-22]

Qua trích dẫn trên cho chúng ta thấy nghĩa của hệ số góc của đường thẳng

được bộc lộ ngay trong chính định nghĩa nó Theo định nghĩa hệ số góc của đoạn

= − , tỉ số này gọi là tỉ số biến

(a ≠ 0)

Mặt khác, nếu ta gọi xR 1 R và xR 2 R là hai giá trị bất kì trên tập xác định của hàm số

y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) Do vai trò bình đẳng của xR 1 R và xR 2 R nên ta giả sử xR 1 R < xR 2 R

Như vậy, ta có thể nói rằng hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là

công cụ để xác định sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Cụ thể hơn, dấu

2 Vì chúng ta biết rằng tập xác định của hàm số y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) là  nên để đơn giản, từ

đây trở đi khi nói đến sự biến thiên của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) chúng tôi không nhắc lại tập xác

định của nó.

Ngoài ra, chúng tôi còn tìm thấy một định nghĩa khác của hệ số góc của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy như sau:

[…] Trong h ệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy trong mặt phẳng nếu đường thẳng có phương trình y = kx + m thì hệ số k được gọi là hệ số góc của đường thẳng đó

Khi Oxy là hệ tọa độ (định hướng) thuận thì k là tang của góc định hướng giữa đường

th ẳng Ox và đường thẳng đang xét

Hai đường thẳng có cùng hệ số góc thì cùng phương

[…] Cũng có khi người ta coi hệ số góc của đường thẳng song song với trục tung bằng

“vô c ực” [18, tr.307]

Cụ thể, trong mặt phẳng Oxy, ta xét một đường thẳng (d) định hướng được xác định bởi hàm số bậc nhất y = f(x) = kx + m Không mất tính tổng quát, ta xét k > 0 (h.1.3) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với trục Ox và trục Oy Khi đó

Theo định nghĩa góc định hướng giữa hai đường thẳng (d) và trục Ox, ta có:

Trong tam giác OAB vuông tại O,

theo định nghĩa tỉ số lượng giác ta có:

−

= |k| = k (do k > 0)

• Nh ận xét

Từ phân tích trên, ta có thể khẳng định rằng góc định hướng giữa đường thẳng

y = kx + m và trục Ox có mối liên hệ với hệ số của x (tức hệ số k của hàm số

trong ĐS-GT bộc lộ thêm một nghĩa khác gắn liền với "Góc" qua "Lượng giác": hệ

Chúng tôi gọi đó là "nghĩa hình học" của hệ số góc của đường thẳng trong mặt

Như vậy, nếu xét đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với vai trò độc lập trong mặt

phẳng tọa độ Oxy thì hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau Sự xuất hiện đa dạng của nó làm cho nó bộc lộ những nghĩa khác nhau

Nếu xét đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) trong sự tương giao với đường cong (C) y = f(x) trong mặt phẳng tọa độ Oxy thì hệ số góc của đường thẳng thể hiện vai trò gì? và nghĩa của nó còn tồn tại hay không? ngoài mối liên hệ với tỉ số biến thiên

của hàm số, liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox thì hệ số góc

của đường thẳng còn liên hệ với những đối tượng nào khác trong toán học?

• H ệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với các đối tượng toán học khác

1.2.2.1 Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với đạo hàm

Cho đường cong (C) được xác định như là đồ thị của hàm số y = f(x), điểm

0 R khi M tiến tới MR

0 R dọc theo đường cong (từ cả hai phía) được gọi là tiếp tuyến của đường cong tại điểm MR 0 R Điểm MR 0 R gọi là tiếp điểm

Hình 1.4

Gọi α và αR 0 R lần lượt là góc giữa cát tuyến và tiếp tuyến với chiều dương trục hoành Trong mặt phẳng, một đường thẳng hoàn toàn xác định nếu ta biết được một điểm và hệ số góc của nó Như vậy, tiếp tuyến tại MR

0 Rhoàn toàn xác định khi biết hệ

số góc của nó (giả sử k là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại MR 0 R)

Vì MR 0 R nằm trên (C) nên MR 0 R(xR 0 R;yR 0 R) với yR 0 R = f(xR 0 R) Vì M di động trên (C) nên M(x;y) với y = f(x) Khi M → MR 0 R tức x → xR 0 R thì hệ số góc của cát tuyến

MMR 0 R → hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại MR 0 R Hệ số góc của MMR 0 R là

0 0

0

( ) ( )tan( ) lim tan( ) lim

( ) ( ) lim

Như vậy, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xR 0 R chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) (đồ thị của hàm số y = f(x)) tại điểm MR 0 R(xR 0; RyR 0 R) Vì hàm

số y = f(x) liên tục trên tập xác định của nó nên tại mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất

một tiếp tuyến Do vậy tiếp tuyến của đường cong (C) tại M đặc trưng cho “độ

của đường cong (C), hệ số góc của đường thẳng là số chỉ “độ dốc” của đường cong

cho ta biết điều gì?

Bây giờ ta xét từng trường hợp cụ thể của giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

( ) ( ) lim

thì góc tạo

bởi tiếp tuyến với đường cong (C) tại các giá trị x = xR 0 R là góc nhọn Điều này chứng

tỏ đường cong (C) có chiều “đi lên” hay hàm số của đường cong (C) y = f(x) đồng

biến trên tập xác định của nó

Ngược lại, nếu giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

góc tạo bởi tiếp tuyến với đường cong (C) tại các giá trị x = xR 0 R là góc tù Điều này

chứng tỏ đường cong (C) có chiều “đi xuống” hay hàm số của đường cong (C)

nghịch biến trên tập xác định của nó

Trong trường hợp giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

y = f(x) có đạo hàm vô hạn tại xR 0 R Lúc đó, tiếp tuyến với đường cong (C) y = f(x) tại

xR 0 R vuông góc với trục Ox Do vậy, ta có thể nói hệ số góc của đường thẳng bằng

“vô c ực”

4 Nếu f’(x) ≥ 0 (hay f’(x) ≤ 0), ∀x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x)

đồng biến (hay nghịch biến) trên K (trong đó K là tập xác định của hàm số y = f(x))

Tóm lại, nếu đường cong (C) y = f(x) xác định và có đạo hàm tại mọi

1.2.2.2 Hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ với vi phân

Xét hàm số y = f(x) xác định với mọi x ∈ (a;b) , có đạo hàm tại x ∈ (a;b) Theo

định nghĩa của đạo hàm ta có:

vô cùng bé bậc cao hơn ∆x Do đó, ∆y và f’(x) ∆x là hai vô cùng bé tương đương

Biểu thức f’(x) ∆x gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là dy hay df(x)

Vậy dy = f’(x).∆x

Nếu y = x thì dy = dx = 1.∆x = ∆x Do đó, với biến số độc lập x, ta có dy = ∆x

Khi đó, công thức trên được viết lại: dy = f’(x).dx Suy ra '( )f x dy

dx

= Mà ta đã

biết, đạo hàm của hàm số f(x) tại x (tức f’(x)) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với

đường cong tại điểm (x;f(x)) Do vậy, hệ thức này cho chúng ta thấy được mối liên

hệ giữa hệ số góc của đường thẳng với vi phân của hàm số

Như vậy, đối với hàm số một biến số, khái niệm hàm số có đạo hàm tại x và

khái niệm hàm số khả vi tại x tương đương nhau

1.2.3 T rong Hình học giải tích

Trong HHGT, vì các hoạt động toán học diễn ra qua các phép biến đổi đại số

hình thức nên nghĩa hình học của bài toán bị che khuất

[…] do đã chuyển từ bài toán hình học thành thành bài toán đại số, với phương pháp

gi ải tích người ta hoàn toàn thoát ly khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không tận

dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán Chẳng những thế,

l ời giải bằng phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi những biến đổi đại số hình thức, làm

cho cái nghĩa hình học của bài toán bị che lấp [3, tr.59]

Chính vì lẽ đó, ý tưởng của LeibnizP

5 P

là một trong những khuynh hướng đã dẫn các nhà toán học thế kỷ XVII, XVIII và XIX xây dựng nên lý thuyết về không gian vectơ

[…] V ới phương pháp vectơ người ta có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối tượng hình học, không thoát ly khỏi phạm vi hình học và vì thế vừa tận dụng được công c ụ đại số, vừa khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán [3,tr.59]

Trong một nghiên cứu về “Mối liên hệ giữa hình học tổng hợp và giải tích

khẳng định:

Các khái ni ệm hình học trong HHGT đã có một bước tiến mạnh mẽ: dùng chính phương trình để định nghĩa các khái niệm hình học Các tính chất của các khái niệm hình h ọc có thể suy ra từ phương trình của chúng, do vậy việc vận dụng tính chất của HHTH để giải toán HHGT không còn là yêu cầu bắt buộc nữa Các quan hệ hình học trong HHGT là các quan h ệ đại số Và cũng từ đây, các khái niệm hình học, các quan

h ệ hình học của HHGT dần mang một vỏ bọc đại số đơn giản và dễ sử dụng, hầu như tách biệt với chính khái niệm hình học, quan hệ hình học đó trong HHTH Sự tiến tri ển này tạo thuận lợi cho việc sử dụng công cụ đại số để nghiên cứu hình học Do đó,

xu hướng đại số hóa hình học trở thành một xu hướng chiếm ưu thế hoàn toàn so với

x u hướng nghiên cứu hình học trước đây Tuy nhiên, cũng chính vì vậy mà ý nghĩa hình học của bài toán bị che dấu đằng sau đề toán, đằng sau lời giải thuần túy đại số

[13,tr.24]

Dù xét trong phạm vi nào của toán học, thì một trong những đặc trưng quan

trọng của đường thẳng là “Hệ số góc” “Hệ số góc” của đường thẳng trong ĐS-GT

và “Góc” trong HHTH liên quan với nhau qua “Lượng giác” Tức là, thông qua

“Lượng giác”, “Góc” được chuyển từ quan hệ hình học sang quan hệ đại số thành

“Hệ số góc” Mối quan hệ đó được xác định bởi công thức a = tanα (trong đó a là hệ

số góc của đường thẳng và α là góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox) Đây chính

là “nghĩa hình học” của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) mà chúng tôi

đã đề cập ở trên Vậy trong HHGT thì nghĩa của hệ số góc của đường thẳng được

5 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

thể hiện như thế nào?

Trước hết, chúng tôi xin trình bày khái niệm phương trình đường thẳng theo

quan điểm của HHGT

Theo tác giả Nguyễn Mộng Hy (2000), trong không gian Euclide n chiều với

mục tiêu trực chuẩn cho trước, một siêu phẳng α luôn có phương trình:

aR1RxR1R + aR2RxR2R + … + aRnRxRnR + aR0R = 0 Ngoài ra, vectơ n= (aR 1 R, aR 2 R, …, aRnR) còn được gọi

là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng α vì nó luôn trực giao với phương α

của siêu

phẳng Như vậy, đường thẳng – với tư cách siêu phẳng trong không gian Euclide

hai chiều, sẽ có phương trình tổng quát là aR

aR 2 R) là vectơ pháp tuyến của nó Do đó, đặc trưng của đường thẳng trong không gian

Euclide hai chiều là nó luôn gắn liền với vectơ pháp tuyến

Theo tác giả Nguyễn Thúc Hào (1992), trong không gian Afin hai chiều ER 2 R,

mọi đường thẳng (∆) là một tập hợp gồm những điểm thuộc ER

2 R sao cho các vectơ xác định bởi hai điểm bất kỳ thuộc (∆) đều cộng tuyến với nhau Nghĩa là, nếu ta

lấy hai điểm phân biệt A và B ∈ (∆) và đặt  AB=u

, thì mọi cặp điểm P, Q thuộc (∆) sẽ xác định vectơ PQ=λu

Như vậy, trong không gian (Afin và Euclide) hai chiều, một đường thẳng vừa

có vectơ pháp tuyến, vừa có vectơ chỉ phương Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của nó

Vậy giữa vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) và hệ số góc có mối liên hệ như thế nào?

• Xét đường thẳng (∆) có phương trình tham sốP

7 P

+ uR 2 RP 2 P

≠ 0 Do đó, giả sử uR 1 R ≠ 0 thì từ phương trình tham số của (∆)

ta có:

0 1

Gọi A là giao điểm của (∆) với trục hoành

Ox, Av là tia thuộc (∆) ở về nửa mặt phẳng tọa

độ phía trên trục hoành (có chứa tia Oy)

Đặt α = xAv Do đó tanα = tanxAv = 2

u Do vậy, hệ số góc của đường thẳng bằng

• Xét đường thẳng (d) có phương trình tổng quát Ax + By + C = 0 trong đó

A, B, C là các số thực và AP

2 P

+ BP 2

P ≠ 0 Khi đó n=( ; )A B

gọi là vectơ pháp tuyến

của đường thẳng (d)

Giả sử B ≠ 0 Từ phương trình của đường thẳng Ax + By + C = 0 ta chia hai

vế của phương trình cho B ta được: A x y C 0

Khi đó u

.n = 0 ⇒ u= −( B A; )

Gọi M là giao điểm của (d) và trục hoành

Ox, Mt là tia thuộc (d) ở về nửa mặt phẳng tọa

độ phía trên trục hoành Đặt α = xMt Do đó,

Như vậy mọi đường thẳng (d) có phương trình tổng quát có vectơ pháp tuyến ( ; )

.u

= 0 Suy ra u

= (B;-A)

Do đó từ công thức (*) ta có thể khẳng định lại một lần nữa hệ số góc của đường

đó

Tóm lại, một đường thẳng bất kỳ (không vuông góc với Ox) dạng tổng quát hay tham số đều đưa được về dạng hàm số bậc nhất Khi đó hệ số góc của nó đều có

mối liên hệ với tọa độ của vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của nó: hệ số

ta xác định được vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tuy vậy, nghĩa hình học của hệ số góc của đường thẳng vẫn không thay đổi

Hệ số góc của đường thẳng vẫn đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng

đó với trục Ox qua hệ thức tanα = k

Ngược lại, nếu đặt một đường thẳng cho

trong phạm vi của HHGT thì mối liên hệ đó sẽ được

tanα = k? Để lý giải cho sự tồn tại của mối quan hệ

đó, chúng tôi xét bài toán sau:

Bài toán Cho đường thẳng ∆: y = kx + m với

k ≠ 0 G ọi M là giao điểm của ∆ với trục Ox và Mt

là tia c ủa đường thẳng ∆ nằm phía trên trục Ox (h.34)

k k k

+ +

 

2

1 sin 1

Trong phạm vi của HHGT, đối tượng đường thẳng được biểu thị qua nhiều

dạng phương trình đại số khác nhau: phương trình tổng quát, phương trình tham số hay phương trình theo hệ số góc Với mỗi dạng phương trình đường thẳng khác nhau, chúng ta luôn tìm thấy được các nghĩa khác nhau của chúng Vì trong HHGT, đường thẳng luôn gắn liền với vectơ chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) nên hệ số góc của đường thẳng cùng với nghĩa của nó cũng có mối liên hệ với tọa độ vectơ

chỉ phương (hay vectơ pháp tuyến) của đường thẳng

Tuy nhiên, một cách tổng quát, vì ta luôn biến đổi được từ dạng phương trình này sang dạng phương trình khác nên cho dù đường thẳng được cho bởi dạng phương trình nào đi nữa thì "nghĩa hình học" của hệ số góc của nó vẫn là nền tảng,

là cái "gốc" sinh ra các nghĩa khác của hệ số góc của đường thẳng

1.3 Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong môn Kinh tế lượng

Trong các môn học ứng dụng toán học ở bậc Đại học cho chuyên ngành kinh

tế, chúng ta cũng nhận thấy được sự xuất hiện của hệ số góc của đường thẳng và hơn hết là nhận thấy được những ý nghĩa phong phú của đối tượng này Chẳng hạn,

trong môn Kinh tế lượng, người ta dùng hệ số góc để diễn giải sự biến thiên của hai

biến kinh tế là biến chi tiêu tiêu dùng và biến thu nhập

Nhận thấy được sự tác động lẫn nhau giữa chi tiêu tiêu dùng và thu nhập, nhà toán kinh tế học Keynes đã đưa ra thí dụ lý thuyết thu nhập tiêu dùng với phát biểu tóm tắt như sau: « chi tiêu tiêu dùng tăng khi thu nhập tăng nhưng sự gia tăng trong tiêu dùng không nhiều như sự gia tăng trong thu nhập » Trên cơ sở lý thuyết này, khi thu nhập thay đổi 1 đơn vị thì chúng ta muốn xác định (hay ước lượng) xem tiêu dùng sẽ thay đổi như thế nào (cụ thể là bao nhiêu đơn vị)

Đặt Y biểu diễn cho biến chi tiêu tiêu dùng và X biểu diễn cho biến thu nhập Keynes đã đề xuất dạng hàm đơn giản như sau: Y = α + βX

Các tham số của mô hình kinh tế lượng, xét về bản chất là những giá trị số cố định nhưng chưa biết của tổng thể Ta có thể ước lượng chúng dựa trên số liệu mẫu

đã được thu thập Chẳng hạn, với phương pháp bình phương bé nhất thông thường (OLS – Ordinary Least Squares), trên cơ sở dữ liệu về GDP và tiêu dùng cá nhân

của Việt Nam giai đoạn 1995-2003, người ta đã ước lượng được mối liên hệ giữa chi tiêu và thu nhập (nếu loại trừ yếu tố nhiễu ảnh hưởng đến tiêu dùng cá nhân) qua hệ thức sau: Y 43, 08986 0,519794X i

Sự tác động của thu nhập đối với tiêu dùng thể hiện bằng giá trị của hệ số hồi quy góc (0,519794) theo nghĩa, nếu thu nhập trong nước tăng (hay giảm) 1 tỉ đồng thì bình quân chi tiêu tiêu dùng cá nhân có xu hướng tăng (hay giảm) tương ứng xấp

xỉ là 0,519794 tỉ đồng Lý thuyết kinh tế định nghĩa hệ số này là xu hướng tiêu dùng biên tế (MPC – Marginal Propensity to Consume)

Trong ví dụ trên, để phản ánh quan hệ đồng biến giữa thu nhập và tiêu dùng đòi hỏi hệ số β > 0 Mặt khác, vì sự gia tăng trong tiêu dùng không nhiều bằng sự gia tăng của thu nhập nên β < 1 Việc đánh giá hệ số hồi quy có thật sự thỏa mãn điều kiện nằm trong khoảng (0,1) hay không đòi hỏi phải thông qua việc kiểm định

giả thuyết, nghĩa là đánh giá mức độ ý nghĩa thống kê của con số 0,519794 trong

mô hình (*) Điều này là thật sự cần thiết vì giá trị ước lượng phụ thuộc vào mẫu, cho nên mặc dù hệ số góc ước lượng cung cấp cho ta giá trị thuộc vào (0,1) nhưng

kết quả này là do tình cờ ngẫu nhiên có được bởi mẫu sử dụng hay là do nó có ý

nghĩa thật sự

• Nh ận xét

Trong môn Kinh tế lượng, hệ số góc ước lượng (tức hệ số góc của đường

thẳng y = ax + b) hoạt động với vai trò là một công cụ để nhằm ước lượng mối quan

hệ đồng biến giữa chi tiêu và thu nhập Đặc biệt, dựa vào hệ số góc ước lượng, ta dễ

dàng dự đoán được sự thay đổi (tăng hay giảm) của bình quân chi tiêu tiêu dùng cá

nhân khi biến thu nhập tăng hay giảm 1 đơn vị

Như vậy, trong môn Kinh tế lượng, sự xuất hiện của hệ số góc của đường

thẳng làm cho nó bộc lộ thêm một nghĩa khác: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0) N ếu

x tăng thêm 1 đơn vị thì y tăng thêm (nếu a > 0) hay giảm đi (nếu a < 0) đúng a đơn

v ị

1.4 Kết luận chương 1

Trong mỗi phân môn toán học khác nhau, ngôn ngữ biểu đạt về đường thẳng

sẽ khác nhau và do đó nghĩa của hệ số góc của đường thẳng cũng có những cách thể

hiện khác nhau

- Nghĩa 1: Trong phạm vi HHTH, ta có nghĩa đầu tiên của khái niệm hệ số

góc Theo đó, hệ số góc của đường thẳng bằng tang của góc tạo bởi đường thẳng đó

với trục Ox

- Nghĩa 2: Trong phạm vi của HHGT, hệ số góc của đường thẳng bằng tỉ số

giữa tung độ và hoành độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó (nếu

đường thẳng đó có hệ số góc) Nghĩa là, nếu đường thẳng có phương trình

Ax + By + C = 0 (với B ≠ 0) thì một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là

của đường thẳng cho phép ta xác định được một vectơ chỉ phương (hay một vectơ

pháp tuyến) của đường thẳng đó Nghĩa là, nếu đường thẳng có hệ số góc k (k ∈ )

thì tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng đó sẽ có dạng ( ; )n k n , trong đó n

là số thực tùy ý khác 0 Khi đó, với mỗi giá trị của n ≠ 0, ta sẽ tìm được vectơ chỉ

phương của đường thẳng đó

- Nghĩa 3: Trong phạm vi của ĐS-GT, hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

(a ≠ 0) cho biết tính đơn điệu của hàm số y = ax + b trên  Rộng hơn, hệ số góc

của các tiếp tuyến với đường cong y = f(x) trong một khoảng (a; b) bằng đạo hàm

của hàm số y = f(x) tại các điểm thuộc khoảng (a;b) Như vậy, hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = f(x) cho biết tốc độ biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b)

- Nghĩa 4: Cho hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Nếu x tăng thêm 1 đơn vị thì y tăng

thêm (nếu a > 0) hay giảm đi (nếu a < 0) đúng a đơn vị

Về mặt toán học, các nghĩa 1, 2, 3 và 4 là tương đương nhau Nghĩa là, từ một trong các nghĩa trên của hệ số góc của đường thẳng, ta có thể suy ra được các nghĩa còn lại

Vậy trong chương trình phổ thông, việc dạy – học khái niệm đường thẳng và

hệ số góc của nó được trình bày như thế nào? Những nghĩa nào của hệ số góc của đường thẳng xuất hiện trong chương trình dạy – học môn toán ở bậc THCS, THPT

và những nghĩa nào chưa được đề cập? Đó là những vấn đề mà chúng tôi sẽ quan tâm nghiên cứu trong phần tiếp theo của luận văn này

Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC

CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

2.1 Mục tiêu của chương

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm

hệ số góc của đường thẳng trong chương trình và SGK môn Toán THCS và THPT

hiện hành Cụ thể là chúng tôi sử dụng các bộ sách sau: bộ sách lớp 9 và bộ sách lớp

10 hiện hành (ở đây bộ sách lớp 9 bao gồm SGK9.T1, SGV9.T1, SBT9.T1 và bộ sách lớp 10 bao gồm ĐS10.NC, GVĐS10.NC, BTĐS10.NC, HH10.NC, GVHH10.NC, BTHH10.NC) Ở mức độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông,

sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi làm rõ: cách tiếp cận khái niệm hệ

số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng Kết quả nghiên cứu

mối quan hệ thể chế sẽ cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi CH2

Để tiện theo dõi, chúng tôi xin nhắc lại: nếu gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng và I là thể chế dạy học môn toán hiện hành ở Việt Nam thì vấn đề về cách tiếp cận O trong trong việc dạy – học hệ số góc của đường thẳng ở trường phổ thông được thể chế trình bày như thế nào? Có những nghĩa nào của O xuất hiện trong chương trình và SGK môn Toán bậc phổ thông? Đó là mục tiêu chính mà chúng tôi nhắm đến trong câu hỏi CH2 đã được đặt ra ở phần mở đầu của luận văn Chúng tôi trình bày lại câu hỏi CH2: Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình

bày như thế nào? Trong các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao?

Trong mục này, chúng tôi sẽ cố gắng phân tích và làm rõ những nội dung trong hai bộ sách giáo khoa lớp 9 và 10 hiện hành có liên quan đến đường thẳng và

hệ số góc của đường thẳng Cụ thể, chúng tôi sẽ chỉ ra sự khác nhau trong cách tiếp

cận khái niệm hệ số góc của đường thẳng ở hai cấp học THCS và THPT, để từ đó chúng tôi chỉ ra sự xuất hiện các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong sự ràng

buộc của thể chế Để đạt được mục đích đó, chúng tôi sẽ phân tích các tổ chức toán

học tồn tại trong hai thể chế dạy học THCS và THPT để từ đó thấy được nghĩa của

hệ số góc của đường thẳng

2.2 Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc phổ thông

2.2.1 Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS

Hệ số góc của đường thẳng là một trong những khái niệm toán học luôn gắn

liền với đối tượng “đường thẳng” trong dạy học hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm

số bậc nhất ở bậc THCS Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và các khái

niệm liên quan được trình bày ở bài cuối trong chương II, Hàm số bậc nhất Do vậy,

những phân tích mà chúng tôi trình bày dưới đây chỉ tập trung chủ yếu vào nội dung

của chương này Những kiến thức về hàm số bậc nhất và đồ thị của nó được SGK9.T1 trình bày trong chương này gồm 05 bài:

+ Bài 1 Nh ắc lại và bổ sung các khái niệm hàm số

+ Bài 2 Hàm s ố bậc nhất

+ Bài 3 Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)P

8

+ Bài 4 Đường thẳng song song, đường thẳng cắt nhau

+ Bài 5 H ệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Thời lượng dành cho chương này là 12 tiết, trong đó Lý thuyết 05 tiết (chiếm 41,7%), Bài tập và ôn tập chương 06 tiết (chiếm 50%) và 01 tiết kiểm tra Những yêu cầu mà chương trình đặt ra đối với việc dạy – học hàm số bậc nhất nói chung và

hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) nói riêng khá nhẹ nhàng Học sinh chỉ

cần nắm được một số vấn đề cơ bản nhất về hàm số bậc nhất

V ề kiến thức: học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về hàm số bậc nhất y = ax + b (t ập xác định, sự biến thiên, đồ thị), ý nghĩa của các hệ số a và b; điều kiện để hai đường thẳng y = ax + b ( a ≠ 0) và y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) song song với nhau, cắt nhau, trùng nhau; n ắm vững khái niệm “góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục

8 Khi nói “hàm số bậc nhất y = ax + b” thì không cần phải ghi chú thêm a ≠ 0, vì chỉ khi a ≠ 0 thì hàm số y = ax + b mới được gọi là hàm số bậc nhất

Ox, khái ni ệm hệ số góc và ý nghĩa của nó

V ề kĩ năng: học sinh vẽ thành thạo đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) với các hệ số

a, b ch ủ yếu là các số hữu tỉ; xác định được tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cắt

nhau; biết áp dụng định lí Py-ta-go để tính khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng

t ọa độ ; tính được góc α tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox.[5, tr.50]

Qua đó cho chúng ta thấy rằng các khái niệm: góc tạo bởi đường thẳng

y = ax + b (a ≠ 0) và trục Ox, khái niệm hệ số góc cũng như nghĩa của nó là một

trong những mục tiêu quan trọng của chương và được thể chế đặc biệt quan tâm

trong dạy – học hàm số bậc nhất Với cấu trúc và trình tự bài học trong chương trình

dạy – học về Hàm số bậc nhất ở cấp THCS như trên thì hệ số góc của đường thẳng

và nghĩa của nó được thể chế tiếp cận như thế nào? Những nghĩa nào của hệ số góc

của đường thẳng xuất hiện trong bài học và bài tập của chương trình dạy – học toán

bậc THCS?

2.2.1.1 Nghĩa của hệ số góc trong phần bài học của các SGK THCS

Sự biến thiên của hàm số bậc nhất

Sự biến thiên của hàm số bậc nhất, cụ thể hơn là sự “đồng biến” và “nghịch

biến”, được SGK9.T1 giới thiệu qua hai hàm số cụ thể là y = 2x + 1 và y = -2x + 1

trong hoạt động ?3/SGK9.T1, tr.43

?3 Tính giá tr ị của y tương ứng của hàm số y = 2x +1 và y = -2x + 1 theo giá trị đã cho

c ủa biến x rồi điền vào bảng sau:

[…] Xét hàm s ố y = 2x + 1 Dễ thấy 2x + 1 xác định với mọi x ∈  […] Khi cho x

các giá tr ị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y = 2x + 1 cũng tăng lên Ta nói

rằng hàm số y = 2x + 1 đồng biến trên 

[…] Xét hàm s ố y = -2x + 1 Ta thấy –2x + 1 xác định với mọi x ∈  […] Khi cho x

các giá tr ị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y = -2x + 1 lại giảm đi Ta nói

thiên của hàm số bằng cách: cho trước dãy các giá trị của biến x đơn điệu tăng,

kiểm tra tính “tăng” hay “giảm” các giá trị tương ứng của hàm số để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Qua đó SGK9.T1, tr.44 nêu lên sự biến thiên

của hàm số một cách tổng quát:

Cho hàm s ố y = f(x) xác định với mọi giá trị của 

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số

y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên  (g ọi tắt là hàm số đồng biến)

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số

y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên  (g ọi tắt là hàm số đồng biến)

Nói cách khác, với x R 1 R , x R 2 R bất kì thuộc :

N ếu x R 1 R < x R 2 R mà f(x R 1 R ) < f(x R 2 R ) thì hàm s ố y = f(x) đồng biến trên ;

N ếu x R 1 R < x R 2 R mà f(x R 1 R ) > f(x R 2 R ) thì hàm s ố y = f(x) nghịch biến trên  [4, tr.44]

Tuy nhiên, với hàm số bậc nhất, SGK9.T1, tr.47 chỉ đưa ra dấu hiệu nhận biết

sự biến thiên của nó dựa vào dấu của hệ số a mà không có chứng minh:

Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc  và có tính chất sau: a) Đồng biến trên  , khi a > 0,

b) Nghịch biến trên , khi a < 0.[4, tr.47]

Tuy vậy, trước đó, SGK9.T1,tr.47 cũng đã giới thiệu đến học sinh 01 ví dụ về

sự biến thiên của hàm số y = -3x + 1 và 01 hoạt động ?3 về sự biến thiên của hàm

Cho x hai giá trị bất kì x R 1 R , x R 2 R , sao cho x R 1 R < x R 2 R Hãy chứng minh f(x R 1 R ) < f(x R 2 R ) rồi rút ra

k ết luận hàm số đồng biến trên  [4, tr.47]

Thông qua ví dụ và hoạt động trên, sự khác nhau của hệ số a ở hai hàm số cụ

thể y = -3x + 1 và y = 3x + 1 làm nên dấu hiệu nhận biết sự biến thiên của chúng

Một hàm số có hệ số a = -3 < 0 thì nghịch biến, còn một hàm số có hệ số a = 3 > 0

thì đồng biến Mục đích của việc đưa ra ví dụ và hoạt động này không nhằm vào

mục đích chứng minh cho trường hợp tổng quát mà chỉ là để học sinh tiếp cận dần

với tính chất của hàm số bậc nhất y = ax + b mà thôi

• Bình luận

Việc chứng minh sự biến thiên của hàm số bậc nhất y = ax + b trong trường

hợp tổng quát cũng khá đơn giản Xét hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b

Hàm số bậc nhất y = f(x) = ax + b xác định trên  Lấy hai giá trị bất kì xR

1 R, xR

2 R

sao cho xR 2 R > xR 1 R hay xR 2 R – xR 1 R > 0, ta có:

f(xR 2 R) – f(xR 1 R) = (axR 2 R + b) – (axR 1 R + b) = a(xR 2 R – xR 1 R) (*)

Nếu a > 0 thì f(xR

2 R) > f(xR

1 R) Khi đó hàm số y = f(x) = ax + b đồng biến trên 

Nếu a < 0 thì f(xR 2 R) < f(xR 1 R) Khi đó hàm số y = f(x) = ax + b nghịch biến trên

 Từ đây ta có thể suy ra rằng: dấu của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a

của hệ số góc của đường thẳng mà chúng tôi đã đề cập đến trong chương 1 của luận

∆ , gọi là tỉ số biến thiên

của hàm số bậc nhất y = ax + b Tuy nhiên, thể chế đã không đề cập đến mối liên hệ

này - mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) với tỉ số biến

thiên của hàm số y = ax + b Mối liên hệ này sẽ giúp chúng ta giải quyết được

KNV: “Tìm giá tr ị của hàm số y = ax + b(a ≠ 0 ; a, b là hai s ố cho trước) khi x

tăng 1 đơn vị”

Tuy nhiên KNV “Tìm giá tr ị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0 ; a,b là hai s ố cho

trước) khi x tăng 1 đơn vị” thì hoàn toàn vắng mặt trong SGK9.T1 KNV này bộc lộ

rõ nghĩa 4 của hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) Thật vậy, với hàm số

y = ax + b, a và b là hai số cho trước, a ≠ 0, vì 2 1

∆

=

∆ nên ta

suy ra được ∆y = a.∆x Vì x tăng lên 1 đơn vị tức là ∆x = 1 Do đó ∆y = a.1 = a

Nếu a > 0 thì ta nói hàm số tăng a đơn vị Nếu a < 0 thì ta nói hàm số giảm |a| đơn

− có liên quan đến khái niệm “đạo hàm” trong giải tích toán học

Nó có liên quan đến kỹ thuật xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong mà

học sinh sẽ được học ở THPT Đó cũng chính là những ràng buộc của thể chế đối

với hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học môn toán cấp THCS

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) v ới trục Ox

Vì ở chương trình Đại số lớp 7 đã giới thiệu hệ trục tọa độ Descartes, các khái

niệm về “hàm số”, “biến số”, “giá trị của hàm số”, “Đồ thị của hàm số y = ax (a ≠ 0)” nên tiếp theo đó, SGK9.T1 đưa ra khái niệm “Đồ thị của hàm số bậc nhất

y = ax + b (a ≠ 0)” mà không nhắc lại các khái niệm trên

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng:

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;

- Song song v ới đường thẳng y = ax, nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu

b = 0

Chú ý Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn được gọi là đường thẳng y = ax + b;

b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.[4, tr.50]

Như vậy, với mục đích nghiên cứu một hàm số đơn giản – hàm số bậc nhất,

những kiến thức về mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số được thể chế đưa vào trong

phạm vi đại số Theo định nghĩa trên, đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) song song

hoặc trùng với đường thẳng y = ax do đó nó luôn cắt trục Ox tại một điểm

Bằng cách mô tả hình thức, khái niệm góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và

trục Ox, cũng như khái niệm về hệ số góc được SGK9.T1, tr.56 giới thiệu đến học sinh một cách trực quan như sau: