Có thể nói, trong giai đoạn này “đường tròn” là đối tượng được nghiên cứu rất sâu sắc và đầy đủ. SGK trình bày các tính chất của đường tròn thông qua hai chương quan trọng của hình học. Cụ thể:
+ Chương II: Đường tròn gồm 8 bài: §1Sự xác định đường tròn.Tính chất đối xứng
của đường tròn; §2Đường kính và dây của đường tròn; §3Liên hệ giữa dây và
khoảng cách từ tâm tới dây; §4Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn;
§5Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn; §6Tính chất của hai tiếp tuyến cắt
+ Chương III: Góc với đường tròn gồm 10 bài: §1Góc ở tâm.Số đo cung; §2 Liên
hệ giữa cung và dây; §3 Góc nội tiếp; §4Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung; §5
Góc có đỉnh bên trong đường tròn.Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn; §6 Cung
chứa góc; §7 Tứ giác nội tiếp; §8 Đường tròn nội tiếp.Đường tròn ngoại tiếp; §9Độ
dài đường tròn, cung tròn; §10 Diện tích hình tròn, hình quạt tròn.
Mục đích trong chương này là chúng tôi tìm hiểu xem đường tròn xuất hiện như thế nào và tiến triển ra sao? Vai trò công cụ của đường tròn có được SGK tiếp cận hay không? Do đó, chúng tôi sẽ phân tích không theo trình tự, mà chỉ đưa ra những cách tiếp cận của đường tròn cũng như phân tích những bài quan trọng nhằm làm rõ cho các câu hỏi nghiên cứu trên.
Trong chương II với tên gọi “Đường tròn” SGK tập trung khai thác các tính chất của đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách”. SGK nhắc lại định nghĩa:
“Ở lớp 6, ta đã biết:
Đường tròn tâm O bán kính R (với R>0) là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R” [5, tr.97].
Chúng ta thấy rằng đường tròn hoàn toàn xác định nếu như chúng ta biết được hai đặc trưng cơ bản của nó là tâm và bán kính hay đường kính. Trong chương trình Toán 7, sau khi cho tam giác ABC, SGK đã ngầm ẩn chứng minh sự tồn tại của đường tròn đi qua ba điểm A,B,C thông qua tính chất “giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó”. Tính chất này được SGK 9 thể hiện tường minh hơn thông qua kết luận:
“Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn” [5, tr.98]. Hơn nữa, trong SGK Toán 9 còn xét thêm cả trường hợp ba điểm A,B,C thẳng hàng để thấy rằng không có đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng. Thuật ngữ “đường tròn ngoại tiếp” cũng được SGK định nghĩa lại:
“Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC” [5, tr.99].
Trên cơ sở về đường tròn đã biết, SGK 9 tiếp tục nghiên cứu thêm các tính chất và khái niệm mới của đường tròn theo cách tiếp cận về “khoảng cách”. Các tính chất mà chúng tôi giới thiệu trong các bài ở chương II là kết quả phân tích trên hai yếu tố
tâm, bán kính và yếu tố “khoảng cách” đóng vai trò quan trọng. Đường tròn được nghiên cứu trên khách thể chính nó và đối tượng khác. Cụ thể:
• Nếu chúng ta xét hai đối tượng “đường tròn” và “đường thẳng”, chúng ta sẽ có các khái niệm liên quan sau:
Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A, B thì AB là dây cung của đường tròn. Nếu đường thẳng này đi qua tâm thì AB là đường kính. Mặt khác, nếu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì ta gọi đường thẳng đó là tiếp tuyến. Như vậy, các khái niệm này nảy sinh từ việc xét vị trí tương đối của đường tròn so với đường thẳng. SGK đã phân tích vị trí tương đối của chúng và có kết quả sau:
“Hệthức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính
đường tròn:
Nếu d<R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau. Nếu d=R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.
Nếu d>R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.” [5, tr.109].
• Tương tự, nếu chúng ta xét trên hai đường tròn, chúng ta sẽ có các tính chất sau:
Vị trí tương đối của hai đường tròn(O;R) và (O’,r) (R≥r)
Số điểm chung
Hệ thức giữa OO’ và R với r
Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r<OO’<R+r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: -Tiếp xúc ngoài
-Tiếp xúc trong
1 OO’=R+r
OO’=R-r Hai đường tròn không giao nhau
-(O) và (O’) ở ngoài nhau -(O) đựng (O’)
0 OO’>R+r OO’<R-r
[5, tr.121].
Như vậy, yếu tố “khoảng cách” được quan tâm trong các bài toán xét vị trí trương đối của đường thẳng và đường tròn, cũng như là vị trí của hai đường tròn. Chính vì thế, các kiểu nhiệm vụ liên quan đến đường tròn trong chương này chủ yếu là các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường tròn so với đường tròn, đường tròn so với đường thẳng và một số hệ quả, tính chất khác. Tuy nhiên, vẫn có một số bài tập
chứng minh quỹ tích các điểm là đường tròn dựa trên cách tiếp cận đường tròn về “khoảng cách”, tức dựa vào tính chất bán kính bằng nhau của đường tròn. Cụ thể : Ví dụ:
“Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn” [5, tr.104].
Lời giải trình bày trong SGV:
“ Gọi M là trung điểm BC.
Ta có EM= BC DM BC 2 1 , 2 1 = Suy ra ME=MB=MC=MD
Do đó, B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC” [7, tr.129].
Đối tượng thứ hai, mà SGK cho HS tiếp cận về đường tròn là “góc”. Trong chương III “Góc với đường tròn”, SGK nghiên cứu đường tròn với tính chất như góc ở tâm, số đo góc chắn cung, góc nội tiếp... Một trong những tính chất liên quan đến đường tròn là “cung chứa góc”. Đây là tính chất quan trọng, nó có liên quan đến khái niệm đường tròn theo “góc”. SGK tiếp cận gián tiếp thông qua bài toán tìm quỹ tích sau:
“Bài toán.Cho đoạn thẳng AB và góc α(00 <α <1800).Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn AMˆB=α . (Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới gócα)” [5, tr.83].
Bằng phương pháp dự đoán và chứng minh quỹ tích, SGK đưa ra kết luận:
“Với đoạn thẳng AB và góc α (00 <α <1800)thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn
α
=
B M
A
là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB” [5, tr.85].
Do chưa được trang bị về góc định hướng nên SGK chỉ kết luận quỹ tích của điểm M là hai cung tròn. Nhưng khi α=900 thì:
“Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB sao cho dưới một góc vuông là đường
tròn đường kính AB” [5, tr.85].
Với nhận xét này, chúng tôi nhận thấy đường tròn được tiếp cận theo quan điểm “góc”, tuy nhiên giá trị góc là 900 là một số đo đặc biệt, nó không thể tổng quát cho
tiếp cận về “góc” của đường tròn. Nhưng kết quả này lại là một công cụ chứng minh các điểm nhìn một đoạn thẳng dưới góc vuông là một đường tròn, có thể thay thế cho phương pháp chứng minh theo “khoảng cách” mà HS đã biết. Cụ thể với bài toán sau:
“ Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẽ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp” [5, tr.105].
Lời giải trình bày trong SGV:
[8, tr.126]. SGK tiếp tục đưa ra các tính chất của đường tròn thông qua đối tượng khác là “tứ giác”. Trong bài “tứ giác nội tiếp”, SGK giới thiệu đường tròn thông qua hai định lý sau:
“Định lý:
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800
.
Định lý đảo:
Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện có tổng bằng 1800
thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.” [6, tr.88].
SGK đã chứng tỏ được rằng có những tứ giác nội tiếp được và có những tứ giác không nội tiếp được bất kỳ đường tròn nào thông qua hình vẽ minh họa. Tuy nhiên, với việc giới thiệu hai định lý này, SGK còn ngầm ẩn đưa ra thêm một phương pháp chứng minh quỹ tích của các điểm là một đường tròn. Ngoài việc chứng minh theo phương pháp “khoảng cách”, chúng ta có thêm một phương pháp khác theo “góc” là chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn thông qua định lý đảo.
Trong phần bài tập, SGK đã đưa ra một bài toán, mà theo chúng tôi đây là sự gắn kết hai cách tiếp cận đường tròn. Bằng một bài toán chứng minh, SGK muốn minh
chứng sự chuyển đổi qua lại giữa hai cách tiếp cận đường tròn theo “góc” và đường tròn theo “khoảng cách”.
“Tứ giác ABCD có ABˆC+ADˆC=180o. Chứng minh rằng các trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm” [6, tr.89].
Lời giải trình bày trong SGV:
[8, tr.108]. Từ đây, chúng tôi thấy rằng với một đường tròn bất kỳ, nếu ta chọn dây cung AB, thì tất cả những điểm trên cung lớn AB đều có góc bằng nhau là α và những điểm trên cung nhỏ AB đều có góc bằng nhau là β =1800 - α. Nếu xét trong phạm vi “góc định hướng” thì 0 180 mod β α = . Nhận xét:
Trong chương trình Toán 9, chúng tôi nhận thấy có hai quan điểm đường tròn được tiếp cận. Tiếp cận đường tròn theo “khoảng cách” đã được HS biết đến ở các lớp dưới. Trong chương II, SGK chỉ củng cố thêm khái niệm đường tròn này thông qua các tính chất của đường tròn theo tiếp cận “khoảng cách”. Trong khi đó ở chương III, SGK trình bày đường tròn theo quan điểm khác là “góc”. Tuy nhiên, khái niệm đường tròn theo “góc” được tiếp cận rất hạn chế, ứng dụng của khái niệm này chỉ được SGK đề cập ngầm ẩn trong một số bài toán chứng minh quỹ tích hay dựng hình.
2.3.2. Các kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến đường tròn trong SGK Toán 9
Do các bài tập được trải rộng, thường là dạng bài tập tổng hợp nên chúng tôi chỉ đưa ra các kiểu nhiệm vụ trọng tâm có liên quan đến đường tròn.
Tđuongtron: Chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn
Chúng tôi nhận thấy có hai kĩ thuật liên quan đến KNV này:
- Xác định tâm của đường tròn.
- Chứng minh khoảng cách từ tâm đến các điểm là bằng nhau.
+ Công nghệθ1đuongtron: dựa vào định nghĩa đường tròn theo “khoảng cách”. Với kĩ thuật này, nó giống như là kĩ thuật mà học sinh đã biết ở lớp 6 như KNV Tcm .
o Kĩ thuậtτ2đuongtron:
- Chứng minh tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 1800.
+Công nghệθ2đuongtron: định lý đảo của tứ giác nội tiếp trang 88, SGK Toán 9, tập 2.
+Ví dụ:
“Gọi I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
với 0
60 ˆ =
A . Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn” [6, tr.87].
Lời giải trình bày trong SGV:
“Ta có:BOˆC =2.BAˆC =2×600 =1200 (1)(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung), BHˆC=B'HˆC'(đối đỉnh). Mà 0 0 0 0 120 60 180 ˆ 180 ' ˆ 'HC = −A= − = B nên 0 120 ˆC = H B (2) Ta lại có: ) 3 ( 120 60 60 2 60 0ˆ 18 60 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 0 0 = + = − + = + + = A B C C I B
(sử dụng góc ngoài tam giác)
Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên cung chứa góc 1200
dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn ” [8, tr.105].
Cùng một KNV, chúng tôi nhận thấy SGK đưa ra hai phương pháp chứng minh, mỗi kĩ thuật đặc trưng cho một quan điểm tiếp cận của đường tròn. Tùy vào bài toán mà chúng ta có thể áp dụng kĩ thuật phù hợp. Đặc trưng của các bài toán liên quan đếnτ1đuongton là những điểm luôn tạo với một cạnh (hai điểm nối lại) là một góc vuông. Trong khi đó, các bài toán theoτ2đuongtron thì thường bài toán yêu cầu chứng minh tứ giác nội tiếp, nhưng tứ giác ở đây luôn có hai góc đối diện là các góc vuông. Tuy nhiên, với kĩ thuậtτ2đuongtron thì đây là một phương pháp hiệu quả hơn, nó có thể giải quyết các bài toán với số đo góc bất kỳ.
Tvitri: Xác định vị trí tương đối của đường tròn so với đường thẳng (điểm), đường tròn.
• 1
vitri
T : Xác định vị trí tương đốicủa đường tròn so với đường thẳng (điểm).
o Kĩ thuật 1
vitri
τ :
-Xác định khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng (điểm). - Tùy theo khoảng cách ta có các vị trí sau:
Vị trí tương đối của đường tròn so với điểm
Vị trí trương đối của đường tròn so với đường thẳng
+ Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OM=R.
+ Điểm M nằm bên trong đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OM<R.
+ Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R) khi và chỉ khi OM>R.
+Nếu d<R thì đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau.
+Nếu d=R thì đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau.
+Nếu d>R thì đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau.
(d là khoảng cách từ tâm đến bán kính)
• 2
vitri
T : Xác định vị trí tương đối của đường tròn so với đường tròn.
o Kĩ thuật 3
vitri
τ
+ Tính khoảng khoảng cách hai tâm của đường tròn, tổng và hiệu của hai bán kính.
+ Áp dụng tính chất:
tròn(O;R) và (O’,r) (R≥r) chung với r
Hai đường tròn cắt nhau 2 R-r<OO’<R+r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau: -Tiếp xúc ngoài.
-Tiếp xúc trong.
1 OO’=R+r
OO’=R-r Hai đường tròn không giao nhau
-(O) và (O’) ở ngoài nhau. -(O) đựng (O’).
0 OO’>R+r
OO’<R-r
[5, tr.121].
o Ví dụ:
“Cho đường tròn tâm O, bán kính OA và đường tròn đường kính OA. Hãy xét định vị trí tương đối của hai đường tròn” [5, tr.122].
Lời giải trình bày trong SGV:
“Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA. Vì OO’=OA-O’A nên hai đường (O) và (O’) tiếp xúc trong” [7, tr.154].
o Nhận xét:
Đối với kiểu nhiệm vụ Tvitri, thì các dạng bài tập thường được đặt trong hệ trục tọa độ, hoặc khoảng cách đã biết trước. Các dạng bài tập này chỉ nhằm mục đính củng cố các tính chất về vị trí tương đối của đường tròn so với điểm, đường thẳng và đường tròn.
Tveđuongtron: Vẽ đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp đa giác.
• T1veđuongtron
: Vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác.
o Kĩ thuậtτ1veđuongtron:
Vẽ đường tròn đi qua các đỉnh của đa giác.
+ Nếu đa giác là tam giác thì tâm đường tròn là giao điểm ba đường trung trực. + Nếu đa giác là hình vuông, hình chữ nhật thì tâm đường tròn là trung điểm của đường chéo.
o Công nghệθ1veđuongtron: định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác trong SGK Toán 9, tập 2 ; tính chất ba đường trung trực.
• T2veđuongtron: Vẽ đường tròn nội tiếp đa giác.
o Kĩ thuậtτ2veđuongtron:
Vẽ đường tròn tiếp xúc các cạnh của đa giác.
+ Nếu đa giác là tam giác thì tâm đường tròn là giao điểm ba đường phân giác. + Nếu đa giác là hình vuông thì tâm đường tròn là trung điểm của đường chéo.
o Công nghệθ2veđuongtron: định nghĩa đường tròn nội tiếp đa giác (trang 91, SGK Toán 9, tập 2), tính chất ba đường phân giác.
o Ví dụ:
“a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh là 3cm.
b) Vẽ tiếp đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính R.
c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đều ABC. Tính r” [6, tr.91].
Lời giải trình bày trong SGV:
“a) Vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3cm (dùng thước có chia khoảng và compa).
b) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác của tam giác đều ABC). ) ( 3 2 3 3 . 3 2 2 3 3 2 ' 3 2 cm AB AA OA R= = = = =
c) Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đều ABC tại các trung điểm A’,B’,C’ của các cạnh