đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông

Đến lớp 6, đường tròn được định nghĩa theo cách trực quan thông qua hình vẽ: “ Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng R, kí hi ệu O;R”.. Như vậy,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

L ỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích

L ỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Nga, Người đã tận

tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn Cô luôn luôn động viên, gợi mở cho tôi những hướng đi đúng đắn và bổ ích

Qua đây, tôi cũng xin cảm ơn các Thầy Cô chuyên ngành Phương pháp Toán trường ĐHSP Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ những tri thức quý báu cho chúng tôi về didactic Toán sinh động, cụ thể và đầy ý nghĩa

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt

nhất cho chúng tôi

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến:

Nghĩa - Tp.HCM, THPT Vĩnh Bình - Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Các bạn và các anh chị cao học khóa 23 chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học Toán vì những động viên và góp ý chân tình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi vì những lời động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt khóa học

M ỤC LỤC

L ời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các từ viết tắt

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO 6

1.1 Siêu cầu trong không gian Ơclit 6

1.1.1 Khái niệm siêu cầu 6

1.1.2 Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit 7

1.1.3.Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu 8

1.2 Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng 9

1.3 Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng” 11

1.4 Kết luận chương 1 13

Chương 2 KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 15

2.1 Đường tròn trong SGK Toán lớp 5 15

2.2 Đường tròn trong SGK Toán lớp 6 19

2.3 Đường tròn trong SGK Toán lớp 9 22

2.3.1 Phân tích SGK Toán 9 22

2.3.2 Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGKToán 9 27

2.4 Đường tròn trong SGK Hình học lớp 10 37

2.4.1 Phân tích SGK Hình Học 10 37

2.4.2 Các tổ chức toán học liên quan đường tròn trong Hình học 10 39

2.5 Đường tròn trong lượng giác lớp 10 và vật lý lớp 10 44

2.5.1 Đường tròn trong lượng giác lớp 10 44

2.5.2 Đường tròn trong Vật lý 10 47

2.6 Kết luận chương 2 48

Chương 3 THỰC NGHIỆM 51

3.1 Mục tiêu của chương 51

3.2.Đối tượng thực nghiệm và hình thức thực nghiệm 51

3.3.Nội dung thực nghiệm 52

3.3.1.Thực nghiệm 1 52

3.3.2 Thực nghiệm 2 62

3.4.Kết luận chương 3 85

K ẾT LUẬN 87 TÀI LI ỆU THAM KHẢO

PH ỤLỤC

DANH M ỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp 8

Bảng 2.1 Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9 35

Bảng 2.2 Bảng thống kê các KNV liên quan đến đường tròn trong lớp10 44

Bảng 3.1 Thống kê các câu trả lời của học sinh trong câu hỏi 1 57

Bảng 3.2 Thống kê các điểm số mà học sinh cho điểm trong câu hỏi 2 59

Bảng 3.3 Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 1 77

Bảng 3.4 Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 2 79

Bảng 3.5 Thống kê các chiến lược học sinh sử dụng trong câu hỏi 3 82

M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát

Đường tròn là một đối tượng quen thuộc, chúng ta có thể nhìn thấy chúng trong các

nghĩa sau trong hầu hết các SGK:

(1) Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp tất cả những điểm trong mặt phẳng

cách O m ột khoảng R

Tuy nhiên, có nhi ều cách khác để định nghĩa đường tròn, chẳng hạn như các định nghĩa sau: (2) Đường tròn là một đường cong khép kín có độ cong không đổi

(3) Đường tròn là một đường cong đạt vô hạn trục đối xứng

(4) Đường tròn là một đường cong khép kín chứa diện tích lớn nhất đối với mỗi độ dài cho trước

(5) Đường tròn là tập hợp những điểm M sao cho tỷ số AM/BM của các khoảng cách

t ừ nó đến 2 điểm cố định A, B là không đổi

(6) M ột đường chuyển động được đặt sao cho 2 điểm A, B của nó cố định, một điểm

C nào đó của đường này mô tả 1 đường tròn

Định nghĩa (4) và (5) được trích từ (Halbwachs, 81) Định nghĩa (6) là do Leibnitz đề

xu ất và định nghĩa đường tròn bằng cách chuyển qua không gian:

“Dây” không giãn ACB quay xung quanh tr ục AB: khi đó, điểm C mô tả một đường tròn

[18, tr.45-46] Cũng theo Artigue (1982), tất cả các định nghĩa này đều tương đương về mặt

nghĩa này có thể kéo theo định nghĩa khác Tuy nhiên, các định nghĩa này gắn liền với những

quan ni ệm khác nhau về đường tròn: chúng tương ứng với những cách thức khác nhau để xem xét đường tròn, sử dụng các tính chất của nó và chúng nhấn mạnh trên những yếu tố hình

h ọc, mối liên hệ giữa các yếu tố khác nhau

Ví d ụ, ở định nghĩa (1), (5), (6): đường tròn hiện diện như tập hợp các điểm, ở định nghĩa (2), (3), (4) : nó được đề cập trước tiên như một đường cong Định nghĩa (6) khác biệt với tất cả các định nghĩa trước bởi đặc trưng động của nó Đường tròn xuất hiện gắn với chuyển động Trong t ất cả các định nghĩa khác, nó xuất hiện như một đối tượng tĩnh ” [18, tr.45-46]

Ở Việt Nam, đường tròn là khái niệm được SGK chọn lọc trình bày từ cấp tiểu

chưa được phân biệt rõ Đến lớp 6, đường tròn được định nghĩa theo cách trực quan thông qua hình vẽ:

“ Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm tất cả các điểm cách O một khoảng

R, kí hi ệu (O;R)”

Như vậy, định nghĩa đầu tiên về đường tròn trong SGK được trình bày theo tiếp

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau trong thể chế dạy học ở

cách tiếp cận nào đối với khái niệm đường tròn?

C2: Trong chương trình phổ thông, đường tròn được tiếp cận ra sao? Các cách

tiếp cận của đường tròn có mối quan hệ như thế nào với nhau?

Từ các ghi nhận và câu hỏi cần giải đáp, chúng tôi quyết định chọn đề tài:

2 Khung lý thuyết tham chiếu

2.1.Thuy ết nhân học

Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào thuyết nhân học.Với lý thuyết này, chúng tôi sẽ làm rõ sự xuất hiện và phát triển của khái niệm đường tròn trong thể chế

dạy học toán ở Việt Nam Thông qua việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đường tròn, chúng tôi muốn làm rõ mối quan hệ thể chế ở bậc phổ thông đối với đối tượng tri thức này.Từ kết quả phân tích mối quan hệ thể chế, chúng tôi tìm hiểu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm

2.2 H ợp đồng didactic

tròn

3 Câu hỏi nghiên cứu

Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, các câu hỏi ban đầu được chúng tôi cụ thể

phương trình đường tròn trong mặt phẳng? Đường tròn có những cách tiếp cận nào?

quyết các bài toán liên quan đến đường tròn?

vai trò công cụ của đường tròn trong việc giải quyết các bài toán?

4 Mục đích và phương pháp nghiên cứu

dựng một tình huống dạy học nhằm làm rõ vai trò công cụ của đường tròn trong việc

giải quyết các bài toán

Để thực hiện mục đích nghiên cứu của đề tài, chúng tôi xác định các phương

Chúng tôi có thể diễn giải sơ đồ trên như sau:

- Nghiên cứu tri thức trong các giáo trình đại học và tài liệu tham khảo: chúng tôi

đường tròn trong mặt phẳng Mục đích nhằm tìm hiểu xem đường tròn xuất

học phổ thông

nhiệm vụ liên quan đến nó

thực nghiệm 2

kiểm tra xem HS có biết sử dụng đường tròn như một công cụ để giải quyết các

bài toán, qua đó giúp HS hiểu rõ hơn về vai trò công cụ của đường tròn theo

từng cách tiếp cận

5 C ấu trúc luận văn

Luận văn có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương

Cấu trúc của luận văn

liệu tham khảo

Chương 1 KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC VÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO

M ục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Trong các giáo

trình đại học và tài liệu tham khảo, khái niệm đường tròn được trình bày như thế nào? đường tròn có những cách tiếp cận nào? Có mấy dạng phương trình đường tròn trong

Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi tiến hành phân tích giáo trình, tài liệu sau:

Chúng tôi chọn các tài liệu trên để phân tích vì các tài liệu này trình bày khá chi tiết

toán hình h ọc, Nxb Giáo dục

1 1 Siêu cầu trong không gian Ơclit

1.1.1 Khái niệm siêu cầu

cầu như sau:

“Trong không gian E , cho một điểm I cố định, tập hợp tất cả những điểm M thuộc n

về siêu cầu, hình học Ơclit còn nghiên cứu về phương trình của chúng, việc thiết lập phương trình hoàn toàn dựa vào “công cụ” vectơ và công thức “khoảng cách”

1.1.2 Phương trình siêu cầu trong không gian Ơclit

Gi ả sử điểm I có tọa độ trực chuẩn là ( , , ,a a1 2 a n), khi đó siêu cầu thực tâm I bán kính r có phương trình :

=

∑

Siêu c ầu tổng quát:

Trong E n v ới mục tiêu trực chuẩn cho trước, một siêu cầu nếu phương trình có dạng:

n

i i

n

i i

n

i i

Như vậy, phương trình siêu cầu được xây dựng trên khái niệm “siêu cầu” về

1

2

tức siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M( x1, x2, , xn)thỏa mãn phương

siêu cầu có bán kính r =0

Các tính chất khác liên quan đến đường tròn như tiếp tuyến với đường tròn, trục đẳng phương vẫn được tác giả đề cập đến, tuy nhiên chúng có tên gọi khác như siêu

tiếp diện, siêu phẳng đẳng phương

1.1.3 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến siêu cầu

lượng bài tập liên quan đến siêu cầu rất ít, các bài toán được đặt ra trong không gian E3

và En Cụ thể, chúng tôi tìm thấy các KNV sau:

Bảng 1.1 Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong giáo trình Hình học cao cấp

Ki ểu nhiệm vụ S ố bài tập

Nh ận xét:

đến Đa số các KNV chỉ xuất hiện một lần và số lượng bài tập còn hạn chế Từ đây,

KNV này đều tập trung vào cách tiếp cận “phương trình” của siêu cầu Tác giả chỉ định nghĩa và nêu một vài bài tập liên quan đến siêu cầu, và siêu cầu được nghiên cứu như là một “đối tượng” Trong khi đó, vai trò “công cụ” của siêu cầu thì không được giáo trình đề cập đến mà siêu cầu được giảng dạy như là một trường hợp đặc biệt của siêu mặt bậc hai

K ết luận:

Từ những phân tích trên, chúng tôi thấy rằng ở cấp độ đại học đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu cầu, chúng được tiếp cận theo các quan điểm sau:

+ Qua điểm tọa độ (phương trình): siêu cầu là tập hợp tất cả các điểm M

) , ,

phương trình các phẳng và tọa độ điểm

tròn Do đó, chúng tôi chọn giáo trình Toán (tập 7) của Jean-Marier Monier (2000) để làm rõ hơn các dạng phương trình của đường tròn

1.2 Phương trình biểu diễn của đường tròn trong mặt phẳng

1.2.1 Phương trình Descartes của đường tròn

Theo tác giả Jean-Marier Monier thì :

a ChoΩ(a,b)∈ε2, đường tròn C( , ) Ω R có phương trình Descartes là

[16, tr.76]Như vậy, hai dạng phương trình Descartes của đường tròn chính là trường hợp đặc biệt của phương trình siêu cầu và phương trình tổng quát siêu cầu mà chúng ta đã

độ nghiên cứu đường tròn theo tiếp cận “phương trình” Đây là một “công cụ” có thể

1.2.2 Phương trình tham số của đường tròn

ChoΩ( , )a b ∈ε2,R∈R+, đường tròn C( , )Ω R có bi ểu diễn tham số là

cos , sin

làm rõ hơn Tọa độ M có hoành độ x và tung độ y được biểu diễn cụ thể thông qua hai đẳng thức x=a+Rcostvày=b+Rsint Phương trình đường tròn theo dạng tham số đóng vai trò quan trọng trong các bài toán định lượng như tính diện tích, thể tích và đặc biệt là các bài toán nghiên cứu sự chuyển động tròn đều trong vật lý

Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau (1):

1.2.3 Phương trình tọa độ cực của đường tròn

“Trong mặt phẳng, chọn một điểm O làm gốc gọi là cực, trục Ox gọi là trục cực, lấy

M là m ột điểm bất kỳ trong mặt phẳng, gọi ρ = OM là bán kính c ực,

Đồng thời, phương trình cực ρ =λcosθ +µsinθ biểu diễn đường tròn có phương trình Descartes x2 + y2 −λx−µy=0, đường tròn này đi qua O.”

[16, tr.78]

thông qua việc tính tích phân hai lớp hay ba lớp Do đó, các bài toán tích phân có miền

D là hình tròn, thì chúng được khuyến khích chuyển từ hệ trục tọa độ Descartes vuông góc sang tọa độ cực để giải quyết

hai quan điểm “khoảng cách” và “phương trình” Ngoài hai cách tiếp cận này của đường tròn, chúng tôi còn tìm ra thêm một cách tiếp cận khác về đường tròn, đó là tiếp

cận đường tròn theo “góc định hướng” Cách tiếp cận này được trình bày trong tài liệu

d ụng giải toán hình học

1.3 Đường tròn theo tiếp cận “góc định hướng”

Đối tượng hình học đầu tiên đề cập đến vấn đề hướng của một đoạn thẳng, đó là

v ới vectơ đơn vị e của trục cho ta một vectơ bằng vectơ đó ( AB= AB.e, trong đó AB

được gọi là độ dài đại số của AB)”[16, tr.21]

Đối tượng hình học thứ hai được tác giả đề cập đến là góc định hướng, liên quan đến đối tượng này là phép quay xung quanh một điểm trong mặt phẳng Theo tác giả

th ẳng) có hướng Còn phép quay phẳng xung quanh một điểm (gọi là tâm quay) thì

g ắn liền với khái niệm góc lượng giác gọi là góc quay; đó là khái niệm góc định hướng của hai vectơ có điểm gốc chung là tâm quay” [17, tr.22]

Bằng việc trang bị góc định hướng cũng như là phép quay phẳng, tác giả đưa ra

[17, tr.27]

hướng” được tiếp cận gắn liền với góc lượng giác Với hai điểm A, B cố định và một

còn đưa điều kiện bốn điểm thuộc cùng trên một đường tròn, nó được xem như là tính

“Đường tròn là quỹ tích những điểm M sao cho góc định hướng giữa hai đường

th ẳng MA, MB là không đổi.”

Tuy nhiên, điểm mạnh của góc định hướng là có thể giải quyết một số bài toán

hay quỹ tích

“Cho hai hình vuông ABCD và AEFG cùng hướng, A, B, E không thẳng hàng Chứng minh r ằng BE, CF, DG đồng quy

2 Trang web được truy cập vào ngày 22/4/2014

Xét phép quay tâm A góc quay (AB, AD)=

; ( )

; ( )

;

Suy ra A, H, B, C, E, D nằm trên một đường tròn suy ra(HB;HC)=(AB;AC)(modπ)

2),(),(HG HE = AG AE =π π

Nên A, E, H, G, F nằm trên một đường tròn=>(HE,HF)=(AB,AC (modπ)

Mà H, E, B thẳng hàng nên H, C, F thẳng hàng, hay BE, CF, DG đồng quy.”

tròn theo “góc định hướng” đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính chất

1.4 K ết luận chương 1

chúng tôi có thể kết luận một số kết quả liên quan đến đường tròn sau:

- Theo các định nghĩa mà Artigue đã nêu thì định nghĩa (2), (3), (4), (6) không

xuất hiện, trong khi đó định nghĩa (4) mang tính chất giống như cách tiếp cận của đường tròn theo “góc định hướng” Nhưng định nghĩa (4) tập trung trên tỉ số khoảng

- Đường tròn là trường hợp đặc biệt của siêu cầu, nó được định nghĩa theo các

tiếp cận sau:

điểm M trong mặt phẳng cách đều một điểm I cố định bằng một khoảng R cho trước Đây là khái niệm được sử sụng rộng rãi và phổ biến nhất vì nó

có liên quan đến hai đặc trưng quan trọng của đường tròn là tâm và bán

kính

M(x, y) th ỏa mãn phương trình bậc hai x2 +y2 +2ax+2by+c=0 Bằng

giải quá dài dòng và khó khăn

góc định hướng giữa hai đường thẳng MA, MB là không đổi Với khái niệm

này, đường tròn đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán

mạnh trên các quan điểm đó Mặt khác, vấn đề giải quyết các bài toán liên quan thực tế đến đường tròn không được các giáo trình quan tâm mà chủ yếu là các bài toán toán

học

Chương 2 KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC

M ục tiêu của chương này là tìm ra câu trả lời cho câu hỏi Q2: Ở bậc phổ thông,

đường tròn được trình bày theo những cách tiếp cận nào? Có những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến đường tròn?

Để đạt được mục tiêu ở trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các SGK, SGV và SBT ở các lớp 5, lớp 6, lớp 9 và lớp 10

2.1 Đường tròn trong SGK Toán lớp 5

Ở tiểu học, HS đã từng biết đến hình tròn thông qua các hoạt động nhận dạng

sống

SGK đã trình bày hai thuật ngữ “hình tròn” và “đường tròn” trong chương III với tên bài “Hình tròn.Đường tròn” và một số tính chất hình tròn trong các bài “Chu vi hình

tròn” và “Diện tích hình tròn”

minh họa sau:

[11, tr.96] Như vậy, SGK chỉ phân biệt hai khái niệm này bằng hình vẽ trực quan và tiếp sau đó là trình bày các tính chất về tâm, bán kính và đường kính Thuật ngữ “đường tròn”

v ạch trên tờ giấy” hay được hiểu là “nét ngoài” của hình tròn Đường tròn mặc dù

không được định nghĩa, nhưng thông qua trình bày SGK chúng tôi thấy sự xuất hiện

“T ất cả các bán kính của một hình tròn đều bằng nhau: OA=OB=OC”[11, tr.96]

đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” là cách trình bày phù hợp thể hiện rõ hai đặc trưng là tâm và bán kính Các kiểu nhiệm vụ chỉ đề cập đến “hình tròn”, các bài toán thì mang tính chất tiếp cận và công cụ “hình tròn” trong giai đoạn này được biết đến là

trong việc biểu diễn các tỉ lệ % trong thống kê trên tổng số liệu

Các ki ểu nhiệm vụ liên quan đến hình tròn:

được câu b Đây được xem là KNV “rèn luyện kĩ năng sử dụng compa để vẽ hình tròn

Đây là một KNV kiểm tra khả năng tính toán của HS về công thức tính chu vi

xét của SGV chúng tôi có thể nghĩ đến lời giải mong đợi như sau:

Chu vi c ủa bánh xe là

C= 0,75 x 3,14= 2,355m

bánh xe là “hình tròn” và yêu cầu tính chu vi bánh xe đó

a) r=6cm b)r=0,35dm” [11, tr.100].

Từ nhận xét: “V ận dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình tròn và củng cố kĩ năng làm tính nhân các s ố thập phân” của SGV Toán 5 tr.177, chúng tôi có thể đưa ra lời giải mong đợi như sau:

đường tròn và các yếu tố của hình tròn như tâm, bán kính, đường kính cũng như là biết

sử dụng compa để vẽ hình tròn

2.2 Đường tròn trong SGK Toán lớp 6

Đến lớp 6, đường tròn được tiếp cận với tên bài “Đường tròn” và nó được định nghĩa một cách cụ thể:

“ Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí

hi ệu (O;R)” [3, tr.89]

Với định nghĩa này, chúng tôi thấy vai trò của hình vẽ giữ một vị trí hết sức quan

như sau:

“Hình tròn là hình g ồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó” [3, tr.90]

tròn như cung và dây cung:

“Gi ả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O Hai điểm này chia đường tròn thành hai ph ần bằng nhau, mỗi phần là một cung tròn”

“Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung Dây đi qua tâm là đường kính”

[3, tr.90]

Đường tròn trong giai đoạn này chỉ mang tính chất tiếp cận, các đặc trưng của đường tròn chưa được nghiên cứu rõ SGK Toán 6 chú trọng về đường tròn thông qua

đề ra các kĩ năng cơ bản của HS như sau :

“ - S ử dụng compa thành thạo

- Bi ết vẽ đường tròn và cung tròn

- Bi ết giữ nguyên độ mở của compa ” [3, tr.68].

Các ki ểu nhiệm vụ liên quan đến đường tròn

 Tve: V ẽ đường tròn

o Kĩ thuậtτve:

- Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính

o Ví d ụ: (bài tập 42a, tr 93, SGK Toán 6, tập 2)

“V ẽ lại hình sau (đúng kích thước như hình đã cho)” [11, tr.93]

“Trước hết phải đo để biết bán kính các đường tròn cần vẽ

“ Trên hình 48, ta có hai đường tròn (O; 2cm) và (A; 2cm) cắt nhau tại C, D Điểm A

n ằm trên đường tròn tâm O

a) V ẽ đường tròn tâm C, bán kính 2cm

b) Vì sao đường tròn (C;2cm) đi qua O và A.” [11, tr.48]

“a)

b) Vì CO=CA=2cm” [10, tr.69]

Đây là KNV dùng định nghĩa đường tròn để chứng minh Để chứng minh các điểm

 Tsosanh: So sánh độ dài các đoạn thẳng

o Kĩ thuậtτss:

o Công nghệθsosanh: trong một đường tròn thì các bán kính bằng nhau

o Ví dụ:

“Xem hình 51 So sánh AB+BC+AC v ới OM bằng mắt và kiểm tra bằng dụng cụ” [11, tr.92]

tôi có thể đưa ra lời giải cho bài toán trên như sau:

- Dùng compa“chuy ển” các đoạn thẳng AB, BC, AC lên đoạn thẳng OM sao cho mút A trùng với

O, mút B tương ứng với B, đoạn CA tương ứng đoạn CL

- Tổng AB+ BC+ AC là đoạn OL

V ậy AB+ BC+ AC < OM.

K ết luận:

Đường tròn trong SGK Toán 6 được định nghĩa một cách tường minh và rõ ràng hơn, nó được phát biểu thành lời khác với sự mô tả ở lớp 5 Khái niệm đường tròn được tiếp cận theo “khoảng cách”, tức đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách tâm

SGK Toán 6 chưa đi sâu vào các tính chất của đường tròn mà chỉ giới thiệu cho HS về định nghĩa đường tròn và các khái niệm liên quan khác của đường tròn như cung và dây cung Trong khi đó, bằng việc sử dụng compa để so sánh các đoạn thẳng, SGK

đoạn thẳng bằng cách “giữ nguyên độ mở của compa”

2.3 Đường tròn trong SGK Toán lớp 9

2.3.1 Phân tích SGK Toán 9

quan trọng của hình học Cụ thể:

+ Chương II: Đường tròn gồm 8 bài: §1Sự xác định đường tròn.Tính chất đối xứng

c ủa đường tròn; §2Đường kính và dây của đường tròn; §3Liên hệ giữa dây và kho ảng cách từ tâm tới dây; §4Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn;

§5D ấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn; §6Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; §7, 8V ị trí tương đối của hai đường tròn

+ Chương III: Góc với đường tròn gồm 10 bài: §1Góc ở tâm.Số đo cung; §2 Liên

h ệ giữa cung và dây; §3 Góc nội tiếp; §4Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; §5 Góc có đỉnh bên trong đường tròn.Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn; §6 Cung

ch ứa góc; §7 Tứ giác nội tiếp; §8 Đường tròn nội tiếp.Đường tròn ngoại tiếp; §9Độ dài đường tròn, cung tròn; §10 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

thế nào và tiến triển ra sao? Vai trò công cụ của đường tròn có được SGK tiếp cận hay

câu hỏi nghiên cứu trên

Trong chương II với tên gọi “Đường tròn” SGK tập trung khai thác các tính chất

của đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách” SGK nhắc lại định nghĩa:

“ Ở lớp 6, ta đã biết:

Đường tròn tâm O bán kính R (với R>0) là hình gồm các điểm cách O một khoảng

b ằng R” [5, tr.97]

hai đặc trưng cơ bản của nó là tâm và bán kính hay đường kính Trong chương trình

tròn đi qua ba điểm A,B,C thông qua tính chất “giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó” Tính chất này được SGK 9

thể hiện tường minh hơn thông qua kết luận:

“Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn” [5, tr.98]

hàng để thấy rằng không có đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng Thuật ngữ

“đường tròn ngoại tiếp” cũng được SGK định nghĩa lại:

“Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC” [5, tr.99]

Trên cơ sở về đường tròn đã biết, SGK 9 tiếp tục nghiên cứu thêm các tính chất

mà chúng tôi giới thiệu trong các bài ở chương II là kết quả phân tích trên hai yếu tố

tâm, bán kính và yếu tố “khoảng cách” đóng vai trò quan trọng Đường tròn được nghiên cứu trên khách thể chính nó và đối tượng khác Cụ thể:

các khái niệm liên quan sau:

thẳng tiếp xúc với đường tròn thì ta gọi đường thẳng đó là tiếp tuyến Như vậy, các

thẳng SGK đã phân tích vị trí tương đối của chúng và có kết quả sau:

“H ệthức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính đường tròn:

N ếu d<R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau

N ếu d=R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau

N ếu d>R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.” [5, tr.109]

• Tương tự, nếu chúng ta xét trên hai đường tròn, chúng ta sẽ có các tính chất sau:

V ị trí tương đối của hai đường

tròn(O;R) và (O’,r) (R≥r)

S ố điểm chung

H ệ thức giữa OO’ và R với r

Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r<OO’<R+r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

-Ti ếp xúc ngoài

-Ti ếp xúc trong

1 OO’=R+r OO’=R-r Hai đường tròn không giao nhau

-(O) và (O’) ở ngoài nhau

- (O) đựng (O’)

0 OO’>R+r OO’<R-r

[5, tr.121]

Như vậy, yếu tố “khoảng cách” được quan tâm trong các bài toán xét vị trí trương đối của đường thẳng và đường tròn, cũng như là vị trí của hai đường tròn Chính vì

toán liên quan đến vị trí tương đối của đường tròn so với đường tròn, đường tròn so

chứng minh quỹ tích các điểm là đường tròn dựa trên cách tiếp cận đường tròn về

Ví dụ:

“Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C cùng thu ộc một đường tròn” [5, tr.104]

“ G ọi M là trung điểm BC

Ta có EM= BC DM BC

2

1,

2

Suy ra ME=MB=MC=MD

Do đó, B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC” [7, tr.129]

Đối tượng thứ hai, mà SGK cho HS tiếp cận về đường tròn là “góc” Trong chương III “Góc với đường tròn”, SGK nghiên cứu đường tròn với tính chất như góc ở tâm, số đo góc chắn cung, góc nội tiếp Một trong những tính chất liên quan đến đường tròn là “cung chứa góc” Đây là tính chất quan trọng, nó có liên quan đến khái

sau:

“Bài toán.Cho đoạn thẳng AB và góc α(00 <α <1800).Tìm qu ỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn A ˆ M B = α (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới gócα)” [5, tr.83]

“V ới đoạn thẳng AB và góc α (00 <α <1800)thì qu ỹ tích các điểm M thỏa mãn

là hai cung ch ứa góc α d ựng trên đoạn AB” [5, tr.85]

điểm M là hai cung tròn Nhưng khi α=900 thì:

“Qu ỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB sao cho dưới một góc vuông là đường

tròn đường kính AB” [5, tr.85]

“góc”, tuy nhiên giá trị góc là 900 là một số đo đặc biệt, nó không thể tổng quát cho

tiếp cận về “góc” của đường tròn Nhưng kết quả này lại là một công cụ chứng minh các điểm nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông là một đường tròn, có thể thay thế cho phương pháp chứng minh theo “khoảng cách” mà HS đã biết Cụ thể với bài toán sau:

“ Cho tam giác ABC vuông ở A Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính

MC K ẽ BM cắt đường tròn tại D Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S Chứng minh

r ằng ABCD là một tứ giác nội tiếp” [5, tr.105]

[8, tr.126]

N ếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện có tổng bằng 180 0

thì t ứ giác đó nội tiếp được đường tròn.” [6, tr.88]

SGK đã chứng tỏ được rằng có những tứ giác nội tiếp được và có những tứ giác

phương pháp “khoảng cách”, chúng ta có thêm một phương pháp khác theo “góc” là

chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thông qua định lý đảo

chứng sự chuyển đổi qua lại giữa hai cách tiếp cận đường tròn theo “góc” và đường tròn theo “khoảng cách”

“T ứ giác ABCD có A BˆC+A DˆC=180o Ch ứng minh rằng các trung trực của AC,

BD, AB cùng đi qua một điểm” [6, tr.89]

[8, tr.108]

thì tất cả những điểm trên cung lớn AB đều có góc bằng nhau là α và những điểm trên cung nhỏ AB đều có góc bằng nhau là β =1800 - α Nếu xét trong phạm vi “góc định

180mod

β

Nh ận xét:

được tiếp cận Tiếp cận đường tròn theo “khoảng cách” đã được HS biết đến ở các lớp dưới Trong chương II, SGK chỉ củng cố thêm khái niệm đường tròn này thông qua

SGK trình bày đường tròn theo quan điểm khác là “góc” Tuy nhiên, khái niệm đường tròn theo “góc” được tiếp cận rất hạn chế, ứng dụng của khái niệm này chỉ được SGK

đề cập ngầm ẩn trong một số bài toán chứng minh quỹ tích hay dựng hình

2.3.2 Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9

Do các bài tập được trải rộng, thường là dạng bài tập tổng hợp nên chúng tôi chỉ đưa ra các kiểu nhiệm vụ trọng tâm có liên quan đến đường tròn

 T đuongtron : Ch ứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn

Chúng tôi nhận thấy có hai kĩ thuật liên quan đến KNV này:

o Kĩ thuậtτ1đuongton:

- Xác định tâm của đường tròn

+ Công ngh ệθ1đuongtron: dựa vào định nghĩa đường tròn theo “khoảng cách”

Với kĩ thuật này, nó giống như là kĩ thuật mà học sinh đã biết ở lớp 6 như KNV Tcm

o Kĩ thuậtτ2đuongtron:

- Chứng minh tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 1800

+Công ngh ệθ2đuongtron: định lý đảo của tứ giác nội tiếp trang 88, SGK Toán 9, tập 2

“Ta có: B OˆC =2.B AˆC =2×600 =1200 (1)(góc n ội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung), B HˆC=B'HˆC'(đối đỉnh)

12060

180ˆ180'ˆ

60

2

600ˆ18602

ˆˆˆˆ

0 0

0

0 0

=+

=

−+

=

++

= A B C

C

I

B

(s ử dụng góc ngoài tam giác)

T ừ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên cung chứa góc 120 0

d ựng trên đoạn thẳng BC Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn ” [8, tr.105]

Cùng một KNV, chúng tôi nhận thấy SGK đưa ra hai phương pháp chứng minh,

đếnτ1đuongton là những điểm luôn tạo với một cạnh (hai điểm nối lại) là một góc vuông

giác nội tiếp, nhưng tứ giác ở đây luôn có hai góc đối diện là các góc vuông Tuy nhiên, với kĩ thuậtτ2đuongtron thì đây là một phương pháp hiệu quả hơn, nó có thể giải quyết các bài toán với số đo góc bất kỳ

 Tvitri : Xác định vị trí tương đối của đường tròn so với đường thẳng (điểm), đường tròn

- Tùy theo khoảng cách ta có các vị trí sau:

với điểm

Vị trí trương đối của đường tròn so

+ Điểm M nằm trên đường tròn

(O; R) khi và ch ỉ khi OM=R

+ Điểm M nằm bên trong đường tròn

(O; R) khi và ch ỉ khi OM<R

+ Điểm M nằm bên ngoài đường tròn

(O; R) khi và ch ỉ khi OM>R.

+N ếu d<R thì đường thẳng a và đường tròn (O) c ắt nhau

+N ếu d=R thì đường thẳng a và đường tròn (O) ti ếp xúc nhau

+N ếu d>R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau

tròn(O;R) và (O’,r) (R≥r) chung v ới r

Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r<OO’<R+r

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

-Ti ếp xúc ngoài

-Ti ếp xúc trong

1 OO’=R+r

OO’=R-r Hai đường tròn không giao nhau

-(O) và (O’) ở ngoài nhau

“ Cho đường tròn tâm O, bán kính OA và đường tròn đường kính OA Hãy xét định vị trí

t ương đối của hai đường tròn” [5, tr.122]

“Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA Vì OO’=OA-O’A nên hai đường (O) và (O’) ti ếp xúc trong” [7, tr.154]

Đối với kiểu nhiệm vụ Tvitri, thì các dạng bài tập thường được đặt trong hệ trục

+ Nếu đa giác là tam giác thì tâm đường tròn là giao điểm ba đường trung trực

đường chéo

o Công nghệθ1ve đuongtron: định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác trong SGK Toán 9, tập 2 ; tính chất ba đường trung trực

• T2ve đuongtron: V ẽ đường tròn nội tiếp đa giác

o Kĩ thuậtτ2ve đuongtron:

Vẽ đường tròn tiếp xúc các cạnh của đa giác

o Công nghệθ2ve đuongtron: định nghĩa đường tròn nội tiếp đa giác (trang 91, SGK Toán 9, tập 2), tính chất ba đường phân giác

o Ví d ụ:

“a) V ẽ tam giác đều ABC cạnh là 3cm

b) V ẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC Tính R

c) V ẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC Tính r” [6, tr.91]

“a) V ẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa)

b) Tâm O c ủa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung

tr ực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác của tam giác đều ABC)

) ( 3 2

3 3 3

2 2

3 3

2 ' 3

2

cm

AB AA

32

33.3

1'3

Chúng tôi nhận thấy rằng, các bài tập liên quan đến kiểu nhiệm vụ này chủ yếu tập trung vào đa giác đều như tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều Do đó, cách xác định tâm và bán kính sẽ trở nên dễ dàng đối với học sinh Trong KNV vẽ đường

 T haigocbn: Ch ứng minh hai góc bằng nhau

Đây là kiểu nhiệm vụ có nhiều hình thức đặt câu hỏi, do đó chúng tôi xét các bài toán

o Kĩ thuậtτhaigocbn:

+ Góc nội tiếp:

“Trong m ột đường tròn:

a) Các góc n ội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc các cung bằng nhau thì bằng nhau

c) Góc n ội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung” [6, tr.75].+Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:

“Trong m ột đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng