- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu:
CHƯƠNG 2: PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
2.2. Thể chế THCS 1 Ph ần bài học
Phép chia có dư xuất hiện trong phần số học trong SGK lớp 6 và lớp 7. Chúng tôi chọn cách trình bày như sau: sơ lược qua lý thuyết được nêu trong SGK và sau đó nghiên cứu các tổ chức toán học có liên quan.
• Phân tích SGK lớp 6
Trong chương đầu tiên của SGK lớp 6, tập 1: Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên. Có những phần được ôn lại như tập hợp các số tự nhiên N, các phép tính trong N, trong đó có phép chia hết và PCCD, dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Những kiến thức này được nhắc lại làm tiền đề cho học sinh tiếp thu những kiến thức mới như: tính chất chia hết của một tổng, bội, ước, số nguyên tố, phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ước chung, bội chung, ƯCLN, BCNN.
Phép chia được SGK6, tập 1, giới thiệu bài 6: “Phép trừ và phép chia” trang 20. Câu hỏi ban đầu được đặt ra: Phép cộng và phép nhân luôn thực hiện được trong tập hợp số tự nhiên, còn phép trừ và phép chia thì sao?
Trong mục phép chia hết và phép chia có dư SGK giới thiệu tình huống: “Với hai số tự nhiên 12 và 3 có số tự nhiên x mà 3.x = 12 (vì 3.4= 12). Tuy nhiên với hai số tự nhiên 12 và 5 không có số tự nhiên x nào để 5.x=12”.
Tìm thương của phép chia là tìm nghiệm của phương trình ax = b với a, b, x đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Có trường hợp phương trình vô nghiệm. Định nghĩa phép chia hết ở trang 21 như sau:
“Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b ≠0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và có phép chia hết a : b = x”
Giới thiệu lại các kí hiệu và tên gọi của các kí hiệu:
dùng dấu “:” chỉ phép chia
a : b = c
(Số bị chia) : (Số chia) = (Thương) [SGK6, tập 1, tr21]
Định nghĩa này được nêu tương tự trong [a] là định nghĩa tổng quát của phép chia hết. Hoạt động 2, trang 21 đưa phép chia không thực hiện trên các số mà thực hiện trên biểu thức chứa chữ như sau:
“Điền vào chỗ trống
a) 0 : a = …(a≠0) b) a : a = …(a≠0) c) a :1= ….” [SGK6, tập 1, tr21]
Đây là những qui tắc tổng quát thường được học sinh sử dụng khi thực hiện các phép chia. Sau đó, SGK đưa ra 2 ví dụ , phép chia được đặt phép tính:
Dựa vào hai phép tính trên SGK có kết luận: “ Phép chia 12 chia cho 3 là phép chia hết: 12 chia cho 3 được 4. Phép chia 14 cho 3 là phép chia có dư: 14 chia cho 3 được 4 dư 2. Ta có
14 = 3 . 4 + 2
(số bị chia) = (số chia) . (Thương) + (số dư)” [SGK6, tập 1, tr22]
Trong chương trình tiểu học có cách ghi: 14 : 3 = 4 (dư 2). Trong chương trình lớp 6, PCCD được viết dưới dạng 14 = 3.4 + 2 . Số dư đã xuất hiện chính thức trong biểu thức
SGK6 đã đồng nhất định nghĩa phép chia có dư với định lý PCCD trong tập hợp số tự nhiên. Định nghĩa phép chia có dư ở trang 22:
“ Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b ≠0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho:
a = b.q + r trong đó 0≤ r < b. Nếu r = 0 thì ta có phép chia hết
Nếu r≠0 thì ta có phép chia có dư”. [SGK6, tập 1, tr22]
12 0 3 4 3 14 2 4
Phép chia hết và phép chia có dư cũng được giới thiệu riêng biệt là hai trường hợp khác nhau giống như chương trình tiểu học. PCCD được định nghĩa tường minh, biểu thức viết dưới dạng a = b.q + r, 0≤ r < b với a, b, q, r ∈N . Qua phần phân tích của SGK làm rõ một vấn đề là phép chia hết không phải lúc nào cũng thực hiện được trên tập hợp số tự nhiên. Phép chia có dư đã khắc phục được điều này. Trong tập hợp số tự nhiên, PCCD luôn thực hiện được. Chúng tôi nhận thấy sự xuất hiện của dạng viết trên chuẩn bị cho những bài toán mang bản chất đại số.
Hình thức viết a = bq + r, 0≤ r < bgiới thiệu chính thức là định nghĩa của phép chia có dư, nó không còn mang nghĩa là biểu thức dùng để kiểm tra kết quả của phép chia có dư. Hình thức viết phổ biến ở bậc tiểu là a : b = c (dư r) biến mất. Trong thực hành thuật toán chia bằng sơ đồ vẫn tồn tại.
Để nhấn mạnh quan hệ giữa các số trong phép chia có dư SGK đưa vào hoạt động 3/ trang 22.
“Điền vào ô trống các trường hợp có thể xảy ra:”
Số bị chia 600 1312 15
Số chia 17 32 0 13
Thương 4
Số dư 15
Thông qua hoạt động 3, SGK6 đã nhắc lại cho học sinh các trường hợp không thể xảy ra khi thực hiện phép chia: số chia bằng 0, và số dư lớn hơn số chia (đây là trường hợp duy nhất có bài tập đưa ra số dư lớn hơn số chia và số bị chia bằng 0).
Phần cuối của bài học SGK đã tổng kết lại phần chính của bài học.
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q
Trong phép chia có dư:
Số bị chia = Số chia × Thương + Số dư a = b.q + r ( 0 < r < b ) Số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia Số chia bao giờ cũng khác 0. [SGK6, tập 1, tr22]
Bài học không đưa ra chỉ dẫn rõ ràng tìm số dư của phép chia r = a – bq. Trong bài
“Phép trừ và phép chia”không thể hiện mối liên hệ nào giữa phép trừ và phép chia. Nhìn chung so với chương trình tiểu học bài này chỉ có vai trò ôn lại và nêu định nghĩa về phép chia hết và phép chia có dư, hình thức biểu diễn của phép chia có dư đã chuyển sang dạng đẳng thức: a = b.q + r, 0≤r < b. Đặc trưng về số dư được làm rõ hơn trong biểu thức a = b.q + r, điều kiện 0 < r < b được nhấn mạnh khi nhắc đến phép chia có dư.
Trong bài “Tính chất chia hết của một tổng” quan hệ chia hết được nhắc lại và thể chế chỉ quan tâm tới hai khái niệm a chia hết cho b hay a không chia hết cho b. Như vậy phép chia có dư ở đây được chú ý trong trường hợp r = 0 và 0 < r < b.
Qua lý thuyết của SGK6 đã nêu, vai trò của PCCD xuất hiện mờ nhạt. Và số dư trong phép chia có dư thể chế chỉ quan tâm đến r = 0 và 0 < r < b.
Phép chia có dư đã định nghĩa chính thức trong SGK lớp 6, tập 1, phép chia có dư là công cụ giải quyết các khái niệm liên quan như phân tích một số thành nhân tử, tìm ƯCLN và BCNN. Tuy nhiên vì hạn chế về thời gian nên luận văn của chúng tôi không phân tích các khái niệm này.
Trong phần số học chương III – Phân số SGK6, tập 2 bài “Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm” trang 44. SGK giới thiệu lại về hỗn số và cách chuyển từ phân số thành hỗn số. Tuy học sinh đã học hỗn số trong chương trình toán 5 trong bài học này giới thiệu về kí hiệu hỗn số và tên gọi các kí hiệu. Và SGK 5 giới thiệu cách chuyển từ hỗn số sang phân số và từ đó thực hiện các phép toán trên phân số. Phần “Hỗn số” ta có:
“Ta đã biết phân số
4
7có thể viết dưới dạng hỗn số như sau:
4 3 1 4 3 1 4 7 = + = (đọc là một ba phần tư) 1 là phần nguyên của 4 7 4 3 là phần phân số của 4 7 ”[SGK6- tập 2- tr44]
Phép chia có dư đã được sử dụng khi chuyển từ phân số sang hỗn số. Phân số
b a
chuyển sang hỗn số khi có a > b. Trong PCCD này ta chú ý tới thương và số dư của phép 4
7
3 1
49
Hỗn số ở toán 6 có sự khác biệt so với chương trình toán 5 là học sinh viết phân số dưới dạng hỗn số và thực hiện phép toán trên hỗn số. Chuyển sang dạng hỗn số với phân số
b
a bất kì có a > b.
• Phân tích SGK lớp 7
Phép chia có dư trong chương trình tiểu học chỉ xoay quanh kỹ năng tìm thương và số dư của phép chia. SGK lớp 5 đưa vào số thập phân và cách thành lập số thập phân bằng cách thực hiện các phép chia có dư, phần thập phân có nhiều nhất là 3 chữ số. Trong SGK lớp 7 có bài “Số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn” trang 32 đã có những giới thiệu mở rộng về số thập phân.
Ta biết phân số
b a
chính là thương của phép chia số nguyên a cho số nguyên b. Ta có thể biểu diễn phân số bằng cách thực hiện phép chia có dư a cho b hay ta còn gọi là khai triển thập phân của một số hữu tỉ. Một vấn đề đặt ra khi chia a cho b thì phân số nào có khai triển là số thập phân hữu hạn, hay số thập phân vô hạn tuần hoàn? Dấu hiệu nào cho ta biết phép chia có thể dừng lại? Ta xem xét qua bài học SGK đã đưa hai ví dụ:
Ví dụ 1: Viết các phân số 20 3 , 25 37 dưới dạng số thập phân. Ta có 3,0 100 0 20 0,15 Vậy 20 3 = 0,15; 25 37 = 1,48 Ví dụ 2: Viết phân số 12 5 dưới dạng số thập phân. 37 120 200 0 25 1,48 5,0 12
Ta có:
Phép chia này không bao giờ chấm dứt. Nếu cứ tiếp tục chia thì trong thương, chữ số 6 sẽ được lặp đi lặp lại. Ta nói rằng khi chia 5 cho 12, ta được một số ( số 0.4166...) đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số 0,4166.. được viết gọn là 0,41(6). Kí hiệu (6) chỉ rằng chữ số 6 được lặp lại vô hạn lần. Số 6 gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,41(6).[ SGK7,Tập 1, tr32]
Ở ví dụ đầu phép chia kết thúc khi số dư bằng 0 và thương là số thập phân hữu hạn. Ví dụ 2, SGK đã nhấn mạnh phép chia này không bao giờ chấm dứt, điều này dựa vào hiện tượng chữ số ở thương lặp đi lặp lại. Số dư 8 trong ví dụ 2 đã lặp lại sau mỗi lần thực hiện phép chia. Qua 2 ví dụ, phép chia dừng khi số dư bằng 0 hoặc khi số dư lặp lại.
Khai triển thập phân của một số hữu tỉ
b a
bằng việc thực hiện phép chia có dư liên tiếp. Ta có nhận xét: “Tuy kỹ thuật thực hiện phép chia sinh ra các giá trị thập phân gần đúng của phân số với sai số 10P
-n
P, nhưng lại thiếu một công nghệ giải thích cho kỹ thuật...Kỹ thuật thực hiện phép chia giữa 2 số nguyên để tìm dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn của số hữu tỉ, chu kỳ của dạng viết thập phân vô hạn này lại được phần lớn học sinh suy ra từ điều kiện một chuỗi các số lặp đi lặp lại 2, 3 hay 4 lần trong thương thập phân. Nghĩa là tính chu kỳ không được suy ra từ tính chất toán học đúng: tính chất lặp lại của các số dư trong các phép chia Euclide của kỹ thuật.” trong phần tóm tắt luận án của tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung.
Số dư có vai trò quan trọng trong việc khai triển thập phân của một số hữu tỉ. Dựa vào số dư cho ta nhận biết điều kiện dừng của phép chia.
Dựa vào nhận xét:
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì
Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.” [SGK7, Tập1, tr33]
Phân tích thừa số nguyên tố của mẫu số thì chúng ta biết khi khai triển thập một phân số là số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Đối với phân số tối giản có mẫu số chỉ có ước là 2 hoặc 5, chuyển phân số về dạng n
a
10 để biểu diển một số thập phân dễ dàng hơn.
Vậy khi khai triển dạng thập phân của một số hữu tỉ là quá trình thực hiện liên tiếp các phép chia có dư a, 10rR0R, 10rR1R,.., cho số b. Trong phép chia, số dư chỉ có thể là: 0, 1, 2,...,b – 1, vì vậy phép chia này nhiều nhất sau b bước thì số dư sẽ lặp lại. Hay ta có thể khẳng định phép chia có dư sẽ dừng (nhiều nhất ) sau b lần thực hiện phép chia có dư.
Số dư đóng vai trò quan trọng thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân. Kỹ thuật khai triển thập phân của một phân số học sinh đã gặp ở chương trình tiểu học. Tuy nhiên ở lớp 5 khi khai triển thập phân của một phân số thì luôn là số thập phân hữu hạn hay đó là những phép chia hết trong DR1R, DR2R. Ở lớp 7 khái niệm số thập phân vô hạn tuần hoàn lần đầu tiên được gọi tên và cách thành lập nó là phép chia có dư số a cho b trong phân số
b a
.
Phân tích chương trình và SGK ở lớp 6 và 7, chúng tôi nhận thấy phép chia có dư chỉ được định nghĩa trong tập hợp số tự nhiên. Thể chế không nêu phép chia có dư trong tập DRnR, vì vậy đặc trưng của số dư trong phép chia có dư các số thập phân không được làm rõ. PCCD trong vai trò là đối tượng không được đề cập lại trong chương trình THPT.
2.2.2. Phần bài tập
Trong phần này chúng tôi chỉ ra các tổ chức toán học xoay quanh khái niệm phép chia có dư. Khi phép chia có dư đã được định nghĩa chính xác như giáo trình [a ] và [b] có kiểu nhiệm vụ nào tiến triển so với chương trình tiểu học hay không? Chúng tôi liệt kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến PCCD trong SGK6 và SGK7.
Các TCTH trong SGK6 và SGK7 Kiểu nhiệm vụ Ví dụ Kỹ thuật và công nghệ Nhận xét TRTPPCR: Tìm các thành phần của phép chia có dư.(vết của TRDnR,)
Bài 45. SGK6 tập 1, trang 24: Điền vào ô trống sao cho
a = b.q + r với 0≤r<b a 392 .. 420 b 28 .. 14 q .. 25 12 r .. 10 0 Kỹ thuậtτTPPC
- Thực hiện phép chia a cho b tìm q và r.
- Tìm số bị chia theo công thức a = b.q + r.
- Tìm số chia biến đổi b =
q r a− . TRTPPC Rlà dạng toán tổng hợp để tìm các thành phần của phép chia. Kiểu nhiệm vụ này chủ yếu ôn lại kỹ năng thực hiện phép chia cho học sinh. (phép chia hết trong N). TRTXR:Tìm x(vết của TRDnR,) Bài 44. SGK6 , tập 1, trang 24. Tìm x: a) x : 13 = 41 b) 1428 : x =14 c) 4x : 17 = 0 d) 7x – 8 = 713 Kỹ thuật : τTX
- Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia.
- Muốn tìm số chia ta lấy số bị chia chia cho thương.
Muốn tìm thừa số chưa biết ta lấy tích
Các kỹ thuật này là những qui tắc trong kiểu nhiệm vụ tìm x ở tiểu học mà học sinh đã được học.
Đây là kiểu nhiệm vụ cơ bản mà học sinh cần nắm
Kiểu nhiệm vụ
Ví dụ Kỹ thuật và công nghệ Nhận xét
- Kết hợp với thao tác thực hiện phép biến đổi nhân chia hai vế với cùng một số tự nhiên, cộng trừ hai vế với một số tự nhiên. học về phương trình trong chương phổ thông. (phép chia hết trong N) TRTGTBTR : Tìm giá trị của biểu thức.(vết của TRDnR,) Bài 52. SGK6 tập 1,trang 25
a)Tính nhẩm bằng cách nhân thừa số này, chia thừa số kia cho cùng một số thích hợp: 14.50; 16.25 b)Tính nhẩm bằng cách nhân cả số bị chia và số chia với cùng một số thích hợp: 2100:50; 1400:25 c)Tính nhẩm bằng cách áp dụng tính chất (a+b):c = a:c+b:c (trường hợp chia hết): 132:12; 96:8;