Tổ chức tốn học gắn liền với nhiệm vụ T8: “Giải phương trình”.

- Nhân mẫu số và tử số cho các biểu thức liên hợp của mẫu hoặc biểu thức nằm dưới mẫu:

h, Tổ chức tốn học gắn liền với nhiệm vụ T8: “Giải phương trình”.

Ví dụ: Bài T.4 trong SBT trang 141. Giải phương trình: (24x)31(12x)12 6

Lời giải: Để phương trình cĩ nghĩa ta phải cĩ:

24 0 24 12 12 0 x x x           

Đặt a(24x)13 0, b(12x)21 0. Ta cĩ hệ phương trình : 3 2 3 2 3 2 6 6 6 36 (6 ) 36 12 0 0, 0 0, 0 0, 0 3 3 a b b a b a a b a a a a a a b a b a b b a                                          Với a=3 thì (24x)13 3 24+x=27  x=3. Kỹ thuật giải 8: - Tìm điều kiện xác định của phương trình

- Đặt ẩn phụđể chuyển phương trình đã cho về một hệ phương trình mới - Giải hệ tìm ẩn phụ

- Thay vào biểu thức vừa đặt để tìm ẩn x.

Cơng nghệ -Lý thuyết 8-8:

- Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ. - Các tính chất của lũy thừa.

Nhận xét: Đây là KNV mà học sinh ít gặp khi làm việc với đối tượng luỹ thừa

Phương trình cần giải chứa căn hoặc lũy thừa với số mũ hữu tỷ. Từ thực tế giảng dạy, chúng tơi nhận thấy đa số học sinh khơng đặt điều kiện cho cơ số của lũy thừa hoặc chỉ đặt điều kiện khi chuyển về dạng phương trình chứa căn. Do đĩ, các em sẽ mắc sai lầm do khơng kiểm sốt được phạm vi hợp thức của đẳng thức

m n m n

a  a là a>0 mà các em chỉ quan tâm đến điều kiện để căn cĩ nghĩa.

Từ quá trình phân tích KNV T4 và T8 chúng tơi dựđốn:

“ Học sinh thường quan niệm amn  n am đúng với mọi a sao cho nam cĩ nghĩa mà khơng quan tâm đến phạm vi hợp thức của lũy thừa

m n

a là a>0”

Bảng 2.1: Thống kê số lượng ví dụ và bài tập liên quan đến khái niệm lũy thừa trong SGK và SBT

Kiểu nhiệm vụ Số lượng

Ví dụ Bài tập Tỉ lệ

T2: Tính giá trị biểu thức 2 3 8,3% T3: Chứng minh đẳng thức 0 4 11,1% T4: Viết biểu thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ 0 4 11,1% T5: Tìm số thực  thỏa điều kiện cho trước 0 2 5.6% T6: Trục căn thức ở mẫu 0 5 13.8% T7: So sánh hai số (SBT) 0 2 5.6% T8: Giải phương trình (SBT) 0 2 5.6% Tổng cộng 2 36 100%

 Kết luận cho sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000.

Qua việc phân tích cho thấy SGK 2000 mở rộng lũy thừa với các số mũ khác nhau theo các giai đoạn sau:

Các tính chất của lũy thừa đều được SGK thừa nhận, khơng chứng minh mặc dù cĩ những chứng minh tương đối đơn giản.

Các tính chất của căn bậc n khơng được SGK đề cập. Sở dĩ như vậy là do SGK thừa nhận tồn bộ tính chất cũa lũy thừa mà khơng chứng minh, do đĩ các bài tập về căn cũng rất hạn chế.

Mở rộng khái niệm lũy thừa luơn được đưa vào sau chương “Giới hạn” bởi vì mở rộng khái niệm lũy thừa dùng đến kiến thức liên quan là giới hạn đểđịnh nghĩa lũy thừa với số mũ vơ tỉ.

Khái niệm lũy thừa được mở rộng cĩ một vai trị rất lớn trong chương này là dùng nĩ đểđịnh nghĩa hàm số mũ, hàm số lũy thừa. Nĩi khác đi, lũy thừa với số mũ thực là cơ sởđểđịnh nghĩa hàm số mũ, hàm số lũy thừa. Sau đĩ hàm lơgarit lại được định nghĩa thơng qua hàm số mũ. Các định lí về lơgarit cũng được chứng minh dựa trên các tính chất của lũy thừa.

Do học sinh chưa học đạo hàm tại thời điểm này nên người ta dùng tính chất của lũy thừa để nghiên cứu tính chất của hàm số mũ, hàm số lũy thừa. Từ tính chất của hàm số mũ suy ra tính chất của hàm số lơgarit vì hàm số lơgarit là hàm số ngược của hàm số mũ.

Cĩ 8 kiểu nhiệm vụ được đưa ra liên quan đến lũy thừa nhưng số lượng bài tập trong SGK quá ít. Đặc biệt kiểu nhiệm vụ “Chứng minh đẳng thức” hay “Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức” chỉ xuất hiện ở phần ơn tập chương, cịn kiểu nhiệm vụ “so sánh các số” hay “giải phương trình chứa lũy thừa” hồn tồn vắng mặt trong SGK, nĩ chỉ xuất hiện trong SBT. Kiểu

Lũy thừa với số mũ nguyên dương Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ0 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Lũy thừa với số mũ vơ tỉ

nhiệm vụ phổ biến nhất liên quan đến lũy thừa trong [C] là đơn giản biểu thức và tính giá trị biểu thức. Trong quá trình trình bày lý thuyết SGK cĩ rất ít ví dụ minh hoạ, cụ thể qua bảng thống kê ta thấy chỉ cĩ 2 ví dụ liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2. Trong 8 kiểu nhiệm vụ mà SGK đưa ra chủ yếu là các bài tốn tính tốn, các kiểu nhiệm vụ liên quan đến bản chất của lũy thừa với số mũ vơ tỷ hồn tồn vắng mặt.

Cĩ một sự khác biệt giữa tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở bậc đại học và THPT. Nếu nhưở bậc đại học, người ta mở rộng khái niệm lũy thừa trên cơ số e rồi mới đến trên cơ số a, mà cơ sởđể mở rộng là định nghĩa và tính chất của hàm mũ thì ở THPT lại đi theo tiến trình ngược lại: mở rộng khái niệm lũy thừa trên cơ số a, và cơ số e là một trường hợp đặc biệt của cơ số a, kiến thức dùng trực tiếp để xây dựng lại là căn bậc n và giới hạn. Đến lượt nĩ lại là cơ sởđể xây dựng hàm số mũ.

Theo tơi, cĩ sự khác biệt như trên là vì khi mở rộng khái niệm lũy thừa học sinh chưa được học đạo hàm và nguyên hàm, mà nếu xây dựng nhưở bậc đại học thì phải dùng đến những kiến thức của đạo hàm và nguyên hàm.

Bảng 2.2: So sánh các khái niệm cần định nghĩa giữa bậc đại học và phổ thơng

Cấp độ Khái niệm cần định nghĩa Cơ sở để định nghĩa

Đại học Hàm mũ Hàm lơgarit Lũy thừa ĐN và TC của hàm mũ Hàm lũy thừa Hàm mũ e Phổ thơng Lũy thừa Căn bậc n và giới hạn dãy Hàm mũ Lũy thừa Hàm lũy thừa Lũy thừa

2.3.2. Sách giáo khoa giải tích 12(Nâng cao) [M]

2.3.2.1. Khái niệm lũy thừa trong giải tích 12 [M].

Trong chương trình phân ban 2005 khái niệm lũy thừa được đưa vào chương trình 12 sau chương “Ứng dụng đạo hàm” bởi vì theo TLHD thực hiện chương trình 12 thì “khơng cịn thời gian

để học trước chương đạo hàm”. Ngồi ra theo SGV thì “Việc đưa nội dung này vào chương trình giải tích 12 và đặt ngay sau chương I về khảo sát hàm số ngụ ý rằng cĩ sử dụng đạo hàm trong việc khảo sát các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit”. [trang 4]

Ở đây, việc mở rộng khái niệm lũy thừa được thực hiện qua các giai đoạn hồn tồn giống trong sách CLHN năm 2000. Do đĩ, chúng tơi chỉ đưa ra những điểm khác nhau của hai bộ sách này.

Điểm khác biệt đầu tiên so với bộ sách trước là các tính chất của căn bậc n được liệt kê đầy đủ. Thơng qua các hoạt động và các ví dụ minh hoạ, SGK nâng cao cĩ chứng minh một vài tính chất của lũy thừa. Điều này hồn tồn phù hợp với tiêu chí giảm tải đã đề ra là : “giảm tính hàn lâm và khơng yêu cầu quá chặt chẽ về lý thuyết. Tuy nhiên phải đảm bảo tính chính xác, khoa học. Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy tốn gắn liền với thực tiễn” (SGV lớp 12 nâng cao).

Ví dụ: Chứng minh tính chất n n n a a b b        .(1) Với n 0, cơng thức (1) hiển nhiên đúng. Với n<0, ta cĩ –n là số nguyên dương. Do đĩ 1 1 n n n n n n n n a b a b a a a b b b                     

Nếu như SGK chỉnh lý hợp hợp nhất trình bày khái niệm hàm số lơgarit là hàm số ngược của hàm số mũ và lơgarit được định nghĩa thơng qua hàm số lơgarit thì SGK [M] lại trình bày khái niệm lơgarit trước, sau đĩ hàm số mũ và hàm số lơgarit được định nghĩa song song, khơng sử dụng khái niệm hàm số ngược, nĩ chỉ liên hệ với nhau thơng qua khái niệm lũy thừa và lơgarit.

Định nghĩa lơgarit được trình bày trong trang 83 như sau:

“Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực  để a b được gọi là lơgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab, tức là  logaba b”.

Ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ thực được dùng để định nghĩa lơgarit. Qua đĩ thấy được các phép tốn nâng lên lũy thừa và lấy lơgarit theo cùng một cơ số là hai phép tốn ngược của nhau.

Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực được dùng để chứng minh tìm ra các quy tắc tính logarit, cũng như quy tắc so sánh hai lơgarit cùng cơ số. Hay tính chất của lũy thừa là cơng nghệ giải thích cho các quy tắc tính lơgarit.

Ví dụ: “Khi a>1, theo quy tắc so sánh hai lũy thừa ta cĩ: log log logab logac

ab aca a  b c

Vậy khi a>1 thì logablogac b c

Tương tự khi 0<a<1 thì logablogac b c” [tr 84].

Định nghĩa hàm số mũ ở SGK này khơng khác gì so với định nghĩa trong [C]. Tức là định nghĩa đã sử dụng khái niệm lũy thừa với số mũ thực ax. Tuy nhiên, các tính chất của hàm mũ, cũng như việc khảo sát hàm số mũ lại dựa trên đạo hàm.

Vai trị của việc mở rộng khái niệm lũy thừa ở đây cũng tương tự như trong [C]. Nghĩa là việc mở rộng khái niệm lũy thừa là cơ sở cho việc định nghĩa hàm số mũ. Ngồi ra, một điểm mới trong [M] là khái niệm lũy thừa cịn là cơ sởđể định nghĩa lơgarit. Sau đĩ lơgarit là cơ sở để định nghĩa cho hàm lơgarit.

Nếu nhưở SGK [C] hàm số lũy thừa được định nghĩa ngay sau khi học “mở rộng khái niệm lũy thừa” thì ở SGK [M] nĩ được đưa vào sau bài “hàm số mũ và hàm số lơgarit” . Theo lý giải của SGV thì “sở dĩ cĩ sự khác biệt đĩ là do phép chứng minh cơng thức đạo hàm của hàm lũy thừa cĩ sử dụng đạo hàm của hàm mũ và hàm lơgarit” .

Khái niệm lũy thừa với số mũ thực là cơ sởđểđịnh nghĩa hàm số lũy thừa. Tập xác định của hàm số lũy thừa hồn tồn phụ thuộc vào số mũ, và muốn tìm tập xác định của hàm số lũy thừa ta phải dùng các định nghĩa lũy thừa. Do tại thời điểm này học sinh đã được học đạo hàm nên tính chất của hàm số lũy thừa được khảo sát dựa trên đạo hàm.

Trong SGK 12 nâng cao người ta cĩ đưa thêm vào những vấn đề mang tính thực tiễn cĩ sử dụng đến cơng thức lũy thừa. Ví dụ như cơng thức lãi kép (định kì rời rạc) C A  1r Nđược sử dụng rộng rãi khơng những trong lĩnh vực tiền tệ mà cịn được sử dụng trong các lĩnh vực khác của tự nhiên và xã hội. Thực ra cơng thức này đã được đề cập ở lớp 11 trong chương- dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân. Việc giới thiệu lại cơng thức này khơng chỉ vì ý nghĩa thực tiễn của nĩ mà cịn để chuẩn bị giới thiệu cơng thức lãi kép liên tục- một cơng thức mơ tả sự tăng trưởng (hoặc suy giảm) cĩ nhiều ứng dụng.

Nếu như trước đây người ta dùng các tính chất của lũy thừa để nghiên cứu tính chất của hàm số mũ, thơng qua “hàm số ngược” suy ra tính chất của hàm số lơgarit thì trong [M] cĩ một sự khác biệt rõ nét. Do chương “hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit” được đặt ở sau chương đạo hàm nên các tính chất của hàm số này đều dùng đạo hàm để khảo sát hoặc là thừa nhận, mà khơng cịn dùng tính chất của lũy thừa để suy ra như trước đây.

Ví dụ: Theo SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 thì: Với a> 1 thì ax>at khi x>t

Với 0<a<1 thì ax>at khi x<t (theo tính chất so sánh hai lũy thừa)

Nĩi cách khác: hàm số y=axđồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1

Nhưng trong SGK giải tích 12 nâng cao: với y=ax thì y,ax.lnamà khi a>1 thì lna>0 và khi 0<a<1 thì lna<0 nên ta cĩ : hàm số y=axđồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1.

2.3.2.2. Các tổ chức tốn học liên quan khái niệm lũy thừa.