Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN XUÂN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN XUÂN TÍNH Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Với tất chân thành, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể giảng viên didactique toán trường Đại học Sư phạm TP.HCM, đặc biệt PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, PGS.TS Lê Văn Tiến, … xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude COMITI - nguyên phó viện trưởng Viện Đại học đào tạo giáo viên (IUFM) Grenoble, PGS.TS Annie BESSOT - nguyên trưởng nhóm DDM Trung tâm nghiên cứu Leibniz, TS Alain BIREBENT - giảng viên cao cấp trường Đại học MENDÈS (Grenoble) người mang lại cho tri thức quý báu, tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập, nghiên cứu thực luận văn Xin chân thành cảm ơn tất bạn học viên lớp cao học khóa 19 chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học môn Toán trải qua ngày vui buồn khóa học đóng góp nhiều ý kiến bổ ích thiết thực cho luận văn Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu tập thể Giáo viên trường THPT Nguyễn Thái Học – Khánh Hòa tạo điều kiện thuận lợi cho tham gia khóa học giúp đỡ thực nghiệm Xin chân thành cảm ơn người thân yêu gia đình động viên tiếp sức tinh thần để hoàn thành luận văn Với thời gian hạn chế, chắn luận văn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết, kính mong Thầy giáo, Cô giáo đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn chỉnh, ứng dụng thực tiễn TÁC GIẢ DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT CB Cơ đpcm Điều phải chứng minh ĐS & GT Đại số Giải tích GV Giáo viên HS Học sinh NC Nâng cao NXB Nhà xuất NXBGD Nhà xuất Giáo dục PPQNTH Phương pháp quy nạp toán học SBT Sách tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên THCS Trung học sở THPT Trung học phổ thông T CM Chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n T DĐ Tìm số hạng tổng quát dãy số cho công thức truy hồi T DĐCM Dự đoán tính chất dãy số chứng minh tính chất PPQNTH tr Trang VP Vế phải VT Vế trái MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh mục từ viết tắt Mục lục MỞ ĐẦU Trang Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát - Phạm vi lý thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu - Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu - Cấu trúc luận văn - - CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC I.1 Các phương pháp suy luận phương pháp quy nạp toán học - I.1.1 Các phương pháp suy luận - - I.1.2 Phương pháp quy nạp toán học - 12 - I.2 Điểm qua vài nét lịch sử PPQNTH - 13 I.2.1 Giai đoạn chưa có định nghĩa số tự nhiên N (Trước kỷ XIX) - 13 - I.2.2 Giai đoạn sau định nghĩa tường minh tập hợp số tự nhiên N (Thế kỷ XIX) - 17 I.3 Các hình thức nguyên lý quy nạp toán học - 19 I.3.1 Hình thức cổ điển phương pháp quy nạp toán học - 19 - I.3.2 Các hình thức khác phép quy nạp toán học - 24 - CHƯƠNG II PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG II.1 Phép quy nạp toán học chương trình môn toán THPT - 33 - II.2 Phép quy nạp toán học SGK - 34 - II.3 Kết luận - 48 - CHƯƠNG III NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM THỰC NGHIỆM A Ở HỌC SINH III.1 Hình thức đối tượng thực nghiệm - 52 - III.2 Phân tích tiên nghiệm (A priori) câu hỏi thực nghiệm - 52 - III.3 Phân tích hậu nghiệm (A Posteriori) câu hỏi thực nghiệm - 63 - III.4 Kết luận - 70 - THỰC NGHIỆM B Ở GIÁO VIÊN III.5 Mục tiêu thực nghiệm - 71 - III.6 Phân tích câu trả lời thu từ GV - 73 - III.7 Kết luận - 78 - KẾT LUẬN CHUNG - 79 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO - 82 PHỤ LỤC - 84 - -1- MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong sống lao động, sinh hoạt học tập người ta thường suy luận đánh giá hoạt động mình, thông thường suy luận suy luận diễn dịch suy luận quy nạp Suy luận diễn dịch (suy diễn) áp đặt vấn đề chung cho trường hợp cụ thể Cách suy luận diễn thường ngày, xuất phát từ kinh nghiệm thực tế người Trong khoa học, toán học khoa học tư đòi hỏi tính logic tính xác cao Toán học xây dựng chủ yếu tiền đề đường suy diễn Tuy nhiên phép suy diễn đường tư khoa học nói chung toán học nói riêng Trên đường khám phá, tìm tòi chân lý, nhiều nhà khoa học trường hợp cụ thể, trường hợp đặc biệt đối tượng tập hợp để đưa kết luận tổng quát với đối tượng tập hợp Kết luận tìm sai họ lại sáng tạo phương pháp chứng minh để khẳng định kết luận Một cách làm nhà toán học phép chứng minh quy nạp toán học Nhờ phép chứng minh mà lý thuyết số khoa học toán học cho định lý, tính chất, công thức, hệ toán học đáng quý hình học, đại số, giải tích…cũng Ở trường trung học phổ thông (THPT), việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học giúp học sinh (HS) lĩnh hội kiến thức cách chủ động, hứng thú khơi gợi người học tò mò muốn vươn lên học tập Trong thực tế giảng dạy phép chứng minh quy nạp toán học, HS không hiểu nhiều mối quan hệ bước phương pháp chứng minh này, bước chứng minh mang tính hình thức, nhiều HS không hiểu phải thực bước Trong bước quy nạp, chứng minh mệnh đề “A(k) ⇒ A(k+1)” ∀k ≥ , nhiều HS cho cần chứng minh cho k ≥ chúng kiểm tra mệnh đề với k =1, sách giáo khoa (SGK) yêu cầu chứng minh với k≥1 -2Xuất phát từ ghi nhận nêu trên, chọn: “Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học dạy học toán trường trung học phổ thông” làm đề tài cho luận văn Mong muốn tìm hiểu, nghiên cứu trả lời câu hỏi sau: - Phép chứng minh quy nạp toán học xuất mục đích gì? - Những tính chất đặc trưng phép chứng minh quy nạp toán học gì? - Có hình thức khác phép chứng minh quy nạp toán học? Phạm vi lý thuyết tham chiếu câu hỏi nghiên cứu Nghiên cứu đặt khuôn khổ lý thuyết didactic toán Cụ thể là: Tổng hợp nghiên cứu có phép chứng minh quy nạp toán học khía cạnh khoa học luận để làm rõ câu hỏi ban đầu Vận dụng lý thuyết nhân chủng học didactic để phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Mục đích tổng quát luận văn tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi ban đầu Để làm điều đó, đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu nhằm làm rõ đặc trưng khoa học luận phép quy nạp toán học, lựa chọn thể chế Quan sát thực nghiệm để làm rõ đặc trưng ảnh hưởng đến việc dạy học GV HS Chúng trình bày lại câu hỏi sau: -3- Q1 Những đặc trưng khoa học luận phép chứng minh quy nạp toán học gì? Phép chứng minh quy nạp toán học giới thiệu thể chế THPT với mục đích gì? Dưới hình thức nào? Các kiểu tập liên quan? Q2 Trong mối quan hệ thể chế phép chứng minh quy nạp toán học tính chất đặc trưng xuất hiện? Những tính chất đặc trưng không tính đến? • Chúng tiến hành tổng hợp số tài liệu phép chứng minh quy nạp toán học, công trình nghiên cứu công bố, đặc trưng, vai trò ý nghĩa giải toán • Sau đó, thực phân tích thể chế, cách phân tích chương trình SGK, tài liệu hướng dẫn giảng dạy, cố gắng tìm hiểu lựa chọn thể chế đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học tác động đến trình dạy học • Phân tích SGK, nêu rõ tổ chức toán học liên quan đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học, xem xét SGK, SBT có kiểu nhiệm vụ kỹ thuật ưu tiên Chúng tìm hiểu quan niệm GV HS đối tượng này, ảnh hưởng cách trình bày SGK, SGV đến quan niệm • Tổng hợp từ phân tích cho phép hình thành giả thuyết nghiên cứu đối tượng • Việc tiến hành thực nghiệm cho phép kiểm chứng giả thuyết nêu Chúng thực thực nghiệm hai chủ thể GV HS thông qua câu hỏi thực nghiệm -44 Cấu trúc luận văn Chương I: Phần tổng hợp phân tích đặc trưng phép chứng minh quy nạp toán học trình bày số công trình nghiên cứu liên quan Từ vai trò ý nghĩa phép chứng minh quy nạp toán học dạy học toán Chương II: Phần phân tích thể chế, nghiên cứu chương trình, phân tích SGK tài liệu hướng dẫn giảng dạy, phân tích tổ chức toán học liên quan đến đối tượng phép chứng minh quy nạp toán học Chương III: Phần thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết, thực hai đối tượng GV HS Chúng tiến hành xây dựng thực nghiệm dạng câu hỏi, nhằm kiểm chứng tính xác đáng giả thuyết, gồm phiếu thực nghiệm cho GV phiếu thực nghiệm cho HS Phần kết luận Trình bày kết luận chung, việc chưa làm hướng mở luận văn - 87 ii Nếu A(k) A(k+1) với số tự nhiên k ≥ p A(n) với số tự nhiên n ≥ p Nguyên lý viết dạng A(p) (mệnh đề sở) A(k) ⇒ A(k+1), k ≥ p (mệnh đề quy nạp) A(n), ∀ n ≥ p (mệnh đề kết luận) Chứng minh (dùng phương pháp phản chứng) Giả sử ngược lại, A(n) không với số tự nhiên n = m, m ≥ p Ta lấy số tự nhiên nhỏ m mà A(m) không Theo điều kiện (i) ta có bất đẳng thức m>p, từ suy m – ≥ p từ A(m–1) không kéo theo A(m–1+1) = A(m) Điều trái với giả thiết (ii) Vậy điều giả sử ban đầu sai định lý chứng minh Chú ý Tiên đề thứ tự tương đương với nguyên lý quy nạp dạng yếu Thật vậy, (⇒) Giả sử A(1) A(k) ⇒ A(k+1) ∀k ∈ N * Để chứng minh A(n) với số nguyên dương n ta giả sử có số nguyên dương làm cho A(n) sai Khi tập S sô nguyên dương mà A(n) sai không rỗng Như theo tiên đề thứ tự S có phần tử bé kí hiệu m Ta biết m 1, A(1) Vì m dương m>1 nên m – số nguyên dương Hơn m – 1< m nên không S A(k–1) phải Vì A(m–1) ⇒ A(m) nên suy A(m) (vô lý m thuộc S) Do A(n) phải với số nguyên dương n (⇐) Kí hiệu S tập số nguyên lớn p, phần tử nhỏ - 88 Đặt A(n): “Không có số nguyên nhỏ n thuộc vào S” Ta nhận thấy m thuộc tập S, A(m) mệnh đề sai Vậy cách A(n) ∀n ≥ p , lúc S rỗng, điều chứng minh tiên đề thú tự Hiển nhiên A(p) đúng, không p ∈ S , tất số thuộc S lớn p, S phải có phần tử nhỏ p (vô lý với giả thiết trên) Giả sử A(k) với k ≥ p Nếu A(k+1) sai, vài số nhỏ k+1 thuộc S Nhưng A(k) đúng, số nhỏ k lại thuộc S Khi có số k+1 ≤ k+1 không ≤ k thuộc S, phần tử nhỏ S (vô lý) Như A(k) đúng, A(k+1) đúng, theo nguyên lý quy nạp thứ A(n) ∀n ≥ p , S rỗng (điều cần chứng minh) Nguyên lý quy nạp dạng mạnh Cho p số nguyên dương A(n) mệnh đề xác định với n ∈ N, n ≥ p Nếu i A(p) ii ∀n > p A(k) ∀k , p ≤ k < n, k ∈ N , A(n) Khi A(n) với số tự nhiên n ≥ p Hai dạng nguyên lý quy nạp nêu tương đương với Thật vậy, Cho A(n) mệnh đề giả sử biết i’ A(p) ii’ ∀n > p A(k) ∀k , p ≤ k < n A(n) Đặt B(n) khẳng định “A(k) ∀k , p ≤ k < n ” Để A(n) với số tự nhiên n ≥ p, cần B(n) ∀n Ta chứng minh nguyên lý quy nạp dạng yếu, ta có: - 89 i B(p) A(p) ii ∀n > p , B(n – 1) B(n) đúng, B(n – 1) A(k) với ∀k , p ≤ k < n –1 nên theo (i’) A(n) đúng, A(k) ∀k , p ≤ k ≤ n , suy B(n) Theo nguyên lý quy nạp dạng yếu B(n) với n Ngược lại, chứng minh tương tự ta có điều cần chứng minh PHỤ LỤC Mã số học sinh: …………………………………………………… Lớp:…… Trường: …………………………………………………… PHIẾU THỰC NGHIỆM Các em học sinh thân mến! Để phục vụ cho việc nghiên cứu dạy học môn toán trường THPT, mong em vui lòng trả lời câu hỏi số vấn đề mà em học Phiếu không nhằm mục đích đánh giá kiến thức em Cảm ơn em hợp tác Phần (gồm câu): Học sinh trả lời 15 phút Câu 1: Một em học sinh lớp 10 trình bày suy luận sau: Ta có = 12 + = = 22 + + = = 32 + + + = 16 = 42 - 90 + + + + = 25 = 52 Một cách tổng quát ta có + + + …+ (2n+1) = (n+1)2 với số tự nhiên n Giả sử em giáo viên toán, em cho điểm (tối đa 10 điểm cho câu vào ô tròn bên dưới) nhận xét suy luận bạn học sinh này? ……………………………………………………………………………………… Điểm ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu 2: Để chứng minh A(n): “n3 + 5n – số nguyên tố với số nguyên dương n” Một bạn học sinh làm sau: Ta có: A(1) = 13 + 5.1– = số nguyên tố; A(2) = 23 + 5.2 – = 17 số nguyên tố; A(3) = 33 + 5.3 –1 = 41 số nguyên tố; A(4) = 43 + 5.4 – = 83 số nguyên tố; A(5) = 53 + 5.5– = 149 số nguyên tố; Kiểm tra tiếp tục ta thấy kết số nguyên tố Vậy n3 + 5n – số nguyên tố với số nguyên dương n Giả sử em giáo viên toán, em cho điểm (tối đa 10 điểm cho câu vào ô tròn bên dưới) nhận xét làm học sinh này? ……………………………………………………………………………………… Điểm ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu Một bạn học sinh trình bày chứng minh: ( 2n + 1) với số nguyên dương n” sau: P(n): “ + + + + n = Giả sử mệnh đề với n = k tức ta có + + + + k = Khi (2k + 1)2 - 91 + + + + k + (k + 1) = (2k + 1)2 + (k + 1) = 4k + 4k + + 8k + = (2k + 3)2 8 tức mệnh đề với n = k + Vậy P(k) kéo theo P(k+1) P(n) ∀n ∈ N , n ≥ Giả sử em giáo viên toán, em cho điểm (tối đa 10 điểm cho câu vào ô tròn bên dưới) nhận xét làm học sinh này? ……………………………………………………………………………………… …Điểm …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Mã số học sinh: ………………………………………………………… Lớp:…… Trường: ………………………………………………………… Phần (gồm câu): Học sinh trả lời 15 phút Câu 4: Bạn An chứng minh A(n) =“n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ 1” sau: Bước 1: Khi n = ta có A(1) = 13 + 5.1 = chia hết cho Vậy A(1) Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k bất kỳ, k > 1, k ∈ N tức k3 + 5k chia hết cho với k ∈ N, k > Ta cần chứng minh A(k+1) Thật vậy, A(k+1) = (k+1)3 +5(k+1) = k3+3k2+3k+1+5k+5 =k3+5k+3k2+3k+6 = (k3+5k)+3(k2+k+2) Vì theo giả thiết quy nạp k3 + 5k chia hết cho 3(k2+k+2) chia hết A(k+1) chia hết cho Vậy n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n Bạn Bình cho bước ta phải giả sử A(k) với số tự nhiên k ≥ (thay k > 1) Em có đồng ý với bạn Bình hay không? Giải thích ý kiến em - 92 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Mã số giáo viên: ……………………………………… Đơn vị công tác: ……………………………………… Xin kính chào quý Thầy (Cô)! Để phục vụ cho việc nghiên cứu dạy học môn toán vấn đề phương pháp quy nạp toán học trường THPT, mong quý Thầy (Cô) vui lòng bớt chút thời gian trả lời câu hỏi Đây câu hỏi không nhằm đánh giá chuyên môn giáo viên Sự trả lời nhiệt tình, cụ thể, chân thành quý Thầy (Cô) giúp nhiều nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn quý Thầy (Cô) hợp tác Một học sinh chứng minh A(n) =“n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ 1” sau: Giả sử A(k) với số tự nhiên k > 1, tức k3 + 5k chia hết cho với k ∈ N, k > Ta cần chứng minh A(k+1) Thật vậy, A(k+1) = (k+1)3 +5(k+1) = k3+3k2+3k+1+5k+5 = k3+5k+3k2+3k+6 = (k3+5k)+3(k2+k+2) Vì 3(k2+k+2) chia hết cho theo giả thiết quy nạp k3 + 5k chia hết A(k+1) chia hết cho Vậy n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ - 93 Câu hỏi 1: Quý Thầy (Cô) cho điểm (theo thang điểm 10) nhận xét lời giải học sinh nào? Lời nhận xét: ……………………………………………………………………………………… Điểm ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Câu hỏi 2: Nhiều học sinh không hiểu phải thực bước chứng minh phương pháp quy nạp toán học mối liên hệ hai bước Theo kinh nghiệm giảng dạy mình, quý Thầy (Cô) làm để giải thích cho học sinh hiểu lý phải thực bước quy trình chứng minh? Và thực đủ bước chứng tỏ mệnh đề với số tự nhiên (hoặc kể từ số tự nhiên trở đi)? Trả lời: ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… TRÍCH BÀI THỰC NGHIỆM Ở HS & GV - 94 - - 95 - Mã số giáo viên: ……gửi qua email……… G 61 Đơn vị công tác: Bình Định Xin kính chào quý Thầy (Cô)! Để phục vụ cho việc nghiên cứu dạy học môn toán vấn đề phương pháp quy nạp toán học trường THPT, mong quý Thầy (Cô) vui lòng bớt chút thời gian trả lời câu hỏi Đây câu hỏi không nhằm đánh giá chuyên môn giáo viên Sự trả lời nhiệt tình, cụ thể, chân thành quý Thầy (Cô) giúp nhiều nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn quý Thầy (Cô) hợp tác Một học sinh chứng minh A(n) =“n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ 1” sau: Giả sử A(k) với số tự nhiên k > 1, tức k3 + 5k chia hết cho với k ∈ N, k > Ta cần chứng minh A(k+1) Thật vậy, A(k+1) = (k+1)3 +5(k+1) = k3+3k2+3k+1+5k+5 = k3+5k+3k2+3k+6 = (k3+5k)+3(k2+k+2) Vì 3(k2+k+2) chia hết cho theo giả thiết quy nạp k3 + 5k chia hết A(k+1) chia hết cho Vậy n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ Câu hỏi 1: Quý Thầy (Cô) cho điểm nhận xét lời giải học sinh nào? Lời nhận xét: Tôi cho điểm lời giải học sinh Tôi thấy có mâu thuẫn lời giải em Nếu em “Giả sử A(k) với số tự nhiên k > 1” đương nhiên A(k+1) gọi n = k+1>1 nên A(n) Như vậy, A(k+1) đương nhiên không cần phải chứng minh Câu hỏi 2: Nhiều học sinh không hiểu phải thực bước chứng minh phương pháp quy nạp toán học mối liên hệ hai bước Theo kinh nghiệm giảng dạy mình, quý Thầy (Cô) làm để giải thích cho học sinh hiểu lý phải thực bước quy trình chứng minh? Và thực đủ bước chứng tỏ mệnh đề với số tự nhiên (hoặc kể từ số tự nhiên trở đi)? Trả lời:Anh Tính ơi! Em chưa hiểu ý anh nói bước nào? Trong sách hay toán câu hỏi Em trả lời theo bước sách nha Theo với toán yêu cầu chứng minh qui nạp “Chứng minh A(n) với n ≥ p” Bước 1: thử với n = p A(n) đúng? Bước 2: Giả sử với n = k ≥ p A(k) đúng, ta cần chứng minh A(k+1) Mình giải thích: giả sử với n = p theo bước A(n) Như vậy, thực bước tức ta chứng minh A(n) n = p +1 Tương tự, A(n) n = p +1 A(n) n = p + (theo bước 2),…Có thể nói, thực bước trình tổng quát hóa giá trị riêng lẻ Khi dạy phương pháp không sử dụng tình hay hình ảnh ẩn dụ để minh họa bước Mã số giáo viên: ……gửi qua email……………… Đơn vị công tác: …………………………………… G 62 Xin kính chào quý Thầy (Cô)! Để phục vụ cho việc nghiên cứu dạy học môn toán vấn đề phương pháp quy nạp toán học trường THPT, mong quý Thầy (Cô) vui lòng bớt chút thời gian trả lời câu hỏi Đây câu hỏi không nhằm đánh giá chuyên môn giáo viên Sự trả lời nhiệt tình, cụ thể, chân thành quý Thầy (Cô) giúp nhiều nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn quý Thầy (Cô) hợp tác Một học sinh chứng minh A(n) =“n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ 1” sau: Giả sử A(k) với số tự nhiên k > 1, tức k3 + 5k chia hết cho với k ∈ N, k > Ta cần chứng minh A(k+1) Thật vậy, A(k+1) = (k+1)3 +5(k+1) = k3+3k2+3k+1+5k+5 = k3+5k+3k2+3k+6 = (k3+5k)+3(k2+k+2) Vì 3(k2+k+2) chia hết cho theo giả thiết quy nạp k3 + 5k chia hết A(k+1) chia hết cho Vậy n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ Câu hỏi 1: Quý Thầy (Cô) cho điểm nhận xét lời giải học sinh nào? Lời nhận xét:…………HS chưa thật hiểu nguyên lý quy nạp Câu hỏi 2: Nhiều học sinh không hiểu phải thực bước chứng minh phương pháp quy nạp toán học mối liên hệ hai bước Theo kinh nghiệm giảng dạy mình, quý Thầy (Cô) làm để giải thích cho học sinh hiểu lý phải thực bước quy trình chứng minh? Và thực đủ bước chứng tỏ mệnh đề với số tự nhiên (hoặc kể từ số tự nhiên trở đi)? Trả lời: Để chứng minh mệnh đề (*) với n ≥ no học sinh phải làm đủ ba bước: - Chứng minh (*) với n - Giả sử (*) với k ≥ n , - Chứng minh (*) với n = k+1 Theo nguyên lý quy nạp, kết luận (*) với n ≥ no Cách giải giải thích cách trực tiếp cho học sinh phương pháp tiến lên Đúng với n  n +1  n +2  … Em không dạy 11 nên ko rõ câu hỏi anh Tuy nhiên, theo em hiểu cho ví dụ anh Các học sinh xếp hàng, học sinh đứng nữ, học sinh đứng trước nữ kéo theo học sinh đứng liền sau nữ  hàng học sinh nữ Mã số giáo viên: gửi qua email Đơn vị công tác: ……………………………………… G 63 Xin kính chào quý Thầy (Cô)! Để phục vụ cho việc nghiên cứu dạy học môn toán vấn đề phương pháp quy nạp toán học trường THPT, mong quý Thầy (Cô) vui lòng bớt chút thời gian trả lời câu hỏi Đây câu hỏi không nhằm đánh giá chuyên môn giáo viên Sự trả lời nhiệt tình, cụ thể, chân thành quý Thầy (Cô) giúp nhiều nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn quý Thầy (Cô) hợp tác Một học sinh chứng minh A(n) =“n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ 1” sau: Giả sử A(k) với số tự nhiên k > 1, tức k3 + 5k chia hết cho với k ∈ N, k > Ta cần chứng minh A(k+1) Thật vậy, A(k+1) = (k+1)3 +5(k+1) = k3+3k2+3k+1+5k+5 = k3+5k+3k2+3k+6 = (k3+5k)+3(k2+k+2) Vì 3(k2+k+2) chia hết cho theo giả thiết quy nạp k3 + 5k chia hết A(k+1) chia hết cho Vậy n3 + 5n chia hết cho với số tự nhiên n ≥ Câu hỏi 1: Quý Thầy (Cô) cho điểm nhận xét lời giải học sinh nào? Lời nhận xét: Điểm ………………… Học sinh không xét trường hợp k =1 Theo nguyên lý quy nạp, để giả sử A(k) với k >1 áp dụng điều giả sử chứng minh A(k+1) chia hết cho cần phải chứng minh A(1) chia hết cho 3, tức cần kiểm tra mệnh đề với k = Nếu xét không cho điểm Nhưng theo cách chấm điểm phổ thông làm cho điểm Câu hỏi 2: Nhiều học sinh không hiểu phải thực bước chứng minh phương pháp quy nạp toán học mối liên hệ hai bước Theo kinh nghiệm giảng dạy mình, quý Thầy (Cô) làm để giải thích cho học sinh hiểu lý phải thực bước quy trình chứng minh? Và thực đủ bước chứng tỏ mệnh đề với số tự nhiên (hoặc kể từ số tự nhiên trở đi)? Trả lời: Theo quy tắc chứng minh định lý, chứng minh trực tiếp phải xuất phát từ điều đúng, sau dùng quy tắc logic toán học lập luận để suy điều cần chứng minh Nếu sử dụng phương pháp phản chứng phải đưa điều mâu thuẫn điều trái với giả thuyết Phương pháp quy nạp phương pháp phản chứng, không dẫn tới điều mâu thuẫn Đây phương pháp chứng minh trực tiếp, phải kiểm tra với giá trị ban đầu Có thể cho HS kiểm tra mệnh đề với 10 giá trị ban đầu (hoặc hơn), sau giải thích kiểm tra hết tất giá trị nên người ta giả sử mệnh đề với giá trị thứ k, cần chứng minh mệnh đề với giá trị thứ k+1 Như kiểm tra mệnh đề với k =1 với k = 2, Vậy mệnh đề chứng minh Minh họa cho học sinh hiểu hình ảnh bậc thang [...]... cần nghiên cứu sau đây:  Phép chứng minh quy nạp toán học xuất hiện vì mục đích gì?  Những tính chất đặc trưng của phép chứng minh quy nạp toán học là gì?  Phép quy nạp toán học có các hình thức khác nhau nào? Phép quy nạp toán học đuợc dịch ra từ tiếng Anh là mathematical induction, tiếng Pháp gọi là raisonnement par récurrence đây là một thuật ngữ toán học, một số tác giả dịch là phương pháp chứng. .. luận quy nạp xuất phát từ sự quan sát và kiểm nghiệm những trường hợp riêng để đi đến những kết luận mang tính quy luật cho trường hợp tổng quát Cách suy luận quy nạp không đảm bảo để tiến hành kết luận trong mọi trường hợp Tuy nhiên, chứng minh bằng suy luận quy nạp là một cách chứng minh rất hữu hiệu trong toán học Euler(4) là bậc thầy của nghiên cứu suy luận quy nạp trong toán học, nhờ quy nạp ông... chứng minh quy nạp toán học, có tác giả dịch là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp Vì có nhiều thuật ngữ tương tự nhau nên có thể dẫn đến hiểu nhầm giữa đối tượng này với suy luận quy nạp, tư duy quy nạp, …nhưng sau khi xem xét kỹ thì chúng khác với phép quy nạp toán học Trong chương trình môn toán phổ thông hiện hành ở Việt Nam, người ta gọi đối tượng đó là phương pháp quy. .. quy nạp toán học vì vậy trong luận văn này chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ phương pháp quy nạp toán học (viết tắt là PPQNTH) thay cho tên gọi phép chứng minh quy nạp toán học như trong tên đề tài đã ghi Trong chương này, chúng tôi cũng sẽ làm rõ phương pháp suy luận là gì? Suy luận quy nạp là gì? Sự khác nhau giữa suy luận quy nạp so với PPQNTH? I.1 Các phương pháp suy luận và phương pháp quy nạp toán học. .. lý” Như vậy phương pháp quy nạp, tư duy quy nạp của Euler trích trên đây chính là suy luận quy nạp Trong suy luận quy nạp có hai loại: suy luận quy nạp hoàn toàn và suy luận quy nạp không hoàn toàn  Suy luận quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng Để chứng minh ∀x ∈ X,A(x) ta có thể sử dụng một trong các định lý sau:... PPQNTH như một công cụ để giải toán Tuy nhiên, nhiều khi PPQNTH khá phức tạp và dài dòng Nhiều bài toán thay vì giải bằng PPQNTH ta có thể giải bằng một phương pháp khác nào đó G.Polia nói: “Nhiều bài toán chứng minh bằng PPQNTH ta có thể chứng minh bằng cách khác, cách khác đó nằm trong chính cách chứng minh quy nạp toán học khi ta phân tích kỹ nội dung chứng minh Ví dụ Chứng minh rằng với mọi số nguyên... dương là không thể xảy ra thì tương đương với việc mệnh đề phủ định của nó thỏa mãn một tập vô hạn các số nguyên dương Tuy nhiên, trong giảng dạy toán ở THPT hiện nay chỉ có PPQNTH được chọn b Chứng minh bằng nguyên lý quy nạp toán học của Pascal( 8) (1653) Nguyên lý quy nạp toán học được Pascal sử dụng lần đầu tiên trong sách chuyên luận về tam giác số học (ngày nay chúng ta gọi là tam giác Pascal)... thì sẽ thành phép quy nạp không hoàn toàn, bước 2 đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sở điều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác: từ n sang n + 1 - 21  Trong khi vận dụng PPQNTH có thể gặp một số sai lầm Sai lầm thứ nhất là chứng minh thiếu luận chứng (một trong ba bộ phận cấu thành của một chứng minh) Ví dụ Chứng minh rằng “Mọi... phương pháp suy luận quy nạp Theo G.Polia thì “PPQNTH là một tên gọi rất không đạt của một phép chứng minh và theo ông thì Trong một vài trường hợp, PPQNTH có quan hệ hợp tác với suy luận quy nạp không hoàn toàn như sau: PPQNTH là một phương pháp chứng minh, phương pháp này thường có ích để chứng minh các mệnh đề toán học, mà các mệnh đề đó đã được tìm ra nhờ một quá trình suy luận quy nạp không hoàn toàn...-5- CHƯƠNG I ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP TOÁN HỌC Mục tiêu của chương Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng hợp một số công trình khoa học luận và lịch sử về phép quy nạp toán học nhằm làm rõ đặc trưng cơ bản của đối tượng này trong quá trình phát sinh và tiến triển của nó Cụ thể, bằng cách tham khảo một số nguồn tài ... khác phép quy nạp toán học - 24 - CHƯƠNG II PHÉP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG II.1 Phép quy nạp toán học chương trình môn toán THPT - 33 - II.2 Phép quy. .. Nghiên cứu didactic việc dạy học phép chứng minh quy nạp toán học dạy học toán trường trung học phổ thông làm đề tài cho luận văn Mong muốn tìm hiểu, nghiên cứu trả lời câu hỏi sau: - Phép chứng. .. nghiên cứu sau đây:  Phép chứng minh quy nạp toán học xuất mục đích gì?  Những tính chất đặc trưng phép chứng minh quy nạp toán học gì?  Phép quy nạp toán học có hình thức khác nào? Phép quy