M Ở ĐẦU
2.2.Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản
1 .2 Một số cách tiếp cận định nghĩa khái niệm logarit
2.2.Nghĩa và vai trò công cụ của logarit trong Giải tích 12 ban Cơ bản
Khái niệm logarit và các vấn đề liên quan được [KC] đưa ra trong chương II. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit theo cấu trúc sau: 1.Lũy thừa 2.Hàm số lũy thừa 3.Logarit 4.Hàm số mũ. Hàm số logarit 5.PT mũ và PT logarit 6.BPT mũ và BPT logarit.
Chúng tôi xét thấy: hai nghĩa của khái niệm logarit được [KC] giới thiệu tường minh qua 2 tình huống: Thứ nhất, định nghĩa đầu tiên về khái niệm logarit ở bài 3.Logarit. Từ bài toán “cho số dương a, biết b, tìm α thỏa PT aα =b”([KC], tr.61), [KC] tuyên bố “Người ta chứng minh được rằng với hai số dương a b a, ; ≠1, luôn tồn tại duy nhất số α sao cho
aα =b” ([KC],tr.62) và định nghĩa khái niệm logarit:
Cho hai số dương ,a b với a≠1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα =b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab . α =logab ⇔ aα =b ([KC], tr.62)
Thứ hai, tình huống xét sự tồn tại nghiệm của PT ax =b trong bài 6.PT mũ và PT logarit. Theo đó, [KC] trình bày:
Để giải PT trên15F
16, ta sử dụng định nghĩa logarit. Với b>0, ta có ax = ⇔ =b x logab
Với b≤0, PT vô nghiệm. ([KC], tr.79)
Như vậy, khái niệm logarit cơ số a của b được [KC] tiếp cận theo hai nghĩa khác nhau. Trong khi nghĩa ba được [KC] giới thiệu tường minh trong định nghĩa đầu tiên thì tình huống 2 cho phép tiếp cận khái niệm theo nghĩa hai.
Theo chúng tôi, hai cách tiếp cận có điểm lợi riêng: Tiếp cận theo định nghĩa trực tiếp ngược với lịch sử toán học, dù sự tồn tại của số α thỏa aα =b chưa được chứng minh nhưng cho phép HS tiếp cận logarit và các tính chất dựa trên lũy thừa mũ số thực. Trong khi theo tình huống 2, dựa trên tương giao giữa hai đồ thị hàm x
y=a và y=b cho HS cái nhìn trực quan về sự tồn tại số logab. Như dự đoán, các tính chất logarit đều được chứng minh dựa trên các tính chất lũy thừa mũ số thực.
Bên cạnh giới thiệu tường minh trên, hai nghĩa được củng cố qua kĩ thuật giải ví dụ minh họa. Nghĩa ba được đề cập qua “ví dụ 1:a) log 82 =3 vì 3
2 =8, 1 3 ) log 9 2 b = − vì 2 1 9 3 − =
” ([KC], tr.62), trong khi nghĩa hai được huy động trong kĩ thuật “Giải PT
2 1 1
2 x− +4x+ =5”:
Giải. Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được 1.4 4.4 5 2 x+ x = hay 10 4 9 x = . Vậy 4 10 log 9 x= ([KC], tr.80)
Ngoài ra, [KC] giới thiệu thêm 3 nhiệm vụ mà kĩ thuật giải vận dụng nghĩa ba:
+ Thứ nhất, ở phần tính chất [KC] có đề cập “Cho hai số dương a và b a, ≠1. Ta có các tính chất sau đây: logab
a =b” ([KC], tr.62) và đưa ra ví dụ mà kĩ thuật giải huy động nghĩa ba: “Ví dụ 2: 3 ( 3 ) ( )
2 2
2log 5 log 5
) 3 3 5 25
a = = = ” ([KC], tr.62)
+ Thứ hai, trong chứng minh công thức đạo hàm của hàm x
y=a ở bài 4.Hàm số mũ. Hàm số logarit, cụ thể như sau:
Định lí 2: Hàm số y=ax(a>0,a≠1) có đạo hàm tại mọi x và ( )ax ′ =ax.lna
Chứng minh. Ta có x lnax xlna a =e =e . Đặt u x( )=xlna. Theo chú ý16F 17trên, ta được: ( ) ( )ln ln ( ) . ln ln x x a x a x a ′= e ′=e x a ′=a a ([K C], tr.72) 16PT mũ cơ bản ax =b a( >0,a≠1)
+ Thứ ba,giải các PT loga f x( )=b (a>0,a≠1) ở bài 5.PT mũ và PT logarit:
Ví dụ 5. Giải PT log3x+log9 x+log27 x=11.
Giải. Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được: log3 1log3 1log3 11 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2 3 x+ x+ x= 3 log x 6 ⇔ = Vậy 6 3 729 x= = . ([KC], tr.83) Nhận xét:
Nghĩa ba của khái niệm logarit tham gia ngầm ẩn trong kĩ thuật rút gọn các biểu thức
logbk
a , biến đổi ax thành lnax
e và giải PT loga f x( )=b. Theo đó, tính chất logab
a =b góp phần đưa ra giá trị rút gọn cho logbk
a ; tạo điều kiện đạo hàm của x
y=a , hàm hợp u x( )
y=a
được tính thông qua đạo hàm của u x( )
y=e và đưa ra nghiệm cụ thể cho PT logax=b. Tuy nhiên, chúng tôi quan sát được “biến đổi x
a thành elnax” chỉ được huy động để chứng minh công thức đạo hàm của x
y=a , riêng bài tập thực sự không sử dụng biến đổi này.
Như vậy, về mặt lí thuyết, [KC] giới thiệu tường minh 2 nghĩa (nghĩa hai, nghĩa ba) của khái niệm logarit và đưa ra các nhiệm vụ huy động hai nghĩa vào kĩ thuật giải. Trong khi đó, nghĩa một hoàn toàn không được [KC] chú ý đến.
Về vai trò công cụ, [KC] đưa ra hai tình huống huy động logarit như công cụ biến đổi. Thứ nhất, trong chứng minh công thức đạo hàm hàm x
y=a (đã trích dẫn trên). Thứ hai, trong kĩ thuật giải PT 2
3 .2x x =1 ở bài 5.PT mũ và PT logarit, cụ thể:
Giải. Lấy logarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là logarit hóa), ta được:
( 2) ( ) 2
3 3 3 3
log 3 .2x x =log 1 ⇔ log 3x+log 2x =0
Từ đó ta có: 2 ( )
3 3
.log 2 0 1 .log 2 0
x+x = ⇔ x +x =
Vậy PT đã cho có các nghiệm là x1 =0 và 2 2 3
1
log 3 log 2
x = − = − ([KC], tr.81)
Trong chứng minh đạo hàm của x (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
y=a , khái niệm logarit tham gia biến đổi x
a thành ln
x a
e , từ đó tạo điều kiện huy động công thức đạo hàm u x( )
y=e . Tuy nhiên, không ví dụ nào sau đó áp dụng biến đổi x
a thành xlna
e phần nào đã hạn chế vai trò công cụ biến đổi biểu thức u x( )
a .
17Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số u ( ( ))
Vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp của logarit thực sự được phát huy trong kĩ thuật giải PT ( ) ( )
.
f x g x
a b =c. Bằng cách lấy logarit cơ số a hoặc b hai vế, PT đã cho chuyển về PT có thể giải được bằng kĩ thuật thông thường.
Nghiên cứu ở chương 1 cho thấy: vai trò công cụ còn được thể hiện trong giải PT
( )
f x
a =b và af x( )=bg x( ). Tuy nhiên, phần trình bày của [KC] ở hoạt động 1 và ví dụ 2 sau đã phần nào hạn chế sử dụng logarit như công cụ tính toán:
Hoạt động 1. Giải PT 62x−3 =1 bằng cách đưa về dạng A x( ) B x( ) a =a và giải PT A x( )=B x( ). Ví dụ 2. Giải PT ( )5 7 2 1 1, 5 3 x x + − =
Giải. Đưa hai vế về cùng cơ số 3
2, ta được 5 7 1 3 3 2 2 x− − −x =
Do đó 5x− = − −7 x 1 ⇔ x=1. Vậy PT có nghiệm duy nhất x=1 ([KC], tr.80)
[KC] đã ưu tiên sử dụng kĩ thuật, chúng tôi gọi là đưa về cùng cơ số, để giải các nhiệm vụ trên. So với dạng tổng quát f x( )
a =b và f x( ) g x( ) a =b , rõ ràng số b trong các 62x−3=1 và ( )5 7 2 1 1, 5 3 x x + −
= đưa được về alũy thừa với mũ số hữu tỉ. Có lẽ do chọn lựa này mà [KC] đã sử dụng kĩ thuật đưa về cùng cơ số ? Phải chăng thông qua mục này các tác giả cung cấp một thông tin: nếu số b trong các PT f x( )
a =b, f x( ) g x( )
a =b đưa được về alũy thừa với mũ số hữu tỉ thì GV và HS nên sử dụng kĩ thuật đưa về cùng cơ số để giải. Kĩ thuật logarit hóa (lấy logarit tác động vào hai vế PT) chỉ được áp dụng giải ( ) ( )
.
f x g x
a b =c khi b không đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Như vậy, về mặt lí thuyết [KC] đã giới thiệu tường minh các nhiệm vụ mà kĩ thuật giải huy động nghĩa hai và ba của khái niệm logarit hay vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức.
2.2.2. Phần bài tập
Liên quan đến nghĩa của khái niệm logarit, [KC] và [TC] đề cập 4 KNV sau:
TTinh: Tính giá trị của biểu thức dạng logbk
a .
TPTLog: Giải các PT logarit đưa được về dạng loga f x( )=b với 0< ≠a 1.
TPTMu1: Giải các PT mũ dạng 1 (PT mũ dạng f x( )
a =b trong đó b không đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ và f x( )≠x) hoặc đưa được về dạng 1.
TPTMu2: Giải các PT mũ đưa được về dạng cơ bản ax =b.
Trước hết, chúng tôi xét KNV TTinh. Một nhiệm vụ điển hình được trích từ [KC]:
Bài 2. Tính: b) log 29
Lời giải mong đợi của [KC] được trích từ trang 82 của [VC] như sau: 3 2 3 2 9 3 log 2 3 3log 2 log 2 2 27 3 3 2 2 2 = = = =
Đặc trưng điển hình của TTinh là: a, b có thể biến về dạng a c= r và b c= s với r s, ∈.Đặc trưng này được kiểm chứng bởi quy tắc hợp đồng R1 ở đề tài “Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thông” của tác giả Hoàng Hùng. Từ đặc trưng, lời giải mong đợi trên chúng tôi rút ra kĩ thuật τTinh giải TTinhnhư sau:
- Biến đổi biểu thức về dạng rlogcsk
c .
- Sử dụng các tính chất của logarit đưa biểu thức về dạng
log r s c k c .
- Dùng định nghĩa logarit, tính được kết quả giá trị biểu thức
r s
k . Yếu tố công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật giải trên là: - Các tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính chất của logarit. - Định nghĩa của khái niệm logarit.
Chúng tôi nhận thấy nghĩa ba của khái niệm logarit đã được huy động ngầm ẩn trong kĩ thuật giải quyết TTinhở bước rút gọn
log r s c k c về r s
k . Chính yếu tố này mà KNV TTinhđã tạo cơ hội cho HS vận dụng nghĩa ba khái niệm logarit.
Về KNV TPTLog . Nhiệm vụ tiêu biểu được trích từ bài tập [KC] như sau:
Bài 3. Giải các PT logarit: […] c) log2(x− +5) log2(x+2)=3 ([KC], tr.84) Lời giải được trích từ trang 96 của [VC]:
Với điều kiện x>5, ta có: log2(x−5)(x+2)=3 hay (x−5)(x+2)=8
Giải PT bậc hai này, ta tìm được nghiệm x=6 thỏa mãn điều kiện trên.
Lời giải bài toán trên có nét tương tự lời giải ví dụ 5, phần bài học. Theo đó để giải PT
( )
loga f x =b, nghĩa ba của khái niệm được huy động biến đổi về ( ) b (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
f x =a . Từ các lời giải trên chúng tôi rút ra kĩ thuật τDnLog giải quyết TPTLognhư sau:
+ Đặt điều kiện xác định cho PT (nếu có).
+ Dùng các tính chất của logarit, các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả đưa PT về dạng loga f x( )=b.
+ Biến đổi loga f x( )=b về ( ) b
f x =a và giải PT ( ) b
f x =a .
Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên:
+ Điều kiện xác định của các biểu thức đại số và biểu thức chứa logarit. + Phép biến đổi tương đương, hệ quả PT và các tính chất của logarit. + Định nghĩa khái niệm logarit và kĩ thuật giải PT đại số.
Rõ ràng, yếu tố công nghệ “định nghĩa khái niệm logarit” đóng vai trò quan trọng trong kĩ thuật giải TPTLog. Bước chuyển loga f x( )=b về ( ) b
f x =a giúp đưa
PT đã cho về PT có thể giải được. Do vậy, KNV TPTLog đã đem lại môi trường sống thích hợp cho nghĩa ba khái niệm logarit.
Về các kiểu nhiệm vụ TPTMu1, TPTMu2:
TPTMu1, TPTMu2 là các KNV con của TGiaiPT1 (Giải các PT mũ đưa được về dạng f x( )
a =b với
0< ≠a 1,b>0) được chúng tôi nêu ra ở chương 1. Ngoài ra, một KNV con của TGiaiPT1 liên quan đến giải PT f x( )
a =b được trình bày trong [KC] như sau:
TPTMu3:Giải các PT mũ dạng 2 (Các PT mũ chuyển được về dạng f x( )
a =b trong đó b đưa được về a lũy thừa mũ hữu tỉ và f x( )≠x) hoặc đưa được về dạng 2.
Theo chương 1, chúng tôi tìm thấy 3 kĩ thuật giải TGiaiPT1, cụ thể:
Kĩ thuật τ1.CCLog- Công cụ logarit: + Điều kiện cho PT (nếu có).
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )
a =b. + Lấy logarit cơ số a (hoặc b) hai vế của PT f x( )
a =b được PT f x( )=logab. + Giải f x( )=logab theo ẩn x, đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT.
Kĩ thuật τ1.MuLog- Đưa về cùng cơ số mũ logarit: + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )
a =b. + Biến đổi b thành logab
a đưa PT đã cho về f x( ) logab
a =a . + Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa PT f x( ) logab
a =a về f x( )=logab( )2 .
+ Giải PT (2) bằng các kĩ thuật giải PT đại số.
Kĩ thuật τ1.MuHuuTi- Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Điều kiện xác định PT (nếu có).
+ Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng f x( )
a =b. + Tìm số hữu tỉ n thỏa n
b =a , biến đổi PT đã cho thành f x( ) n
+ Giải PT f x( )= n và tổng hợp nghiệm PTđã cho.
Ngoài ra, dựa trên định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit chúng tôi dự kiến kĩ thuật định nghĩa logarit (kí hiệu τ1.DnLog) giải TPTMu1, TPTMu3và kĩ thuật nghĩa 2 logarit (kí hiệu τ1.Nghia2) giải TPTMu2 . Chúng tôi phân ra như vậy bởi τ1.DnLog huy động nghĩa ba, trong khi τ1.Nghia2 huy động nghĩa 2 của khái niệm logarit.
Cụ thể, kĩ thuật τ1.DnLog được mô tả như sau:
+ Dùng các tính chất của lũy thừa với mũ số thực, các phép biến đổi tương đương đưa PT đã cho về các dạng f x( )
a =b. + Nếu b≤0 thì không có x thỏa f x( )
a =b. Nếu b>0 thì sử dụng trực tiếp định nghĩa logarit chuyển f x( )
a =b thành f x( )=logab. + Giải PT f x( )=logab và tổng hợp nghiệm PT.
Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật τ1.DnLog:
+ Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả các PT và các tính chất của lũy thừa với mũ số thực.
+ Định nghĩa khái niệm logarit.
Kĩ thuật τ1.Nghia2:
+ Dùng các phép biến đổi đưa PT về các dạng cơ bản x
a =b. + Nếu b≤0 thì không có x thỏa x
a =b. Khi b>0, tìm được x=logab.
+ Khi tất cả ax =b vô nghiệm thì PT đã cho vô nghiệm. Khi một trong các PT cơ bản
x
a =b có nghiệm thì hợp tất cả nghiệm của các PT cơ bản.
Công nghệ, lý thuyết biện minh cho kĩ thuật trên:
+ Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả các PT và các tính chất của lũy thừa với mũ số thực.
+ Cách giải và biện luận PT x
a =b được tóm tắt trong bài PT mũ và tính đơn điệu của hàm số lũy thừa x
y=a .
Xét KNV TPTMu1:
Một nhiệm vụ tiêu biểu của TPTMu1 được trình bày trong [TC] như sau:
Ví dụ 1. Giải các PT sau: […] d) e2x−4e−2x=3 Giải: Đặt 2 ( ) 0 x t=e t> , ta có PT 4 3 t t − = hay 2 3 4 0 t − − =t .
PT này chỉ có một nghiệm dương t=4, suy ra 2 4 x e = . Vậy 1ln 4 2 x= hay x=ln 2. ([TC], tr.95) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chúng tôi chưa thấy rõ bước chuyển từ 2
4
x
e = về 1ln 4 2
x= được [TC] thực hiện như thế nào? Kĩ thuật nào trong τ1.CCLog, τ1.MuLog, τ1.MuHuuTi, τ1.DnLog được sử dụng bởi GV khi dạy?
Phỏng vấn 10 GV giảng dạy Toán 12 và chúng tôi được kết quả như sau: 7 GV giải bài toán theo kĩ thuật τ1.DnLog, kèm theo giải thích “sử dụng định nghĩa logarit để biến đổi tiện lợi hơn nhiều” trong khi đó chỉ có 3 GV cho rằng kĩ thuật τ1.CCLog có thể áp dụng cho nhiều dạng PT mũ khác như f x( ) g x( )
a =b hay af x( ).bg x( )=c. Như vậy, các GV giảng dạy đã ưu tiên dùng kĩ thuật τ1.DnLog để giải quyết TPTMu1. Kĩ thuật τ1.CCLog phát huy vai trò công cụ đơn giản hóa biểu thức nhưng được ít GV chọn. TPTMu1đã tạo môi trường sống cho nghĩa ba của