khái niệm lũy thừa trong dạy học toán ở trường phổ thông

THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Tố Như KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, thầy cô khác nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi kiến thức thú vị didactic tốn, cung cấp cho chúng tơi cơng cụ cần thiết hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Hun nhiệt tình giúp tơi dịch tài liệu tiếng pháp q trình làm luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập, nghiên cứu suốt khóa học - Ban giám hiệu thầy cô, đồng nghiệp Trường THPT Xuyên Mộc nơi công tác, giúp đỡ ln động viên để tơi hồn thành tốt khóa học - Các anh, chị bạn lớp, người đồng hành chia vui buồn học tập sống suốt ba năm học - Những người thân gia đình ln sát cánh tơi trình học NGUYỄN THỊ TỐ NHƯ DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thông SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách tập CLHN Chỉnh lý hợp TCTH Tổ chức toán học QTHĐ Quy tắc hợp đồng BKHTN Ban khoa học tự nhiên KNV Kiểu nhiệm vụ TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy ĐKXĐ Điều kiện xác định [A] Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thông dụng, Guy Lefort [B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet [C] Đại số giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, 2000, NXBGD [M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD MỞ ĐẦU I Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Lũy thừa đối tượng toán học đưa vào từ đầu cấp hai kết thúc cuối cấp 3, số lượng nội dung có vai trị lớn chương trình tốn Chúng tơi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa lý sau đây: - Qua lần cải cách giáo dục mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào đầu chương: hàm số mũ-hàm số lơgarit, sau học giới hạn Điều dẫn chúng tơi đến câu hỏi: Có hay khơng phụ thuộc lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trị việc nghiên cứu hàm mũ hàm lơgarit? - Ở chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào sau chương giới hạn trước chương đạo hàm, sang chương trình cải cách năm 2005 đưa vào chương trình lớp 12 sau học xong chương “đạo hàm ứng dụng đạo hàm” Sự thay đổi có ý nghĩa nào? Tại lại có thay đổi đó? Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa qua hai SGK có thay đổi hay khơng? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh gặp phải khó khăn gì? - Sau tham khảo luận văn tác giả Nguyễn Hữu Lợi Phạm Trần Hồng Hùng, tơi thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ hàm lơgarit có mối quan hệ mật thiết với Đồng thời, mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào sau khái niệm hàm mũ hàm lơgarit Từ đó, chúng tơi đặt câu hỏi: SGK hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa tiến trình gì? - Có tương đồng khác biệt xuất vai trò lũy thừa chương trình đại học chương trình phổ thơng ? Mục đích nghiên cứu khung lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm câu trả lời cho số câu hỏi đặt Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết didactic toán Cụ thể: - Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức toán học, tổ chức toán học, chuyển đổi didactic - Hệ sai lầm khái niệm chương ngại - Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…  Lý thuyết nhân chủng học Ở đây, mô tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt  Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân tri thức Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trị … I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O ? Việc học tập cá nhân X tri thức O q trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ (X,O) Hiển nhiên, tri thức O, quan hệ thể chế I mà cá nhân X thành phần, luôn để lại dấu ấn quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt R(I,O)  Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội; thực tế toán học kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Chính quan điểm mà Yves Chevallard (1998) đưa khái niệm praxéologie Theo Chevallard, praxéologie gồm thành phần [T,,,], T kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T;  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  lý thuyết giải thích cho công nghệ  Một praxéologie mà thành phần mang chất toán học gọi TCTH Bosch M Y Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với đối tượng, vị trí thể chế xác định, định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) thể chế I tri thức O, từ hiểu quan hệ cá nhân X (chiếm vị trí I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) trì tri thức O Việc rõ TCTH liên quan đến tri thức O giúp ta xác định số quy tắc hợp đồng didactic: cá nhân có quyền làm gì, khơng có quyền làm gì, sử dụng tri thức O chẳng hạn  Chuyển đổi didactic Quá trình chuyển đổi thể mắc xích sau:  Mắt xích thứ :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức) Sự tồn “tri thức khoa học” đòi hỏi soạn thảo Ta xem kết hoạt động khoa học Đây hoạt động người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà nghiên cứu Nhà nghiên cứu đặt vấn đề Để giải nó, ơng ta phải khám phá kiến thức, mà số kiến thức nhà nghiên cứu nhận thấy đủ mới, đủ hay, thơng báo cho cộng đồng khoa học Để thông báo, nhà nghiên cứu tạo cho kiến thức dạng khái quát được, theo quy tắc suy lý logic lưu hành cộng đồng khoa học Sự biến đổi kiến thức phần quan trọng hoạt động tốn học «Một nhà nghiên cứu, để thơng báo cho nhà nghiên cứu khác mà ông ta nghĩ tìm thấy, phải biến đổi : - trước hết nhà nghiên cứu xóa thời kỳ khai thủy nghiên cứu : suy nghĩ vơ ích, sai lầm, đường vịng lắt léo, dài, chí dẫn đến ngõ cụt Nhà nghiên cứu bỏ tất liên quan đến động cá nhân hay tảng hệ tư tưởng khoa học theo nhận thức Chúng tơi dùng từ phi cá nhân hóa để tập hợp gạt bỏ - nhà nghiên cứu xóa lịch sử trước dẫn đến nghiên cứu (những mị mẫm, đường sai lầm), có cịn tách khỏi tốn đặc biệt mà lúc đầu muốn nghiên cứu tìm bối cảnh tổng quát cho kết Chúng tơi gọi việc làm phi hồn cảnh hóa.» (Arsac 1989)  Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi) Để cho tri thức đưa dạy trường được, tức trở thành đối tượng cần giảng dạy, điều cần thiết tri thức phải chịu số ràng buộc Sau danh sách mà Chevallard đưa (1985, theo Verret 1975) : - Tính đơn tri thức [nghĩa khả vạch ranh giới tri thức phận trình bày diễn văn tự do] - tính phi cá nhân hóa tri thức [nghĩa tách rời tri thức khỏi cá nhân] - chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa lập chương trình cho việc dạy kiểm tra tri trức] - tính cơng khai tri thức [nghĩa định nghĩa tường minh nội hàm ngoại diên]  Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng giảng dạy (thể chế dạy học) Chính bước mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic tiếp tục hệ thống dạy học  Hệ sai lầm khái niệm chương ngại Theo Brousseau, có sai lầm học sinh mang tính hời hợt, riêng biệt, có sai lầm khác khiến phải quan tâm, sai lầm ngẫu nhiên học sinh phạm phải Sai lầm không đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà hậu kiến thức trước tỏ có ích, đem lại thành cơng, lại tỏ sai đơn giản khơng cịn thích hợp Những sai lầm dạng thất thường hay khơng dự đốn hoạt động học sinh, sai lầm góp phần xây dựng nên nghĩa kiến thức thu nhận Thêm vào đó, sai lầm ấy, chủ thể, thường liên hệ với nguồn gốc chung: cách nhận thức, quan niệm đặc trưng qnnếu khơng nói đắn, “kiến thức” cũ đem lại thành công lĩnh vực hoạt động Đặc trưng chướng ngại gì?  Chướng ngại kiến thực, quan niệm khơng phải khó khăn hay thiếu kiến thức  Kiến thức tạo câu trả lời phù hợp bối cảnh mà ta thường hay gặp  Nhưng vượt khỏi bối cảnh sản sinh câu trả lời sai Để có câu trả lời cho bối cảnh cần phải có thay đổi đáng kể quan điểm  Hơn kiến thức chống lại mâu thuẫn với chống lại thiết lập kiến thức hoàn thiện Việc có kiến thức khác hồn thiện chưa đủ để kiến thức sai biến mất, mà thiết phải xác định đưa việc loại bỏ vào tri thức  Ngay chủ thể ý thức khơng xác kiến thức chướng ngại này, tiếp tục xuất dai dẳng không lúc  Lý thuyết tình Trong phần này, chúng tơi đề cập đến khái niệm cần tham chiếu hợp đồng didactic Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng tri thức mô hình hóa quyền lợi nghĩa vụ giáo viên học sinh đối tượng Nó tập hợp quy tắc (thường không phát biểu tường minh) phân chia giới hạn trách nhiệm thành viên, học sinh giáo viên, tri thức toán học giảng dạy Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích ứng xử giáo viên học sinh, tìm ý nghĩa hoạt động mà họ tiến hành, từ giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát lớp học Theo Annie BESSOT Claude COMITI (2000), để thấy hiệu ứng hợp đồng didactic, người ta tiến hành sau:  Tạo biến loạn hệ thống giảng dạy cho đặt thành viên (giáo viên học sinh) tình khác lạ, gọi tình phá vỡ hợp đồng cách: + Thay đổi điều kiện sử dụng tri thức; + Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng số tri thức đó; + Tự đặt ngồi lĩnh vực tri thức xét sử dụng tình mà tri thức xét không giải được; + Làm cho giáo viên đối mặt với ứng xử không phù hợp với điều mà họ mong đợi học sinh  Phân tích thành phần hệ thống giảng dạy tồn tại, cách: + Nghiên cứu câu trả lời học sinh học; + Phân tích đánh giá toán học học sinh việc sử dụng tri thức; + Phân tích tập giải ưu tiên sách giáo khoa Đặc biệt, ta nhận số yếu tố hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức cách nghiên cứu tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức khơng quy định văn hay định nghĩa tri thức mà phụ thuộc vào tình vận dụng tri thức, vào ước định hình thành (trên sở mục tiêu didactic) q trình giảng dạy Những tiêu chí xác định tính hợp thức tri thức tình khơng cịn phụ thuộc vào thân tri thức mà phụ thuộc vào ràng buộc hệ thống didactic Bất kỳ việc dạy đối tượng tri thức tạo phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ đòi hỏi thương lượng lại hợp đồng mới: học tập trình học sinh làm quen với giá trị phá vỡ thông qua thương lượng với giáo viên Theo Brousseau, thương lượng tạo loại trị chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép thành viên chính, học sinh đưa định chừng mực an tồn đó, cần thiết để bảo đảm cho họ độc lập đặc trưng trình lĩnh hội Việc nghiên cứu quy tắc hợp đồng didactic cần thiết để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến khứ mà hợp đồng hành dạng thể thực tế Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển không liên tục, mà tạo thành từ chuỗi biến cố nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với phá vỡ hợp đồng Phá vỡ hợp đồng nguyên tắc chủ đạo để có tiến triển mong đợi Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tơi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu sau: Trong thể chế dạy học toán bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất theo tiến trình nào? Nó có vai trị kiến thức tốn học khác? Ý nghĩa tiến trình đó? Trong thể chế dạy học phổ thơng Việt Nam, khái niệm lũy thừa đưa vào nào? Nó có vai trị việc xây dựng khái niệm hàm số mũ hàm số lôgarit? Các TCTH xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có thay đổi TCTH xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua thời kỳ? Có khác biệt tương đồng mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa bậc đại học bậc trung học phổ thơng? Tìm hiểu thay đổi vị trí lũy thừa hai SGK, lí ý nghĩa thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải học làm việc với lũy thừa? Những quy tắc hợp đồng hình thành giáo viên học sinh dạy học khái niệm lũy thừa? Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh với lũy thừa? Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề ra, dùng phương pháp nghiên cứu sau: - Phân tích số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, đường mở rộng khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa tiến trình đó, vai trị - Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa bậc trung học phổ thông, so sánh khác biệt thể chế đại học thể chế trung học phổ thông đường mở rộng lũy thừa, qua tìm hiểu thay đổi vai trò lũy thừa hai lần cải cách SGK gần - Từ kết đạt cho phép đề xuất câu hỏi giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng kiểm chứng thực nghiệm Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần sau:  Phần mở đầu: Trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu  Chương I: Khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học Phân tích khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học Cụ thể phân tích khái niệm lũy thừa số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất nó, đặc trưng tiến trình này? Vai trò lũy thừa khái niệm hàm mũ hàm lôgarit  Chương II: Khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức cần giảng dạy Phân tích khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức cần giảng dạy Cụ thể, phân tích chương trình, SGK lớp 6, hai SGK Đại số giải tích 11 (CLHN năm 2000) SGK Giải tích 12 nâng cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa So sánh vai trò lũy thừa hai sách So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy Thơng qua việc phân tích chương trình TCTH, chúng tơi rút QTHĐ liên quan đến việc dạy học khái niệm lũy thừa, sai lầm mà học sinh gặp phải học lũy thừa  Chương III: Thực nghiệm Chúng thực nghiệm học sinh giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh, tìm hiểu mối quan hệ cá nhân họ đối tượng tri thức lũy thừa - Phần kết luận: Trình bày tóm tắt kết đạt đươc ba chương mở hướng nghiên cứu từ luận văn có - Tài liệu tham khảo + Kết sau rút gọn A= a : khơng cịn lũy thừa a với số mũ hữu tỷ nên học sinh a 1 khó phát giá trị a=-2 không thuộc miền xác định biểu thức Vì vậy, chiến lược S15 khơng có hội xuất + Nếu cho biểu thức cần tính chứa số học sinh nhận biểu thức khơng tồn với số lũy thừa âm cách dùng định nghĩa lũy thừa bấm máy tính Do đó, chúng tơi lựa chọn biểu thức cần tính chứa biến tạo hội cho chiến lược S14 xảy ra, hạn chế khả xảy chiến lược S15 Bài Dạng tập đưa “giải phương trình” Đây dạng tốn vừa quen mà vừa lạ học sinh Nó quen tốn “giải phương trình” hoc sinh biết qua hầu hết cấp học Nó lạ kiểu tốn học sinh gặp làm việc với đối tượng lũy thừa Để giải phương trình này, địi hỏi học sinh phải biết đặt điều kiện cho số lũy thừa vào số mũ Đề đưa khơng đặt nặng thao tác giải phương trình, mà yêu cầu học sinh nhận định điều kiện xác định lũy thừa p p Chúng lựa chọn phương trình có chứa biểu thức dạng: (a m ) m (a m )m , nhằm tìm hiểu ứng xử học sinh áp dạng tính chất: lũy thừa lũy thừa có tính đến điều kiện xác định lũy thừa hay không Ở câu a, dấu số phụ thuộc vào biến x, câu b cho lũy thừa mà số ln âm với mục đích tạo hội cho em nhớ lại điều kiện số định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ Bài Bài chúng tơi muốn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm lũy thừa có mở rộng số mũ Như phân tích chương 2, hệ thống tập mà SGK đưa cho sẵn điều kiện số không đề cập đến điều kiện số đề lời giải mong đợi Do đó, thay đổi điều kiện số có mở rộng số mũ khơng học sinh tính đến Bài cho phép chúng tơi tìm hiểu vấn đề vừa nêu Liệu với cách đưa yêu cầu cách trực tiếp đề học sinh có tìm điều kiện xác định lũy thừa hay không? Câu trả lời học sinh cho biết điều Biểu thức hàm số mà đưa chứa lũy thừa với số mũ số tự nhiên nhằm tìm hiểu khả nhận biết học sinh thay đổi điều kiện số số mũ thay đổi tập hợp số Bài Kiểu nhiệm vụ “Viết biểu thức dạng lũy thừa số với số mũ hữu tỷ” chiếm vị trí lớn phần tập SGK Chúng lựa chọn bậc lẻ để biểu thức đưa tồn Khi đưa tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, SGK cho sẵn điều kiện biến nằm dấu dương cho số dương Vì vậy, chúng tơi lựa chọn số nằm dấu số âm (-3) Sự ngắt quãng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh hưởng ứng xử học sinh 3.7.5 Phân tích chi tiết tốn Bài 1: Câu trả lời nhận theo chiến lược sau: S11: Chiến lược “dùng quy tắc tính định nghĩa lũy thừa” Bài 1: a) 32.37   3.3  3.3.3.3.3.3.3  39    Vậy B 2 3     32.37  3.2.3.7  126   Mà 914=9.14=126 nên D 2.7 14  3  (3.3)    32.37  32.7  314 Vậy A  7.7.7.7.7.7  7.7.7  73  b) 7.7.7  Vậy D 6 3  :7    76 : 73   7 76 : 73     7 3  13 Vậy A 76 : 73  73  79 Vậy C 76 : 73  73.6  718 Vậy B 76 : 73  76:3  72 Vậy E Bài 2: * 34  3.3.3.3  81 34  3.4  12 34  4.4.4  64 * 32.23  3.2.2.3  36 32.23  3.3.2.2.2  72  (3.2)   6.6  36  (3.2)  6 * (23 )2  25  32 (23 )2  82  64 (23 )2  2.3.2  12 63 *  23  63 6.3  2 33 3.3 * 1  1 28     28   42  16 7 7  2 1 28    28.2 .2  16 7 63      1 33   1  1 28     28  7  7  22  1   28  7  2.2  44  256 Bài 3: a 22.23  25 Từ đó, kết luận a sai 22.23  26 Từ đó, kết luận a      8 b        Từ đó, kết luận b sai          2   6    Từ đó, kết luận b            c) 45       22 Từ đó, kết luận c 2  45 210   27   2  Từ đó, kết luận c sai 4.5 10    23 2.3   d )  0.5 : 0.5   0.5 Từ kết luận d  0.5 : 0.5   0.5 Từ kết luận d sai S12: Chiến lược “dùng máy tính” Bài 1: Nhập vào MTBT tích: 32.37 76 : 73 Sau đó, dùng MTBT kiểm tra đáp án cho bên Từ đó, chọn đáp án giống kết Bài 2: Nhập lũy thừa cần tính vào MTBT ghi lại kết thu Bài 3: Dùng MTBT tính lũy thừa vế trái đẳng thức so sánh kết với vế phải để đưa nhận xét Bài Câu trả lời nhận theo chiến lược sau S13: chiến lược “ thay giá trị tính” Với a= -2 ta có: 1 1 4 (2) (2)  (2)  (2) (2)  (2)     A 2  1 (2)2   3 3.(2)  (2)  (2)  (2).(2)  (2)   3 3 4 (2)  (2)  2   3 S14: Chiến lược “ Rút gọn tính” A 3 3 a a  a  a a (a  1)  a  a  a   a 1 a2  a2  1 a  a3  a3  a  a a   2 a 1 a 1 Với a=-2 A  2 S15: Chiến lược “Miền xác định” Với số a0x>-1 Vậy TXĐ: D   1;   1 c Hàm số y   x  3 xác định x    x  Vậy TXĐ: D  ( 3 3 ; ) Bài 7: Câu trả lời nhận theo chiến lược sau: S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định lũy thừa” 1 43 3 3 3  (3) (3)15 (3)105  (3)105 S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định lũy thừa” Vì -340%) Điều hồn tồn với dự đốn ban đầu Bài 2: Bảng 3.3: Thống kê lời giải học sinh lớp Yêu cầu tính Kết an  a  n am bn  (a.b)mn am bn  (a.b)m.n a  m n  amn am  a    bn b m n Trả lời khác Không trả lời Tần số 81 1 28   7 (3.2).(2.3)=36 (3.2)5=65 25.86% 64 15.51% (2.2)3=4.3=12 25=32 (23)2 =26=12 58.62% 29.31% 39.65% (22 )3 4.4.4=64 72 32.23 3.4=12 55.17% 34 8.62% 25.86% 5.17% 16 1 28    7 28.2  14 36.20% (21) 2 31.03% 63 33 32.76% 1 28     7 32.23  55 13.79% 12.06% (3.2)2.3=66 8.62% 2 1 28    7  28.2 14 1 28     7 2  1  28   7   1  28   7  8.62% 12.06% 12.06% 63 6.3  2 33 3.3 63     33   17.24% 46.55% 33  20  63  20  33 3.45% Thơng qua tốn 2, ta tìm thấy nhiều sai lầm từ làm học sinh Bài 3: Trong số 58 học sinh tham gia làm thực nghiệm: + Có 10/58 (chiếm 17.24%) học sinh khơng nhận câu a sai + Có 24/58 (chiếm 41.38%) học sinh không nhận câu b sai + Có 53/58 (chiếm 91.38%) hoc sinh khơng nhận câu c sai + Có 47/58 (chiếm 81.03%) học sinh nhận biết d đáp án Nhận xét: Từ kết thống kê ba toán 1, 2, 3, ta thấy đa số học sinh gặp sai lầm vận hành quy tắc tính lũy thừa vượt phạm vi hợp thức có “pha trộn” cơng thức q trình tính tốn Kết thực nghiệm cho thấy học sinh lớp gặp nhiều khó khăn làm việc đối tượng lũy thừa Qua làm học sinh, ta thấy có đến học sinh cho (0.5)5: (0.5)=(0.5)5 0.5=(0.5)0 Tuy nhiên, lấy tập thực nghiệm học sinh lớp 12 sai lầm mà học sinh lớp gặp phải xuất học sinh lớp 12 Theo tôi, học sinh mười hai có lượng kiến thức toán học tương đối nhiều, nên toán tỏ đơn giản so với trình độ học sinh 12 Số liệu thu nhận kiểm chứng tính hợp thức giả thuyết H2 Bài 4: Bảng 3.4: Bảng thống kê lời giải học sinh Chiến lược Bỏ Tổng S13(Thay giá trị tính) S14(Rút gọn tính) S15(Miền xác định) trống số 30 70 15 14 129 Qua kết thực nghiệm, nhận thấy, đa số học sinh sử dụng chiến lược S14 (Có 70/129 chiếm 54,29%) Mặc dù giá trị biến a cho số nguyên số học sinh chọn lựa chiến lược S13 khơng cao (có 30/129 chiếm 23,25%) Trong đó, có 15/129 (chiếm 11,6%) nhận biểu thức A khơng tồn a=-2 Có 3/15 em sau thay giá trị a vào nhận sai, học sinh dùng MTBT để phát điều Có 14/129 (chiếm 10,85%) học sinh khơng biết cách giải tốn Từ thống kê, chúng tơi thấy rằng, giải kiểu nhiệm vụ tính giá trị biểu thức, học sinh quan tam đến điều kiện xác định biểu thức đó, mà biết tìm cách tối ưu để giải mà Điều phù hợp với nhận định ban đầu chúng tôi, lý SGK giáo viên ln cho học sinh giải tốn thuộc kiểu nhiệm vụ mà giá trị biến thỏa mãn điều kiện xác định biểu thức Kết thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng qui tắc hợp đồng H1 kiểu nhiệm vụ T2 Bài 5: Bảng 3.5: Thống kê lời giải học sinh Câu Chiến lược Bỏ Tổng trống số S16 S17 Bỏ qua ĐKXĐ lũy thừa Tính đến ĐKXĐ lũy thừa a 95 25 129 b 95 25 129 Từ kết thống kê ta thấy: + Có 95/129 học sinh (chiếm 73,64%) khơng tìm điều kiện xác định phương trình Tất học sinh có chung lời giải là:  x  4   x   x   x   x  x     x  2      x    p p Tức học sinh suy nghĩ : (a m )m  (a m ) m  a p với giá trị a + Chỉ có 9/129 học sinh (chiếm 6,97%) có tìm điều kiện số lũy thừa Tuy nhiên học sinh giải câu b, câu a em không bỏ giá trị tuyệt đối cho biểu thức x2-4 a m lẻ   a m chẳn  Tức học sinh khơng vận dụng tính chất thức (a m ) m  m a m   + Có 25 học sinh khơng đưa lời giải cho tốn Có thể dạng tốn em gặp Bài 6: Bảng 3.6: Thống kê lời giải học sinh Câu Chiến lược Bỏ S16: Bỏ qua ĐKXĐ lũy S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa Tổng trống số thừa a 129 129 b 29 100 129 c 25 104 129 Theo kết thống kê: + Có 129/129 (chiếm 100%) học sinh giải câu a có tính đến điều kiện xác định lũy thừa Tuy nhiên, có đến 20 học sinh chuyển hàm số cho dạng y    x   5 4  x  đặt điều kiện  x  Điều cho thấy, có số học sinh khơng nhận điều kiện số lũy thừa với số mũ nguyên âm khác + Có 29/129 (chiếm 22,48%) học sinh biến đổi hàm số cho câu b dạng y   x  1  x  Sau đó, đặt điều kiện cho biểu thức x   29 học sinh thuộc lớp nâng cao trường Có thể SGK nâng cao khơng đưa dạng tốn này, SGK lại có, nên học sinh khối làm tập dạng có phần chiếm ưu + Có 25/129 (chiếm 19,37%) học sinh biến đổi hàm số cho câu c dạng 1 y   x  3  2x  , đặt điều kiện cho x   Đa số học sinh giải tập 6, điều cho thấy, đặt học sinh trước nhiệm vụ phải tìm điều kiện xác định lũy thừa học sinh biết thay đổi điều kiện số lũy thừa số mũ thay đổi Nhưng ta không yêu cầu trực tiếp em khơng quan tâm, trách nhiệm giáo viên Kết lần khẳng định tính thích đáng giả thuyết H1 Bài 7: Bảng 3.7: Thống kê lời giải học sinh Chiến lược Bỏ S16: Bỏ qua ĐKXĐ lũy S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa trống thừa 105 Tổng số 18 129 Kết thống kê toán phản ánh rõ giả thuyết H1 chúng tơi Có đến 105/129 (chiếm 81,39%) học sinh chuyển biểu thức cho dạng lũy thừa -3 với số mũ hữu tỷ Hầu học sinh không quan tâm đến điều kiện xác định lũy thừa với số mũ hữu tỷ Chỉ có (chiếm 4,65%) học sinh khơng đưa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, mà để biểu thức cho dạng căn: 3 3 3  105 3 , nhiên không giải thích thêm Có 18/129 (chiếm 13,95%) học sinh khơng biết cách giải kiểu nhiệm vụ  Kết luận chương Thực nghiệm tiến hành hai đối tượng giáo viên học sinh THPT cho phép chúng tơi kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết H1 Kết phân tích phiếu trả lời học sinh từ toán 1, 2, cho phép hợp thức giả thuyết H2 KẾT LUẬN Q trình phân tích đường mở rộng lũy thừa cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy cho phép trả lời câu hỏi đặt đầu luận văn Kết thực nghiệm chương khẳng định tính thích đáng giả thuyết đặt  Các kết việc nghiên cứu tóm tắt sau: Ở cấp độ tri thức khoa học: có hai tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa Tiến trình 1: Hàm mũ e Lũy thừa số e Hàm mũ a Lũy thừa số a Tiến trình 2: Hàm mũ e Lũy thừa số e Lũy thừa số a Hàm mũ a Trong giáo trình A a x  exp( xLoga) giáo trình B: a x  e xLoga Khái niệm lũy thừa xây dựng số e trước có lũy thừa số a>0 Dù theo tiến trình để mở rộng khái niệm lũy thừa người ta dùng đến kiến thức hàm mũ Trong giáo trình đại học, lũy thừa khơng có vai trị việc xây dựng định nghĩa hàm mũ, hàm lôgarit lôgarit Căn bậc n hàm số ngược hàm lũy thừa, đưa sau có khái niệm lũy thừa Vì vậy, khơng có vai trị việc xây dựng khái niệm lũy thừa Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, qua hai lần cải cách có đường mở rộng khái niệm lũy thừa là: Lũy thừa với số mũ tự nhiên với số mũ hữu tỷ Lũy thừa với số mũ nguyên Lũy thừa Lũy thừa với số mũ thực Kiến thức dùng để mở rộng giới hạn bậc n Tiến trình mở rộng lũy thừa phổ thơng có phần giống với giáo trình B sở dùng để mở rộng hoàn toàn khác Trong SGK lớp 12 lũy thừa số e trường hợp đặc biệt lũy thừa số a, khơng có vai trị việc xây dựng khái niệm lũy thừa số a Hàm mũ khơng có vai trị việc mở rộng khái niệm lũy thừa bậc THPT ngược lại lũy thừa sở trực tiếp để định nghĩa hàm số mũ hàm số lơgarit Có khác biệt lớn giáo trình đại học SGK phổ thơng bậc đại học mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào sau học đạo hàm nguyên hàm, bậc THPT mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào trước có nguyên hàm Mặc dù bậc THPT lũy thừa với số mũ thực có lúc đưa vào trước học đạo hàm sau học đạo hàm, nhiên tiến trình mở rộng lũy thừa hồn tồn khơng thay đổi, tổ chức tốn học có vài thay đổi nhỏ Việc thay đổi chương trình, dạy học đạo hàm trước dạy lũy thừa SGK năm 2005 nhiều ảnh hưởng đến vai trò lũy thừa Khi học đạo hàm người ta dùng để tìm tính chất hàm mũ hàm lũy thừa, không dùng tính chất lũy thừa SGK CLHN năm 2000 Mặc dù vậy, khái niệm đạo hàm tác động việc khảo sát hàm mũ hàm logarit, định nghĩa hàm mũ phải dùng đến kiến thức lũy thừa Q trình phân tích SGK cho phép rút hai giả thuyết H1 H2 Kết thực nghiệm chương kiểm chứng tính hợp thức hai giả thuyết nêu TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố didactic toán, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Cục nhà giáo cán quản lí Giáo dục (2008) Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12 THPT, Giáo dục Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11, Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, Tốn 6, tập 1, Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, Tốn 7, tập 1, Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, SGV Toán 6, tập 1, Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 7, tập 1, Giáo dục Nguyễn Huy Đoan (2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Ban KHTN, Giáo dục Guy Lefort (1975), Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thơng dụng, Viện đại học sài gịn 10 Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh (2000), Đại số giải tích 11, Giáo dục 11 Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh (2000), Bài tập đại số giải tích 11, Giáo dục 12 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Giải Tích 12, Giáo dục 13 Phạm Trần Hoàng Hùng, Khái niệm hàm số lôgarit trường trung học phổ thông, 2008 14 Nguyễn Hữu Lợi, Khái niệm hàm số trường trung học phổ thơng, 2008 15 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục 16 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), SGV Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục 17 Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Giáo dục Tiếng Pháp 18 André Delachet (1960), Les Logarithmes et leurs applications, Presses Universitaire de France ... trình đưa vào khái niệm lũy thừa SGK phổ thông, thấy ý nghĩa tiến trình, vai trị lũy thừa việc xây dựng khái niệm khác có thay đổi 1.1 Khái niệm lũy thừa giáo trình [A] Khái niệm lũy thừa với số... mở rộng khái niệm lũy thừa thông qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ nguyên ? ?lũy thừa với số mũ hữu tỷ ? ?lũy thừa với số mũ thực số e  lũy thừa với số mũ thực số a Cơ sở để định nghĩa lũy thừa. .. thấy có khác biệt rõ nét tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa bậc đại học trung học phổ thông Ở bậc đại học mở rộng khái niệm lũy thừa thực nhờ khái niệm tính chất hàm số mũ, hàm số mũ lại định