Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY
2.3.1.2. Lũy thừa với số mũ hữu tỷ.
Đểđịnh nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, SGK đưa ra định nghĩa căn bậc n (n nguyên dương) của một số thực a như sau:
“Căn bậc n (n N*) của số thực a là số thực b, nếu cĩ, sao cho bn=a. Như vậy, theo
định nghĩa, căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a” [tr144] Đây là một khái niêm mới vì ở cấp 2 học sinh chỉđược làm quen với căn bậc hai, bậc ba. Từ định nghĩa trên, ta thấy khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên dương là cơ sởđểđịnh nghĩa căn bậc n. Vì căn bậc n của a là nghiệm của phương trình xn=a nên để tìm số nghiệm của phương trình này người ta dùng phương pháp đồ thị, tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y x n với đường thẳng y=a. Kết quả thu được từ quá trình biện luận như sau:
.) . ; ) ( ) ) . ; ) ( ) ) ; ) ( ) . ) . m n m n m n m n m m n n n n n n n n a a a a c a a a b a d ab a b a a a c b b với a, bR, a0; b0, m,n Z
1.“Nếu n lẻ thì mọi số thực a đều cĩ căn bậc n duy nhất, cùng dấu với a, kí hiệu là na.
2. Nếu n chẵn thì số âm khơng cĩ căn bậc n; số 0 cĩ căn bậc n bằng 0; số dương cĩ hai căn bậc n đối nhau. Người ta quy ước viết căn dương bậc n (n chẵn) của số dương a là na, căn âm là -
na.”[SGV, tr77-78]
Việc dẫn dắt đểđi đến kết luận trên được SGK trình bày khá chi tiết, tuy nhiên các tính chất của căn bậc n khơng được đề cập đến trong [C].
Cĩ sự khác biệt giữa định nghĩa căn bậc n trong SGK và giáo trình đại học [A]. Trong giáo trình [A] căn bậc n được định nghĩa là hàm số ngược của hàm lũy thừa với số mũ nguyên dương, khơng cĩ căn bậc n của số âm. SGK khơng thể xây dựng khái niệm căn bậc n giống giáo trình đại học vì tại thời điểm này khái niệm hàm lũy thừa chưa được đưa vào chương trình.
Từđịnh nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên người ta mở rộng ra định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ: “a là một số thực dương, r là một số hữu tỉ cĩ dạng r m n , trong đĩ m là một số nguyên, n là một số nguyên dương. Ta định nghĩa
Lũy thừa với số mũ hữu tỷđược định nghĩa gián tiếp thơng qua khái niệm căn bậc n của một số dương. Theo định nghĩa trên thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ luơn biểu diễn được qua căn bậc n, tuy nhiên khơng phải lúc nào căn bâc n của một số cũng cĩ thể chuyển về lũy thừa với số mũ hữu tỷ, nĩ chỉ chuyển được khi biểu thức dưới dấu căn là số dương, do khơng chú ý đến điều kiện của cơ số nên học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình chuyển đổi một biểu thức từ căn sang lũy thừa của một số với số mũ hữu tỷ.
Cách định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ trong SGK hồn tồn khác với giáo trình đại học. Ở bậc đại học thì lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương được định nghĩa dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên dương: ( )
p q p q
a a (p, q nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỷ âm được định nghĩa thơng qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ dương: r 1'
r
a a
với r=-r’<0.
Như vậy khơng cĩ khái niệm lũy thừa với số mũ hữu tỷ của một số a 0. Trong giáo trình đại học người ta vẫn đề cập đến lũy thừa với cơ số a<0 trong các trường hợp đặc biệt của số mũ như số mũ là số nguyên chẵn hoặc cĩ dạng phân số tối giản với mẫu là số lẻ và tử là số chẵn.
m n
r n m
Trong định nghĩa này nêu rõ điều kiện của cơ số a>0. Sở dĩ cĩ điều kiện này là vì na, (n chẵn) chỉ cĩ nghĩa khi a≥0 và am (m nguyên) chỉ xác định khi a≠0. Tại sao SGK khơng đưa ra lũy thừa của số a<0 với số mũ hữu tỷ ?
Theo tài liệu hướng dẫn giảng dạy lớp 11 thì:
“Nếu a<0, và số mũ là phân số tối giản dạng 2 1 m n (mẫu số lẻ) thì ta cĩ thể đặt 2 1 2nm1 n m a a (a<0) (2n+1,m)=1” [tr78].
Tuy nhiên với định nghĩa đưa ra trong SGK thì ta khơng cĩ amn akmkn, nếu k chẵn. Chẳng hạn, 1
33 3
( 8) 8 2 nhưng ( 8) 26 6( 8) 2 2.
“Vì lý do đĩ, trong định nghĩa của amn với n1 bao giờ người ta cũng giả thiết a>0. Vậy khi xét lũy thừa với số mũ khơng nguyên bao giờ ta cũng phải giả thiết cơ số là dương” (tài liệu HDGD tốn 11) [tr79].
Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷđược thừa nhận là giống tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, nhưng khơng được liệt kê thành bảng cơng thức và khơng được chứng minh. Điều này được tài liệu HDGD tốn 11 lý giải như sau: “Căn cứ vào định nghĩa, cĩ thể chứng minh rằng lũy thừa với số mũ hữu tỷ cĩ các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên. Song phép chứng minh cũng phức tạp. Vì vậy SGK đã thừa nhận, khơng chứng minh các tính chất ấy”.
Việc SGK khơng liệt kê các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỷ cũng gây cho học sinh những khĩ khăn nhất định khi giải tốn. Bởi vì chỉ cĩ định nghĩa thơi thì chưa đủ để nhấn mạnh cho học sinh biết sự khác biệt rất lớn về cơ số trong lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỷ.
Theo tơi, để chứng minh các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ thì ta phải dùng các tính chất của căn bậc n, nhưng trong giáo trình này khơng trình bày tường minh các tính chất của căn bâc n nên ởđây ta chỉ thừa nhận các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ.
