Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM ^ ] BÙI LÊ PHẠM MỸ PHƯƠNG LỚP DH5A2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP Khóa :2004 – 2008 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: Th S Vương Vĩnh Phát Long Xuyên, An Giang 05 - 2008 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát LỜI CẢM ƠN Trước hết em xin gởi lời cám ơn chân thành đến thầy Vương Vĩnh Phát – người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình để em hồn thành khố luận Em chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, toàn thể thầy cô khoa sư phạm đặc biệt thầy mơn Tốn tạo điều kiện để em thực khóa luận Tiếp theo, em xin chân thành cảm ơn thầy phản biện đóng góp ý kiến cho khóa luận em để em học hỏi thêm, biết sai sót thân mà khắc phục, chuẩn bị cho công việc dạy học giáo dục sau trường Kế đến, em xin cảm ơn thầy cô trường THPT Nguyễn Khuyến tạo điều kiện sẵn sàng giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho luận văn em để em tiến hành khảo sát Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới bố mẹ, thầy cô, bạn bè – tất người động viên, giúp đỡ công sức tinh thần cho công việc nghiên cứu hoàn thành tốt đẹp Lời cuối xin chúc sức khỏe tất thầy cô, chúc thầy ln hồn thành tốt nhiệm vụ giao Chân thành cảm ơn ! SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Đối tượng nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Mục đích nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI Giả thuyết khoa học VII Lợi ích luận văn VIII Cấu trúc luận văn PHẦN NỘI DUNG .4 A Cơ sở lí luận I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số II Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số Phương pháp dùng bất đẳng thức 2.1 Bất đẳng thức Cauchy 2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski 2.3 Các bất đẳng thức lượng giác 2.4 Các bất đẳng thức trị tuyệt đối Phương pháp miền giá trị hàm số Phương pháp dùng lũy thừa với số mũ chẵn 10 Phương pháp dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm 11 Phương pháp tọa độ - vectơ 13 Phương pháp lượng giác hóa 14 B Một số tốn minh họa cách dùng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 17 C Ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ vào việc giải toán 33 I Ứng dụng vào việc giải biện luận phương trình, bất phương trình, 33 SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát II Ứng dụng vào việc tìm điều kiện để hàm số có chứa tham số đồng biến nghịch biến khoảng xác định 37 III Ứng dụng vào số toán thực tế 40 D Khảo sát thực tế 50 I Mục đích việc nghiên cứu 50 II Biện pháp nghiên cứu 50 III Kết 50 PHẦN KẾT LUẬN 56 HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 58 PHỤ LỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát PHỤ LỤC PHỤ LỤC : TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU HỎI Ý KIẾN GIÁO VIÊN Em tên : Bùi Lê Phạm Mỹ Phương MSSV : DTN040604 Em thực đề tài khóa luận tốt nghiệp : “Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số ứng dụng vào thực tiễn “ Kính mong thầy cô cho biết số ý kiến đề tài : 1/- Đối với học sinh, toán : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ “ tốn : A/ Rất khó B/ khó C/ dễ D/ Rất dễ 2/- Số lượng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sách giáo khoa : A/ Rất nhiều B/ Nhiều C/ D/ Rất 3/- Chúng ta có thường gặp tốn “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ “ thi ( thi tốt nghiệp, đại học, thi học sinh giỏi, … ) hay không ? A/- Thường xuyên B/ C/ D/ Khơng có 4/- Cung cấp số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh việc làm : A/ Rất cần thiết B/ cần thiết C/ cần D/ Khơng cần 5/- Thầy có nhìn nhận mức độ hiểu biết học sinh ứng dụng toán học thực tế, đặc biệt dạng tốn: “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” ? 6/- Theo thầy, việc cho học sinh biết ứng dụng việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thực tiễn có ý nghĩa ? ( biết liên hệ học thực tiễn, tăng hứng thú học tập, … ) 7/- Ý kiến khác đề tài : GV ký ghi rõ họ tên SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát PHỤ LỤC 2: TRƯỜNG ĐH AN GIANG CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Khoa sư phạm Độc lập – Tự Do – Hạnh phúc # " # " PHIẾU THĂM DÒ Họ tên : …………………………………………Lớp : ……………………… Trường : ………………………………………… Học lực : ………………… Xin bạn vui lòng chọn câu trả lời mà bạn cho thích hợp 1/- Em có cảm thấy thích giải tốn có phương pháp để giải ? A/ Rất thích B/ thích C/ Khơng thích D/ khơng 2/- Tự em có nghĩ đến việc hệ thống lại phương pháp giải dạng tốn hay khơng ? A/ Thường xun B/ Thỉnh thoảng C/ Ít D/ khơng có 3/- Thầy ( ) em có thường hệ thống lại phương pháp giải dạng tập cho em hay không ? A/ thường xuyên B/ Thỉnh thoảng C/ Ít D/ khơng có 4/- Đối với thân em tốn : “ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ “ tốn : A/Rất khó B/ khó C/ dễ D/ dễ 5/- Đối với tốn : “tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ “ , em làm : A/ nhiều B/ Ít C/ D/ khơng có 6/- Em hiểu biết ứng dụng toán học thực tiễn ? A/ Nhiều B/ C/ D/ khơng biết 7/- Thầy ( ) em có thường giới thiệu cho em ứng dụng toán học thực tiễn hay không ? A/ Thường xuyên B/ thỉnh thỏang C/ D/ khơng có 8/- Nếu biết vài ứng dụng tốn học nói chung, tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nói riêng em có cảm thấy thích học mơn tốn hay khơng ? Vì ? Ký tên SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát PHỤ LỤC : MỘT SỐ Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH PHỔ THÔNG SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bittinger, Morrel – Applied calculus – third edition [2] Doãn Minh Cường (chủ biên) 2003 “ Tốn ơn thi đại học ” NXB Đại Học Sư phạm [3] Hoàng Chúng (chủ biên) 1993 “ Các toán cực trị ” NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên) 2000 “Tuyển tập 599 tốn lượng giác ” NXB Hải Phịng [5] Nguyễn Đức Đồng (chủ biên) 2001 “ Tuyển tập 670 tốn rời rạc cực trị ” NXB Hải Phịng [6] Nguyễn Hữu Điển 2005 “ Giải toán Đại lượng phương pháp cực biên ” NXB Giáo Dục [7] Nguyễn Thái Hòe 2004 “ Rèn luyện tư qua việc giải tập toán ” NXB Giáo Dục [8] Nguyễn Văn Nho 2002 “ Lê Hồng Phị – Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ ” NXB Giáo Dục [9] Phạm Trọng Thư 2007 “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đại số ” NXB Đại Học Sư Phạm [10] Phan Huy Khải 2005 “ Giá trị lớn nhỏ hàm số ” NXB Giáo Dục [11] Trần Văn Hạo (chủ biên) 2005 “ Chuyên đề Bất đẳng thức luyện thi vào đại học ” NXB Giáo Dục [12] Võ Đại Mau – Võ Đại Hồi Đức 2000 Các phương pháp đặc biệt tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số NXB Trẻ [13] Vũ Hữu Bình 2007 “ Nâng cao phát triển toán ” NXB Giáo Dục [14] Ngô Thúc Lanh ( chủ biên ) 2000 Giải tích 12 NXB Giáo Dục [15] Tốn học tuồi trẻ (từ tháng đến tháng 12/2007, từ tháng đến tháng 4/2008 [16] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán Học & Tuồi trẻ ( Quyển & Quyển 2) – NXB Giáo Dục SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát PHẦN MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mục đích việc giảng dạy mơn tốn trường trung học dạy học sinh kiến thức toán, cách giải tập, rèn luyện kỹ giải toán, giúp học sinh khai thác hoạt động tiềm ẩn nội dung mơn tốn hình thành tư logic cho học sinh Vì vậy, người giáo viên cần phải dạy cho học sinh giải tập Từ đó, yêu cầu đặt giáo viên phải dạy học sinh phương pháp giải dạng tốn Chương trình tốn trung học có nhiều dạng tập khác Trong có nhiều dạng khó chứng minh bất đẳng thức, biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình, Và dạng : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng ” nằm số Các dạng tập gọi chung tốn tìm cực trị hay toán cực trị Đây thực chuyên đề khó chương trình tốn trung học toán cực trị phong phú, phạm vi nghiên cứu vấn đề lại rộng Và lại dạng toán quan tâm đến nhiều kì thi tuyển chọn học sinh giỏi nước quốc tế Thế nhưng, sách giáo khoa có tập dạng điều kiện khách quan mà sách giáo khoa không hệ thống lại phương pháp giải Do đó, việc cần thiết phải cung cấp cho học sinh phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ” Việc giúp em dễ dàng việc giải toán cực trị Việc giải toán đòi hỏi người làm phải vận dụng kiến thức hợp lí, nhiều độc đáo bất ngờ Nó đưa xích gần lại với tốn thường gặp thực tế tìm “ ” điều kiện định ( nhiều nhất, nhất, nhanh nhất, chậm nhất, … ) Chính điều làm cho học sinh thấy tính thiết thực toán học sống Đồng thời, tạo nên thích thú cho học sinh q trình giải tốn Trong tương lai, vào đời học sinh buộc phải giải nhiều vấn đề thực tiễn sống đặt Cho nên, học sinh cần có cách giải tối ưu mang lại thành công sống ( Cách giải tối ưu giải pháp nhất, hao phí : vật liệu, thời gian, cơng sức, lượng, chi phí thiệt hại … ) Chẳng hạn, người thuyền buồm biển phải xác định buồm bánh lái cho thời gian đến đích ngắn nhất, nhà sản xuất muốn giảm tối đa chi phí sản xuất, nguyên vật liệu mà đạt lợi nhuận cao … Những lúc vậy, phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tỏ hữu ích Với lí với tư cách người giáo viên dạy tốn tương lai, tơi xin hệ thống lại phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thông qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO THỰC TIỄN.” SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số ứng dụng thực tế III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Hệ thống hóa phương pháp giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng ” Giới thiệu số ứng dụng thực tiễn IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Cung cấp cho học sinh nhiều cách giải dạng tốn : “ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng ” để học sinh giải tốn tốt Nhờ đó, chất lượng học tập giảng dạy mơn tốn nâng cao Để học sinh thấy tính thiết thực ứng dụng phương pháp giải tốn cực trị nói riêng tốn học nói chung sống Điều làm cho em thích thú, say mê học tốn hơn, học sinh động Các em học tập tốt Rèn luyện kĩ tư học sinh giải tốn tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : Trong q trình nghiên cứu đề tài, tơi sử dụng số phương pháp sau : Nghiên cứu lý luận : Tơi đọc sách, phân tích, đối chiếu tài liệu toán học, tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn, sách giáo khoa tài liệu hướng dẫn giảng dạy Điều tra thực tế Trị chuyện, vấn Thống kê tốn học VI GIẢ THUYẾT KHOA HỌC : Nếu học sinh trang bị phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng thấy ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thực tế học sinh dễ dàng việc giải toán cực trị học sinh hứng thú học tốn VII LỢI ÍCH CỦA LUẬN VĂN : Luận văn đề phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà dựa vào đó, học sinh hệ thống lại kiến thức có liên quan giải toán cực trị, kể toán thực tế Đồng thời, luận văn giúp cho học sinh thấy mối liên hệ gần gũi toán học thực tiễn VIII CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN : Lời cảm ơn Mục lục Phần mở đầu SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát Bài 17: Từ bìa cứng hình vng cạnh a, người ta cắt bốn góc bốn hình vng gấp lại tạo thành hình hộp khơng nắp Tìm cạnh hình vng bị cắt để thể tích hình hộp lớn ? Và thể tích lớn bao nhiêu? Giải : a Khi đó, hình hộp tạo thành có đáy hình vng cạnh a – 2x có chiều cao x Gọi x cạnh hình vng bị cắt < x < x x a a – 2x a – 2x Thể tích hình hộp : V = ( a − 2x ) x với < x < a Khi : V ' = ( a − 2x ) ( −2 ) x + ( a − 2x ) = 12x − 8ax + a a a V' = 0⇔ x = ∨ x = Vì < x < a a nên loại x = 2 Bảng biến thiên: x V' a a − ∞ + + a3 27 V a2 Dựa vào bảng biến thiên, max V = − +∞ + a a3 x = 27 Vậy, để thể tích hình hộp lón cần cắt hình vng có cạnh thể tích lớn hình hộp SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương a a3 27 46 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát Bài 18: Giám đốc nhà hát A phân vân việc xác định giá vé xem chương trình trình chiếu nhà hát Việc quan trọng, định nhà hát thu lợi nhuận hay bị tổn thất Theo sổ ghi chép, ông ta xác định : giá vé vào cửa $20 trung bình có 1000 người đến xem Nhưng, tăng tiền vé lên $1 người 100 khách hàng số trung bình Trung bình, khách hàng dành $1.8 cho việc uống nước nhà hát Hãy giúp giám đốc nhà hát xác định xem cần tính giá vé vào cửa để tổng thu nhập lớn Giải : Gọi x số tiền cần tăng thêm giá vé vào cửa ( $20), x < có nghĩa giá vé nên giảm Giả sử R tổng thu nhập nhà hát R = ( 1000 − 100x ).( 20 + x ) + 1.8 (1000 - 100x) = 20000 – 000x + 1000x − 100x + 1800 − 180x = − 100x − 1180x + 21800 = 25281 − ( 10x + 59 )2 ≤ (*) Dấu “ = ” (*) xảy x = − 5.9 Do đó: max R = 25281 Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền vé $20+( − $ 5.9) = $ 14.1 Giá vé hấp dẫn nhiều người đến xem hơn, cụ thể 1000 – 100 ( − 5.9 ) = 1590 khách hàng Khi tổng thu nhập lớn $ 25281 Bài 19 : Một sở in sách xác định rằng: Diện tích tồn trang sách S (cm2) Do yêu cầu kĩ thuật nên dòng đầu dòng cuối phải cách mép ( ) trang sách a (cm) Lề bên trái bên phải phải cách mép trái mép phải b (cm) Các kích thước trang sách diện tích phần in chữ có giá trị lớn Khi xác định tỷ số kích thước trang sách Giải : Giả sử P, S diện tích phần in chữ trang sách diện tích trang sách Gọi x, y chiều rộng chiều dài trang sách (x, y > 0) Ta có P = ( x − 2b )( y − 2a ) mà S = xy nên y = a y b b (*) S , thay vào (*) ta : x a x SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 47 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát 2bS ⎞ ⎛S ⎞ ⎛ P = ( x − 2b ) ⎜ − 2a ⎟ = S + 4ab − ⎜ 2ax + ⎟ x ⎠ ⎝x ⎠ ⎝ 2bS ⎞ ⎛ P đạt giá trị lớn ⎜ 2ax + ⎟ đạt giá trị nhỏ x ⎠ ⎝ mà 2ax + 2bS ≥ Sab ( Bất đẳng thức Cauchy ) x Dấu xảy 2ax = 2bS bS ( x > ) ⇔x= x a Do P đạt giá trị lớn x = y S a bS aS Khi : = = , y= x x b a b Bài 20 : Một chủ trang trại nuôi gia súc muốn rào thành chuồng hình chữ nhật sát sát sơng, chuồng cho cừu, chuồng cho gia súc Đã có sẵn 240m hàng rào Hỏi diện tích lớn bao quanh ? Giải : Xét hình chữ nhật ABCD, đặt AB = x < x < 80 Khi BC = 204 – 3x A sơng D Diện tích hình chữ nhật ABCD : S = x ( 240 – 3x ) = 240x – 3x Ta có : S(x) = 240x – 3x x = 4800 - 3(x – 40) ≤ 4800 B 240 – 3x C Do max S ( x ) = 4800 m x = 40 x ∈( 0;80 ) Vậy, diện tích lớn bao quanh 4800 m Bài 21: Một người thợ mộc cần xây dựng phịng hình chữ nhật gỗ với chu vi 54 m Các cạnh phòng để diện tích lớn ?Diện tích lớn ? Giải : Gọi x, y chiều dài chiều rộng phịng < x < 27 < y < 27 Khi ta có : ( x + y ) = 54 nên x + y = 27 Diện tích phòng S = xy Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x y, ta : ⎛ x + y ⎞ 729 xy ≤ ⎜ (*) ⎟ = ⎝ ⎠ SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 48 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát ⎧ x + y = 27 27 Dấu “ = ” (*) xảy ⎨ ⇔ x=y= ⎩x = y Vậy, để diện tích phịng lớn nên xây cạnh 27 729 phịng m Khi đó, diện tích lớn phòng m SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 49 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát D KHẢO SÁT THỰC TẾ I MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Đợt khảo sát thực tế nhằm biết ý kiến giáo viên học sinh trường phổ thông phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ứng dụng thực tiễn Đồng thời nắm mức độ yêu thích, hứng thú học sinh mơn tốn Trên sở đó, người thực khảo sát rút kinh nghiệm, nhận xét bổ ích cho thân phục vụ tốt cho việc dạy học sau II BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Để tiến hành khảo sát, tơi soạn số câu hỏi thăm dị ý kiến giáo viên học sinh Bộ câu hỏi phát cho số thầy (cơ) tổ tốn Trường THPT Nguyễn Khuyến ( Huyện Thoại Sơn – An Giang ) Ngồi ra, có số giáo viên trường THPT Nguyễn khuyến vấn trực tiếp, không tiến hành phát “ Phiếu hỏi ý kiến giáo viên “ Đối với học sinh, tơi phát phiếu thăm dị hai lớp 10 ( lớp tự nhiên lớp ), hai lớp 11 (một lớp tự nhiên lớp ) ba lớp 12 ( lớp chọn hai lớp bản) trường THPT Nguyễn Khuyến III KẾT QUẢ : Đối với giáo viên : - Phỏng vấn trực tiếp giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến - Phát phiếu cho giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến, thu lại phiếu Một số ý kiến thầy ( ) vấn trực tiếp : ¾ Ý kiến thầy Nguyễn Thanh Tú – Tổ trưởng tổ toán - tin trường THPT Nguyễn Khuyến (phỏng vấn lúc 13 40 phút ngày 25/03/2008 phòng giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến): Mặc dù có nhiều phương pháp để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thầy dạy hết cho học sinh Tùy theo đối tượng học sinh mà thầy giới thiệu phương pháp khác Đối với học sinh khối 10 giới thiệu phương pháp dùng bất đẳng thức Cauchy hay đồ thị hàm số bậc hai, học sinh khối 11 dùng bất đẳng thức lượng giác Còn học sinh khối 12, thầy hướng dẫn phương pháp đạo hàm gần gũi với em Thầy cho rằng, có điều kiện việc cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp giải có ích, học sinh giỏi Thầy cho biết thêm, hiểu biết học sinh ứng dụng toán thực tiễn hạn chế Việc giới thiệu cho em biết ứng dụng toán cực trị cần thiết Điều giúp cho em thích thú việc học tốn SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 50 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát ¾ Ý kiến Châu Thị Phương Thùy – GV trường THPT Nguyễn Khuyến (phỏng vấn lúc 15 phút ngày 27/03/2008 thư viện trường THPT Nguyễn Khuyến) : Đây dạng tốn khó, thường xuất thi học sinh giỏi ( Tuy đề thi tốt nghiệp THPT thường có dạng toán đơn giản) Học sinh thường biết cách giải, chí có học sinh cịn khơng làm Đa số học sinh thường khơng thích học toán học phần thống kê ( lớp 10 ), xác suất ( lớp 11 ) em lại tỏ hứng thú Bởi em thấy ứng dụng phần thực tế Cho nên, việc cho học sinh biết vài ứng dụng tốn (nói chung) cần thiết Dưới số ý kiến thầy cô phát phiếu hỏi ý kiến giáo viên: ¾ Thầy Lê Hoàng Thanh Giang – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Bài tốn tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ tốn khó nên việc cung cấp cho học sinh phương pháp giải số ứng dụng thực tế cấn thiết phải phù hợp với đối tượng học sinh Giới thiệu nhiều cách làm dạng toán thích hợp đối tượng học sinh khá, giỏi Cịn học sinh trung bình, yếu không cần thiết Nhưng, việc ứng dụng thực tiễn cần thiết học sinh Nó giúp cho em biết vận dụng điều học vào sống hàng ngày Từ đó, em hứng thú học tốn ¾ Thầy Trương Quang Thiện – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Ý kiến thầy Thanh Giang Việc dạy nhiều phương pháp giải toán cực trị cho học sinh cần thiết học sinh khá, giỏi, chun cần, tích cực say mê học tốn Việc giúp cho lực tư em phát triển tốt ¾ Thầy Nguyễn Hồng Giang – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Thầy cho rằng, dạng tốn phức tạp rộng, địi hỏi học sinh phải hiểu sâu, rộng giải Các tốn chương trình sách giáo khoa tốn đơn giản nên khơng cần giới thiệu nhiều phương pháp Việc làm cho học sinh thêm khó hiểu Trong thực tế, người gặp nhiều vấn đề cần thiết phải có phương án tối ưu Do đó, giới thiệu với em ứng dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ thực tiễn sống cần thiết.Từ đó, em có nhìn khác mơn tốn Các em “ học đơi với hành”, biết áp dụng điều học vào thực tế Tổng hợp ý kiến giáo viên : Tổng số giáo viên tham gia góp ý cho đề tài 5, có thầy cho việc cung cấp cho học sinh phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số ứng dụng thực tiễn cần thiết, có thầy cho việc SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 51 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát làm cần thiết Và hầu hết giáo viên cho việc dạy cho học sinh nhiều cách giải dạng toán cần thiết cho học sinh khá, giỏi khơng thích hợp cho học sinh trung bình, yếu, Còn việc giới thiệu cho học sinh thấy số ứng dụng toán học sống cần thiết tất học sinh Thực tế phổ thông, thầy cô dạy cho em phương pháp gần gũi với chương trình học em Ví dụ học sinh lớp 12 chủ yếu dùng phương pháp đạo hàm để giải tốn loại này, cịn học sinh lớp 11 dùng bất đẳng thức lượng giác bản, học sinh lớp 10 dùng định lý dấu tam thức bậc hai hay bất đẳng thức Cauchy, … Và thầy khi, chí khơng có giới thiệu cho học sinh số tốn thực tế Bởi số ngun nhân sau : - Khơng có điều kiện trường lớp, thời gian - Trình độ học sinh thường khơng đồng nên khả tư không - Học sinh phải có tính chun cần Cần ý vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ : phương pháp có ưu, nhược điểm riêng Phải tùy theo đặc điểm mà vận dụng cho phù hợp Nếu không dùng phương pháp ta lựa chọn phương pháp khác Cịn có nhiều cách giải lựa chọn cách giải tùy thuộc vào người làm Đối với học sinh : - Phát phiếu thăm dò cho 217 học sinh trường THPT Nguyễn Khuyến, lớp 10A1, 10A2, 11A1, 11A5, 12A1,12A2,12A7 ( Phiếu thăm dò nêu phần phụ lục ) cho học sinh lớp 12A2 làm kiểm tra tiết - Tổng cộng số phiếu thu 197 BẢNG KẾT QUẢ THEO TỪNG LOẠI Câu hỏi Số học sinh học sinh giỏi SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương Trả lời ( đơn vị phần trăm ) a b c d 66.67 11.11 22.22 22.22 33.33 33.33 11.12 55.56 44.44 0 22.22 55.56 22.22 11.11 66.67 22.22 77.78 11.11 11.11 22.22 77.78 0 52 Luận văn tốt nghiệp 98 học sinh 74 học sinh trung bình 16 học sinh yếu SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát 33.67 58.16 8.17 13.27 58.16 25.51 3.06 54.08 38.78 5.10 2.04 7.14 83.67 9.19 26.53 57.14 14.29 2.04 18.37 60.20 17.35 4.08 20.41 57.14 20.41 2.04 50 37.5 12.5 6.25 25 31.25 37.5 37.5 25 31.25 6.25 31.25 68.75 0 25 31.25 43.75 12.5 37.5 18.75 31.25 6.25 43.75 37.5 12.5 50 37.5 12.5 6.25 25 31.25 37.5 37.5 25 31.25 6.25 31.25 68.75 0 25 31.25 43.75 12.5 37.5 18.75 31.25 6.25 43.75 37.5 12.5 53 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát BẢNG KẾT QUẢ TỔNG HỢP Trả lời ( đơn vị phần trăm ) Câu hỏi a b c d 39.59 52.79 7.62 11.68 51.27 25.89 11.16 51.78 34.52 11.17 2.53 17.77 74.62 7.61 22.34 54.82 21.32 1.52 17.77 51.78 23.35 7.10 19.29 55.33 21.83 3.55 Kết kiểm tra : lớp 12A2 có sĩ số 43, làm kiểm tra 43 học sinh Kết kiểm tra cho thấy : đa số học sinh dùng phương pháp đạo hàm để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số (41 học sinh, chiếm 95.35%) Chỉ có học sinh dùng phương pháp miền giá trị hàm số (chiếm 4.65%) Lược ghi vài ý kiến học sinh : - Đa số học sinh thích giải tốn có sẵn phương pháp giải Khi giải tốn em thích có nhiều phương pháp để lựa chọn - Đối với phần lớn học sinh, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tốn khó mà em khơng biết nhiều phương pháp giải, chí khơng biết làm nên em thích biết nhiều phương pháp để giải mong muốn thầy cô cung cấp nhiều phương pháp cho - Rất nhiều học sinh biết ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sống - Đa số em thích học tốn biết số ứng dụng toán học nói chung sống ( 55.33 % ) Và, thực tế, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diễn nhiều nên em mong muốn thầy cô giới thiệu nhiều toán thực tế NHẬN XÉT : Dựa vào bảng kết theo loại bảng kết tổng hợp kết hợp ý kiến em (câu 8) ta thấy có nửa số học sinh thích học giải tốn biết nhiều phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ số ứng dụng thực tiễn Đặt biệt, em học sinh có chủ động học tập Đây dấu hiệu đáng mừng cịn học sinh khơng tự nghĩ phải hệ thống lại kiến thức cũ để học tốt (11.17%) SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 54 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát Những học sinh khác có suy nghĩ có em làm tính thường xun ý nghĩ chưa tốt Mặc dù vậy, kết khảo sát cho thấy việc cung cấp cho học sinh phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giới thiệu số ứng dụng thực tế cần thiết Và, việc làm giúp cho học sinh biết liên hệ lý thuyết thực tiễn sống, tăng cường hứng thú, say mê học toán học sinh, nâng cao chất lượng học tập mơn tốn Đối chiếu kết phiếu thăm dò học sinh, kiểm tra em với kết phiếu hỏi ý kiến giáo viên, ta thấy có tương đồng Phỏng vấn thêm số học sinh, em cho biết, trường, thầy có hệ thống lại kiến thức cũ, phương pháp giải tập Nhưng chưa cung cấp cho em phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Ngồi ra, thầy cô giới thiệu cho em ứng dụng toán học sống chưa cho em thấy tốn thực tế tìm giá trị nhỏ lớn Hiện nay, hiểu biết học sinh ứng dụng toán học chưa nhiều ( có 19.29% học sinh có hiểu biết nhiều ) SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 55 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát PHẦN KẾT LUẬN Việc nghiên cứu lý thuyết cho phép rút số kết luận sau : - Hệ thống phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cho học sinh vấn đề cần thiết Bởi vì, tốn khó phức tạp Cần biết nhiều phương pháp để dễ dàng việc giải toán dạng Đây dạng toán giúp phát triển tư học sinh tốt Ngồi ra, tốn mà thực tế sống gặp nhiều Nội dung sách giáo khoa chưa có phần hệ thống lại phương pháp giải dạng toán Tuy q trình giải tốn, học sinh hình thành phương pháp giải chúng không đầy đủ khơng có tính hệ thống dẫn đến mau qn Vì vậy, giáo viên cần hệ thống hóa phương pháp để học sinh dựa vào mà định hướng cho giải - Tốn học có nhiều ứng dụng thực tiễn Chúng ta bắt gặp nhiều sống hàng ngày toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, nhất, … Sách giáo khoa cũ sách toán tham khảo đề cập đến ứng dụng tốn học thực tiễn Tuy sách giáo khoa (sách trung học sở, trung học phổ thơng) có thêm vào số tốn hình ảnh thực tế không đủ để học sinh nhận thấy việc học tốn có ích Do đó, giáo viên cần giới thiệu thêm nhiều ứng dụng toán học toán cực trị thực tiễn Từ nâng cao hứng thú, say mê học tốn học sinh - Luận văn có đề cập đến số toán đơn giản, xem ví dụ ban đầu để áp dụng phương pháp - Các phương pháp toán đề cập luận văn có ý đến tính phổ thơng Ngồi ra, cịn có số tập nâng cao tập tham khảo cho học sinh - Vì thời gian có hạn nên q trình hệ thống lại phương pháp giải toán cực trị khơng tránh khỏi thiếu xót Kính mong đóng góp thầy, cơ, bạn bè để luận văn hoàn chỉnh Từ kết khảo sát thực tế, tơi có nhận định sau : - Khả học sinh phổ thông nắm phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có thể, mặt lý thuyết, phương pháp kiến thức phổ thông, vừa sức có tính đại Thực tế em dược làm quen số phương pháp em lại quên Ví dụ, cấp hai, có sử dụng phương pháp lũy thừa với số mũ chẵn, bất đẳng thức trị tuyệt đối Lớp 10 áp dụng bất đăng thức Cauchy, lớp 12 dùng đạo hàm… Chỉ cần giáo viện nhắc lại học sinh nắm triển vọng có nhiều học sinh u thích mơn tốn hơn, chất lượng học tập mơn tốn tốt - Ở trường phổ thông, giáo viên biết việc cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp giải toán cần thiết thầy cô dừng lại việc hướng dẫn em cách giải Chưa có thầy cô cung cấp cho học sinh cách giải toán cực trị giới thiệu cho em số toán thực tiễn dạng SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 56 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát Những nghiên cứu lí luận khảo sát thực tế chứng tỏ rằng, giả thuyết khoa học luận văn chấp nhận được, : “Nếu học sinh trang bị phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng thấy ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thực tế học sinh dễ dàng việc giải toán cực trị học sinh hứng thú học tốn ” Nhiệm vụ nghiên cứu hồn thành SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 57 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO Cho hàm số y = f ( x ) = x − m2 x +1 + m + Xác định giá trị m cho giá trị nhỏ hàm số vượt 2 Gọi x1 , x hai nghiệm phương trình : f ( x ) = 2x + ( m + 1) + m + 4m + = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x1x − ( x1 + x ) Cho ba số không âm a, b, c có tổng Tìm giá trị lớn biểu thức F= a+3 b+3 c Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ a+b biểu thức T = abc Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện a + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức T = a + b Định a b để biểu thức x + ax + b có giá trị lớn giá trị nhỏ x +1 –1 ⎧2mx + y = 3m Biết hệ ⎨ có nghiệm ( x1 , y1 ) , ( x , y ) Tìm giá trị lớn ⎩ x + y = 4y P = ( x − x1 ) + ( y − y1 ) 2 Biết a + b + c = ax + by + cz = ( a, b, c ≠ ) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau P = 16a + a x + 16b + b y + 16z + c z Cho tứ diện ABCD Hãy xác định điểm M để biểu thức T = MA + MB2 + MC2 + MD bé 10 Cho tứ diện ABCD Hãy xác định điểm M ∈ (ABC) để biểu thức P = MB2 + MC2 + MD bé 11 Cho 2x + 2y – z – = Tìm giá trị nhỏ A = (1 − x ) + ( − y ) + ( − z ) 2 SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 58 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát ⎧x = t ⎪ 12 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : ⎨ y = t cho MA + MB nhỏ nhất, ⎪z = a − t ⎩ ⎛ 4a 2a 4a ⎞ với A(a, 0, a) B ⎜ ; − ; − ⎟ 3 ⎠ ⎝ 13 Cho tam thức f ( x ) = ax + bx + c Biết f ( − 1) ≤ 1; f ( ) ≤ 1; f (1) ≤ Tìm giá trị lớn f ( x ) đoạn [– 1; 1] 14 Biết phương trình x + ax + bx + ax + = có nghiệm thực, tìm giá trị nhỏ biểu thức F = a + b ⎧a + b = 15 Cho số a, b, c, d thỏa mãn hệ ⎨ Tìm giá trị lớn biểu ⎩c + d = thức T = ac + bd + cd 16 Tìm khoảng cách ngắn đường cong (C) : y = x + đường thẳng d : 4x – 5y – 32 = 17 Tìm giá trị nhỏ hàm số ) ( y = x3 + 1+ x3 +1 + ( ) x3 + 1− x3 +1 18 Tìm giá trị nhỏ giá trị nhỏ hàm số : f ( x ) = 3cos 2x + sin x 19 Cho x, y, z ∈ ( 0; π ) thỏa điều kiện x + y + z = π Tìm giá trị lớn biểu thức T = cos x + k (cos y + cos z) với k số thực cho trước 20 Cho x, y, z > thỏa điều kiện x + y + z = π Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = (1 – cos x)(1 – cos y)(1 – cos z) ⎧⎪a + b = 12 ( a + b ) 21 Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn điều kiện ⎨ ⎪⎩c + d = 12 ( c + d − 3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ T= (a − c) + ( b − d ) 2 22 Định a để phương trình 5.16 x + 2.81 x = a 36 x vô nghiệm 23 Định m để bất phương trình ( m − 1) x + ( 2m − 3) x + m − > có nghiệm nhỏ 24 Định a để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm : ⎧cos 2x + cos x + m ≤ ⎨ ⎩0 ≤ x ≤ π SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 59 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th S Vương Vĩnh Phát ⎧⎪( x − 1) lg + lg ( x +1 + 1) < lg ( 7.2 x + 12 ) Tìm tất 25 Cho hế bất phương trình ⎨ ⎪⎩log x ( x + ) > giá trị m để phương trình m.2− 2x − ( 2m + 1) − x + m + = có hai nghiệm phân biệt x1 x ( x1 < x ) cho x1 nằm x nằm khoảng nghiệm hệ bất phương trình cho 26 Định m để hàm số y = 2x + (1 − m ) x + + m đồng biến khoảng x−m (1; + ∞ ) 27 Tìm giá trị lớn tham số m cho hệ phương trình sau : ⎧⎪9x − 4y = có nghiệm (x, y) thỏa mãn 3x + 2y ≤ ⎨ ⎪⎩log m ( 3x + 2y ) − log ( 3x − 2y ) =1 SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 60 ... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT : Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, sử dụng nhiều phương pháp khác Ở đây, tơi xin trình bày bảy phương pháp sau : Phương pháp đạo hàm. .. I Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số II Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp đạo hàm – khảo sát hàm số Phương pháp dùng bất đẳng thức... người giáo viên dạy tốn tương lai, tơi xin hệ thống lại phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thông qua việc nghiên cứu đề tài : “ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ