M Ở ĐẦU
1 .2 Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit
2.3. Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 nâng cao
Logarit và các nội dung liên quan được [KN] trình bày trong chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit theo cấu trúc: 1.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 2.Lũy thừa với số mũ thực 3.Logarit 4.Số e và logarit tự nhiên 5.Hàm số mũ và hàm số logarit 6.Hàm số lũy thừa 7.Hàm số mũ và hàm số logarit 8.Hệ PT mũ và logarit
9.BPT mũ và logarit .
Cấu trúc có thay đổi so với [KC], [KN] đưa bài Hàm số lũy thừa sau Hàm số mũ và hàm số logarit với mục đích sử dụng logarit chứng minh công thức đạo hàm hàm lũy thừa. Việc bổ sung Hệ PT mũ và logarit nhằm “giúp học sinh biết cách giải một số dạng hệ PT mũ và logarit đơn giản” ([VN],tr.159). Tuy nhiên,“việc giải hệ PT mũ và logarit về cơ bản cũng giống như giải các hệ PT đại số mà học sinh đã học” ([VN], tr.159) nên kĩ thuật giải hệ PT mũ, logarit được thừa kế từ những kĩ thuật giải PT đại số đã học đặc biệt PT mũ và logarit.
2.3.1. Phần bài học
Tương tự [KC], [KN] giới thiệu hai tình huống đề cập đến nghĩa hai và ba của khái niệm logarit. Nghĩa ba được [KN] nhắc đến trong tiếp cận đầu tiên về khái niệm logarit ở bài
3.Logarit:
Cho a là một số dương khác 1 và b là một số dương. Số thực α để aα =b được gọi là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là logab, tức là α =logab ⇔ aα =b ([KN], tr.83)
Nghĩa hai được tiếp cận thông qua bài toán tìm nghiệm PT x
a =m dựa trên tương giao giữa đồ thị hàm số x
y=a và đường thẳng y=m.
Ngoài giới thiệu tường minh, nghĩa ba cũng được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật tính logbc
a , chứng minh công thức đạo hàm của hàm số x
y=a và giải các PTloga f x( )=b. Tuy nhiên, có hai điều khác biệt:
+ Dù b đưa được về a lũy thừa mũ số hữu tỉ nhưng [KN] vẫn ưu tiên kĩ thuật giải PT x
a =b huy động nghĩa hai.
Ví dụ 1. a) 3x = ⇔ =9 x log 93 ⇔ =x 2 b) 10x = ⇔ =1 x log1 ⇔ =x 0 ([KN], tr.119)
+ Đạo hàm của hàm lũy thừa được đề cập tường minh trong phần bài học.
Với mọi x>0, có:( ) ( )ln ln ( ) ( ) 1 1 . ln . ln . . . x x x e e x x x x x x α α α ′= ′= α ′= α α ′=α α =α α− ([KN], tr.115)
Như vậy, nghĩa hai đã được [KN] chú ý hơn trong giải PT x
a =b. Dù b đưa được về a
lũy thừa mũ số hữu tỉ nhưng [KN] vẫn ưu tiên công thức nghiệm x=logab giải toán. Tuy nhiên, dù bổ sung huy động nghĩa ba trong chứng minh công thức đạo hàm của
( )
y=xα α∈ nhưng các ví dụ sau đó chỉ sử dụng kết quả( ( ) ) 1( ) ( )
. . '
u x α ′ =αuα− x u x để tính
đã làm giảm vai trò của nghĩa ba.
Về mặt lý thuyết, nghĩa hai và ba của khái niệm logarit đã được [KN] chú ý hơn [KC]. Tuy vậy nghĩa một và nghĩa bốn vẫn không được [KN] quan tâm. Dù trong bài 5.Hàm số mũ và hàm số logaritcó đề cập “Với mỗi giá trị thực dương của x, ta luôn xác định được một giá trị loga x (duy nhất)” ([KN], tr.101) nhưng mục đích nhằm hợp thức hóa định nghĩa khái niệm hàm số logarit sau đó.
Về vai trò công cụ của khái niệm logarit:
Hai vai trò công cụ: đơn giản hóa biểu thức phức tạp dạng tích và tính số các chữ số đứng trước dấu phẩy của số thực dương được [KN] giới thiệu tường minh trong phần bài học. Vai trò công cụ đơn giản hóa được đề cập qua: chứng minh công thức đạo hàm hàm mũ, hàm lũy thừa; không sử dụng máy tính, tính b
a và giải các PT mũ dạng f x( )
a =b;
( ). ( ) . ( )
f x g x h x
a b =k c . Cụ thể những trình bày đó như sau:
• Trước khi có máy tính, để tính các lũy thừa với số mũ phức tạp, người ta thường dùng phương pháp “logarit hóa” với logarit cơ số 10 và các tính chất được thực hiện nhờ bảng số.
Ví dụ 6. Để tính 3,2
2,1 người ta làm như sau: - Tính 3,2
log 2,1 : 3,2
log 2,1 =3, 2 log 2,1 1, 0311≈
- Từ đó suy ra 3,2 1,0311
2,1 ≈10 ≈10, 7424 ([KN], tr.88)
• Ví dụ 7: Một người gửi 6 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?
Giải: Theo công thức lãi kép C=A(1+r)N, sau N năm gửi, người gửi sẽ có một số tiền là:
( )
6. 1 0, 0756+ N. Từ đó, ta phải tìm N sao cho : 12=6. 1 0, 0756( + ) ( )N 1
Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (1), ta được log12=log 6+Nlog 1 0, 0756( + ). Suy ra: log12 log 6 9, 51
log1, 0756
N= − ≈ . Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 12 triệu đồng từ số vốn 6 triệu đồng ban đầu. ([KN], tr.88 và tr.89)
• Ví dụ 8. Giải PT 1 2 2
3 .2x− x =8.4x−
logarit hóa hai vế theo cơ số 2. Ta có: 2
1 2
3 .2x− x =8.4x−
( ) 2 ( )
2 2 2
1 log 3 log 8 2 log 4
x x x ⇔ − + = + − 2 ( ) 2 2 2 log 3 1 log 3 0 x x ⇔ − − + − =
PT bậc hai cuối cùng có hai nghiệm x=1 và x= −1 log 32 . Đó là hai nghiệm của PT đã cho.
([KN], tr.122 và tr.123).
Như vậy, [KN] đề cập 3 ứng dụng khác nhau nhưng chúng có điểm chung: logarit cho phép chuyển về tính toán trên các biểu thức đơn giản hơn hoặc những kĩ thuật
giải đã có. Cụ thể như sau:
Ở ví dụ 6, [KN] giới thiệu kĩ thuật tính b
a không sử dụng máy tính. Theo đó để tính b
a
, cần lấy logarit thập phân tác động vào b
a , biến đổi thành bloga và tính log
10b a. Dù kết quả 1,0311
10 ≈10, 7424 không được thể hiện rõ, nhưng chúng tôi dự đoán chúng được thực hiện bởi bảng số.
Ở ví dụ 7 và 8, [KN] đã giới thiệu kĩ thuật giải c a. N =b và ( ) ( ) ( )
. .
f x g x h x
a b =k c nhờ sử dụng công cụ logarit. Thay vì giải trực tiếp, logarit tác động vào hai vế, chuyển giải PT đã cho về giải PT bậc nhất, bậc hai.
Về vai trò công cụ tính số các chữ số đứng trước dấu phẩy của số thực dương, [KN] trình bày như sau:
Rõ ràng khi x=10n thì logx=n. Còn với số x≥1 tùy ý, viết x trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là n+1, trong đó n là phần nguyên của logx, n=[logx].
Thật vậy, 10n là số tự nhiên bé nhất có n+1chữ số nên số các chữ số đứng trước dấu phảy của x bằng
1
n+ khi và chỉ khi 1
10n≤ <x 10n+ , tức là n≤logx n< +1; điều này chứng tỏ n=[ ]logx . Ví dụ 8. Để tìm số các chữ số của 2008
2 khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log2 là 0,3010 và được: [2008.log 2]+ =1 [2008.0,3010] 1 [604, 408] 1 605+ = + =
Vậy số 2008
2 có 605 chữ số. ([KN], tr.89)
Như vậy, logarit được [KN] giới thiệu như một công cụ hiệu quả tìm số chữ số đứng trước dấu phẩy của số thực dương x. Theo đó, số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là [logx]+1, với [logx] là phần nguyên của logx. Trên cơ sở đó logarit cho phép tính được số các chữ số của số nguyên dương khi viết trong hệ thập phân.
Về mặt lí thuyết, [KN] đã giới thiệu tường minh nghĩa hai và ba của khái niệm logarit, những ví dụ kèm theo mà lời giải huy động hai nghĩa và hai vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức và tính số chữ số trước dấu phẩy của một số thực dương x.
2.3.2. Phần bài tập
Liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit, [KN] và [TN] cũng đề cập 6 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4. Điều khác biệt, [KN] và [TN] đã bổ sung thêm 2 KNV TPTMu5 và TChuSo sau:
TPTMu5: “Giải PT mũ f x( ). g x( ) . h x( )
a b =k c với 0<a b c, , ≠1 và a b c, , đôi một khác nhau; k biểu diễn được về a hoặc b hoặc c lũy thừa mũ số nguyên”
TChuSo: “Tính số chữ số của một số nguyên dương n cho trước”
Nghiên cứu các nhiệm vụ thuộc 6 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4 chúng tôi ghi nhận:
+ Kĩ thuật giải 6 KNV tương tự trong [KC] và [TC]. Vì thế yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho mỗi kĩ thuật hoàn toàn không thay đổi.
+ Số lượng bài tập thuộc 6 KNV nhiều hơn. So với 50 nhiệm vụ trong [KC], [TC], chúng tôi thống kê được trong [KN], [TN] có 143 nhiệm vụ thuộc 6 KNV (Kể cả ví dụ và hoạt động). + Nhiều nhiệm vụ có nội dung thực tế đã được [KN] bổ sung như: tính số năm gởi theo thể thức lãi kép; tính số năm chất phóng xạ phân hủy,….Tuy nhiên, xét cho cùng chúng thuộc
TPTMu1. Vì thế, chúng tôi chỉ khảo sát TPTMu5 và TChuSo và không phân tích thêm về 6 KNV
TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4.
Về KNV TPTMu5:
Nhiệm vụ điển hình thuộc TPTMu5 ở [KN] và kết quả tương ứng trong [VN] như sau:
Bài 70. Giải các PT sau: […] c) 3 .8 1 36
x
x x+ = ([KN], tr.125) Kết quả trong [VN]: S ={2;− +(1 log 23 )} ([VN], tr.159)
Chúng tôi chỉ nhận được kết quả cung cấp từ [VN] mà không thấy lời giải cụ thể. Tuy nhiên xem xét lời giải ví dụ 8, phần bài học (đã nêu ra trong mục bài học) chúng tôi tìm ra kĩ thuật
6.CCLog
τ giải TPTMu5. Kĩ thuật giải được chúng tôi phát biểu dựa trên lời giải ví dụ mẫu trong [KN] và những đặc trưng sau:
+ Hai số a b, trong PT af x( ).bg x( ) =k c. h x( ) không thể đưa về lũy thừa mũ số hữu tỉ của cùng một cơ số và số c luôn đưa được về dạng c=a bm. n với m n, ∈.
+ PT af x( ).bg x( ) = k c. h x( ) luôn tồn tại một nghiệm vô tỉ dạng logyt.
Kĩ thuật τ6.CCLog:
+ Lấy logarit cơ số a (hoặc logarit cơ số b) hai vế PT ( ) ( ) ( )
. g x . h x
f x
a b =k c , chuyển PT đã cho về PT đại số.
+ Giải PT đại số bằng các kĩ thuật giải PT (PT bậc nhất, bậc hai,…) đã học. + Đối chiếu nghiệm PT đại số với điều kiện PT đã cho và kết luận.
Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên:
+ Các tính chất của logarit.
+ Các định lí về nghiệm của PT bậc nhất, bậc hai, PT tích. + Tính đơn điệu của hàm logarit y=loga x hoặc y=logbx.
Nhận xét:
Sự lựa chọn của các tác giả SGK về đặc trưng cho TPTMu5 đã tạo điều kiện cho chiến lược sử dụng logarit tác động vào hai vế PT trở thành tối ưu. Thay vì giải trực tiếp, logarit cho phép chuyển PT về dạng có thể giải được. Do đó, TPTMu5 đã tạo môi trường thích hợp cho vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức của logarit được hình thành ở HS.
Về KNV TChuSo:
Nhiệm vụ duy nhất cho TChuSođược trình bày ở [KN] và lời giải từ [VN] như sau:
Bài 40. Số nguyên tố dạng Mp=2p−1, trong đó p là một số nguyên tốt được gọi là số nguyên tố Mec-xen (M.
Mersenne, 1588 – 1648, người Pháp). Ơ - le phát hiện M31năm 1750. Luy- ca (E.Lucas, 1842 – 1891, người Pháp)
phát hiện M127năm 1876. M1398269được phát hiện năm 1996. Hỏi rằng nếu viết ba chữ số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số? ([KN], tr.93)
Lời giải được trích từ [VN]:
31 31 2 1
M = − và số các chữ số của M31 khi viết trong hệ thập phân bằng số các chữ số của 231 nên số các chữ số của M31 là: [31.log 2]+ =1 [9, 3] 1 10+ = . Tương tự, số các chữ số của 127
127 2 1
M = − khi viết trong hệ thập phân là:M127=[127.log 2] 1 38 1 39+ = + = . Số các chữ số
của M1398269 khi viết trong hệ thập phân là: [1398269.log 2] 1 420921+ = ([VN], tr.137)
Qua lời giải mong đợi, chúng tôi tìm thấy kĩ thuật τChuSo giải TChuSonhư sau: + Tìm phần nguyên của số logn.
+ Số các chữ số của số nguyên dương n là [log ] 1n + . Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên:
+ Tính chất của logarit, số thực và phần nguyên của số thực.
Nhận xét:
+ KNV TChuSo là một nhiệm vụ con của tính số các chữ số trước dấu phẩy của số thực dương. Kĩ thuật τChuSo là kĩ thuật tối ưu để tính số chữ số của số nguyên bất kì.
+ Số lượng bài tập ít ỏi (chỉ 3 bài tập) cho thấy [KN], [TN] không quan tâm nhiều đến vai trò công cụ này, những trình bày chỉ mang tính chất giới thiệu.
Ngoài ra, [KN] bổ sung nhiều bài đọc thêm về logarit. [KN] đã cung cấp thêm thông tin: logarit ra đời để đơn giản hóa nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương (bài “Về lịch sử phát minh logarit và bảng logarit”) và logarit chuyển nồng độ ion H+ về đại lượng pH dễ kiểm soát hơn (“Logarit trong một số công thức đo lường”). Tuy nhiên, học sinh hoàn toàn không được thao tác chúng, sử dụng chúng. Vì thế các vai trò công cụ này không tồn tại ở học sinh.
Dưới đây là bảng thống kê bài tập thuộc 8 KNV có mặt trong [KN] và [TN] liên quan đến nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit. Cụ thể như sau:
Bảng 2.2. Thống kê bài tập của 8 kiểu nhiệm vụ TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4, TPTMu5, TChuSo trong [KN] và [TN]
KNV
Kĩ thuật [KN], [TN] ưu tiên giải quyết
KNV
Nghĩa của khái niệm logarit được đề cập Số lượng bài tập Hoạt động, ví dụ Trong [KC] Trong [TC] Tổng số TTinh Nghĩa ba 2 6 18 26 TPTLog Nghĩa ba 8 26 28 62
TPTMu1 Công cụ logarit Nghĩa ba 1 7 5 13
TPTMu3 Cùng cơ số 2 5 10 17
TPTMu2 Cùng cơ số 0 6 4
18
Nghĩa 2 logarit Nghĩa hai 1 3 4
TPTMu4 Cùng cơ số 1 2 2
8
Công cụ logarit 0 1 2
TPTMu5 Công cụ logarit 2 2 2 6
TChuSo Công cụ logarit 1 1 1 3
Tổng 18 59 76 153
Nghĩa ba được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật giải TTinh, TPTLog, TPTMu1 với số lượng bài tập áp đảo (90/97 bài tập huy động hai nghĩa), trong khi nghĩa hai chỉ được vận dụng trong kĩ thuật giải PT x
a =b khi b không đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ với số lượng ít ỏi (7/97 bài).
Vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức được thể hiện trong kĩ thuật giải TPTMu1, TPTMu4, TPTMu5 khi b không biểu diễn được về dạng n
a , n∈ với 19 bài tập. So với [KC] và [TC] thì [KN], [TN] có để ý đến vai trò công cụ này. Tuy nhiên, trong 55 bài thuộc 5 KNV TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4, TPTMu5 kĩ thuật đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ vẫn chiếm tỉ lệ cao (36/55). Vai trò công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước của logarit chỉ chiếm tỉ lệ rất nhỏ (2 bài).
2.3.3. Kết luận
+ Khái niệm logarit cơ số 𝑎 của b được định nghĩa là số thực 𝛼 thỏa 𝑎𝛼 =𝑏.
+ [KN] giới thiệu tường minh hai nghĩa (nghĩa hai, nghĩa ba) của khái niệm logarit trong định nghĩa đầu tiên về khái niệm logarit và biện luận nghiệm PT x
a =m.
+ Nghĩa hai được sử dụng giải PT ax=b dù b đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ. Trong khi nghĩa ba được huy động trong kĩ thuật tính logbc
a , giải các PTloga f x( )=b, chứng minh công thức đạo hàm của hàm mũ x
y=a và hàm lũy thừa y=xα.
+ Nghĩa thứ nhất và nghĩa bốn của khái niệm logarit không được để ý đến, hoàn toàn vắng mặt trong các KNV liên quan của [KN] và [TN].
+ [KN] giới thiệu tường minh vai trò tính số các chữ số trước dấu phẩy của số thực dương và vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức qua: chứng minh công thức đạo hàm của hàm mũ, lũy thừa; không sử dụng máy tính, tính b
a và giải các PT f x( )
a =b, af x( ).bg x( ) =k c. h x( ) khi b không đưa được về a lũy thừa với mũ số hữu tỉ.
+ Phần bài tập, [KN] và [TN] đề cập 8 KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1, TPTMu2, TPTMu3, TPTMu4,
TPTMu5 và TChuSoliên quan đến nghĩa và vai trò công cụ. Chúng tôi sơ đồ hóa sự thể hiện của
[KN], [TN] về các KNV liên quan nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit qua hình 2.2 sau (Trang sau):
+ Nghĩa ba được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật giải các KNV TTinh, TPTLog, TPTMu1 với số lượng bài tập tương đối nhiều thì nghĩa hai chỉ được huy động trong kĩ thuật giải TPTMu2 khi b không đưa được về a lũy thừa với mũ số hữu tỉ.