nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ thông

Chúng đã tác động ra sao đến việc hiểu nghĩa, vai trò công cụ của khái niệm này ở HS ?” Chúng tôi nghiên cứu một số công trình về logarit, đặc biệt chú ý 2 đề tài “Khái niệm hàm số log

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Viết Hiếu

NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Viết Hiếu

NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở BẬC

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

L ỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô :

 TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người thầy đã hướng dẫn tôi tận tình về mặt nghiên cứu khoa học và góp phần quan trọng cho tôi hoàn thành luận văn

 PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga đã tận tình giảng

dạy, cung cấp cho tôi những tri thức khoa học về Didactic Toán và truyền thụ cho tôi

niềm say mê nghiên cứu khoa học

 GS Annie Bessot, GS Alain Birebent đã cho tôi những lời góp ý chân thành và quý báu, giúp tôi có những định hướng tốt hơn cho luận văn và có cái nhìn rộng mở đối với các

vấn đề về Didactic Toán

Tôi xin chân thành cám ơn :

 Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau đại học đã tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành

luận văn

 Sở GD&ĐT Bà Rịa Vũng Tàu, Ban giám hiệu trường THPT Phước Bửu đã tạo cho tôi

những điều kiện thuận lợi nhất để tôi tập trung việc học và nghiên cứu khoa học

 Tập thể học sinh lớp 12A11 trường THPT Phước Bửu đã nhiệt tình tham gia các buổi

thực nghiệm

 Tập thể học sinh lớp 12A1 trường THPT Hòa Bình, 12A1 trường THPT Bưng Riềng, 12A1 trường THPT Nguyễn Trãi, học sinh trường THPT Nguyễn Du, BRVT đã giúp tôi hoàn thành các thực nghiệm

 Các anh, chị, em và các bạn cùng lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 22 đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập

 Cha, mẹ và anh, chị, em trong gia đình đã luôn tin tưởng, ủng hộ và giúp đỡ cho tôi về

mọi mặt

Nguyễn Viết Hiếu

M ỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT 4

M Ở ĐẦU 5

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 5

2 Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu 7

3 Phương pháp nghiên cứu 8

4 Tổ chức của luận văn 9

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ VAI TRÒ CÔNG C Ụ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT 10

1.1 Vài nét về lịch sử xuất hiện khái niệm logarit 10

1 2 Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit 14

1.2.1 Tiếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit 15

1.2.2 Tiếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp 15

1.3 Vai trò công cụ của logarit qua một số ứng dụng 17

1.3.1 Logarit – Công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp 17

1.3.2 Logarit – Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương 26

1.3.3 Logarit – Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được 26

1.4 Kết luận chương 1 28

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT 30

2.1 Yêu cầu của chương trình Toán phổ thông Việt Nam với dạy học logarit 30

2.2 Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản 31

2.2.1 Phần bài học 31

2.2.2 Phần bài tập 34

2.2.3 Kết luận 41

2.3 Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 nâng cao 43

2.3.1 Phần bài học 43

2.3.2 Phần bài tập 46

2.3.3 Kết luận 49

2.4 Kết luận chương 2 50

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM 53

A TH ỰC NGHIỆM 1 53

3.1 Mục đích thực nghiệm 53

3.2 Đối tượng và hình thức thực nghiệm 54

3.3 Nội dung các câu hỏi thực nghiệm 54

3.4 Phân tích tiên nghiệm các câu hỏi thực nghiệm 54

3.4.1 Biến tình huống và giá trị của chúng 54

3.4.2 Biến didactic và giá trị của chúng 55

3.4.3 Đặc trưng của các tình huống nhìn qua lựa chọn các giá trị của biến didactic, biến tình huống 55

3.4.4 Phân tích chi tiết các bài toán thực nghiệm 56

3.5 Phân tích hậu nghiệm 63

3.5.1 Đưa về cùng cơ số - kĩ thuật được HS ưu tiên trong giải PT mũ 63

3.5.2 Vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit thực sự chưa tồn tại ở HS 66

3.6 Kết luận 69

B TH ỰC NGHIỆM 2 70

3.7 Mục đích thực nghiệm 70

3.8 Nội dung thực nghiệm 70

3.8.1 Giới thiệu tình huống thực nghiệm 70

3.8.2 Dàn dựng kịch bản 71

3.8.3 Biến tình huống và biến didactic 72

3.8.4 Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến 73

3.8.5 Phân tích kịch bản 80

3.9 Phân tích hậu nghiệm 80

3.9.1 Ghi nhận tổng quát 81

3.9.2 Kết quả thực nghiệm bài 1d, bài 2 của lớp chọn làm thực nghiệm 2 81

3.9.3 Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm 2 82

3.1 0 Kết luận 91

K ẾT LUẬN CHUNG 93

DANH M ỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 96

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 97

PH Ụ LỤC 99

DANH M ỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

chủ biên), Nxb Giáo dục KNV Kiểu nhiệm vụ

SBT Sách bài tập

SGK Sách giáo khoa

SGV Sách giáo viên

SV Sinh viên

[TC] Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục

[TN] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan (Chủ

biên), Nxb Giáo dục

[VC] Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên),

Nxb Giáo dục [VN] Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh (Tổng

chủ biên), Nxb Giáo dục

M Ở ĐẦU

1 Nh ững ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Logarit là một đối tượng chiếm vị trí và vai trò quan trọng trong chương trình (CT) Toán phổ thông Logarit luôn có mặt trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Khi xuất hiện đầu tiên trong lịch sử, logarit cũng đã khẳng định được vị thế riêng

Nhà toán học Pháp, Pierre S Laplace (1749 – 1827) đã nói rằng: “việc phát minh ra logarit

đã kéo dài tuổi thọ của các nhà tính toán”

Với tầm quan trọng được thừa nhận, logarit được đưa vào giảng dạy ở phổ thông Việt Nam Chúng tôi quan sát thấy, dường như các SGK chú ý đến logarit qua tính giá trị biểu

thức và giải phương trình mũ Thực sự học sinh (HS) có biết được các nghĩa và vai trò công

cụ của khái niệm logarit không? Chúng tôi thực nghiệm trên 84 sinh viên (SV) năm nhất,

trường đại học X ở TPHCM với nội dung:

Câu hỏi 1: Điền vào ô trống: 2 = 4 2 = 8 2 = 5

Câu hỏi 2: Tìm x thỏa 2x = 5

Câu hỏi 3: Bạn giải thích như thế nào cho một học sinh lớp 10 hiểu về kí hiệu log 73 ? (Với log 73

đọc là logarit cơ số 3 của 7)

Kết quả thực nghiệm cho thấy:

- Hầu hết SV được hỏi (94%) trả lời “x=log 52 ” cho câu hỏi 2, nhưng chỉ còn 79,7% SV đưa ra đáp án “ log 5 2

2 = 5” cho yêu cầu “điền vào ô trống 2 = 5”

- 73,9% SV không trả lời được câu 3 và 8,3% SV giải thích sai về kí hiệu log 73 Một số

câu giải thích sai: “logarit là 1 loại toán mà nhà văn tên logarit sáng lập ra để chúng ta

tìm hi ểu thêm sâu hơn về con số đó” hay “log37 là �√7�3”

- Chỉ 9,5% SV trả lời “log 73 là nghiệm của phương trình (PT) 3x =7” và 8,3% SV giải

thích “log 73 là s ố mà 3 lũy thừa số đó bằng 7” theo đúng định nghĩa khái niệm logarit0

1

trong sách giáo khoa (SGK) Giải tích 12

Trước ứng xử của SV, chúng tôi tự hỏi:“Nguyên nhân gì đã làm cho 94% SV giải

được PT 2 5 x = trong khi đó 82,2% SV không giải thích được hoặc giải thích sai về 𝑙𝑜𝑔37?

1Cho hai số dương a b, v ới a≠ 1 S ố α th ỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là lôgarit cơ số a c ủa b và kí hi ệu là loga b α = loga b⇔aα =b (a b, > 0;a≠ 1) ([KC], tr.86)

huy động để giải thích cho log 73 ? C húng tôi thắc mắc thêm: “Khái niệm logarit được đưa

vào chương trình, SGK toán THPT Việt Nam như thế nào? Chúng đã tác động ra sao đến việc hiểu nghĩa, vai trò công cụ của khái niệm này ở HS ?”

Chúng tôi nghiên cứu một số công trình về logarit, đặc biệt chú ý 2 đề tài “Khái niệm

hàm số logarit trong trường trung học phổ thông” của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng –

luận văn thạc sĩ 2008 – và “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông” của Tôn Nữ

Khánh Bình – luận văn tốt nghiệp đại học 2009

Trong “Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thông”, tác giả Hoàng

Hùng đã nghiên cứu được:

phép tính tích bằng phép tính cộng; phép tính chia bằng phép tính trừ; phép khai căn bậc hai bằng phép chia đôi…”

+ Ở cấp độ tri thức giảng dạy ở phổ thông Việt Nam, “Khái niệm logarit được trình bày

trước khái niệm hàm số logarit”, “Logarit cơ số a của số b nhằm biểu diễn nghiệm của phương trình mũ a x =b ” và một số quy tắc hợp đồng thể chế:

R1: Biểu thức chứa logarit cần tính phải thỏa mãn hai đặc trưng sau:

- Có dạng loga b hoặc logb N

a , hoặc có thể biến đổi về một trong hai dạng đó

- Có thể biến đổi a, b trong loga b và logb N

R3: Không sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị biểu thức chứa logarit

R4: Không sử dụng phương pháp đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit

R5: Không sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh 2 số logarit

R6: Không sử dụng phương pháp đồ thị để so sánh 2 số logarit

+ Tác giả thực nghiệm trên đối tượng giáo viên đã giảng dạy về logarit và HS khối 12 đã học khái niệm này để kiểm chứng các quy tắc hợp đồng trên

Trong đề tài “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông”, Khánh Bình nghiên

toán và hướng khắc phục của giáo viên (GV) Tác giả kết luận “số bài tập có sử dụng ý

nghĩa của logarit quá ít […] Do đó, trong đa số các bài tập, học sinh không cần dùng đến định nghĩa vẫn có thể giải được bài”

+ Qua thực nghiệm tác giả chỉ ra “có rất ít học sinh lưu tâm đến ý nghĩa của logarit trong khi đó có rất nhiều HS ghi nhớ và thành thục các quy tắc đại số…”.

+ Tác giả đã thực hiện dạy “định nghĩa khái niệm logarit” theo phương pháp dạy học đặt và giải quyết vấn đề

Tuy nhiên, hai tác giả chưa chỉ rõ: liên quan đến khái niệm logarit có những nghĩa nào

và vai trò công cụ gì? Cách thức trình bày các nghĩa và vai trò công cụ đó ra sao trong các SGK ở Việt Nam? Thực sự các SGK có chú ý đến vận dụng logarit như công cụ tính toán không? Cần xây dựng tình huống dạy học như thế nào để học sinh hiểu được một trong các

vai trò công cụ của logarit?

Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Nghĩa và vai trò

công cụ của khái niệm logarit trong dạy học Toán ở bậc trung học phổ thông” làm đề tài

luận văn nghiên cứu cho mình

2 M ục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu

Từ các vấn đề đã đặt ra ở trên, mục đích nghiên cứu của chúng tôi là:

+ Tìm hiểu nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit ở cấp độ tri thức bác học

+ Làm rõ các nghĩa, vai trò công cụ của khái niệm logarit và sự trình bày của chúng trong

thể chế dạy học toán ở bậc trung học phổ thông (THPT) Việt Nam

+ Xây dựng và triển khai tình huống dạy học cho phép HS tiếp cận một trong các vai trò công cụ của logarit

Chúng tôi nhận thấy Didactic Toán cung cấp những công cụ cần thiết để nghiên cứu quá trình truyền thụ, lĩnh hội tri thức và giải thích các hiện tượng liên quan giữa dạy và học

Vì thế để trả lời các câu hỏi đặt ra, chúng tôi chọn các công cụ lý thuyết Didactic Toán như thuyết nhân học, lý thuyết tình huống và hợp đồng didactic làm lý thuyết cơ sở nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày hệ thống các câu hỏi nghiên

cứu như sau:

Q1: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trò công cụ đó?

Q2: Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, mối quan hệ thể chế dạy học Toán ở Việt Nam

với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit có những đặc trưng gì? Những nghĩa nào

và vai trò công cụ gì của khái niệm logarit được đưa ra? Cách thức trình bày ra sao? Chúng

đã tác động như thế nào đến việc hiểu nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit ở

học sinh ?

Q3: Cần phải xây dựng đồ án dạy học như thế nào cho phép học sinh tiếp cận được

một trong những vai trò công cụ của logarit ?

3 Phương pháp nghiên cứu

Để đạt mục đích nghiên cứu, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:

Sơ đồ trên được diễn giải như sau:

+ Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu tri thức khoa học luận về nghĩa và vai trò công cụ

của khái niệm logarit qua điều tra một số luận văn và các giáo trình đại học liên quan Kết

quả nghiên cứu được trình bày trong chương 1 : “Một điều tra khoa học luận về nghĩa và

vai trò công c ụ của khái niệm logarit” cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, góp phần

tham chiếu trả lời Q2 và xây dựng tiểu đồ án didactic

+ Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy được thực hiện qua phân tích CT, SGK, sách giáo viên (SGV), SBT Giải tích 12 ban cơ bản, nâng cao hiện hành để làm rõ ràng buộc của thể

chế dạy học Việt Nam với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit Các kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong chương 2 : “Mối quan hệ thể chế với đối tượng

logarit trong d ạy học toán bậc THPT” Những nghiên cứu về quan hệ thể chế cho phép

chúng tôi trả lời câu hỏi Q2

+ Từ những kết quả đã đạt được ở trên, chúng tôi đề ra các giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của nó được kiểm chứng qua thực nghiệm thứ nhất Từ đó, cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic cho phép HS lớp 12 tiếp cận một trong những vai trò

NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC

Về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Thể chế dạy học Toán ở Việt Nam

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

Quan hệ cá nhân của học sinh NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Tiểu đồ án didactic

công cụ của logarit Kết quả của các nghiên cứu này cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q3

và được trình bày trong chương 3 : “Thực nghiệm”

4 T ổ chức của luận văn

 Chương 1 – Một điều tra khoa học luận về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit

Chúng tôi trình bày và phân tích một số công trình nghiên cứu và các giáo trình đại

học đề cập khái niệm logarit Thông qua những nghiên cứu tài liệu lịch sử toán học, điều tra

về nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit chúng tôi phải chỉ rõ: Ở cấp độ tri thức bác học, khái niệm logarit được đưa vào như thế nào? Những nghĩa nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn với các vai trò công cụ đó?

 Chương 2 – Mối quan hệ thể chế với đối tượng logarit trong dạy học toán bậc THPT

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về khái niệm logarit trong CT, SGK hiện hành Chúng tôi đặc biệt chú ý đến các tổ chức toán học liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit

 Chương 3 – Thực nghiệm

Chúng tôi trình bày một thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết đã được đề ra cuối chương 2 và xây dựng, triển khai một tiểu đồ án didactic cho phép HS tiếp cận một trong những vai trò công cụ của logarit Đối tượng mà chúng tôi thực nghiệm là HS 12 đã học về khái niệm logarit và đạo hàm của hàm số logarit

Ngoài ba chương đã trình bày trên, chúng tôi còn nêu một cách tổng quát nhất những

kết quả nghiên cứu ở chương 1, 2, 3 trong phần KẾT LUẬN CHUNG đồng thời nêu lên

một số hướng nghiên cứu từ đề tài

CHƯƠNG 1: MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ NGHĨA VÀ

Mục đích của chương là trả lời câu hỏi Q1 được đặt ra ở phần trước như sau:

nào được đề cập? Trong thực tiễn, logarit có vai trò công cụ gì và những ứng dụng nào gắn

v ới các vai trò công cụ đó?

Do hạn chế về tài liệu tham khảo nên chúng tôi chỉ đề cập sơ lược lịch sử xuất hiện, cách

thức tiếp cận khái niệm logarit và thực hiện một điều tra về các vai trò công cụ Những trình bày trong chương 1 là cơ sở tham chiếu cho nghiên cứu tiếp theo

1.1 Vài nét v ề lịch sử xuất hiện khái niệm logarit

Nghiên cứu của chúng tôi ở mục này dựa vào các tài liệu tham khảo sau:

[1] Florian Cajori (1913), History of the Exponential and Logarithmic Concepts, Nxb

Mathematical Association of America

[2] A.Wright (1618), A Description of the Admirable Table of Logarithmes, London

[3] Les Logarithmes Et Leurs Applications, Par André Delachet Presses Universitaires De

France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960

[4] Phạm Trần Hoàng Hùng (2008), Khái niệm hàm số logarit trong trường THPT, Trường

ĐHSP TP.Hồ Chí Minh

Trong [4], tác giả Hoàng Hùng nêu ra được kết quả: logarit được sử dụng để đơn giản

hóa các phép tính nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số hạng thật lớn Theo đó “phép

nhân sẽ được thực hiện bằng phép cộng, chia bằng trừ, căn bậc hai được lấy từ chia đôi, căn bậc ba lấy từ chia ba, v.v…” ([4], tr.13) Tuy nhiên, không có ví dụ nào được trích dẫn

và định nghĩa ban đầu về logarit của Napier chưa được tác giả Hoàng Hùng đề cập Tham khảo thêm tài liệu [1], [2], [3] chúng tôi bổ sung thêm được những chi tiết liên quan sau: Logarit xuất hiện nhằm đáp ứng nhu cầu tính toán thế kỉ XVI – XVII, đặc biệt trong lĩnh vực thiên văn và địa lí Thực tế đòi hỏi phải tính nhân, chia, căn bậc hai,… nhanh và

tương đối chính xác Các nhà tính toán đã từng sử dụng phương pháp prosthaphaeresis1

2

Thay vì tính trực tiếp tích hai số, prosthaphaeresis chuyển về tính tích cos cos a b hay

sin sina b , thực hiện ba phép cộng, trừ và một phép chia hai Prosthaphaeresis đã phần nào

đơn giản hóa phép nhân, tuy nhiên vẫn bất lợi khi tính chia, căn bậc hai và căn bậc ba Trong khi, logarit giải quyết được nó

Công trình nghiên cứu đầu tiên về logarit “Mirifici logarithmorum2

3

canonis

Cuốn sách được Adward Wright dịch qua tiếng Anh với nhan đề “A Description of the

khác so với định nghĩa trong các SGK hiện hành

Hình 1.1 Hai đường thẳng song song, hai điểm b, B chuyển động và đoạn thẳng SQ cho trước

Cụ thể, Napier cho 2 điểm B và b chuyển động trên hai đường thẳng song song Điểm

B chuyển động trên đường thẳng vô hạn với tốc độ không đổi theo chiều nhất định bắt đầu

từ A, trong khi điểm b chuyển động từ a trên đoạn thẳng azvới tốc độ giảm dần (Hình 1.1)

Ở những khoảng thời gian bằng nhau, điểm B vạch ra các điểm C, D, E,… tương ứng với thời điểm 1, 2, 3,…, trong khi đó điểm b vẽ ra các điểm c, d, e,… thỏa RQ cz dz ez

SQ =az = cz = dz…

với đoạn thẳng SQ và điểm R thuộc đoạn SQ cho trước Napier định nghĩa : AC=log nap (cz) với cz = Sinθ1

AD=log nap (dz) với dz = Sinθ2

Tương tự cho các điểm khác mà B và b vạch ra trên hai đường thẳng Napier đã chọn

độ dài az=10.000.000, theo đó “Logarit của 10.000.000 bằng 0 hay là không có gì, và

logarit của số lớn hơn 10.000.000 thì nhỏ hơn 0” ([2], tr.6)

Rõ ràng, các độ dài AC, AD, AE,…tăng theo cấp số cộng (CSC) trong khi cz,

dz, ez,… giảm theo cấp số nhân (CSN) Như vậy, logarit do Napier xây dựng thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử của CSC và CSN Logarit biến các phần tử CSN thành phần tử của CSC tương ứng Tuy nhiên, Napier không định nghĩa logarit cho một số thực dương bất kì

3Từ “Logarithm” được Napier ghép từ hai chữ “logos” (nghĩa là tỉ lệ) và “arithmos” (nghĩa là số), do vậy logarithm

có thể được hiểu là “số tỉ lệ”

Vậy, mục đích Napier xây dựng logarit là gì? Những tính chất nào của logarit đã được thiết

Ví dụ 1: Cho a=10.000.000 và b=5.000.000 Tìm căn bậc hai của tích a b

Napier tính 𝑐 = √𝑎 𝑏 như sau:

+ Lấy logarit Napier hai số 𝑎 và b được lognap a= 0 ; lognap b= 6931470

+ Tìm lognap c theo công thức log log log 3465735

c= , nhưng Napier tìm c theo cách sau:

+ Lấy logarit Napier 14142135, 5000000 được hai số – 3465735 và 6931470

+ Tính lognap c theo công thức log 2 log 5000000 log 14142135 3465735

Như vậy, logarit do Nepier xây dựng nhằm mục đích đơn giản hóa các phép tính nhân,

chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương Thay vì tính trực tiếp, logarit cho phép chuyển chúng về các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai, chia ba các số logarit

Về mặt phép toán, so với prosthaphaeresis, tính nhân theo logarit tiện lợi hơn bởi chỉ cần

thực hiện một phép cộng

Với ưu điểm được thừa nhận, logarit trở nên phổ biến trong giới khoa học châu Âu thời bấy giờ Tuy nhiên, logarit do Napier tạo ra vẫn chưa thực sự tiện lợi bởi kết quả tính

4 Ba số dương a b c, , tỉ lệ được hiểu là b c

a = b

5 Bốn số dương a b c d, , , tỉ lệ được hiểu là b c d

toán phức tạp, theo lý thuyết hiện đại 7

bảng logarit thập phân từ 1 đến 20.000 và 90.000 đến 100.000 Phần còn trống (từ 20.000 đến 90.000) về sau được bổ sung bởi Vlacq (1600 – 1666)

Liên quan logarit, Jost Bürgi (1552 – 1632) đã xây dựng cách tính logarit hoàn toàn độc lập với Napier Trong khi Napier dựa trên hình học thì Bürgi xây dựng logarit dựa vào đại số Dựa trên ý tưởng về mối tương quan giữa CSN (u n = 2n)1, 2, 4, 8, 16, 32,… và CSC

(v n =n) 0, 1, 2, 3, 4, 5,… Bürgi tính tích hai phần tử CSN bởi tính tổng các phần tử CSC tương ứng và tra bảng

Công trình về logarit “Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen” được

Bürgi công bố năm 1620 Tác phẩm đã được dịch qua tiếng Anh với tựa “Arithmetic and

1 1, 001,

b+ =b n∈ (với 8

0 10

b = ) và CSC v n =10 ,n n∈  cho n từ 0 đến 23027 Bürgi viết

bằng mực đen cho các phần tử CSN và màu đỏ để chỉ các phẩn tử CSC hay các số logarit Bürgi (Trong hình 1.2 có logburgi100020001 = 20)

Bürgi không sử dụng thuật ngữ “logarit” để mô tả các số logarit Bürgi Bảng do ông

tạo ra đơn thuần thể hiện tương ứng giữa CSC và CSN và được sử dụng để tính nhân, chia

và khai căn các số thực dương Tuy nhiên, theo lý thuyết hiện đại

5

8 1,0001

và CSC Logarit tác động vào các phần tử CSN biến chúng thành CSC tương ứng Mục đích xây dựng logarit là tạo ra một công cụ để thực hiện đơn giản các phép toán nhân, chia, lũy

thừa, khai căn bậc hai, bậc ba các số thực dương thông qua các phép tính cộng, trừ, chia hai

và chia ba các logarit

Qua quá trình phát triển, lý thuyết logarit ngày càng hoàn thiện bởi nhiều nhà toán học như William Oughtred (1575 – 1660), Gregory St Vincent, Nicolaus Mercator (1620 – 1687), Leonhard Euler (1707 – 1783)….Vincent thiết lập mối quan hệ giữa logarit và diện tích giới hạn bởi đường hyperbol xy= 1 Trong “Logarithmotechnia”, (xuất bản 1668) Mercator sử dụng kết quả của Vincent, biểu diễn PT hyperbol về dạng 1

1

y

a

=+ và khai

Trong luận văn “Hàm số mũ trong dạy học vật lý ở trung học phổ thông” (2010), tác

giả Kim Ngân cũng đã chỉ ra:“định nghĩa về một số nâng lên lũy thừa là số thực bất kỳ

không xuất phát từ việc định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ (mặc dù lũy thừa với số mũ vô tỷ căn 2 đã xuất hiện vào thế kỷ 14) mà phải thông qua hàm số logarit” Như vậy trong lịch

sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước và là cơ sở để định nghĩa lũy thừa với số mũ thực

Nhận xét:

+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương Thay vì tính tích, thương, khai căn logarit cho phép thực hiện trên các phép tính đơn giản hơn như cộng, trừ, chia hai và chia ba

+ Theo định nghĩa ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC Logarit tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng Từ đó nhân, chia các phần tử CSN được chuyển về cộng, trừ các phần tử CSC

+ Logarit ra đời hoàn toàn độc lập với phép tính lũy thừa Không những vậy logarit, hàm số logarit là cơ sở để định nghĩa lũy thừa với mũ số thực

Chúng tôi đã tìm thấy vài ý trả lời Q1, tuy nhiên các cách thức tiếp cận khái niệm logarit

và các vai trò công cụ của logarit chưa được biết đến Vì thế chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các giáo trình đại học, luận văn liên quan

1.2 M ột số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit

Trong “Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông” (Kí hiệu [5]), tác giả Khánh

Bình chỉ ra hai cách tiếp cận khái niệm logarit: Logarit là giá trị của hàm số logarit và định nghĩa trực tiếp

1.2.1 Ti ếp cận khái niệm logarit từ giá trị hàm số logarit

Khánh Bình tổng hợp được hai cách định nghĩa hàm số logarit: hàm số logarit là hàm ngược của hàm số mũ và là nghiệm PT hàm f x t( ) = f x( ) + f t( )

• Hàm s ố ngược của hàm số x

y=a được gọi là hàm số logarit cơ số a và được kí hiệu là y=loga x

(Calculus – International Student Edition, James Stewart, trang 26)

• Hàm y= lnx được xác định bởi “nghiệm của PT f(xt) = f(x) + f(t) là duy nhất và nghiệm đó là nguyên

ln

ln log =

= ” (Guy Lefort (1975), Toán cao c ấp, tr.71)

Trên cơ sở định nghĩa hàm số logarit đã xác định, logarit cơ số a của b (b>0) được tính bằng cách thay x=b vào biểu thức loga x Thông qua cách tiếp cận này chúng tôi tìm thấy một nghĩa cho khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < ≠a 1,b> 0 là giá trị của hàm số

loga

y= x tại x=b

1.2.2 Ti ếp cận khái niệm logarit qua định nghĩa trực tiếp

Theo [5], khái niệm logarit được định nghĩa trực tiếp như sau: “Cho a là một số dương

hiệu là loga b , tức là α = loga b⇔aα =b” Từ định nghĩa trực tiếp này, chúng tôi tìm thấy

nghĩa khác của khái niệm logarit: logarit cơ số a của b với 0 < ≠a 1,b> 0 là số thực α thỏa

aα =b

Ngoài ra, khi nghiên cứu Đại số & Giải tích 11 (1995) của tác giả Trần Văn Hạo (Kí

hiệu [6]) chúng tôi thấy tồn tại thêm một nghĩa cho khái niệm logarit Ở bài Logarit thuộc chương VI Hàm số logarit, tài liệu [6], thông qua biện luận nghiệm của PT

a của b» ([6], tr.204) Từ tình huống xuất hiện chúng tôi nhận thấy sự tồn tại nghĩa sau cho

khái niệm logarit : logarit cơ số a của b với 0 < ≠a 1 ,b> 0 là nghiệm của PT a x=b

Xem xét thêm tài liệu Calculus II (Kí hiệu [6b]), tác giả D Joyce nhận xét: “Chúng ta

khi 0< <b 1 diện tích mang dấu âm Nói cách khác, nó được xem như kết quả của tích phân

• Logarit tự nhiên của số thực dương b là kết quả của

1

1

b

dx x

∫ , được kí hiệu là ln b ([6b], tr.1)

• Nếu b là số dương khác 1, logarit cơ số b được định nghĩa log ln

ln

b

x x b

= ([6b], tr.9)

Như vậy, lnb (b > 0) có thể xem là diện tích có dấu của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

niệm logarit: loga b là tỉ số giữa hai tích phân

1

1

b

dx x

∫ (hay loga b là tỉ số giữa hai

Nhận xét:

+ Từ các tình huống xuất hiện, khái niệm logarit tồn tại với bốn nghĩa sau : Nghĩa một,

logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số y=loga x tại điểm x bằng b Nghĩa hai, logarit cơ

số a của b với 0 < ≠a 1 ,b> 0 là nghiệm của PT x

a =b Nghĩa ba, logarit cơ số a của b với

0 < ≠a 1 ,b> 0 là số thực α thỏa aα =b Nghĩa bốn, loga b là tỉ số giữa hai tích phân

1

1

b

dx x

+ Nghĩa một của khái niệm logarit được xét trên quan điểm hàm số, nghĩa hai liên quan đến ngôn ngữ biểu đạt phương trình, nghĩa ba liên quan tính số và biểu diễn số thực, trong khi

đó nghĩa bốn là tỉ số giữa hai tích phân

+ Có sự khác biệt rõ rệt giữa nghĩa hai và nghĩa ba của khái niệm logarit Trong khi nghĩa hai là nghiệm, một ngôn ngữ biểu đạt của PT, xuất hiện trong tình huống giải PT x

a =b thì nghĩa ba chỉ rõ loga b biểu diễn số thực mà a lũy thừa số đó bằng b và liên quan tính số thực

Câu hỏi Q1 có thêm vài ý để trả lời Chúng tôi cần tìm hiểu thêm: Ngoài vai trò công cụ

đơn giản hóa nhân, chia và khai căn các số thực dương, logarit có những vai trò công cụ nào khác và được thể hiện cụ thể qua những ứng dụng nào?

1.3 Vai trò công c ụ của logarit qua một số ứng dụng

Do không tìm được tài liệu viết đầy đủ về các ứng dụng và vai trò công cụ của logarit nên chúng tôi thực hiện điều tra từ nhiều giáo trình đại học liên quan Những tài liệu, trang web chúng tôi nghiên cứu gồm:

[7] James Stewart (2010), Calculus – Concepts and contexts – 4th Edition

[8] Guy Lefort, Giáo trình Toán cao cấp, Tập 2, Phép tính vi phân

[9] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán

học cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục

[10] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) – Tạ Văn Đĩnh – Nguyễn Hồ Quỳnh (2009), Bài tập toán

cao cấp, tập 2, Phép tính giải tích một biến số, Nxb Giáo dục

[11] GS Nguyễn Đình Soa (1990), Hóa đại cương, Nxb ĐH Bách Khoa TPHCM

[12] Hoàng Ngọc Nhậm (2008), Giáo trình Kinh tế lượng, Nxb Lao động-Xã hội

• Công cụ đơn giản hóa các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy thừa về

biểu thức đơn giản hơn

• Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước

• Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp về phạm vi có thể

kiểm soát được

1.3.1 Logarit – Công c ụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp

Các biểu thức phức tạp được chúng tôi đề cập để chỉ các biểu thức dạng tích, thương, lũy thừa, chẳng hạn ( )1 ( )1

11

x

x x

 − 

 + 

  Logarit thể hiện vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp qua kĩ thuật giải các KNV TGiaiPT1, TGiaiPT2, TGHVoDinh, TĐaoHam1,

TĐaoHam2 và TChuyen Cụ thể như sau:

Trước hết, chúng tôi xét T GiaiPT1 : “Giải các PT mũ đưa được về dạng f x( )

a =b với

0< ≠a 1,b> ” 0

Theo [6], [7], [8] có nhiều sự kiện thực tế dẫn đến giải PT f x( )

x= − ([7], tr.66)

• Gi ải PT 2 2

2x + = 8 ([6], tr.224) Lời giải: 2

• Theo tính ch ất của hàm số mũ, x

y=a là m ột hàm số đơn điệu, miền giá trị là (0;+∞) n ếu a≠ 1 , còn n ếu a= 1 thì y= là một hàm hằng nên ta suy ta các kết luận về nghiệm của PT 1 ( ) ( 0) ( )1

f x

a =b a > như sau:

+ N ếu b ≤ thì PT (1) vô nghiệm 0

+ Nếu b > thì PT (1) tương đương với 0 f x( ) loga b

a =a Hay do tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta

+ Điều kiện cho PT (nếu có)

+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )

a =b + Lấy logarit cơ số a hai vế của PT f x( )

a =b được PT f x( )= loga b + Giải f x( )= loga b theo ẩn x, đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ1.CCLog:

+ Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit

+ Kĩ thuật giải các PT đại số đặc biệt kĩ thuật giải PT bậc nhất, bậc hai

+ Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương

 Kĩ thuật τ1.MuLog - Đưa về cùng cơ số mũ logarit:

+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )

+ Biến đổi b thành loga b

a đưa PT đã cho về f x( ) loga b

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa PT f x( ) loga b

a =a về f x( )=loga b ( )*

+ Giải PT (*) bằng các kĩ thuật giải PT đại số

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ1.MuLog:

+ Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit

+ Tính đơn điệu của hàm số mũ x

y=a và các phép biến đổi tương đương

 Kĩ thuật τ1.MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:

+ Điều kiện xác định PT (nếu có)

+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )

a =b + Tìm số hữu tỉ n thỏa n

b=a , biến đổi PT đã cho thành f x( ) n

a =a và f x( )=n + Giải PT f ( )x = n và tổng hợp nghiệm PT đã cho

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ : 1.3

+ Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép biến đổi tương đương PT

+ Tính đơn điệu của hàm số mũ x

y=a Mục đích cần đạt đến của kĩ thuật giải KNV TGiaiPT là tìm x từ PT chuyển được về

bằng tác động logarit cơ số a (hay logarit cơ số b) vào hai vế PT f x( )

a =b Việc chuyển như vậy đã đưa PT f x( )

(x−2 ln 5) =(3x−2) ln 3

ln 225

3, 2116 5

ln 27

+ Tìm số hữu tỉ m sao cho m

b=a , đưa PT đã cho về f x( ) m g x. ( )

a =a và f x( )=m g x ( ) + Giải PT f x( )=m g x ( ), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT đã cho

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho τ2.MuHuuTi là:

+ Tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính biến thiên của hàm mũ x

y=a + Phép biến đổi tương đương hai PT đại số

 Kĩ thuật τ2.CCLog được mô tả:

+ Đặt điều kiện cho PT (nếu có)

+ Lấy logarit cơ số 𝑎 (hoặc cơ số b) hai vế PT chuyển về dạng f x( ) ( )=g x loga b ( )*

+ Giải PT (*), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm PT

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ2.CCLog:

+ Điều kiện xác định cho các biểu thức đại số, các tính chất của logarit

+ Các kĩ thuật giải PT đại số

Mục tiêu của kĩ thuật giải TGiaiPT2 là tìm được 𝑥 từ PT 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) Trong khi kĩ thuật

2.CCLog

τ cho lời giải tối ưu thì τ2.MuHuuTi chỉ dùng được khi “b đưa được về 𝑎 lũy thừa mũ hữu

t ỉ” Bằng cách lấy logarit cơ số 𝑎 hoặc b tác động vào hai vế 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥), kĩ thuật τ2.CCLog

chuyển về PT có thể giải được Rõ ràng, kĩ thuật τ2.CCLog đã làm đơn giản hóa giải PT

𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥)

 V ề KNV T GHVoDinh : Tính các gi ới hạn vô định 0 0

1 , 0 ,∞ ∞

Trước hết, thế nào là giới hạn vô định 0 0

1 , 0 ,∞ ∞ ? Theo [9], giới hạn 0 0

1 , 0 ,∞ ∞ là các giới hạn có dạng ( ) ( )

1 lim

sin

1 x

y x

 

=    Lấy logarit nêpe hai vế có: ln sin ln 1 ln

1 sin

Yếu tố công nghệ, lý thuyết giải thích cho kĩ thuật τ3.CCLog:

+ Tính chất lũy thừa với số mũ thực, tính chất của logarit

+ Tính liên tục của hàm số logarit, định lí L’Hospital, công thức ( )

→

+

= và các tính chất của giới hạn

+ Tính liên tục của hàm số mũ

Kĩ thuật τ3.CCLog áp dụng tổng quát cho 3 dạng vô định 0 0

1 , 0 ,∞ ∞ Xem xét τ3.CCLog, khái niệm logarit và các tính chất tham gia biến đổi ( )

x mà hàm s ố có đạo hàm và f x i( )> ∀ =0, i 1,n trong lân c ận của x

Xét nhiệm vụ sau và lời giải được trình bày bởi tác giả Nguyễn Đình Trí:

8 Định lí De L’Hospital (Trích dẫn trang 156 và trang 158 tài liệu [9])

+ Giả sử các hàm số f x g x( ) ( ), x ác định, khả vi tại lân cận x=a a( ∈ ), có thể trừ tại x=a Nếu

Bài 3.Tính đạo hàm của các hàm số: 5)

3 3 3

11

x y

+ Lấy logarit cơ số e hai vế của PT được lny=α1.ln f x1( )+α2.lnf x2( )+ + αn.ln f x n( ) ( )1

+ Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) có ( )

Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ4.CCLog:

+ Tính chất của logarit, đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm hàm số logarit cơ số e

+ Phép biến đổi tương đương PT

Mục đích của TĐaoHam1 là tính đạo hàm của hàm số 1( ) ( )2 ( )

n

y= fα x fα x fα x tại những x mà hàm số có đạo hàm và f x i( )> ∀ =0, i 1,n trong lân cận của x Chúng tôi nhận thấy: khi n càng lớn (n≥3) thì việc tính đạo hàm của hàm số 1( ) 2( ) ( )

n

y= fα x fα x fα x theo công thức đạo hàm tích trở nên phức tạp, chẳng hạn tính đạo hàm của hàm số

=∏ + = + + + + Nhưng kĩ thuật τ4.CCLog cho lời giải tối ưu

và tổng quát cho n∈  lớn tùy ý Trong τ4.CCLog, logarit tham gia tác động vào hai vế PT

 Xét T ĐaoHam2 : Tính đạo hàm các hàm số ( )g x( )

y= f x , v ới y= f x y g x( ), = ( ) không là hàm

h ằng, tại điểm x mà hàm s ố có đạo hàm và f x( )>0 trong lân c ận của x

Nhiệm vụ điển hình sau được trích từ [10] và lời giải tương ứng:

Bài 3 Tính đạo hàm của các hàm số: […] 10)

1

x

y=x ([10], tr.54) 10) Để ý rằng hàm số

Từ lời giải trên, chúng tôi tìm được kĩ thuật τ5.CCLog giải KNV TĐaoHam2 như sau :

+ Lấy logarit cơ số e hai vế của ( )

+ Định lí đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số logarit cơ số e

+ Phép biến đổi tương đương PT

Ở TĐaoHam2 các hàm số y=g x( ) và y= f x( ) không phải là hàm hằng nên việc tính đạo hàm ( )g x( )

y= f x theo đạo hàm hàm số mũ hay lũy thừa không thực hiện được, trong khi kĩ thuật τ5.CCLog cho lời giải tối ưu Trong τ5.CCLog, logarit tham gia biến đổi hai vế ( )g x( )

Trong Kinh tế lượng, việc thiết lập các mô hình toán học ảnh hưởng rất lớn đến ước

lượng và dự báo Để diễn tả lượng cung tiền, việc làm,… các nhà kinh tế học đã dùng mô hình hồi quy mũ và lũy thừa, chẳng hạn hàm Cobb-Douglas8

9

…

Có nhiều kĩ thuật ước lượng nhưng thường dùng là OLS (Ordinary Least Square) do nhà toán học Carl F Gauss đề xuất, được sử dụng để ước lượng các mô hình hồi quy tuyến tính Mô hình hồi quy mũ, lũy thừa cũng được ước lượng theo kĩ thuật này Vậy các nhà toán học đã huy động công cụ gì biến đổi hồi quy mũ, lũy thừa về hồi quy tuyến tính? Câu trả lời được tìm thấy ở [12]:

• Trong lý thuyết tiền tệ, tài chính và ngân hàng, chúng ta đã biết công thức tính lãi suất gộp:

( ) ( )

0 1 t 3.20

t

Y =Y +r , với r là tốc độ tăng trưởng (theo thời gian) của Y

Lấy lôgarit tự nhiên của (3.20) ta được: lnY t = lnY0 +t.ln 1( +r) (3.21)

Nếu đặt β 1 = lnY0 ; β 2 = ln 1( +r) ta có thể viết (3.21) dưới dạng: lnY t= β 1 + β 2 t (3.22)

Nếu thêm yếu tố ngẫu nhiên vào (3.22), ta có: lnY t= β β 1 + 2 t U+ i (3.23) ([12], tr.64)

• Từ phương trình (4.42) 9

10 , rõ ràng quan hệ giữa Y với X 2 và X 3 không phải là tuyến tính Tuy nhiên, nếu lấy

Lô garit hai vế ta được:

( )

lnY i = ln β β + lnX i+ β lnX i+U i = β + β lnX i+ β lnX i+U i 4.43

Trong đó β0= ln β1, (4.43) là mô hình hồi quy tuyến tính logarit ([12], tr.99)

Ta thấy biến đổi các hàm hồi quy mũ, lũy thừa về hồi quy tuyến tính được thực hiện nhờ tác động của logarit nêpe vào hai vế PT và phép đặt thích hợp

Bước chuyển về dạng tuyến tính tạo điều kiện ước lượng được thực hiện theo OLS Bên cạnh đó, đánh giá được nhiều thông số quan trọng như hệ số co giãn1

Việc ước lượng hồi quy (7.43) có thể làm giảm phương sai thay đổi do tác động của phép

biến đổi lôgarit Một trong những ưu thế của phép biến đổi lôgarit là hệ số góc β đo độ co giãn của 2

Y đối với X ([12], tr.172)

Như vậy, trong kĩ thuật giải TChuyen logarit đóng vai trò công cụ chuyển các hàm lũy thừa, hàm mũ về các dạng tuyến tính hay bán tuyến tính Từ đó, ước lượng hàm hồi quy được thực hiện theo kĩ thuật đơn giản và đánh giá được thông số quan trọng

Nhận xét:

+ Qua các kĩ thuật τ1.CCLog; τ2.CCLog; τ3.CCLog; τ4.CCLog; τ5.CCLog giải quyết TGiaiPT1, TPTMu2,

TGHVoDinh, TĐaoHam1, TĐaoHam2 và kĩ thuật giải TChuyen, logarit thể hiện vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp dạng tích, thương, lũy thừa về dạng đơn giản hơn Logarit tác động vào các biểu thức phức tạp đó chuyển chúng về tổng các logarit, từ đó tạo điều kiện cho giải quyết các KNV bằng cách áp dụng các kĩ thuật phổ biến trên các biểu thức đơn giản

Ngoài vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp, logarit còn thể hiện vai trò nào khác? Hay logarit thực sự chỉ có vai trò công cụ trong toán học?

1.3.2 Logarit – Công c ụ tính số các chữ số của một số nguyên dương

Trong tính toán, đôi khi ta cần phải xác định số chữ số của một số nguyên dương Có thể tính bằng cách đếm hay sử dụng máy tính cầm tay Tuy nhiên ta không thể chỉ ra nhanh

số 2013

2 khi viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số bằng đếm Có công cụ xác định số

các chữ số cho mọi số nguyên dương không?

Câu trả lời là có, công cụ đó là logarit Nếu x là một số nguyên dương cho trước thì ta

tìm được số nguyên n không âm sao cho 1( )

10n≤ <x 10n+ 1 Lấy logarit cơ số 10 hai vế của (1)

ta được n≤ logx n< + 1 Chứng tỏ rằng n=[logx] Từ đó số chữ số của số nguyên dương x khi viết trong hệ thập phân là [logx]+1

Từ lập luận trên, chúng tôi tìm được số chữ số của 2013

2 khi viết trong hệ thập phân là

Như vậy, logarit được xem là một công cụ hiệu quả để xác định số các chữ số của một

số nguyên dương cho trước Khi đếm từng chữ số bị hạn chế thì kĩ thuật sử dụng logarit cho lời giải tối ưu và áp dụng được cho mọi số nguyên cho trước

1.3.3 Logarit – Công c ụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hoặc quá hẹp

v ề phạm vi có thể kiểm soát được

Theo [11] nhận định:“Trong nước nguyên chất cũng như trong bất kì dung dịch nào

và OH - ” và “nồng độ của các ion1

12

H + và OH - biểu diễn được

lượng thuận lợi hơn: đại lượng chỉ số hydro pH: pH = − logC H+” ([11], tr.119) Sự thuận lợi

của pH thể hiện ở điểm nào?

Chúng tôi nhận thấy các điểm lợi sau:

+ Thứ nhất, phạm vi quá nhỏ của [H+] được chuyển về phạm vi dễ kiểm soát (từ 0 đến 14)

pH là giá trị của hàm số y= − logx (hàm nghịch biến trên (0;+∞)) nên mỗi x thuộc

  của [H+] được chuyển về phạm vi dễ theo dõi hơn [0;14]

+ Thứ hai, dựa vào pH ta vẫn xác định được tính axit hay bazơ của dung dịch

+ Thứ ba, từ chỉ số pH ta tính lại được [H+

Trong khi [H+] đại diện cho đại lượng có phạm vi quá nhỏ thì độ mạnh của các trận động đất đại diện cho đại lượng có phạm vi rộng Độ mạnh của các trận động đất thường thay đổi trong khoảng từ I0đến 1010

.I0, với I0 biên độ của dao động bé hơn 1 mµ trên máy đo địa chấn đặt cách tâm địa chấn 100km Tuy nhiên, nếu dùng thang độ Richter1

13, độ mạnh đó được quy về phạm vi dễ kiểm soát hơn (0 cho đến 10 độ Richter) Công thức tính độ Richter như sau:

0 log I

  Trong khi hàmy= logx

đồng biến trên (0;+∞) nên tương ứng mỗi giá trị tỉ số

Tương tự [H+], cường độ âm thanh đại diện cho đại lượng thay đổi trong phạm vi hẹp

Để tính độ to nhỏ âm thanh ta sử dụng công thức: ( )

vị diện tích bề mặt vuông góc với phương truyền (đơn vị đo là W/m2

); I0 là cường độ của

âm ở ngưỡng nghe ( 12 2)

I = − W m

Nhật xét: Ngoài Toán học, logarit được ứng dụng trong Hóa học, Vật lí và Địa lí để tính

pH dung dịch, đo độ chấn động các trận động đất và đo cường độ âm thanh Qua các ứng dụng được đề cập, logarit thể vai trò công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi rộng hay quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được

hiện qua cộng, trừ, chia hai, chia ba các phần tử CSC

+ Theo tiến trình lịch sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước và được sử dụng để định nghĩa khái niệm lũy thừa với số mũ thực

+ Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit: giá trị của hàm số logarit tại một điểm và định nghĩa trực tiếp Từ các cách tiếp cận, khái niệm logarit tồn tại bốn nghĩa sau:

• Nghĩa một, logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số y=loga x tại điểm x bằng b

• Nghĩa hai, logarit cơ số a của b với 0 < ≠a 1,b> 0 là số thực α thỏa aα =b

• Nghĩa ba, logarit cơ số a của b là nghiệm của PT x

∫ (hay loga b là tỉ số giữa hai

y= fα x fα x fα x và chuyển các hàm lũy thừa, mũ về các hàm tuyến tính

và bán tuyến tính Từ các ứng dụng trên, logarit thể hiện ba vai trò công cụ sau:

• Công cụ đơn giản các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy thừa về các

biểu thức đơn giản hơn

• Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước

• Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hay quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được

Trong đó, vai trò công cụ đơn giản hóa các biểu thức phức tạp được thể hiện qua kĩ thuật giải các KNV TGiaiPT1, TGiaiPT2, TGHVoDinh, TĐaoHam1, TĐaoHam2 và TChuyen Vai trò công cụ

“chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hay quá hẹp về phạm vi có thể kiểm soát được”

của logarit được thể hiện qua các ứng dụng tính pH, đo độ mạnh của các trận động đất, mức

độ to nhỏ của âm thanh

Dù đã tìm thấy ý trả lời cho Q1 nhưng chúng tôi vẫn thắc mắc về các câu hỏi đã đặt ra

trong ghi nhận ban đầu: “Nguyên nhân gì đã làm cho 94% SV trả lời đúng câu hỏi 21

14

trong khi đó 82,2% SV không giải thích được hoặc giải thích sai về kí hiệu 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟕 như định nghĩa logarit trong SGK? Tại sao chỉ hai nghĩa (nghiệm của PT 3x =7 và số mà 3 lũy thừa số đó bằng 7) được SV huy động để giải thích cho log 73 ?” Chính điều này thôi thúc chúng tôi thực hiện nghiên cứu mối quan hệ thể chế dạy học toán bậc trung học phổ thông Việt Nam với nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit

14 Câu hỏi 2: Tìm x thỏa 2x = 5

CHƯƠNG 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG

LOGARIT TRONG DẠY HỌC TOÁN BẬC THPT

Chương này chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit xét về nghĩa

và vai trò công cụ, để trả lời câu hỏi Q2 đặt ra từ đầu luận văn như sau:

nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit có những đặc trưng gì? Những nghĩa nào và

đã tác động như thế nào đến việc hiểu nghĩa và các vai trò công cụ của khái niệm logarit ở

[CT]: Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, 2006, Nxb Giáo dục.1

15

[KN]: SGK Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh, Nxb Giáo dục

[VN]: SGV Giải tích 12 nâng cao (2008), Đoàn Quỳnh, Nxb Giáo dục

[TN]: SBT Giải tích 12 nâng cao (2008), Nguyễn Huy Đoan, Nxb Giáo dục

[KC]: SGK Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

[VC]: SGV Giải tích 12 (2008), Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục

[TC]: SBT Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn (Chủ biên), Nxb Giáo dục

2.1 Yêu c ầu của chương trình Toán phổ thông Việt Nam với dạy học logarit

Nghiên cứu [CT], [VC], [VN], chúng tôi ghi nhận:

+ Ở góc độ mức độ, yêu cầu cần đạt, CT chỉ yêu cầu sử dụng định nghĩa và các tính chất của logarit vào tính toán các biểu thức chứa logarit, giải PT, BPT mũ logarit, vẽ đồ thị hàm

số logarit, tính đạo hàm của hai hàm số cơ bản y e y= x; =lnx Cụ thể:

- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa logarit đơn giản

- Biết vận dụng các tính chất của logarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa logarit ([CT],tr.181 và tr.182)

15 “Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán” được ban hành kèm theo Quyết định số 12/2006/QĐ – BGDĐT ngày

05 tháng 05 năm 2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo, nhằm hướng dẫn việc thực hiện chương trình toán phổ thông từ lớp 1 đến lớp 12 cho bộ sách giáo khoa phát hành từ 2007 cho đến nay

- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

+ [VC] hoàn toàn bám sát yêu cầu CT, trong khi [VN] bổ sung thêm yêu cầu vận dụng logarit

và các tính chất để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế, đặc biệt [VN] chú ý đến số e, logarit tự nhiên, logarit thập phân và những ứng dụng của chúng Cụ thể [VN] đã bổ sung những yêu cầu sau:

+ Thấy được một vài ứng dụng của logarit thập phân trong tính toán ([V N ], tr.131)

+ Thấy được sự xuất hiện một cách tự nhiên của số e

+ Giúp HS vận dụng được định nghĩa, tính chất của logarit tự nhiên và phương pháp “logarit hóa” để tính toán và giải quyết một số bài toán thực tế ([V N ], tr.138)

Trước yêu cầu đặt ra, nghĩa và vai trò công cụ được trình bày như thế nào trong các SGK? Những trình bày ở các mục sau sẽ cho chúng tôi câu trả lời thỏa đáng

2.2 Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản

toán “cho s ố dương a , bi ết b, tìm α thỏa PT aα =b ”([KC], tr.61), [KC] tuyên bố “Người ta

ch ứng minh được rằng với hai số dương a b a, ; ≠ 1, luôn t ồn tại duy nhất số α sao cho

aα =b ” ([KC],tr.62) và định nghĩa khái niệm logarit:

Cho hai số dương ,a b với a≠1 Số α thỏa mãn đẳng thức aα = được gọi là logarit b

cơ số a của b và kí hiệu là loga b α = loga b ⇔ aα =b ([K C ], tr.62)

Thứ hai, tình huống xét sự tồn tại nghiệm của PT a x =b trong bài 6.PT mũ và PT logarit Theo đó, [KC] trình bày:

Để giải PT trên 1

16 , ta sử dụng định nghĩa logarit Với b>0, ta có a x = ⇔ =b x loga b

Với b≤0, PT vô nghiệm ([K C ], tr.79)

Như vậy, khái niệm logarit cơ số a của b được [KC] tiếp cận theo hai nghĩa khác nhau Trong khi nghĩa ba được [KC] giới thiệu tường minh trong định nghĩa đầu tiên thì tình huống 2 cho phép tiếp cận khái niệm theo nghĩa hai

Theo chúng tôi, hai cách tiếp cận có điểm lợi riêng: Tiếp cận theo định nghĩa trực tiếp ngược với lịch sử toán học, dù sự tồn tại của số α thỏa aα =b chưa được chứng minh nhưng cho phép HS tiếp cận logarit và các tính chất dựa trên lũy thừa mũ số thực Trong khi

theo tình huống 2, dựa trên tương giao giữa hai đồ thị hàm x

y=a và y=b cho HS cái nhìn trực quan về sự tồn tại số loga b Như dự đoán, các tính chất logarit đều được chứng minh dựa trên các tính chất lũy thừa mũ số thực

Bên cạnh giới thiệu tường minh trên, hai nghĩa được củng cố qua kĩ thuật giải ví dụ

minh họa Nghĩa ba được đề cập qua “ví dụ 1: a) log 82 =3 vì 3

x =

10 log 9

x= ([K C ], tr.80)

Ngoài ra, [KC] giới thiệu thêm 3 nhiệm vụ mà kĩ thuật giải vận dụng nghĩa ba:

+ Thứ nhất, ở phần tính chất [KC] có đề cập “Cho hai số dương a và b a, ≠ 1 Ta có các tính chất sau đây: loga b

a =b ” ([KC], tr.62) và đưa ra ví dụ mà kĩ thuật giải

huy động nghĩa ba: “Ví dụ 2: 3 ( 3 ) ( )

số logarit, cụ thể như sau:

Định lí 2: Hàm số y=a x(a>0,a≠1) có đạo hàm tại mọi x và ( )a x ′ =a x.lna

Chứng minh Ta có x lna x xlna

a =e =e Đặt u x( )=xlna Theo chú ý 1

+ Thứ ba, giải các PT loga f x( )=b (a> 0,a≠ 1) ở bài 5.PT mũ và PT logarit:

Ví dụ 5 Giải PT log3x+log9 x+log27 x=11

Giải Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được: log3 1log3 1log3 11

phần đưa ra giá trị rút gọn cho logb k

a ; tạo điều kiện đạo hàm của x

y=a , hàm hợp u x( )

y=a

được tính thông qua đạo hàm của u x( )

y=e và đưa ra nghiệm cụ thể cho PT loga x=b Tuy nhiên, chúng tôi quan sát được “biến đổi x

a thành elna x” chỉ được huy động để chứng minh công thức đạo hàm của x

y=a , riêng bài tập thực sự không sử dụng biến đổi này

Như vậy, về mặt lí thuyết, [KC] giới thiệu tường minh 2 nghĩa (nghĩa hai, nghĩa ba) của khái niệm logarit và đưa ra các nhiệm vụ huy động hai nghĩa vào kĩ thuật giải Trong khi đó, nghĩa một hoàn toàn không được [KC] chú ý đến

Về vai trò công cụ, [KC] đưa ra hai tình huống huy động logarit như công cụ biến đổi

Thứ nhất, trong chứng minh công thức đạo hàm hàm x

y=a (đã trích dẫn trên) Thứ hai, trong kĩ thuật giải PT 2

x = − = − ([K C ], tr.81)

Trong chứng minh đạo hàm của x

y=a , khái niệm logarit tham gia biến đổi x

a thành ln

x a

e , từ đó tạo điều kiện huy động công thức đạo hàm u x( )

y=e Tuy nhiên, không ví dụ nào sau đó áp dụng biến đổi x

Vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp của logarit thực sự được phát huy trong kĩ thuật giải PT ( ) ( )

Do đó 5x− = − − 7 x 1 ⇔ x= Vậy PT có nghiệm duy nhất 1 x= 1 ([K C ], tr.80)

[KC] đã ưu tiên sử dụng kĩ thuật, chúng tôi gọi là đưa về cùng cơ số, để giải các nhiệm vụ

trên So với dạng tổng quát f x( )

+

−  

=    đưa được về a lũy thừa với mũ số hữu tỉ Có lẽ do chọn lựa này mà [KC] đã

sử dụng kĩ thuật đưa về cùng cơ số ? Phải chăng thông qua mục này các tác giả cung cấp một thông tin: nếu số b trong các PT f x( )

a =b, f x( ) g x( )

a =b đưa được về a lũy thừa với mũ số

hữu tỉ thì GV và HS nên sử dụng kĩ thuật đưa về cùng cơ số để giải Kĩ thuật logarit hóa (lấy logarit tác động vào hai vế PT) chỉ được áp dụng giải ( ) ( )

.

f x g x

a b =c khi b không đưa được

về a lũy thừa mũ hữu tỉ

Như vậy, về mặt lí thuyết [KC] đã giới thiệu tường minh các nhiệm vụ mà kĩ thuật giải huy động nghĩa hai và ba của khái niệm logarit hay vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức

2.2.2 Phần bài tập

Liên quan đến nghĩa của khái niệm logarit, [KC] và [TC] đề cập 4 KNV sau:

T Tinh : Tính giá trị của biểu thức dạng logb k

T PTLog : Giải các PT logarit đưa được về dạng loga f x( )=b với 0< ≠a 1

T PTMu1 : Giải các PT mũ dạng 1 (PT mũ dạng f x( )

lũy thừa mũ hữu tỉ và f x( )≠x ) hoặc đưa được về dạng 1

T PTMu2 : Giải các PT mũ đưa được về dạng cơ bản a x =b

Trước hết, chúng tôi xét KNV TTinh Một nhiệm vụ điển hình được trích từ [KC]:

Bài 2 Tính: b) log 2 9

27 ([K C ], tr.68)

Lời giải mong đợi của [K C ] được trích từ trang 82 của [V C ] như sau:

3 2 3 2

log 2 3 3log 2

trường trung học phổ thông” của tác giả Hoàng Hùng Từ đặc trưng, lời giải mong đợi trên

chúng tôi rút ra kĩ thuật τ giải TTinh Tinhnhư sau:

- Biến đổi biểu thức về dạng rlogc s k

- Sử dụng các tính chất của logarit đưa biểu thức về dạng

log

r s

Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật giải trên là:

- Các tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính chất của logarit

- Định nghĩa của khái niệm logarit

Chúng tôi nhận thấy nghĩa ba của khái niệm logarit đã được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật giải quyết TTinhở bước rút gọn

log

r s

k Chính yếu tố này mà KNV TTinhđã tạo

cơ hội cho HS vận dụng nghĩa ba khái niệm logarit

 V ề KNV T PTLog Nhiệm vụ tiêu biểu được trích từ bài tập [KC] như sau:

Bài 3 Giải các PT logarit: […] c) log2(x− +5) log2(x+2)=3 ([K C ], tr.84)

Lời giải được trích từ trang 96 của [V C ]:

Với điều kiện x>5, ta có: log 2 (x− 5)(x+ 2)= 3 hay (x− 5)(x+ 2)= 8

Giải PT bậc hai này, ta tìm được nghiệm x=6 thỏa mãn điều kiện trên

Lời giải bài toán trên có nét tương tự lời giải ví dụ 5, phần bài học Theo đó để giải PT

( )

loga f x =b, nghĩa ba của khái niệm được huy động biến đổi về ( ) b

f x =a Từ các lời giải trên chúng tôi rút ra kĩ thuật τDnLog giải quyết TPTLognhư sau:

+ Đặt điều kiện xác định cho PT (nếu có)

+ Dùng các tính chất của logarit, các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả đưa PT về dạng loga f x( )=b

+ Biến đổi loga f x( )=b về ( ) b

f x =a và giải PT ( ) b

f x =a + Đối chiếu giá trị x tính được với điều kiện xác định PT và kết luận nghiệm

Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên:

+ Điều kiện xác định của các biểu thức đại số và biểu thức chứa logarit

+ Phép biến đổi tương đương, hệ quả PT và các tính chất của logarit

+ Định nghĩa khái niệm logarit và kĩ thuật giải PT đại số

Rõ ràng, yếu tố công nghệ “định nghĩa khái niệm logarit” đóng vai trò quan trọng trong

kĩ thuật giải TPTLog Bước chuyển loga f x( )=b về ( ) b

f x =a giúp đưa

PT đã cho về PT có thể giải được Do vậy, KNV TPTLog đã đem lại môi trường sống thích hợp cho nghĩa ba khái niệm logarit

 V ề các kiểu nhiệm vụ T PTMu1 , T PTMu2 :

TPTMu1, TPTMu2 là các KNV con của TGiaiPT1 (Giải các PT mũ đưa được về dạng f x( )

a =b với

0 < ≠a 1,b> 0) được chúng tôi nêu ra ở chương 1 Ngoài ra, một KNV con của TGiaiPT1 liên quan đến giải PT f x( )

a =b được trình bày trong [KC] như sau:

T PTMu3 :Giải các PT mũ dạng 2 (Các PT mũ chuyển được về dạng f x( )

được về a lũy thừa mũ hữu tỉ và f x( )≠x ) hoặc đưa được về dạng 2

Theo chương 1, chúng tôi tìm thấy 3 kĩ thuật giải TGiaiPT1, cụ thể:

 Kĩ thuật τ1.CCLog- Công cụ logarit:

+ Điều kiện cho PT (nếu có)

+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )

a =b + Lấy logarit cơ số a (hoặc b) hai vế của PT f x( )

a =b được PT f x( )= loga b + Giải f x( )= loga b theo ẩn x, đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT

 Kĩ thuật τ1.MuLog- Đưa về cùng cơ số mũ logarit:

+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )

a =b + Biến đổi b thành loga b

a đưa PT đã cho về f x( ) loga b

a =a + Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa PT f x( ) loga b

a =a về f x( )=loga b( )2

+ Giải PT (2) bằng các kĩ thuật giải PT đại số

 Kĩ thuật τ1.MuHuuTi- Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:

+ Điều kiện xác định PT (nếu có)

+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )

a =b + Tìm số hữu tỉ n thỏa n

b =a , biến đổi PT đã cho thành f x( ) n

a =a và f x( )=n

+ Giải PT f x( )= n và tổng hợp nghiệm PT đã cho

Ngoài ra, dựa trên định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit chúng tôi dự kiến kĩ thuật định nghĩa logarit (kí hiệu τ1.DnLog) giải TPTMu1, TPTMu3và kĩ thuật nghĩa 2 logarit (kí hiệu τ1.Nghia2) giải TPTMu2 Chúng tôi phân ra như vậy bởi τ1.DnLog huy động nghĩa ba, trong khi τ1.Nghia2 huy động nghĩa 2 của khái niệm logarit

 Cụ thể, kĩ thuật τ1.DnLog được mô tả như sau:

+ Dùng các tính chất của lũy thừa với mũ số thực, các phép biến đổi tương

đương đưa PT đã cho về các dạng f x( )

a =b + Nếu b≤0 thì không có x thỏa f x( )

a =b Nếu b>0 thì sử dụng trực tiếp định nghĩa logarit chuyển f x( )

a =b thành f x( )=loga b + Giải PT f x( )=loga b và tổng hợp nghiệm PT

Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ1.DnLog:

+ Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả các PT và các tính chất của lũy thừa với mũ số thực

+ Định nghĩa khái niệm logarit

 Kĩ thuật τ1.Nghia2:

+ Dùng các phép biến đổi đưa PT về các dạng cơ bản x

+ Nếu b≤0 thì không có x thỏa x

a =b Khi b>0, tìm được x=loga b + Khi tất cả a x =b vô nghiệm thì PT đã cho vô nghiệm Khi một trong các PT cơ bản

x

a =b có nghiệm thì hợp tất cả nghiệm của các PT cơ bản

Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên:

+ Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả các PT và các tính chất của lũy thừa với mũ số thực

+ Cách giải và biện luận PT x

a =b được tóm tắt trong bài PT mũ và tính đơn điệu của hàm số lũy thừa x

− = hay 2

t − − = t

PT này chỉ có một nghiệm dương t=4, suy ra 2

dạng PT mũ khác như f x( ) g x( )

a =b hay a f x( ).b g x( )=c Như vậy, các GV giảng dạy đã ưu tiên dùng kĩ thuật τ1.DnLog để giải quyết TPTMu1 Kĩ thuật τ1.CCLog phát huy vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức nhưng được ít GV chọn TPTMu1đã tạo môi trường sống cho nghĩa ba của khái niệm logarit và góp phần nhỏ củng cố vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức Tuy nhiên, chỉ 2 nhiệm vụ thuộc TPTMu1đã hạn chế vai trò công cụ và nghĩa trên

Không biết rằng khi b đưa được về lũy thừa với mũ số hữu tỉ của a thì kĩ thuật mà các tác giả ưu tiên sử dụng là gì? Chúng tôi xét TPTMu3 Dưới đây là hai nhiệm vụ được trích từ [KC] và lời giải mong đợi của [VC]:

Bài 1 Giải các PT mũ: a) ( )3 2

0, 3 x− = 1 c) 2x2− +3x 2 =4 ([K C ], tr.84) Lời giải mong đợi bài toán 1a), 1c) từ [V C ]:

2x− +x =2 nên x2 − 3x+ = 2 2 Vậy x= 0, x= là các nghiệm ([V 3 C ], tr.95)

Nghiên cứu tất cả các nhiệm vụ thuộc TPTMu3 chúng tôi thấy 3 đặc trưng sau:

+ f x( ) là các nhị thức bậc nhất hay các tam thức bậc hai

+ b đưa được về a lũy thừa mũ số nguyên m, vớim∈ −[ 3; 4]

Với những đặc trưng chỉ ra, các tác giả SGK ưu tiên kĩ thuật τ1.MuHuuTi để giải quyết Rõ ràng,

có thể huy động kĩ thuật τ1.CCLog,τ1.MuLog hay τ1.DnLog, thông qua đó vận dụng nghĩa ba và vai trò công cụ đơn giản hóa của khái niệm logarit Tuy nhiên, 100% lời giải các nhiệm vụ trong [KC], [TC] sử dụng τ1.MuHuuTi đã hạn chế nghĩa ba và vai trò công cụ đơn giản hóa Từ

đó cho thấy τ1.MuHuuTi đã kéo KNV TPTMu3 ra xa các nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit