phép chia có dư trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hồng Thị Oanh PHÉP CHIA CĨ DƯ TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hồng Thị Oanh PHÉP CHIA CĨ DƯ TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Chun ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 MỤC LỤC MỤC LỤC T T LỜI CẢM ƠN T T DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT T T MỞ ĐẦU T T Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát: T T Khung lý thuyết tham chiếu T T Phương pháp nghiên cứu: T T Tổ chức luận văn: T T CHƯƠNG 1: KHÁI QUÁT VỀ PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở BẬC ĐẠI HỌC 11 T T 1.1 Phép chia có dư giáo trình [a] – Số học 11 T T 1.1.1 Phép chia có dư xét phương diện đối tượng 11 T T 1.1.2 Phép chia có dư xét phương diện công cụ 13 T T 1.2 Phép chia có dư giáo trình [b] – Tốn rời rạc 22 T T 1.2.1 Phép chia có dư với vai trị đối tượng 22 T T 1.2.2 Phép chia có dư với vai trị cơng cụ 23 T T 1.3 Phép chia có dư giáo trình [c] – Đại số đại cương 25 T T 1.3.1 Phép chia có dư vành Euclide 25 T T 1.3.2 Vành D n 26 T R R0 T 1.4 Kết luận chương 26 T T CHƯƠNG 2: PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN 28 T T GIẢNG DẠY 28 T T 2.1 Thể chế tiểu học : 28 T T 2.1.1 Phần học 28 T T 2.1.2 Phần tập 35 T T 2.1.3 Kết luận 43 T T 2.2 Thể chế THCS 45 T T 2.2.1 Phần học 45 T T 2.2.2 Phần tập 51 T T 2.2.3 Kết luận 61 T T 2.3 Kết luận giả thuyết nghiên cứu 62 T T CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM 64 T T 3.1 Mục đích thực nghiệm 64 T T 3.2 Hình thức tổ chức thực nghiệm 64 T T 3.3 Phân tích thực nghiệm 64 T T KẾT LUẬN 84 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 86 T T LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Chí Thành, TS Vũ Như Thư Hương nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tơi kiến thức didactic tốn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành: - Tất bạn học viên cao học khóa 18, người đồng hành tơi q trình học tập nghiên cứu didactic tốn - Ban giám hiệu thầy cơ, đồng nghiệp Trường THPT Cần Đước tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên để tơi hồn thành tốt khóa học - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng SĐH Trường ĐHSP TP.HCM tạo môi trường học tập, nghiên cứu thuận lợi cho chúng tơi - Gia đình người thân động viên giúp đỡ suốt khóa học Hồng Thị Oanh DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT PCCD : Phép chia có dư PCH : Phép chia hết ƯCLN : Ước chung lớn TCTH : Tổ chức toán học KNV : Kiểu nhiệm vụ THPT : Trung học phổ thông THCS : Trung học sở TH : Tiểu học SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên SBT : Sách tập SGK3 : Sách giáo khoa toán SGK4 : Sách giáo khoa toán SGK5 : Sách giáo khoa toán SGK6 : Sách giáo khoa toán SGK7 : Sách giáo khoa tốn MTBT : Máy tính bỏ túi Tr : Trang MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát: Sau tham khảo luận văn thạc sĩ Phạm Ngọc Bảo (2002) đề tài “Nghiên cứu Didactic bước chuyển từ phân số “những phần rút từ đơn vị” đến phân số “ thương” lớp lớp việc đào tạo giáo viên tiểu học phân số”, ý nhận xét phép chia hết phép chia có dư xuất tiểu học tình nghĩa phép chia tình Phép chia có nghĩa sau: - Phép chia phân phối lần lượt, lần đối tượng hết - Phép chia phân phối nhóm, nhóm có đối tượng - Phép chia phép tốn ngược phép nhân: muốn tìm kết phép chia cần dựa vào phép nhân tương ứng Nghĩa phép chia hết phép chia có dư: - Phép chia hết phân phối đối tượng hết - Phép chia có dư phân phối đối tượng số đối tượng phân phối Tuy nhiên làm tính số, phép chia hết phép chia có dư lại có nghĩa: - Phép chia hết phép chia mà khơng có dư - Phép chia có dư phép chia có thương số nguyên số dư bé số chia Luận văn đề cập đến nghĩa phép chia bậc tiểu học Như vậy, câu hỏi sau đặt ra: Phép chia có dư tiếp tục trình bày THCS THPT nào? Đối tượng có mang nghĩa nhắc tới SGK tiểu học hay khơng? Phép chia có dư xuất chương trình nhằm giải vấn đề tốn học gì? Khung lý thuyết tham chiếu Chúng vận dụng lý thuyết nhân học Chevallard để phân tích thể chế dạy học nhằm xác định mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chia có dư thể chế dạy học đại học phổ thơng Tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh phép chia có dư, hiểu PCCD thao tác PCCD Để nghiên cứu mối quan hệ cá nhân này, cần đặt mối quan hệ thể chế dạy học PCCD bậc phổ thơng Bên cạnh đó, chúng tơi xây dựng tổ chức toán học xung quanh khái niệm phép chia có dư để làm rõ mối quan hệ hai thể chế Kế tiếp chúng tơi vận dụng lý thuyết didactic tốn để mơ tả, giải thích kiến thức học sinh PCCD Từ tìm mối liên hệ kiến thức PCCD ứng xử học sinh trước trước nhiệm vụ cụ thể PCCD Với phân tích chúng tơi giải thích tiên đoán thuật ngữ quy tắc hành động liên quan khái niệm PCCD câu trả lời học sinh Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu: Q1 Khái niệm phép chia có dư tri thức khoa học trình bày nào? Nó có đặc trưng nào? Phép chia có dư đóng vai trị cơng cụ cho tri thức nào? Q2 Trong thể chế dạy học tốn phổ thơng Việt Nam phép chia có dư giảng dạy nào? Phép chia có dư xuất thể chế hình thức biểu diễn nào? Mối quan hệ thể chế số dư hình thức biểu diễn nào? Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu mà thực luận văn là: Tiến hành nghiên cứu so sánh việc đưa vào phép chia có dư hai thể chế • Thể chế dạy học phép chia có dư bậc đại học: Cụ thể nghiên cứu giáo trình đại học việc trình bày phép chia có dư ứng dụng phép chia có dư để giải vấn đề • Thể chế dạy học phép chia có dư trường phổ thơng: phân tích SGK tiểu học THCS, phép chia có dư giảng dạy nào, kiến thức đưa vào để giải tốn chương trình Dựa việc tổng kết kết phân tích đưa giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng chúng kiểm nghiệm thực nghiệm • Xây dựng tình thực nghiệm học sinh để kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu đặt Phương pháp nghiên cứu sơ đồ hóa sau: NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY (Thể chế dạy học Việt Nam) THỰC NGHIỆM Tổ chức luận văn: Luận văn gồm phần sau đây: • Phần mở đầu: Trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu tổ chức luận văn • Chương 1: Trình bày khái niệm phép chia có dư cấp độ tri thức khoa học giáo trình đại học để làm rõ đặc trưng khái niệm phép chia có dư chế cơng cụ khái niệm • Chương 2: Chúng tơi phân tích quan hệ thể chế dạy học phép chia có dư SGK phổ thơng Từ chúng tơi đưa câu hỏi giả thuyết nghiên cứu • Chương 3: Trình bày thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết mà đặt cuối chương • Phần kết luận Tóm tắt kết đạt chương 1, 2, đề xuất số hướng nghiên cứu mở luận văn 10 - Độ lớn nhỏ số cặp số: số có chữ số, số có hai chữ số, số có chữ số, hay chênh lệch số cặp số với mục đích để phép chia thực lần hay chia liên tiếp từ hai lần trở lên - Số bị chia số chia thuộc tập hợp số: Z, D n R R Với chọn giá trị số chia khác 2, 5, 3, hạn chế chiến lược dấu hiệu chia hết giá trị số có chữ số hay chữ hạn chế chiến lược kiểm tra biểu thức a = b.q + r Cho giá trị Z D tạo điều kiện cho chiến lược số dư chiến lược R R thương số o V4 Tính chất số dư - r=0 - 0< r < b - r ≠ r > b Các giá trị r xuất đầy đủ thực nghiệm  Những quan sát Câu trả Chiến lược Cái quan sát lời a b c Chiến lược dựa Quan điểm học sinh xem tất phép vào số dư khác chia phép chia có dư Chiến lược thương Số thập phân xuất số bị chia số thương số Dựa vào thương số để kết luận Chiến lược dựa Tôn trọng thể chế phép chia có dư định vào số dư khác nghĩa tập hợp số tự nhiên: a, b, q, r thuộc N số dư khác Tuy nhiên lại không ý điều kiện r < b d Chiến lược dựa Học sinh quan tâm đến số dư phép chia vào số dư khác Và số dư < r < b • Phân tích hậu nghiệm 73 Bảng 3.3: Bảng thống kê câu trả lời câu Các câu trả lời Số lần xuất Tỉ lệ a 1,5% b 26 19,8% c 40 30,5% d 116 88,5% Dựa vào bảng thống kê ta có: Câu trả lời d chiếm (88,5%) tỉ lệ lớn Đa số học sinh giải thích cho trả lời theo chiến lược số dư khác Sau học sinh học xong phép chia có dư, quan điểm số dư số khác Lời giải thích học sinh nói số dư Đặc biệt quan điểm xem số dư phép chia số tự nhiên Các lời giải thích tập trung vào phép chia có số dư 11 Rất làm phát số dư 17 hay 1,1 Một vài lời giải thích học sinh: “Số dư khơng 0, nhỏ số chia” 2A; “số dư 11 không chia hết cho 53” 56A đa số học sinh có lời giải thích vậy.“Vì thương số thập phân dư 11, b số thập phân mà khơng dư.” 13A Một số học sinh có lời giải thích dựa vào chiến lược thương số số thập phân phép chia có dư Khi có nhận định học sinh có câu trả lời câu b d Câu c chiếm 30,5% số lượng đáng kể để biết học sinh dùng chiến lược số dư khác mà không kiểm tra đặc trưng số dư bé số chia Qua phân tích thể chế chương tất hình thức định nghĩa phép chia có dư nhấn mạnh số dư khác bé số chia Sai lầm giải thích chướng ngại sư phạm, tập dạng sơ đồ có số dư nhỏ số chia Tuy nhiên có nhiều học sinh ý tới điều kiện r bé số chia Câu trả lời b chiếm 19,8%, học sinh sử dụng chiến lược thương số để trả lời cho câu hỏi Như có 80,2% học sinh đồng ý phép chia hết Điều học sinh dựa vào số dư phép chia Đáng ý câu hỏi thực nghiệm số bị chia câu b số thập phân D Nhưng học sinh không nhận khác biệt Các R R lời giải thích thương số thập phân Lựa chọn khẳng định học sinh không quan tâm đến phép chia thực tập hợp số Các em áp dụng đặc trưng số dư phép chia có dư tập hợp số tự nhiên 74 Có giải thích cho câu trả lời là: “Ở câu b số dư = thương 1,3 phép chia có dư câu d số dư 11 thương 2,3 số nguyên PCCD” A1 “Vì phép chia nhận thương khơng số ngun”.A20 “Vì phép chia có dư số chia sau chia số khơng phải kết số thập phân” Câu trả lời a có học sinh lựa chọn, hầu hết học sinh tôn trọng định nghĩa phép chia hết mà thể chế đưa ra, r =0 Các chiến lược kiểm tra a = b.q + r, chiến lược bất đẳng thức học sinh sử dụng Trong thực nghiệm nhiều học sinh có lựa chọn đồng thời (c), (d) phép chia có dư Tức trực giác học sinh nhìn vào phép chia ý tới số dư khác phép chia có dư, r = phép chia hết Học sinh không quan tâm tập hợp thực phép chia mà ý đến đặc trưng số dư phép chia để đưa câu trả lời Thông qua hai câu thực nghiệm chúng tơi tìm hiểu quan điểm học sinh phép chia hết phép chia có dư học sinh cuối trung học sở Đặc trưng số dư phép chia hết phép chia có dư quan điểm học sinh + Với câu hỏi chúng tơi nhận thấy ví dụ phép chia có dư học sinh đưa với dạng sơ đồ dạng bất đẳng thức chủ yếu Hai cách viết học sinh gặp chương trình tiểu học Dạng viết sơ đồ chia chiếm ưu Các lời giải thích cho phép chia có dư chủ yếu dựa vào số dư khác nhỏ số chia + Khi phép toán chia hết thực vành D n tức với số dư có R R phận học sinh xem phép chia hết Điều kiện r < b nhiều học sinh ý để thực phép chia tiếp nhiên số học sinh không quan tâm kiểm tra điều kiện Qua câu hỏi này, số học sinh không quan tâm đến vành thực phép chia D hay Z mà quan tâm đến r khác hay Chúng kiểm nghiệm giả thuyết: Học sinh THCS THPT không quan tâm đến phép chia có dư thực tập hợp số Đối với học sinh này, số dư phép chia có dư số tự nhiên, phép chia hết phép chia có r = phép chia có dư phép chia có r ≠ Giả thuyết với phận học sinh Từ giả 75 thuyết H1 rút quy tắc hành động R : “Đối với phép chia Dn, học sinh cho phép chia phép chia có dư r nguyên r ≠ 0” Dựa vào qui tắc hành động mà học sinh cho (b) phép chia hết (c) phép chia có dư Câu Cho phép chia sau : 415 192 310 2,16 1180 28 Hãy khoanh tròn đẳng thức (có thể có nhiều đẳng thức đúng): (a) 415 = 2,16 192 (b) 415 = 2,16 x192 + 28 (c) 415 = 2,16 x192 + 28 100 (d) 415 = 2,16 x192 + 28 1000 (e) 415 = 2,16 x192 + 0,28 • Phân tích tiên nghiệm Đứng trước phép chia có dư D cho hình thức sơ đồ chia, câu hỏi R R cách viết tương đương phép toán chia (chuyển sang dạng phân số hay dạng a = b.q + r) Học sinh chuyển hình thức viết phép chia có dư thành dạng đẳng thức a = b.q + r nào? Họ có cho số dư số ngun hay khơng? Khó khăn tính đến phần dư phép chia dạng viết khai triển thập phân phân số Cho phép chia dạng sơ đồ thể bước thực phép chia, số dư thương nêu rõ ràng, phép chia thực tập hợp số thập phân Đây phép chia có kết số thập phân vơ hạn tuần hồn Phép chia kết thúc sau lần thực phép chia 76 Phép chia khai triển số hữu tỉ 415 thành dạng viết thập phân So với phép 192 chia có dư thực tập hợp số nguyên số dư r.10-n Học sinh có phân biệt P P sai khác hay không?  Các chiến lược: Chiến lược số dư số tự nhiên: tơn trọng đặc trưng phép chia có dư tập hợp số tự nhiên Chiến lược số dư số thập phân: hiểu số dư phép chia có dư thực vành D Chiến lược phân số: xem phân số thương phép chia (hay phép chia có dư), biểu diễn phân số thương tìm ( cách ghi số dư hiện) Chiến lược số chữ thương: chữ số thập phân số dư dựa vào số chữ số thương  Các biến dạy học o V1: Dạng viết phép chia có dư Trong câu hỏi chọn cách đưa phép chia dạng sơ đồ, ưu tiên cho chiến lược số dư số tự nhiên xuất o V2: Vành thực phép chia Chúng chọn vành D thực phép chia Tạo điều kiện cho chiến lược số dư số thập R R phân o V3: Số lần phép chia có dư thực liên tiếp Ở chúng tơi chọn phép chia có dư thực lần o V4: Giá trị cặp số bị chia số chia Thuộc tập hợp số tự nhiên có chữ số, độ chênh lệch nhỏ o V5: Mệnh đề nối với dấu đẳng thức hay dấu bất đẳng thức, hay hình thức học sinh tự điền dấu để có mệnh đề  Những quan sát 77 Câu trả Chiến lược Cái quan sát lời Sai Chiến lược phân Thương số a chia cho b viết a số a phân số b Trong cách ghi khơng thể số dư Vì học sinh cho phân số thương phép chia Chiến lược số dư Theo dự đốn chúng tơi đa số học b số tự nhiên sinh chọn câu hỏi Vì ảnh hưởng phép chia có dư tập hợp Z+ Số dư P P số tự nhiên với < r < b Chiến d lược số Học sinh nhìn vào số chữ số thương chữ thương Đúng mà có lựa chọn Chiến lược số dư Số dư viết dạng phân số thập c số thập phân phân Chiến lược số dư Học sinh hiểu số dư Dn e số thập phân số thập phân • Phân tích hậu nghiệm Bảng 3.4: Bảng thống kê câu trả lời câu Các câu trả lời Số lần xuất Tỉ lệ a 30 22,9% b 74 56,5% c 45 34,4% d 1,5% e 49 37,4% Dựa vào bảng thống kê chúng tơi có nhận xét sau: Câu trả lời a chiếm 22,9% Bằng phép tính kiểm tra đơn giản ta nhận dễ dàng cách viết không Tuy nhiên số lượng học sinh chọn câu khơng phải Đây dạng câu hỏi không quen thuộc học sinh phải sử dụng hình thức biểu diễn tương đương với phép tính cho Điều giải thích ảnh hưởng quan điểm: 78 “Thương phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) viết thành phân số: tử số số bị chia, mẫu số số chia” Như chiến lược phân số học sinh sử dụng câu trả lời này.Quan niệm thương phép chia viết thành phân số tồn học sinh Phạm vi hợp thức dạng viết phép chia hết tập hợp Dn R R Câu trả lời b chiếm 56,5% số lượng nhiều Đây câu trả lời quan tâm Điều thể ảnh hưởng sâu sắc quan điểm số dư phép chia số tự nhiên Học sinh sử dụng chiến lược số dư số tự nhiên để đưa lựa chọn Phạm vi hợp thức chiến lược tập Z Qua quan sát làm học sinh nhiều câu b chọn sau loại bỏ Có thể có bước kiểm tra biểu thức để có câu trả lời xác Câu trả lời c e có mối tương quan với Theo giải thích chúng tơi, học sinh lớp 10 có trang bị đầy đủ phân số thập phân số thập phân hữu hạn Tuy nhiên câu trả lời số thập phân có ưu Học sinh dùng chiến lược số D n để có câu trả lời Các câu trả lời c e học sinh ý thức số dư phép chia R R cho số tự nhiên mà số có dạng r.10-n với n tương ứng D n Tuy nhiên số P P R R lượng học sinh không nhiều Câu trả lời d chiếm 2%, Tức chiến lược chữ số thương số học sinh lựa chọn Trong mối liên hệ số hữu tỉ số thập phân có trường hợp học sinh khơng tính đến số dư phép chia hay có tính đến khơng xác Khơng học sinh có lựa chọn a, c e giải thích sau học sinh xem phân số thương phép chia a cho b em khơng tính đến số dư cách viết bên cạnh học sinh có quan niệm số dư tập hợp số thập phân Trong khai triển thập phân số hữu tỉ 415 , nhận thấy phần dư phép 192 chia việc tính đến vai trị đẳng thức a = b.q + r điều khó khăn học sinh Đa số học sinh có quan điểm đặc trưng số dư số tự nhiên Câu : Dựa vào phép chia câu điền vào chỗ trống đẳng thức sau : U U 415 = ì 192 ã Phõn tớch tiờn nghim 79 Đây dạng câu hỏi mở, điền vào chỗ trống học sinh ưu tiên dạng nào? số thập phân, số thập vơ hạn tuần hồn, phân số hay số tự nhiên Câu hỏi cho phép kiểm tra câu trả lời câu học sinh Học sinh có dựa vào điều chỉnh câu trả lời câu Mối liên hệ a/b với số thập phân, khai triển thập phân phân số Học sinh xem số dư phép chia số nguyên hay không? Câu cho phép nhận xét học sinh ưu tiên sử dụng số thập phân hay phân số Vì với biểu thức học sinh có hội tính tốn kiểm tra lại lựa chọn  Các chiến lược: Chiến lược phân số: dựa vào số dư phép chia mà học sinh chọn phân số thích hợp Chiến lược số thập phân: biểu diễn số thập phân để tìm kết Chiến lược hỗn hợp: điền tổng gồm số thập phân phân số  Các biến dạy học Câu liên quan với câu 3, biến dạy học câu ảnh hưởng lên câu 4, theo chúng tơi có biến sau: V: Chọn mệnh đề học sinh cần viết lại dạng tích Đây dạng tập khơng quen thuộc làm cho học sinh gặp khó khăn đưa câu trả lời  Những quan sát Đúng Câu trả lời Chiến lược 0,28 +2,16 Chiến lược số Theo dựa đoán chúng tơi lựa thập phân Cái quan sát chọn nhiều học sinh Số thập phân thường sử dụng tính tốn Số thập phân đưa cách đánh giá xác ước lượng gần với số nguyên 28 + 2,16 100 Chiến lược hỗn Đây lựa chọn đúng, hợp nhiên chọn Vì phân số thập phân biến đổi thành số thập phân 415 192 Chiến lược phân Khi chọn câu trả lời ta có kết số (2,16 + Chiến lược hỗn Với hình thức câu hỏi câu trả lời 80 hợp 0, 28 ) 192 gặp 2,161458(3) Chiến lược số Phép chia có dư thực toán thập phân (Khai đưa thực liên tiếp lần, phép chia triển thập phân) dừng lại Số lần thực phép chia nhiều Điều cản trở cho cách ghi xuất Sai Chiến lược hỗn Sự lựa chọn ảnh hưởng quan điểm 28 + 2,16 hợp phép chia có dư tập Z+ Quan điểm P P tồn phận học sinh Chúng tơi dự đốn đa số học sinh chọn cách viết 28 +2,16 1000 Chiến lược hỗn Học sinh dựa vào số chữ số thương để 2,16 Chiến lược số Đây lựa chọn học sinh chọn hợp thập phân tìm số dư câu a • Phân tích hậu nghiệm Bảng 3.5 Bảng thống kê câu trả lời câu Các câu trả lời Sai Số lần xuất Tỉ lệ 2,16 19 14,5% 28+ 2,16 67 51,1% 28 +2,16 1000 1,5% Tổng Đúng 67,1% 0,28 + 2,16 36 27,5% 28 +2,16 100 2,3% 1,5% 415 192 1,5% 2,16145(3) 0% (2,16 + (2,16+ 28 ) hay 19200 0, 28 ) hay (2,16 + ) 480 192 81 Tổng 32,9% Dựa vào bảng thống kê chúng tơi có nhận xét sau: Các câu trả lời sai chiếm 67,1% với số lượng lớn Gồm câu trả lời sau: + Câu trả lời 28 + 2,16 chiếm ưu với 51,1% Trong phép chia có dư, số dư số tự nhiên tồn nhiều đại phận học sinh Qua phân tích thể chế có ý đến khó khăn học sinh số dư phép chia thực trong tập hợp số thập phân thông qua kiểu nhiệm vụ T TSD.PCSTP , nhiên với số lượng tập khơng khắc R R phục khó khăn + Câu trả lời 2,16 14,5% học sinh lựa chọn, với phép chia cho trước học sinh lựa chọn câu hỏi không ý tới yêu cầu đẳng thức xảy Theo học sinh có lựa chọn theo quan điểm phân số 415 = 2,16 câu đưa câu 192 trả lời + Câu trả lời 28 + 2,16 có học sinh lựa chọn 1000 Các câu trả lời chiếm 32,9% Gồm câu trả lời sau: + Câu trả lời 0,28 + 2,16 lại chiếm (27,5%) số nhiều Những cách viết khác lại chiếm số lượng Tuy câu lựa chọn hai cách viết phân số thập phân số thập phân 28 0,28 Nhưng với dạng câu hỏi mở học sinh sử dụng số thập 100 phân chiếm đa số + Kết với dạng viết thập phân vô hạn tuần hồn 2,16145(3) khơng xuất câu trả lời học sinh Mặc dù có học sinh thực phép chia tiếp kết sai Trong khai triển thập phân số hữu tỉ dùng phép chia có dư, số dư khai triển gây khó khăn cho học sinh Tính chất số dư thuộc tập hợp nào? Đa phần học sinh cho số dư số tự nhiên Vì học sinh gặp khó khăn sử dụng số dư để thể mối quan hệ số hữu tỉ số thập phân khai triển Học sinh thường có xu hướng chuyển phân số dạng thập phân D n , với n = 1, 2, R R Các câu trả lời dạng số thập phân lựa chọn nhiều thực nghiệm Qua phân tích câu thực nghiệm chúng tơi hợp thức hóa giả thuyết H R Kết luận chung 82 R Kết thực nghiệm chứng minh tính thỏa đáng giả thuyết mà nêu Bên cạnh thực nghiệm cho ghi nhận định nghĩa phép chia có dư dạng đẳng thức không sống đa số học sinh Học sinh xem dạng viết biểu thức kiểm tra kết phép chia có dư học tiểu học Qua thực nghiệm nhận thấy phận học không quan tâm đến tập hợp phép chia thực tập hợp số nào, điều dẫn đến học sinh không phân biệt khác biểu diễn số dư phép chia có dư thực Z D 83 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu chúng tơi khép lại với nội dung sau:  Trong chương chúng tơi phân tích giáo trình đại học cách trình bày phép chia có dư với hai phương diện đối tượng cơng cụ • PCCD với vai trị đối tượng: PCCD [a], [b] định nghĩa tập hợp số nguyên, trước định nghĩa PCCD hai giáo trình nêu định lý PCCD Trong giáo trình [c], cấu trúc đại số có phép chia có dư đưa vào vành Euclide Vành số nguyên Z vành D n vành R R Euclide Vành Z trường hợp đặc biệt vành D n R R Cả [a], [b] không nêu tường minh ý nghĩa PCCD phép trừ liên tiếp Nhưng điều ngầm ẩn cách trình bày chứng minh định lý [a] ví dụ [b] PCCD vai trị đối tượng yếu tố đặc trưng PCCD số dư khơng nhấn mạnh Phép chia hết có hạn chế không thực với cặp số tập hợp số nguyên Phép chia có dư giải vấn đề phép chia thực với số tập hợp số nguyên • PCCD với vai trị cơng cụ: PCCD xuất vai trị công cụ liên quan đến khái niệm sau Ước chung lớn Quan hệ đồng dư  Trong chương phân tích thể chế tiểu học THCS khái niệm phép chia có dư Phép chia có dư giới thiệu lớp lớp cách mơ tả, định nghĩa thức tập hợp số tự nhiên lớp Và phép chia có dư có bốn thức biểu diễn tiểu học Có hình thức ưu tiên chương trình tiểu học sau lại biến chương trình phổ thơng sở Cùng với thay đổi hình thức biểu diễn phép chia có dư mà xuất kiểu nhiệm vụ Phép chia có dư định nghĩa tập hợp số tự nhiên Kỹ thuật thực phép chia có dư đưa vào nghiên cứu số thập phân D n R R khai triển thập phân số hữu tỉ Lúc phép chia có dư thực tập D n , R R thương số dư số thập phân Tuy nhiên thể chế khơng làm rõ điều thơng qua phân tích thể chế 84 Từ chúng tơi rút qui tắc hành động R1, R2 giả thuyết H1, H2  Nghiên cứu chương làm sáng tỏ mối quan hệ học sinh với khái niệm phép chia có dư đặc trưng số dư ảnh hưởng thể chế quan hệ cá nhân Điều thể rõ ràng qua tồn giả thuyết H H R R R R Hướng nghiên cứu luận văn: Luận văn chưa sâu vào nghiên cứu phép chia có dư có vai trò mờ nhạt khai triển thập phân số hữu tỉ, phải xuất MTBT góp phần vào nguyên nhân này? Vậy với xt MTBT có ảnh hưởng đến việc giảng dạy khái niệm phép chia có dư ứng dụng phép chia có dư hay khơng? 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot- Claude Comiti - Lê Thị Hoài Châu – Lê Văn Tiến (2009) “Những yếu tố Didactic Toán” NXB Đại học quốc gia TP HCM Đậu Thế Cấp (2008) - Số học, NXB Giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Tốn – Sách giáo viên”, NXB giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Tốn – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Tốn – Sách giáo viên”, NXB giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Tốn4 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Toán – Sách giáo viên”, NXB giáo dục Đỗ Đình Hoan (2006) “Tốn5 – Sách giáo khoa”, NXB giáo dục 10 Đỗ Đình Hoan (2006) “Tốn – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 11 Lê Văn Tiến (2005) “Phương pháp dạy học mơn tốn trường phổ thơng (Các tình dạy học điển hình)” NXB Đại học quốc gia TP HCM 12 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), “Một nghiên cứu didactic khái niệm giới hạn liên hệ với thập phân hóa số thực mơi trường “máy tính bỏ túi”” Tóm tắt luận án Tiến sĩ 13 Hoàng Chúng (1997), “ Số học bà chúa tốn học” NXB giáo dục 14 Hồng Xuân Sính (1998) – Đại số đại cương, NXB Giáo dục 15 Kenneth H Rosen (2001) - Toán học rời rạc ứng dụng tin học, NXB Lao động – Người dịch: Bùi Xuân Toại 16 Nguyễn Tiến Tài (1998), “Số học”, NXB giáo dục 17 Phan Đức Chính (2008), “Toán – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 18 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – Sách giáo viên – tập 2”, NXB giáo dục 19 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 1”, NXB giáo dục 20 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 2”, NXB giáo dục 21 Phan Đức Chính (2008), “Toán – Sách giáo viên – tập 1”, NXB giáo dục 22 Phan Đức Chính (2008), “Tốn – tập 1”, NXB giáo dục 86 23 Phạm Ngọc Bảo (2002) “Nghiên cứu Didactic bước chuyển từ phân số “những phần rút từ đơn vị” đến phân số “ thương” lớp lớp việc đào tạo giáo viên tiểu học phân số” Luận văn thạc sĩ 87 ... số dư PCCD nêu rõ: r = phép chia hết, 0< r < |b| phép chia có dư Phép chia hết trường hợp đặc biệt phép chia có dư Trong vành số nguyên phép chia hết khơng khép kín, phép chia có dư đưa vào phép. .. dạy hoàn thiện SGK lớp Học sinh sử dụng sơ đồ chia thực phép chia số có chữ số cho số có chữ số (chia hết phép chia có dư) Phép chia thực liên tiếp số dư số dư bé số chia Phép chia hết phép chia. .. việc đưa vào phép chia có dư hai thể chế • Thể chế dạy học phép chia có dư bậc đại học: Cụ thể nghiên cứu giáo trình đại học việc trình bày phép chia có dư ứng dụng phép chia có dư để giải vấn