M Ở ĐẦU
B. THỰC NGHIỆ M2
3.9.3. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệ m2
3.9.3.1. Đạo hàm tích – chiến lược HS ưu tiên tính đạo hàm hàm y=u x v x( ) ( ).
Bảng 3.7. Kết quả thực nghiệm bài 1 của các nhóm
Nhóm Chiến lược nhóm sử dụng Kết quả tính toán 1 S2 (Đạo hàm tổng) Đúng (y'= − +ex x e. x+7, y' 1( )=7) 2 S1 (Đạo hàm tích) Đúng (y'=(ex+7)+(x−2 .)ex, y' 1( )=7) 3 S1 Đúng (y'= − +ex x e. x+7, y' 1( )=7) 4 S1 Đúng (y'= − +ex x e. x+7, y' 1( )=7) 5 S1 Đúng (y'= + +ex 7 ex.(x−2), y' 1( )=7)
Như vậy, các nhóm chủ yếu giải bài 1 theo hai chiến lược S1 và S2 như chúng tôi dự kiến, trong đó S1 (Đạo hàm tích) được các nhóm ưu tiên tính đạo hàm hàm số dạng
( ) ( ).
y=u x v x . Điều này được giải thích bởi lớp 11 HS đã được học công thức tính đạo hàm dạng y=u x v x( ) ( ). và được củng cố ở lớp 12 qua các nhiệm vụ tính đạo hàm hàm số dạng tích.
Lời giải điển hình của một số nhóm và biên bản nhóm 5 minh họa cho nhận diện, sử dụng S1 như sau:
Hình 3.9. Lời giải bài 1 của nhóm 1 theo chiến lược S2
Hình 3.10. Lời giải bài 1 của nhóm 3 theo chiến lược S1
5.1. HS22 : Mỗi người một tờ làm thử coi nhé.
5.2. HS21 : Ôi, không cần đâu. Nè, hàm số có dạng u.v mà. Để tớ viết cho. 5.3. HS23 : Ừm. Vậy thì lấy u’v cộng v’u đi.
5.4. HS21 : Từ từ, tớ đang làm đây.
5.5. HS22 : Cái đầu tiên được ex+7nè. Vì x−2 đạo hàm bằng 1 rồi.
5.6. HS25 : Cái kia bằng x
e , rồi nhân thêm x−2 nữa. 5.7. HS21 : Kết quả sẽ là ex+ +7 ex(x−2).
5.8. HS24 : Thay vào lẹ đi, mấy nhóm kia ra rồi kìa mấy bồ.
5.9. HS21 : Từ từ, đừng hối tớ nhé. Xong rồi đây. Kết quả bằng 7. Kiểm tra lại dùm mình cái coi. 5.10. HS25 : Thay 1 vào…được…e mũ 1. Rồi cộng 7. Tiếp theo…cộng e mũ 1 tiếp.
5.11. HS23 : Nhân tiếp (1-2).
5.12. HS21 : Xong rồi kết quả bằng 7.
5.13. HS24 : Đúng rồi đó. Ghi tập xác định chưa vậy? 5.14. HS21 : Có rồi nè.
5.15. HS22 : Nộp bài đi mấy bạn. (Biên bản nhóm 5, đoạn 5.1 đến 5.15, phụ lục 6)
(Chú thích: chúng tôi kí hiệu số thứ tự đầu mỗi dòng biên bản 5 là 5.x để chỉ 5 là nhóm 5 và x là số dòng tương ứng trong biên bản ghi nhận)
Trên cơ sở tính đúng bài 1, kết quả đã tính cho phép các nhóm đối chiếu lời giải của bạn An trong phiếu 2 và tiếp cận tính đạo hàm theo công cụ logarit.
3.9.3.2. Tiếp cận vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit tính đạo hàm tích
Việc tiếp cận vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit tính đạo hàm tích được tính từ khi HS tiếp xúc bài giải bạn An ở trong phiếu 2 cho đến kết thúc pha 2 – pha thảo luận của cả lớp về bài giải và nhận xét của Bình.
Kết thúc pha 1, tất cả các nhóm đánh giá được bài giải của bạn An hoàn toàn chính xác và các nhóm đồng tình bạn Bình sai vì sử dụng không đúng công thức. Có thể thấy rõ qua biên bản của nhóm 5 đánh giá về nhận xét của bạn Bình:
5.76. HS22 : “Mặc dù kết quả bạn An đúng…” (HS đọc lời nhận xét của Bình). 5.77. HS21 : À, Bình sai rồi. Biết chỗ nào hông?
5.78. HS25 : Chỗ nào ta?
5.79. HS23 : Thì hồi nãy mình nói rồi đó. Chỗ đạo hàm của ln f x( ) đó. 5.80. HS24 : Đúng đó, nó có dạng “lốc u” (lnu x( )) mà.
5.81. HS22 : Vậy thì phải là u phẩy chia u (u'
u ).
5.82. HS23 : Đúng rồi, đâu thể f x( )1 được.
5.83. HS22 : Vậy Bình sai chỗ này rồi. (Biên bản nhóm 5, đoạn 5.76 5.83, phụ lục 6)
Riêng nhóm 1 đã chỉ ra được bạn Bình sai bởi đạo hàm của hàm hợp nên không thể có kết quả ( ( )) ( )1 ln f x f x ′ = mà phải là (ln f x( )) f ( )( )x f x ′ ′ = .
Tuy nhiên, có sự chênh lệch trong cách cho điểm của các nhóm, điểm số tương ứng nhóm 1 đến 5 cho bài giải bạn An là 9,5; 9; 10; 9; 10. Ngoài hai nhóm 3 và 5 cho 10 điểm, ba nhóm còn lại phân vân xung quanh điều kiện x≠2 dẫn đến điểm số bài giải không tuyệt đối.
• Vì nếu x=2 thì f '( )x không tồn tại. […]
(1) Đúng (nhóm chỉ x− >2 0 đúng) vì x cũng có thể bé hơn 2 hoặc lớn hơn 2 ⇒ cho giá trị tuyệt đối vô (Nhóm 1)
• Nếu ta không có điều kiện x≠2 thì các bước ở phía dưới sẽ không thực hiện được. x− >2 0 vì nếu x=2 thì hàm số f x( )=0 nên f '( )x không tồn tại. (Nhóm 4).
• Các bước giải và kết quả của An đều đúng, nhưng khi xét điều kiện ta không cần xét điều kiện 2 (nhóm chỉ ( ) 2( x 7) 0
f x = −x e + > ) (Nhóm 2).
Rõ ràng, các nhận xét trên của nhóm 1 và nhóm 4 trên hoàn toàn sai. Có thể giải thích điều này do quan niệm sai lầm của các em: nếu hàm số triệt tiêu tại x=x0 thì không có đạo hàm bởi “hàm số không có gì thì làm gì có đạo hàm” (nhóm 4). Riêng nhóm thực sự nhận thấy không cần thiết có điều kiện f x( ) = −x 2(ex+7)>0 bởi theo nhóm: nếu đã có x− >2 0 thì hiển nhiên f x( ) = −x 2(ex+7)>0 là hệ quả của nó và không cần điều kiện thêm. Có thể nhóm 2 chưa đánh giá được sự cần thiết của f x( ) .
Xem xét biên bản nhóm 3, nhóm 5 chúng tôi nhận thấy nhóm đã đánh giá được lời giải bạn An đúng tuyệt đối và nhóm đã nhận ra bài giải là một cách tính đạo hàm tích hay. Đoạn trích sau và trình bày của 2 nhóm minh họa cho điều đó:
5.90. HS25 : Bài giải này hay chớ bộ.
5.91. HS24 : Dài quá, nhưng vẫn làm ra kết quả. 5.92. HS21 : Đạo hàm bằng logarit.
5.93. HS22 : Hay! Logarit tích thành tổng rồi đạo hàm. 5.94. HS24 : Mới lạ. Được đó. An là một superman.
5.95. HS25 : Bình dở quá hè. Chắc phải cho đi học lại mấy công thức đạo hàm thôi.
(Biên bản nhóm 5, phụ lục 6).
Hình 3.12. Nhóm 5 đánh giá về bài giải của bạn An và nhận xét của Bình
Như vậy, kết thúc pha 1 hai nhóm đã nhận ra ưu điểm của việc tính đạo hàm tích bằng cách sử dụng logarit. Trong nhận thức HS đã ghi nhận vai trò của logarit trong tính đạo hàm.
Đến pha 2, pha thảo luận của các nhóm về những đánh giá của nhóm 1, nhóm 5, lời giải của An và nhận xét của Bình. Qua các pha thảo luận các nhóm chỉ ra được:
+ Các nhóm đồng ý với lời giải của 2 nhóm ở bài 1.
+ Các nhóm đánh giá được việc sử dụng logarit tác động vào 2 vế của bạn An hay, việc chuyển từ tích sang tổng tạo lợi thế cho việc lấy đạo hàm.
+ Vì hàm số y=lnx có điều kiện nên việc đưa ra điều kiện chặt chẽ như An được các nhóm đồng tình đánh giá cao.
+ Lời nhận xét của Bình sai hoàn toàn vì đạo hàm (ln f x( )) f ( )( )x
f x ′ ′ = mà không phải ( ) ( ) ( )1 ln f x f x ′ = do hàm số y=ln f x( ) là hàm hợp.
+ Các nhóm thảo luận xoay quanh điều kiện x≠2, các nhóm đã điều chỉnh được những nhận xét sai của nhóm 1, 2, 4.
Như vậy, kết thúc pha 2 các nhóm đã tiếp cận được cách tính đạo hàm tích mới bằng cách sử dụng logarit. Tuy nhiên, vẫn có 3 nhóm cho rằng lời giải dài dòng, phức tạp.
3.9.3.3. Vận dụng vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit tính đạo hàm
Đến pha 3, có sự tiến triển rõ trong nhận thức của các nhóm HS. Tất cả các nhóm đều giải bài 3a, 3b theo chiến lược công cụ logarit. Không như thống kê kết quả thực nghiệm 1, có đến 23 HS (74,2%) giải sai bài 2 hay bỏ trống, không một HS nào sử dụng chiến lược công cụ logarit để giải. Điều này được thể hiện qua một số lời giải sau của các nhóm:
Hình 3.14. Lời giải bài 3a của nhóm 3
Hình 3.16. Lời giải bài 3b của nhóm 2
Cả 5 nhóm đều giải bài 3a theo chiến lược S’3 (Công cụ logarit). Tuy nhiên, chỉ 3 nhóm (nhóm 3, 4, 5) giải thành công bài 3a. Riêng nhóm 1 và 2 mất khá nhiều thời gian để quy đồng kết quả tính và rút gọn sai kết quả. Lời giải với chiến lược S’3 của nhóm 2 sau minh họa cho nhận xét:
Hình 3.17. Lời giải bài 3a của nhóm 2
Điều này có thể giải thích do thói quen của HS, khi tính toán đạo hàm phải rút gọn đến kết quả gọn nhất. Có lẽ HS nhận thấy kết quả đạo hàm thu gọn được. Dù nhóm 4 giải thành công bài 3a nhưng theo ghi nhận từ ghi âm của chúng tôi, nhóm đã dành nhiều thời gian cho bài 3a nên không có đủ thời gian để làm tiếp bài 3b.
Đến bài 3b, sự thay đổi chọn lựa các biến đã làm cho HS có những lúng túng trong trình bày bài giải. Cả 4 nhóm (nhóm 1,2, 3, 5) đều giải bài 3b theo chiến lược công cụ logarit. Chỉ nhóm 5 giải thành công bài 3b, nhóm 2 đúng kết quả nhưng sai tập xác định hàm số. Hai nhóm 1 và 3 giải theo chiến lược S’3 (công cụ logarit) và chuyển được về kết quả:
Hình 3.18. Trích lời giải bài 3b của nhóm 1
Tuy nhiên, cả hai nhóm sai lầm ở chỗ áp dụng ngay công thức đạo hàm ( ) (lnu x ) u x( )( ) u x ′ ′ = và u u v v u' 2 ' v v ′ − =
mà không dùng các tính chất của logarit để khai triển tiếp về các tổng hoặc hiệu. Có thể thấy rõ qua phần trình bày bài giải của nhóm 1 và nhóm 3:
Hình 3.19. Trích lời giải bài 3b của nhóm 1
Hình 3.20. Trích lời giải bài 3b của nhóm 3
Quan sát nháp thu thập được của nhóm 1 và nhóm 3 chúng tôi thấy họ đã áp dụng công thức 2 ' ' u u v v u v v ′ − = để tính đạo hàm của ( ) 2 2 1 ln 1 .2x x x − + . Cụ thể như sau:
Hình 3.21. Trích nháp giải bài 3b của nhóm 3
Nhóm 3 nhận ra dài quá và không đưa kết quả vào bài giải. Nhóm 1 cũng rơi vào
tình trạng tương tự. Điều này có thể được giải thích do thực nghiệm 2 của chúng tôi được tiến hành trong thời điểm HS lớp thực nghiệm mới tiếp xúc với logarit chưa nhiều. HS chỉ mới học được 6 tiết về logarit và các nội dung liên quan. Cụ thể:
Tiết 31 – 32 : Bài 3. Logarit Tiết 33: Luyện tập
Tiết 34 – 35 : Bài 4. Hàm số mũ và hàm số logarit Tiết 36: Luyện tập
Tiết 37 – 38 : PT mũ và logarit
(Phân phối chương trình THPT môn Toán17F
18, sở GD&ĐT BRVT, trang 21)
Quan sát các bài tập SGK Giải tích 12 tương ứng, chúng tôi ghi nhận các nhiệm vụ huy động tính chất biến biểu thức dạng tích, thương thành tổng, hiệu các logarit rất ít. Vì thế HS chưa được sử dụng nhiều các tính chất logarit để đơn giản hóa. Do vậy hai nhóm đã không biết giải quyết tiếp thế nào. Ngoài ra, thêm lí do nữa là do 2 nhóm (nhóm 1, nhóm 3) thực sự chưa phân phối thời gian hợp lí để giải toán. Có thể vấn đề thời gian đã tạo sức ép làm cho các nhóm chưa thể giải quyết được bài toán.
Như vậy, kết thúc pha 3 cả 5 nhóm đã hình dung được về vận dụng logarit như công cụ tính đạo hàm. Tuy nhiên chỉ hai nhóm thực sự vận dụng chúng một cách hiệu quả. Ba nhóm còn lại dù chưa thành công giải toán nhưng họ cũng đã biết huy động logarit vào đơn giản biểu thức dạng tích, thương.
Đến pha 4, sau phần trình bày của nhóm 2 (bài 3a) và nhóm 5 (bài 3b) thì tất cả các nhóm đã nhận ra được ưu điểm của việc sử dụng logarit trong tính đạo hàm tích, thương. Qua pha ghi âm chúng tôi ghi nhận được:
Tại sao nhóm mình quên mất logarit biến thương thành hiệu ha? Nếu nhớ thì chúng ta làm xong rồi. Uổng thiệt.
Do tính toán nhiều quá nên cuống cả ra rồi. (nhóm 3).
18Phân phối chương trình trung học phổ thông môn Toán của sở GD&ĐT Tỉnh BRVT được áp dụng từ năm học 2008 –
Bên cạnh đó, phần tranh luận sau bài giải của nhóm 2 và nhóm 5 đã cho thấy HS đã nhận thức được vai trò công cụ đơn giản hóa của logarit trong tính đạo hàm hàm số
có dạng tích và thương. Cụ thể như sau:
1. GV: Qua những bài này chúng ta học được gì?
2. HS : Một cách tính đạo hàm mới, đạo hàm theo logarit.
3. GV: Theo các em, cách tính đạo hàm theo logarit này áp dụng cho những hàm nào?
4. HS (Nhóm 3): Theo em, cách tính áp dụng được cho những hàm hợp ạ.
5. HS (Nhóm 4): Theo nhóm em, cách tính đạo hàm này áp dụng cho những hàm số có dạng tích và thương ạ.
6. GV: Câu trả lời của nhóm 4 đúng rồi. Vậy, logarit có vai trò gì trong đó?
7. HS (Nhóm 5): Dạ, logarit tác động vào tích và biến chúng thành tổng, hiệu các logarit và tính đạo hàm được.
8. GV: Thế tại sao chúng ta không sử dụng hàm khác tác động vào như hàm sin, cos, e mũ, … mà phải là hàm số logarit?
9. HS (Nhóm 5): Theo em, chúng ta sử dụng hàm logarit nêpe vì đạo hàm của ln f x( ) bằng
( ) ( )
'
f x
f x có tồn tại f '( )x .
10. GV: Thế các hàm hợpsin f x( ), cosf x( )…khi đạo hàm cũng tồn tại đạo hàm f '( )x vậy? Ưu thế hơn hẳn của hàm logarit ở chỗ nào?
(Cả lớp im lặng suy nghĩ)
11. HS (Nhóm 1): Theo em, ưu điểm nổi bật là logarit tác động vào tích, thương và biến chúng thành tổng, hiệu các logarit và tính đạo hàm được. Trong khi các hàm sin, cos không có tính chất đó.
Trên cơ sở hầu hết HS nhận ra ưu điểm của logarit trong tính đạo hàm, GV đề cập đến vai trò của logarit trong giải PT dạng af x( ).bg x( ) =c (PT cụ thể 2
1
2 .5x+ x =5) từ đó cho phép GV thể chế hóa được vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức của logarit.
Như vậy, qua các pha thực nghiệm hầu hết HS đã thực sự nhận thức được logarit là một công cụ đơn giản hóa được biểu thức dạng tích, thương về các dạng đơn giản, đặc biệt HS biết vận dụng logarit như công cụ tính đạo hàm hàm số phức tạp dạng tích hoặc thương.
3.10. Kết luận
Những phân tích ở các phần trên cho phép chúng tôi kết luận được trong nhận thức học sinh đã ghi nhận logarit là một công cụ để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp dạng tích, thương. Học sinh đã vận dụng vai trò công cụ này một cách linh hoạt và hiệu quả trong tính đạo hàm hàm số dạng tích, thương.
KẾT LUẬN CHUNG
Việc phân tích đồng thời khái niệm logarit ở khía cạnh nghĩa và vai trò công cụ ở cấp độ tri thức khoa học và cấp độ tri thức giảng dạy cũng như các kết quả thu được từ hai thực nghiệm 1 và 2 cho phép chúng tôi trả lời thỏa đáng cho những câu hỏi đặt ra từ đầu luận văn và khẳng định được các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra. Sau đây là một số kết quả chính của luận văn:
1. Trong chương 1, qua điều tra khoa học luận về nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong các công trình nghiên cứu và một số giáo trình đại học chúng tôi tổng hợp được:
+ Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit. Một là, định nghĩa trực tiếp – Logarit cơ số a của b, với 0< ≠a 1,b>0 là số thực α thỏa aα =b. Hai là, định nghĩa khái niệm logarit dựa trên khái niệm hàm số logarit – logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số y=loga x tại x=b.
+ Khái niệm logarit tồn tại bốn nghĩa: Nghĩa một, logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số
loga
y= x tại x=b. Nghĩa hai, logarit cơ số a của b là nghiệm của PT mũ x
a =b, khi
0< ≠a 1,b>0. Nghĩa ba, logarit cơ số a của b với 0< ≠a 1,b>0 là số thực α thỏa aα =b. Nghĩa bốn, logab là tỉ số giữa hai tích phân
1 1 b dx x ∫ và 1 1 a dx x
∫ (hay logab là tỉ số giữa hai diện tích có dấu 1 1 b dx x ∫ và 1 1 a dx x ∫ ).
+ Logarit được ứng dụng để giải các PT mũ dạng f x( )