Trang 141 bài “Vành Ơclit (Euclide)” mô tả cấu trúc đại số trong đó có phép chia có dư được nêu trong một vành tổng quát hơn vành Z đã xét trong các giáo trình [a] và [b].
“Định nghĩa: Giả sử A là một miền nguyên, AP
*
Plà tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền nguyên A cùng với ánh xạ (gọi là ánh xạ Ơclit)
A* →N: : δ R từ AP * Pđến tập hợp số tự nhiên N thoả mãn các tính chất: i. Nếu b\ a và aR≠ R0 thì Rδ R(b )R ≤δR(a);
ii. Với hai phần tử a và b tuỳ ý của A, bR≠ R0, có q và r thuộc A sao cho a = bq + r và Rδ R(r) <Rδ R(b) nếu r R≠R0; gọi là một vành Ơclit”
Ví dụ: 1) Vành số nguyên Z cùng với ánh xạ: δ R R: ZP * P →R R N n |n| là một vành euclide.
2) Vành đa thức K[X], với K là một trường là một vành euclide với : δ R R: K[X]P
*
P →R RN
f(x) δ RR(f) = degf.
Vành euclide là một vành chính và do đó vành này thoả mãn điều kiện có ƯCLN, phép chia Euclide cho phép tìm ra ƯCLN đó. Điều này dựa trên bổ đề:
“Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thoả mãn quan hệ
a = bq + r
Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r”
1.3.2. Vành Dn
Vành DRnR, tập hợp các số thập phân có n chữ số thập phân sau dấu phẩy, là một vành Euclide. Như vậy ta có tính chất sau :
Trong vành DRnR (n ∈ N), cho trước hai số thập phân a, b với b≠0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) sao cho a = bq + r.
Vành Z chính là một trường hợp của vành DRnR, vành DR0R. Từ đó, chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TRDnR như sau : Trong vành DRnR (n ∈ N), cho trước hai số thập phân a, b với b≠0, tìm thương q và số dư r trong phép chia có dư a cho b.
Như vậy chúng ta có thể xem các kiểu nhiệm vụ TRSD, RTRCHRtrong vành Z là những kiểu nhiệm vụ con của TRDnR.
Về mặt toán học, nếu a, b ∈ N, a/b là số thập phân thì sẽ tồn tại một q ∈ DRnR sao cho a = bq (phép chia hết hay là dư 0). Vành Z chính là DR0R. Vì vậy ta có thể có một phép chia có dư trong Z nhưng là phép chia hết trong DRnR nào đó, chẳng hạn: a =12 và b = 5 ta có phép chia có dư trong Z với số dư là 2; tuy nhiên trong vành DR1Rthì đây là phép chia hết 12 = 5 x 2,4.