Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT

Khái niệm xác suất trong dạy - học toán ở trường THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG

KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Mã số: 60.14.10

Ngườihướng dẫn: PGS.TS.LÊ THỊ HỒI CHÂU

Lời Cảm Ơn Tôi xin trân trọng cûm ơn :

¾ Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Ho øi Châu, người đã tận tìn hướng dẫn tôi về mặt nghiên cứu kho học, luôn động viên giúp tôi c ù đủ niềm tin và nghị lực trong suốt quá trìnthực hiện luận văn này

¾ Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Ho øi Châu, Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Tiến sĩ Đo øn H õu Hải, Phó giáo sư Tiến sĩ Claude Comiti, Phó giáo sư Tiến sĩ An ie Be s t, Tiến sĩ Alain Bire ent đã n iệt tìn giảng dạy, giải đáp c ùc thắc mắc, dẫn dắt ch ùng tôi tìm hiểu n ững kiến thức b n đầu và truyền cho ch ùng tôi sự hứng th ù đối với ch yên ng ønDida tique To ùn

Tôi xin chân thàn cûm ơn :

¾ Ban lãn đạo và ch yên viên Phòng Kho học c âng nghệ – Sau đại học, Ban ch û n iệm và giảng viên kho To ùn–Tin trường Đại học Sư phạm thàn phố Hồ Chí Min , đã tạo th ận lợi giúp tôi ho øn thàn luận văn này

¾ Ban Giám hiệu và c ùc đồng nghiệp trong tổ To ùn trường T P Võ Thị Sáu đã tạo mọi th ận lợi cho tôi trong suốt thời gian the học c o học tại trường ĐHSP ¾ Ban Giám hiệu trường T P Nguyễn Hữu Huân đã n iệt tìn giúp đỡ và tạo điều kiện

cho tôi tiến hàn làm Thực nghiệm tại quý trường

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến :

¾ Trợ lý sư phạm André Simard đã chia s û với tôi n ững kin nghiệm giảng dạy và n ững thắc mắc về Xác suất Thống kê

¾ An Võ Thế Khôi đã tìm và cu g c áp s ùch tham khảo cho nghiên cứu trong luận văn này đồng thời cũng luôn là nguồn động viên lớn về mặt tin thần đối với tôi

¾ Các b ïn cùng lớp c o học Dida tic To ùn Kho ù 3 : Nguyễn Thị Phương Mai, Trần AnDũng, Phan H õu Tài, đã cùng chia s û n ững v i buồn và khó khăn với tôi trong suốt thời gian the học tại trường ĐHSP Tp H M

¾ Mợ và c ùc chị em trong gia đìn đã luôn nâng đỡ và là chỗ d ïa cho tôi về mọi mặt Vũ Như Thư H ơng

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

§I Lý d ch n đề àivà n ữn c u h iban đầu 1

§I Kh n ý h yết ham chiếu 2

§I I Trình bày ạic c c u hỏing iên cứu – Mục đích n hiên cứu .5

§IV Phươn p áp ng iên cứu và c u rúc của uận văn 6

Chương 1 : ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM XÁC SUẤT8 §I Phân ích k oa học uận ịch sử hìn hàn k áiniệm xá suất 1

§I Vàikếtluận 2

Chương 2 :NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG XÁC SUẤT 2

§I Phân ch chương rìn híđiểm 2

§I Phân ích sá h giáo k oa 30

§I I Kếtluận 5

Chương 3 : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 5

A.THỰC NGHIỆM THỨ NHẤT 5

§I Giớithiệu hực n hiệm 5

§I Phân ích a prioric c ìn h ố g hực ng iệm 6

§I I Phân ích a p steriori 7

PHỤ LỤC

PROTOCOLE

PHẦN MỞ ĐẦU

§ I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU

Ở Việt nam, tro g một thời gian dài Xác sutvà Thng k chỉ được đưa vào giảng dạy ro g chươn rìn Toán ở c p đại h c Gần đây, một b p ận cơ bản của

Thn k à Thng k mô ả được đưa dần vào chươn rìn oán ở c p ru g h c cơ sở (lớp 9) kể ừ năm 1 9 Tu n iên, p ần Xá suất thì vẫn chưa được đưa vào giảndạy ở p ổ hô g (ch n ôi k ôn kể đến chương rìn oán hí điểm dành ch p ân ban KHTN ro g giaiđ ạn 1 9 -1 9 vìchươn rìn này d có đề c p đến k áiniệm xá suất n ưn ại chỉ được hực hiện ở một số rất í rườn ch yên1 có phân ban KHTN và KHXH rồisau đ ,phần này bịb hẳn).

Ngược ại Xác sutvà Thnk ại được đưa vào giản dạy k á sâu ro g chươn rìn p ổ h ng ạin iều nước rên hế giới n ư Mỹ,An ,Pháp,Úc,Brasi ,… từ rất n iều năm nay (chẳn hạn ở Pháp đã có một bề dày gần b n mươi năm giảndạy xá suấtở ru g h c).Điều này c n ch hấy ầm quan rọ g của kiến hức về xásuất và h n kê,một n àn oán ứn d n rấtcó giá rị sử d n ron n iều ĩn vực n ư:Vật ý,Cơ h c,Sin h c,Kin ế,Y học,Xã h ih c,…

Thấy được x hế của hờiđại c c nhà giáo dục Việtnam bắtđầu q an âm đến việ nên đưa k ái niệm h n kê và xá suất vào giảng dạy ở rườn p ổ h ng vớimục đích n ằm iến gần và bắt kịp với thế giới bên n oài đ n hời cũ g à để đáp ứn vớiviệ đ imớichươn rìn giáo d c và p ư n p áp giản dạy ở Việtnam.Cụ thể à heo chương rìn c i c ch gần đây nhất2 hì kể ừ năm h c 2 0 -2 0 ,một số yếu ố cơ bản của Thống kê mô tả được đưa vào giản dạy ở ớp 7 ại tất c c c trườn ru g h c cơ sở và đ n hờimột số kiến hức và k năn về Thống kê mô tả

cũ g được đưa vào ớp 1 heo chươn rìn hí điểm p ân ban KHTN và KHXH ạimộtsố rườn ru g học p ổ h n Cò Xác suất hìmớiđược đưa vào giản dạy ần đầu ron chương rìn híđiểm phân ban của ớp 1 năm h c này (2 04-2 05),cũ g tạic c rườn n itrên (trên địa bàn hàn p ố Hồ ChíMin có 4 rườn ).

Do đisau c c nước k á ro g việ đưa kháiniệm xá suất vào giản dạy ở p ổ th ng ru g h c nên c c á giả sá h giáo k oa Việt nam có nhiều ư iệu, sá h giáo k oa, chươn rìn ,… của c c nước khá để ham k ảo cũn n ư có n iều ch n ựa tro g c ch giới thiệu k ái niệm xá suất Điều này khiến ch n ôi tự h i Khiniệm

xác suthìnhnnhư hế nà ? Có nữnqan điểm no vcách iếp cậkhiniệm xác suất?Sch giákha Việtnm đ chọ giớithiệu khiniệm xác sutnư thế no (theo qa điểm no) ? Liệu cách giớithiệu ny có giú học sinh hiểu được « nhĩa hực ế » củ kháiniệm xác suthy khn ?

Như đã n i đây à ần đầu iên k áiniệm xá suấtđược chính hức đưa vào dạy thí điểm rước k i có hể đư c iến hàn dạy đại trà (từ năm h c 2 0 -20 7) Vì vậy chú g ôic ng q an âm đến vấn đề này và q yếtđịn ch n n hiên cứu việ dạy k áiniệm xá suấtở ru g h c p ổ h ng.

Ch n ôihy vọ g rằn n ữn n hiên cứu n ỏ ro g p ạm viluận văn này có hể giúp hấy được phần nào hực ế của việ đưa ra k ái niệm xá suất tro g sá h giáo kh a bằn việ m kiếm mộtsố yếu ố ch p ép rả ờic c c u hỏiban đầu dướiđây:

– Có n ữn iếp c n nào cho k áiniệm xá suất?

– Kháiniệm xá suấtđược sá h giáo k oa rình bày n ư hế nào ?

– Quan hệ giữa h n kê và xá suấtđược hể hiện ra sao ro g sá h giáo kh a ? – Cá h rìn bày của sá h giáo k oa có ản hưởn gìđến việ h c k áiniệm xásuấtcủa h c sin ?

§ I.KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

Để ìm kiếm c c yếu ố ch p ép rả ời c c c u h i trên, ch n ôi đặt n hiên cứu của mìn ro g kh ô k ổ của ý h yết dida tq e oán,cụ hể à ý hytnân chn hc,k áiniệm hợp đn didctqe và đ ádidactqe.

Quan hệ cá nhân:

Quan hệ R(X,O) của c n ân X vớitrithức O à ập hợp c c á đ n q a ạimà c nhân X có vớitrithức O.Nó ch biếtX n hĩgì hiểu n ư hế nào về O,có hể hao tá O ra sao ?

Việ h c ập của c n ân X về đ i tượn ri thức O chín à q á rìn hiết lập hay điều chỉnh mối q an hệ R(X,O).Hiển n iên,đ i với một tri thức O,q an hệ của

thể chế I mà c n ân X à một thàn phần,lu n uô để ạimộtdấu ấn ro g q an hệ R(X,O).Mu n n hiên cứu R(X,O), a c n đặtn ro g R( ,O).

• Tổ chức ton học

Hoạt đ n oán h c à một b p ận của c c h ạt đ ng ro g một xã hội hực ế toán h c cũ g à mộtkiểu hực hế xã hộinên c n xây dựn mộtmô hìn ch phép mô tả và n hiên cứu hực ế đó.Chín rên q an điểm này mà Yves Chevalard (1 98) đã đưa ra k áiniệm praxoloie.

Theo Chevalard, mỗi praxoloie à một bộ gồm 4 hàn p ần [T, τ, θ, Θ] tro g đ T à một kiểu n iệm v ,τ à k h ậtch p ép giải q yếtT;θ à cô g n hệ giải hích ch k h ậtτ,còn Θ à ý h yếtgiảithích ch cô g n hệ θ.

Mộtpraxoloie mà c c hàn p ần đều man bản chấttoán học được g ilà mộttồ chức oán h c.

Bosch M và Y Chevalard (1 9 ) n i rõ « Mốiqa hệ hể chế vớimộtđitượn,đivớimộtvịtríthể chế xác địn,được địn hìn và biến đibởimộttậ hợp nữn niệm vụ mà cá nâ chiếm vịtríny pảithực hiện,nờ vào nữn khậtxác địn.Chín việhực hiện nữn niệm vụ khc na mà cá nâ pảilàm rog sutcuc đờimình rog nhữnhể chế khc na,ở đ nà mộtchhể (lầượthy đồg hời),dn đến àm ny sinh mốiqa hệ cá nâ của n vớiđitượn nitrên ».

Do đ ,việ phân ích c c ổ chức oán h c iên q an đến đốitượng ri hức O chp ép a vạ h rõ mối q an hệ R( ,O) của hể chế I đ i với tri thức O, từ đ hiểu đư c q an hệ mà c n ân X (chiếm mộtvịtrínào đ ro g I – giáo viên hay h c sin chẳng hạn) d y rìđ ivới ri hức O.

Việ chỉ rõ c c ổ chức oán học iên q an đến ri thức O cũn giú a xá địnmộtsố quitắ của hợp đ ng dida t q e:mỗic nhân có q yền àm gì k ô g có q yền làm gì có hể sử d n rithức O n ư hế nào chẳn hạn.

I.2.Hợp đồng didactique

Hợp đ n dida tq e ên quan đến mộtđ itượn dạy h c à sự mô hìn h a c c q yền ợivà ng ĩa v n ầm ẩn của giáo viên cũ g n ư của h c sin đ i vớiđ itượnđ Nó à một tập hợp n ữn q y ắ (thườn k ôn được p átbiểu ườn min ) p ân chia và giớihạn rá h n iệm của mỗithàn viên,h c sin và giáo viên,về mộttrithức toán học được giản dạy.

Khái niệm hợp đ ng dida t q e ch p ép a giải thích c c ứn xử của giáo viên và h c sin , tm ra ý n hĩa của n ữn h ạt đ n mà h iến hàn , từ đ có hể giảithích mộtc ch rõ ràn và chín xá n ững sự kiện q an sátđược ro g ớp h c.

Theo An ie BESSOT và Clau e COMITI (2 0 ),để hấy được hiệu ứn của c c hợp đồ g dida tq e,người a có hể iến hành n ư sau:

• Tạo ra mộtbiến oạn ro g hệ hố g giản dạy sao ch có hể đặtn ữn hàn viên chín (giáo viên và học sin ) ro g mộtt n h ố g khá ạ,được gọilà ìn hốg pá vỡ hợp đn bằn c ch

– Thay đổic c điều kiện sử d n rithức.

– Lợid n việ h c sin chưa biếtvận d n mộtsố rithức nào đ

– Tự đặt mìn ra ng ài ln vực ri thức đan xét h ặ sử d n n ữn ình ố g mà của rithức đang xétkh n giảiq yếtđư c.

– Làm ch giáo viên đ i mặt với n ữn ứn xử k ô g p ù hợp với điều mà hmon đợiở học sin

• Phân ích c c hàn p ần của hệ hố g giản dạy đan ồ ại bằng c ch:– Ng iên cứu c u rả ờicủa h c sin ro g k ih c.

– Phân ích c c đán giá oán h c của h c sin ro g việ sử d n ri hức.– Phân ch nhữn bàitập được giảih ặ được ưu iên hơn ro g sá h giáo kh a.Đặ biệt a cũ g có hể n ận ra một số yếu ố của hợp đ n dida tq e đặ hch rithức bằn c ch n hiên cứu n ữn iêu chíhợp hức h a việ sử d ng rithức vìviệ sử d n ri thức đó k ô g chỉ được q y địn bởi c c văn bản hay bởi địn n hĩa của ri thức mà cò p ụ h ộc vào ìn h ố g vận d n rithức,vào n ữn ước địnđược hìn hàn (trên cơ sở mục êu dida t q e) ro g q á rình giản dạy.Nhữn iêu chí xá địn ín hợp hức của ri thức ron ình h ốn này k ôn còn p ụ h ộc vào bản hân ri hức nữa mà ph h ộc vào c c ràn b ộc của hệ h n dida tq e.

Bất k việ dạy một đ i tượn ri thức mới nào cũ g ạo ra n ữn p á vỡ hợp đ n so với đ i tượng ri thức cũ và đ i h i thư n ượn ại n ữn hợp đ n mớih c ập à q á rìn h c sinh àm q en với giá rị của n ữn sự phá vỡ này h ng q a thươn ượn vớigiáo viên.Theo Bro s e u,sự hươn ượn này ạo ra một loại trò chơi có uật chơi ổn định ạm hời ch p ép c c hàn viên chín , n ất là h c sinh,đưa ra c c q yết địn ro g một chừn mực an oàn nào đ ,c n hiếtđể bảo đảm chh sự đ c ập đặ rưng của quá rìn ĩn h i

Việ n hiên cứu qu ắ của hợp đ n dida tq e à c n hiếtvìđể ch ẩn bịchtươn ai giáo viên p ảixem xétđến q á k ứ mà hợp đồ g hiện hàn à dạng hể hiện thực ế của nó.Hợp đồ g mà giáo viên á độ g iến riển k ô g iên ục,mà được ạo thàn ừ mộtch ỗibiến cố rấtn ỏ n i tếp n au,tươn ứn với n ữn sự p á vỡ hợp đ n Phá vỡ hợp đ ng à n u ên ắ ch đạo để có sự iến riển mo g đợi

I.3.Đồ án didactique

Theo Artg e M.(19 8) và Chevalard Y.(1 8 ),đồ án dida t q e à một t nh ố g dạy h c được xây dựng bởi n à n hiên cứu, là một hìn thức cô g việ

dida t q e ựa n ư cô g việ của n ười kỹ sư: n dựa rên kiến hức k oa h c hu c ln vực của mìn để àm việ rên c c đ i tượn phức ạp hơn n iều so với c c đ itượn được sàn ọc của k oa h c.

Sau đây à mộtsố yếu ố về k áiniệm đ án dida t q e:• Chức năng kép của đồ án didactique

• Các pha khác nhau của phương pháp đồ án :

1 Cá p ân ích ban đầu:dựa rên

– Cá kếtq ả n hiên cứu ro g ĩn vực

– Mộtp ân ích k oa h c uận về rithức ro g rò chơi

– Một p ân ích c c kiến hức của h c sin (c c quan niệm),c c k ó k ăn gặp p ảitro g việ học (c c chướn ngại)

– Mộtp ân ch hể chế (chươn rìn ,sá h giáo k oa,…)

2 Quan niệm về ớp (kịch bản), phân ích a priorivà việ ổ chức ập dữ iệu.3 Thực n hiệm và ổ chức c c q an sát

4 Phân ích a posteriorivà sự hợp hức hóa n itại

§ II.TRÌNH BÀY LẠI CÂU HỎI NGHIÊN CỨU – MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tro g k u n k ổ của p ạm vi lý h yết tham chiếu đã ựa ch n,ch n ôi trìnbày ạidướiđây n ữn c u h imà việ ìm kiếm mộtsố yếu ố ch p ép rả ờich ng chín à rọ g âm n hiên cứu của uận văn này:

Q1. Nhữn đặ rưn k oa h c uận nào của k áiniệm xá suấtcó hể được p ân ích và ổ g hợp ừ c c cô g rìn n hiên cứu đã có ? Nhữn kiểu bàitoán,kiểu ình h ố g nào ch p ép k áiniệm xá suấtx ấthiện và á đ n ? Những đ itượntoán h c nào k á gó p ần àm nảy sinh và ến riển k áiniệm này ?

Q2. Kháiniệm xá suất được rìn bày n ư hế nào ron sá h giáo k oa ớp 1 d nch chươn rình hí điểm của p ân ban KHTN hiện hàn ? Theo n ữn c ch tếp c n nào ? Cá h iếp c n nào chiếm ưu hế ?

Q3. Nhữn q y ắ nào của hợp đ n dida tque được hìn hàn giữa giáo viên và h c sin ron q á rìn dạy h c khái niệm xá suất ? Nó được hể hiện cụ hể tro g n ữn kiểu n iệm vụ nào,n ững kỹ huậtnào ?

Q4. Nhữn dạng bàitập nào được sá h giáo k oa,sá h bàitập ưu iên đưa ra ro g hệ th ng bài ập ?

Q5. Cá h rìn bày này của sá h giáo k oa có ản hưởng gì đến việ học k ái niệm xá suấtcủa h c sin ?

§ IV.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Chương 1 à p ần mở đầu,bao g m:lý d ch n đề ài c c c u h iban đầu,mục đích n hiên cứu, k u g ý h yết tham chiếu, p ần rình bày ại c c c u h i n hiên cứu,p ươn p áp n hiên cứu và c u rúc của uận văn.

Việ n hiên cứu k oa học uận ịch sử oán h c về một k ái niệm oán học nào đ k ô g chỉ ch p ép àm rõ mộtsố kiểu bàitoán,kiểu ìn h ố g mà ro g đ k áiniệm này x ất hiện và á đ n một c ch ườn min hay n ầm ẩn,mà cò c nhữnđ i tượn ,n ữn k ái niệm k á có mối q an hệ qua ại mật thiếtvới k ái niệm này và g p p ần vào sự nảy sinh và pháttriển của n Mộtc ch ổ g q át n ch p ép àm rõ nhữn đặ rưn kh a h c uận của k ái niệm Vì vậy, tro g chương 2 của uận văn, ch ng ôi điểm ại lch sử hìn hàn k ái niệm xá suất và ổ g kết p ần phân tch k oa học uận của k áiniệm xá suấtdựa rên c c côn rìn :

– c c bàibáo của Michel Henry,Bernard Parzysz,Je n-Clau e Thiénard,Je François Pichard (19 7).

n-– luận án iến sĩcủa Cieda de Queiroz e Siva Co tn o (2 0 ).

Từ đó,ch ng ôicố gắng chỉra n ữn đặ rưng k oa học uận và c c c ch iếp c n k áiniệm xá suấtn ằm rả ờich c u h iQ1.

Chương 3 à p ần n hiên cứu chươn rìn , tài lệu hướn dẫn giáo viên, sá h giáo kh a.Và bằn c ch p ân ích sâu hơn sá h giáo k oa,ch n ôisẽ cố gắn chỉrõ c c kiểu n iệm v ,c c k h ật … có mặttro g p ần xá suấtvà c c qui ắ hợp đ nn ầm ẩn iên quan đến việ dạy-h c khái niệm xá suất Nhữn n hiên cứu này sẽ giú ch n ôi xá địn rõ mối q an hệ hể chế với đ i tượn « xá suất» đ n hờicho p ép ch n ôihình hàn mộtsố giả h yếtn hiên cứu, ro g đ có c c giả h yếtvề q i tắ hợp đ n dida tq e iên q an đến việ dạy-h c k ái niệm này Cù g vớikết q ả h được ừ chương 2 và 3,ch n ôi tm hiểu xem sá h giáo k oa đã dẫn dắtđến khái niệm xá suất theo n ữn c ch iếp c n nào ? Tức đi tm c u rả ời cho c c c u h icò ại

Ch n ôi ch n p ân ích hai b sá h Đại số và Giải tch ớp 1 dù g ch phân ban KHTN,d nh m á giả Đoàn Qu nh và d nh m á giả Trần Văn Hạo ch biên,đan được hí điểm ần đầu iên vào năm h c 2 0 -2 0 ại một số rườn THPT (ở TP Hồ ChíMin ,có haitrường sử d ng bộ hứ n ấtvà hai rườn sử d n b hứ hai).

Cá giả h yết này ại c n p ải được kiểm chứn bằn một n hiên cứu hực n hiệm ro g Chương 4 Ch n ôi tến hàn hực n hiệm rên h c sin , đ i tượnch yếu của việ dạy-h c.Chươn này bao g m haithực n hiệm:

của c c giả h yếtn hiên cứu rên.Ở đây,ch n ôiđặth c sin ớp 1 ham gia thực ng iệm vào một tn h ố g « q en h ộc » hoặ « dườn n ư q en hu c »,tức đặt ch n rước nhữn kiểu n iệm v q en h ộc h ặ dư n n ư q en th ộc.Điều đ có n hĩa à ch ng ôitạo ra mộttn hu n p á vỡ hợp đ n vìchai loạitn h ố g:tn h ố g quen h ộc hay ìn h ố g p á vỡ hợp đ n ,n ư A.Bes otvà C.Comiiđã n i đều có hể giú a nhận ra hiệu ứn của hợp đ ng dida t q e.

dida tq e để b sun hêm một h ạt đ ng n ằm mục đích ạo hêm cơ h imớicho h c sin đi đến k ái niệm xá suất theo q an điểm hố g kê Thực n hiệm này dàn ch đ i tượn h c sin ớp 1 p ân ban KHTN đã được h c kháiniệm xá suấtrồivà dựa rên ìn h ố g cơ sở sau:

« Tín xác sutcủ biến cố xuthiện mặtnửa (mặtgisố) củkhigieo nẫniên gieo đniền kim oi»

Chương 5 à phần kếtluận cù g vớihướn mở rộ g n hiên cứu ch uận văn.

- Kháiniệm xá suấtđã x ấthiện và á đ n ro g n ững kiểu bàitoán,n ữnkiểu ìn h ố g nào ? Nó có n ữn đặ rưn cơ bản nào ?

- Nhữn đ itượn ,n ữn k áiniệm oán h c nào có iên q an và g p p ần àm nảy sinh và p át riển k áiniệm xá suất?

- Kháiniệm xá suấtđã được iếp c n heo n ữn kiểu nào ?

Tu n iên,cũ g c n phảin irõ rằn d k ô g hực hiện mộtn hiên cứu g c về lch sử,p ân ích mà ch ng ôitrìn bày dướiđây cũ g kh n đơn h ần à sự óm ắtc c cô g rình mà ch n ôiđã ham k ảo.

Tro g [7],Parzysz ập ru g n hiên cứu vấn đề dạy xá suấtvà h n kê ở Pháp từ năm 1 6 đến nay Mục đích của á giả à n hiên cứu q á rìn ch yển đ idida t q e (theo ng ĩa của Cheval ard) của hố g kê oán và xá suất từ ri thức báh c san ri thức được giản dạy ro g rường hợp cụ hể của nước Pháp Tron đ ,ô g có đề c p đến ba c ch ếp c n k áiniệm xá suất

Khá với Parzysz, Pichard iến hàn n hiên cứu ịch sử ý h yết xá suất từ bước n oặtở hế kỷ XVI ch đến k ic c k áiniệm cơ bản và ý hu ếtgiớihạn hìnthàn (tức đến 1/3 đầu iên của hế kỷ XVI ) Tro g [8], ô g nêu ên n ữn c ch đặtvấn đề và c c dạn k á n au của c c kháiniệm cơ bản của ý h yếtxá suấtn ưnlại k ôn àm rõ c c c c đặ rưn k oa h c uận cũ g n ư c c c ch iếp c n k áiniệm xá suất

Ng iên cứu của Henry ro g [6] bàn về việ dạy học xá suấtở bậ ru g h c ừ c c q an điểm ịch sử,k oa h c uận và dida tc.Ở đây,ô g gắn iền vấn đề k oa h c luận của xá suất với hìn h c Eucl de k i thực hiện một so sánh n ỏ về c c q á rìn

mô hìn h a hai k áiniệm này.Điều đó có p ần k á vớiphân ích về đặ rưng k oa h c uận h ần ú của k áiniệm xá suấtdướiđây của ch ng ôi Cò ron h ithảo với ch đề Sự nẫ niên,báo c o [5] của Henry ch yếu à mộtphân ích ịch sử về q á rìn ến riển của kháiniệm xá suấtvà c c ứn d n của n

Thienard rìn bày ch yếu ro g [9] nhữn vấn đề x ay q an địn n hĩa k áiniệm xá suất heo Lapla e,chẳn hạn n ư:n ữn k ó k ăn về mặt ý h yết o ic và dida t q e iên q an đến địn n hĩa này, c c n u n g c của địn n hĩa Lapla e và n ấtlà vấn đề àm sao để n ận ra rằn c c rườn hợp đ n k ả năn

Luận văn iến sĩ[3] của Co tn o n hiên cứu một số đồ án dida tq e hực hiện tro g môi trườn in h c Cabri để giả ập c c hí n hiệm của Bern uli Bà cũ g nêu lên mộtsố c ch ếp c n k áiniệm xá suất heo iến riển ch sử của k áiniệm này và đặ biệtch ý đến vấn đề mô hình h a xá suất

Như đã n i ở rên, n hiên cứu của ch n ôi có p ần k á với c c cô g rình được ham k ảo vì hướn đi của n hiên cứu này vừa heo iến rìn hìn hàn kháiniệm xá suấttheo rục hờigian vừa gắn iền vớic c iếp c n k áiniệm xá suấtq en th ộc.

§I.PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

Lý h yết xá suất chỉ thực sự hìn hành và p át triển ro g k oản 3 hế krưỡi Chín việ giảibàitoán chia iền cược k icu c chơibịgián đ ạn giữa chừn đã dẫn đến sự hình hàn nên k ái niệm xá suất vào đầu hế kỷ XVI , sau đ c c p ép t n về xá suấtp áttriển dần hàn ý h yếthiện đạiđược xây dựn heo mộthệ ên đề vào hế k XX.Tu n iên,có hể n irằn mầm mốn của ý h yết xá suấtđã có từ hiên niên k hứ I I rước cô g n u ên,vớic c rò chơimay rủi

Dưới đây ch n ôi sẽ ổ g kết lại nhữn giai đoạn ch yếu của ịch sử hình thàn , p át triển ý hu ết xá suất và àm rõ đặ rưn kh a h c uận của k ái niệm xá suấttro g mỗimộtgiaiđ ạn đ

I.1.Từ thờiTrung đại(Moen-âe) đến nửa đầu thế kỷ XVI: nhu cầu tính ton các cơ hội

Theo Michel Henry: « Khn có sự nẫ nhiên hìkhn có xác sut» (Henry,2 0 , tr.1) Đã n i đến xá suất thì k ô g hể k ô g n i đến c c hiện ượn ngẫu n iên.

Từ xa xưa,co ngườiđã sớm ý hức được sự ồn ạicủa n ẫu nhiên k in irằn« Tấtcả nữn gìtồạitron vũ rụ đều à ktqu củ nẫ niên và ấtyu ».Và n ườita cũ g ý hức được à co n ười k ô g hể « điều k iển » được c c hiện ượnn ẫu n iên vìnó à « sự hể hiện ý mun củhn háh » (Pichard,1 9 ,tr.1 5).

Nhữn con súc sắ hình ập phươn và đ ng chất bằn đất n n được ìm hấy tro g c c n ôimộ cổ chứn ỏ rằng c c rò chơi iên q an đến « pép hử nẫ niên » đã có ừ rất lâu q a c c rò chơi với astragales, với súc sắ ,… rất p ổ biến ở v nLư n hà ừ hờiAic p cổ đại(tức hế k I I rước Cô g n uyên).Ch đến n ày nay,trò chơinày vẫn cò à mộtmô hìn q en hu c ro g c c bàitoán về xá suất

Vào hờiHy ạp cổ đại đạo uậtc m c c rò chơicờ bạ vớisúc sắ đã được ban hàn Nhà hờ Thiên ch a giáo cũ g ên án c c rò chơiđó.Dù vậy,ch n vẫn có sức hấp dẫn mãn ệtvà ồ ạimộtc ch daidẳn

Bài thơ có ựa đề De Vetula (của Richard de Fo rnival (1 01-1 60) , một tu sĩu ên bá n ườiPháp,được ghin ận à có ừ k oản năm 1 5 ) à mộtbằn chứn về điều đ Bài thơ mô ả rò chơi “ unbcosúc sắc và đếm ổncác điểm nậđược” (tức à ổ g số chấm x ấthiện rên ba mặtcủa ba co x c sắ ).

Một trích đ ạn của bàithơ (xem An ex 1) ch hấy á giả đã sử d n đến hoán vị k i nói rằn việ u g 3 súc sắ sin ra 1 kiểu ổ g1 c c điểm, ứn với 5 dạnđiểm2 và việ h án vị3 mỗidạn điểm đã chứn ỏ rằn ổn cộ g có đến 2 6 c ch rơi3 súc sắ

Mặt k á rích đ ạn cũ g k ẳn địn : sự x ất hiện của c c dạn điểm ứn vớimỗimột tro g 16 kiểu ổ g c c điểm à k ôn đều n au và ổ g ớn n ấtbằn 1 ứnvới dạn điểm 6,6,6 h ặ ổn n ỏ n ất bằn 3 ứn với dạn điểm 1,1,1 rấthiếm k ixảy ra, ro g k ic c ổ g ru g bìn ạithườn xảy ra hơn.Để giảithích,cù g vớibàithơ n ườita đưa ra bảng sau đây (trích heo Henry,2 04, r.4):

6,6,3 6,5,4 5,5,5 16,6,2 6,5,3 6,4,4 5,5,4 16,6,1 6,5,2 6,4,3 5,5,3 4,4,5 16,5,1 6,4,2 6,3,3 5,5,2 5,4,3 4,4,4 16,4,1 6,3,2 5,5,1 5,4,2 5,3,3 4,4,3 16,3,1 6,2,2 5,4,1 5,3,2 4,4,2 4,3,3 16,2,1 5,3,1 5,2,2 4,4,1 4,3,2 3,3,3 9 6,1,1 5,2,1 4,3,1 4,2,2 3,3,2 8 5,1,1 4,2,1 3,3,1 2,2,3 7 4,1,1 3,2,1 2,2,2 6

« ………

tổg: 3 hy 1số dn điểm: 1 cách rơi: 1 tổg: 4 hy1số dn điểm: 1 cách rơi: 3

1 Tổng số điểm của ba súc sắc lấy giá trị từ 3 đến 18

2 Chẳng hạn, kiểu tổng các điểm là 3 có dạng điểm 1,1,1 tổng; kiểu tổng là 5 có các dạng điểm 3,1,1, và 2,2,1

3 Ví dụ dạng điểm 1,1,2 có 3 hoán vị là (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1), tức có 3 cách rơi

4 Chúng tôi nói « phần nào » vì bài thơ không liệt kê tất cả các cách rơi mà chỉ nói « do hoán vị »

tổg: 5 hy1số dn điểm: 2 cách rơi: 6 tổg: 6 hy15 số dn điểm: 3 cách rơi: 1tổg: 7 hy1số dn điểm: 4 cách rơi: 1tổn: 8 hy1số dn điểm: 5 cách rơi: 21 tổg: 9 hay1số dn điểm: 6 cách rơi: 2tổg: 1 hy11 số dạg điểm: 6 cách rơi: 2

• Bài toán c c điểm đầu iên được Luc Pa iol (14 5-1 0 ) đưa ra vào năm 1 9 , ro g á p ẩm Summa de arihmetca geometria proortoietproortoalta:

« Mộtlữ đàchơibóg qun.Mỗicú rúg được 1điểm và được 6điểm hìđược xm à hn.Tiền đtcược rò chơilà 1 đn đ-ca.Mộttainn bng xảy ra bộc các binín pảidừn vá đn chơikhipe hứ nấtđ được 5 điểm và pe hứ hiđược 2 điểm.Bàiton đtra à pảitrả ạich mỗipe bo niêu pầ củ số iền đtcược ?

(trích heo Henry,2 0 , r.5)

Giải p áp của Pa iol à chia số iền cược ỉ lệ h ận với số bàn hắn của haip e Về sau này, tro g á p ẩm Liber de ulo aleae5, Jérôme Cardan chứn ỏ rằnchia n ư vậy à saivà ô g ch à p ảidựa vào số ván mà h có hể được chơinữa.Thế n ưng giảip áp của Cardan cũ g đã bịTartagla (14 9-1 5 ) bá bỏ.Điều đán ưu ý là ro g c c ín oán của mình Cardan đã ch ý đến vấn đề đ n k ả năn k icoicosúc sắ n ư mộtk ối ập phương hoàn hảo.

Vấn đề đ n k ả năn của c c kết q ả của việ u g súc sắ cũ g được Gal lé d n àm giả hiết tro g iểu uận về c c rò chơi súc sắ của mìn (n cò có mặttro g rao đ ithư ừ giữa Pasc lvà Fermatsau này nữa).

• Trở ạivới trò chơi gieo 3 súc sắ ro g bài thơ De Vetula,mộtbàitoán đánch ý hứ haiđã được Gran Duc de Tosc ne đặtlạich Gallé vào năm 16 0:

5 Được viết vào khoảng giữa năm 1526 và 1560, mãi đến 1663 mới được xuất bản

« Tạisa kin nhiệm củ nữn nườichơilạichỉra rằg cá cược ổg bn 1 hy 1hìcó ợithế hơn à ổn bn 9 hy 1 (2 so với2) rog khimỗimộtrog bn ổg ny đều có cùn số dạg (6) ? »

(trích heo Henry,2 04, r.5).

Phân ích ời giải đáp ch c u h i này của Gallé, M Henry n ận hấy chứnmin của ôn cũ g sử d n p ép đếm đã được hể hiện ườn min ro g bàithơ De Vetula có ừ b n hế k rước đ Hơn hế,tron mộtn hiên cứu (được x ất bản năm 17 8) Gallé kết uận:

« … ừ bn ny6,nữn nườiam hiểu rò chơicó hể đường rấtchínxác ấtcả mọilợithế củ các vá chơisúc sắc,các cuc rah àivà ấtcả các qiắc riên khc mà nườita qa sátđược rog rò chơi».

(trích heo Henry,2 04, r.5).

Phân ích n hiên cứu của Gallé,M.Henry đã đán giá rằn :

« bằg cách đề nhịnườichơitrò súc sắc « đo » cơ hichiến hn củh,Gallé đ đến gầvớixác suttron gag ấc,nưng ấtniên à đkhn diễn đtđược n »

(trích heo Henry,2 04, r.5).

Như vậy, ch đến nửa đầu hế k XVI , k ái niệm xá suất mới chỉ x ất hiện dướidạn cô g cụ n ầm ẩn để so sán cơ h i Cũn n ư n ườita đã n i« sự kiện này có cơ h i xảy ra ớn hơn sự kiện kia », hay « c c sự kiện có cù g khả năn xảy ra ».Nhưn cụ hể « đ đ » cơ hixảy ra củ mộtsự kiện à ba nhiêu ? Được ín bng cách no ? Mộtsố yếu ố của Đạisố ổ hợp đã được khai thá k i người ta ìm kiếm c u rả ời ch rườn hợp vài trò chơimay rủi Tu vậy,vẫn chưa có một c u rả ờitổ g q át nào ch vấn đề đ cơ hixảy ra củ mộtsự kiện ùy ý.Và ấtn iên,ch đến lúc này,chưa mộtđịn n hĩa nào về xá suấtđược đưa ra.

I.2 Nửa sau thế kỷ XVI đến cuốithế kỷ XIX: vấn đề tính xc suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng

• Mùa hè 1 5 ,Chevaler de Méré đã h i Blaise Pasc l (1 2 -1 62) về vấn đề chia iền cược như sau: có ần Méré cù g một n ười bạn gieo đ n iền sấp n ửa ăn t ền, h g p mỗi n ười 3 đ ng iền vàn àm iền cược và q i ước nếu Méré gieo 3 lần được ất c c c mặt sấp hìôn được oàn b số iền, cò nếu bạn của ô g gieo 3 lần được ấtc c c mặtn ửa hìtền cược h ộc về n ườibạn ấy.KhiMéré được 2 ần

6 Bảng thống kê trong bài thơ De Vetula

mặt sấp và bạn của ôn mới được 1 ần mặt n ửa hì cu c chơip ải dừn vì n à v a g iMéré.Vậy nên chia ền cược hế nào?

Bài toán này k iến Pasc l p ải su n hĩ và ô g đã viết thư ch n à oán h c Pier e de Fermat (1 0 -1 6 ) Qua hư ừ rao đ i h đã “toán h c hóa c c rò chơicờ bạ và vào hán 7 năm 1 5 ,họ đi đến kết luận à Méré được 3/4 iền cược.Haiô g đã giảiđ n n ưn heo haic ch khá n au.

Pasc lđã sử d n am giá số h c c c hệ số k aitriển của nhịthức (a+b)n để giảibài toán Phân ích ời giải d Pasc l đề n hị Henry ch rằn phươn p áp của ô g k á độc đáo và n n ắ a n hĩ đến k v ng hắn cu c Thật vậy,theo ập uận của Pasc l thìp ảichia ch n ười thứ nhất 4 đ n và n ười thứ hai1 đ n ,và a hấy:

4 = 43

.6 1 = 41

.6 ,tro g đ ,43

và 41

ần ượtlà « xá suất» để người thứ nhất

và n ười thứ hai n ận được 6 đ n iền cược.Theo n ô n ữ hiện đại k v n oán của n ườithứ n ấtlà 4 ,cò của n ườithứ hailà 1

Sau đ ,tro g mộtlá hư gửiFermat(n ày 24/8/1 5 ),Pasc l cò n i đến ổ hợp khichỉra ệ iền cược p ảichia ch hain ườichơi

« … có baniêu ổ hợp àm chnườithứ nấtthncuc và có baniêu cho ngườihứ hithìchia ền heo ỉệ ny… »

(Blaise Pasc l Œuvres complètes, Ediio d Seui ,19 3, tr.4 , trích heo Pichard,19 7, r.1 1)

• Khá với Pasc l bằn c ch ưởn ượng à rò chơitếp ục vớinhữn ván giả n ằm đạtđến số ván c n chơiđể xá địn được n ườichiến hắng,Fermatsử d n c c tổ hợp để iệtkê c c dãy kếtquả h ận ợicó hể có của mỗin ườichơirồichia iền ccư c heo ỉlệ đ Ông giải hích:

« … việ giả ưởng mở rộg rò chơinày đến mộtsố vá no đ chỉnằm làm ch qilutdễ đivà (theo cảm ính củôi) sẽ khiến chấtcả các sự nẫ niên bn nhu,hặc dễ hiểu hơn à rútgn ấtcả các pâ số vcùn mẫ số »

(trích heo Henry,2 0 , r.6)

Chẳn hạn, để giải q yết trườn hợp: có ba người chơi ai thắn ba ván sẽ à n ườichiến hắng,vớigiả hiếtn ườithứ n ấtđã được 2 ván,hain ườikia mỗin ườiđược 1 ván và ch à rò chơi sẽ kết th c ro g ối đa 3 ván nữa, Fermat đưa ra íntoán đầu iên về xá suấtn ư sau:

« … nườithứ nấtcó hể hn sa mộthihy b vá.Nếu ah a hnchỉsa mộtván,hìphicó mộtco súc sắc có b mặtvà rog rường hợp đó ana gp hậợi Mộtco súc sắc ạ nên 3 nẫu niên,nên nườichơiny có được 1/3 sự nẫ niên khichỉchơimộtvá.Nếu chơihivá,ah a có hể hn hicách,đà khinườithứ hithn vá đu và ah ta hn váhứ hi hoc à nườithứ bhắg vá đu và ah a hắg váhứ hi Nhưn haicon súc sắc ạ nên 9 nẫniên nên ngườichơiny được 2/9 sự ngu niên khiah a chơihivá.Nếu chơib vá,ah ta chỉcó hicách hn: hặc à nườithứ hithắg ván đu,nườithứ ba hnváhứ hivà ah a hng váhứ b; hặc à nườithứ bthn vá đu,nườithứ hithng váhứ hivà ah a hn váhứ b; bởivìnếu nư ngườithứ hihy nườithứ bhnở hiváđầhìngườiđ sẽ chiến hnrò chơichứ khn pảilà ngườithứ nất Nhưng b cosúc sắc có 2 ngu niên nên ngườithứ nấtny có 2/2 sự ngu niên khichơibầ.Khiđ,các nẫniên àm chnườithứ nấtthn,ầượtlà 1/3,2/9,2/2 chổg cộg à 1/2 ».

(trích dẫn bởiHenry,20 4, r.6)

Theo Henry, có hể hiểu n ầm à Pasc l đã hừa n ận sự « đ n k ả năn xuấthiện » của c c biến cố q a ý ẽ ro g hư khin i« sự ngu niên à bn nhu ».Về p ần Fermat ô g d n ừ « n ẫu nhiên » để chỉ xá suất của một biến cố.Cũ g n ư Pasc l ô g sử d ng ổ hợp để iệt kê c c rườn hợp có hể và c c rườn hợp h ận lợich mỗin ườichơi Ông cũ g hừa nhận giả hiết« đ n k ả năn » k igiảiq yếtbài toán Tu nhiên, c n p ải n i rằng ro g n ữn bức hư rao đ i c Pasc l lẫn Fermat chưa đưa ra một thuật n ữ nào để chỉ t số mà h đề n hị dựa vào đ để chia tền c cược.Như ch n a biết ỷ ệ đó chín à iền hân của « xá suất» sau này.

Vớinhữn n hiên cứu chính hức về ín oán « xá suất» của hai n à oán h c Pasc lvà Fermat có hể nóic c rò chơin ẫu n iên đã ch yển hàn đ itượn n hiên cứu của oán h c và có mặttro g c c bàitoán n « cơ h i» hắn cu c.

Lúc nà,kháiniệm « xc suất » còn đang hot động trong phạm vicủa số học vđạisố tổ hợp,chưa có tên,chưa có định nghĩa tường minh vđược sử dụng như công cụ tính toán các « cơ hội».

• Do c Pasc llẫn Fermatđều k ô g chín hức x ất bản mộtcu n sá h nào n ivề c c ín oán « xá suất» của mìn nên chỉ tro g cuố sá h Lý hyttrò chơisúc sắc do Christan Hu gens x ấtbản năm 1 5 ,ngườita mớiđược biếtvề phép ín mớinày Tu vậy, th ật n ữ « xá suất» vẫn chưa xuất hiện và Hu gens đã sử d n ừ « cơ hi» để chỉ« xá suất»:

« Dù ron các rò chơithầ nẫ niên,các ktqả có khn chc chn

trịxác định »

(Huy ens, bản dịch iến Pháp Về các ínoárog các rò chơinẫnhiên, q yển 1 , (Euvres complètes, 2 v l 1 8 -1 5 , La Haye), trích theo Pichard,1 97, r.1 2)

Theo Pichard, « giá rị của cơ h i» mà Hu gens n i đến ở đây chín à « kv n oán » Bản hân Hu gens cũ g đ ng q an điểm với Pasc l về kỳ v n oán và ô g coin n ư n u n gốc ch p ép ính mớinày.Ngày nay,ô g có vin dự được xem là cha đẻ của « ý hu ếtxá suất».

• Phải đến năm 1 6 , tro g Ngệ hậttư dy của Antoine Arnauld và Pier e Nicole (c c bạn của Pasc l), thì th ật ngữ « xá suất» mới thật sự x ất hiện ần đầu tên vớin hĩa đú g n ư ch n a biếtn ày nay:

« … đừng chỉch rằg cáitốtvà cáixấà ự n,mà còn à xc suấtxảy ra hy khng xảy ra và pảich ý chín xác vàỉlệ mà ấtcả nữn cáiny có chn,điều ny có hể được àm rõ nư sa: có rò chơigm mườingườimỗinườigp 1 éu,chỉmộtnườiăấtcả,còchín nườikia tha; cũg nư mỗinườichỉnẫniên mà mất1 éu và có hể được 9 éu…Như vậy,mỗinườicó hy vọg được 9 éu và mất1 éu,chín mức đ

éu.Điều ny đtsự việrog mộtsự côg bn hà ho.

(trích heo Henry,2 0 ,tr.6)

• Một tro g n ữn địn n hĩa ườn minh đầu iên của xá suất được ìm hấy tro g Thử pâíchcác rò chơinẫ niên của Pier e Raymon de Mo tmort x ấtbản năm 1 0 :

« Sự rủimay của Piere7à ỉsố củấtcả các ầhậợivớisố ấtcả các ầ có hể,… Trog mộttrò chơicôg bn,số iền đtcược củ hinườichơipảicùnỉsố vớiđ xác sutkhc na hay vớik vọg chiến thn củ mỗinười»

(Henry,2 0 ,tr.6-7)

Cũ g ro g á p ẩm này, Mo tmort đã đưa ra ời giải ch 5 bài toán của Hu gens và c c bài toán về cơ h i k á Ôn cũ g p áttriển n ị thức và đa hức,sử d n đạisố ổ hợp để p ân ch c c rò chơi

7 Pierre de FERMAT

Năm 17 3, Mo tmort xuất bản á p ẩm hứ hai là Chyn uậ v các ổ hợp.Tro g á p ẩm này ô g đã nh m c c ín chất của đạisố ổ hợp đã sử d ng ro g áp ẩm đầu của mìn heo ờik u ên của Je n Bern uli

Như thế,trong vòng nửa sau của thế kỷ XVI,từ bàiton chia tiền cá cược mà kháiniệm xc suất đã được nả sinh,v để tính xác suất ngườita sử dụng Đạisố tổ hợp.Trong trường hợp nà,hiển nhiên phảithừa nhận tính đồng khả năng xả ra của các biến cố.

• Nhà oán h c Ja q es Bern uli đã dàn su t hai mươi năm của đời mìn để h àn hàn á p ẩm Thậtsuy đá ,nhưn năm 1 1 (8 năm sau k i ô g mất),táp ẩm này mớiđược n ườicháu à Nicolas Bern ul ix ấtbản.

Bern uliđã ấy ạic c kếtq ả của Huy ens,n hiên cứu sâu c c kếtq ả đ ,p áttriển ý h yết ch ỗi àm sán ỏ vai trò của cô g hức n ị thức,chỉ ra rằn ần suấtcủa một biến cố iến về một kết q ả heo uật xá suất Tá p ẩm giá rị này g m 4 p ần chín :

1 Giải5 bàitoán d Hu gens đặtra 2 Học h yếtvề c c h án vịvà ổ hợp

3 Ứng d n h c h yết rên ro g c c may rủithay đ ivà c c rò chơisúc sắ4 Áp dụ g h c h yết rên vào c c vấn đề h ịch,đạo đức và kinh ế.

Một số kết quả đán g i n ận của Berno li tron p ần cu i của á p ẩm đã được Henry và Co tn o ổn hợp ạin ư sau:

- Bern uliđã nêu ên mộtsố địn n hĩa ên quan đến xá suất

na; (…) sa ch mộtđốisố như vậy có hể chứn min v sự việ hy vđ chc chn củ sự việ ».

(trích heo Henry,20 4, r.7)

- Nhưn ôn cũ g chỉrõ điểm hạn chế của c ch xá địn xá suấtbằng p ươnp áp đếm.Sự hạn chế này sin ra ừ việ giả sử c c biến cố sơ c p à đ n xásuất Cụ hể,Bern uliđã chứn ỏ rằn :

« Sự cần hiếtny oitrừ việ ứn dn hc hytv cơ hivà các hiện tượnự niên pức ạnư: sự xuthiện mộtbệnnâhy các hiện tượnv khítượng,hy dự đácác chiến ược củ ngườichơimà cách hạtđộg à khnhể đán rước »

(Henry,19 7, r.2 ,trích heo Co tn o,2 0 ,tr.38).

- Để ước ượn xá suất tro g b i c n này, Berno li đề n hị xá địn hậu n hiệm xá suất của biến cố mo g đợi sau k i q an sát thực n hiệm một số lớn p ép hử giố g n au q a sự ổ định ần suất Trích đ ạn dư i đây của Bern ul igợira p ươn p áp iến hàn hố g kê:

« Nhưnhực ra ở đy,chna cò mộtco đườn khc để có được cáimà chna ìm.Điều gìkhncó được ở iên nhiệm hìtốithiểu cũg pảinận được ở hậu nghiệm,nhĩa à có hể khithc nbncách

(Bern uli 1 1 , r.4 -44, rích heo Co tn o,2 0 ,tr.3 ) - Điều này được Henry đán giá à c igútcủa vấn đề.Ông n i

«… n dn Bernuliđến việ đề ra cách ước ượng ần suấtch khiniệm xác sut… » (Henry,2 0 , r.7).

- Co tnh bìn uận ời ẽ của Boro cnik (1 9 ) n ư sau:

« …chínừ sự hy đicươnvịnày củ xác suấtta có hể đưa ra mộtcách mớiđể ước ượn cơ hixảy ra củ biến cố,đó à pươn páhực nhiệm.Mộttếp cậnư vậy giả sử rằg xác sutlà mộtdữ kiện khách qa,gn iền vớibiến cố và pép hử.Sự ước ượn ny được chứng minbởisự hitụ củ dãy các ầ sutđược qa sát các dữ kiện bên rog của pép hử được ặạiđc ậ vớivịtrích qa củ nườiqa sát»

(Co t n o,20 1, r.3 )

- Để àm rõ hêm cho iếp c n nêu rên,Coutn o rưn ra địn ng ĩa k ái niệm xá suấtcủa Rén i(được rìn bày ron giáo rìn xá suất của ô g,xuấtbản năm 196):

« Ta gixác sutcủ mộtbiến cố à co số mà ần suttươn đicủ biến cố được xm xtda đn xug qah co số ny (…)

Vìvậy a coixác sutnư mộtgiá rịđc ậ vớinườiqa sát giá rịny gn bn vớitầ suấtcủ biến cố được xm xtkhithực hiện mộtsố ượnlớn các pép hử »

• So g so g với c c n hiên cứu của Nicolas Bern uli còn có côn rìn Học thytv cơ hi của Abraham de Moivre được cô g b vào năm 1 1 .Tá p ẩm này là mộtxử ý huần oán h c,đã hực sự vận d n giảitch vào ý h yếtxá suất

VớiHọc hytv cơ hi Moivre đã u chỉn địn ý của Bern ulivà đưa ra mộtdạn mà n ày nay a gọilà địn ý về giớihạn ru g âm.Tro g á p ẩm này Moivre cũ g giảic c bàitoán chia iền cược ro g rườn hợp mỗingười tro g hain ườichơicó một xá suấtriên nào đ để chiến hắn ro g ừn ván.Ng àira ô g cò đưa vào k áiniệm hàm sin ,k áiniệm đ c ập,và k áiniệm xá suấtcó điều kiện.

Có hể n ilà nếu n ư rước hế k XVI I cô g cụ số h c và đạisố ổ hợp gắn iền vớic c cô g rìn n hiên cứu về ín oán cơ h i thìở đây c c hàn ựu của giảitch hiện đạiđã hực sự được sử d ng ro g ín oán xá suất

• Vấn đề cò ại mà Bern ul i chưa àm sán ỏ được à việ ối ưu h a số hín hiệm c n hiết để p ỏn đ án một xá suất Moivre và sau này à Lapla e đã ìm c ch giảiq yếtvấn đề đ Henry g in ận ạikếtq ả của haiô g n ư sau:

« Địný Moivre-Lalac sau này ch pép đưa ra mộtgiá rịtương đương vớixác sutP (F - ε < p < F + ε) nên cũn ch pép ín được co số ý tưởn các hínhiệm cầhực hiện để có đ chín xác ε và đin cậy 1-α

chrước.Cũg như vớiđ chín xác 3% và đin cậy 9% (α = 5%) hìcác điều ra hnhườnhiện ny có hể pỏg đán được xác sutvớikích hước mẫhử và khon 10 »

(Henry,20 4, r.8)

• Liên quan đến kiểu ếp c n này,n ư chú g a biết Buf o 8 à mộttro g n ữnn ườiđầu iên đã iến hàn hực ng iệm vớiviệ u g đ n x n iều ần.Ôn đã đưa ra bản ần số x ấthiện mặtsấp,mặtn ửa để chứn ỏ ần suấtx ấthiện mỗimặtđều xấp xỉbằn 1/2.

Ch đến đầu hế k XIX,n oàiđịn n hĩa heo kiểu mô ả của Bern uli(« Xác suttrog hực ế à mức đchc chn… »,« Dự đámộtđiều gìđchínà đlườnxác sutcủ n ») hì chưa có một địn n hĩa oán h c nào về khái niệm xásuất Vấn đề này chỉ được giải q yết bởi Pier e Simo Marq is de Lapla e ron

Chyn un giảitch v xác sut cô g bố năm 1 1 Vớich yên uận này Lapla e đã chín hức đưa ra địn n hĩa đầu iên về xá suấttro g ng yên ý hứ n ất Địn n hĩa của ô g được rìn bày ro g cù g một c ch iếp c n của Pasc l Fermat Hu gens và Mo mort

« Ngyn ý hứ nấtcũnà địn nhĩa của xác sutnư đ biếtđà ỉ

(P.S Lapla e, Introdcton draié anlytque des proaiié, trích heo Thiénard,1 97, r.1 0)

Để nhấn mạn điều kiện sử d ng ch địn n hĩa rên,Lapla e đã viết

« Lý hytv sự nẫ niên dựa rên việ rútgn ấtcả các biến cố cùg loiv mộtsố nàđcác rườnhợp đồg khnn … xác địnsố các trườn hợp hậợich biến cố mà a ín xác sut Tỉsố của co số ny vớisố ấtcả các rườn hợp có hể,là số đ của xác sut nà mộtpâsố có ử à số rườn hợp hậợivà mẫà số ấtcả các rườn hợp có thể ».

(trích heo Thiénard,1 9 ,tr.14 )

Như vậy, rước k it n xá suất a p ảiđưa ra c c giả hiếtvề sự đ n khả nănrồi t n xá suất bằn c ch đếm c c kết cục h ận ợi Tu vậy, Lapla e cũ g n ận thấy k ô g p ải lu n u n có hể đưa về c c rườn hợp đ n khả năng được, nên tro g n uyên ý hứ hai ô g viết

« Nhưnđiều đgiả địnrằncác rườnhợp à đnkhnăg.Nếu chúg khn đng kh nn,trước hếtta pảixác địn các kh nn riêng củchnmà việ ước ượng đncác khnnny chínà mộttrog

8 Năm 1733, trong một luận văn trình bày trước Viện hàn lâm khoa học hoàng gia, Buffon còn giới thiệu khái niệm « xác suất hình học » qua trò chơi « Franc-Carreau » và « bài toán cây kim » Từ bài toán này ông đã tính gần đúng số pi (tham khảo Henry, 2004)

nữn điểm kh nấtcủý hytv sự nẫ niên.Khiđ,xác sutsẽ à tổg các xác suấtcủ mỗitrườn hợp hun ợi».

(trích dẫn bởiThiénard,19 7, r.1 0)

Ví d mà Lapla e đưa ra để min h a ch n u ên ý hứ hai này à u g mộtđ n iền có hai mặt sấp và ngửa.Bài toán yêu c u ìm xá suấtđể được t n ất mộtmặtn ửa sau hailần un Lapla e nêu ên rằn : « rõ ràg à có bn rườn hợp đồg kh nn… ». Để đơn giản ron c ch viết ch ng ôi g i b n rườn hợp này à NN,NS,SN,SS (S:sấp; N:n ửa).Ôn đã giảithích rằn :b n rườn hợp có xá suấtđều bằn 1/4,ba rườn hợp đầu à huận ợi ch biến cố có t n ất một mặt n ửa nên xásuấtc n ìm à 3/4.Mặ d Lapla e kh n g irõ p ép oán,n ưn có hể hiểu rằn :

= 41

+41

+ 41

Ôn cò p ân ch mộtlờigiảisaivà sửa ạin ư sau:

« …Khilầ đu được mặt« nửa » hìkhn cầug ần hứ hai; nếu ầđu « sấp » hìlầhứ hicó hể à « nửa » hay « sấ ».Điều ny rútgn vxác sut2/3,nếu a coibrườnhợp ny à đồg khnng như d’Alambert Nhưn rõ rànà xác sutđể có mặt« ngửa » ầ đu à 1/2,trog khihairườn hợp kia có xác sutà 1/4.Trườn hợp đu à mộtbiến cố đơn ươnứnvớihibiến cố kp: « nửa » ần đu và lầhi; « ngửa » ần đu và « sấ » ầhi Theo nuyn ý hứ hia hêm xác sut1/2 củhimặt« nửa » ầđu vớixác sut1/4 củrườnhợp « sấ » ầ đu,« ngửa » ầ hithìđược 3/4 ch xác sutcầm,điều đpù hợp vớiktqả ìm được khigiả sử à ug đniền hilầ.Giả hiếtny khnàm hy đigìsự may rủicủ ngườicá cưc biến cố ny.Nó chỉgiúrútgn các rườnhợp khc navcác rườnhợp đồg khả năg ».

(trích heo Thiénard,19 7, r.1 0-1 1)

Có hể nóiLapla e đã đưa ra mộtđịn ng ĩa ườn min ch kháiniệm xá suấtdựa rên giả hiếtvề sự đ n k ả năn Ngày nay, địn n hĩa k ái niệm xá suấtnhư trên của Lapla e cò được g i là địn n hĩa cổ điển của xá suất hay « địn n hĩa theo Lapla e » Nó được g i là cổ điển vì xá suất chín à ỉ số đã được Pasc lFermat và Hu gens n i đến rước đây (bấy giờ n chưa có ên gọi chín hức à xásuấtn ư Lapla e nêu ên ở đây).

Tóm ạitrong suốt haithế kỷ rưỡi các tính ton xc suất đã hình thành và phát triển vớihaiđiểm nổibật à:

- Tính xc suất theo công thức của Laplacvớigiả thiết về sự đồng khả năng của các biến cố.

- Ước tính xc suất hậu nghiệm qua quan sát thực nghiệm một số ượng ớn các phép thử ngẫu nhiên như nhau theo Benoulikhicác biến cố không đồng khả năng.

I.3.Thế kỷ XX: Giaiđoạn ton học hiện đạivà vn đề tiên đề hóý thuyết xc suất

Một tron n ữn k ó k ăn ro g việ p át triển ý h yết xá x ất là đi đến mộtđịn n hĩa ổ g q át chín xá ro g oán h c.Cu i thế k XIX,n iều hàn ựu của cô g cụ giải tch, tron đ có p ép biến đ i Fo rier, ch p ép hể hay ch c c hàm sinh bởi một hàm số đặ rưn Tiếp đ à sự p át triển ý h yếttập hợp số,lý h yếtđộ đ , lý hu ết tch p ân của Borel và Lebesg e ở đầu hế kỷ XX đã dẫn đến xhướn xây dựn một lý h yết xá suất hình hức hơn heo p ươn p áp iên đề của Hi bert

Năm 1 2 ,Vo Mises đề n hịmộthệ iên đề bằn iếp c n hố g kê,theo đó xásuất được địn n hĩa n ư à giới hạn ch n của một dãy c c ần suất Nhưn địnn hĩa này được đán giá à nặn về mặt k h ật và k ô g đ ch sự hiểu biết tổ g quátvề mặtk áiniệm (tham k ảo Henry,2 0 ).

Borelđã giảithích à p ảiđi heo chiều hướn nào:

« …Lý hytxác sutlên ục có hể đtcơ sở rên các hệ iên đề và các địn nhĩa hàon giốn vớicáimà a đàm roný hytđ đ …»

Tiên đề 1 Vớimọibiến cố A, 0 ≤ μ(A) ≤ 1

Tiên đề 2 VớiΩ à kh n gian c c biến cố sơ c p, μ (Ω) = 1.Tiên đề 3 Vớimọidãy c c biến cố đ imộtrờin au,A1,A2, thì

μ(A1 ∪ A2 ∪ …) = ∑ μ(Ai)

Hệ iên đề này chấp n ận mộtc ch hài h a c c k ái niệm về biến n ẫu n iên và c c q iluật(sự ch yển ừ Ω và µ ro g ĩn vực số).

Kể ừ đ ,n ững ý ưởn này đã được ch n ọc ạip ần nào và n ày nay ý h yếtxá x ất và h n kê rở hàn một n àn oán ứn d n , được biết đến n ư à ý th yếtđ đ và có p ạm vi h ạtđộ g rộ g rãi trên nhiều ĩn vực n ư:vật lý (p ươntrìn só g),cơ h c (ch yển đ ng Brownien),sin vật kin ế (đán giá rợ c p ợi tức trọ đời đán giá sự biến đ n àisản-hàn hóa,…),địa ý,giáo d c,xã h ih c,nhân k ẩu h c (t ệ rẻ sơ sin rai-gái ỉ ệ sinh-tử,)….

§I.VÀI KẾT LUẬN

Việ ổ g hợp,p ân ích c c kết q ả n hiên cứu ịch sử của ý h yết xá suất ở trên ch p ép ch n ôi hìn d ng được quá rìn nảy sin , p át triển của n ,và đặbiệtlà mộtsố đặ rưn k oa h c uận chủ yếu của k áiniệm xá suất

Như nhiều khái niệm oán h c k á , sự hìn hàn k ái niệm xá suất phải trảiq a một thời gian k á dài và gắn iền với nhữn vấn đề nảy sin ừ hực ế Có hể p ân chia q á rìn hìn hàn k ái niệm này hàn b n giai đ ạn ch yếu,tro g đ ,ba giaiđ ạn đầu ươn ứn vớiba cơ chế k á n au của nó.

cơ chế của một k ái niệm protomathémat q e (k ôn ên, k ô g địn n hĩa) và x ất hiện n ư à cô g cụ n ầm ẩn ch p ép giải q yết vấn đề ín oán cơ h itron vàitrò chơimay rủi Ở giaiđoạn này,Đại số ổ hợp đã bước đầu được k aithá ro g ín oán c c cơ h i(xá suất).

triển vớiviệ giải q yết vấn đề chia iền c cược mà n ườik ởixướng à Pasc lvà Fermat Th ật n ữ xc suất ần đầu x ất hiện năm 1 6 ro g Ngệ hậttư dy của Antoine Arnauld và Pier e Nicole n ưn vẫn chưa có địn n hĩa oán h c chín hức nào.Xá suất vẫn ấy cơ chế cô g cụ và đã bắt đầu à đ i tượnn hiên cứu Nói c ch k á , n x ất hiện dưới hìn hức paramathématque.Tro g giaiđ ạn này,c c ín oán về c ch chia iền c cược đều được đưa về xéttrên c c biến cố đ n khả năn x ất hiện,và hườn ấy đại số ổ hợp àm cô g cụ ín

• Giaiđạn hứ b (đầu hế k XVI I đến cu ithế k XIX):xá suấtchính hức có cơ chế của một khái niệm oán h c Với cô g rìn cô g b năm 18 2 của Lapla e,xá suấtđược định n hĩa à ỷ số củ số rườn hợp hận ợivớisố ấtcả các rườn hợp có hể xảy ra.

• Giaiđạn hứ ư (Thế k XX): Với An reï Kolmo oro (1 33),khái niệm xásuất được định n hĩa một c ch hìn hức bằn p ương p áp iên đề Tín oán xá suấtn ày c n p át riển và à cô g cụ ường min ch p ép giảiqu ếtn iều bàitoán ron c c ĩn vực k á nhau của oán ứn d ng,vậtlý h c,cơ h c,sinvậth c,…

Khái niệm xá suất bắt đầu x ất hiện n ầm ẩn dưới dạng bài toán ín cơ hộithắn cu c ron rò chơic cược,sau đ được sử d ng n ư mộtcô g cụ ro g số học (tn giá rịgần đ n của số pi…),rồitro g c c ĩn vực n oàitoán h c n ư ro g vậtlý h c,cơ h c,sin h c,kin ế,…

- Bàitoán chia iền c cược ro g rò chơimay rủiăn h a,- Bàitoán ước n cơ h ichiến hắn ro g rò chơin ẫu n iên,- Bàitoán nh giá rịgần đ n của số pi

- Bài toán ín gần đú g diện ích của một hìn bằng p ươn p áp n ẫu n iên (xá suấthìn h c),

- Cá bàitoán ứn d n ro g n vực vật ý,cơ h c,kin ế,sin h c,…

Sự nảy sin và p áttriển ý h yếtxá suấtgắn iền với c c k áiniệm k á p áttriển đ n hờivớin

Trước hết p ải n i đến p ép hử có c c kết q ả n ẫu n iên mà p ổ biến nhất là trò chơi gieo súc sắ ăn iền.Chín vì k ô g biết trước kết q ả xảy ra của một phép thử n ẫu nhiên mà n ười ta p ảit m c ch đán giá,ước ượn và ín oán k ả năng xảy ra của mộtbiến cố có hể xảy ra với p ép hử đ Cũ g chín vìthế mà Bern uliđã mô ả xá suấtn ư mộtco số để đn giá kh nn xảy ra của biến cố.

Cá p ép hử n ẫu nhiên này ạichia hàn nhiều oại

- p ép hử n ẫu n iên có mộtsố hữu hạn kết q ả đồ g k ả năng x ất hiện.Tập hợp c c p ép hử đồ g k ả năn này chín à p ạm vihợp hức của địn n hĩa cổ điển heo Lapla e

- p ép hử n ẫu nhiên có hữu hạn c c kết quả k ô g đ n k ả năn x ất hiện (thườn p ải sử d n q an sát thực ng iệm để ín ần số xuất hiện của biến cố, ừ đó ước ượn giá rịgần đú g ch xá suất),

- phép hử n ẫu n iên bấtk (sử d n mô hìn iên đề của Kolmo oro để địnn hĩa xá suấtmộtc ch ổ g q át),…

Nhữn kháiniệm k á có vaitrò q an rọ g ron ịch sử của k ái niệm xá suấtlà: t ệ hức,đạisố ổ hợp (hoán vị chỉnh hợp,tổ hợp) được sử d n n ư cô g cụ để t n xá suấttheo địn n hĩa cổ điển của Lapla e.

Kháiniệm ần số,tần suấtx ấthiện của mộtbiến cố,dãy số,giớihạn,… cũ g có vaitrò k h ậtk iước ượng giá rịcủa xá suấttheo q an điểm hố g kê.

Một k ái niệm k ô g hể k ô g nói đến chín à hàm số, n có mặt tro g ý th yết xá suất hiện đại n ư một đ đ và à cô g cụ để h àn hiện ý h yết về xásuấthiện đại

Từ n hiên cứu ịch sử, c c á giả Cieda de Queiroz e Si va Coutn o, MichelHENRY,Bernard Parzysz đều h n n ấtrằn k áiniệm xá suấtcó hể được iếp c n theo ba c ch sau đây:

• Tiếp cận theo Laplac (AL - Ap roche Lapla ien e):

- Xá suất của một biến cố,theo Lapla e,là “t số củ số rườn hợp hận ợivớisố ấtcả các rườn hợp có hể xảy ra”.

- Để ín xá suất theo Lapla e, đ i h i p ải có một k ô g gian hữu hạn c c biến cố sơ c p đồ g k ả năn x ất hiện (đây chín à điểm hạn chế của iếp c n này).

- Theo c ch iếp c n này,việ xá địn xá suất của một biến cố được đưa về c c phép đếm và Đạisố ổ hợp đ n vaitrò chín ron c c ín oán xá suấtChín vì thế mà Co t n o đặt tên ch iếp c n này à « ếp cậđisố ổ hợp ».

- Tro g rườn hợp p ép hử có hể gắn vớimộtk ô g gian hữu hạn c c biến cố sơ c p đ n k ả năn xuất hiện hì bằng địn n hĩa của Lapla e n ười ta có thể ín được xá suất mà k ôn c n hực hiện p ép hử Vì lẽ đ , Bernard Parzysz gọixá suấttheo địn n hĩa của Lapla e à « xác sutch qa » hay « xác suttên nhiệm ».

• Tiếp cận thống kê (AS:Ap roche Stat stq e):

- Theo iếp c n này, xá suất của một biến cố à một giá rị mà ần suất tư nđ i của biến cố đ dao đ ng q an giá rịnày k i thực hiện mộtsố ượn ớn c c phép hử.

- Xá suấttheo q an điểm này cò được g i à « xác sutkhách qa » vìgiá rịcủa xá suấtchỉđược biếtsau hực n hiệm.

Đứn ừ g c đ oán h c và hực ế, c ch iếp c n heo q an điểm h n kê chp ép giải q yết vấn đề ìm xá suất tro g c c rườn hợp mà địn n hĩa của Lapla e

k ô g hể vận hành được (ví d n ư việ ước ính xá suất để một đinh mũ rơi n ẫu n iên chạm đất bằn mũi n ọ hay bằn đầu) Nhưn , đứn ừ g c đ dạy-học,Parzysz ch rằn c ch iếp c n này gây ra n ữn k ó k ăn sau:

- Trước hết n dựa rên sự « hitụ » của c c ần suất (sự hitụ heo xác sut),tức k ô g p ải là sự h i tụ h ần ú (của dãy số) mà h c sinh gặp ro g giảitch.

- Mặtkhá ,t ếp c n này có hể dẫn đến n u cơ à « hc sin khnhực hiện được bước nhy khiniệm mà ạiđn hóầ sutvớixác sut» (tham khảo Parzysz,2 0 , r.3 -3 ).

• Tiếp cận tiên đề (AA:Ap roche Axiomatq e)

- Xá suất được địn ng ĩa như « mộtđ đ khôg âm bịchn được xác địntrên mộttậ hợp rừu ượng mô hìn ho các ktcục có hể của mộtpép hử nẫ niên » và h a mãn mộthệ ên đề.

- Là một mô hìn huần oán h c c o c p nên iếp c n này quá k ó hiểu đ ivớih c sin PTTH và chỉđược cun c p ở bậ đạih c.

Tro g ba iếp c n rên, tếp c n nào được c c á giả sá h giáo k oa Việt nam ch n để giớithiệu k ái niệm xá suất tron sá h giáo k oa ? Sự ựa ch n này đã dẫn đến n ữn ràn bu c hể chế nào ? Đây à n ữn c u h i mà ch n ôi sẽ iếp ục n hiên cứu ron phần iếp heo của uận văn.

- Khái niệm xá suất được đưa vào ro g chươn rìn và sá h giáo k oa oán trun h c p ổ h ng ra sao, q a n ữn ìn hu n nào ? Khái niệm xá suấtlấy n hĩa nào q a n ững n h ố g rên ?

- Có n ữn đ i tượng nào iên q an đến k ái niệm xá suất ? Ch n đ ng vaitrò gì?

- Nhữn praxéolo ie nào iên q an đến k ái niệm xá suất được đưa vào sá h giáo kh a ?

- Mốilên hệ giữa h n kê và xá suấtđược hể hiện n ư hế nào ro g chươntrìn và sá h giáo k oa ?

- Việ dạy-h c xá suấtbịchip ốibởin ữn hợp đồ g dida tq e nào ? • Cần p ải n i rõ rằn heo chương rìn hí điểm hì h c sin ớp 1 , lớp 1được p ân hàn haiban,ban Khoa h c ự n iên và ban Kh a h c xã h i& Nhân văn.Có 2 b sá h giáo k oa do 2 n óm á giả viết theo chươn rình hí điểm Người ta g iBộ 1 à b được viếtbởin óm á giả d GS Đoàn Qu n àm ổ g chủ biên,Bộ 2

có ổ g ch biên à PGS Trần Văn Hạo.Như hế,đối với lớp 1 (cũ g n ư ớp 10 và 1 ) có 4 cuố sá h giáo k oa viết ch phân mô Đại số-Giải tch Tu n iên, tro g mỗi b sá h 1 và 2 hì sự k á n au giữa hai cu n sá h giáo k oa của haiban k ô g p ải là n iều Vì lẽ đ , chú g ôi sẽ chỉ p ân ích hai cuố sá h Đại số và Giải t ch dàn ch ban Kh a học ự n iên được soạn hảo bởihain óm á giả.

• Đốivớichương rìn ,trước k ip ân ích p ần Lý hytxác sutdạy ở ớp 1 ,chú g ôi sẽ ướt qua c c n i d n về Thnk dạy ở ớp 10, vì n ư đã biết giữa

Thn kon - bao g m Thn k mô ả và Thn k suy đá ,vớiLý hytxác sut

có mộtmốilên hệ k á gắn b

Nhờ Thn k mô ả n ườita n ận ra được mộtsố q y uậtthực n hiệm của hiện tư n Vấn đề đặt ra sau đ à ừ qy utthực ngiệm phipáthiện ra qy utlý

thyt Thực hiện yêu c u đ à n iệm v của Thnksuy đá “Chín Lý hytxác sutsẽ cu g c p ch a n ữn q y uật lý h yết d ng để “soi sán ” c c q y uậtth n kê, giú a n hiên cứu c c q y uật thực n hiệm một c ch h àn hiện hơn,làm ch Thn kon ừ ch có ín chất mô ả đến ch có k ả năn p ân ích,dự đ án có cơ sở k oa h c và sâu sắ ” (Lê Văn Ph n ,1 8 , r.60).

Như vậy, nếu á h rời Lý hytxác sut thì Thng koá sẽ mất đi n iều kếtq ả q an rọ g do p ần Thn ksuy đon man ại và d đ nó sẽ bị th hẹp vào

Thn k mô ả.

Mặtk á ,như p ân ích k oa h c uận ở chươn 2 đã chỉra,cò có mộtmốilên hệ heo chiều n ược ại Thn k mô ả cũ g c n hiết ch việ n hiên cứu Lý huytxác sut Nó c n hiếtch việ ếp c n kháiniệm Xác suttheo quan điểm h n kê.

Vậy hì Thốg k mô ả được dạy ở c c ớp dưới ch ẩn bị ch việ dạy h c Lý thuytxác suất ở ớp 1 n ư hế nào ? Và Lý hytxác sut được dạy ở ớp 1 k aithá c c kiến hức về Thốg k mô ả ra sao ? Trả ời n ữn c u h i này cũ g à mộttro g n ững điều c n hiết cho h ạt đ ng giản dạy hai n i d ng mới của chươntrìn

§I.PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH THÍ ĐIỂM I.1.Thống kê mô tả trong chương trình thíđiểm ớp 1

Chươn rìn hí điểm bậ Tru g h c p ổ h n à một sự iếp n i chươn rìnTru g h c cơ sở đã được riển k aiđạitrà.Theo chươn rìn này,từ ớp 7,h c sinh đã được àm q en với vài yếu ố của Th n kê mô ả n ư ần số, biểu đ ,tru g bìncộ g,mốtcủa dấu hiệu.Mục đích của dạy-học hn k mô ả ở ớp 7 à « hệ hnạimộtsố kiến hức và k năg vhn k mà hc sin đã biếtrảirác ở các dưới nư thhp số iệu,dy số,số rug bìn cộg,biểu đ ,bước đu hiểu được mộtsố khiniệm cơ bnvà hy được vaitrò củhn kronhực iễn » (Sá h giáo viên Toán 7,tr.3).

Chương trình thíđiểm ớp 1 iếp ục cu g c p ch h c sin mộtc ch hệ h nn ữn kiến hức,k năn ban đầu về Thn k mô ả,vớic c n id n :

– Bản p ân p ối hực n hiệm g ép ớp ần suất– Biểu đ ần suấtvà đa giá ần suất

– Số ru g bìn cộn - Số ru g vị- Mốt– Phươn saivà đ ệ h ch ẩn.

« Dựa và bn pân pốithực nhiệm ầ số gép ớp,ta cũg nêu được nậxtv xu hướnậrug của các số iệu hn k »

(Sá h giáo viên,Đạisố 1 ,bộ hai tr.1 5)

Ở ớp 1 ,k áiniệm tần suất được xây dựng ừ k áiniệm tần số ở ớp 7,n ưng lần này k ô g chỉlà dữ iệu rờirạ mà cò mở rộ g cho dữ iệu ên ục.

Như vậy, rước khih c xá suấtở ớp 11,học sin đã được cu g c p n ữn kiến thức ối thiểu về hố g kê, tro g đ có k ái niệm ần số, tần suất là c c yếu ố c u thàn nên địn n hĩa h n kê của xá suấtở ớp 1 sau này.

I.2.Xác suất trong chương trình thíđiểm ớp 1

Kháiniệm xá suất được đưa vào giản dạy chư n I có ên g i Tổ hợp và xác suttro g chươn rình Đạisố và Giảitch ớp 1 Chươn này được dạy ro g 2 iếtg m c c n id n sau:

– Haiq i ắ đếm cơ bản.– Hoán vị chỉn hợp và ổ hợp.– Cô g hức n ịthức Newton.– Biến cố và xá suấtcủa biến cố.– Cá q itắ ín xá suất

– Xá suấtcó điều kiện.

– Phân b xá suấtcủa biến n ẫu n iên rờirạ

– Kỳ v n ,p ươn saivà đ ệ h ch ẩn của biến n ẫu n iên rờirạ Mục iêu về k năng mà h c sin p ảiđạtđược sau khihọc chươn I à:

« Biếtvậ dn kiến hức ổ hợp để ín xác suttheo địn nhĩa cổ điển củxác sut» (Sá h Giáo viên b 1, r.9 ).

« Biếtcách mô ả,xây dựn khngiamẫ,mô ả các biến cố iên qa vớipép hử và ín xác sutcủ nheo địn nhĩa cổ điển » (Sá h Giáo viên b 2,tr.51).

Phần Đại số ổ hợp đã được k ẳn địn à côn cụ ch yếu ch ín oán xásuất

« Các biton v xác suấtở đy có ên qa chtchẽ đến vấ đề ổ hợp.Do đ,nếu hc sin có k nn giảiton ổ hợp ốtthìcó niều hậợikhigiảicác biton v xác sut» (Sá h giáo viên b 1, r.1 ).

Tro g ời giải thích chươn rìn , ch n ôi kh n ìm hấy ở đâu yêu c u sử d n nhữn kiến hức về hng k mô ả đã được đề c p ở ớp 1 vào việ n hiên cứu xá suất Dườn n ư chươn rìn đặt trọ g âm vào việ ính xá suất bằn c c p ươn iện của Đại số ổ hợp.Điều này cũ g có n hĩa à địn n hĩa cổ điển của k áiniệm xá suấtđư c xem à rọ g âm của chươn rìn Như vậy,việ bày ỏ mục iêu và ời giải thích một c ch ườn min này có hể ch hấy một q i tắ hợp đ ndida t q e n ư sau:

cổ điển của xác suất

§I.PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA

Như đã n i ch n ôi sẽ p ân ích hai cu n sá h giáo k oa Đại số và Giải tch lớp 11 dàn ch Ban Kh a h c ự n iên.Tổ g ch biên của cuố hứ n ấtlà GS Đoàn Qu nh,của cu n hứ hai là PGS Trần Văn Hạo.Để ch iện, ch ng ôi d n k hiệu

M1 để chỉcu n hứ n ất M2 để chỉcu n hứ hai

Đikèm vớimỗi cu n sá h giáo k oa à mộtcu n Sá h bàitập và một cu n Sá h Giáo viên.Tro g n iều rườn hợp,để hiểu rõ ý đ của á giả,ch n ôisẽ p ảitham k ảo c c cu n Sá h giáo viên Chẳng hạn, tro g n ữn cu n sá h này n ười ta giải

thích cho giáo viên sự ựa ch n, n ữn điều n ầm ẩn ro g sá h giáo k oa.Người ta cò đưa ra ời giải ch p ần ớn bài tập được đề n hị tro g sá h giáo k oa.Việ xem xétc c ờigiảiđó sẽ giú ch ch ng ôihiểu được điều n ườita chờ đợi đ ih iở h c sin Đó à một tro g n ữn yếu ố mà chú g ôi c n p ảidựa vào để vạ h rõ c c q y tắ của hợp đ n dida tc iên q an đến đ itư n xác sut Việ ham k ảo c c cu n Sá h bàitập đ ivới ch n ôi cũ g à c n hiết heo n hĩa n giúp àm rõ hơn n ữntổ chức oán h c đã được đưa vào ro g sá h giáo k oa.Ch n ôisẽ d n k hiệu G1

để chỉ Sá h giáo viên, E1 để chỉ Sá h bài tập ứn với Sá h giáo kh a M1 Cũ g n ư vậy,ứn vớiM2 có Sá h giáo viên G2 và Sá h bài ập E2.

Việ p ân ích sá h giáo k oa n ằm mục đích ìm hiểu xem k ái niệm xá suấtđược rìn bày heo q an điểm nào và q a n ữn kiểu ình h ố g nào,nhữn ổ chức toán h c nào đã được đưa vào, nhữn k h ật tnh xá suất nào được ưu iên sử d n ? Đồ g hời ch ng ôicũ g sẽ chỉc c q itắ của hợp đ ng dida t q e ro g dạy và h c k áiniệm xá suất

I.1.Xác suất trong M1

■ Về một số kháiniệm gn ền vớikháiniệm xc suất

• Phép hử ngẫu nhiên,không gian mẫu

M1 đưa ra mộtmô hìn q en h ộc của p ép hử n ẫu n iên,đ à gieo súc sắ

« Khigieo mộtcon súc sắc,số chm rên mặtxuthiện được coilà ktqả củviệ gieo súc sắc.Ta nậhấy rằg rấtkh đárước được ktqả củ mỗilầ gieo.Nó có hể à bấtk mộtco số nàrog ậ hợp {1,2,3,4,5,6}.Ta giviệ gieo súc sắc nitrên à mộtpép hử nẫ niên ».(M1 r.79)

Qua đ ,M1 đưa ra địn n hĩa:

« Mộtphép hử ngu nhiên (giắtà pép hử) à mộtthínhiệm hy mộthnđn mà:

- Có hể ặ đilặạiniều ầrog các điều kiện giốg nau;

- Kếtqả củ n khng dự đárước được;

- Có hể xác địn được ậ hợp ấtcả các ktqả có hể xảy ra củ pép hử đ.Phép hử hườn được k hiệu bởichữ T.

Tậ hợp ấtcả các ktqả có hể xảy ra củ phép hử được gilà không gian mẫu của pép hử và được k hiệu bởichữ Ω (đc à ô-mê-g)».

(M1 r.8 )

• Biến cố - Tập hợp mô ả biến cố

Th ật n ữ « biến cố » được M1 sử d n ngay ron mộtvíd có mục đích à dẫn dắtđến k áiniệm biến cố.

chm rên mặtxuấthiện à mộtsố chn».Ta hy việ xảy ra hy khn xảy ra của biến cố A ùy hộc và ktqả củ T.Biến cố A xảy ra khivà chỉkhiktqả củ T à 2,hặc 4,hặc 6.Do đ biến cố A được mô ả bởitậ hợp ΩA = {2,4,6}.Biến cố A được gilà biến cố iên qa đến phép hử T»

(M1 r.8 )

Ở đây,k áiniệm « biến cố » được hiểu q a « ậ hợp mô ả biến cố » (th ậtn ữ này được sử dụ g ron G1, r.1 9).Sá h giáo k oa M1 phân biệt« biến cố » mộtc ch rấtthận rọn với« ậ hợp mô ả» n ,k ô g đồ g n ất« biến cố » vớimộttập hợp.

G1 giảithích điều này rằng:

« Về mặtton học,ta có hể đồg nấtmỗibiến cố A vớimộttậ co ΩA mô ả n ».Nhưn , « Địn nhĩa nư vậy à hìnhức,có ín“hn âm”,do đàm mấtđitnrực qa sin độg vố có củ khiniệm biến cố » (G1, r.1 0)

Sau đ ,M1 ổ g q áthóa k áiniệm biến cố:

« Mộtcách ổg qát:

củ khn gia mẫ Ω củ phép hử đ.Biến cố A xảy ra khivà chỉkhiktqả củ T hộc ậ ΩA.Mỗipầử củ ΩA được gilà mộtktqả hun ợichA ».

(M1 r.81)

• Tiếp sau đ ,M1 đưa vào c c khái niệm biến cố chc chn,biến cố khnhể,biến cố hợp,biến cố xug khc,biến cố đi biến cố gia,biến cố đc ậ.

•Kháiniệm Tầ số - Tầ sutđã n hiên cứu ở ớp 1 nay cũn được n ắ ại

« Xétpép hử T và biến cố A iên qa đến pép hử đ.Ta iến hnặ đilặlạiN ần pép hử T và hn k xm biến cố A xuthiện bo niêu ầ.

Sầ xuthiện biến cố A được gọilà ần số củ A rog N ầhực hiện pép thử T.

Tỉsố giữa ầ số củ A vớisố N được gilà ần suấtcủ A ron N ầhực hiện pép hử T »

(M1 r.83)

■ Về định nghĩa của kháiniệm xc suất

Cấu rúc của ến rìn đưa vào k áiniệm xá suất ro g M1 à: Đạisố ổ hợp

↓

Xá suấttheo địn ng ĩa cổ điển ↓

Xá suấttheo định ng ĩa h n kê

Trìn ự này uân heo ịch sử hình hành k ái niệm xá suất c c p ép đếm cơ bản, đại số ổ hợp x ất hiện rước và có vai trò cô g cụ ch việ ín xá suất theo địn ng ĩa của Lapla e (địn n hĩa cổ điển) với giả hiết về sự đ n k ả năn x ấthiện của c c kếtq ả.Sau đ ,để giảiq yết c c bài toán ính xá suấttro g rườn hợp c c kết q ả k ô g đ n k ả năn x ất hiện hay phép hử có v hạn kết q ả hì p ảiq a hực n hiệm để m giá rịổ địn của ần suấtx ấthiện của biến cố đó và coin ư là mộtgiá rịgần đú g của xá suất tức sử d n định n hĩa h n kê của xá suất heo luậtsố ớn của Bern uli

Ta hãy xem M1 rìn bày định n hĩa k áiniệm xác sutnhư hế nào.

•Ch n a biếtrằn ron ịch sử, huậtn ữ « kh nn »,« cơ hi» ra đời rước th ậtn ữ « xác sut».Cũn vậy,M1 đã sử dụ g ừ « kh nng » ro g úc đặtvấn đề để điđến k áiniệm xá suấtnhư sau:

« Trog cuc sốg hng này,khiniv biến cố a hườn nibiến cố này có

bn cách gn ch mỗibiến cố mộtco số khn âm,nh hơn hy bn 1 gilà xác sut(phần chắc) củbiến cố đ.Xác suấtcủbiến cố A được khiệu à P(A).Nó đường khnng khch qasự xuthiện củbiến cố A.Biến cố chc chn (biến cố un xảy ra khithực hiện pép hử T) có xác sutbng 1.Biến cố khnhể (biến cố khn bo giờ xảy ra khithực hiện pép hử T) có xác sutbằg 0 ».

•Sau đó,q a mộtvíd ,M1 đưa ra ìn h ố g để p ân ích c c điều kiện về giả thiết của địn ng ĩa cổ điển:k ô g gian mẫu có hữu hạn phần ử và c c kếtq ả đ nk ả năn x ấthiện.Cũ g q a ví d đ ,M1 iệtkê ập hợp mô ả của biến cố A để sau đ địn n hĩa xá suấtcủa chín A:

« Víd 4: Giả sử T à pép hử « Gieo hico súc sắc ».Kếtqả củ T à cặ số (x;y),trog đ x và y ươn ứnà ktqả của việ gieo co súc sắc hứ nhtvà hứ haiCác ktqả có hể xảy ra của T được chrog bn sa đy:

y (x; y) x

1 2 3 4 5 6

1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) 2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) 3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) 4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) 5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) 6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

Khn gia mẫ Ω của T à Ω ={(1; 1),(2; 1),(3; 1),(4; 1),(5; 1),(6; 1),…,(1; 6),(1; 6),(3; 6),(4; 6),(5; 6),(6; 6)}.Phép hử T có 3 ktqả có hể.Nếu cosúc sắc đưc chế ạ câ đithìcác mặtcủ con súc sắc đều có cùng khả năng xuấthiện.Ta nói36 ktqu củ T à đng khả năng.

Xétbiến cố A: « Tổg số chm rên mặtxuấthiện củ hico súc sắc à 7 » Tậ co ΩA củ Ω mô ả A gm 6 pầử à:

ΩA ={ (1; 6),(2; 5),(3; 4),(4; 3),(5; 2),(6; 1) }Khiđỉsố

Mộtcách ổg qát:

Giả sử pép hử T có khn gian mẫ Ω là mộttập hợp hữu hn và các ktqucủ T à đn kh nn.Nếu A à mộtbiến cố iên qa đến phép hử T và ΩAà

tậ hợp các ktqu mô ả A hìxác sutcủ A à mộtsố,k hiệu P(A),được xác

địn bởicôg hức:

trog đ ΩA và Ω ầượtlà số pầử củậ ΩA và Ω »

(M1 r.8 )

Ngay sau định n hĩa rên,M1 n i hêm:

« Như vậy,việính xc suấtcủ biến cố A được qy v việ đếm số pầử củkhn gia mẫ Ω và số pầử củậ ΩA mô ả A,tức à đếm số ktqả có thể củ pép hử T và số ktquhậợich A »

(M1, r.8 )

Ph hợp vớin ận địn này,G1 n ắ n ở rước:

« … mun cho hc sinhc ốtbiny,giá viên pảiyu cầhc sinh nm chc pầổ hợp »

(G1, r.1 1)

Một điều đáng n i là ro g q y rìn rên k ô g có bước nào n i đến việ p ảikiểm ra ín có c c kếtquả đ ng k ả năn xuấthiện của p ép hử,mặ d ro g địnn hĩa k áiniệm xá suất M1 có n irõ ín chấtnày.Điều đ cò được G1 nhấn mạnvớigiáo viên:

« Trog địn nhĩa cổ điển của xác sut mộtgiả hiếtqarọg à khn giamẫchỉcó hữu hạphn ử và các ktqả củpép hử philà đng khả nn »

(G1,tr.11 )

Tìm kiếm c u rả ờich hiện ượn này,chú g ôich ý đến ý kiến sau:

« Khino hìcó hể giả hiếtcác ktqả à đồg kh năg ? Thng hườn đà khimà a khn có mộtlý d no để xm ktqu ny có kh nn xảy ra niều hơn ktqả kia.Chn hn nư: khigieo co súc sắc chế ạ mộtcách câ đithìcác mặtcó kh năg xuthiện à nư na; khita gieo đniền câ đithìkhnăg ậtmặtsấvà mặtnửa à nư na; khita chn nẫnhiên một

nườitrog mộtnóm nườimộtcách vô ư,khnhiên vịthìkh nng được chn củ mỗinườilà nư nhu; khichia mộtcỗ bitú ơ khơ hìcỗ bipảitráo hậtkhìktqu mớiđng kh năg ».

(G1,tr.11 )

Như vậy,q a vài ví d ,G1 đã nêu ên c ch n ận biết xem một p ép hử có h a mãn điều kiện nêu ron địn ng ĩa cổ điển hay k ô g,n ưng ạik ôn n igìvề việgiáo viên p ảiyêu c u h c sin kiểm ra ín có hữu hạn kết q ả đ n k ả năn x ấthiện của p ép hử k ilàm bài tập cũ g n ư k ô g hề yêu c u giáo viên p ải kiểm ra điều này ro g bài làm của h c sin Điều đó dẫn ch n ôi đến với giả h yết về sự tồ ạiq itắ sau đây của hợp đ n dida tq e:

Sau địn n hĩa cổ điển của xá suất G1 nêu ên ý d c n đưa ra hêm địn n hĩa th n kê của xá suất

« Nếu các giả hiếttrog địn nhĩa cổ điển của xác suấtbịvipạm,ta pảisử dnớiđịnh nhĩa hn k củ xác suất».

(G1,tr.11 )

M1 cũ g sử d n huậtn ữ « địn nhĩa hn k củ xác sut» àm iêu đề chmục b) và p át biểu địn n hĩa này n ư sau (chú g ôi đã ược bớt p ần địn n hĩa k áiniệm ần số và ần suấttro g định n hĩa dướiđây):

(M1, r.8 -8 )

Để giảithích ch c ch rìn bày này,G1 n i

« Vìkhiniệm giớihn được hc sa chương Tổ hợp và xác sutnên rog sách giá khokhnhể pátbiểu chín xác địnnhĩa hnkcác xác sutlà:

″Xác sutcủ biến cố à giớihn củầ sutcủ biến cố đ khisố pép hử N tến ra vô hn″ »

(G1,tr.11 )

Tu n iên, ý d giảithích ch việ đưa vào địn n hĩa h ng kê mà G1 đã nêu ra lạik ô g được nóiđến ro g M1.Điều này,cù g vớivíd được ựa ch n để min h a ch địn n hĩa mà ch n ôisẽ rích dẫn dướiđây (ví d 7,M1,tr.8 ),k ôn ạo điều kiện ch h c sin hấu hiểu sự c n hiết của địn n hĩa h ng kê,hay n ic ch k á à biếtđược ro g p ạm vinào hìđịn n hĩa cổ điển k ô g hợp hức.

Ngay sau địn n hĩa rên,M1nêu ên mốiquan hệ giữa ần suấtvà xá suất

« Như vậy,tầ sutđược xm nư giá rịgầ đn của xác sut Trog kha hc thực nhiệm,nườita hường ấy ầ sutlàm xác sut Vìvậy ầ sutcò được

(M1, r.8 )

Ở đây,k áiniệm ần suấtđược xem à mộtgiá rịgần đ ng của xá suấtvà được chấp n ận ro g hực n hiệm Ch n ôi ch rằng đây à một gạ h n i lên hệ giữa thố g kê và xá suấttro g sá h giáo kh a.

Để min h a ch địn n hĩa h n kê của xá suất sá h giáo k oa đưa ra víd :

Víd 7.Nếu a gieo mộtđn xu câ đithìxác sutxuthiện mặtnửa à 0,5.Buýp-pôg (Bufo),nà on hc nườiPhp hế k XVII,đhínhiệm việgieo đn xu niều ầ và h được ktqả sa:

Số ầ gieo Tần số xuấthiện mặtnửa Tầ sutxuthiện mặtnửa

100 610,516 200 1210,505

(M1 r.8 )

Tro g vídụ rên,kếtq ả « xác sutxuthiện mặtnửa à 0,5 » gắn iền vớiđịnn hĩa cổ điển của xá suất mà h c sinh đã biết rõ qua c c vídụ và c c bàitoán rước đây.Nhữn giá rịch ron cột thứ ba của bảng chín à c c giá rị gần đ n của kếtq ả đ Có hể xem n ư víd 7 đ n vaitrò mộtdẫn chứn hực ế đ sức h yếtp ục rằn khisố ầhử càg ớn hìtầ sutcàg gầ vớigiá rịxác sutđược ínheo địn nhĩa cổ điển, hay n i c ch k á , k i đ hìtần suất là giá rịgần đ n của xá