Giải bài toán tìm x trong hệ thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm khắc sâu khái niệm giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7

Từ những sai lầm và rất lúng túng của học sinh, tôi đã kiểm tra, phân tích thực trạng tìm ra nguyên nhân chính là do các em chưa hiểu các tính chất của "Giá trị tuyệt đối" và chưa nắm đư

GIẢI BÀI TOÁN TÌM X TRONG HỆ THỨC

CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI NHẰM KHẮC SÂU KHÁI NIỆM

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CHO HỌC SINH LỚP 7

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài:

Với mục tiêu giáo dục của nước ta là xây dựng nội dung chương trình và phương pháp giáo dục toàn diện cho thế hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu phát triển nhân lực phục vụ cho quá trình công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, phù hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam, tiếp cận trình độ giáo dục ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới

Để thực hiện tốt mục tiêu giáo dục, người giáo viên cần có sự hiểu biết, nắm chắc những thay đổi về nội dung và phương pháp cũng như những yêu cầu trong cuộc sống Đổi mới phương pháp đó chính là lấy học trò làm trung tâm phát huy tính tích cực học tập của học sinh Học sinh tự tìm tòi kiến thức, vận dụng những kiến thức đã học vào quá trình giải bài tập, ứng dụng vào cuộc sống Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say

mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải

đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát huy tư duy Toán học

Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chương trình toán THCS tôi nhận thấy phần:"Giá trị tuyệt đối" là một nội phong phú và đa dạng ở phần đại số của các lớp

Trong nhiều năm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, tôi nhận thấy đa số học sinh thực sự chưa có phương pháp giải bài tập Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng này Khi được giáo viên ra bài tập đọc đề lên là bước vào tính toán luôn không cần phân tích đề xem bài tập đó thuộc dạng nào, phương pháp giải như thế nào, dẫn đến việc học sinh khó suy luận được, ngay cả học sinh giỏi vẫn mắc sai lầm

Sự lúng này thể hiện rõ khi các em tham gia giải các bài toán nâng cao về

dạng toán có dấu "Giá trị tuyệt đối" Dạng bài tập này hầu như không thiếu trong thi học kỳ ở các lớp cũng như nhiều kỳ thi khác Từ những sai lầm và rất lúng túng của học sinh, tôi đã kiểm tra, phân tích thực trạng tìm ra nguyên nhân chính

là do các em chưa hiểu các tính chất của "Giá trị tuyệt đối" và chưa nắm được phương pháp giải các bài toán ở dạng này

Với những lý do trên tôi đ ã tìm tòi nghiên cứu, tham khảo tư liệu và áp

dụng đề tài: “Gỉải bài toán tìm x trong hệ thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm khắc sâu khái niệm giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7” để dạy cho mọi

đối tượng học sinh trong việc giảng dạy học tập hằng ngày Nhằm giúp cho các

em học khối 7 khắc phục những sai lầm, biết giải các bài tập loại này một cách

tự tin và hiệu quả làm tiền đề để giải các bài tập dạng này ở các lớp trên

1.2 Mục đích nghiên cứu :

Đề tài này nhằm giúp cho các em nắm chắc được định nghĩa, các tính chất của

"Giá trị tuyệt đối" và phương pháp giải dạng bài tập tìm x trong hệ thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối và kỹ năng giải bài tập nói chung

Phát huy tính tích cực chủ động và tạo hứng thú cho học sinh trong học tập, đặc biệt là trong giải bài tập toán

Là tài liệu rất cần thiết cho việc ôn luyện học sinh bộ môn toán nói chung cũng như học sinh giỏi bộ môn toán, và giúp cho giáo viên hệ thống được kiến thức, phương pháp giải bài tập toán dạng toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối

1.3 Đối tượng nghiên cứu :

Đề tài này nghiên cứu và áp dụng cho đối tượng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh khá giỏi cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày

Về mặt kiến thức kỹ năng đề tài chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải toán

có liên quan đến định nghĩa, các tính chất của "Giá trị tuyệt đối" và phương pháp giải dạng bài tập tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối

1.4 Phương pháp nghiên cứu :

Đọc sách, tham khảo tài liệu

Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

Cùng trải nghiệm thực tế - nhiều năm dạy toán khối lớp 7

Thông qua học tập BDTX các chu kì

Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, trao đổi cùng đồng nghiệp đã rút

ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận

Trong hoạt động dạy và học theo phương pháp đổi mới người giáo viên phải giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học tập chủ động tích cực muốn vậy người giáo viên cần truyền thụ cho học sinh những tri thức những kĩ năng , phương pháp để học sinh biết cách học , biết cách suy luận, biết cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới

Để phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong giải toán, nhất là giải các bài toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, phương pháp giải , giáo viên cần hiểu rõ bản chất vấn đề , tổng hợp kiến thức cung cấp , hệ thống cho học sinh các cách giải.Thông qua các bài toán về tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối mà phát triển tư duy lô gíc, phát triển kỹ năng, củng cố và phát triển kiến thức toán của học sinh

- Các kiến thức thường sử dụng là:

* Định nghĩa:

Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là a là khoảng cách từ điểm a

đến điểm 0 trên trục số

Nhận xét: * Giá trị tuyệt đối của 0 là số 0

* Giá trị tuyệt đối của số nguyên dương là chính nó

* Giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó (và là một số dương) Tổng quát : Nếu a0  a a ;

Nếu a 0  a  a

Nếu x-a  0=> = x-a ;

Nếu x-a  0=> = a-x

Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có:

* Tính chất

- Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm

Tổng quát : a  0 với mọi a  R

Cụ thể: =0 <=> a=0

- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau

Tổng quát : 















b a

b a b

a

Mở rộng : a b b a











0 A(x) A(x)nÕu

-0 A(x) nÕu

|A(x) | A(x)

- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó

Tổng quát :  a aa và  a a a 0 ;aa  a 0

- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Tổng quát : Nếu ab 0  a  b

- Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

Tổng quát : Nếu 0 ab a  b

- Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối

Tổng quát : a.b a.b

- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối

Tổng quát : b a b a

- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.

Tổng quát : 2 2

a

a 

- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối

của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

Tổng quát : a b ab và a b ab  a b 0

- Hiệu hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối

của hiệu hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi số hai số cùng dấu và giá trị tuyệt đối của số bị trừ lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của số trừ

Tổng quát : a  b a b và 





















0

0

b a

b a b

a b a

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Thực trạng học sinh ở vùng thành phố, nhưng hầu hết gia đình các em trong

lớp kinh tế còn khó khăn, bố mẹ phần lớn kinh doanh buôn bán Do vậy việc mua tài liệu tham khảo cho các em còn hạn chế rất nhiều, thời gian quan tâm đến con cái còn ít Các em vừa mới làm quen với các tập hợp số mới trong khoảng thời gian ngắn, nên chưa có thời gian luyện tập nhiều vì thế trong quá trình làm bài các em thường hay sai dấu dẫn đến kết quả sai Hơn nữa để làm được các bài tập về giá trị tuyệt đối các em phải bỏ được dấu giá trị tuyệt đối mà

để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thì lại phải chú ý nhiều đến dấu của biểu thức Qua giảng dạy và qua các bài kiểm tra đầu năm tôi thấy kết quả bài làm của học sinh rất thấp Lý do học sinh không có điểm cao là do học sinh không nắm được cách giải hoặc nắm chưa sâu cho nên học sinh còn mắc nhiều sai lầm dẫn đến bài giải sai Các em chưa biết cách suy luận, chưa biết cách trình bày lời giải một bài toán, đôi khi các em tìm ra được kết quả nhưng không biết cách trình bày bài giải

Một số em chưa nắm vững được định nghĩa, các tính chất cũng như chưa nắm vững được cách giải hoặc vận dụng chưa thành thạo

Qua kiểm tra khảo sát đầu năm của hai lớp 7A1 và 7A2 kết quả như sau:

Lớp Sĩ

số

Trong số các bài kiểm tra của học sinh tôi thấy số các bài trình bày được lời giải hoàn chỉnh (nhóm 1) rất ít, mà trong phần trình bày bài giải của các em vẫn còn chưa lô gíc Nhóm 2 đa số các em viết kết quả đúng hoặc chưa đầy đủ nhưng chưa biết cách trình bày hoặc trình bày theo cách suy diễn của các em mà không có lô gíc hoặc thiếu căn cứ

Ví dụ : Tìm x biết:

a/ x 3   4

Lời giải của học sinh: Vì không có giá trị nào thoả mãn

Vậy không tìm được x

Lời giải đầy đủ: Vì x 3  0 với mọi x , nên không có giá trị nào của x để

x 3   4

Vậy không tìm được x để x 3   4

b/ x 2  5

Lời giải của học sinh: x 2  5  x - 2 = 5  x = 5 + 2 = 7

Vậy x = 7

Lời giải đầy đủ:

Ta có: x 2  5 suy ra: x – 2 = 5  x = 2 + 5 = 7

hoặc x – 2 = - 5  x = 2 – 5 = - 3

Vậy x 7  ; 3

Nhóm 2 các em làm còn sai

Ví dụ : Tìm x biết: a/ x 3   4

Lời giải của học sinh: x 3   4  x+ 3 = - 1  x = -1 – 3 = - 4 Vậy x = - 4

Cho dù trước khi làm bài kiểm tra các em cũng đã được học lý thuyết và phương pháp làm bài nhưng chưa được luyện tập nhiều nên kết quả còn thấp

Sau khi trả bài cho các em tôi nhận xét rồi hướng dẫn lại cách làm, sau đó cho các em lên bảng trình bày lời giải thì các em trình bày lại được

Vì vậy tôi thấy rằng giáo viên cần rèn luyện cho học sinh phương pháp giải cũng như rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán nói chung cũng như dạng toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối nói riêng nhằm giúp các em hiểu và làm được thành thạo bài tập toán Để các em cảm thấy môn toán không khó như các em vẫn cảm nhận, từ đó nâng cao chất lượng dạy học toán

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

Trước hết giáo viên cho học sinh ôn tập và nắm vững định nghĩa, các tính chất của giá trị tuyệt đối.Sau đó cho học sinh làm quen dần với các dạng toán với các phương pháp của các dạng toán ấy rồi cho học sinh luyện giải các dạng toán tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối Sau mỗi dạng bài giáo viên: nêu phương pháp giải  lấy ví dụ  cho học sinh tự luyện các bài tương tự

Các dạng toán: Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Dạng 1: A(x)  k (Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước) Dạng toán này yêu cầu học sinh yêú, kém đều phải làm được tất cả đại trà đều phải làm tốt

Để giải được dạng toán này học sinh chỉ cần vận dụng được tính chất : giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của

nó và giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm (a  0 với mọi a  R)

* Cách giải:

- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm )

- Nếu k = 0 thì ta có A(x)  0  A(x)  0

- Nếu k > 0 thì ta có: 















k x

A

k x A k

x A

) (

) ( )

(

Ví dụ: 1.1: Tìm x, biết:

a/ x 1   5 ; b/ = 4 ; c) 2x 5  4

Giải:

a) Ta có: x 1  0 với mọi giá trị của x

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn x 1   5

b/ Giải : Ta có : = 4 Suy ra:

= 4  x = 4 hoặc x = - 4

Vậy x = 4 hoặc x = - 4

c/ 2x 5  4

Giải : Ta có :2x 5  4 Suy ra:

* 2x-5 = 4  2x = 4 + 5 = 9  x = 4,5

Hoặc 2x-5 = - 4  2x = 5 - 4  2x = 1  x = 0,5

Vậy x = 4,5 hoặc x = 0,5

Dạng 2: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

Dạng toán này yêu cầu học sinh đại trà phải làm được

Để giải được dạng toán này học sinh chỉ cần vận dụng được tính chất :

















b a

b a b

a

*Cách giải: Vận dụng tính chất: 















b a

b a b

a















) ( )

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x

A

Ví dụ: 2.1: Tìm x, biết: 5x 4 x 2

Giải : Ta có: 5x 4 x 2 Suy ra:

* 5x - 4 = x+2  5x - x =2+4  4x = 6  x = 1,5

Hoặc: 5x – 4 = -x - 2  5x + x = - 2+ 4  6x= 2  x= 1/3

Vậy x = 1,5 hoặc x = 1/3

Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

Dạng toán này yêu cầu học sinh trung bình trở lên phải làm được

*Cách giải:

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá

trị tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau: A(x) B(x)

(1)

Điều kiện: B(x)  0 (*)















) ( )

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x A

( Đối chiếu giá tri x tìm được với đkiện (* )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0  a a Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)

+ Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x)= B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

+ Nếu A (x)<0 thì (1)trở thành: -A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện)

Ví dụ: 3.1: Tìm x, biết: Tìm x  Q biết =2x

Giải :

* Xét x+  0  x 

-5

2

Ta có x+ = 2x  x – 2x = -52  - x = -52  x = 52

( Thoả mãn điều kiện x  - 52 )

* Xét x+ < 0  x < -52

T a có x+ = - 2x  x + 2x =

-5

2

 3x =

-5

2

 x =

-5

2

:3 = -

15 2

( Không thoả mãn điều kiện x < -52 )

Vậy x = 52

Một số dạng toán dành cho học sinh khá, giỏi.

Đối với mỗi dạng toán này giáo viên cho học sinh nêu cách giải tổng quát, yêu cầu học sinh phân tích cách làm của mình, sau đó giáo viên nêu cách làm(có phân tích) Giáo viên làm mẩu rồi cho hs luyện tập

Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

*Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

B

x

A( )  ( )  ( ) 

Căn cứ bảng xét dấu xét trên từng khoảng để giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )

Ví dụ4.1 : Tìm x biết rằng x  1 x  32x  1 (1)

 Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt

đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

Giải: Xét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

x- 3 = 0  x = 3; x – 3 < 0  x < 3; x – 3 > 0  x > 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:

Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1  -2x + 4=2x – 1

 x = 5/4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)

Xét khoảng 1  x3 ta có: (1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1  2 = 2x – 1  x = 3/2 ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)

x 1 3

x – 1 - 0 + +

x – 3 - - 0 +

Xét khoảng x > 3 ta có: (1)  (x – 1 ) + (x – 3 )= 2x – 1  - 4 = -1 ( Vô lí) Kết luận: Vậy x =3/2

Ví dụ4.2 : Tìm x, biết: a) 2x 6  x 3  8

Ta lập bảng xét dấu

x -3 3

x+3 - 0 + +

2x-6 - - 0 +

Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

* Nếu x < -3

Khi đó phương trình trở thành

6 - 2x - x - 3 = 8

-3x = 8 - 3

-3x = 5

x = - ( không thỏa mãn x<-3)

* Nếu - 3  x  3

6 - 2x + x + 3 = 8

- x = -1

x = 1 ( thỏa mãn - 3  x  3)

* Nếu x >3

2x - 6 + x + 3 = 8

3 x = 11

x = ( thỏa mãn x >3)

Vậy x















3

11

;

1

Dạng 5: A  B 0

Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức

* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0

* Cách giải chung: A B  0

0

A

B

 









Bước2: Khẳng định: A B  0











0 0

B A

Ví dụ5.1: Tìm x biết : + = 0

Giải: Ta có:  0 với mọi x ;  0 với mọi x

 + = 0  





















1 1 0

1 0 1

x x x

x

 không có giá trị nào của x thoả mãn + = 0

Ví dụ5.2: Tìm x, y thoả mãn: 3x 4  3y 5  0

Giải: Ta có: 3x 4  0 với mọi x

3y 5  0 với mọi y

Suy ra: 3x 4  3y 5  0  











  



  





3 3 5 3 4 3 0 5 3 0 4 3

y x y y

Vậy x











 



3

5

;

3

4

* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B  0 nhưng kết quả không thay đổi

* Cách giải: Ta có: A B  0 (1) 0 0

0

A

B

 







Từ (1) và (2)  A  B  0











0 0

B A

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất

không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự

Dạng 6: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

)

D(x C(x)

B(x)

Điều kiện: D(x)  0 kéo theo A(x)  0 ;B(x)  0 ;C(x)  0

Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

Ví dụ6.1: Tìm x, biết: x 1  x 2  x 3  4x(1)

Vì x 1  0 với mọi x

x 2  0 với mọi x

x 3  0 với mọi x

Suy ra: 4x  0 với mọi x x  0  x + 1  0 ; x + 2  0 ; x + 3  0

Nên (1) trở thành: x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x

 3x – 4x = - 1 – 2 – 3

 - x = - 6

 x = 6

Vậy x = 6

Dạng 7: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong

Ví dụ7.1: Tìm x, biết: 2x 1 12 54

Giải: Ta có: 2x 1 12 54 Suy ra:

* + =  = -  =