Trong chương 1, chúng tôi đã làm rõ một số cách trình bày về PCCD và các khái niệm có liên quan trong các giáo trình toán ở bậc đại học. Sau đây là các kết quả chính của phân tích trong chương 1.
• PCCD với vai trò là một đối tượng:
PCCD được định nghĩa trong tập hợp số nguyên, trước khi định nghĩa về PCCD thì cả hai giáo trình [a] và [b] đều nêu định lý về PCCD. Tuy nhiên định lý trong giáo trình [b] phát biểu với số bị chia là số nguyên, số chia là số nguyên dương, khác với [a] cả số chia và số bị chia đều thuộc tập hợp số nguyên và b≠0. Điều này dẫn đến biểu thức số dư có sự khác biệt [a] chứa dấu giá trị tuyệt đối (0 ≤ r < |b|) và [b] không có giá trị tuyệt đối (0 ≤ r < b). Theo chúng tôi định nghĩa trong [b] thuận tiện hơn và không mất tính tổng quát cho việc phát biểu PCCD trong tập hợp số nguyên. Cả hai giáo trình đều không nêu tường minh ý nghĩa của PCCD là phép trừ liên tiếp. Nhưng nghĩa của PCCD là phép trừ liên tiếp ngầm ẩn trong cách trình bày chứng minh định lý trong [a] và trong ví dụ trong [b]. Yếu tố đặc
Giáo trình [c] khái quát về PCCD trong một vành euclide bất kì bao gồm phép chia có dư trong vành Z. Giáo trình [a] và [b] đã trình bày PCCD trong Z. Hình thức biểu diễn của PCCD trong các giáo trình đại học là: a = bq + r với 0≤r< |b|, trong đó a, b, q, r thuộc vành A (Z hoặc vành euclide bất kì ) và b ≠0. Số dư xuất hiện tường minh trong biểu thức.
Đặt trưng của số dư trong PCCD đã được nêu rõ: r = 0 là phép chia hết, khi 0< r < |b| thì là phép chia có dư. Phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.
Trong vành số nguyên phép chia hết không khép kín, khi phép chia có dư được đưa vào thì phép chia được thực hiện với mọi số nguyên.
• PCCD với vai trò công cụ:
PCCD xuất hiện trong vai trò công cụ liên quan đến những khái niệm sau đây. - Ước chung lớn nhất
- Quan hệ đồng dư
Đây là hai khái niệm nổi bật nhất ứng dụng PCCD. Và thuật toán Euclide là ứng dụng tiện ích nhất và lâu đời nhất của PCCD. Thuật toán này có mặt trong kỹ thuật để giải quyết một số kiểu nhiệm vụ của những bài toán liên quan đến PCCD.
Vành DRnR là vành euclide, vành Z là DR0R dựa vào sự khái quát này mà chúng tôi mô hình hóa kiểu nhiệm vụ TRDnR.
Các kiểu nhiệm vụ xoay quanh đối tượng PCCD trong các giáo trình đại học đã nghiên cứu có thể chia thành hai nhóm như sau.
- Nhóm các kiểu nhiệm vụ trong đó phép chia có dư đóng vai trò đối tượng nghiên cứu:
TRSDR: Tìm số dư của phép chia có dư trong vành Z
TRCHR: Chứng minh rằng: P(n)a, *
,a N Z
n∈ ∈
∀ .
Như chúng tôi đã mô hình ở trên, các kiểu nhiệm vụ này là những trường hợp đặc biệt của
TRDnR(Tìm thương và số dư của phép chia có dư trong vành DRnR).