kỹ thuật lũy thừa trong dạy học toán ở trường phổ thông

KHÁI NIỆM LŨY THỪA TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Nguyễn Thị Tố Như DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Trung học sở THPT Trung học phổ thơng SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách tập CLHN Chỉnh lý hợp TCTH Tổ chức tốn học QTHĐ Quy tắc hợp đồng BKHTN Ban khoa học tự nhiên KNV Kiểu nhiệm vụ TLHDGD Tài liệu hướng dẫn giảng dạy ĐKXĐ Điều kiện xác định [A] Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thơng dụng, Guy Lefort [B] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet [C] Đại số giải tích 11, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, 2000, NXBGD [M] Giải Tích 12 nâng cao, BKHTN, Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, 2008, NXBGD VIE TM ATH S.N ET THCS MỞ ĐẦU I Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Lũy thừa đối tượng tốn học đưa vào từ đầu cấp hai kết thúc cuối cấp 3, số lượng nội dung có vai trò lớn chương trình tốn Chúng tơi đặc biệt quan tâm đến lũy thừa lý sau đây: - Qua lần cải cách giáo dục mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào đầu ET chương: hàm số mũ-hàm số lơgarit, sau học giới hạn Điều dẫn chúng tơi đến câu hỏi: Có hay khơng phụ thuộc lũy thừa vào giới hạn? Lũy thừa có vai trò việc nghiên cứu hàm mũ hàm lơgarit? ATH S.N - Ở chương trình chỉnh lý hợp năm 2000 mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào sau chương giới hạn trước chương đạo hàm, sang chương trình cải cách năm 2005 đưa vào chương trình lớp 12 sau học xong chương “đạo hàm ứng dụng đạo hàm” Sự thay đổi có ý nghĩa nào? Tại lại có thay đổi đó? Tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa qua hai SGK có thay đổi hay khơng? Khi học khái niệm lũy thừa học sinh gặp phải khó khăn gì? - Sau tham khảo luận văn tác giả Nguyễn Hữu Lợi Phạm Trần Hồng Hùng, tơi thấy khái niệm lũy thừa, hàm mũ hàm lơgarit có mối quan hệ mật thiết với Đồng thời, mở TM rộng khái niệm lũy thừa đưa vào sau khái niệm hàm mũ hàm lơgarit Từ đó, chúng tơi đặt câu hỏi: SGK hành lại chọn tiến trình ngược lại? Ý nghĩa tiến trình gì? - Có tương đồng khác biệt xuất vai trò lũy thừa chương trình đại học chương trình phổ thơng ? VIE Mục đích nghiên cứu khung lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm câu trả lời cho số câu hỏi đặt Để tìm kiếm câu trả lời, chúng tơi đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết didactic tốn Cụ thể: - Lý thuyết nhân chủng học: Quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức tốn học, tổ chức tốn học, chuyển đổi didactic - Hệ sai lầm khái niệm chương ngại - Lý thuyết tình huống: Hợp đồng didactic, biến didactic…  Lý thuyết nhân chủng học Ở đây, chúng tơi mơ tả ngắn gọn hai khái niệm cần tham chiếu lý thuyết nhân chủng học để tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt  Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân tri thức Quan hệ thể chế: Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nó cho biết O xuất đâu, nào, tồn sao, có vai trò … I ? Quan hệ cá nhân: Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà cá nhân X có ET với tri thức O Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu O, thao tác O ? Việc học tập cá nhân X tri thức O q trình thiết lập hay điều chỉnh mối ATH S.N quan hệ (X,O) Hiển nhiên, tri thức O, quan hệ thể chế I mà cá nhân X thành phần, ln ln để lại dấu ấn quan hệ R(X,O) Muốn nghiên cứu R(X,O), ta cần đặt R(I,O)  Tổ chức tốn học Hoạt động tốn học phận hoạt động xã hội; thực tế tốn học kiểu thực tế xã hội nên cần xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Chính quan điểm mà Yves Chevallard (1998) đưa khái niệm praxéologie Theo Chevallard, praxéologie gồm thành phần [T,,,], T thuyết giải thích cho cơng nghệ  TM kiểu nhiệm vụ,  kỹ thuật cho phép giải T;  cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật ;  lý Một praxéologie mà thành phần mang chất tốn học gọi TCTH VIE Bosch M Y Chevallard (1999) nói rõ: “Mối quan hệ thể chế với đối tượng, vị trí thể chế xác định, định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân chiếm vị trí phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn đến làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói trên” Do đó, việc phân tích TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta vạch rõ mối quan hệ R(I,O) thể chế I tri thức O, từ hiểu quan hệ cá nhân X (chiếm vị trí I – giáo viên hay học sinh chẳng hạn) trì tri thức O Việc rõ TCTH liên quan đến tri thức O giúp ta xác định số quy tắc hợp đồng didactic: cá nhân có quyền làm gì, khơng có quyền làm gì, sử dụng tri thức O chẳng hạn  Chuyển đổi didactic Q trình chuyển đổi thể mắc xích sau:  Mắt xích thứ :  đối tượng tri thức (thể chế tạo tri thức) Sự tồn “tri thức khoa học” đòi hỏi soạn thảo Ta xem kết hoạt động khoa học Đây hoạt động người, gắn liền với lịch sử cá nhân nhà ET nghiên cứu Nhà nghiên cứu đặt vấn đề Để giải nó, ơng ta phải khám phá kiến thức, mà số kiến thức nhà nghiên cứu nhận thấy đủ mới, đủ hay, ATH S.N thơng báo cho cộng đồng khoa học Để thơng báo, nhà nghiên cứu tạo cho kiến thức dạng khái qt được, theo quy tắc suy lý logic lưu hành cộng đồng khoa học Sự biến đổi kiến thức phần quan trọng hoạt động tốn học «Một nhà nghiên cứu, để thơng báo cho nhà nghiên cứu khác mà ơng ta nghĩ tìm thấy, phải biến đổi : - trước hết nhà nghiên cứu xóa thời kỳ khai thủy nghiên cứu : suy nghĩ vơ ích, sai lầm, đường vòng lắt léo, dài, chí dẫn đến ngõ cụt Nhà nghiên cứu bỏ tất liên quan đến động cá nhân hay tảng hệ tư tưởng khoa học theo nhận TM thức Chúng tơi dùng từ phi cá nhân hóa để tập hợp gạt bỏ - nhà nghiên cứu xóa lịch sử trước dẫn đến nghiên cứu (những mò mẫm, đường sai lầm), có tách khỏi tốn đặc biệt mà lúc đầu muốn nghiên cứu tìm bối cảnh tổng qt cho kết Chúng tơi gọi VIE việc làm phi hồn cảnh hóa.» (Arsac 1989)  Mắt xích thứ hai : đối tượng tri thức  đối tượng cần giảng dạy (thể chế chuyển đổi) Để cho tri thức đưa dạy trường được, tức trở thành đối tượng cần giảng dạy, điều cần thiết tri thức phải chịu số ràng buộc Sau danh sách mà Chevallard đưa (1985, theo Verret 1975) : - Tính đơn tri thức [nghĩa khả vạch ranh giới tri thức phận trình bày diễn văn tự do] - tính phi cá nhân hóa tri thức [nghĩa tách rời tri thức khỏi cá nhân] - chương trình hóa việc tiếp thu tri thức [nghĩa lập chương trình cho việc dạy kiểm tra tri trức] - tính cơng khai tri thức [nghĩa định nghĩa tường minh nội hàm ngoại diên]  Mắt xích thứ ba : đối tượng cần giảng dạy  đối tượng giảng dạy (thể chế dạy học) Chính bước mà giáo viên can thiệp : chuyển đổi didactic tiếp tục hệ thống dạy học  Hệ sai lầm khái niệm chương ngại Theo Brousseau, có sai lầm học sinh mang tính hời hợt, riêng ET biệt, có sai lầm khác khiến phải quan tâm, sai lầm khơng phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải Sai lầm khơng đơn giản thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra, mà hậu ATH S.N kiến thức trước tỏ có ích, đem lại thành cơng, lại tỏ sai đơn giản khơng thích hợp Những sai lầm dạng khơng phải thất thường hay khơng dự đốn hoạt động học sinh, sai lầm góp phần xây dựng nên nghĩa kiến thức thu nhận Thêm vào đó, sai lầm ấy, chủ thể, thường liên hệ với nguồn gốc chung: cách nhận thức, quan niệm đặc trưng qnnếu khơng nói đắn, “kiến thức” cũ đem lại thành cơng lĩnh vực hoạt động Đặc trưng chướng ngại gì? TM  Chướng ngại kiến thực, quan niệm khơng phải khó khăn hay thiếu kiến thức  Kiến thức tạo câu trả lời phù hợp bối cảnh mà ta thường hay gặp VIE  Nhưng vượt khỏi bối cảnh sản sinh câu trả lời sai Để có câu trả lời cho bối cảnh cần phải có thay đổi đáng kể quan điểm  Hơn kiến thức chống lại mâu thuẫn với chống lại thiết lập kiến thức hồn thiện Việc có kiến thức khác hồn thiện chưa đủ để kiến thức sai biến mất, mà thiết phải xác định đưa việc loại bỏ vào tri thức  Ngay chủ thể ý thức khơng xác kiến thức chướng ngại này, tiếp tục xuất dai dẳng khơng lúc  Lý thuyết tình Trong phần này, chúng tơi đề cập đến khái niệm cần tham chiếu hợp đồng didactic Hợp đồng didactic Hợp đồng didactic liên quan đến đối tượng tri thức mơ hình hóa quyền lợi nghĩa vụ giáo viên học sinh đối tượng Nó tập hợp quy tắc (thường khơng phát biểu tường minh) phân chia giới hạn trách nhiệm thành viên, học sinh giáo viên, tri thức tốn học giảng dạy Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta giải thích ứng xử giáo viên học sinh, tìm ý nghĩa hoạt động mà họ tiến hành, từ giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát lớp học didactic, người ta tiến hành sau: ET Theo Annie BESSOT Claude COMITI (2000), để thấy hiệu ứng hợp đồng  Tạo biến loạn hệ thống giảng dạy cho đặt thành viên (giáo ATH S.N viên học sinh) tình khác lạ, gọi tình phá vỡ hợp đồng cách: + Thay đổi điều kiện sử dụng tri thức; + Lợi dụng việc học sinh chưa biết vận dụng số tri thức đó; + Tự đặt ngồi lĩnh vực tri thức xét sử dụng tình mà tri thức xét khơng giải được; + Làm cho giáo viên đối mặt với ứng xử khơng phù hợp với điều mà họ mong đợi học sinh TM  Phân tích thành phần hệ thống giảng dạy tồn tại, cách: + Nghiên cứu câu trả lời học sinh học; + Phân tích đánh giá tốn học học sinh việc sử dụng tri thức; VIE + Phân tích tập giải ưu tiên sách giáo khoa Đặc biệt, ta nhận số yếu tố hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức cách nghiên cứu tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, việc sử dụng tri thức khơng quy định văn hay định nghĩa tri thức mà phụ thuộc vào tình vận dụng tri thức, vào ước định hình thành (trên sở mục tiêu didactic) q trình giảng dạy Những tiêu chí xác định tính hợp thức tri thức tình khơng phụ thuộc vào thân tri thức mà phụ thuộc vào ràng buộc hệ thống didactic Bất kỳ việc dạy đối tượng tri thức tạo phá vỡ hợp đồng so với đối tượng tri thức cũ đòi hỏi thương lượng lại hợp đồng mới: học tập q trình học sinh làm quen với giá trị phá vỡ thơng qua thương lượng với giáo viên Theo Brousseau, thương lượng tạo loại trò chơi có luật chơi ổn định tạm thời, cho phép thành viên chính, học sinh đưa định chừng mực an tồn đó, cần thiết để bảo đảm cho họ độc lập đặc trưng q trình lĩnh hội Việc nghiên cứu quy tắc hợp đồng didactic cần thiết để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến q khứ mà hợp đồng hành dạng thể thực tế Hợp đồng mà giáo viên tác động tiến triển khơng liên tục, mà tạo thành từ chuỗi biến cố nhỏ nối tiếp nhau, tương ứng với phá vỡ hợp đồng Phá vỡ hợp đồng ngun tắc chủ ET đạo để có tiến triển mong đợi Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu, chúng tơi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu sau: ATH S.N Trong thể chế dạy học tốn bậc đại học, khái niệm lũy thừa xuất theo tiến trình nào? Nó có vai trò kiến thức tốn học khác? Ý nghĩa tiến trình đó? Trong thể chế dạy học phổ thơng Việt Nam, khái niệm lũy thừa đưa vào nào? Nó có vai trò việc xây dựng khái niệm hàm số mũ hàm số lơgarit? Các TCTH xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa? Có thay đổi TCTH xây dựng xung quanh khái niệm lũy thừa qua thời kỳ? Có khác biệt tương đồng mối quan hệ thể chế với mở rộng khái niệm lũy thừa bậc đại học bậc trung học phổ thơng? Tìm hiểu thay đổi vị trí lũy thừa hai SGK, lí ý nghĩa lũy thừa? TM thay đổi đó? Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải học làm việc với Những quy tắc hợp đồng hình thành giáo viên học sinh dạy học VIE khái niệm lũy thừa? Mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa có ảnh hưởng lên mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh với lũy thừa? Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề ra, chúng tơi dùng phương pháp nghiên cứu sau: - Phân tích số giáo trình đại học để tìm hiểu cách xây dựng, đường mở rộng khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học, ý nghĩa tiến trình đó, vai trò - Phân tích thể chế dạy học khái niệm lũy thừa bậc trung học phổ thơng, so sánh khác biệt thể chế đại học thể chế trung học phổ thơng đường mở rộng lũy thừa, qua tìm hiểu thay đổi vai trò lũy thừa hai lần cải cách SGK gần - Từ kết đạt cho phép chúng tơi đề xuất câu hỏi giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng kiểm chứng thực nghiệm Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần sau:  Phần mở đầu: Trình bày ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu  Chương I: Khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học Phân tích khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học Cụ thể phân tích khái niệm lũy thừa số giáo trình đại học để tìm hiểu tiến trình xuất nó, đặc trưng tiến trình ET này? Vai trò lũy thừa khái niệm hàm mũ hàm lơgarit  Chương II: Khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức cần giảng dạy Phân tích khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức cần giảng dạy Cụ thể, phân tích chương trình, ATH S.N SGK lớp 6, hai SGK Đại số giải tích 11 (CLHN năm 2000) SGK Giải tích 12 nâng cao (2005) để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm lũy thừa So sánh vai trò lũy thừa hai sách So sánh việc xây dựng khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy Thơng qua việc phân tích chương trình TCTH, chúng tơi rút QTHĐ liên quan đến việc dạy học khái niệm lũy thừa, sai lầm mà học sinh gặp phải học lũy thừa  Chương III: Thực nghiệm Chúng tơi thực nghiệm học sinh giáo viên nhằm tìm hiểu ảnh hưởng mối quan hệ TM thể chế lên mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh, tìm hiểu mối quan hệ cá nhân họ đối tượng tri thức lũy thừa - Phần kết luận: Trình bày tóm tắt kết đạt đươc ba chương mở hướng - Tài liệu tham khảo VIE nghiên cứu từ luận văn có Chương 1: KHÁI NIỆM LUỸ THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Trong chương chúng tơi tìm hiểu tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa cấp độ tri thức khoa học thơng qua việc phân tích giáo trình: Tốn cao cấp, Tập 2: Phép tính vi phân – hàm thơng dụng, Guy Lefort, Viện đại học ET Sài Gòn, 1975.[A] Les Logarithmes et leurs applications, André Delachet, Presses Universitaire de France, 1960.[B] ATH S.N Việc phân tích giúp cho chúng tơi có sở để so sánh với tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa SGK phổ thơng, thấy ý nghĩa tiến trình, vai trò lũy thừa việc xây dựng khái niệm khác có thay đổi 1.1 Khái niệm lũy thừa giáo trình [A] Khái niệm lũy thừa với số mũ thực đề cập chương với nhan đề “CÁC HÀM LƠGARIT, HÀM MŨ VÀ LŨY THỪA”, thứ tự mục chương sau: I Hàm lơgarit II Hàm mũ TM III Hàm lũy thừa Theo giáo trình khái niệm lũy thừa với số mũ thực khơng đưa vào cách tường minh mà xuất ngầm ẩn thơng qua định nghĩa hàm mũ tính chất hàm Hàm lơgarit Hàm mũ e VIE mũ Khái niệm lũy thừa đưa vào giáo trình [A] theo tiến trình sau: Lũy thừa số e Hàm mũ số a Lũy thừa số a Hàm lũy thừa Căn bậc n 1.1.1 Giai đoạn xuất ngầm ẩn khái niệm lũy thừa với số mũ thực số e qua định nghĩa tính chất hàm mũ e Do khái niệm lũy thừa với số mũ thực đưa vào ngầm ẩn định nghĩa hàm mũ e nên để hiểu rõ vấn đề ta xem xét định nghĩa hàm mũ e: “Ta biết (mệnh đề 2) t số thực cho trước, phương trình: logx=t + Kết sau rút gọn A= a : khơng lũy thừa a với số mũ hữu tỷ nên học sinh a 1 khó phát giá trị a=-2 khơng thuộc miền xác định biểu thức Vì vậy, chiến lược S15 khơng có hội xuất + Nếu cho biểu thức cần tính chứa số học sinh nhận biểu thức khơng tồn với số lũy thừa âm cách dùng định nghĩa lũy thừa bấm máy tính Do đó, chúng tơi lựa chọn biểu thức cần tính chứa biến tạo hội cho chiến lược S14 xảy ra, hạn chế khả xảy chiến lược S15 Bài ET Dạng tập đưa “giải phương trình” Đây dạng tốn vừa quen mà vừa lạ học sinh Nó quen tốn “giải phương trình” hoc sinh biết qua hầu hết cấp học Nó ATH S.N lạ kiểu tốn học sinh gặp làm việc với đối tượng lũy thừa Để giải phương trình này, đòi hỏi học sinh phải biết đặt điều kiện cho số lũy thừa vào số mũ Đề đưa khơng đặt nặng thao tác giải phương trình, mà u cầu học sinh nhận định điều kiện xác định lũy thừa p p Chúng tơi lựa chọn phương trình có chứa biểu thức dạng: (a m ) m (a m )m , nhằm tìm hiểu ứng xử học sinh áp dạng tính chất: lũy thừa lũy thừa có tính đến điều kiện xác định lũy thừa hay khơng Ở câu a, dấu số phụ thuộc vào biến x, câu b chúng tơi cho lũy nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ Bài TM thừa mà số ln âm với mục đích tạo hội cho em nhớ lại điều kiện số định Bài chúng tơi muốn tìm hiểu mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm lũy thừa có VIE mở rộng số mũ Như phân tích chương 2, hệ thống tập mà SGK đưa cho sẵn điều kiện số khơng đề cập đến điều kiện số đề lời giải mong đợi Do đó, thay đổi điều kiện số có mở rộng số mũ khơng học sinh tính đến Bài cho phép chúng tơi tìm hiểu vấn đề vừa nêu Liệu với cách đưa u cầu cách trực tiếp đề học sinh có tìm điều kiện xác định lũy thừa hay khơng? Câu trả lời học sinh cho biết điều Biểu thức hàm số mà chúng tơi đưa chứa lũy thừa với số mũ khơng phải số tự nhiên nhằm tìm hiểu khả nhận biết học sinh thay đổi điều kiện số số mũ thay đổi tập hợp số Bài Kiểu nhiệm vụ “Viết biểu thức dạng lũy thừa số với số mũ hữu tỷ” chiếm vị trí lớn phần tập SGK Chúng tơi lựa chọn bậc lẻ để biểu thức đưa ln tồn Khi đưa tập thuộc kiểu nhiệm vụ này, SGK ln cho sẵn điều kiện biến nằm dấu dương ln cho số dương Vì vậy, chúng tơi lựa chọn số nằm dấu số âm (-3) Sự ngắt qng hợp đồng didactic cho phép nhận xét ảnh hưởng ứng xử học sinh 3.7.5 Phân tích chi tiết tốn Bài 1: Câu trả lời nhận theo chiến lược sau: Bài 1: 32.37   3.3  3.3.3.3.3.3.3  39   Vậy B 32.37  32  39  ATH S.N a) ET S11: Chiến lược “dùng quy tắc tính định nghĩa lũy thừa” 32.37  3.2.3.7  126  Mà 914=9.14=126 nên D 2.7 14  3  (3.3)   32.37  32.7  314 Vậy A  7.7.7.7.7.7  7.7.7  73  b) 7.7.7  Vậy D 6 3  :7    76 : 73  3 TM  7 76 : 73     7  13 Vậy A 76 : 73  73  79 Vậy C VIE 76 : 73  73.6  718 Vậy B 76 : 73  76:3  72 Vậy E Bài 2: * 34  3.3.3.3  81 34  3.4  12 34  4.4.4  64 * 32.23  3.2.2.3  36 32.23  3.3.2.2.2  72  (3.2)   6.6  36  (3.2)  6 * (23 )2  25  32 (23 )2  82  64 (23 )2  2.3.2  12 63 *  23  63 6.3  2 33 3.3 * 1  1 28     28   42  16 7 7  2 1 28    28.2 .2  16 7 63      1 33   1  1 28     28  7  7  22  1   28  7  2.2  44  256 Bài 3: 22.23  26 Từ đó, kết luận a ATH S.N      8 b        Từ đó, kết luận b sai        ET a 22.23  25 Từ đó, kết luận a sai   2   6    Từ đó, kết luận b         c) 45       22 Từ đó, kết luận c 2 TM  45 210   27   2  Từ đó, kết luận c sai 4.5 10    23 2.3  d )  0.5 : 0.5   0.5 Từ kết luận d 5 : 0.5   0.5 Từ kết luận d sai VIE  0.5 S12: Chiến lược “dùng máy tính” Bài 1: Nhập vào MTBT tích: 32.37 76 : 73 Sau đó, dùng MTBT kiểm tra đáp án cho bên Từ đó, chọn đáp án giống kết Bài 2: Nhập lũy thừa cần tính vào MTBT ghi lại kết thu Bài 3: Dùng MTBT tính lũy thừa vế trái đẳng thức so sánh kết với vế phải để đưa nhận xét Bài Câu trả lời nhận theo chiến lược sau S13: chiến lược “ thay giá trị tính” Với a= -2 ta có: 1 1 4 (2) (2)  (2)  (2) (2)  (2)     A 2  1 (2)2   3 3.(2)  (2)  (2)  (2).(2)  (2)   3 3 4 (2)  (2)  2   3 3 3 a a  a  a a (a  1)  a  a  a   a 1 a2  a2  1 a  a3  a3  a  a a   2 a 1 a 1 Với a=-2 A  2 S15: Chiến lược “Miền xác định” ATH S.N A ET S14: Chiến lược “ Rút gọn tính” Với số a0x>-1 Vậy TXĐ: D   1;   1 Bài 7: 3 3 ; ) VIE Vậy TXĐ: D  ( TM c Hàm số y   x  3 xác định x    x  Câu trả lời nhận theo chiến lược sau: S16: Chiến lược “Bỏ qua điều kiện xác định lũy thừa” 1 43 3 3 3  (3) (3)15 (3)105  (3)105 S17: Chiến lược “Tính đến điều kiện xác định lũy thừa” Vì -340%) Điều hồn tồn với dự đốn ban đầu chúng tơi Bài 2: u cầu tính Kết an  a  n am bn  (a.b)mn ET Bảng 3.3: Thống kê lời giải học sinh lớp am bn  (a.b)m.n Tần số 32.23 (22 )3 1 28   7 2 81 3.4=12 55.17% 29.31% 72 (3.2).(2.3)=36 (3.2)5=65 39.65% 25.86% 64 (2.2)3=4.3=12 58.62% 8.62% 16 1 28    7 28.2  14 36.20% (21) 31.03% 63 33 32.76% 12.06% 2 1 28     7 n  amn am  a    bn b m n Trả lời khác Khơng trả lời 4.4.4=64 15.51% (3.2)2.3=66 32.23  55 13.79% 8.62% 25=32 (23)2 =26=12 25.86% 5.17% 2 1 28    7  28.2 14 1 28     7 2 VIE TM 34 m ATH S.N a   1  28      1  28     8.62% 12.06% 12.06% 63 6.3  2 33 3.3 63     33   17.24% 46.55% 33  20  63  20  33 3.45% Thơng qua tốn 2, ta tìm thấy nhiều sai lầm từ làm học sinh Bài 3: Trong số 58 học sinh tham gia làm thực nghiệm: + Có 10/58 (chiếm 17.24%) học sinh khơng nhận câu a sai + Có 24/58 (chiếm 41.38%) học sinh khơng nhận câu b sai + Có 53/58 (chiếm 91.38%) hoc sinh khơng nhận câu c sai + Có 47/58 (chiếm 81.03%) học sinh nhận biết d đáp án Nhận xét: ET Từ kết thống kê ba tốn 1, 2, 3, ta thấy đa số học sinh gặp sai lầm vận hành quy tắc tính lũy thừa vượt q phạm vi hợp thức có “pha trộn” cơng thức q trình tính tốn ATH S.N Kết thực nghiệm cho thấy học sinh lớp gặp nhiều khó khăn làm việc đối tượng lũy thừa Qua làm học sinh, ta thấy có đến học sinh cho (0.5)5: (0.5)=(0.5)5 0.5=(0.5)0 Tuy nhiên, lấy tập thực nghiệm học sinh lớp 12 sai lầm mà học sinh lớp gặp phải xuất học sinh lớp 12 Theo tơi, học sinh mười hai có lượng kiến thức tốn học tương đối nhiều, nên tốn tỏ đơn giản so với trình độ học sinh 12 Bài 4: TM Số liệu thu nhận kiểm chứng tính hợp thức giả thuyết H2 Bảng 3.4: Bảng thống kê lời giải học sinh Chiến lược 30 Tổng S14(Rút gọn tính) S15(Miền xác định) trống số 70 15 14 129 VIE S13(Thay giá trị tính) Bỏ Qua kết thực nghiệm, chúng tơi nhận thấy, đa số học sinh sử dụng chiến lược S14 (Có 70/129 chiếm 54,29%) Mặc dù giá trị biến a cho số ngun số học sinh chọn lựa chiến lược S13 khơng cao (có 30/129 chiếm 23,25%) Trong đó, có 15/129 (chiếm 11,6%) nhận biểu thức A khơng tồn a=-2 Có 3/15 em sau thay giá trị a vào nhận sai, học sinh dùng MTBT để phát điều Có 14/129 (chiếm 10,85%) học sinh khơng biết cách giải tốn Từ thống kê, chúng tơi thấy rằng, giải kiểu nhiệm vụ tính giá trị biểu thức, học sinh quan tam đến điều kiện xác định biểu thức đó, mà biết tìm cách tối ưu để giải mà thơi Điều phù hợp với nhận định ban đầu chúng tơi, lý SGK giáo viên ln cho học sinh giải tốn thuộc kiểu nhiệm vụ mà giá trị biến thỏa mãn điều kiện xác định biểu thức Kết thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng qui tắc hợp đồng H1 kiểu nhiệm vụ T2 Bài 5: Bảng 3.5: Thống kê lời giải học sinh Câu Chiến lược S17 Bỏ qua ĐKXĐ lũy thừa Tính đến ĐKXĐ lũy thừa a 95 b 95 trống số 25 129 25 129 ATH S.N Từ kết thống kê ta thấy: Tổng ET S16 Bỏ + Có 95/129 học sinh (chiếm 73,64%) khơng tìm điều kiện xác định phương trình Tất học sinh có chung lời giải là:  x  4   x   x   x   x  x     x  2      x    p p Tức học sinh suy nghĩ : (a m )m  (a m ) m  a p với giá trị a TM + Chỉ có 9/129 học sinh (chiếm 6,97%) có tìm điều kiện số lũy thừa Tuy nhiên học sinh giải câu b, câu a em khơng bỏ giá trị tuyệt đối cho biểu thức x2-4 a m lẻ  a m chẳn VIE Tức học sinh khơng vận dụng tính chất thức (a m ) m  m a m   + Có 25 học sinh khơng đưa lời giải cho tốn Có thể dạng tốn em gặp Bài 6: Bảng 3.6: Thống kê lời giải học sinh Câu Chiến lược S16: Bỏ qua ĐKXĐ lũy S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa thừa Bỏ Tổng trống số a 129 129 b 29 100 129 c 25 104 129 Theo kết thống kê: + Có 129/129 (chiếm 100%) học sinh giải câu a có tính đến điều kiện xác định lũy thừa Tuy nhiên, có đến 20 học sinh chuyển hàm số cho dạng y    x   5 4  x  đặt điều kiện  x  Điều cho thấy, có số học sinh khơng nhận điều kiện số lũy thừa với số mũ ngun âm khác + Có 29/129 (chiếm 22,48%) học sinh biến đổi hàm số cho câu b dạng y   x  1  x  Sau đó, đặt điều kiện cho biểu thức x   29 học sinh ET thuộc lớp nâng cao trường Có thể SGK nâng cao khơng đưa dạng tốn này, SGK lại có, nên học sinh khối làm tập dạng có phần chiếm ưu 1 y   x  3  2x  ATH S.N + Có 25/129 (chiếm 19,37%) học sinh biến đổi hàm số cho câu c dạng , đặt điều kiện cho x   Đa số học sinh giải tập 6, điều cho thấy, đặt học sinh trước nhiệm vụ phải tìm điều kiện xác định lũy thừa học sinh biết thay đổi điều kiện số lũy thừa số mũ thay đổi Nhưng ta khơng u cầu trực tiếp em khơng quan tâm, trách nhiệm giáo viên Kết lần khẳng định tính thích đáng giả thuyết H1 TM Bài 7: Bảng 3.7: Thống kê lời giải học sinh Chiến lược Bỏ S17: Tính đến ĐKXĐ lũy thừa thừa 105 VIE S16: Bỏ qua ĐKXĐ lũy Tổng số trống 18 129 Kết thống kê tốn phản ánh rõ giả thuyết H1 chúng tơi Có đến 105/129 (chiếm 81,39%) học sinh chuyển biểu thức cho dạng lũy thừa -3 với số mũ hữu tỷ Hầu học sinh khơng quan tâm đến điều kiện xác định lũy thừa với số mũ hữu tỷ Chỉ có (chiếm 4,65%) học sinh khơng đưa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, mà để biểu thức cho dạng căn: 3 3 3  105 3 , nhiên khơng giải thích thêm Có 18/129 (chiếm 13,95%) học sinh khơng biết cách giải kiểu nhiệm vụ  Kết luận chương Thực nghiệm tiến hành hai đối tượng giáo viên học sinh THPT cho phép chúng tơi kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết H1 Kết phân tích phiếu trả lời học sinh từ tốn 1, 2, cho phép hợp thức giả VIE TM ATH S.N ET thuyết H2 KẾT LUẬN Q trình phân tích đường mở rộng lũy thừa cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy cho phép chúng tơi trả lời câu hỏi đặt đầu luận văn Kết thực nghiệm chương khẳng định tính thích đáng giả thuyết đặt  Các kết việc nghiên cứu tóm tắt sau: Ở cấp độ tri thức khoa học: có hai tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa Tiến trình 1: Hàm mũ e Lũy thừa số e Hàm mũ a Lũy thừa số a Tiến trình 2: Hàm mũ e Lũy thừa số e Lũy thừa số a Hàm mũ a ET Trong giáo trình A a x  exp( xLoga) giáo trình B: a x  e xLoga Khái niệm lũy thừa ln xây dựng số e trước có lũy thừa số a>0 Dù theo tiến trình để mở rộng khái niệm lũy thừa người ta dùng đến kiến thức hàm mũ ATH S.N Trong giáo trình đại học, lũy thừa khơng có vai trò việc xây dựng định nghĩa hàm mũ, hàm lơgarit lơgarit Căn bậc n hàm số ngược hàm lũy thừa, đưa sau có khái niệm lũy thừa Vì vậy, khơng có vai trò việc xây dựng khái niệm lũy thừa Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, qua hai lần cải cách có đường mở rộng khái niệm lũy thừa là: Lũy thừa với số mũ tự nhiên với số mũ hữu tỷ Lũy thừa với số mũ ngun Lũy thừa Lũy thừa với số mũ thực Kiến thức dùng để mở rộng giới hạn bậc n Tiến trình mở rộng lũy thừa phổ thơng có TM phần giống với giáo trình B sở dùng để mở rộng hồn tồn khác Trong SGK lớp 12 lũy thừa số e trường hợp đặc biệt lũy thừa số a, khơng có vai trò việc xây dựng khái niệm lũy thừa số a VIE Hàm mũ khơng có vai trò việc mở rộng khái niệm lũy thừa bậc THPT ngược lại lũy thừa sở trực tiếp để định nghĩa hàm số mũ hàm số lơgarit Có khác biệt lớn giáo trình đại học SGK phổ thơng bậc đại học mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào sau học đạo hàm ngun hàm, bậc THPT mở rộng khái niệm lũy thừa đưa vào trước có ngun hàm Mặc dù bậc THPT lũy thừa với số mũ thực có lúc đưa vào trước học đạo hàm sau học đạo hàm, nhiên tiến trình mở rộng lũy thừa hồn tồn khơng thay đổi, tổ chức tốn học có vài thay đổi nhỏ Việc thay đổi chương trình, dạy học đạo hàm trước dạy lũy thừa SGK năm 2005 nhiều ảnh hưởng đến vai trò lũy thừa Khi học đạo hàm người ta dùng để tìm tính chất hàm mũ hàm lũy thừa, khơng dùng tính chất lũy thừa SGK CLHN năm 2000 Mặc dù vậy, khái niệm đạo hàm tác động việc khảo sát hàm mũ hàm logarit, định nghĩa hàm mũ phải dùng đến kiến thức lũy thừa Q trình phân tích SGK cho phép chúng tơi rút hai giả thuyết H1 H2 Kết thực nghiệm chương kiểm chứng tính hợp thức hai giả thuyết nêu VIE TM ATH S.N ET TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến, Những yếu tố didactic tốn, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Cục nhà giáo cán quản lí Giáo dục (2008) Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12 THPT, Giáo dục Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh, Tài liệu hướng dẫn giảng dạy tốn 11, Giáo Phan Đức Chính, Tơn Thân, Tốn 6, tập 1, Giáo dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, Tốn 7, tập 1, Giáo dục ET dục Phan Đức Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 6, tập 1, Giáo dục ATH S.N Phan Đức Chính, Tơn Thân, SGV Tốn 7, tập 1, Giáo dục Nguyễn Huy Đoan (2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Ban KHTN, Giáo dục Guy Lefort (1975), Tốn cao cấp, tập 2: Phép tính vi phân- Các hàm thơng dụng, Viện đại học sài gòn 10 Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh (2000), Đại số giải tích 11, Giáo dục 11 Trần Văn Hạo, Ngơ Thúc Lanh (2000), Bài tập đại số giải tích 11, Giáo dục 12 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Giải Tích 12, Giáo dục 13 Phạm Trần Hồng Hùng, Khái niệm hàm số lơgarit trường trung học phổ thơng, 2008 TM 14 Nguyễn Hữu Lợi, Khái niệm hàm số trường trung học phổ thơng, 2008 15 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục 16 Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2008), SGV Giải tích 12 nâng cao, BKHTN, Giáo dục Tiếng Pháp VIE 17 Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Giáo dục 18 André Delachet (1960), Les Logarithmes et leurs applications, Presses Universitaire de France [...]... trong SGK CLHN năm 2000 [C] 2.3.1.1 Lũy thừa với số mũ ngun TM Trong chương trình này “Mở rộng khái niệm lũy thừa được đưa vào chương “Hàm số mũ” đặt sau chương “Giới hạn” Mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ thực được thực hiện qua các giai đoạn: lũy thừa với số mũ ngun, lũy thừa với số mũ hữu tỷ và lũy thừa với số mũ vơ tỉ VIE Đầu tiên, học sinh được học khái niệm lũy thừa với số mũ 0 và số mũ ngun âm... Như vậy, SGK chỉ mở rộng khái niệm lũy thừa trên tinh thần mở rộng số mũ của nó, còn cơ số thì khơng thay đổi, điều này có phần khác với giáo trình đại học Trong giáo trình đại học, người ta mở rộng lũy thừa trên cơ số e rồi mới mở rộng trên cơ số a 2.3.1.4 Vai trò của lũy thừa Sau khi đã hồn thiện việc mở rộng khái niệm lũy thừa, SGK giới thiệu hàm lũy thừa như sau: “Hàm số y=x, trong đó  là số... [tr148] Lũy thừa với số mũ thực được xây dựng dựa trên lũy thừa với số mũ hữu tỷ và giới hạn của một dãy lũy thừa Đó cũng là lý do vì sao, mở rộng khái niệm lũy thừa ln được đặt sau chương “Giới hạn” Do lũy thừa với số mũ vơ tỉ được định nghĩa thơng qua lũy thừa với số mũ hữu tỷ nên cơ số a>0 Mặc dù lũy thừa với số mũ thực được định nghĩa tường minh nhưng học sinh cũng phải ngầm ẩn thừa nhận hai điều trong. .. nghĩa lũy thừa với số mũ bất kì được đưa vào trước đó Lũy thừa với số mũ thực là cơ sở để định nghĩa hàm lũy thừa Căn cứ vào định nghĩa của lũy thừa với số mũ thực thì y  x  e Logx “Dưới dạng này, tính chất của hàm lũy thừa có thể suy ra từ tính chất của hàm Logx”.[tr10] Kết luận giáo trình [B] Giáo trình [B] mở rộng khái niệm lũy thừa thơng qua bốn giai đoạn: lũy thừa với số mũ ngun lũy thừa. .. 6 (SGK hiện hành) Trong SGK 6, học sinh được học lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I phần số học Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau: Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a: a n  a  a  a (n ≠ 0) » [tr26] n thừa số a gọi là cơ số và n gọi là số mũ Khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên được hình thành từ phép nhân nhiều thừa số giống nhau,... mũ lẫn cơ số của lũy thừa Tuy nhiên cơ sở cho phép thực hiện việc mở rộng lũy thừa trong hai giáo trình là khác nhau Nếu như giáo trình [A] mở rộng lũy thừa cơ số a với số mũ vơ tỉ dựa trên hàm mũ a và định nghĩa của kí hiệu at, thì giáo trình [B] lại dựa vào lũy thừa cơ số e ET + Ở giáo trình [A] ta khơng thấy được vai trò của lũy thừa trong việc xây dựng hàm mũ và hàm logarit thì ở giáo trình [B]... Lũy thừa cơ số a với số mũ thực Lũy thừa cơ số e với số mũ thực Hàm mũ a Lũy thừa cơ số a Chương 2: KHÁI NIỆM LŨY THỪA Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY 2.1 Mục tiêu của chương 2 Thơng qua việc phân tích chương trình và SGK ở trường phổ thơng chúng tơi muốn làm rõ tiến trình đưa vào khái niệm lũy thừa ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, từ đó thấy được vai trò của lũy ET thừa đối với việc xây dựng các khái... thừa với số mũ hữu tỷ lũy thừa với số mũ thực cơ số e  lũy thừa với số mũ thực cơ số a Cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực cơ số e là hàm mũ e, đến lượt nó lại là cơ sở để mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a Khái niệm lũy thừa trong giáo trình [B] được trình bày tường minh chứ khơng còn ngầm ẩn như giáo trình [A] Hàm mũ cơ số a được định nghĩa dựa trên khái niệm lũy thừa với số mũ thực... lên lũy thừa Lũy thừa với số mũ ngun dương được định nghĩa hồn tồn giống với giáo trình đại học Lũy thừa bậc n của a là một trường hợp đặc biệt của một phép nhân ET Lũy thừa được hình thành từ một phép tốn mà học sinh đã làm quen từ rất sớm, đó là phép nhân Tuy nhiên, kí hiệu của lũy thừa thì rất mới Trong thời gian đầu tiếp cận nó, có thể học sinh sẽ khó sử dụng Vì vậy, nên chăng có hoạt động giúp học. .. đến tổ chức tốn học ở hai giáo trình này KẾT LUẬN CHƯƠNG I Sau đây là một số kết quả chính trong q trình phân tích chương I: + Tiến trình mở rộng khái niệm lũy thừa trong hai giáo trình đều giống nhau ở chỗ : mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số e : « ex=expx (hoặc ex=e(x)) rồi đến mở rộng lũy thừa với số mũ thực cơ số a : ax=exp(xLoga) hoặc ax= exLoga Ở đây, ta thấy có hiện tượng mở rộng về số mũ ... định nghĩa Cơ sở để định nghĩa Đại học Hàm mũ Hàm lơgarit Lũy thừa ĐN TC hàm mũ Hàm lũy thừa Hàm mũ e Lũy thừa Căn bậc n giới hạn dãy Hàm mũ Lũy thừa Hàm lũy thừa Lũy thừa VIE Phổ thơng TM Cấp... niệm lũy thừa lớp (SGK hành) Trong SGK 6, học sinh học lũy thừa với số mũ tự nhiên chương I phần số học Lũy thừa với số mũ tự nhiên định nghĩa sau: Lũy thừa bậc n a tích n thừa số nhau, thừa. .. SGK 2000 mở rộng lũy thừa với số mũ khác theo Lũy thừa với Lũy thừa với Lũy thừa Lũy thừa số mũ ngun số mũ ngun với số mũ với số mũ dương âm mũ hữu tỉ vơ tỉ Các tính chất lũy thừa SGK thừa nhận,