Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông

CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC2 .... Hơn nữa, đến lớp 11, một lần nữa học sinh được tiếp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

LU ẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : LL&PP d ạy học bộ môn Toán

Mã s ố : 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI B ẢO THIÊN TRUNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân tr ọng cảm ơn:

Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã tận tình hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu khoa học, luôn động viên để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn này;

Tất cả quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, dẫn dắt chúng tôi lĩnh hội những kiến thức nền tảng, truyền cho chúng tôi sự hứng thú đối

với chuyên ngành Didactic Toán Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Claude Comiti, PGS.TSKH Hamid Chaachoua đã chỉ dẫn, gợi mở và định hướng đề tài

luận văn cho chúng tôi

Tôi xin chân thành c ảm ơn:

Ban giám hiệu, quý thầy cô Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh

Quý thầy cô và các em học sinh lớp 11 (năm học 2013 – 2014) Trường THPT Phan Văn Trị, các em học sinh lớp 9 (năm học 2012 – 2013) Trường THCS Lương Quới, Giồng Trôm, Bến Tre đã nhiệt tình hỗ trợ và giúp đỡ tôi tiến hành

thực nghiệm tại trường;

Tôi xin bày t ỏ lòng biết ơn:

Các bạn học cùng lớp Didactic Toán K22 (2011 – 2013) đã đồng hành cùng tôi, chia sẻ những khó khăn và kinh nghiệm giảng dạy trong suốt khóa học

Tôi xin dành những dòng cuối cùng để cảm ơn sự động viên, chia sẻ và

tạo những điều kiện tốt nhất từ phía gia đình, đặc biệt là cha mẹ tôi, đã giúp tôi tự tin trong công việc, học tập và nghiên cứu trong suốt 2 năm học cao học

Tr ần Lê Vương Quốc

MỤC LỤC

Trang

L ỜI CẢM ƠN

M ỤC LỤC DANH M ỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

2

MỞ ĐẦU2 1

2

1.2 2Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát2 1 2

2.2 2Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu2 4 2

3.2 2Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu2 6 2

4.2 2Tổ chức của luận văn2 7 2

Chương 1 CÁC NGHĨA CỦA HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG CÁC PHÂN MÔN CỦA TOÁN HỌC VÀ TRONG MỐI LIÊN

HỆ VỚI MỘT SỐ ĐỐI TƯỢNG TRI THỨC KHÁC2 9

2

1.1.2 2Mục tiêu của chương2 9 2

1.2.2 2Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong các phân môn của toán học2 11 2

1.2.1.2 2Trong Hình học tổng hợp2 11 2

1.2.2.2 2Trong Đại số - Giải tích2 12 2

1.2.3.2 2Trong Hình học giải tích2 19 2

1.3.2 2Nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong môn Kinh tế lượng2 25 2

1.4.2 2Kết luận chương 12 27 2

Chương 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG DẠY – HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG2 29 2

2.1.2 2Mục tiêu của chương2 29 2

2.2.2 2Mối quan hệ thể chế với đối tượng hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc phổ thông 30

2 2.2.1.2 2Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THCS2 30 2

2.2.2.2 2Hệ số góc của đường thẳng trong dạy – học toán ở bậc THPT2 45 2

2.3.2 2Kết luận chương 22 64 2

Chương 3 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM2 66

2

3.1.2 2Mục tiêu của chương2 66 2

3.2.2 2Thực nghiệm trên học sinh THCS2 66 2

3.2.1.2 2Đối tượng thực nghiệm2 66 2

3.2.2.2 2Mục tiêu thực nghiệm2 66 2

3.2.3.2 2Nội dung câu hỏi thực nghiệm2 66 2

3.2.4.2 2Phân tích thực nghiệm2 67 2

3.2.5.2 2Kết luận2 80 2

3.3.2 2Thực nghiệm trên học sinh THPT2 80 2

3.3.1.2 2Đối tượng thực nghiệm2 80 2

3.3.2.2 2Mục tiêu thực nghiệm2 81 2

3.3.3.2 2Nội dung bài toán thực nghiệm2 81 2

3.3.4.2 2Phân tích thực nghiệm2 81 2

3.3.5 Kết luận2 92 2

3.4.2 2Kết luận chương 32 93 2

KẾT LUẬN2 94 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO2 97 2

PHỤ LỤC2 99

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

Ch ữ viết tắt Ch ữ viết đầy đủ

BTĐS10.NC Sách Bài tập Đại số lớp 10 nâng cao

GVHH10.NC Sách giáo viên Hình học lớp 10 nâng cao

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một trong những khái niệm có ý nghĩa hết sức quan trọng trong toán học cũng như trong thực tiễn Trong toán học, chủ đề về hàm số có mặt hầu như xuyên suốt từ THCS đến THPT, từ Trung học cho đến Đại học Trong đó, hàm

số bậc nhất là một dạng hàm số cơ bản nhất trong tất cả các dạng hàm số ở trường

phổ thông Nó giữ vai trò là nền tảng để học sinh nghiên cứu các dạng hàm số khác

phức tạp hơn

Khái niệm hàm số nói chung và hàm số bậc nhất nói riêng được học sinh bắt đầu tiếp cận từ lớp 7 với dạng đặc biệt y = ax (a ≠ 0) và đến lớp 9 thì học sinh được

học hàm số bậc nhất dạng tổng quát y = ax + b (a ≠ 0)

Ở lớp 7, bước đầu học sinh có những hiểu biết sơ lược về hàm số bậc nhất và

đồ thị của nó trong trường hợp đặc biệt y = ax (a ≠ 0) Việc cung cấp kiến thức về hình dạng của đồ thị hàm số y = ax là một đường thẳng làm nền tảng để xây dựng

đồ thị của hàm số bậc nhất tổng quát y = ax + b (a ≠ 0), trong đó hệ số a của x chưa

có một tên gọi chính thức mà sau này đến lớp 9 thì hệ số a của x được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Đến lớp 9, học sinh được cung cấp khá đầy đủ những đặc trưng của hàm số

bậc nhất (tập xác định, tính biến thiên) và đồ thị của hàm số bậc nhất, trong đó đáng chú ý nhất là khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Đến lớp 10, khái niệm “hệ số góc” được học sinh tiếp cận qua cả hai phân môn Đại số lẫn Hình học

Ở phân môn Đại số, ngoài việc củng cố, nhắc lại các kiến thức cơ bản về hàm

số bậc nhất mà học sinh đã được học ở lớp 9 như tập xác định, đồ thị của hàm số

bậc nhất, sách giáo khoa đại số 10 (cả sách cơ bản và nâng cao) còn bổ sung thêm

bảng biến thiên của hàm số bậc nhất Chính hình ảnh trực quan này đã làm nổi bật tính biến thiên của hàm số bậc nhất Ngoài ra, sách giáo khoa đại số 10 còn mở rộng

một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc nhất trong trường hợp a = 0 Hàm số đó có

2

dạng y = b, gọi là hàm số hằng và đồ thị của nó cũng là một đường thẳng

Ở phân môn Hình học, bằng phương pháp tọa độ thông qua công cụ vectơ, đối tượng đường thẳng được xây dựng một cách bài bản hơn, tổng quát hơn thông qua

việc xây dựng “phương trình đường thẳng” Ở đây, khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng một lần nữa được củng cố và đặt trong mối liên hệ với góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox Nhưng trong nó vẫn tồn tại một sự khác biệt so với cách

tiếp cận ở bậc THCS, đó là hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng

Hơn nữa, đến lớp 11, một lần nữa học sinh được tiếp cận khái niệm “hệ số góc” của đường thẳng nhưng nó được đặt trong mối liên hệ với một phân môn mới

của toán học đó là Giải tích Theo đó, qua bài toán tiếp tuyến của đường cong, người ta đã chỉ ra rằng hệ số góc của đường thẳng có mối liên hệ với đạo hàm của hàm số, một trong những khái niệm cơ bản của Giải tích: Hệ số góc của tiếp tuyến

b ằng đạo hàm của hàm số tại tiếp điểm Từ đây, hệ số góc của đường thẳng trở

thành một công cụ đắc lực trong toán học Nó giữ vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán về xác định tính biến thiên của hàm số, xác định tiếp tuyến với

một đường cong, …

Trên cơ sở đó, chúng tôi nhận thấy rằng: hệ số góc của đường thẳng tồn tại trong nhiều phân môn của toán học như Đại số, Hình học và Giải tích Với sự xuất

hiện đa dạng của nó trong những phạm vi khác nhau đó đã làm nổi lên mối liên hệ

mật thiết giữa các phân môn của toán học qua Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số

góc c ủa đường thẳng trong mối liên hệ giữa Hình học và Đại Số - Giải tích (h.1):

3

Hình 1 Sơ đồ mối liên hệ sinh thái của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên

h ệ giữa Hình học và Đại số - Giải tích

Xuất phát từ những ghi nhận trên, chúng tôi tự hỏi rằng sự tồn tại phong phú

và đa dạng của hệ số góc của đường thẳng trong mối liên hệ sinh thái giữa các phân môn của toán học có những nghĩa gì? với cách tiếp cận của chương trình giảng dạy toán ở THCS và THPT hiện hành (gọi chung là bậc phổ thông) thì học sinh hiểu gì

về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?

Vì vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài cho luận văn của mình là “Nghĩa của

h ệ số góc của đường thẳng trong dạy học toán ở trường phổ thông”

Dưới góc độ toán học thì trong hai phạm vi Hình học và Đại số - Giải tích luôn mang trong nó nhiều kiến thức sâu và rộng Vì vậy trong khuôn khổ của luận văn này, mục tiêu chính của chúng tôi là đi tìm nghĩa của hệ số góc của đường thẳng

Để làm được điều đó, chúng tôi sẽ không đi sâu phân tích mối liên hệ sinh thái giữa Hình học và Đại số - Giải tích Thay vào đó, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu khái

niệm hệ số góc của đường thẳng, nghĩa của hệ số góc của đường thẳng với cách

hiểu là sự xuất hiện và sự tồn tại của nó trong mối liên hệ với các phân môn của toán học, trong mối liên hệ với một số đối tượng tri thức khác trong toán học cũng như trong các liên mônP

1 P (chẳng hạn như môn Kinh tế lượng) Trong đó, chúng tôi sẽ

1 Liên môn ở đây chúng ta có thể hiểu là những phân môn khác trong các lĩnh vực ngoài toán học nhưng có liên quan và sử dụng đến những kiến thức của toán học.

4

tập trung chỉ ra các nghĩa của hệ số góc của đường thẳng trong phạm vi của HH và ĐS-GT Đặc biệt, qua phân tích chương trình và SGK bậc phổ thông hiện hành ở

Việt Nam, chúng tôi sẽ chỉ ra sự xuất hiện và sự hình thành các nghĩa của hệ số góc

của đường thẳng ở học sinh

Cụ thể, nghiên cứu của chúng tôi sẽ khởi đầu với các câu hỏi sau đây:

- Trong các phân môn c ủa toán học và các liên môn, hệ số góc của đường

th ẳng có những nghĩa gì? và những nghĩa đó có mối liên hệ với những đối tượng toán h ọc nào?

- N ghĩa của hệ số góc của đường thẳng được chương trình và sách giáo khoa

ph ổ thông trình bày như thế nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có

nh ững mong muốn và ràng buộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường

th ẳng? Học sinh phổ thông sẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

Để có sự giải thích thỏa đáng cho những vấn đề đã nêu thì điều quan trọng mà chúng tôi cần làm trước tiên là tìm kiếm công cụ lý thuyết làm cơ sở cho việc đưa ra các câu trả lời cho các câu hỏi đó Và chúng tôi đã tìm những công cụ này trong

phạm vi Didactic toán bởi vì “Didactic mang lại những công cụ hữu hiệu lí giải các

hiện tượng trong giảng dạy và học tập” [1, tr.9]

Nếu chúng tôi gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hiện hành ở trường phổ thông của Việt Nam thì vấn đề về mối quan hệ giữa các cách tiếp cận O trong các phạm vi của toán học, trong việc dạy học hệ số góc của

đường thẳng ở trường phổ thông liên quan đến khái niệm “quan hệ thể chế” của Thuyết nhân học do Chevallard (1998) đặt nền móng Câu hỏi “Học sinh phổ thông

s ẽ hiểu gì về nghĩa của hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm

“quan hệ cá nhân” của lý thuyết này Cá nhân được xét ở đây là đối tượng học sinh

đã được học về hệ số góc của đường thẳng Câu hỏi “Nghĩa của hệ số góc của

đường thẳng được sách giáo khoa và chương trình phổ thông trình bày như thế nào? Chương trình và sách giáo khoa phổ thông có những mong muốn và ràng

bu ộc gì trong việc dạy và học hệ số góc của đường thẳng?” liên quan đến khái niệm

5

“quan h ệ thể chế” của lý thuyết này Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày tóm lược

những khái niệm đó và cố gắng giải thích tính hợp lý của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu của luận văn Phần trình bày các khái niệm này được trích lọc từ

quyển sách song ngữ Việt - Pháp “Những yếu yếu tố cơ bản của Didactic Toán”

(2009)

Chúng tôi sử dụng các khái niệm sau: “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”

và “t ổ chức toán học” Mối quan hệ thể chế R(I,O) và quan hệ cá nhân R(X,O)

được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một

khái niệm do Chevallard (1998) đưa ra mà qua việc phân tích chúng, cho phép chúng tôi xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O

2.1 Quan hệ thể chế R(I, O)

Quan hệ R(I, O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà

thể chế I có với tri thức O Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I

2.2 Quan hệ cá nhân R(X,O)

Quan hệ R(X, O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại

mà cá nhân X có với tri thức O Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về

O, có thể thao tác O ra sao,… Quan hệ cá nhân với một đối tượng O chỉ rõ cách thức mà X biết O

Với đối tượng O mà chúng tôi quan tâm (hệ số góc của đường thẳng), phân tích R(I, O) cho phép chúng tôi rút ra được nghĩa của O trong I từ đó chúng tôi sẽ làm rõ vai trò, phạm vi tác động cũng như mối liên hệ giữa các lựa chọn của thể chế

I trên con đường tiếp cận nghĩa của O, đặc biệt là ở bậc trung học cơ sở và trung

học phổ thông Đồng thời, để tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với O thì lại cần phải nghiên cứu R(I, O) bởi vì sự lựa chọn của thể chế đối với O ảnh hưởng trực tiếp đến quan hệ cá nhân đối với O Vì lẽ đó, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải xem xét “quan hệ thể chế” và “quan hệ cá nhân” đối với đối tượng tri

thức mà chúng tôi quan tâm Mặt khác, theo Bosch và Chevallard để phân tích mối

quan hệ R(I, O) thì cần phải dùng đến khái niệm “tổ chức toán học”

6

2.3 Tổ chức toán học

Theo Chevallard (1998), mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,τ,θ,Θ] trong đó T là KNV, τ là kỹ thuật cho phép giải quyết KNV T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ và Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ θ Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (organisation mathématique) Việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn

liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của

một chủ thể X tồn tại trong O Do đó, việc chúng tôi lựa chọn Thuyết nhân học làm tham chiếu cho nghiên cứu của mình là hoàn toàn thỏa đáng

3 Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu - phương pháp nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi ban đầu và trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này

Gọi đối tượng O là hệ số góc của đường thẳng; I là thể chế dạy học hệ số góc

của đường thẳng theo chương trình phổ thông hiện hành ở Việt Nam

CH1 Về mặt tri thức luận, đối tượng O được nghiên cứu trong những phân môn nào, những phạm vi nào của toán học? Trong mỗi phạm vi đó, đối tượng O được hiểu như thế nào? Nó có những nghĩa gì? Nó liên hệ với những đối tượng toán học nào?

CH2 Trong I, cách tiếp cận đối tượng O được trình bày như thế nào? Trong các cách tiếp cận đó, nghĩa của O được thể hiện ra sao? Những mong muốn và ràng

buộc nào của thể chế đối với O trong các cách tiếp cận này? Có những tổ chức toán

học nào trong thể chế nhằm làm rõ nghĩa của O?

Chúng tôi đi tìm lời giải đáp cho hai câu hỏi CH1 và CH2 thông qua việc nghiên cứu các giáo trình đào tạo và bồi dưỡng giáo viên, phân tích các kết quả từ các công trình nghiên cứu đã có, phân tích các bộ sách giáo khoa môn toán được

giảng dạy ở trường phổ thông theo chương trình hiện hành ở Việt Nam (bao gồm các bộ sách giáo khoa Đại số 9, Đại số 10 nâng cao và Hình học 10 nâng cao)

Trước khi phân tích R(I, O), chúng tôi sẽ thực hiện một phân tích về O ở góc