Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy toán ở trường phổ thông

Mô hình này cho phép: - Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào

Bấm nút Like hoặc G+1 để ủng hộ chúng tôi

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

d( x,0): Khoảng cách từ điểm x đến điểm 0

M6: Sách giáo khoa toán 6 tập 1

E6: Sách bài tập toán 6 tập 1

G6: Sách giáo viên toán 6 tập 1

M7: Sách giáo khoa toán 7 tập 1

E7: Sách bài tập toán 7 tập 1

G7: Sách giáo viên toán 7 tập 1

M8: Sách giáo khoa toán 8 tập 2

E8: Sách bài tập toán 8 tập 2

G8: Sách giáo viên toán 8 tập 2

M9: Sách giáo khoa toán 9 tập 1

E9: Sách bài tập toán 9 tập 1

G9: Sách giáo viên toán 9 tập 1

M10: Sách giáo khoa đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )

E10: Sách bài tập đại số lớp 10 ( Ban cơ bản )

G10: Sách giáo viên đại số lớp 10 ( Ban cơ bản)

VIETMATHS.NET

MỞ ĐẦU

 Lý do chọn đề tài Câu hỏi ban đầu

 Khung lý thuyết tham chiếu

 Mục đích nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu

1 Lý do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu

Giá trị tuyệt đối là một đối tượng xuất hiện trong chương trình toán phổ thông xuyên suốt từ bậc trung học cơ sở đến trung học phổ thông, với một vị trí khá quan trọng Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối Đặc biệt, chúng tôi thường nhận thấy hiện tượng sau:

Hầu hết học sinh cho câu trả lời đúng với bài toán tính giá trị tuyệt đối của một

số cụ thể (chẳng hạn  7 = 7), nhưng lại sai lầm khi cho kết quả a = a, hoặc chẳng hạn   (x 5)  x 5

Tại sao học sinh phạm phải sai lầm này? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm này không ?

Chắc chắn những sai lầm trên xuất phát từ nhiều nguyên nhân khác nhau, nhưng có hai yếu tố cần nêu lên trong các nhận xét trên:

- Có một sự khác biệt khi chuyển từ giá trị tuyệt đối của số cụ thể sang giá trị tuyệt đối của một số biểu thị bằng chữ, hay của một biểu thức

- Dấu “ - ” dường như cũng đóng một vai trò quan trọng tạo nên khó khăn và sai lầm ở học sinh khi tiếp cận với các tình huống có giá trị tuyệt đối

Từ những ghi nhận và gợi hỏi trên chúng tôi quyết định chọn chủ đề “Khái

niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông” làm đề tài cho luận

văn thạc sĩ của mình

Cụ thể hơn, mục tiêu của luận văn này là trả lời cho các câu hỏi khởi đầu đặt ra sau đây:

- Khái niệm giá trị tuyệt đối được đưa vào chương trình phổ thông như thế nào? Nhằm mục đích gì? Được định nghĩa ra sao? Những dạng toán nào liên quan

đến khái niệm giá trị tuyệt đối? Chúng được phát triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học?

- Học sinh thường gặp những lầm nào khi giải quyết các tình huống gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối ? Những sai lầm này sinh ra từ đâu?

- Các đối tượng “Số âm”, bản thân dấu “–”, “Chữ” hay “Biến” có vai trò gì đối với khái niệm giá trị tuyệt đối? chúng có phải là yếu tố gắn liền với những khó khăn

và sai lầm trên của học sinh ?

- Nội dung và hình thức tổ chức các kiến thức gắn liền với khái niệm giá trị tuyệt đối trong chương trình và sách giáo khoa hiện nay (kết quả lựa chọn của hệ thống dạy học) ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về khái niệm giá trị tuyệt đối và việc giải quyết các dạng toán liên quan đến khái niệm này?

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic toán, với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:

2.1 Lý thuyết nhân chủng học

Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “ quan

hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”

Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua

nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard

(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần  ,,, , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ 

2.2 Chướng ngại

2.2.1 Chướng ngại và sai lầm

(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4])

Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard và Brousseau Kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của học sinh với

VIETMATHS.NET

tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó

Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy tiện với những kiến thức khác Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và có thể là không hoàn toàn chính xác

Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:

“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức

đã từng có ích đối với việc học tập trước kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được , và chúng tạo nên những chướng ngại Trong hoạt động của thầy giáo cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm có thể sinh ra từ nghĩa của kiến thức được thu nhận bởi chủ thể này” (Brousseau, 1983)

Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập

2.2.2 Đặc trưng của chướng ngại

(Theo Lê Thị Hoài Châu [3, tr.4-5])

Trước tiên, cần phải nói rõ rằng không phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng ngại

Về việc này, Duroux đã nêu lên những đặc trưng của khái niệm chướng ngại mà theo đó thì chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm Kiến thức, quan niệm này tạo

ra những câu trả lời phù hợp trong một số ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở ngoài những ngữ cảnh này Để có một câu trả lời chính xác

và đúng trong mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm

Sự phân biệt giữa khó khăn và chướng ngại cũng đã được nói rõ bởi El Bouazzauori, bằng một sự tiếp cận song song các quan điểm lịch sử và quan điểm nhận thức

“Nếu vấn đề được đặt ra ở một thời đại nào đó, trong một lý thuyết toán học

nào đó đã được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang nói đến, thì người ta nói rằng một khó khăn đã được vượt qua Dấu hiệu của sự tồn tại một khó khăn là toán học ở thời kỳ đó đã bị bế tắc, cho dù những phương tiện để giải quyết vấn đề có thể đã có sẵn […] Người ta cũng có thể nói như vậy về những khó khăn trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học […]

Nếu ngược lại, vấn đề chỉ được giải quyết sau khi đã có một sự xây dựng lại kiến thức và một sự thay đổi quan trọng về quan điểm, thì người ta nói rằng một chướng ngại đã vượt qua Dấu hiệu của sự tồn tại một chướng ngại là lý thuyết của thời đại đó đã kìm hãm và ngăn cản việc giải quyết vấn đề được đặt ra

Theo cùng một cách thức như vậy, người ta cũng có thể nói về những chướng ngại trong sự tiến triển về mặt quan niệm ở một chủ thể đối với một khái niệm toán học” (El Bouazzauori, 1988)

Các nhà didactic toán phân biệt bốn kiểu chướng ngại chủ yếu tùy theo nguồn gốc của chúng:

- Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó đòi hỏi phải được đưa vào một cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh

- Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học của từng hệ thống giáo dục

- Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó trong quá trình phát triển của nó

- Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại

Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc vượt

qua chúng đóng một vai trò quyết định trong việc xây dựng tri thức Và người ta có

VIETMATHS.NET

thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử phát sinh của chính khái

niệm đang được nói đến

Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó

2.3 Quan niệm và quy tắc hành động

(Theo Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến [4])

2.3.1 Quan niệm

Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích

ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán học Mô hình này cho phép:

- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của một lớp nào đó các bài toán;

- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực tế

được học sinh xây dựng

G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực

hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn

đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”

Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):

- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;

- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các định nghĩa và tính chất khác nhau

2.3.2 Quy tắc hành động

Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một

nhiệm vụ xác định Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất

toán học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh

Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành động Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại gia cố thêm cho nó Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:

Q 1 : Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa

học luận và sư phạm? Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào

mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này?

Q 2 : Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế

nào? Nghĩa của chúng là gì? Khái niệm này được tiến triển ra sao?

Q 3 : Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến

triển ra sao trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiến triển như thế nào qua các khối lớp, bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và ở bậc phổ thông?

Q 4 : Những ràng buộc của thể chế dạy học có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan

hệ cá nhân học sinh? Những quy tắc hành động nào, những quan niệm nào được học sinh vận dụng góp phần tạo ra sai lầm  a a(với mọi số nguyên a) hoặc

    (với mọi số thực x)? Còn những sai lầm khác gắn liền với khái niệm

giá trị tuyệt đối không? VIETMATHS.NET

4 Phương pháp nghiên cứu

Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết phù hợp và đặt

ra những câu hỏi nghiên cứu Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4

Để trả lời câu hỏi Q 1, chúng tôi tham khảo một số luận văn trong didactic đã được công bố về vai trò của chữ và bước chuyển từ số cụ thể sang chữ Mặt khác, chúng tôi phải tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng sẽ có tác dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu thể chế và một nghiên cứu điều tra khoa học luận của khái niệm số âm Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm Đó sẽ là

cơ sở cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm

Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trò gì trong thể chế Nó cũng giúp cho chúng tôi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn

mà học sinh thường gặp Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh phạm phải gắn liền với khái niệm số âm Các kết quả thu được cho phép chúng tôi

đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q 1 và được trình bày trong chương 1: “Một số đặc

trưng khoa học luận và sư phạm của khái niệm chữ và số âm ”

Để trả lời câu hỏi Q 2, chúng tôi tiến hành phân tích một vài nét về lịch sử của

khái niệm giá trị tuyệt đối với mục đích tìm ra sự tiến triển cũng như nghĩa của khái

niệm này trong lịch sử Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình

toán ở bậc đại học Kết quả thu được cho phép trả lời câu hỏi Q 2 và được trình bày

trong chương 2: “Khái niệm giá trị tuyệt đối ở cấp độ tri thức khoa học”

Để trả lời các câu hỏi Q 3 , chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10 Chúng tôi

sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của chúng qua các khối lớp, bậc học

Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời các câu hỏi Q 3 và đưa

ra các giả thuyết nghiên cứu Kết quả này sẽ được trình bày trong chương 3:

“Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng giá trị tuyệt đối”

Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu học tập Các kết quả nhận được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu

hỏi Q 4 và được trình bày trong chương 4: “Nghiên cứu thực nghiệm”

VIETMATHS.NET

Chương 1.

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ SƯ PHẠM

CỦA KHÁI NIỆM CHỮ VÀ SỐ ÂM

 Khái niệm chữ

 Khái niệm số âm

Mục tiêu của chương

Mục tiêu chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu lịch sử và nghiên cứu thể chế về hai đối tượng “chữ” và “số âm” nhằm làm rõ các đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của chúng Cụ thể chúng tôi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây:

1 Hai khái niệm “chữ” và “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học luận và sư phạm?

2 Chướng ngại gì gắn liền với số âm? Kiểu sai lầm chủ yếu nào mà học sinh phạm phải liên quan đến khái niệm này?

2 Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình bậc

hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến sĩ [21]

3 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1 [22]

4 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2 [23]

Vì thế trong phần này chúng tôi sẽ tham khảo các tài liệu trên và tóm tắt những kết quả mà các tác giả đã nghiên cứu để bổ sung và làm rõ hơn trọng tâm nghiên cứu luận văn của mình

1.1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm chữ

Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Về mặt lịch sử, đại số ra đời

nhằm giải quyết một số “bài toán số học” và can thiệp như một công cụ giải các bài toán thuộc các lĩnh vực khác Năm 1842, G.H.F.Nesselman đã phân loại sự phát triển lịch sử của phong trào ký hiệu đại số thành ba giai đoạn:

Giai đoạn “hùng biện” (trước Diophante 325-410) đặc trưng bởi việc sử

dụng ngôn ngữ thông thường để giải quyết một số dạng đặc biệt bài toán, và thiếu vắng cho việc biểu thị các biến số Đại số hùng biện biểu thị lời giải của một bài toán mà không dùng bất kỳ một sự viết tắt hay ký hiệu nào cả

Giai đoạn “rút âm từ” (Từ Diophante đến cuối thế kỷ XVI): Diophante đã đưa

vào việc sử dụng viết tắt để chỉ các đại lượng chưa biết. Đại số “rút âm từ” sử dụng một số viết tắt tốc ký cho một số phép toán, đại lượng, và các quan hệ mà đuợc sử dụng thường xuyên hơn

Giai đoạn “đại số ký hiệu” (từ thời Viète trở đi): “Các chữ cái cũng được sử

dụng để chỉ các đại lượng : do đó có thể biểu thị các nghiệm “tổng quát”, và sử dụng đại số như một công cụ để chứng minh các quy tắc tính toán” [21, tr.5]

Diophante đã viết ẩn số x và các lũy thừa bằng các ký hiệu sau: s’ để chỉ ẩn số,

 v



chỉ bình phương của ẩn số, x v



chỉ lập phương của ẩn số Bên phải ẩn số hay

lũy thừa của nó Diophante ghi hệ số, chẳng hạn 2x 5 được viết là  v x

Vài thế kỉ sau, người Ấn độ đưa vào các kí hiệu chữ khác nhau để chỉ ẩn số và

để chỉ bình phương, chẳng hạn 3x2 + 10x Theo cách viết của Brakhmagupta (thế kỉ thứ 7) có dạng như sau: ia va 3 ia 10 (ia là ẩn số , va là bình phương)

Cuối thế kỉ 15, nhà bác học Pháp N.Chuquet và nhà bác học Ý L Pacioli dùng

kí hiệu p (là chữ đầu của plus có nghĩa là cộng ) để chỉ phép cộng và dùng ký hiệu

m (là chữ đầu của minus có nghĩa là trừ ) để chỉ phép trừ

Một bước tiến quan trọng trong sự phát triển hệ kí hiệu toán học là việc F Vìète (1591), đưa vào kí hiệu chữ để chỉ các đại lượng không đổi tùy ý: đó là các phụ âm thông thường trong bảng chữ cái la tinh b, d…Điều này lần đầu tiên cho phép viết các phương trình đại số với các hệ số tùy ý và thao tác với chúng. Để chỉ các ẩn số Vìète dùng các nguyên âm a, e…

Nhà bác học Pháp R Descartes (1637) đã cho các kí hiệu đại số có bộ mặt như

hiện nay khi kí hiệu các ẩn số, biến số bằng các chữ cái la tinh cuối cùng x, y, z và các đại lượng đã cho tùy ý bằng các chữ cái đầu a, b, c cũng như các lũy thừa bằng

a2, a3 …Các kí hiệu của Descartes có ưu điểm hơn hẳn các kí hiệu trước kia, do đó nhanh chóng được thừa nhận rộng rãi

Để thấy được tầm quan trọng của việc đưa vào sử dụng ký hiệu chữ, chúng tôi

xin trình bày đoạn trích trong [22] như sau: “ Việc thực hiện các phép toán trên các

chữ thay thế cho bất kỳ số cụ thể nào, quả là có ý nghĩa cực kỳ quan trọng, không

có công cụ đó – ngôn ngữ của các công thức – không thể có được sự phát triển của toán học Đặc biệt ký hiệu chữ và các phép toán trên những ký hiệu đó, ngay từ thế

kỷ 16-17, đã thúc đẩy sự ra đời của quan điểm coi những đại lượng toán học là đại lượng biến thiên, ấy là nét đặc trưng của giải tích toán học, trong đó sự biến thiên liên tục của một đại lượng thường tương ứng với sự biến thiên liên tục của một đại lượng khác, là hàm của nó”

Tóm lại, khái niệm chữ có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau:

- Đã xảy ra sự chuyển biến từ đại số bằng lời tới đại số kí hiệu bằng cách rút gọn (viết tắt) các từ, rồi bằng cách đưa ra các kí hiệu Điều này đã thể hiện bước

chuyển quan trọng từ việc thực hiện các phép toán trên tập hợp các số cụ thể sang tập hợp các số biểu thị bằng chữ

- Về mặt lịch sử khái niệm ẩn số xuất hiện trước khái niệm biến số: chữ được dùng để biểu thị một giá trị chưa biết trước khi nó được sử dụng để biểu thị một tập hợp giá trị

- Các kí hiệu chữ có nhiều vai trò khác nhau : dùng chữ để ghi số, chữ chỉ

hằng số, ẩn số, biến số, phép toán cộng, trừ, bình phương của ẩn số, lập phương của ẩn số.v.v  Điều này cho thấy tính phức tạp về nghĩa của kí hiệu chữ

1.1.2 Đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ

Theo nghiên cứu của Nguyễn Ái Quốc (2006) “Trong số học chữ dùng để chỉ

các đơn vị đo hay chỉ các sự vật Chẳng hạn 5g để chỉ một khối nặng 5g Khi chuyển sang đại số các chữ dùng để chỉ các số (Booth 1984, Kieran 1991), và biểu thức 5g có thể được giải thích 5*g trong đó g chỉ một số

Kucheman (1981) đã đưa ra một sự phân loại các vai trò của chữ, trong đó ông phân biệt:

- Chữ được gán giá trị: người ta thay bằng một giá trị số

- Chữ không được xem xét: chữ không biết đến trong tính toán

- Chữ chỉ đối tượng cụ thể: chữ là một nhãn

- Chữ chỉ ẩn số đặc thù: chữ chỉ một số chưa biết cần tìm

- Chữ chỉ một số được khái quát hóa: chữ có thể nhận được nhiều giá trị

- Chữ chỉ biến số: chữ được sử dụng trong ngữ cảnh hàm số” [21, tr.6]

Theo nghiên cứu của Phan Thị Hằng (2002) “Khi nghiên cứu quy chế về nghĩa

của các ký hiệu chữ, Grugean (1995) đã chỉ ra rằng:

Trong số học, các chữ đã hiện diện, chúng được dùng để chỉ các đơn vị đo hoặc các đối tượng, chẳng hạn 12m có thể chỉ 12 mét hoặc chỉ 12 môtô (chữ m được dùng như một nhãn hiệu) Việc chuyển sang đại số kéo theo một sự mở rộng

về nghĩa: các chữ bây giờ được dùng để chỉ các số, 12m cũng sẽ có nghĩa là 12 lần

số mét, m chỉ một số và với danh nghĩa đó chúng được đưa vào để tính toán (…)

VIETMATHS.NET

Như vậy, quy chế về nghĩa của các chữ phụ thuộc vào ngữ cảnh cụ thể chứ không bị rút gọn vào ý nghĩa nhãn hiệu Đối với học sinh, sự thay đổi quy chế này không hề được làm rõ, hơn thế nữa nó được khắc sâu bởi một chuỗi các cách viết cũng như bởi các phương tiện tranh luận thông thường kiểu như: để làm cho học sinh hiểu rằng 2x + 3x = 5x, người ta gợi ý rằng hãy nghĩ đến x như nghĩ về những quả táo, điều này càng củng cố thêm cách hiểu các số thiên về ý nghĩa nhãn hiệu

Vì vậy, bước chuyển từ quan niệm này sang quan niệm khác có thể hình thành một chướng ngại quan trọng đối với học sinh.” [19, tr.11]

Phan Thị Hằng (2002), khi nghiên cứu về “Vai trò, ý nghĩa của các ký hiệu chữ” trong dạy học phép chia Euclide ở lớp 6 (theo chương trình cải cách giáo dục)

đã chỉ ra rằng: “Vai trò và ý nghĩa của kí hiệu chữ biểu hiện rất phong phú,  đa

dạng: khi thì biểu thị một số tự nhiên, khi thì giữ vai trò là ẩn, khi thì giữ vai trò như một chữ số của một số có nhiều chữ số v.v Chính sự phức tạp này có thể gây

nên những khó khăn và sai lầm khi học sinh phải giải quyết những tình huống trong

đó có sự tham gia của các kí hiệu chữ.” [19, tr.61] Đặc biệt, tác giả đã đưa ra kết

luận sau: “ Khi đối diện với các tình huống liên quan đến tới phép chia Euclide mà

ở đó có sự hiện diện của các chữ, học sinh lớp 6 thường gặp phải những khó khăn, lúng túng trong việc thực hiện các thao tác với các chữ Đặc biệt, học sinh có xu hướng áp dụng các thao tác quen thuộc trên các số cụ thể đã được học ở bậc tiểu học với các chữ.” [19, tr.64]

Từ các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi rút ra một số đặc trưng sư phạm của khái niệm chữ như sau:

- Chữ giữ nhiều vai trò khác nhau, chẳng hạn: Chữ được gán giá trị, chữ là

một nhãn, chữ chỉ ẩn số, chữ chỉ một số được khái quát hóa, chữ chỉ biến số. Điều

này cho thấy tính đa nghĩa của kí hiệu chữ Đây là vấn đề đã từng xuất hiện trong lịch sử. Đến đây một câu hỏi được đặt ra: Trong các tình huống có sự hiện diện của

a (với a là số nguyên) thì a giữ vai trò gì? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau

- Ý nghĩa của các ký hiệu chữ được sử dụng khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh

khác nhau Đặc biệt, khi chuyển sang đại số sẽ dẫn đến một sự mở rộng về nghĩa

của “ký hiệu chữ”

- Trong trường hợp phép chia Euclide việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số cụ thể đã tạo nên chướng ngại cho việc thực hiện các thao tác trên tập hợp các số biểu thị bằng chữ Một điểm quan trọng ở đây là trong chương trình Toán 6 hiện hành phép chia Euclide được đề cập ở chương 1: “Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên”, còn khái niệm giá trị tuyệt đối mà chúng tôi đang nghiên cứu thuộc chương 2: “Số nguyên” Do đó, từ kết quả này chúng tôi đặt ra câu hỏi: Phải chăng việc tính giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số cụ thể, tạo nên chướng ngại cho việc tính giá trị tuyệt đối trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng ký hiệu chữ? Chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi này ở các phần sau

1.2 Về khái niệm số âm

Trong phần này chúng tôi tham khảo các nguồn tài liệu sau:

1 Nguyễn Cang (2001), giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp của các nhà

Toán học [1]

2 Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử toán học

3 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1

4 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2

5 Boyé A (2006), Quelques éléments d’histoire des nombres négatifs

6 Cauchy (1821) Cours d’analyse de l’école royale polytechnique

7 Schubring G, Ruptures dans le statut mathématique des nombres négatifs

1.2.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm số âm

Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời đại chúng ta Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương Liu Hui (220-280) đã giải thích và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính Tuy nhiên những số âm chỉ

VIETMATHS.NET

xuất hiện như là hỗ trợ cho tính toán, nghĩa là công cụ trung gian, không có số âm trong những phát biểu của bài toán, cũng không có trong các câu trả lời.Trong thời

kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”

Diophante (Khoảng thế kỉ thứ 3, sau công nguyên) Ông không chấp nhận những phương trình dạng như 4 = 4x + 201, bởi nghiệm của chúng là “vô lý” Diophante xem số âm là số “vô lý”

Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII Qua

tác phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và

những số âm Và ông đã dùng những số này trong tính toán những “khoản tiền” ”

Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ” Quy tắc cộng các

số được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của

số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng không”

Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ” Nó không

được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận Mặt khác Brahmagupta đã

sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”

Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet

(1445-1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5 3m



(m là từ chữ la tinh minus nghĩa là trừ)

là kí hiệu của 5-3 , nói chung a k m là ký hiệu của ak Như vậy, trong thời kỳ này ông dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả số âm

Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu” Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa được chấp nhận

Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương

trình Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý Cardan (1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra

      

1

 Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’ (trong đó = 4) Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức Như vậy phương trình ở trên được viết là s’ l  , với =20. 

nhiều giá trị của ẩn số trong những phương trình và ông phân biệt các số dương, số

âm Chính ông đã đề nghị một phương trình bậc hai: x 2 + 4x = 21 và nhận thấy các giá trị của x là +3 và số hư 7” Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư” Ông

dùng ký hiệu m để chỉ số “hư” Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ mà Chuquet đã sử dụng

Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã

giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đôi khi một vài nghiệm thì

được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5 thì x +

5 2 0, lấy x + 5 nhân với x 3 – 9xx + 26x – 24 0 thì được x 4 – 4x 3 – 19xx + 106x – 120 0 Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm thật là 2, 3, 4 và một nghiệm hư là 5”

Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số

“thiếu” Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489)

Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm âm của phương trình gọi là số “vô lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật

là số dương Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình

Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế

kỉ thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích Với

sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã chọn) Ông

biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như -1,-2, -3,…Từ đó

kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện Như vậy, sự xuất hiện của dấu

“-” là một dấu hiệu chỉ số âm Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “-” trong ký hiệu số

âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu vào năm 1489

Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một

số âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì:

n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1)

n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0

Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm

n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0

(-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a)

Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0

Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm)

Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương

Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương” Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng

ở đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) luôn được xem là số âm (vì luôn giả thiết a > 0)

Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0 Ông đã xem 2 dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…

…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành một khái niệm số nguyên Euler định nghĩa bốn phép toán trên những số này

Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa

số (để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như

sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-” Dấu “+”

hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ

đổi thành danh từ Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số dương,

những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm Trong trường hợp mà ở

đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a Theo sự thỏa thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b = -A Ta có: +a

= +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A

Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng trong ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A Trong mỗi công thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái Việc xem xét duy nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”

Từ đoạn trích trên, chúng tôi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ) Theo chúng tôi đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ

Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ông đưa ra việc phân biệt rõ ràng giữa dấu của phép toán với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ông đề nghị một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác định bởi phương trình: a + a = 0 Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số đối

của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó là

b được cho bởi phương trình b + b = 0 Vì vậy phép trừ tổng quát trên những số nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ”

Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết

của số phức” Ông giải thích phép nhân hai số đối:

“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)

0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)

Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”

Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số

a Với cách ký hiệu này thì ông đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối (trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ

VIETMATHS.NET

Bảng 1 Sự tiến triển của khái niệm số âm

Thời điểm Kí hiệu của số

âm Đối tượng Đặc trưng của số âm

Liu Hiu (220-280) Các que tính màu

Maclaurin (1698-1746) Dấu “-”

Chữ chỉ đại diện cho số dương

- a được hiểu là số âm

Euler (1707-1783) Dấu “-” Số cụ thể

Số âm được hiểu như một

ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước

Cauchy (1789-1857)

Dấu “-” Số cụ thể

Số âm được hiểu như một

ký hiệu gồm số dương và dấu “-” đứng trước

Dấu “-” Chữ - a được hiểu là số đối của

a

Tóm lại, số âm có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau đây:

- Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính toán các “khoản tiền”, giải phương trình,…Trong một thời gian dài số âm không được chấp nhận, chẳng hạn các

nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu” Cuối

cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes biểu

diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như là các

đoạn thẳng có hướng Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc giữa các

nghiệm âm và nghiệm dương

- Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que màu đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử dụng), dấu

“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu) Điều này cho thấy tính không thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số âm Hơn nữa đã

có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì luôn giả thiết a dương)

- Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một số,

chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số đối của a,

kí hiệu là ā Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt dấu của số âm và dấu của phép toán trừ Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong trường hợp số cụ thể) và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”) Điều này dẫn đến trở ngại trong việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ Theo chúng tôi đây được xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang chữ

Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại chủ yếu

liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể có

thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ

1.2.2 Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm

Trong luận văn này, khái niệm số âm được xem xét với tư cách là đối tượng liên quan đến việc nghiên cứu khái niệm giá trị tuyệt đối Để tìm hiểu những chướng ngại gắn liền với số âm, trong phần này chúng tôi chỉ đặt trọng tâm đến việc xem xét nghĩa của dấu “-” đã được sách giáo khoa hiện hành tính đến như thế nào trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ

VIETMATHS.NET

Để thuận tiện chúng tôi sẽ dùng các kí hiệu sau đây: M6 để chỉ sách giáo khoa toán 6, tập 1 G6 để chỉ sách giáo viên toán 6, tập 1

Số nguyên âm được đưa vào M6, chương 2: “số nguyên” Ở mục các ví dụ (bài 1), M6 có đoạn viết: “Trong thực tế, bên cạnh các số tự nhiên, người ta dùng các số

với dấu “-” đằng trước như: -1, -2, -3, … (đọc là âm 1, âm 2, âm 3, …, hoặc trừ 1, trừ 2, trừ 3, …) Những số như thế được gọi là số nguyên âm” [M6, tr.66]

Từ đoạn trích trên, cho thấy số âm chỉ đơn thuần là sự “dán nhãn” dấu “-’’ đặt trước một số dương Như vậy, đã có sự xuất hiện trong quan niệm của học sinh về đối tượng số âm, tập hợp những cái biểu đạt mà học sinh có thể gắn vào đối tượng

số âm là dấu “-” Với tình huống trên đã đem lại nghĩa của khái niệm số âm đối với

học sinh: “Số nguyên âm được hiểu như một kí hiệu gồm số nguyên dương và dấu

“-” đứng trước” Mặt khác chúng tôi nhận thấy xuất hiện dấu “-” trong ký hiệu của

số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà học sinh đã quen biết Vấn đề đặt ra là tại sao như vậy? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở G6, trang 94, giải

thích như sau: “dấu “-” trong ký hiệu số âm tuy không phải là dấu “-” trong phép

trừ, nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên không cần đề cập đến sự khác nhau đó Nếu

vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy bản chất hai dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta sẽ thấy chúng phù hợp với nhau Vì thế chúng ta không sợ nhầm lẫn khi viết hai dấu như nhau” Việc dùng dấu “-” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” trong phép trừ

đã từng tồn tại trong lịch sử của khái niệm số âm

Mặt khác, nếu xét về cách đọc, chẳng hạn -1 thì đọc là âm 1, hoặc trừ 1 Tại sao M6 lại nêu ra hai cách đọc? Để giải thích cho điều này thì G6 trang 94 có đoạn

viết: “Dấu “-” trong số âm đúng ra chỉ đọc là âm, nhưng trên thực tế người ta vẫn

đọc cả hai cách “âm” hoặc “trừ”, nên sách giáo khoa yêu cầu học sinh biết đọc cả hai cách” [G6, tr 94]

Đến đây chúng tôi đặt ra câu hỏi: như vậy khi chuyển sang ký hiệu chữ, chẳng hạn (–a) thì cách đọc như thế nào? Để trả lời câu hỏi này chúng tôi tìm thấy ở bài 6:

“Tính chất của phép cộng các số nguyên”, M6 đã đề cập đến ký hiệu dấu “-” gắn với

ký hiệu chữ như sau: “số đối của số nguyên a được ký hiệu là –a Khi đó số đối của

(-a) cũng là a , nghĩa là - (-a) = a Rõ ràng: Nếu a là số nguyên dương thì –a là số nguyên âm, chẳng hạn a = 3 thì -a = -3 Nếu a là số nguyên âm thì –a là số nguyên dương, chẳng hạn a = -5 thì -a = -(-5)=5 (vì 5 là số đối của -5)” [M6, tr.78]

Đoạn trích trên cho thấy, M6 đã sử dụng kí hiệu dấu “-” để chỉ số đối trùng với dấu “-” trong kí hiệu số âm Như vậy, các tác giả đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ thể ) và dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ ) Theo chúng tôi đây chính

là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng chữ Cụ thể nếu a là số nguyên dương, chẳng hạn a = 3 thì số đối (-a) trong trường hợp này chính là số nguyên âm -3 Như vậy dấu “-” trong ký hiệu số đối

và dấu “-” trong ký hiệu số âm là phù hợp Tuy nhiên nếu a là số nguyên âm, chẳng hạn a = -5 thì -a = 5 lại là số nguyên dương Đến đây vấn đề đặt ra: Liệu học sinh có

“thoát khỏi” cách hiểu (-a) luôn luôn là số nguyên âm hay không, khi dùng dấu “-” để

ký hiệu cho cả số âm và số đối? Hơn nữa, đối với học sinh nghĩa của dấu “-” không

được làm rõ Trích dẫn sau đây sẽ minh chứng cho điều khẳng định này “Dấu “-”

trong kí hiệu số đối không phải là dấu “-” trong kí hiệu số âm, cũng không phải là dấu

“-” trong kí hiệu phép trừ Nhưng vì lý do sư phạm, giáo viên không cần đề cập đến Nếu vì lý do nào đó cần giải thích thì giáo viên cũng chỉ nên giải thích như sau: tuy bản chất các dấu có khác nhau, nhưng sau khi học xong phép trừ số nguyên, chúng ta

sẽ thấy chúng phù hợp với nhau” [G6, tr.105]

Trong phần phân tích khoa học luận của khái niệm số âm, chúng tôi đã chỉ ra các nhà toán học đương thời đã sử dụng các kí hiệu khác để chỉ số đối, chẳng hạn opp(a) (theo Hankel), a (theo Wileken) Tại sao M6 sử dụng cùng một dấu “-” với

ba nghĩa khác nhau như đã đề cập? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tìm thấy ở G6,

trang 96 đã giải thích như sau: “Trong chương này có sử dụng kí hiệu dấu “-” với

ba nghĩa khác nhau, dấu “-” trong phép trừ, dấu “-” của số nguyên âm trong bài 1 thực ra chỉ thuần túy là một kí hiệu gắn với loại số mới đưa ra, vì vậy ta hoàn toàn

có thể thay bằng kí hiệu khác Cũng tương tự như vây đối với dấu “-” của số đối (ở

VIETMATHS.NET

bài 6) ta hoàn toàn có thể thay bằng kí hiệu khác Tuy nhiên, sau khi có phép trừ (bài 7) (trừ đi a là cộng với số đối của nó, nên có thể kí hiệu số đối của a là –a) Vì thế để thuận tiện, người ta thường dùng dấu “-” (trùng với dấu của phép trừ) để kí hiệu cho cả số âm và số đối Sách giáo khoa một số nước có dùng kí hiệu khác để ghi số âm” [G6, tr.96]

Tóm lại: Qua phân tích thể chế chúng tôi nhận thấy M6 sử dụng cùng một kí hiệu dấu “-’’ với hai nghĩa khác nhau dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp

số cụ thể ) và dấu “-” mang nghĩa số đối (Trong trường hợp ký hiệu chữ ) Vấn đề này đã xuất hiện trong lịch sử (theo Cauchy) Mặt khác theo qui định của thể chế lại không yêu cầu học sinh phân biệt rõ nghĩa của dấu “-” Điều này được thể hiện rõ trong G6, trang 93 như sau: “Không đòi hỏi học sinh phải phân biệt rõ sự khác nhau

giữa các dấu “-” trong số âm, số đối và trong phép trừ” Do đó, theo chúng tôi

chính sự không phân biệt này sẽ dẫn đến một trở ngại mà học sinh gặp phải là hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí

hiệu chữ Từ đây, cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại didactic gắn liền với âm:

Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể tạo nên chướng ngại cho việc học tập số âm trên tập hợp các số hiện diện dưới dạng chữ Từ chướng

ngại trên, chúng tôi hình thành giả thuyết về kiểu sai lầm gắn liền với khái niệm số

âm trong bước chuyển từ số cụ thể sang kí hiệu chữ

H 1: Đối với học sinh (-a) là một số nguyên âm với mọi số nguyên a khác 0

Chương 2.

KHÁI NIỆM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC

KHOA HỌC

 Vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối

 Khái niệm giá trị tuyệt đối ở một số giáo trình đại học

Mục tiêu của chương

Mục tiêu của chương này là phân tích một vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối, nhằm vạch rõ sự tiến triển của khái niệm này cùng với nghĩa tương ứng của chúng Đó là cơ sở tham chiếu cho việc phân tích các giáo trình đại học Cụ thể

là chúng tôi nhắm đến trả lời câu hỏi sau:

Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm giá trị tuyệt đối được đề cập như thế nào? Khái niệm này tiển triển ra sao? Nghĩa của chúng là gì?

2.1 Vài nét về lịch sử của khái niệm giá trị tuyệt đối

Trong phần này, chúng tôi tham khảo các nguồn tài liệu sau:

1 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 1

2 Hoàng Quý, Nguyễn văn Ban, Hoàng Chúng, Trần văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2002), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2

3 Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang (2002), lịch sử toán học

4 Cauchy (1821) Cours d’analyse de l’école royale polytechnique

5 Duroux (1983), la valeur absolue difficultés majeures pour une notion mireure

6 http://fr.wikipeadia.org/wiki/valeur-absolue

Có bốn giai đoạn chủ yếu trong sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối Cụ thể như sau:

Trong giai đoạn thứ nhất:

Trong giai đoạn này, giá trị tuyệt đối lấy cơ chế của một khái niệm tiền toán học Nghĩa là không có tên, không được định nghĩa và hoạt động như một công cụ ngầm ẩn Phạm vi hoạt động chủ yếu trong giai đoạn này là: số học Chẳng hạn

VIETMATHS.NET

Napier (1550-1617) sử dụng giá trị tuyệt đối trong việc hình thành bảng lôgarit, trong cách viết lg0,0032 = 3,4800069 có ý nghĩa là trước dấu phẩy người ta ghi phần đặc tính nếu nó âm thì dấu “-” được đặt trên đầu giá trị tuyệt đối của nó (-3 =

3) Do đó số 3,4800069 thật ra phải viết là -3 + 0,4800069

Mặt khác, Descartes (1596-1650), ngầm ẩn sử dụng giá trị tuyệt đối để đưa ra

qui tắc dấu: “Trong dãy các hệ số của phương trình đa thức có bao nhiêu lần đổi

dấu thì có bấy nhiêu nghiệm dương và có bao nhiêu lần lặp dấu thì có bấy nhiêu nghiệm âm” Chẳng hạn phương trình x54x 2 0 có một lần đổi dấu (hệ số đầu dương cả hai hệ số sau đều âm) nên phương trình có một và chỉ một nghiệm dương Như vậy, các hệ số của phương trình được đề cập ở đây là các số cụ thể gồm hai

phần: Phần dấu (dấu +, - ) và phần “số” ngầm ẩn được xem là giá trị tuyệt đối Trong giai đoạn này giá trị tuyệt đối ngầm ẩn được hiểu theo nghĩa “số không dấu” hay là “khoảng cách từ số 0”

Trong giai đoạn thứ hai:

Giá trị tuyệt đối lấy cơ chế của khái niệm cận toán học Nghĩa là có tên nhưng không có định nghĩa Chúng là khái niệm công cụ của hoạt động toán học nói chung

nó không phải là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học Sự xuất hiện của giá trị tuyệt đối như là một phương tiện để giải quyết các vấn đề về số âm (do sự mở rộng từ  sang ) Trong giai đoạn này giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “số

bỏ qua các dấu” Với cách hiểu này giá trị tuyệt đối được sử dụng như một công cụ

để chuyển một số có dấu “+”, “-” thành số không dấu Trong giai đoạn này

Lagrange (1736-1813) và Gausse (1777-1855) sử dụng giá trị tuyệt đối để tính toán

sai số và xây dựng lý thuyết số Phạm vi hoạt chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là số học, đại số

Trong giai đoạn thứ ba:

Giá trị tuyệt đối mang cơ chế của khái niệm toán học Chúng vừa là đối tượng

nghiên cứu của các nhà toán học vừa là công cụ tường minh để giải quyết các bài toán trong nhiều lĩnh vực toán Cụ thể là giá trị tuyệt đối được định nghĩa một cách

tường minh cho mỗi số (số thực, số phức) Khi đó chúng được hiểu theo nghĩa “hàm

số” và các tính chất của nó đã được đề cập Chẳng hạn Argand (1768-1822)-nhà

toán học Thụy Sĩ đã cho một cách minh họa hình học các số phức trên mặt phẳng

tọa độ và ông đã đưa vào thuật ngữ “modul của số phức” Vào năm 1821 Cauchy

đưa vào khái nịêm modul số phức :

“Xét số phức a+b  1 và M(a, b) Khi đó OMđược xác định hoàn toàn bởi độ dài  của nó và góc mà nó tạo ra với trục Ox Ta có:

a+b  1 (cos  1sin ); a cos ; bsin ( >0)

Suy ra a2b2 2(cos2 sin2)2 Vậy   a2 b2 ,  0 gọi là modul của số phức a b  1” (Ở đây i =  1 là do Euler đề xuất năm 1777 và công bố năm 1794) Cauchy còn sử dụng giá trị tuyệt đối để định nghĩa dãy số và chứng minh sự hội tụ của dãy số Phạm vi hoạt động chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là: số học, đại số, giải tích

Giai đoạn sau cùng:

Khái niệm giá trị tuyệt đối đã được hình thức hóa Nghĩa là người ta đề cập đến giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự, giá trị tuyệt đối trong một trường, khái niệm hàm khoảng cách, chuẩn của một vectơ Phạm vi hoạt động chủ yếu của giá trị tuyệt đối trong giai đoạn này là: Đại số hiện đại, các không gian trừu tượng (không gian mêtric, không gian định chuẩn) Chẳng hạn Weierstrass (1815-1897) đưa ra tiêu chuẩn sau về sự hội tụ của chuỗi trong không gian định

chuẩn (Không gian vectơ trên đó đã xác định một chuẩn) Chuỗi

- Sự tiến triển của khái niệm giá trị tuyệt đối gắn liền với sự mở rộng các tập

số cũng như sự xuất hiện của các khái niệm trừu tượng như vành, trường, không gian vectơ

VIETMATHS.NET

- Việc chuyển từ giai đoạn thứ hai sang giai đoạn thứ ba đã có sự thay đổi về

nghĩa của khái niệm giá trị tuyệt đối Cụ thể là

+ Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “số cụ thể” Với cách hiểu

này thì khi tính giá trị tuyệt đối chỉ cần loại bỏ các dấu “+”, “-” đằng trước số đó

+ Khái niệm giá trị tuyệt đối được hiểu theo nghĩa “hàm số” Theo cách hiểu

này việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối luôn gắn với điều kiện của biến

2.2 Khái niệm giá trị tuyệt đối ở một số giáo trình đại học

Ở đây chúng tôi chọn phân tích các tài liệu sau:

Trước tiên tài liệu [34] đưa vào tiếp cận ban đầu như sau: “mỗi số thực được

xác định bởi dấu (+ hoặc -) và giá trị tuyệt đối của nó Chẳng hạn giá trị tuyệt đối của (+7) là 7, giá trị tuyệt đối của (-5) là 5, tức là số đối của (-5)”

Như vậy, tài liệu [34] đã xem một số cụ thể gồm hai phần: phần dấu và phần

số (Tương tự như quan điểm của Cauchy), mà phần số chính là giá trị tuyệt đối của

nó Cách tiếp cận trên thuộc giai đoạn thứ hai trong sự tiển triển lịch sử của khái

niệm giá trị tuyệt đối Do đó giá trị tuyệt đối được đề cập tường minh theo nghĩa

“số cụ thể”

Sau đó, tài liệu [34] đưa vào 2 định nghĩa sau :

Định nghĩa 1 “Đối với số thực bất kỳ x, giá trị tuyệt đối của x (ký hiệu là x )

Định nghĩa 2 Với x là số thực bất kỳ thì x  max( , ) x x

* Nhận xét :

- Hai định nghĩa hình thức ở trên về bản chất xuất hiện như một hàm số (hàm cho bằng công thức) trên tập hợp số thực Điểm khác biệt ở chỗ giá trị tuyệt đối của

số thực x ở định nghĩa 2 được xác định duy nhất bởi một biểu thức, còn định nghĩa

1 thì được xác định bởi 2 biểu thức

- Về mặt toán học hai định nghĩa trên là tương đương Thật vậy

Dựa vào quan hệ thứ tự trên  : x y    x z y z (1) (x y z, ,  ), ta có :

1 1

tại hai nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối, nghĩa “số cụ thể” và nghĩa

“hàm số” Tuy nhiên nghĩa “hàm số” chỉ được đề cập ngầm ẩn

Tiếp tục tài liệu [34] đưa vào định nghĩa modul của số phức:

“Với số phức bất kỳ z = x + iy, trong đó x, y là số thực, giá trị tuyệt đối hoặc

modul của z, ký hiệu là z được định nghĩa z = x2 y2 ”

Định nghĩa trên đã cho thấy, sự tồn tại một hàm số:  +, z  z =

“Giá trị tuyệt đối xác định trên một trường là một hàm:  + , x  x

sao cho thỏa mãn các tính chất:

x ≥ 0; x = 0  x 0, với mọi x 

y x y

x   , với mọi x, y 

y x

y

x  , với mọi x, y ”

Trong định nghĩa trên nghĩa “hàm số” được đề cập tường minh Đây là định nghĩa tổng quát của khái niệm giá trị tuyệt đối trong một trường mà giá trị tuyệt đối

của một số thực, số phức là ví dụ

Kết luận

Khái niệm giá trị tuyệt đối mà tài liệu [34] đã đề cập thuộc các giai đoạn từ thứ hai đến thứ tư trong sự tiển triển lịch sử của khái niệm này Đặc biệt làm nổi bật hai nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối đã từng xuất hiện trong lịch sử là

nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số” (ngầm ẩn và tường minh )

2.2.2 Khái niệm giá trị tuyệt đối trong giáo trình đại số và số học, tập 2

Giáo trình [20] đưa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối của một phần tử trong

vành số nguyên : “Xét hàm số xác định như sau: , a  a

a gọi là giá trị tuyệt đối của a” [20, tr.107]

Như vậy, giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành số nguyên  được định nghĩa một cách tường minh bằng ngôn ngữ hàm số Khi đó giá trị tuyệt đối được đề cập một cách tường minh theo nghĩa “hàm số” Hàm số này có các tính chất:a= 0

Tiếp theo, giáo trình định nghĩa vành sắp thứ tự:

“Giả sử V là một vành sắp thứ tự Đặt P =x V x /  0, thế thì nếu gọi - P là

tập hợp các phân tử đối của P, ta có - P =x V x /  0 Hiển nhiên P và – P có

Định nghĩa này chính là sự mở rộng của định nghĩa giá trị tuyết đối của một

phần tử trong (bởi vì  là vành sắp thứ tự), về thực chất giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự là một hàm số a  a , xác định trên V và nhận giá trị trong tập P Từ định nghĩa, bằng cách xét các trường hợp aP, a = 0, và –aP Người ta chứng minh các tính chất sau: a.b  a.b;ab  a b Tương tự ở đây người ta cũng đề cập đến giá trị tuyệt đối của một phần tử trong trường thứ tự Việc đưa vào các định nghĩa giá trị tuyệt của một phần tử trong vành, trường thứ tự nhằm tạo thuận lợi cho việc nghiên cứu định nghĩa và các tính chất hội tụ của dãy số hữu

tỉ và dãy số thực

Kết luận

Khái niệm giá trị tuyệt đối được giáo trình [20] đề cập thuộc giai đoạn thứ tư (phạm vi đại số hiện đại ) trong sự tiến triển lịch sử của khái niệm này Hơn nữa giá

trị tuyệt đối chỉ được hiểu duy nhất theo nghĩa “hàm số” (ngầm ẩn và tường minh)

Đây cũng chính là điểm khác biệt so với tài liệu [34]

2.2.3 Khái niệm giá trị tuyệt đối trong giáo trình giải tích hàm

Giáo trình [2], đưa vào định nghĩa một mêtríc trên tập hợp X như sau :

“Cho X là một tập hợp Một mêtric trên X là một hàm d: X × X  thỏa mãn các tính chất sau

(m 1 ) d(x, y)  0; d(x, y)=0  x y ;

(m 2 ) d(x, y) = d(y, x)

(m 3 ) d(x, z )  d(x, y)+d(y, z)

Với mọi x, y, zX

Không gian mêtric X = (X, d) là một tập X cùng với mêtríc d trên nó

Trường  là một không gian mêtric với mêtric d(x, y)= x y ” [2, tr.8]

Nhận xét:

- Từ đoạn trích trên cho thấy sự tồn tại một hàm d:   , được xác định

bởi d(x, y)= x y là một mêtric thông thường trên  và số d(x, y) gọi là khoảng

cách thông thường gữa hai điểm x và y (x, y ) Cụ thể là bằng cách dựa vào các tính chất sau của khái niệm giá trị tuyệt đối một số thực sẽ kiểm tra được (,d) là một không gian mêtric a  0; a b    0 a b;  a a ; a b    a c c b Điều này nói lên rằng định nghĩa mêtric trên một tập X bất kỳ xem như là sự tổng quát hóa từ các tính chất về khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực

- Vì d(x, y) = x y nên d(x, 0) = x Như vậy, có thể xem như giá trị tuyệt đối

của một số thực được định nghĩa thông qua khái niệm khoảng cách như sau:

d:× 0  , (x, 0)d x( , 0)  x

Giáo trình [2] đưa vào định nghĩa chuẩn của một vectơ như sau :

“Cho E là một  (= ; ) không gian vectơ Một chuẩn trên E là một hàm

x x từ E vào  thỏa mãn các điều kiên sau với mọi x, yE , mọi  

- Trong điều kiện (n2) của định nghĩa trên xuất hiện ký hiệu  có 2 vai trò : + Nếu xét   thì ký hiệu  để chỉ giá trị tuyệt đối của một số thực

+ Nếu xét   thì ký hiệu  để chỉ modul của số phức, tức là

ngôn ngữ hàm số thông qua khái niệm khoảng cách Đây chính là điểm khác biệt so

với tài liệu [34] và giáo trình [20]

+ Định nghĩa bằng “max”: x  max( x x, ) Với x 

+ Định nghĩa thông qua khái niệm khoảng cách:

- Ở cấp độ tri thức khoa học người ta đề cập đến giá trị tuyệt đối của một số thực modul của số phức giá trị tuyệt đối của một phần tử trong vành sắp thứ tự ,giá trị tuyệt đối trong một trường ,chuẩn của một vectơ, khái niệm mêtric trên một tập hợp

-Đã có sự xuất hiện 2 nghĩa khác nhau của khái niệm giá trị tuyệt đối

+ Nghĩa “số cụ thể” theo nghĩa này thì để bỏ dấu giá trị tưyệt đối chỉ cần

loại bỏ dấu “+”, “-” đằng trước số đó

+ Nghĩa “hàm số” theo nghĩa này thì việc bỏ dấu giá trị tưyệt đối luôn gắn

với điều kiện của biến

- Vấn đề ở đây là nghĩa “số cụ thể” và nghĩa “hàm số” của khái giá trị tuyệt

đối có xuất hiện ở chương trình phổ thông hay không? Để trả lời câu hỏi này chúng

tôi phải tiếp tục nghiên cứu chương 3: Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối

tượng giá trị tuyệt đối

VIETMATHS.NET

Chương 3

NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

 Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán bậc phổ thông

 Giá trị tuyệt đối trong các sách giáo khoa trung học cơ sở

 Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa lớp 10

Mục tiêu của chương

Chương này sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi sau :

Mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối đã được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chể dạy học toán ở trường phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học gắn liền với khái niệm này? Các tổ chức toán học đó tiển triển như thế nào qua các khối lớp bậc học? Có sự tương đồng và khác biệt nào có thể ghi nhận giữa mối quan hệ thể chế với khái niệm giá trị tuyệt đối ở bậc đại học và bậc phổ thông?

Để đạt được mục tiêu trên, chúng tôi phân tích chương trình và sách giáo khoa hiện hành ở các lớp 6, 7, 8, 9, 10 Ở lớp 10 khái niệm giá trị tuyệt đối được giảng dạy trong các bộ sách của cả hai ban: ban khoa học tự nhiên (bộ sách tương ứng là

bộ nâng cao) và ban khoa học xã hội và nhân văn (bộ sách tương ứng là bộ cơ bản) Nhìn chung nội dung hai bộ sách là như nhau Tuy nhiên do thời gian có hạn chúng tôi sẽ phân tích bộ sách dành cho ban khoa học xã hội và nhân văn

Các kết quả nghiên cứu của chương 1 và chương 2 là cơ sở tham chiếu cho phân tích của chương này Phần tiếp theo sau đây là phân tích các sách trên

3.1 Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán bậc phổ thông

Để thuận tiện chúng tôi sẽ dùng các ký hiệu sau đây:

Mi, Gi, Ei (Với i = 6,…, 10), tương ứng là sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập ở các lớp 6,7,8,9,10

3.1.1 Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học cơ sở

Khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên được đưa vào giảng dạy ở

chương 2 có tên gọi là “số nguyên” trong chương trình toán lớp 6 Cụ thể là bài 3:

“thứ tự trong tập hợp các số nguyên” Mục tiêu của bài này là giúp học sinh:

“ - Biết so sánh hai số nguyên

- Tìm được giá trị tuyệt đối của một số nguyên” [G6, tr.98]

Trong mục những điểm cần lưu ý, G6, trang 98 có đoạn viết:

“Vì lý do sự phạm, sách giáo khoa hoàn toàn dựa vào hình ảnh của trục số để

so sánh hai số nguyên và xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên (và cũng cần thiết khi đề cập đến phép cộng sau này)” [G6, tr.98]

Những trích dẫn trên cho thấy khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên được tiếp cận thông qua hình ảnh của trục số và vấn đề trọng tâm là so sánh hai số nguyên và tìm được giá trị tuyệt đối của một số nguyên

Sau đó, chương trình lớp 7 đưa vào khái niệm giá trị tuyệt đối của một số hữu

tỉ qua bài: “Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ Cộng, trừ, nhân, chia số thập phân”

Tuy nhiên có điểm khác biệt so với lớp 6 là ở đây, sách giáo khoa đưa vào công

thức xác định giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ: x 

Đến lớp 8, định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số thực được nhắc lại ở bài 5: “

Phương trình chứa giá trị tuyệt đối” (thuộc chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn) Mục tiêu của bài này là giúp học sinh:

“- Biết bỏ dấu giá trị tuyệt đối ở biểu thức dạng ax và dạng xa

-Biết giải một số phương trình dạng ax cxd và dạng xa cxd ” [G8, tr.57]

x nếu x  0

- x nếu x < 0 

VIETMATHS.NET

Với mục tiêu trên thì giá trị tuyệt đối được sử dụng như công cụ tường minh trong việc giải các bài toán rút gọn biểu thức và giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối theo các dạng quy định như trên Như vậy, công thức xác định x

được hợp thức trong trường hợp số thực, ngầm mở rộng, thừa nhận cho trường hợp trong dấu giá trị tuyệt đối là một biểu thức bậc nhất

Ở lớp 9, người ta đưa vào hằng đẳng thức A2 A

19 “Học sinh cần biết vận dụng hằng đẳng thức A2  A để rút gọn biểu thức”

3.1.2 Giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học phổ thông

Ở lớp 10, ngoài các tính chất về giá trị tuyệt đối đã đề cập ở trung học cơ sở như: x  0 ;x x;x  x; học sinh được học thêm các tính chất bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối, chẳng hạn:

a a

a      (với mọi a, b )

Đến lớp 12, với việc bổ sung số i vào tập số thực , người ta xét tập hợp các

số mới dạng a + bi ; a, b , i2 = -1. Đó là tập hợp các số phức Từ đó khái niệm

modul của số phức được đưa vào và được định nghĩa nhờ vào biểu diễn hình học

của nó Nếu số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M trên mặt phẳng tọa độ thì độ dài của vectơ OMđược gọi là modul của z, tức là z OM  a2 b2 Tuy nhiên trong phạm vi của đề tài chúng tôi không nghiên cứu phần này

A nếu A  0

-A nếu A < 0

3.2 Giá trị tuyệt đối trong các sách giáo khoa trung học cơ sở

3.2.1 Giá trị tuyệt đối trong sách giáo khoa toán 6

Chương “số nguyên” trong M6 gồm các nội dung sau:

-Làm quen với số nguyên âm

-Tập hợp các số nguyên

-Thứ tự trong tập hợp các số nguyên

-Cộng hai số nguyên cùng dấu

-Cộng hai số nguyên khác dấu

-Tính chất của phép cộng các số nguyên

-Phép trừ hai số nguyên

-Quy tắc dấu ngoặc

-Quy tắc chuyển vế

-Nhân hai số nguyên khác dấu

-Nhân hai số nguyên cùng dấu

-Tính chất của phép nhân

-Bội và ước của một số nguyên

Trong đó, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên được giới thiệu ở bài:

“Thứ tự trong tập hợp các số nguyên”

3.2.1.1 Về định nghĩa, tính chất của giá trị tuyệt đối

M6 xây dựng khái niệm giá trị tuyệt đối của một số nguyên như sau:

“Trên trục số:

Ta thấy điểm -3 cách điểm 0 một khoảng là 3 (đơn vị), điểm 3 cũng cách điểm

0 một khoảng là 3 (đơn vịị)

? 3 Tìm khoảng cách từ mỗi điểm: 1, -1, -5, 5, -3, 2, 0 đến điểm 0

Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên a Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a, kí hiệu là a ( đọc là “giá trị tuyệt đối của a”)

VIETMATHS.NET