- Không có số tự nhiên x nào để b x= a Thể hiện sự không khép kín của phép chia trong tập hợp số nguyên.
4. Chiến lược số chữ ở thương: chữ số thập phân ở số dư dựa vào số chữ số ở thương.
Các biến dạy học
o V1: Dạng viết phép chia có dư.
Trong câu hỏi này chúng tôi chọn cách đưa phép chia dạng sơ đồ, ưu tiên cho chiến lược số dư là số tự nhiên xuất hiện.
o V2: Vành thực hiện phép chia
Chúng tôi chọn vành DR2Rthực hiện phép chia. Tạo điều kiện cho chiến lược số dư là số thập phân.
o V3: Số lần phép chia có dư thực hiện liên tiếp Ở đây chúng tôi chọn phép chia có dư thực hiện 3 lần.
o V4: Giá trị của cặp số bị chia và số chia
Thuộc tập hợp số tự nhiên có 3 chữ số, độ chênh lệch nhỏ.
o V5: Mệnh đề được nối với nhau bởi dấu đẳng thức hay dấu bất đẳng thức, hay hình thức học sinh tự điền dấu để có mệnh đề đúng.
Câu trả lời
Chiến lược Cái có thể quan sát
Sai a Chiến lược phân số
Thương số a chia cho b còn được viết phân số
a
b. Trong cách ghi này không thể hiện số dư. Vì vậy học sinh cho rằng phân số bằng thương của phép chia.
b Chiến lược số dư là số tự nhiên
Theo dự đoán của chúng tôi đa số học sinh chọn câu hỏi này. Vì ảnh hưởng của phép chia có dư trong tập hợp ZP
+
P
. Số dư luôn là một số tự nhiên với 0 < r < b d Chiến lược số
chữ ở thương
Học sinh nhìn vào số chữ số của thương mà có sự lựa chọn này.
Đúng c Chiến lược số dư là số thập phân
Số dư được viết dưới dạng phân số thập phân.
e Chiến lược số dư là số thập phân
Học sinh hiểu được số dư trong Dn là một số thập phân.
• Phân tích hậu nghiệm
Bảng 3.4: Bảng thống kê các câu trả lời câu 3.
Các câu trả lời Số lần xuất hiện Tỉ lệ
a 30 22,9%
b 74 56,5%
c 45 34,4%
d 2 1,5%
e 49 37,4%
Dựa vào bảng thống kê chúng tôi có nhận xét sau:
1. Câu trả lời a chiếm 22,9%. Bằng phép tính kiểm tra đơn giản ta có thể nhận ra dễ dàng cách viết này không đúng. Tuy nhiên số lượng học sinh chọn câu này không phải là ít. Đây là dạng câu hỏi không quen thuộc khi học sinh phải sử dụng một hình thức biểu diễn
“Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành một phân số: tử số là số bị chia, mẫu số là số chia” Như vậy chiến lược phân số được học sinh sử dụng trong câu trả lời này.Quan niệm thương của một phép chia được viết thành phân số vẫn tồn tại trong học sinh. Phạm vi hợp thức của dạng viết này chỉ đúng phép chia hết trong tập hợp DRnR.
2. Câu trả lời b chiếm 56,5% số lượng nhiều nhất. Đây là câu trả lời chúng tôi đang quan tâm. Điều này thể hiện ảnh hưởng sâu sắc quan điểm số dư trong phép chia là một số tự nhiên. Học sinh đã sử dụng chiến lược số dư là số tự nhiên để đưa ra lựa chọn của mình. Phạm vi hợp thức của chiến lược này chỉ đúng đối với tập Z. Qua quan sát bài làm của học sinh rất nhiều câu b được chọn sau đó được loại bỏ. Có thể đã có những bước kiểm tra biểu thức để có câu trả lời chính xác hơn.
3. Câu trả lời đúng là c và e có mối tương quan với nhau. Theo giải thích của chúng tôi, học sinh lớp 10 đã có sự trang bị đầy đủ về phân số thập phân và số thập phân hữu hạn. Tuy nhiên câu trả lời về số thập phân vẫn có ưu thế hơn. Học sinh dùng chiến lược số trong DRnR để có câu trả lời. Các câu trả lời c và e học sinh ý thức được số dư trong phép chia được cho không phải là số tự nhiên mà là số có dạng r.10P
-n
P với n tương ứng DRnR. Tuy nhiên số lượng học sinh này không nhiều.
4. Câu trả lời d chỉ chiếm 2%, Tức là chiến lược chữ số ở thương số được ít học sinh lựa chọn. Trong mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân có những trường hợp học sinh không tính đến số dư trong phép chia hay có tính đến nhưng không chính xác.
Không ít học sinh có lựa chọn a, c và e có thể giải thích như sau học sinh xem phân số là thương của phép chia a cho b và các em cũng không tính đến số dư trong cách viết này bên cạnh đó những học sinh này cũng có quan niệm đúng về số dư trong tập hợp số thập phân.
Trong khai triển thập phân của số hữu tỉ
192415 415
, chúng tôi nhận thấy phần dư của phép chia và việc tính đến vai trò của nó trong đẳng thức a = b.q + r là một điều khó khăn đối với học sinh. Đa số học sinh có quan điểm đặc trưng số dư là một số tự nhiên.
U
Câu 4U : Dựa vào phép chia ở câu 3 hãy điền vào chỗ trống đẳng thức sau đây :
415 = ...×192
Đây là dạng câu hỏi mở, khi điền vào chỗ trống học sinh ưu tiên dạng nào? số thập phân, số thập vô hạn tuần hoàn, phân số hay số tự nhiên.
Câu hỏi này cho phép kiểm tra câu trả lời trong câu 3 của học sinh. Học sinh có dựa vào đó điều chỉnh câu trả lời của câu 3.
Mối liên hệ giữa a/b với số thập phân, khai triển thập phân của một phân số. Học sinh còn xem số dư của phép chia là số nguyên hay không?
Câu 4 cho phép chúng ta nhận xét học sinh ưu tiên sử dụng số thập phân hay phân số hơn. Vì với biểu thức như vậy học sinh sẽ có cơ hội tính toán kiểm tra lại lựa chọn của mình.
Các chiến lược: