- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò công cụ nghiên cứu:
CHƯƠNG 2: PHÉP CHIA CÓ DƯ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
2.3. Kết luận và các giả thuyết nghiên cứu
Qua phân tích chương 2 chúng tôi đã trả lời các câu hỏi nêu ra đầu chương:
+ Phép chia có dư được học sinh tiếp cận ở lớp 3, 4 học sinh làm quen với tình huống giới thiệu cụ thể về phép chia hết và phép chia có dư. Phép chia có dư thực hiện trong tập hợp số tự nhiên. Đến lớp 6 phép chia có dư được định nghĩa chính thức trong chương trình. Nhìn chung học sinh tiếp cận phép chia từ tình huống cụ thể đến phát biểu tổng quát trong tập hợp số tự nhiên. Tuy nhiên kỹ thuật thực hiện phép chia có dư đã đưa vào nghiên cứu các số thập phân và khai triển thập phân của một số hữu tỉ. Lúc này phép chia có dư đã thực hiện trên tập DRnR, thương và số dư là thường là những số thập phân. Tuy nhiên thể chế đã không làm rõ điều này thông qua phân tích thể chế trên.
+ Phép chia có dư xuất hiện với 4 hình thức: - Dạng bất đẳng thức a : b = q (dư r) - Dạng sơ đồ chia a r b q
- Dạng hỗn số qr b
Phép chia có dư dạng đẳng thức a = bq + r, 0≤r < b là định nghĩa chính thức của phép chia có dư ở lớp 6 giống như định nghĩa phép chia có dư trình bày trong [a] và [b]. Thông qua phân tích thể chế dạng viết này ít được sử dụng trong các kiểu nhiệm vụ. Nên định nghĩa của phép chia có dư có vai trò mờ nhạt trong chương trình. Thể chế tiểu học giới thiệu dạng đẳng thức này dưới hình thức kiểm tra phép chia có dư nên điều này sẽ ảnh hưởng đến quan hệ cá nhân của học sinh đối với định nghĩa này.
+ Các tổ chức toán học trong chương 2 là vết của các kiểu nhiệm vụ sau:
TRDnR: Trong vành DRnR (n ∈ N), cho trước hai số thập phân a, b với b≠0, tìm thương q và số dư r trong phép chia a cho b.
Vết của kiểu nhiệm vụ TRDnR được thể hiện rõ nhất thông qua kỹ năng tìm thương của phép chia trong tập hợp số nguyên và tập hợp số thập phân DRnR.
Từ phân tích chương trình và SGK chúng tôi rút ra hai qui tắc hành động R1, R2 và đưa ra giả thuyết HR1Rbao hàm luôn qui tắc hành động R1 “Số dư của phép chia có dư là một số tự nhiên r và r≠0 và r < b”
Giả thuyết HR1R: Học sinh THCS và THPT không quan tâm đến phép chia có dư đang thực hiện trong tập hợp số nào. Đối với các học sinh này, số dư của một phép chia có dư là một số tự nhiên, phép chia hết là phép chia có r = 0 và phép chia có dư là phép chia có r≠0.
Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn có vai trò trong việc định nghĩa số thực. Vai trò của số dư trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân hay dạng khai triển thập phân một số hữu tỉ được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ TRKTTPR trong các bài tập. Tuy nhiên các kiểu bài tập này còn ít, vai trò của số dư rất mờ nhạt. Dựa vào những phân tích trên chúng tôi đưa ra giả thuyết HR2 Rnhư sau:
Giả thuyết H2: Khai triển thập phân một số hữu tỉ bằng phép chia có dư trong DRnR, học sinh gặp khó khăn khi sử dụng số dư để thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân khai triển.
Tiếp theo trong chương 3 chúng tôi xây dựng câu hỏi thực nghiệm đối với học sinh đã học xong về phép chia có dư để kiểm chứng cho những giả thuyết mà chúng tôi đã đưa ra.