Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Hạnh BƯỚC CHUYỂN TỪ LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC SANG LƯNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Tóan Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ VĂN PHÚC Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài câu hỏi xuất phát Cách lâu, người biết sử dụng kiến thức lượng giác thực tế sống, chẳng hạn đo góc quay kim đồng hồ, đo khoảng cách gần, để đo khoảng cách tàu đại dương… Vì tự hỏi kiến thức lượng giác có từ nào? Và kiến thức xuất tình nào? Khi người dùng lượng giác để giải thứ tự dạng toán nào? Ngày nay, chương trình SGK Toán trường phổ thông, kiến thức lượng giác đưa vào giảng dạy chủ yếu khối lớp (lớp 9, lớp 10, lớp 11) Vì tự hỏi kiến thức lượng giác giảng dạy bậc phổ thông có theo trình tự giống kiến thức lượng giác khứ qua hay không? Đồng thời cặp khối lớp (Lớp sang lớp 10); lớp 10 sang lớp 11 kiến thức lượng giác có gián đoạn kế thừa không? Lượng giác nội dung học phong phú Trong chương trình môn Toán, lượng giác giảng dạy khối lớp cấp THPT, lớp cấp THCS, với nội dung cụ thể sau:  Ở lớp 9: Lượng giác có mặt phần: Hệ thức lượng tam giác vuông qua tỉ số lượng giác góc nhọn  Ở lớp 10: Lượng giác đề cập phần - Chương II (Sách Hình học 10): Tích vô hướng vectơ ứng dụng - Chương VI (Sách Đại số 10): Góc lượng giác công thức lượng giác  Ở lớp 11: Lượng giác đề cập đến phần Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  Ở lớp 12: Lượng giác có phần ứng dụng đạo hàm, nguyên hàm, tích phân… Trong khuôn khổ luận văn này, quan tâm đến bước chuyển từ lượng giác Lớp sang lượng giác Lớp 10 để tìm yếu tố gián đoạn kế thừa kiến thức Ở Lớp 9, lượng giác gắn liền với tam giác vuông, liền với tỉ số cạnh cạnh huyền, cạnh kề với cạnh huyền … tam giác vuông Do lượng giác lớp có tên gọi khác lượng giác tam giác Ở học sinh “giải tam giác vuông” biết yếu tố phải có yếu tố độ dài, đồng thời số đo góc nhọn nằm phạm vi từ 0o đến 90o Ở Lớp 10, lượng giác có mặt SGK Hình học 10 Đại số 10 Trong Hình học 10 lượng giác có mặt chương tích vô hướng véctơ ứng dụng, liền sau giải tam giác thường Và từ số đo góc mở rộng từ 0o đến 180o Trong Đại số 10 lượng giác có mặt phần góc lượng giác công thức lượng giác, mà góc lượng giác lại có số đo số thực Do có tương ứng số thực  điểm M đường tròn lượng giác nên với số thực  cho trước tìm điểm M đường tròn lượng giác cho số đo AM =  Từ đó, điểm M nằm vị trí đường tròn lượng giác mà phụ thuộc vào số thực  cho trước Bởi lượng giác lớp 10 có tên gọi khác lượng giác đường tròn Từ vấn đề vừa trình bày trên, mạnh dạn chọn đề tài “bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn dạy học Toán trường phổ thông” Sự lựa chọn xuất phát từ lý sau: - Tại lượng giác tam giác lại giảng dạy trước lượng giác đường tròn? - Lượng giác tam giác trang bị kiến thức cho người học – Đặc trưng lượng giác tam giác - Lượng giác đường tròn trang bị kiến thức cho người học – Đặc trưng lượng giác đường tròn Qua cho thấy có mối quan hệ lượng giác tam giác lượng giác đường tròn? Việc nghiên cứu bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn dạy học Toán trường phổ thông thực cần thiết; cho phép hiểu rõ điều kiện ràng buộc trình truyền thụ tri thức gắn liền với lượng giác tam giác lượng giác đường tròn Mục đích nghiên cứu Qua ghi nhận ban đầu trình bày trên, dẫn đến câu hỏi đây, mà việc tìm kiếm câu trả lời mục đích luận văn Trong khứ kiến thức lượng giác hình thành tình nào? Các kiến thức lượng giác giải dạng toán nào? Trong số giáo trình giảng dạy trường Sư phạm, TCTH xây dựng xung quanh lượng giác tam giác lượng giác đường tròn Lượng giác đưa vào chương trình SGK Toán bậc phổ thông tình nào? Đâu TCTH xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác tam giác, lượng giác đường tròn Có chênh lệch TCTH tham chiếu với TCTH dạy phổ thông? Có gián đoạn kế thừa từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn? Các quy tắc hợp đồng didactic hình thành giáo viên học sinh trình làm việc với lượng giác tam giác lượng giác đường tròn? Chúng thể cụ thể qua kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật nào? Học sinh có gặp khó khăn việc học lượng giác nói chung bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn không? Đó khó khăn nào? Đào tạo trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo nào? Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để trả lời cho câu hỏi trên, nghiên cứu chúng tôi, dựa vào khung lý thuyết tham chiếu didactic Toán cụ thể số khái niệm lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học – praxéologie), tổ chức didactic khái niệm hợp đồng didactic Sự chọn lựa xuất phát từ lý sau: Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” ứng xử giáo viên học sinh, tìm ý nghóa hoạt động mà họ tiến hành, từ giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát lớp học Việc nghiên cứu quy tắc hợp đồng didactic cần thiết, để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến khứ mà hợp đồng hành dạng thể thực tế Phá vỡ hợp đồng nguyên tắc chủ đạo để có tiến triển mong đợi Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho làm rõ mối quan hệ thể chế với tri thức tri thức với cá nhân Qua cho biết tri thức xuất đâu, có vai trò thể chế việc học tập cá nhân tri thức bị ảnh hưởng ràng buộc mối quan hệ với thể chế Việc mô hình hoá hoạt động toán học theo cách tiếp cận tổ chức toán học (trong lý thuyết nhân chủng học) giải thích thực tế hoạt động toán học theo quan điểm khác cách khác thành hệ thống nhiệm vụ xác định Đánh giá thành phần tổ chức toán học cho biết chúng có nêu lên cách rõ ràng hay không? Có dễ hiểu không? Phạm vị hợp thức nào? Có đáp ứng nhu cầu tương lai? Nghiên cứu tổ chức toán học công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế công cụ phân tích thực tế dạy học Việc rõ mối quan hệ với tri thức giúp ta xác định số quy tắc hợp đồng didactic Đặc biệt ta nhận số yếu tố hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức cách nghiên cứu tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, việc sử dụng không quy định văn hay định nghóa tri thức mà phụ thuộc vào tình vận dụng tri thức, vào ước định hình thành trình giảng dạy Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Với khung lý thuyết tham chiếu, trình bày lại câu hỏi mà việc tìm hiểu câu trả lời mục đích nghiên cứu luận văn Q1: Trong khứ, kiến thức lượng giác hình thành gắn liền với tình nào? Kiến thức lượng giác giải dạng toán nào? Q2: Trong số giáo trình Đại học; TCTH gắn liền với lượng giác tam giác, lượng giác đường tròn Q3: Lượng giác đưa vào chương trình SGK Toán bậc phổ thông tình nào? Các TCTH xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác tam giác, lượng giác đường tròn Có chênh lệch TCTH tham chiếu với TCTH giảng dạy bậc phổ thông Q4: Các quy tắc hợp đồng didactic hình thành giáo viên học sinh bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn? Chúng thể cụ thể qua kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật nào? Q5: Học sinh có gặp khó khăn việc học lượng giác nói chung bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn hay không? Đó khó khăn nào? Q6: Đào tạo trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo nào? Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích trên, tiến hành nghiên cứu sau:  Sơ lược trình hình thành phát triển kiến thức lượng giác qua thời kỳ  Phân tích số giáo trình dùng đào tạo giáo viên trường sư phạm để làm rõ chiến lược đào tạo nói chung, mối quan hệ thể chế với đối tượng lượng giác tam giác lượng giác đường tròn  Phân tích đồng thời chương trình SGK Toán lớp 10 để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng lượng giác tam giác lượng giác đường tròn đưa giả thuyết nghiên cứu  Xây dựng tình thực nghiệm dựa giả thuyết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Luận văn gồm:  Mở đầu  Chương 1: Sơ lược trình hình thành phát triển kiến thức lượng giác qua thời kỳ Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác tam giác lượng giác đường tròn  Chương 2: Mối quan hệ thể chế với lượng giác tam giác lượng giác đường tròn chương trình Toán bậc phổ thông  Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm  Kết luận Chương SƠ LƯC QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN CỦA KIẾN THỨC LƯNG GIÁC QUA CÁC THỜI KỲ CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC THAM CHIẾU LIÊN QUAN ĐẾN LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ LƯNG GIÁC TRONG ĐƯỜNG TRÒN 1.1 Sơ lược trình hình thành phát triển 1.1.1 Thời kỳ thứ Ngay từ thời kỳ cổ Hy Lạp, xây dựng công trình đồ sộ đền đài, Kim Tự Tháp, người ta biết sử dụng khái niệm tỉ số đoạn thẳng trùng với khái niệm côsin ngày Độ lớn tỉ số quan trọng người xây dựng Kim Tự Tháp, họ cần tính toán xác để ghép khối đá liên tiếp Về phương diện này, nhà thiên văn học xứ Babylone kỷ IV V trước công nguyên tích lũy lượng lớn liệu thiên văn Về sau, kiến thức lượng giác xuất thời kỳ cổ Hy Lạp nhu cầu thiên văn Lúc Hippác Plôtême (thế kỷ thứ trước công nguyên) lập bảng liên hệ góc tâm đường tròn với chiều dài cung bị chắn Tóm lại: Trong thời kỳ thứ nhất, kiến thức lượng giác lý thuyết thủ thuật tính toán yếu tố tam giác hình qui tam giác Vì lẽ đó, người Hy Lạp hồi xưa gọi môn “tam giác lượng” tức đo đạc tam giác “Tam giác lượng” phát sinh sở hình học, có ngôn ngữ hình học áp dụng vào toán hình học vấn đề cụ thể kỹ thuật thời đặt 1.1.2 Thời kỳ thứ hai Trong nhiều kỷ, lượng giác xuất khoa học “tam giác lượng” Đến kỷ 17 18, với việc đời phát triển mạnh giải tích toán tạo điều kiện cho lượng giác phát triển theo hướng Trước đây, đại lượng lượng giác coi phương tiện để giải vấn đề hình học trở thành đối tượng để nghiên cứu Các đại lượng xem hàm hướng lượng giác phát triển gọi “giác lượng” – tức đo đạc góc xuất Lý thuyết hàm lượng giác Ơle nghiên cứu lần (1748) tác phẩm “Mở đầu giải tích vô bé” Trong hàm lượng giác nghiên cứu theo phương pháp giải tích nhờ chuỗi Hướng lượng giác bắt nguồn từ dao động học, âm học, quang học sóng điện từ Các hàm sin côsin nghiên cứu chuỗi lũy thừa x3 x5   3! 5! x2 x4 cos x     2! 4! sin x  x  Như vậy, thời kỳ thứ hai, người ta vận dụng kiến thức giải tích vào lượng giác để nghiên cứu hàm lượng giác cách xác, giải thích rõ ràng tính chất chúng, để sau lại áp dụng hàm lượng giác vào toán thực tế như: dao động lò xo, lắc, việc đo đạc, tượng thủy triều, chu kì trăng mọc,… (Trích Lê Đình Phi – Nguyễn Đức Thuần – Nguyễn Đình Thọ – Quốc Trinh (1975), Hướng dẫn giảng dạy lượng giác cấp III, NXB Giáo dục) 1.2 Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác tam giác, lượng giác đường tròn Chương có mục đích trả lời cho nhóm câu hỏi Q2 cụ thể là: Trong giáo trình Toán bậc Cao đẳng, Đại học  TCTH gắn liền với lượng giác tam giác  TCTH gắn liền với lượng giác đường tròn Để xây dựng TCTH tham chiếu, tham khảo số giáo trình sau: - Nguyễn Mạnh Quý; Nguyễn Tiến Đức (1980) Toán tập (Sách đào tạo bồi dưỡng) NXB Giáo dục - Nguyễn Duy Thuận (1998) Đại số giải tích (Giáo trình đào tạo giáo viên tiểu học hệ Trung học Sư phạm) NXB Giáo dục 1.2.1 Các tổ chức toán học liên quan đến lượng giác tam giác Trong giáo trình Toán tập (Đã nói trên) tìm thấy kiểu nhiệm vụ liên quan đến lượng giác tam giác là: T1 (Chuyển đổi): Đổi hàm số lượng giác góc cho trước thành hàm số lượng giác góc nhỏ 45o (Trong giáo trình Toán tập tác giả Nguyễn Mạnh Quý, Nguyễn Tiến Đức sin, cos, tg, cotg gọi hàm số lượng giác góc ) T2 (Tính GT): Tính giá trị hàm số lượng giác góc đặc biệt T3 (Dựng góc ): Dựng góc nhọn  biết hàm số lượng giác T4 (Tìm góc ): Tìm góc nhọn  biết hàm số lượng giác T5 (Giải tg vuông) Giải tam giác vuông (khi biết cạnh góc nhọn biết trước cạnh) T6 (Giải tg thường) Giải tam giác thường (Biết góc cạnh) 1.2.1.1 Các tổ chức toán học gắn liền với kiều nhiệm T1(Chuyển đổi) “Đổi hàm số lượng giác góc cho trước thành hàm số lượng giác góc nhỏ 45o” Có kỹ thuật để giải kiểu nhiệm vụ này: 1 định lý:  Dùng định lý nói hàm số lượng giác góc phụ Nếu góc phụ thì:  sin góc cosin góc cosin góc sin góc  tang góc cotang góc cotang góc tang góc 1 định lý: Định nghóa hàm số lượng giác Như vậy: Trong định nghóa này, tác giả dựa vào tam giác vuông đồng dạng có góc nhọn, để từ xác lập tỉ số đồng dạng; đồng thời tác giả gọi sin, cos, tg, cotg hàm số lượng giác góc  mà trước không đưa vào khái niệm hàm số lượng giác Điểm đặc biệt định nghóa sau phần định nghóa tác giả suy công thức: tg  sin  cot g  cos  tg 1 định lý:  Định lý nói điều kiện để tam giác vuông đồng dạng  Định lý “Một đường thẳng song song với cạnh tam giác tạo thành với cạnh tam giác có cạnh tỉ lệ với cạnh tam giác thứ Kỹ thuật thứ giải kiểu nhiệm vụ là: 1 bảng số: Dùng bảng số với chữ số thập phân 1 (bảng số): Định nghóa hàm số lượng giác Nhận xét:  Hai kỹ thuật để giải kiểu nhiệm vụ T1, có đặc điểm giống cuối phải dùng đến Bảng số với chữ số thập phân; lúc đầu nhìn thấy khác  Nếu số đo góc có số phút 6’, 12’, 18’, 24’, 30’, 36’, 42’, 48’, 54’, 60’ ta việc tra bảng có kết quả, số đo góc có số phút khác số phút học sinh phải sử dụng thêm phần hiệu 1.2.1.2 Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T2 (Tính GT) “Tính giá trị hàm số lượng giác góc đặc biệt” (30o, 45o, 60o) Có kỹ thuật để giải kiểu nhiệm vụ là: 2 tam giác vuông: (Nếu góc 30o 60o) nội dung kỹ thuật sau: - Vẽ tam giác vuông có góc nhọn 30o 60o (Đây nửa tam giác cạnh BC) * Nếu góc nhọn 45o vẽ tam giác vuông cân làm tương tự Sau áp dụng định nghóa hàm số lượng giác để tính 2 (tam giác vuông): Định nghóa hàm số lượng giác Nhận xét: Đặc điểm kỹ thuật 2 tam giác vuông phải dựng tam giác vuông, có số đo góc nhọn số đo cho Từ vận dụng định nghóa hàm số lượng giác góc  để thiết lập tỉ số cần thiết - Kết phép tính số (Ví dụ: ; ; 3; ) 2 - Öu điểm kỹ thuật vận dụng lý thuyết vừa học vào phần tập, qua khắc sâu kiến thức - Nhược điểm kỹ thuật là: Nếu yêu cầu tính giá trị hàm số lượng giác góc không đặc biệt kỹ thuật không phát huy Kỹ thuật thứ giải kiểu nhiệm vụ 2 bảng lượng giác: Nội dung kỹ thuật sau: - Tra bảng sin cos tg cotg để tìm giá trị hàm số lượng giác cho 2 bảng lượng giác: Định nghóa hàm số lượng giác góc  2 bảng lượng giác: Các tỉ số tam giác vuông đồng dạng 1.2.1.3 Tổ chức toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ T3 (Dựng góc ) “Dựng góc nhọn  biết hàm số lượng giác nó” Trong kiểu nhiệm vụ này, thấy có nhiệm vụ sau: T31: Dựng góc nhọn  biết sin   a Với a, b  N*; a < b b9 y M b a 31: Vẽ góc vuông xOy Lấy đoạn thẳng làm đơn vị  O - Trên Oy lấy điểm M cho OM = a N x P x - Laáy M làm tâm, vẽ cung tròn có bán kính R = b cắt Ox N; = - Góc MNO 31: Định nghóa hàm số lượng giác góc nhọn c T32: Dựng góc nhọn biết cos = ; c,d  N*; c < d ≤ d y Q d 32: Vẽ góc vuông xOy O  c - Trên Ox Lấy A cho OA = - Góc OBA  Câu 2: Không dùng bảng số MTBT, em so sánh a) tan29o với cos61o b) cot25o với sin75o  Giá trị biến didactic  Chúng lựa chọn biến V22: Số đo góc không đặc biệt V23: Số đo góc có liên quan đặc biệt (hai góc phụ nhau) V34: So sánh Chúng chọn so sánh tan29o với cos61o từ cos61o đưa sin29o, sau so sánh tan29o với sin29o Hoặc đưa tan29o cot61o sau so sánh cot61o với cos61o Chúng chọn so sánh cot25o với sin75o; với số đo góc không đặc biệt, đồng thời góc không phụ nhau; giả thiết quen thuộc, không dễ dàng so sánh TSLG (chú ý không dùng bảng số MTBT) Đối với câu a:  Các chiến lược có thể: Đcos: Đổi cos61o = sin29o Sau so sánh tan29o với sin29o Đtan: Đổi tan29o = cot61o Sau so sánh cot61o với cos61o  Các lời giải có thể: LG1: Ta có cos61o = sin29o (vì góc 61o 29o phụ nhau) sin 29o  sin 29o Maø tan 29  o cos 29 o Vậy tan29o > cos61o LG2: Ta có tan29o = cot61o Maø cot 61o  cos 61o  cos 61o o sin 61 (Vì < sin61o < 1) Vậy tan29o > cos61o Đối với câu b  Các chiến lược Hình học: Theo học sinh dựng tam giác vuông OAB, có góc nhọn OAB  25o B - Đo độ dài cạnh OA - Đo độ dài cạnh OB - Khi tìm cot 25o  OA (1) 25o O OB A Tương tự: Dựng tam giác vuông O’A’B’ có góc nhọn = 75o - Đo độ dài cạnh O’B’ B’ - Đo độ dài cạnh A’B’ - Khi tìm sin 75o  O 'B' (2) A 'B' Sau so sánh (1) với (2) Chiến lược khó xảy ra: O’ Bắc cầu: cot25o > cot45o = 75o A’ Suy cot25o > sin75o o Mà < sin75 < Câu 3: Không sử dụng bảng số MTBT, em tính a) cos     (2k  1)    b) tan169  ;  Giá trị biến didactic  Cả câu, lựa chọn biến V23: Số đo góc có liên quan đặc biệt V35: Tính Chúng chọn tính cos     (2k  1)  , lẽ để đến kết cuối học sinh phải vận   dụng nhiều công thức, có sử dụng công thức cos ( + k2) = cos Ở công thức cho thấy nhiều góc lượng giác có số đo bội nguyên 2 có cos Ở câu b) góc có số đo 169 (số đo lớn); góc đưa góc đặc biệt Đối với câu a  Các chiến lược k2: Dùng công thức cung liên kết công thức cos ( + k2) = cos Liên kết: Dùng công thức liên hệ cung liên kết  Các lời giải có theå LG1: cos     (2k  1)   cos        cos    3    LG2: cos     (2k  1)   cos     k2                cos    k2    cos      cos      3 (Hơn ) Khác: LG3: cos     (2k  1)   cos       k2      2     cos      cos 3  Đối với câu b)  Các chiến lược có thể: Đếm: Trên đường tròn lượng giác, đếm xem cung lượng giác có số đo 169  có điểm  chỗ từ tính tan 169 Tách: Đưa 169  dạng  + k Sau dùng công thức: tan    k   tan   Các lời giải có thể: LG1: Cung có số đo 169 tan169   có điểm trùng với điểm cung Do 6    tan  6 LG2: Ta coù 169      168    28 6 6 Do đó: tan169    tan  6 Câu 4: a) Biết sin     vaø    ;   Hãy tính GTLG góc 2 2  b) Rút gọn: F sin   cot   cos  2  Giá trị biến didactic ;     2 V11: Giá trị TSLG phân số mà tử mẫu có chữ số V24: Số đo góc nằm khoảng góc đặc biệt V35: Tính V36: Rút gọn  Các chiến lược có thể: Đối với câu a: cos: o Từ sin = Tính cos o Tính sin2 dựa vào công thức sin2 = 2sincos o Tính cos2 dựa vào công thức sin22 + cos22 = o Tính tan2; cot2 cos2: o Tính cos2 dựa vào công thức cos22 = – 2sin2 o Tính sin2 dựa vào công thức sin22 + cos22 = o Tính tan2; cot2 cot2: o Dùng công thức  cot   sin  o Tính cot2 Suy cot o Tính cos từ công thức cot   cos  sin  o Tính sin2, cos2, tan2, cot2  Các lời giải có thể: Tính GTLG góc 2 LG1: cos    sin    cos    24 25 24 Vì     ;   neân cos < 2  Vaäy cos    24 o Coù sin2 = 2sincos =  25 o Coù cos2 = 2cos2 - = 23 25 o tan2 =  ; cot 2   23 23 LG2: o cos 2  23 25 o sin 2   cos 2  96 625 => sin 2   96 25 Vì     ;   nên 2  (; 2) 2  Do đó: sin2 < Vaäy sin 2   25 o tan 2   23 ; cot 2   23 Câu 5: Chúng lựa chọn chứng minh đẳng thức     tan   x  tan   x   4  4  Bởi lẽ, phải có điều kiện cho x, sử dụng công thức tan(a  b)  tan a  tan b để  tan a tan b khai triển vế trái làm thu hẹp tập xác định Với lời giải giả định cho trước yêu cầu câu hỏi cho điểm lời giải cho biết lý do, kiểm chứng giả thuyết H3 Chúng phân tích lời giải giả định sau:  Học sinh A Học sinh thiếu điều kiện x  Vì dễ thấy, x    k    k cos 2x     nghóa VT  tan   x  tan   x  vaø VP  cos 2x 4  4  Lời giải cho phép kiểm chứng phần giả thuyết H3  Học sinh B Sai lầm học sinh tương tự sai lầm học sinh A  Học sinh C Lời giải phạm sai lầm: Sai lầm thứ nhất: Không đặt điều kiện cho x để biểu thức có nghóa Sai lầm thứ hai: Khi vận dụng công thức tan(a+b) thu hẹp tập xác định Ta thấy với x       VT  tan    tan    4 2 4 2 3   = tan    tan 1  4 Trong bước cuối:   tan x    tan x        tan x    tan x  Với x   biểu thức vô nghóa Học sinh D E phạm chung sai lầm không đặt điều kiện cho biểu thức có nghóa Thông qua điểm số cho lý mà học sinh nêu thực nghiệm cho lời giải giả định, kiểm chứng giả thuyết H3 3.2.3 Phân tích A POSTERIORI a) Liên quan đến lượng giác tam giác Chúng tiến hành làm thực nghiệm 180 học sinh lớp trường:  THCS Võ Trường Toản – Quận (2 lớp)  Cấp 2; Lương Thế Vinh – Quận (2 lớp) Câu 1a: Hãy dựng góc nhọn  biết: a) sin = 0,02 Bảng 3.9: Kết thực nghiệm câu 1a Chiến lược Câu 1a T MTBT CT Khác SL % SL % SL % SL % coäng SL 38 21,12% 14 7,78% 111 61,66% 17 9,44% 180 Biểu đồ 3.1: Kết thực nghiệm câu 1a 120 100 80 60 40 20 111 38 14 17 Chiến lược Chiến lược Chiến lược Chiến lược T MTBT CT khác Qua phân tích lời giải câu 1a, thấy:  Tất giải (180) đưa giá trị TSLG dạng phân số sin   0,02  Trong Tổng 0,1 sin   0,02  50 - Có 12/180 câu trả lời đưa sin   0,1 sau dựng góc  với số đo xác - Có 68/180 câu trả lời đưa sin   tiến hành dựng góc ; số học sinh có kết 50 góc  dựng không xác (Vì bề rộng giấy A4 21cm) Góc dựng mang tính chất minh họa - Có 60/180 câu trả lời không vẽ hình không quan tâm đến hình vẽ - Có 6/180 câu trả lời sai (do nhầm lẫn công thức sin  - Có 15/180 câu trả lời lật hình vẽ lên theo phương thẳng đứng Cách làm cho kết góc ®èi ®èi nhầm lẫn sin  ) hun kỊ dựng - Có 9/180 câu trả lời không làm câu - Có 10/180 câu trả lời dùng cách khác để dựng góc  biết sin = 0,02 là: y Ghi chú: OB = 50 không đủ khổ rộng giấy A4 A 1 O  B 50 ®èi  o Coù sin   0,02  50 hun x o Đối = o Tính OB  AB2  OA  2500   49,99 o Dựng điểm B o Góc ABO góc cần dựng Thống kê cho thấy số 180 câu trả lời câu 1a có 12/180 + 15/180 = 27/180 câu trả lời chiếm tỉ lệ 15% Biểu đồ 3.2: Tỉ lệ % số học sinh làm không làm câu 1a) 15% Học sinh làm HọÏc sinh làm sai 85% Từ kết thực nghiệm, thấy yêu cầu học sinh dựng góc nhọn  biết trước 1TSLG đặt họ vào tình khác lạ học sinh bộc lộ rõ lúng túng trình giải tập Đây tình phá vỡ hợp đồng Câu 1b Hãy dựng góc nhọn  biết b) tan = 0,005 Bảng 3.10: Kết thực nghiệm câu 1b Chiến lược Câu 1b T MTBT CT Khác Tổng SL % SL % SL % SL % coäng SL 100 55,56% 30 16,66% 38 21,11% 12 6,67% 180 Biểu đồ 3.3: Biểu đồ khối kết thực nghiệm câu 1b 100 120 100 80 60 40 20 38 30 12 Chiến lược Chiến lược Chiến lược Chiến lược T MTBT CT khác Qua phân tích câu trả lời câu hỏi 1b, thấy hầu hết giải đưa: tan   0,005  0,1 Hoặc tan = 0,005 =  200 20 200 Trong có: - Có 95/180 câu trả lời không quan tâm đến hình vẽ (các tỉ lệ không nhau) góc  dựng không xác - Có 67/180 câu trả lời hình vẽ kèm theo - Có 8/180 câu trả lời bị sai - Có 10/180 câu trả lời biến đổi tan   0,005  0,1 sau dựng hình theo chiều dài  200 20 khổ giấy A4 kết xác - Thống kê cho thấy có 10/180 câu trả lời câu 1b chiếm tỉ lệ 5,55% Biểu đồ 3.4: Tỉ lệ % số học sinh làm không làm câu 1b 5.55% Học sinh làm HọcÏ sinh làm không 94.45% Từ kết thấy: Cả câu 1a 1b, phần lớn học sinh đưa toán dạng quen thuộc biết cách giải, nhiên, câu hỏi này, giá trị cuûa sin   0,02   0,1 50 tan   0,005  0,1  200 20 Cơ giống trường hợp trình bày SGK SBT, nhiên đây, phân số dạng a giống em gặp b Kết cho thấy câu 1a Có 15% câu trả lời câu 1b Có 5,55% câu trả lời Như qua câu 1, kiểm chứng quy tắc: R1: “Dựng góc nhọn  biết 1TSLG cho: o sin cos phân số phân số phải có dạng a với a, b  N*; a < b  số thập phân mà viết dạng b a (a, b  N*; a < b  9) b o tan cot cho phân số có dạng a ; a, b  N*; a; b  tồn b Câu 2a: Không dùng bảng số MTBT, em so sánh a) tan29o với cos61o Bảng 3.11: Kết thực nghiệm câu 2a Chiến lược Câu 2a Đcos Đtan HT Lượng SL % SL % SL % 140 77,78% 28 15,56% 12 6,66% Tổng cộng SL 180 Biểu đồ 3.5: Biểu đồ khối kết thực nghiệm câu 2a 150 140 100 28 50 12 Đcos lược Đ1 Chiến lược Đ2 Chien Đtan Chiến lược HTLượng Phân tích lời giải học sinh câu 2a) thấy hầu hết em giải góc đưa phụ nhau; - Có 140/180 câu trả lời chọn chiến lược Đcos: Đổi cos61o sin29o, từ so sánh tan29o với sin29o Dựa vào công thức tan   - Có 28/180 câu trả lời chọn chiến lược Đtan - Có 12/180 câu trả lời chọn chiến lược HT lượng sin  cos  o Có thể đưa cos61o sin29o, sau dựng tam giác vuông (hình vẽ) Có góc nhọn  = 29o, lập luận: tan 29o  ®èi ; kỊ sin 29o  ®èi hun B Vì trường hợp cạnh kề nhỏ nên ®èi ®èi  kỊ hun Huyền hay tan29o > sin29o Vậy tan29o > cos61o O  Kề cạnh huyền Đối A o Có thể đưa tan29o cot61o lập luận tương tự Như câu 2a) vấn đề đưa so sánh tan với cos với  +  = 90o kết thực nghiệm cho thấy, học sinh làm phần so sánh SGK không viết dạng tường minh Câu 2b Không dùng bảng số MTBT, em so sánh b) cot25o với sin75o  Với số đo góc không đặc biệt không góc phụ nên việc so sánh TSLG tương đối khó học sinh Trong phần phân tích A PRIORI, đưa chiến lược, nhiên qua thực nghiệm xuất chiến lược bắc cầu mà Kết thực nghiệm cho thấy:  Có 28/180 (chiếm 15,56%) lời giải chọn chiến lược bắc cầu cho kết  Có 152/180 (chiếm 84,44%) lời giải sai (các em không làm được)  Trong số 152 lời giải sai, có 96 lời giải sửa đề cotg 25o thành cotg15o, toán đưa so sánh TSLG góc phụ nhau, nhiệm vụ quen thuộc học sinh Biểu đồ 3.6: Tỉ lệ học sinh làm đúng, không câu 2b 15.56% 84.44% Học sinh sai làm đúnglàm sai Học sinh Như qua câu 2, kiểm chứng quy tắc R2 R2: “Không dùng bảng số MTBT so sánh TSLG sau:  tan với sin; (0o <  < 90o); tan với cos; ( +  = 90o)  cot với cos (0o <  < 90o); cot với sin; ( +  = 90o) mở rộng quy tắc R2 là: Không dùng bảng số MTBT so sánh được:  sin  tan với  ; cos  0o < ,  < 90o  sin  cot với  ; cos   0o < ,  < 90o” tồn Liên quan đến lượng giác đường tròn Chúng tiến hành làm thực nghiệm 170 học sinh lớp 10 trường: THPT Trưng Vương – Quận (2 lớp) THPT Marie – Curie – Quận (2 lớp) Câu 3: Không dùng bảng số MTBT Em tính:    a) cos    (2k  1)    ; b) tan169  Bảng 3.12: Kết thực nghiệm câu 3a Chiến lược Câu 3a Liên kết K2 Khác Tổng coäng SL % SL % SL % SL 112 65,88% 43 25,29% 15 8,83% 170  Có 145/170 câu trả lời lập luận chặt chẽ, kết xác  Có 25/170 câu trả lời bị sai nguyên nhân sau: - Không nhớ công thức không nhớ bảng GTLG đặc biệt - Sai lầm vận dụng công thức ?? Ví dụ: cos(a + b) cosa + cosb… Đối với câu hỏi này, nhìn chung học sinh làm với chiến lược dự đoán Tuy nhiên có lời giải vận dụng công thức    cos (a + b) = cosacosb – sinasinb để tính cos    (2k  1)  cho kết Bên cạnh   có trường hợp sức học yếu; nên áp dụng công thức cos(a + b) = cosa + cosb Trong trình em làm ghi nhận thấy câu 3a) học sinh vận dụng công thức tương đối tốt Câu 3b: Không dùng bảng số MTBT, tính: b) tan169  Đối với câu này, kết thống kê sau:  Có 141/170 lời giải vận dụng công thức: tan(  k)  tan  cho kết  Có 16/170 lời giải áp dụng công thức sai  Có 13/170 lời giải cho kết sai, không nhớ bảng GTLG đặc biệt Chúng quan sát thực nghiệm thấy Đối với dạng tập em thao tác nhanh, cho kết tốt Như quy tắc R3 tồn Câu 4: Hãy tính GTLG góc 2 biết:   sin   ;    ;   2  Bảng 3.13: Kết thống kê sau Chiến lược Câu 4a cot2 Cos2 cos Tổng cộng SL % SL % SL % SL 94 55,30% 73 42,94% 1,76% 170 Thống kê cho thấy:  Có 94/170 lời giải chọn chiến lược cos tức từ sin   Tính cos Sau tính sin2; cos2; tan2, cot2 Trong 94 lời giải chọn chiến lược này, sai lầm mà học sinh vi phạm là: Dạng 1: Từ sin    cos    sin  ; coù 21/94 lời giải Dạng 2: Từ sin    cos   24  cos   25 24 ; có 1/94 lời giải 25 Do chiến lược có 25/94 lời giải bị sai dấu GTLG (chiếm tỉ lệ 24,60%)  Có 73/170 lời giải chọn chiến lược cos2 Tức từ sin   Tính cos2 = - 2sin2 Trong 73 lời giải chọn chiến lược này, sai lầm mà học sinh vi phạm là: Dạng 1: Từ sin   24  cos   25 Tính cos2 = 2cos2 - =  23 (vì     ;   ); có 3/73 lời giải 25 2  Dạng 2: Sau có cos2, tính tiếp sin 2   cos 2 ; coù 9/73 lời giải Dạng 3: Tính trực tiếp sin 2  2sin  cos  = 2sin      ; có 5/73 lời giải 25 5 Do chiến lược có 17/73 lời giải bị sai dấu GTLG (chiếm tỉ lệ 23,29%) Như câu có tất 25 + 17 = 42 lời giải bị sai dấu chiếm tỉ lệ 27,21% Biểu đồ 3.7: Tỉ lệ học sinh bị sai dấu, không sai dấu câu 27% Sai dấu Đúng 73% Do giả thuyết H3 kiểm chứng Câu 5: Trong số 170 học sinh làm thực nghiệm có lời giải cho điểm không nêu lý Có lời giải không cho điểm lý Như vậy, thống kê 161 học sinh có tham gia trả lời Dưới bảng thống kê câu trả lời học sinh Bảng 3.14: Thống kê điểm cao, thấp học sinh Học Câu sinh A Số Tổng lượng cộng Điểm cao: Bài làm ngắn gọn, dễ hiểu 135 Điểm thấp: Trình bày ngắn; 34 Tỷ lệ 79,88% 161 20,12% thiếu điều kiện B C Điểm cao: Áp dụng công thức tốt 141 Điểm thấp: Thiếu điều kiện 20 Điểm cao: Bài giải đúng, bị 101 dài dòng Điểm thấp: Một số cho giải bị 68 161 87,58% 12,42% 59,76% 161 40,24% sai Một số trừ điểm thiếu điều kiện D Điểm cao: Bài làm ngắn gọn, dễ hiểu 85 Điểm thấp: Một số ghi thiếu điều kiện; 84 50,30% 161 49,70% Một số ghi giải sai Điểm cao: Thuộc nhiều công thức E 50 161 biết cách vận dụng công thức Điểm thấp: Bài giải dài dòng 29,59% 119 70,41% Bảng thống kê câu hỏi nêu cho thấy học sinh A học sinh B chấm điểm cao nhiều so với học sinh C, D, E Phần đông giải thích làm ngắn gọn, dễ hiểu, có lý trừ điểm thiếu điều kiện (Họ nói thiếu điều kiện mà không nói rõ điều kiện nào?) Học sinh C, D, E chấm điểm thấp so với học sinh A học sinh B, học sinh tham khảo ý kiến trả lời phần nhiều cho lời giải học sinh C, D, E dài dòng, với đối tượng học sinh yếu khó hiểu, khó nhớ Có lý trừ điểm bị thiếu điều kiện Kết thực nghiệm câu hỏi cho thấy nhiều học sinh không quan tâm đến điều kiện lúc đầu biểu thức, máy móc vận dụng công thức mà không thấy số trường hợp đặc biệt công thức không Đa số em làm thực nghiệm quan tâm đến độ ngắn, dài giải, đối chiếu xem công thức vận dụng chưa Do giả thuyết H3 kiểm chứng KẾT LUẬN Qua luận văn này, đạt kết chủ yếu sau: Trong chương 1, việc phân tích số giáo trình giảng dạy bậc cao đẳng, đại học, tìm số TCTH tham chiếu liên quan đến lượng giác tam giác lượng giác đường tròn Trong chương 2, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức lượng giác tam giác lượng giác đường tròn, xây dựng TCTH giảng dạy bậc phổ thông Từ số chênh lệch TCTH trường phổ thông với TCTH đại học liên quan đến lượng giác tam giác lượng giác đường tròn Ngoài kết trên, nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức lượng giác tam giác lượng giác đường tròn dẫn đến với ba giả thuyết nghiên cứu H1, H2 H3 mà tính thoả đáng chúng kiểm chứng thực nghiệm hai đối tượng giáo viên học sinh chương Bên cạnh ấy, kết nghiên cứu chương 2, cho phép thấy gián đoạn kế thừa từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn dạy học toán bậc phổ thông Trong chương 3: Chúng xây dựng số tình thực nghiệm nhắm đến ứng xử giáo viên học sinh thông qua giả thuyết nghiên cứu Với giả thuyết H1: Thể quy tắc hợp đồng didactic Với giả thuyết H2: Nói lên học sinh quan tâm đến dấu GTLG góc  Với giả thuyết H3: Đã thể rõ học sinh không quan tâm đến điều kiện có nghóa đẳng thức lượng giác trước chứng minh Từ kết nghiên cứu chương chương 3, kết hợp với trình giảng dạy thực tiễn sống, tự hỏi - Ngoài lónh vực toán học lượng giác vận dụng ngành trắc địa, vật lý, hoá học nào? - Hoặc: MTBT có hỗ trợ dạy học lượng giác đường tròn (Tìm GTLG góc , dấu GTLG góc , so sánh GTLG góc …) Do hạn chế thời gian nghiên cứu nên xin dành lại vấn đề cho công trình ... ? ?bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn dạy học Toán trường phổ thông? ?? Sự lựa chọn xuất phát từ lý sau: - Tại lượng giác tam giác lại giảng dạy trước lượng giác đường tròn? ... cho thấy có mối quan hệ lượng giác tam giác lượng giác đường tròn? Việc nghiên cứu bước chuyển từ lượng giác tam giác sang lượng giác đường tròn dạy học Toán trường phổ thông thực cần thiết; cho... vụ lượng giác tam giác lượng giác đường tròn Nhọn 0o   180o  có số đo (Lượng giác (Lượng giác (Lượng giác trong tam giác) đường tròn) đường tròn) Tính GTLG X X X Xét dấu X X X Giải tam giác