THỰC NGHIỆM
3.1 Mục đích thực nghiệm
Trong chương này chúng tôi triển khai một thực nghiệm cho phép nghiên cứu ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân của học sinh. Đặc biệt, thực nghiệm sẽ đưa vào kiểm chứng hai giả thuyết mà chúng tôi đã đưa cuối chương 2:
Giả thuyết H1: Đối với học sinh, số dư của một phép chia có dư là một số tự nhiên. Phép chia hết là phép chia có r = 0 và phép chia có dư là phép chia có r0. Và học sinh không quan tâm đến phép chia có dư đang thực hiện trong tập hợp số nào.
Giả thuyết H2: Khai triển thập phân một số hữu tỉ bằng phép chia có dư trong Dn, học sinh gặp khó khăn khi sử dụng số dư để thể hiện mối liên hệ giữa số hữu tỉ và số thập phân khai triển.
3.2 Hình thức và tổ chức thực nghiệm
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên học sinh khối 10, các lớp đầu cấp trung học phổ thông, sau khi các em đã học xong chương trình phổ thông cơ sở. Cụ thể chúng thực nghiệm trên học sinh của 3 lớp 10 của trường THPT Cần Đước.
3.3 Phân tích thực nghiệm
Chúng tôi đưa ra 4 câu hỏi cho học sinh thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết của luận văn.
Câu 1: Em hãy cho một em học sinh lớp 5 một ví dụ về một phép chia có dư và giải thích
cho em học sinh này tại sao đó là phép chia có dư ?
Câu 2 : Hãy khoanh tròn các phép chia thể hiện phép chia có dư trong các phép chia đã cho
dưới đây (có thể khoanh tròn nhiều phép chia). (a) 936 156 0 78 12 (b) 93,6 21 6 0 72 1,3 (c) 10578 197 258 86 12 (d) 123 170 11 53 2,3
Em hãy giải thích câu trả lời của mình: ...
Câu 3 :
Cho phép chia sau đây :
310 1180
28
2,16
Hãy khoanh tròn những đẳng thức đúng dưới đây (có thể có nhiều đẳng thức đúng) : (a) 192 415 = 2,16 (b) 415 = 2,16 x192 + 28 (c) 415 = 2,16 x192 + 100 28 (d) 415 = 2,16 x192 + 1000 28 (e) 415 = 2,16 x192 + 0,28
Câu 4 : Dựa vào phép chia ở câu 3 hãy điền vào chỗ trống đẳng thức sau đây :
415 = ...192
Bài thực nghiệm được tiến hành trên 131 học sinh. Để thuận tiện cho việc theo dõi các bài làm, chúng tôi đánh thứ tự các bài từ A1 đến A131. Bài thực nghiệm học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi.
Biến tình huống.
1)Phương diện đối tượng hay công cụ của phép chia có dư.
Ở đây là quan tâm đến đối tượng phép chia có dư, đặc biệt là định nghĩa của phép chia có dư. Trong chương trình, phép chia có dư được định nghĩa trên tập hợp số nguyên dương nhưng có bài tập thực hành ứng dụng trên tập hợp Dn. Qua đó chúng tôi muốn làm rõ mối quan hệ của học sinh với đối tượng phép chia có dư.
2) Hình thức đặt câu hỏi
Khi phân tích câu trả lời của học sinh, có những phần học sinh có thể đưa ra câu trả lời đúng nhưng lời giải thích có thể chưa rõ ràng còn mập mờ thậm chí sai. Cách đặt câu hỏi cho chúng tôi hiểu rõ ràng hơn quan điểm của học sinh về phép chia có dư.
Trong bộ câu hỏi thực nghiệm, với cách đặt câu hỏi mở, không định hướng cho học sinh buộc họ phải lập luận, từ đó chúng ta rút ra những thông tin cho phép xác định được những chiến lược học sinh đã sử dụng tìm câu trả lời.
3) Máy tính bỏ túi
Phép chia có dư là phép tính cơ bản mà học sinh phải nắm vững trong chương trình toán. Vì vậy việc sử dụng MTBT có thể làm học sinh bỏ qua đặc trưng số dư của phép toán vì MTBT thể hiện thương trong tập Dn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hơn nữa trong thực nghiệm này chúng tôi kiểm tra các đặc trưng về số dư cũng như những khó khăn về số dư trong khai triển thập phân của một phân số. Vì vậy sử dụng MTBT không thể hiện đúng ý đồ của các câu hỏi thực nghiệm. Thực nghiệm này không sử dụng MTBT.
Phân tích các câu hỏi
Câu 1 : Em hãy cho một em học sinh lớp 5 một ví dụ về một phép chia có dư và giải
thích cho em học sinh này tại sao đó là phép chia có dư ? Phân tích tiên nghiệm
Mục đích của câu hỏi: học sinh sẽ đưa ra ví dụ nào về phép chia có dư, qua đó ta có thể hiểu quan điểm của phép chia có dư đối với học sinh là gì? Cách viết nào của phép chia có dư thường được học sinh sử dụng nhất. Đặc trưng nào của phép chia có dư được học sinh nhấn mạnh: điều kiện của r hay thương số hay một đặc trưng nào khác. Đây là câu hỏi mở nhằm tìm hiểu xem ấn tượng hay suy nghĩ của học sinh về phép chia có dư như thế nào?
Các dạng viết về phép chia có dư:
- Dự đoán dạng viết – Sơ đồ chia - được ưu tiên sử dụng nhiều hơn. Vì học sinh làm quen với phép chia có dư qua thuật toán dạng sơ đồ được trình bày nhiều trong SGK của tiểu học và THCS.
- Cách viết dùng dạng a : b = c (dư r) - Cách viết a = b.q + r
- Đưa ra dạng a:b rồi giải thích phép chia có dư. - Dạng hỗn số.
Các giải thích có thể :
- Phép chia có dư được giải thích dựa vào số dư r khác 0.
- Học sinh đưa ra phép chia mà thương số là số thập phân và giải thích vì thương là số thập phân nên là phép chia có dư.
- Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Học sinh này chỉ đưa các phép chia với số chia là 2, 5, 3 hoặc 9 và giải thích phép chia có dư dựa vào dấu hiệu chia hết.
- Phép chia có dư là khi kiểm tra kết quả biểu thức a = qb + r đúng như đẳng thức đã nêu. - Không có số tự nhiên x nào để b.x = a. Thể hiện sự không khép kín của phép chia trong tập hợp số nguyên.
Trong tất cả các giải thích đưa ra, chúng tôi dự kiến học sinh tập trung nhiều vào số dư khác 0 của phép chia để giải thích cho phép chia có dư. Vì trong thể chế phân biệt phép chia hết và phép chia có dư dựa vào số dư r. Kế tiếp học sinh dựa vào thương số tức là các phép chia học sinh thực hiện trong Dn để kết quả đưa ra là một số thập phân. Dấu hiệu chia hết cũng được học sinh sử dụng vì dấu hiệu chia hết được học trong chương trình lớp 4 và lớp 6, ngoài ra dấu hiệu chia hết được sử dụng nhiều trong tính toán và trong cuộc sống. Bên cạnh đó chúng tôi khảo sát kiểm tra qui tắc R2.
Những cái có thể quan sát được
Giải thích Cách viết Lời giải thích
Số dư khác 0 + Cho bằng sơ đồ thuật toán + Dạng a : b = c (dư r) + Dạng a: b + Bài toán + Phân số + Hỗn số
Dựa vào r 0 (học sinh ít chú ý đến điều kiện r < b)
Dựa vào thương số Thương số là số thập phân
Dấu hiệu chia hết Số chia là 2,3,5,9
Dấu hiệu chia hết Kiểm tra kết quả
a = qb + r
Thế các số a, b, q, r vào biểu thức
Không có số tự nhiên x nào để b.x = a
Dựa vào bảng cửa chương không tìm được số thỏa mãn yêu cầu.
Phân tích hậu nghiệm
Bảng 3.1. Bảng thống kê các hình thức đưa pccd cho câu hỏi 1 Hình thức cho phép chia Số lần xuất hiện % Dạng sơ đồ chia 74 56,4% Dạng a : b = c (dư r) 28 21,3% Dạng a = bq + r 0 0% a: b 24 18,5% Khác 5 3,8% Tổng 131 100% + Hình thức cho phép chia:
- Dạng sơ đồ chia: dựa vào bảng thống kê ta thấy ví dụ về phép chia có dư được học sinh đưa ra dạng sơ đồ chia là nhiều nhất chiếm 56,4%. Hầu hết phép chia đều thực hiện trong hợp số tự nhiên, số bị chia và số chia có một hoặc hai chữ số nằm trong phạm vi bảng cửa chương. Dễ dàng giải thích cho việc học sinh chọn dạng này vì tất cả các phép chia trong SGK học sinh đều được tiếp cận đầu tiên là thuật toán chia bằng sơ đồ.
- Dạng a : b = c (dư r) chiếm 21,3%. Dấu ấn của hình thức phép chia có dư ở tiểu học còn ảnh hưởng sâu sắc đến học sinh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Khi cho ví dụ về phép chia có dư có 18,3% dạng biểu thức “a : b” không nêu gì thêm và giải thích đó là phép chia có dư bằng cách nêu cách thực hiện phép chia.
- Không có một bài nào đưa phép chia có dư dưới dạng đẳng thức a = bq + r. Điều này khẳng định mạnh mẽ định nghĩa phép chia dạng đẳng thức không sống trong học sinh.
- Học sinh đưa phép toán chia dưới dạng phát biểu bài toán sau đó thực hiện phép chia và giải thích pccd dựa vào số dư r. Qua bài thực nghiệm, dạng viết hỗn số không xuất hiện.
- Có nhiều trường hợp học sinh đưa số chia là 2, 3, 5, 9 để thực hiện giải thích phép chia bằng dấu hiệu chia hết.
Đặc biệt tất cả các ví dụ của học sinh nêu ra hầu như có số bị chia lớn hơn số chia. Như vậy qui tắc R2: “Trong phép chia a cho b thì số bị chia a lớn hơn số chia b” tồn tại trong học sinh.
+ Giải thích của học sinh về phép chia có dư
Bảng 3.2. Bảng thống kê lời giải thích cho câu 1
Các giải thích Số lần xuất hiện Tỉ lệ
Số dư khác 0 hay số dư không phải là số 0 69 52,7%
Kiểm tra kết quả: thế a, b, q, r vào biểu thức a = qb + r
12 9,2%
Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5,9 15 11,5%
Thương số là số thập phân 6 4,6%
Không tìm được số x sao cho a.x = b hay bất đẳng thức
10 7,6%
Các giải thích khác hoặc không giải thích 19 14,5%
Tổng cộng 131 100%
Giải thích của học sinh:
- Số dư khác 0 chiếm 52,7% trong đó có giải thích: “Phép chia có dư là: khi ta chia một số cho một số khác thì đến một lúc ta được một số không chia hết cho số chia và số đó là số dư” A75. Đặc biệt có những giải thích: “Phép chia có dư là phép chia không hết” hay “Pccd vì số dư không là 0” A19 và A66.
- Có 11,5% học sinh đưa ra số chia là số 2, 5, 3, 9 để dùng dấu hiệu chia hết giải thích cho phép chia có dư.
- Có những bài học sinh không gọi số dư như A38: “Phép chia có dư là khi thực hiện xong ta luôn nhận được số bị chia nhỏ hơn số chia”. Điều này khẳng định đối với học sinh phép chia có dư
chỉ giới hạn trong N.
- Học sinh thực hiện phép chia và kiểm tra kết quả: thế a, b, q, r vào biểu thức a = qb + r. Không sử dụng biểu thức này như định nghĩa phép chia có dư. Như vậy định nghĩa tổng quát của phép chia có dư không sống được trong học sinh. Biểu thức này đối với học sinh như biểu thức kiểm tra kết quả.
- Có 4,6% pccd thực hiện trên tập Dn, khi đó lời giải thích pccd dựa vào thương số là số thập phân.
Trong các ví dụ đưa ra, hầu như cặp số a và b đều thuộc tập hợp số tự nhiên. Phép chia được thực hiện trong tập hợp số tự nhiên. Không có trường hợp nào đưa phép chia có dư với a hoặc b là số âm.
Phân tích tiên nghiệm
Như đã phân tích ở chương 2, chúng tôi nhận thấy phép chia có dư được giảng dạy chính thức trong chương trình lớp 3, 4 và 6. Tuy nhiên các phép tính chia thực hiện trên tập số tự nhiên và tập hợp số thập phân ở lớp 5 và lớp 7 (xuất hiện kỹ thuật thực hiện phép chia hết và phép chia có dư trên D) lại không được so sánh hay phân biệt trong thể chế tiểu học. Điều này ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh đối với phép chia có dư hay là phép chia hết.
+ Đưa ra câu (a) chúng tôi tìm hiểu xem phép chia với r = 0 đối với học sinh có là phép chia có dư hay không.
+ Trong câu (c) phép chia thực hiện chưa hết số dư r > b đây là tình huống kiểm tra xem học sinh xử lí như thế nào khi r 0, các em có chú ý đến điều kiện r < b hay không? Những phép chia đưa ra dưới dạng sơ đồ trong SGK thì phép chia hoàn chỉnh không có trường hợp nào số dư trong phép chia lớn hơn b.
+ Trường hợp câu (b) và (d) chúng tôi đưa ra phép chia trong D1 một trường hợp chia hết và trường hợp không chia hết trong D1. Nếu học sinh chỉ dựa vào số dư r không quan tâm tập hợp phép chia đang thực hiện dẫn đến kết luận là hai trường hợp:phép chia hết và phép chia có dư. Nếu học sinh chú ý tới thương số thì có cùng kết luận. Theo chúng tôi dự đoán đa số học sinh chọn theo quan điểm số dư. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Các chiến lược
1. Chiến lược về số dư khác 0 Câu 2
Hãy khoanh tròn các phép chia thể hiện phép chia có dư trong các phép chia đã cho dưới đây (có thể khoanh tròn nhiều phép chia).
(a) 936 156 0 78 12 (b) 93,6 21 6 0 72 1,3 (c) 10578 197 258 86 12 (d) 123 170 11 53 2,3
Dựa vào số dư học sinh đưa ra câu trả lời. Sơ đồ chia thực hiện trên tập hợp Z+, Dn thì số dư vẫn thể hiện là số tự nhiên. Trong chiến lược này học sinh dựa vào số dư đưa ra kết luận là PCH hay PCCD. Đối với phép chia trong tập hợp số Z+ thì chiến lược này đúng. Khi phép chia có dư mở rộng trong tập hợp Dn thì chiến lược này không còn đúng nữa.
2. Chiến lược về thương số.
Dựa vào thương số học sinh có câu trả lời là PCH hay PCCD. Thương số là số thập phân hay là số tự nhiên. Phép chia có dư trong tập hợp Z+ và phép chia hết trong tập Dn vẫn là phép chia có dư. Đây là chiến lược đúng, thể hiện học sinh hiểu rõ về phép chia có dư.
3. Chiến lược dấu hiệu chia hết
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9. Học sinh này chỉ đưa các phép chia với số chia là 2, 5, 3 hoặc 9 và giải thích phép chia có dư dựa vào dấu hiệu chia hết.
4. Chiến lược kiểm tra kết quả theo biểu thức a = qb + r: phép chia có dư là khi kiểm tra kết quả đúng như đẳng thức đã nêu.
5. Chiến lược bất đẳng thức: không có số tự nhiên x nào để b.x = a. Thể hiện sự không khép kín của phép chia trong tập hợp số nguyên.
Các biến dạy học.
o V1 Dạng viết phép chia có dư
Phép chia có dư được giới thiệu bằng hình thức: - Dạng 1 – Dấu “=” phi đẳng thức
a : b = q với phép chia hết a : b = q (dư r)
Dạng viết chính thức của phép chia có dư trong thể chế tiểu học. Không còn được sử dụng trong chương trình THCS. Trong cách viết trên số dư không xuất hiện chính thức trong biểu thức. Số dư có vai trò giải thích cho tính chất của phép chia.
- Dạng 2 – Dấu “=” đẳng thức a = q.b + r với (0r < b)
Dạng viết này xuất hiện trong thể chế THCS. Đối với chương trình tiểu học dạng viết này xuất hiện với vai trò kiểm tra kết quả của phép chia có dư.Đặc trưng về số dư được làm rõ hơn
trong biểu thức a = b.q + r, điều kiện 0 < r < b với a, b, q, r N. - Dạng 3 – Sơ đồ chia a r b c
Dạng sơ đồ chia quen thuộc đối với học sinh, nó xuất trong thể chế tiểu học và THCS. Trong dạng này phép chia hết và phép chia có dư thể hiện bằng các phép chia liên tiếp, phép chia dừng lại khi số