- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu:
CHƯƠNG 2: PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
TR TT R: Tìm thương (vết
Tìm thương (vết củaTRDnR) Bài 1. SGK5 trang 64: Đặt tính rồi tính: a) 5,28:4 b) 95,2:68 c) 0,36:9 d) 75,52:32 Bài 3 SGK5 trang 64.
Một người đi xem máy trong 3 giờ đi được 126,54km. Hỏi trung bình mỗi giờ người đó đi được bao nhiêu km?
-τTT.CN: Chia nhẩm chia cho các số tròn chục, tròn trăm..
- τTT.TT: kỹ thuật sắp xếp các số theo sơ đồ chia rồi thực hiện phép chia tìm thương. Các phép chia đều là phép chia hết trong DR2R. TRTXR: Tìm x (vết của TRDnR) Bài 2. SGK5 trang 70. Tìm x: a) x ×8,6 = 387 b) 9,5×x = 399 TX
τ :Tìm thừa số chưa biết ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
Tìm số chia chưa biết trong phép chia hết ta lấy số bị chia chia cho thương. Các phép chia đều là phép chia hết trong DR2R. TRTGTBTR: Tính giá trị biểu thức.(vết của TRDnR) Bài 1. SGK5 trang 68. Tính a) 5,9 : 2 + 13.06 b) 35,04 : 4 – 6,87 .. TGTBT τ :Thực hiện các tính toán theo qui tắc nhân chia trước cộng trừ sau khi không có dấu ngoặc.
Các phép chia đều là phép chia hết trong DR2R.
Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá
TRGTNN.LNR:Tìm GTLN. GTNN
Bài 3. SGK5 trang 71.
May mỗi bộ quần áo hết 2,8m vải. Hỏi có 429,5m vải thì may được nhiều nhất bao nhiêu bộ như thế và còn thừa mấy mét vải?
GTLN
τ :Thực hiện phép chia có dư Thương là câu trả lời của bài toán và số dư là phần còn thừa lại.
Thương trong dạng bài tập này là số nguyên dương. TRPSTP.HSR : Chuyển các phân số thập phân thành hỗn số. (vết của TRDnR) Bài 1. SGK5 trang 38.
Chuyển các phân số thập phân sau thành hỗn số: . 100 605 ; 100 5608 ; 10 734 ; 10 162 HS PSTP.
τ :Lấy tử số chia cho mẫu số Thương tìm được là phần nguyên của hỗn số. Hỗn số gồm phần nguyên kèm theo một phân số có tử số là số dư, mẫu số là số chia.
Đối với dạng bài tập này phép chia luôn là phép chia có dư với 0 < r< b, a và b thuộc tập hợp các số nguyên dương.
Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật Đánh giá TRTSD.PCSTPR: Tìm số dư của phép chia các số thập phân. (vết của TRDnR) Bài 2. SGK5 trang 64
Tìm số dư của phép chia
TSD
τ :Thực hiện phép chia số thập phân cho số tự nhiên
+ Chia phần nguyên của số bị chia cho số tự nhiên
+ Viết dấu phẩy vào bên phải thương rồi chia tiếp.
+ Thương tìm được là số thập phân.
Trong thương có bao nhiêu số thập phân thì số dư chứa bấy nhiêu chữ số thập phân.
Ta thấy biểu thức “1,24 ×18 + 0,12 = 22,44” đã xuất hiện dạng viết a = bq + r, tuy nhiên đó là biểu thức kiểm tra phép chia . Nhưng qua đó chúng ta thấy ngầm ẩn dạng viết đại số của phép chia có dư. Số dư trong kiểu nhiệm vụ này đều không phải là số tự nhiên. TRKTTPR: Khai triển thập phân (vết của TRDnR) Bài 3. SGK5 trang 68. 2 3 18 ; ; 5 4 5 KTTP τ :Tìm thương là số thập phân bằng cách chia a cho b.
Phép chia trong kiểu nhiệm vụ này là phép chia hết trong DRnR(với n = 1, 2) 22,44 84 44 12 18 1,24 43,19 14 119 2,05 21
Trong phép chia này, thương là 1,24, số dư là 0,12
Bảng 2.2: Bảng thống kê về số lượng kiểu nhiệm vụ trong SGK5
Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tỉ lệ
Vết của TRDnR trên Z (≡DR0R) TRPSTP.HSR 1 1% 1% Vết của TRDnR trên DRnR (n= 1, 2 ) TRTT 57 62% 98% TRTX 16 17,5% TRTGTBT 8 8,7% TRTSD.PCSTPR. 6 6,5% TRKTTP 3 3,3% Ứng dụng PCCD TRGTNN.LN 1 1% 1% Tổng cộng 92 100%
Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có những nhận xét sau:
- Cũng như trong ở lớp 3 và lớp 4 kiểu bài tập rèn luyện tính toán tìm các thành phần của phép chia trên DRnR (n=1, 2) chiếm số lượng lớn: TRTT,R TRTX,R TRTGTBTR chiếm 88,2%. Các phép tính này thực hiện trong DR2 Rlà chủ yếu. Và các phép tính đều là chia hết trong DRnR. Kiểu nhiệm vụ ứng dụng phép chia có dư xuất hiện rất ít (chỉ 1%). So với ở lớp 3 và lớp 4 xuất hiện kiểu nhiệm vụ mới TRTSD.PCSTPR, TRKTTPR.
- Trong kỹ thuật của kiểu nhiệm vụ TRTSD.PCSTPR, ta phải thực hiện liên tiếp các phép chia có dư. Nếu xét trong mọi vành DRnR thì đây vẫn là phép chia có dư. TRTSD.PCSTP Rsẽ được mở rộng trong kiểu nhiệm vụ viết một phân số dưới dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn ở đầu cấp II. Trong ví dụ nêu ra thuộc kiểu nhiệm vụ này trong bảng trên, SGK đã đề cập đến mối liên hệ giữa các thành phần của phép chia có dư a, b, q, r trong vành DR2R. Ta thấy công nghệ giải thích cho kiểu nhiệm vụ chưa được làm rõ. Số dư của phép chia là r×10P
-n
Pvới n là số chữ số thập phân trong thương số.
- Chỉ có 6 bài thuộc kiểu nhiệm vụ TRTSD.PCSTPR, và chiếm 6,5% số bài tập đề cập đến số dư là số thập phân. Tuy nhiên nhiệm vụ “thử lại: 1,24 ×18 + 0,12 = 22,44” trong bài toán tìm số dư của phép chia số thập phân không bắt buộc đối với học sinh. Qua bài toán này, mối quan hệ thể chế đối với phép chia có dư có thể sẽ thay đổi. Vậy câu hỏi đặt ra là quy tắc
hành động: “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r≠0 và r < b”, còn tồn tại trong học sinh hay không? Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần thực nghiệm chương III.
- Kiểu nhiệm vụ TRKTTPR đưa phân số về số thập phân hữu hạn trong DR1R hoặc DR2R. Số lượng kiểu nhiệm vụ này chỉ chiếm 3,3% nên vai trò của phép chia có dư trong khai triển thập phân một số hữu tỉ rất mờ nhạt.
Khi phân tích chương trình chúng tôi nhận thấy, tuy trong phần bài học phép chia có dư chỉ giới hạn trong nửa nhóm ZP
+
Pnhưng trong thực hành có những kiểu nhiệm vụ mở rộng phép chia trong DP
+
P
.
Câu hỏi đặt ra : Khái niệm phép chia hết và phép chia có dư không được nói đến trong vành DRnR. Học sinh có tính tới tập hợp số mà PCCD đang thực hiện không? Đặc trưng về số dư theo quan điểm của học sinh như thế nào?
2.1.3. Kết luận
Phép chia hết cũng như phép chia có dư được giới thiệu với kỹ thuật tìm thương và số dư. Xuyên suốt chương trình kỹ năng thực hiện phép chia được hoàn chỉnh qua các lớp. Cách thức thực hiện phép chia đầu tiên thông qua các bảng chia, sau đó thuật toán chia với các cách thực hiện phép chia không có ghi nhớ tới có ghi nhớ, từ phép chia trong phạm vi bảng chia cho đến việc thực hiện phép chia một số có 6 chữ số cho số 3 chữ số.
Phép tính tìm các thành phần trong phép chia hết và phép chia có dư trên các số tự nhiên là mục tiêu của chương trình tiểu học. Phép chia hết và phép chia có dư không được định nghĩa chính thức trong chương trình tiểu học mà chỉ giới thiệu bằng mô tả qua tình huống cụ thể. Đặc trưng của phép chia có dư là số dư: r = 0 và 0 < r < b.
Phép chia có dư xuất hiện dưới các hình thức sau: - Cách viết 1:
a : b = q (dư r)
Cách viết chính thức về phép chia có dư là a : b = q (dư r). Trong cách viết a : b = q (dư r),SGK đã nhấn mạnh là phép chia hết khi r = 0 hay viết a : b = q.
Đối với phép chia có dư chỉ ghi số dư bé hơn số chia chưa xuất hiện cách ghi 0 < r < b. Vì vậy ta có đặc trưng của phép chia có dư là dựa vào r.
a r
b q
Cách viết 1 và 2 xuất hiện đồng thời với nhau trong bài “Phép chia hết và phép chia có dư” học sinh được làm quen với thuật toán bằng sơ đồ để thực hiện phép chia có dư, và cách viết chính thức là a : b = q (dư r) như là cách ghi kết quả của phép chia. Trong thực hành thì cách viết dưới dạng sơ đồ được học sinh sử dụng phổ biến để tìm kết quả.
- Cách viết 3:
a = bq +r với (0 < r< b)
Cách viết này xuất hiện ngầm ẩn dưới dạng là biểu thức kiểm tra kết quả của phép chia có dư. Mối quan hệ giữa các số a, b, q, r chưa được nêu rõ ràng và cách viết này không được xem là cách biểu diễn của phép chia có dư.
- Cách viết 4: b a = qr b Hỗn số b r
q xuất hiện ở lớp 5, nhưng có vai trò rất mờ nhạt chỉ có duy nhất một bài thuộc kiểu nhiệm vụ TRPSTP.HSR . Đặc trưng của cách viết này là phép chia có dư được thực hiện trong ZP
+
P
. Trong cách viết này số dư đã được sử dụng chính thức trong biểu thức.
Trong các hình thức biểu diễn phép chia có dư, số dư r xuất hiện với vai trò phân biệt phép chia có dư và phép chia hết. Trong các dạng viết của phép chia có dư số dư được thể hiện là số tự nhiên khác 0 và nhỏ hơn b. Kỹ thuật thực hiện phép chia có dư còn xuất hiện trong tập DRnRnhưng phép chia có dư không được định nghĩa đối với tập hợp DRnR. Đặc biệt khi phép chia được thực hiện với các số thập phân (xuất hiện dưới dạng sơ đồ) số dư thể hiện trên sơ đồ chia cũng là số tự nhiên. Điều này gây khó khăn cho học sinh khi gặp những kiểu nhiệm vụ liên quan đến số dư khi thực hiện phép chia có dư trong DRnR.
Qua phân tích các kiểu nhiệm vụ ta nhận thấy thể chế cũng quan tâm đến khó khăn này qua TRTSD.PCSTPR. Một câu hỏi đặt ra những khó khăn này còn tồn tại trong học sinh hay không?
Phép chia có dư được sử dụng trong khai triển thập phân một số hữu tỉ có vai trò rất mờ nhạt vì kiểu nhiệm vụ liên quan đến khai triển thập phân chiếm số lượng ít và các phép
chia đều là phép chia hết trong DRnR(với n = 1, 2). Vai trò của số dư không được nêu ra trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân.
Các tổ chức toán học trong thể chế tiểu học xoay quanh các nhiệm vụ tính toán và tìm các thành phần của phép chia trong tập hợp số tự nhiên và trong tập DRnR. Tuy nhiên học sinh không chú ý phân biệt sự khác nhau giữa phép chia thực hiện trong N và DRnR. Chúng tôi rút ra các qui tắc hành động:
R1: “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r≠0 và r < b” R2: “Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b”
2.2. Thể chế THCS 2.2.1. Phần bài học