phép chia có dư trong dạy học toán ở trường phổ thông

Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học 1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Tất cả các bạn học viên cao học khóa 18, những người đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu về didactic toán

- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Cần Đước đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH Trường ĐHSP TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong khóa học

- Gia đình và những người thân đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

Hoàng Thị Oanh

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Pccd : Phép chia có dư Pch : Phép chia hết UCLN : Ước chung lớn nhất TCTH : Tổ chức toán học THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học cơ sở SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách bài tập SGK3 : Sách giáo khoa toán 3 SGK4 : Sách giáo khoa toán 4 SGK5 : Sách giáo khoa toán 5 SGK6 : Sách giáo khoa toán 6 SGK7 : Sách giáo khoa toán 7 MTBT : Máy tính bỏ túi

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:

Sau khi tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) về đề tài “Nghiên cứu Didactic về bước chuyển từ phân số như là “những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” đến phân số như là

“ thương” ở lớp 3 và lớp 4 và việc đào tạo giáo viên tiểu học về phân số” Chúng tôi chú ý những nhận xét về phép chia hết và phép chia có dư xuất hiện ở tiểu học trong những tình huống và nghĩa của phép chia trong những tình huống đó

Phép chia có những nghĩa như sau:

- Phép chia là sự phân phối lần lượt, mỗi lần một đối tượng cho đến hết

- Phép chia là sự phân phối bằng nhau các nhóm, mỗi nhóm có hơn một đối tượng

- Phép chia là phép toán ngược của phép nhân: muốn tìm kết quả của phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng

Nghĩa của phép chia hết và phép chia có dư :

- Phép chia hết là sự phân phối lần lượt các đối tượng bằng nhau cho đến hết

- Phép chia có dư là sự phân phối lần lượt các đối tượng cho đến khi còn một số đối tượng không thể phân phối đều được nữa

Tuy nhiên khi làm tính trên số, phép chia hết và phép chia có dư lại có nghĩa:

- Phép chia hết là phép chia mà không có dư

- Phép chia có dư là phép chia có thương là số nguyên và số dư bé hơn số chia

Nhìn chung phép chia cho nghĩa chia đều n đối tượng cho p phần bằng nhau

Luận văn chỉ đề cập đến nghĩa của phép chia ở bậc tiểu học Như vậy, các câu hỏi sau đây được đặt

ra :

Phép chia có dư được tiếp tục trình bày ở THCS và THPT như thế nào ? Đối tượng này có còn mang những nghĩa như đã nhắc tới ở SGK tiểu học nữa hay không? Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình nhằm giải quyết những vấn đề gì toán học gì ?

2 Khung lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi sẽ vận dụng lý thuyết nhân học của Chevallard để phân tích các thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư trong các thể chế dạy học đại học

và THCS Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư, hiểu về pccd và thao tác về pccd Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, chúng tôi cần đặt trong mối quan hệ thể chế dạy học pccd ở bậc phổ thông Bên cạnh đó chúng tôi xây dựng các tổ chức toán học xung quanh

khái niệm phép chia có dư ở để làm rõ mối quan hệ ở hai thể chế trên

Kế tiếp chúng tôi vận dụng khái niệm hợp đồng didactic để xem xét yếu tố chi phối ứng xử của giáo viên và học sinh, yếu tố nào cho phép hợp thức hóa các thao tác của học sinh trên đối tượng phép chia có dư Ở đây, chúng tôi làm rõ những qui tắc ngầm ẩn phân chia trách nhiệm và quyền hạn của giáo viên và học sinh đối với đối tượng pccd

Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu:

Q1 Khái niệm phép chia có dư đối với tri thức khoa học được trình bày như thế nào? Nó có những đặc trưng cơ bản nào? Phép chia có đóng vai trò công cụ cho những tri thức nào ?

Q2 Trong thể chế dạy học toán ở phổ thông Việt Nam phép chia có dư được giảng dạy như thế nào? Phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn đó như thế nào?

Q3 Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy – học phép chia có dư ?

3 Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi thực hiện trong luận văn này là:

Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư trong hai thể chế:

 Thể chế dạy học phép chia có dư ở bậc đại học: Cụ thể là nghiên cứu các giáo trình đại học

về việc trình bày phép chia có dư như thế nào và các ứng dụng của phép chia có dư để giải quyết những vấn đề nào

 Thể chế dạy học phép chia có dư ở trường phổ thông: phân tích chương trình và SGK Việt Nam, phép chia có dư được giảng dạy như thế nào, kiến thức này được đưa vào để giải quyết những bài toán nào trong chương trình Dựa trên việc tổng kết các kết quả phân tích đưa ra những giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của chúng sẽ được kiểm nghiệm bằng thực nghiệm

 Xây dựng tình huống thực nghiệm đối với học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đã được đặt ra ở trên

Phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

4 Tổ chức luận văn:

Luận văn gồm những phần chính sau đây:

 Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn

đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn

 Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư ở cấp độ tri thức khoa học trong hai giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng cơ bản của khái niệm phép chia có dư và cơ chế công cụ của khái niệm này

 Chương 2: Chúng tôi phân tích mối quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư trong SGK Việt Nam Từ đó chúng tôi đưa ra những câu hỏi mới và các giả thuyết nghiên cứu

 Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả thuyết mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2

THỰC NGHIỆM

CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHIA CÓ DƯ

Mục tiêu của chương

Chương này có mục tiêu làm rõ đặc trưng của phép chia có dư và cơ chế công cụ của phép chia

có dư trong một số giáo trình ở bậc đại học Cụ thể hơn, qua việc phân tích các giáo trình này chúng tôi cố gắng tìm hiểu cách trình bày khái niệm phép chia có dư được trong các giáo trình đại học và các ứng dụng của phép chia có dư cũng như vai trò công cụ của phép chia có dư trong việc nghiên cứu những khái niệm có liên quan

Phân tích một số giáo trình đại học liên quan đến phép chia có dư

Ở đây chúng tôi chọn phân tích ba giáo trình thuộc các lĩnh vực số học, toán rời rạc và đại số đại cương được sử dụng phổ biến trong các trường đại học phía Nam :

[a] Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục

[b] Kenneth H Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, NXB Lao động –

Người dịch: Bùi Xuân Toại

[c] Hoàng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục

Mục đích của việc lựa chọn các giáo trình này là do phép chia có dư và các vấn đề có liên quan đến phép chia có dư được trình bày trong các giáo trình này khá phong phú Việc phân tích so sánh các giáo trình trên sẽ cho phép làm rõ sự khác nhau trong việc trình bày phép chia có dư ở cấp độ giáo trình đại học Điều này làm cơ sở tham chiếu cho chúng tôi thực hiện phân tích phép chia có dư được giảng dạy ở phổ thông

1 Phép chia có dư ở giáo trình [a] – Số học

1.1 Phép chia có dư xét trên phương diện đối tượng

Trong giáo trình này phép chia được đề cập lần đầu tiên ở chương 1 trong tập hợp số tự nhiên

Định nghĩa phép chia được trình bày ở trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b0 Nếu có số tự nhiên c sao cho cb = a thì c được gọi là thương trong phép chia a cho b.”

Phép chia được trình bày ở đây theo quan điểm phép chia là phép toán ngược của phép toán

nhân Định nghĩa này ngầm ẩn việc tìm một số chưa biết c khi ta đã có a và b tức là một dạng giải

phương trình Qua phần trình bày của định nghĩa, phương trình này không phải lúc nào cũng có nghiệm hay thương của phép chia hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng tồn tại Trong phần nhận

xét, giáo trình nêu : “ Nếu thương a : b tồn tại thì a = b (a:b) Suy ra a = 0 hoặc a b” [trang 11]

với điều kiện này thì phép chia này được gọi là phép chia hết Định nghĩa này được trình bày trong

bài “Phép trừ và phép chia” tuy nhiên qua cách trình bày không thể hiện mối quan hệ nào giữa phép trừ và phép chia

Trong bài “Phép chia có dư”, trước khi định nghĩa phép chia có dư [a] đưa vào định lý 5 ở trang 11 như sau:

“Cho hai số tự nhiên a và b, b 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q,r thỏa mãn

a được gọi là số bị chia, b được gọi là số chia, q được gọi là số thương, r được gọi là số dư

Nếu r = 0 thì ta nói a chia hết cho b.”

Định nghĩa này nêu đặc trưng của phép chia có dư với mọi số tự nhiên a, b (b0 ) thì luôn

tìm được q và r thỏa mãn biểu thức a = bq + r Vậy phép chia có dư luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên Phép chia có dư được định nghĩa theo quy ước

Như vậy trong [a] phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư

Cho đến chương 3, định lý về phép chia có dư còn gọi là định lý cơ bản được phát biểu trong tập hợp Z:

“Cho hai số nguyên a và b, b0, khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên q, r sao cho:

Trong trường hợp a < 0 với yêu cầu số dư là số dương ta thực hiện thêm bớt cho số chia để tìm cặp

số (q, r), phần chứng minh này thể hiện sự ngầm ẩn phép chia có dư có nghĩa phép trừ liên tiếp số bị chia cho số chia tới khi được một số nhỏ hơn số chia

Ta lấy ví dụ phép chia có dư – 14 chia cho 3

Ta có - 14 = - 3.4 – 2

a chia hết cho b, a là bội số của b; kí hiệu a b; hoặc :

b chia hết a, b là ước của a; kí hiệu b/a”

Như vậy, phép chia có dư đã được định nghĩa trên tập số Z Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư Trong phép chia có dư thì số dư luôn là số nguyên không âm và bé hơn số chia Bên cạnh đó, giáo trình [a] đã đưa ra các ngôn ngữ tương đương của đặc trưng chia hết là

“bội” và “ước” Trong giáo trình này ngôn ngữ “bội” và “ước” được sử dụng thay thế cho cụm từ

“chia hết” Sau phần định nghĩa [a] không đưa ra một ví dụ nào để minh họa cho phép chia có dư Điều này gây không ít khó khăn cho người học khi biểu diễn số nguyên âm dưới dạng phép chia có

dư

Phần tiếp theo của [a] giới thiệu tính chất cơ bản của chia hết và các kiểu nhiệm vụ liên quan tới tính chia hết

1.2 Phép chia có dư xét trên phương diện công cụ

a Ước chung lớn nhất (UCLN)

Định nghĩa UCLN ở trang 44 như sau:

“Nếu số d là ước số của tất cả các số a 1 , a 2 , ,a n thì d được gọi là ước chung của các số a 1 ,

a 2 , ,a n

Một ước chung của các số a 1 , a 2 , ,a n được gọi là ước chung lớn nhất (ƯCLN) nếu nó chia hết cho mọi ước chung của các số đó

ƯCLN của a 1 , a 2 , ,a n được kí hiệu là ƯCLN(a 1 , a 2 , ,a n )

ƯCLN dương của a 1 , a 2 , ,a n được kí hiệu là (a 1 , a 2 , ,a n ).”

Trong tập hợp các ước chung, theo hình thức thì ước chung lớn nhất là số lớn nhất trong tập ước chung, định nghĩa đã nêu rõ bản chất của UCLN là ước chung chia hết cho mọi ước chung còn lại Thông qua định nghĩa ta có thể nhận thấy kỹ thuật tìm UCLN đã chỉ rõ nhưng kỹ thuật này có thể mất nhiều thời gian khi các số đó là những số rất lớn

Từ định nghĩa UCLN thì [a] cũng đưa và định nghĩa số nguyên tố cùng nhau và số nguyên tố sánh đôi Một số tính chất sử dụng đến phép chia có dư để tìm UCLN chẳng hạn như tính chất 5, 6 ở trang 45 như sau:

“5 Nếu có số a j sao cho a j \ a i với mọi i = 1, 2, , n thì ƯCLN (a 1 , a 2 , , a n ) = a j

6 Cho a = bq + c; a, b, c, q Z Khi đó mỗi ước chung của a, b cũng là ước chung của b, c

“Cho hai số nguyên a 0 và b 0

Khi đó theo định lý 1, ta tìm được các cặp số (q 0 , r 0 ),(q 1 , r 1 ), ,(q n , r n ) sao cho

toán sẽ dừng lại khi r = 0

Bên cạnh đó [a] cũng đưa ra lược đồ tìm UCLN của nhiều số nguyên a1, a2, , an

UCLN của những số nguyên dương

Bài toán tìm UCLN thường gắn liền với bài toán tìm bội chung nhỏ nhất, nhưng trong luận văn này chúng tôi chỉ tìm hiểu về UCLN

b Quan hệ đồng dư

Định nghĩa đồng dư được nêu ở trang 57:

“Cho m N * Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo môdun m nếu các phép chia a cho m

a n n1 1 0 viết trong hệ cơ số g chia hết cho số d là tổng a 0 r 0 +

a 1 r 1 + + a n r n chia hết cho d, trong đó r i là các số nguyên sao cho i i

r

g  mod(d), i = 0, 1, , n.”

Từ định lý này [a] đưa ra các ví dụ về dấu hiệu chia hết cho 2, 5 và 3, 9 và 11 Đây là những dấu hiệu chia hết thường gặp Định lý này phát biểu dấu hiệu chia hết với cơ số bất kì, Những ví dụ minh họa đều trong hệ thập phân

Ứng dụng của phép chia có dư trong thuật toán Euclide còn là công cụ để giải phương trình vô định

Định nghĩa số nguyên tố cũng dựa vào tính chất của phép chia hết: “Số tự nhiên lớn hơn 1 được gọi

là số nguyên tố nếu chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và chính nó.” Các tính chất của số nguyên tố

hay phân tích một số ra thừa số nguyên tố cũng dựa vào các dấu hiệu chia hết và không chia hết của các số tự nhiên

 Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư

Kiểu nhiệm vụ TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

Ví dụ trang 17: Viết số 115 sang hệ ghi cơ số 3

+ Thực hiện liên tiếp các phép chia có dư số tự nhiên x và các thương của các phép chia đó cho cơ

+ Phép chia dừng lại khi thương số bằng 0

+ Dãy các số dư viết theo thứ tự đảo ngược chính là kết quả cần tìm

Kỹ thuật này được [a] nêu rõ: “Để đổi một số x từ hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g ta thực hiện chia liên tiếp x cho g Số dư lần chia đầu là a 0 , số dư lần tiếp theo là a 1 , số dư lần cuối cùng là a n. Ta được x

g a a a

a n n1 1 0 ”

Trong cách trình bày chúng tôi nhận thấy có một vấn đề là số thương cuối cùng cũng chính là

số dư cuối cùng của phép chia tức phép chia dừng lại khi xn < g Trong cách giải mong đợi được nêu ra bởi [a] không giải thích cho kết quả này Trong kỹ thuật này khi thực hiện liên tiếp các phép chia có dư thì kết quả của bài toán là dãy những số dư Số dư đóng vai trò quan trọng trong kiểu nhiệm vụ này Điều kiện dừng của thuật toán này không được nêu rõ trong [a] Quá trình thực hiện phép chia phải dừng lại sau hữu hạn bước do g > 1 nên x > x0 > x1 > x2 dãy xi giảm dần, do đó tồn tại n để xn = 0

Công nghệ DCS: Định nghĩa phép chia có dư

Kiểu nhiệm vụ TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *

,a N Z

+ Phân hoạch Z thành các lớp thặng dư: n = ak + r; với 0 r  a

+ Chứng minh mệnh đề chứa biến đúng trong từng lớp thặng dư

Công nghệ CH: Các tính chất chia hết Định nghĩa phép chia có dư

Lý thuyết  : Quan hệ tương đương, quan hệ đồng dư

Đây kiểu nhiệm vụ cơ bản của chương này có nhiều kỹ thuật giải như dùng phương pháp chứng minh quy nạp, chứng minh phản chứng, dùng kỹ thuật phân tích nhân tử Trong một bài toán các kỹ thuật này kết hợp với nhau để giải quyết nhiệm vụ này

Kỹ thuật phân hoạch Z thành những lớp thặng dư có nhiều cách ghi khác nhau nhưng chúng tôi nhận thấy thường theo hai cách:

+ Liệt kê tất cả các ước của các số nguyên

+ Tìm ước chung của tập hợp số này

+ Số lớn nhất của ước chung chính là UCLN

Dựa vào định nghĩa ta có được kỹ thuật này Ta nhận thấy kỹ thuật này tốn thời gian và công sức nên thực tế ít được áp dụng để tìm UCLN

Công nghệ UCLN DN:Phép chia hết và các tính chất cơ bản của phép chia hết

Ví dụ trang 47: Tìm UCLN của 119 và 84

Ta có 119 = 84.1 + 35

84 = 35.3 + 14

35 = 14.2 + 7

14 = 7.2 vậy (119, 84) = 7

Kỹ thuật UCLN TTE: Dùng thuật toán chia Euclide để tìm UCLN

Công nghệ UCLN. TTE:

+ Các tính chất UCLN

+ Định lý cơ bản về phép chia có dư

Lý thuyết UCLN TTE

+ Sắp thứ tự tốt của tập N

+ Nguyên lý chuồng bồ câu

Ví dụ trang 73: Tìm UCLN của 96, 240, 168, 360

Ta có 96 = 2 5 3

240 = 2 4 3.5

p1 2 

2 1

k

p p

p1 2 

2 1

k

p p

p          , với i 0 ,i  0 ,i  0 ,i 1 k

Công nghệ UCLN NT:

+ Số nguyên tố, dấu hiệu chia hết

+ Quy tắc nhân lũy thừa

Bài toán tìm bội chung nhỏ nhất là bài toán luôn đi với bài toán tìm UCLN, tuy nhiên trong luận văn này chúng tôi chỉ xem xét về UCLN

Kiểu nhiệm vụ TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z

Các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ TSD của giáo trình này có số bị chia rất lớn được biểu diễn dưới dạy lũy thừa Vì thế kỹ thuật giải phải huy động các định lý đồng dư

Vì (5 30 + 50) 30 9 (mod 24) nên số dư phép chia (5 30 + 50) 30 cho 24 là 9

Kỹ thuật SD: Dùng quan hệ đồng dư cho từng số hạng, sử dụng các tính chất của đồng dư thức tìm

số dư của phép chia

Cộng nghệ SD: Định nghĩa quan hệ đồng dư, tính chất quan hệ đồng dư

Số dư có vai trò quan trọng trong một số bài toán của số học hay tin học vì vậy trong kiểu nhiệm vụ này giáo trình thường huy động các đinh lý sau

1 Sử dụng định lý Fermat dạng: Nếu p là nguyên tố và (a, p) = 1 thì:

a p – 1  1 (mod p)

2 Theo định lý Euler, (a, m) = 1 thì a(m) 1(mod m)

a k(m) 1(mod m)a rk(m) a r (mod m) (rN * )

nói theo cách khác, nếu n, r N và n r (mod (m)) thì a n a r (mod m)

Kiểu nhiệm vụ TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c

Ví dụ trang 103: Giải phương trình: 53x + 32y = 14

Vì (53, 32)= 1 nên phương trình có nghiệm

Theo thuật toán Euclide, ta tìm được các số u = - 3 và v = 5:

53.( - 3) + 32.5 = 1

53.( - 42) + 32 70 = 14

Vậy ( - 42, 70) là một nghiệm của phương trình và họ tất cả các nghiệm của phương trình là:

Z t t y

t x

32 42

họ nghiệm của phương trình là: t Z

t D

a y y

t D

b x x

Ngoài ra phương trình vô định còn một số kỹ thuật giải khác như kỹ thuật áp dụng định lý

Euler: “Cho số tự nhiên m > 1 và số nguyên a sao cho (a, m) = 1 khi đó a(m) 1 (mod m)” Giáo

trình [a] còn đưa vào kỹ thuật dùng phép biến đổi đưa về một ẩn có hệ số bằng 1 để giải phương trình này

Kết luận

Phép chia có dư được định nghĩa đối với tập hợp số tự nhiên sau đó định nghĩa trong tập hợp

số nguyên Tuy nhiên trước khi nêu định nghĩa phép chia có dư thì [a] đưa vào định lý về phép chia

có dư để làm cơ sở Trong chương I, phép chia hết và phép chia có dư được định nghĩa tách rời nhau nhưng định nghĩa phép chia có dư vẫn bao hàm phép chia hết Đặc trưng của số dư là một số nguyên không âm bé hơn số chia

Nghĩa của phép chia trong phần trình bày của [a] là phép toán ngược của phép nhân Nghĩa của phép chia có dư là phép trừ liên tiếp chúng tôi nhận thấy nó không được trình bày tường minh trong [a], qua phân tích trên ta thấy tư tưởng này ngầm ẩn trong phần chứng minh định lý cơ bản với trường hợp a là số nguyên âm

Phép chia có dư là phần lý thuyết cơ sở của giáo trình số học này Nên khái niệm phép chia

có dư xuất hiện trong vai trò công cụ nghiên cứu một số khái niệm khác như UCLN, quan hệ đồng

dư, giải phương trình vô định Một trong những ứng dụng nổi bậc của phép chia có dư là thuật toán Euclide, và chính thuật toán này cho ta công cụ giải quyết nhiều bài toán của số học Phép chia có

dư được sử dụng như một yếu tố công nghệ để giải quyết các nhiệm vụ sau:

TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *

,a N Z

TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z

TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c

Ta có thể xem TCH là một trường hợp riêng của TSD

Như vậy, giáo trình [a] chỉ đề cập đến vành số nguyên, và thực hiện phép chia có dư trong tập hợp số nguyên

2 Phép chia có dư trong giáo trình [b] – Toán rời rạc

2.1 Phép chia có dư với vai trò là đối tượng

Trong giáo trình này, các phép toán được xét trong tập hợp số nguyên Phép chia được định nghĩa trên tập số nguyên và hình thức tương tự như trong [a] Để diễn đạt cho mối quan hệ chia hết thì [b] cũng đưa vào ngôn ngữ “bội” và “ước” Cùng với các tính chất chia hết [b] đã đưa ra định nghĩa về số nguyên tố, hợp số và nêu định lý về sự phân tích số nguyên dương ra thừa số nguyên tố Phép chia có dư trong [b] được gọi là thuật toán chia, trước hết định lý về phép chia có dư ở

trang 155 như sau: “Cho a là một số nguyên và d là một số nguyên dương Khi đó tồn tại các số q và

r duy nhất, với 0 r < d, sao cho a = dq + r” Qua định lý này chúng tôi nhận thấy có sự khác biệt với định lý trong [a] là số chia thuộc tập số nguyên dương Trong biểu thức 0 r < d không còn

giá trị tuyệt đối Cách trình bày định lý này đã loại trường hợp d < 0, nhưng điều này không làm mất

tính tổng quát của định lý vì dựa vào qui tắc dấu ta có thể chuyển dấu âm từ số chia d lên số bị chia

a Dựa vào định lý này bằng cách qui ước gọi tên các kí hiệu mà [b] có thuật toán chia như sau:

“Trong đẳng thức được cho trong thuật toán chia, d được gọi là số chia, a được gọi là số bị chia, q được gọi là thương số và r được gọi là số dư”[ trang 156]

Giáo trình đã nêu hai ví dụ minh họa trang 156:

1 Xác định thương số và số dư khi chia 101 cho 11

101 = 11.9 + 2 vậy thương số của phép chia 101 cho 11 là 9 và số dư là 2

2 Xác định thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3

- 11 = 3(-4) + 1

do đó, thương số và số dư của phép chia ( - 11) cho 3 là -4 và số dư là 1 Chú ý rằng số dư không thể âm, do đó số dư trong ví dụ trên không thể là (-2), mặc dù: 11 = 3( - 3) – 2 vì r = - 2 không thỏa mãn 0 < r < 3

Thông qua hai ví trên [b] đã nêu hai trường hợp phép chia có dư, với cách giải thích ví dụ thứ hai ta

có thể thấy đây cũng ngầm ẩn xem phép chia có dư là phép trừ liên tiếp Phép chia có dư cũng thực hiện trong tập hợp số nguyên và đặc trưng của số dư vẫn là một số nguyên không âm và bé hơn số chia

2.2 Phép chia có dư với vai trò là công cụ

Có thể thấy trong [b] phép chia có dư cũng được đề cập trong bài tìm ước chung lớn nhất, số học đồng dư, số nguyên và thuật toán Trong [b] vai trò của số dư được quan tâm nhiều hơn vì những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực như: dùng các đồng dư để gán các vị trí của bộ nhớ cho các hồ sơ, hệ thông mật mã dựa trên số học đồng dư Trong bài “Ước số chung lớn nhất” các kỹ thuật tìm UCLN không có gì thay đổi so với [a] Với bài số học đồng dư thì [b] có đưa vào định

nghĩa ở trang 159: “Cho a là một số nguyên và m là một số nguyên dương Khi đó kí hiệu a mod m

là số dư khi chia a cho m” Đây có thể coi là một cách gọi tên khác của số dư trong phép chia có dư

Và sau đó [b] cũng định nghĩa quan hệ đồng dư và nêu các tính chất của nó Thuật toán Euclide

được giới thiệu trong bài “Số nguyên và thuật toán” trước khi giới thiệu toán [b] đưa ra bổ đề “Cho

a = bq + r, trong đó a, b, q và r là các số nguyên khi đó : ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, r)”

Từ chứng minh trên chúng tôi nhận thấy pccd được ghi dưới dạng “a – bq = r” nêu nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp cho tới khi còn một số nhỏ hơn số chia Chứng minh bổ đề trên dựa vào tính chất chia hết của một tổng và tính chất của ước số chung Thuật toán Euclide được nêu ra và [b] cũng chỉ rõ điều kiện dừng của thuật toán khi r = 0 Trong [b] nêu một chương trình sử dụng máy tính điển tử tìm UCLN bằng thuật toán Euclide ở trang 172 như sau:

Procedure ƯCLN(a,b: positive integers)

Trong phần “Biểu diễn các số nguyên” ta gặp dạng bài toán chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g mà trong [b] có tên gọi khai triển cơ số b của của một số nguyên dương n Một chương trình máy tính điển tử giải bài toán này là:

Procedure khai triển cơ số b(n: positive integers)

k := k+1 end {khai triễn cơ số b của n là (a k-1 a 1 a 0 ) b } [trang 175]

Trong giáo trình [b] đã bổ sung vào các kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ bằng MTĐT

Tổ chức toán học gắn liền với phép chia có dư

TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

TSD : Tìm số dư trong phép chia có dư trong vành Z.

Trong kiểu nhiệm vụ TSD các số nguyên được đưa ra khá đơn giản không có dạng lũy thừa như trong [a] vì vậy kỹ thuật của TSD chỉ sử dụng công thức r = a – bq Các kiểu nhiệm vụ TDCS,

TUCLN các kỹ thuật như trong [a], ngoài ra còn có kỹ thuật sử dụng ngôn ngữ lập trình của MTĐT

để giải quyết bài toán

Cũng như giáo trình [a], giáo trình [b] chỉ trình bày phép chia có dư trong vành Z Mối liên

hệ giữa phép chia có dư với phép trừ được giáo trình [b] giới thiệu rõ hơn giáo trình [a]

3 Phép chia có dư trong giáo trình [c] – Đại số đại cương

Đối với giáo trình [c], chúng tôi không phân tích phép chia có dư trong vành Z Vì điểm khác biệt lớn so với hai giáo Số học và Toán rời rạc đã phân tích là sự khái quát phép chia có dư trong

một vành Euclide bất kì

Phân tích vành Euclide sẽ làm cơ sở toán học cho phép chúng tôi giới thiệu phép chia có dư trong vành Dn, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, xuất hiện trong chương trình và SGK phổ thông

3.1 Phép chia có dư trong vành Euclide

Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b]

“Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, A * là tập hợp các phần tử khác 0 của A Miền nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)

Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r”

Vậy cách tìm ước chung lớn nhất bằng thuật toán euclide có cơ sở là bổ đề này

Từ đó, chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn như sau : Trong vành D n (n  N), cho trước hai

số thập phân a, b với b0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b

Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TSD, TCH trong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con của TDn

Về mặt toán học, nếu a, b  N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q  Dn sao cho a = bq (phép chia hết hay là dư 0) Vành Z chính là D0 Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z nhưng là phép chia hết trong Dn nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z với số dư là 2; tuy nhiên trong vành D1 thì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4

4 Kết luận của chương I

Trong chương I, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về pccd và các khái niệm có liên quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong chương I

 Pccd với vai trò là một đối tượng:

Pccd được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về pccd thì cả hai giáo trình đều nêu định lý về pccd Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số nguyên và b0 Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0 

r < |b|) và [b] không có giá trị tuyệt đối (0  r < b) Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện

hơn và không mất tính tổng quát cho việc phát biểu pccd trong tập hợp số nguyên Cả hai giáo trình đều không nêu tường minh ý nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp Nhưng nghĩa của pccd là phép trừ liên tiếp ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và trong ví dụ trong [b] Yếu tố đặc trưng của pccd là số dư không được nhấn mạnh

Giáo trình [c] khái quát về pccd trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có dư trong vành Z Giáo trình [a] và [b] đã trình bày pccd trong Z Hình thức biểu diễn của pccd trong các giáo trình đại học là: a = bq + r với 0r  b, trong đó a, b, q, r thuộc vành A (Z hoặc vành euclide bất kì ) và b 0 Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức

Đặt trưng của số dư trong pccd đã được nêu rõ: r = 0 thì đây là phép chia hết, khi 0< r < b thì là phép chia có dư Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư

Trong vành số nguyên phép chia hết không khép kín, khi phép chia có dư được đưa vào thì phép chia được thực hiện với mọi số nguyên

 Pccd với vai trò công cụ:

Pccd xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây

- Ước chung lớn nhất

- Quan hệ đồng dư

Đây là hai khái niệm nổi bật nhất ứng dụng pccd Và thuật toán Euclide là ứng dụng tiện ích nhất

và lâu đời nhất của pccd Thuật toán này có mặt trong kỹ thuật để giải quyết một số kiểu nhiệm vụ của những bài toán liên quan đến pccd

Vành Dn là vành euclide, vành Z là D0 dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TDn

Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng pccd trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có thể chia thành hai nhóm như sau

- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò đối tượng nghiên cứu:

TSD: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z

TCH: Chứng minh rằng: P(n)a, *

,a N Z

n 

Như chúng tôi đã mô hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của TDn (Tìm thương và số dư của phép chia có dư trong vành Dn)

- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu :

TDCS: Chuyển đổi hệ ghi thập phân sang hệ ghi cơ số g

TUCLN: Tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên

TNNPT: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định ax + by = c

Những kết quả đã đạt được ở chương I sẽ là cơ sở cho việc phân tích SGK mà chúng tôi sẽ thực hiện trong chương 2 tiếp theo của luận văn

Chương II PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN

GIẢNG DẠY

Mục đích của chương này là làm rõ mối quan hệ thể chế với phép chia có dư Cụ thể hơn chúng tôi nhắm tới việc trả lời các câu hỏi sau:

 Những tổ chức toán học nào được xây dựng xung quanh khái niệm này?

Đặc biệt, phép chia có dư xuất hiện trong thể chế dưới những hình thức biểu diễn nào? Đâu là những ràng buộc thể chế đối với số dư trong các hình thức biểu diễn ấy?

 Những quy tắc nào của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá trình dạy – học phép chia có dư ?

Để trả lời những câu hỏi trên chúng tôi phân tích chương trình và SGK, cụ thể là SGK lớp 3, 4, 5 và SGK lớp 6, 7 hiện hành vì phép chia có dư được giảng dạy ở những lớp này Những kết quả trong chương I là cơ sở tham chiếu đầu tiên để chúng tôi phân tích trong chương này

1 Thể chế tiểu học :

1.1.Phần bài học

Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình toán bậc tiểu học Như vậy chúng tôi sẽ bắt đầu với chương trình và SGK tiểu học với sơ đồ sau:

Trong chương trình này phép chia được học ở lớp 2 với bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5

Và ở lớp 3 giới thiệu các bảng nhân, bảng chia còn lại Phép chia có dư học sinh được giới thiệu bắt đầu từ lớp 3 và tiếp tục nghiên cứu trong ở lớp 4 Khái niệm phép chia học sinh gặp lần đầu tiên ở lớp 2 Để rõ ràng hơn chúng tôi giới thiệu định nghĩa và những yêu cầu của chương trình đối với phép chia ở lớp 2

Phép chia đưa vào ở lớp 2, trong SGV lớp 2 trang 173 đã nêu mục tiêu của bài học là:

“ Giúp học sinh:

Bước đầu nhận biết phép chia trong mối quan hệ với phép nhân

Biết viết, đọc và tính kết quả của phép chia.”

Và yêu cầu về trình độ chuẩn của toán lớp 2: học sinh phải thuộc bảng chia 2, 3, 4, 5 và biết chia nhẩm trong phạm vi các số đã học, chia số tròn chục cho số có một chữ số và nhận biết phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân Phép chia đưa vào sau khi học sinh đã học các bảng nhân

Phép chia

(lớp 2)

Phép chia hết và phép chia có dư (lớp 3, lớp 4)

Phép chia có dư ( lớp 5)

Bài “Phép chia” trong SGK lớp 2 trang 107 được trình bày như sau:

 Ta có phép chia để tìm số phần, mỗi phần có 3 ô:

đã thể hiện tường minh qua ví dụ giới thiệu trong bài Như vậy ở lớp 2 phép chia giới thiệu với nghĩa phân chia thành các phần bằng nhau và nghĩa nổi bật vẫn là phép chia là phép toán ngược của phép toán nhân Tương tự như trong [a] phép chia được đưa vào chương trình đầu tiên sau đó mới phân chia phép chia có dư với phép chia hết

Đọc là sáu chia hai bằng ba

Dấu : gọi là dấu chia

Viết là 6 : 2 = 3

3  2 = 6

Trong phần phân tích thể chế, ngoài việc phân tích nghĩa của phép chia hết và phép chia có

dư, chúng tôi quan tâm đến các hình thức xuất hiện của phép chia có dư

Thuật toán bằng sơ đồ của phép chia được SGK3 trang 27 giới thiệu qua bài: “Chia số có 2 chữ số cho số có một chữ số” như sau:

Chú ý: Số dư bé hơn số chia”

 9 chia 3 được 3, viết 3

3 nhân 3 bằng 9; 9 trừ 9 bằng 0

 Hạ 6; 6 chia 3 được 2, viết 2

2 nhân 3 bằng 6; 6 trừ 6 bằng 0

Phép chia có dư giới thiệu ở tiểu học chia làm hai trường hợp riêng biệt (tức là phân biệt trường hợp r = 0 và r 0 và bé hơn số chia) Phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r  0 và

số dư bé hơn số chia Phép chia hết và phép chia có dư thực hiện bằng sơ đồ chia và ghi kết quả dưới dạng a : b = q hoặc a : b = q (dư r) Thuật toán chia là công cụ giới thiệu phép chia hết và phép chia có dư Cách viết chính thức của phép chia có dư là a : b = q (dư r) Phép chia hết được thể hiện bởi một đẳng thức, trong biểu thức phép chia có dư “ = ” ở đây không mang nghĩa là một đẳng thức Phép chia hết và phép chia có dư được đưa vào lớp 3 với hình thức mô tả các bước thực hành tìm thương và số dư Các thành phần của phép chia đều thuộc số tự nhiên Số dư là đặc trưng cho phép phân biệt phép chia hết r = 0 và phép chia có dư r0 và r bé hơn số chia

 Phân tích chương trình và SGK lớp 4

Phép chia hết và phép chia có dư tiếp tục được hoàn thiện trong chương trình lớp 4 Học sinh

sử dụng sơ đồ chia thực hiện phép chia số có 6 chữ số cho số có 3 chữ số (chia hết và phép chia có dư) Phép chia được thực hiện liên tiếp cho đến khi số dư bằng 0 hoặc số dư bé hơn số chia Phép chia hết và phép chia có dư được giới thiệu trong tập hợp số tự nhiên vì vậy các thành phần a, b, c, r đều thuộc tập hợp số tự nhiên Đặc trưng của phép chia hết và phép chia có dư được nhấn mạnh ở bậc tiểu học là phép chia hết khi r = 0 và phép chia có dư khi r0 và r bé hơn số chia Phép chia hết

và phép chia có dư tách làm hai trường hợp khác nhau, điều này không giống như trong [a], [b] xem phép chia hết là trường hợp riêng của phép chia có dư Khi đưa phép chia có dư vào chương trình thì phép chia mở rộng trên tập hợp số tự nhiên

Một trong những ứng dụng của phép chia có dư giới thiệu ở lớp 4 là dấu hiệu chia hết cho 2,

“Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số, tử

số là số bị chia và mẫu số là số chia chẳng hạn 8:4 =

xuất hiện với nghĩa là thương của một phép chia Trong đó phép chia hết thì phân số

rút gọn thành một số tự nhiên, phép chia có dư là một phân số

được sử dụng trong trường hợp a không chia hết

cho b Khai triển phân số

b

a

không được nhắc đến ở lớp 4

 Phân tích chương trình và SGK lớp 5

Phép chia có dư xuất hiện trong chương trình thông qua việc hình thành khái niệm hỗn số Bên cạnh đó chúng tôi xem xét một số ứng dụng mà phép chia có dư trong việc giảng dạy phép chia trong tập hợp số thập phân

Hỗn số được định nghĩa trong trong bài “Hỗn số” SGK5 trang 12 Hỗn số được viết dưới

dạng q r

b trong đó q được gọi là phần nguyên và

b

r

là phần phân số và phân số bao giờ cũng bé hơn

đơn vị Khi chia a cho b tìm thương q và số dư r để ta có kết quả

Sau khi kiến thức về hỗn số và phân số thập phân được giới thiệu Cùng với bài toán về đơn vị

đo và phân số thập phân, số thập phân được đưa vào giảng dạy Chúng tôi chú ý đến phép chia các

số thập phân với các đề mục sau:

Chia số thập phân cho một số tự nhiên

Chia một số thập phân cho 10, 100, 10000

Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được là một số thập phân

Chia một số thập phân cho một số thập phân

Trong bài “Chia một số thập phân cho một số tự nhiên” SGK5 trang 63 có đoạn:

“ Ta phải thực hiện phép chia: 8,4 : 4 = ? (m)

Ta có 8,4 m = 84 dm

21(dm) = 2,1 m Vậy : 8,4 : 4 = 2,1 (m)

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:

Muốn chia một số thập phân cho một số tự nhiên ta làm như sau:

- Chia phần nguyên của số bị chia cho số chia

4 8,4

 Viết dấu phẩy vào bên phải 2

 Hạ 4 ; 4 chia cho 4 được 1, viết 1;

1 nhân 4 bằng 4 ; 4 trừ 4 bằng 0, viết 0

- Viết dấu phẩy vào bên phải thương đã tìm được trước khi lấy chữ số đầu tiên ở phần thập phân của số bị chia để tiếp tục thực hiện phép chia

- Tiếp tục chia với từng chữ số ở phần thập phân của số bị chia.”

Dựa trên kỹ thuật chia của phép chia có dư trong tập hợp số tự nhiên, khi chuyển đổi đơn vị, các đại lượng trở thành số thập phân và thực hiện phép chia có dư trong Dn Kỹ thuật chia số thập phân cho số tự nhiên thực hiện như đối với số tự nhiên Phép chia các số thập phân được thực hiện bằng sơ đồ chia

Trong bài “Chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà thương tìm được làm một số thập phân” trang 67:

Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư, ta tiếp tục chia như sau:

- Viết dấu phẩy vào bên phải số thương

- Viết thêm vào bên phải số dư một chữ số 0 rồi chia tiếp

- Nếu còn dư nữa, ta lại viết thêm vào bên phải số dư mới một chữ số 0 rồi tiếp tục chia, và

cứ làm như thế mãi.”

Với câu “Khi chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên mà còn dư ,ta tiếp tục chia như sau: ” phép chia có kết quả là số thập phân là phép chia có dư (theo nghĩa mà học sinh đã học)

Liệu học sinh có chú ý đến điều này hay không?

Một điều đáng chú ý là số dư thể hiện trong sơ đồ dư vẫn là số tự nhiên Điều này có là một chướng ngại cho học sinh khi tìm số dư trong phép chia các số thập phân này?

Sơ đồ chia cùng với kỹ thuật thực hiện phép chia có dư được ứng dụng để thực hiện phép chia trong tập hợp số thập phân Thể chế không làm rõ sự khác biệt giữa phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số tự nhiên và phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số thập phân

Tuy nhiên trong bài tổng kết cuối chương trình pccd được ôn lại và pccd trên Dn không được đề cập đến

Phép chia có dư được nhắc đến trong phần ôn tập của SGK lớp 5 trang 163:

Phép chia có dư a : b = c (dư r)

số dư phải bé hơn số chia

 Chuyển 43 thành 43,0

 Đặt tính rồi tính như phép chia 43,0 :

52 (chia số thập phân cho số tự nhiên)

Trong phần chú ý:

Phép chia hết: a : b = c, ta có a = c b (b khác 0)

Trong phép chia có dư: a : b = c (dư r), ta có a = c b + r (0 < r < b)”

Trong đó ta thấy xuất hiện biểu thức a = c b + r (0 < r < b) như là phép toán ngược kiểm tra kết quả của phép chia có dư

Ở lớp 5, phép chia có dư không được nhắc đến nhưng kỹ thuật thực hiện phép chia có dư được sử dụng để thực hiện phép chia giữa các số thập phân, các số tự nhiên hay số thập phân và số

tự nhiên có kết quả là số thập phân Và các tên gọi của thành phần trong phép chia không có gì thay đổi

Từ đó chúng tôi đặt ra câu hỏi: Quan niệm của học sinh về phép chia hết và phép chia có dư có

gì thay đổi khi các em học chương trình lớp 5?

Dựa trên cơ sở phân tích chương trình và SGK chúng tôi xem xét tổ chức toán học liên quan đến phép

1.2 Phần bài tập

Tiếp theo chúng tôi có nghiên cứu sơ lược các tổ chức toán học liên quan đến phép chia có

dư và dấu hiệu chia hết được trình bày ở bậc tiểu học

Phép chia hết và phép chia có dư được giảng dạy chính thức ở lớp 3 và lớp 4 và kỹ thuật thực hiện phép chia ứng dụng ở lớp 5 Chúng tôi xem xét các tổ chức toán học là vết của kiểu nhiệm vụ

“TDn: Trong vành Dn (n  N), cho trước hai số thập phân a, b với b0, tìm thương q và số dư

r trong phép chia a cho b”

Các TCTH trong SGK3 và SGK4

Kiểu

nhiệm vụ

Số chia

vào 15 phòng học Hỏi mỗi phòng

xếp được bao nhiêu bộ bàn ghế?

Số bị chia

10 21

Số chia 2 3 3 Thương 3

CN TPPC

 : Chia nhẩm dựa vào bảng chia từ 2 đến 9, hoặc chia cho các số tròn chục, tròn trăm

TT TPPC

thuật sắp xếp các số theo mẫu

Thực hiện phép chia liên tiếp khi r =0 hay r

< b thì dừng lại

- Một số bài toán lời văn với chủ đề như sau:

Giảm đi một số lần

So sánh số lớn gấp mấy lần số bé

So sánh số bé bằng 1 phần mấy số lớn Bài toán liên quan rút

có dư các số tự nhiên được thực hiện trong phạm vi số có 6 chữ

số cho số có 3 chữ

số Hình thức cho kiểu nhiệm vụ này

“cho bảng” hoặc yêu cầu “tính nhẩm” hoặc “đặt tính rồi tính” Những bài toán dạng lời văn học sinh chủ yếu sắp bài toán tìm thương của phép chia

Tìm số chia chưa biết trong phép chia hết ta lấy số bị chia chia cho thương

Phép chia trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia hết

Các bài tập trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia hết

tá bút chì và còn thừa mấy cái?

LN GTNN.

phép chia có dư Thương là câu trả lời của bài toán và số dư

là phần còn thừa lại

Một ý nghĩa của (q, r) trong N

Các bài tập trong kiểu nhiệm vụ này đều là phép chia có

dư

Bảng 2.1 Thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét như sau:

- Gần như tất cả các nhiệm vụ dựa trên việc thực hiện phép chia trong N, và nắm đến kỹ năng tính toán Chỉ có 6/106 nhiệm vụ (5,6%) đề cập đến ý nghĩa của số dư

- Chúng tôi nhận thấy vai trò của số dư đối với các kiểu nhiệm vụ trong SGK3 và SGK4 rất

mờ nhạt

Chúng tôi rút ra hợp đồng:

R1: Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b

R2: Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b

Tiếp theo chúng tôi sẽ nghiên cứu các kiểu nhiệm vụ trong SGK5, phép chia có dư ở lớp 5 được vận dụng tường minh trong phần bài học chuyển phân số thành hỗn số Mặt khác, kỹ thuật chia lại được sử dụng trong phép chia các số thập phân với số thập phân, số tự nhiên với số thập phân và số tự nhiên với số tự nhiên có kết quả là số thập phân

Một người đi xem máy trong 3 giờ đi được 126,54km Hỏi trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu km?

-TT CN : Chia nhẩm chia cho các số tròn chục, tròn trăm

- TT TT: kỹ thuật sắp xếp các số theo sơ đồ chia rồi thực hiện phép chia tìm thương

Các phép chia đều là phép chia hết trong D2

TX

 :Tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết

Tìm số chia chưa biết trong phép chia hết ta lấy

số bị chia chia cho thương

Các phép chia đều là phép chia hết trong D2

TGTBT

 :Thực hiện các tính toán theo qui tắc nhân chia trước cộng trừ sau khi không có dấu ngoặc

Các phép chia đều là phép chia hết trong D2

GTLN

 :Thực hiện phép chia

có dư Thương là câu trả lời của bài toán và số dư là phần còn thừa lại

Thương trong dạng bài tập này

là số nguyên dương

 :Lấy tử số chia cho mẫu số

Thương tìm được là phần nguyên của hỗn số Hỗn

số gồm phần nguyên kèm

Đối với dạng bài tập này phép chia luôn là phép chia

có dư (0 < r< b), a

và b thuộc tập

của TDn)

100

605

; 100 5608

; 10

734

; 10

là số dư, mẫu số là số chia

hợp các số nguyên dương

+ Chia phần nguyên của

số bị chia cho số tự nhiên + Viết dấu phẩy vào bên phải thương rồi chia tiếp

+ Thương tìm được là số thập phân

Trong thương có bao nhiêu số thập phân thì số

dư chứa bấy nhiêu chữ số thập phân

Ta thấy biểu thức

“1,24 18 + 0,12

= 22,44” đã xuất hiện dạng viết a = b.q + r, tuy nhiên

đó là biểu thức kiểm tra phép chia Nhưng qua

đó chúng ta thấy ngầm ẩn dạng viết đại số của phép chia có dư

Số dư trong kiểu nhiệm vụ này đều không phải là số

a cho b

Phép chia trong kiểu nhiệm vụ này là phép chia hết trong Dn (với

n = 1,2)

Bảng 2.2: Bảng thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK5

Thử lại: 1,24 18 + 0,12

= 22,44

T KTTP 3 3,3%

Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có những nhận xét sau:

- Cũng như trong ở lớp 3 và lớp 4 kiểu bài tập rèn luyện tính toán tìm các thành phần của phép chia trên Dn (n=1,2) chiếm số lượng lớn: TTT, TTX, TTGTBT chiếm 88,2% Các phép tính này thực hiện trong D2 là chủ yếu Và các phép tính đều là chia hết trong Dn Kiểu nhiệm vụ ứng dụng phép chia có dư xuất hiện rất ít (chỉ 1%) So với ở lớp 3 và lớp 4 xuất hiện kiểu nhiệm vụ mới

T TSD.PCSTP , T KTTP

- Trong kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ T TSD.PCSTP, ta phải thực hiện liên tiếp các phép chia có dư Nếu xét trong mọi vành Dn thì đây vẫn là phép chia có dư Kiểu nhiệm vụ này sẽ được mở rộng trong kiểu nhiệm vụ viết một phân số dưới dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn ở đầu cấp II Trong

ví dụ nêu ra thuộc kiểu nhiệm vụ này trong bảng trên, SGK đã đề cập đến mối liên hệ giữa các thành phần của phép chia có dư a, b, q, r trong vành D2 Ta thấy công nghệ giải thích cho kiểu nhiệm vụ chưa được làm rõ Số dư của phép chia là r10-n với n là số chữ số thập phân trong thương số

- Chỉ có 6 bài thuộc kiểu nhiệm vụ T TSD.PCSTP, và chiếm 6,5% số bài tập đề cập đến số dư là

số thập phân Tuy nhiên nhiệm vụ “thử lại: 1,24  18 + 0,12 = 22,44” trong bài toán tìm số dư của

phép chia số thập phân không bắt buộc đối với học sinh Qua bài toán này, mối quan hệ thể chế đối với phép chia có dư có thể sẽ thay đổi Vậy câu hỏi đặt ra là quy tắc hợp đồng: “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r 0 và r < b”, còn tồn tại trong học sinh hay không? Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần thực nghiệm chương III

- Kiểu nhiệm vụ T KTTP đưa phân số về số thập phân hữu hạn trong D1 hoặc D2 Số lượng kiểu nhiệm vụ này chỉ chiếm 3,3% nên vai trò của phép chia có dư trong khai triển thập phân một số hữu

tỉ rất mờ nhạt

Khi phân tích chương trình chúng tôi nhận thấy, tuy trong phần bài học phép chia có dư chỉ giới hạn trong nửa nhóm Z+ nhưng trong thực hành có những kiểu nhiệm vụ mở rộng phép chia trong D+

Câu hỏi đặt ra : Khái niệm phép chia hết và phép chia có dư không được nói đến trong vành Dn Học sinh có tính tới tập hợp mà pccd đang thực hiện không? Đặc trưng về số dư theo quan điểm của học sinh như thế nào?

1 3 Kết luận

Phép chia hết cũng như phép chia có dư được giới thiệu với kỹ thuật tìm thương và số dư Xuyên suốt chương trình kỹ năng thực hiện phép chia được hoàn chỉnh qua các lớp Cách thức thực hiện phép chia đầu tiên thông qua các bảng chia, sau đó thuật toán chia với các cách thực hiện phép chia không có ghi nhớ tới có ghi nhớ, từ phép chia trong phạm vi bảng chia cho đến việc thực hiện phép chia một số có 6 chữ số cho số 3 chữ số

Phép tính tìm các thành phần trong phép chia hết và phép chia có dư trên các số tự nhiên là mục tiêu của chương trình tiểu học Phép chia hết và phép chia có dư không được định nghĩa chính thức trong chương trình tiểu học mà chỉ giới thiệu bằng mô tả qua tình huống cụ thể Đặc trưng của phép chia có dư là số dư: r = 0 và 0 < r < b

Phép chia có dư xuất hiện dưới các hình thức sau:

- Cách viết 1:

a : b = q (dư r) Cách viết chính thức về phép chia có dư là a : b = q (dư r) Trong cách viết

a : b = q (dư r) SGK đã nhấn mạnh là phép chia hết khi r = 0 hay viết a : b = q

Đối với phép chia có dư chỉ ghi số dư bé hơn số chia chưa xuất hiện cách gh 0 < r < b Vì vậy

ta có đặc trưng của phép chia có dư là dựa vào r

- Cách viết 2:

a

- Cách viết 3:

a = bq +r với (0 < r< b) Cách viết này xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng là biểu thức kiểm tra kết quả của phép chia có

dư Mối quan hệ giữa các số a, b, q, r chưa được nêu rõ ràng và cách viết này không được xem là cách biểu diễn của phép chia có dư

- Cách viết 4:

b

a

= q r b