1.Lý do chọn đề tài:Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7. Tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi gặp “ Bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” do nhiều vấn đề về phương pháp giải, thiếu logic và chưa chặt chẻ, còn thiếu sót các trường hợp có thể xảy ra. Nguyên nhân chính là vì chưa hiểu rõ về giá trị tuyệt đối của một biểu thức, chưa phân loại được các dạng bài tập và cách giải của từng dạng, còn nhầm lẫn giữa dạng này với dạng kia. Mặt khác kiến thức về giá trị tuyệt đối trong lớp 6, 7 còn khá đơn giản, mới ở dạng cơ bản vì vậy các em gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài toán dạng này. Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối khi ôn thi học sinh giỏi toán 7. Tôi nghĩ cần phải làm như thế nào đó để học sinh có thể vận dụng được tốt định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối, phân chia được các dạng, tìm được phương pháp giải và không có sự nhầm lẫn giữa các dạng bài tập. Mặc dù đề tài này đã được nhiều anh chị đồng nghiệp đi trước nghiên cứu. Nhưng qua quá trình học hỏi và rút kinh nghiệm từ bản thân trong thời gian ôn thi cho các em có hiệu quả nên tôi mạnh dạn viết ra sáng kiến này để các anh chị đồng nghiệp có thể vận dụng trong quá trình ôn tập cũng như các em học sinh có thể tự tin khi gặp phải dạng toán này.
Trang 1I PHẦN MỞ ĐẦU:
1 Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 Tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi gặp “ Bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” do nhiều vấn đề về phương pháp giải, thiếu logic và chưa chặt chẻ, còn thiếu sót các trường hợp có thể xảy ra Nguyên nhân chính là vì chưa hiểu rõ về giá trị tuyệt đối của một biểu thức, chưa phân loại được các dạng bài tập và cách giải của từng dạng, còn nhầm lẫn giữa dạng này với dạng kia Mặt khác kiến thức về giá trị tuyệt đối trong lớp 6, 7 còn khá đơn giản, mới ở dạng cơ bản vì vậy các em gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài toán dạng này Chính vì vậy, để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối khi ôn thi học sinh giỏi toán 7 Tôi nghĩ cần phải làm như thế nào đó để học sinh có thể vận dụng được tốt định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối, phân chia được các dạng, tìm được phương pháp giải và không có sự nhầm lẫn giữa các dạng bài tập Mặc dù đề tài này đã được nhiều anh chị đồng nghiệp đi trước nghiên cứu Nhưng qua quá trình học hỏi và rút kinh nghiệm từ bản thân trong thời gian ôn thi cho các em có hiệu quả nên tôi mạnh dạn viết ra sáng kiến này để các anh chị đồng nghiệp có thể vận dụng trong quá trình ôn tập cũng như các em học sinh có thể tự tin khi gặp phải dạng toán này
1.Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Mục tiêu: Nâng cao kỷ năng giải một số dạng bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh cũng từ đó phát triển tư duy logic cho học sinh, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn
Nhiệm vụ: Phân loại được từng dạng bài tập, cách giải cụ thể đối với từng dạng bài tập
2.Đối tượng nghiên cứu:
Biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng trình bày giải “Bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”
Trang 23.Giới hạn phạm vi nghiên cứu:
Khuôn khổ nghiên cứu: Một số biện pháp nâng cao chất lượng khi ôn thi học sinh giỏi môn Toán 7
Đối tượng khảo sát: Một số em học sinh giỏi khối 7 trường THCS Lê Đình Chinh
Thời gian: Năm học 2015-2016
4.Phương pháp nghiên cứu:
Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo và Internet
Điều tra, tổng kết kinh nghiệm từ các anh chị đi trước
Tham khảo một số ý kiến của đồng nghiệp
Tiến hành thử nghiệm trong quá trình ôn thi cho các em học sinh
2.PHẦN NỘI DUNG:
1.Cơ sở lý luận:
Chương trình học lớp 7 còn nhẹ nhàng, học sinh chỉ mới tìm hiểu tới khái niệm và một số tính chất đơn giản của giá trị tuyệt đối Học sinh chưa được học quy tắc giải phương trình, bất phương trình cũng như các phép biến đổi tương đương Chính vì vậy học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi giải các bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Hiểu và nắm vững kiến thức này sẽ giúp cho các em thuận lợi hơn trong quá trình học tập và thi cử sau này
2.Thực trạng:
Trong quá trình ôn thi, tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết “Bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối” Bài giải thiếu chặt chẽ, thiếu logic, thiếu trường hợp, chất lượng chưa cao
2.1 Thuận lơi, khó khăn:
Thuận lợi: Các em đều là học sinh giỏi nên các em đã có kiến thức cơ bản về Toán học, tình yêu và sự ham học hỏi chính là thuận lợi khi áp dụng phương pháp
Trang 3Khó khăn: Kiến thức đã được học trong chương trình chỉ mới sơ khai, các
em còn khá lúng túng khi giải quyết bài toán cũng như ghi nhớ từng dạng bài tập
2.2 Thành công, hạn chế:
Thành công: Sau quá trình nghiên cứu, đề tài đã đạt được những thành công nhất định, đã tổng hợp gần như đầy đủ các dạng bài tập và cách giải cũng như cách trình bày từng dạng bài tập “ Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối”
Hạn chế: Tuy đã phân loại được từng dạng bài tập nhưng số lượng khá nhiều nên để hướng dẫn và ghi nhớ cho học sinh thì phải cần một thời gian nhất định và phải thường xuyên củng cố để học sinh có thể ghi nhớ hơn
2.3 Mặt mạnh, mặt yếu:
Mặt mạnh: Phân loại được các dạng bài tập, phương pháp giải cụ thể, có ví
dụ minh họa rõ ràng, có kèm theo bài tập cho học sinh củng cố đối với từng dạng bài cụ thể
Mặt yếu: Số lượng kiến thức nhiều và dễ nhầm lẫn giữa các dạng bài tập
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
Kiến thức ở lớp 6 & 7 ở dạng này để áp dụng còn hạn chế nên không thể đưa
ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và phong phú được Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp rất hệ thống và lô gíc, có lợi thế về dạy học đặt vấn đề trong dạng toán tìm x, thời gian giảng dạy trên lớp còn hạn chế nên giáo viên không thể mở rộng kiến thức nhiều hơn cho học sinh
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi đối với môn toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài toán tìm x có chứa dấu giá trị tuyệt đối Đa số học sinh khi giải còn thiếu lô gíc ,thiếu chặt chẽ , thiếu trường hợp Chất lượng môn toán của học sinh còn hạn chế, học sinh giỏi còn ít
Với học sinh lớp 7 ở trường THCS Lê Đình Chinh đa số các em là con nông dân nên thời gian dành cho các em học tập là ít Nên gặp bài toán này các em làm được rất ít, hoặc làm thì thường mắc những sai lầm
Trang 43.Giải pháp, biện pháp:
Giải pháp: Điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 là các em chưa được học giải phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi tương đương, hằng đẳng thức ….Nên giải bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có những phương pháp xây dựng thì chưa thể hướng dẫn được học sinh vì thế các em cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau :
* Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
* Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối
A A khi A 0
-A khi A<0
A = A , A 0
* Định lí về dấu nhị thức bậc nhất
Biện pháp: Để giải bài toán tìm x mà biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Tôi đã sử dụng các kiến thức cơ bản như quy tắc, tính chất, định nghĩa về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang dạng khác Từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải các dạng khác đối với mỗi dạng bài, loại bài
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
Các kiến thức cơ bản là khởi đầu cho mọi kiến thức mở rộng sau này, nắm vững được các kiến thức chúng ta sẽ dễ dàng ghi nhớ và sử dụng để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến phức tạp Hiểu rõ được vấn đề sẽ giúp cho các em không nhầm lẫn kiến thức với nhau
3.2 Nội dung và cách thức việc thực hiện giải pháp, biện pháp:
Biện pháp cụ thể như sau:
A/.Một số dạng cơ bản
1.1 Dạng cơ bản A x = B với B0
a Cách tìm phương pháp giải
Trang 5Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra cần áp dụng kiến thức nào để bỏ dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau)
b Phương pháp giải
Ta lần lượt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp
c.Ví dụ
Ví dụ 1 :( Bài 25 (a) sách giáo khoa trang 16 tập 1)
Tìm x , biết x 1 , 7 = 2,3
GV: Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán :
Đẳng thức có xảy ra không ? vì sao?
( Đẳng thức có xảy ra vì x 1 , 7 0 và 2,30 )
Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau )
Bài giải
x 1 , 7 = 2,3 x-1,7= 2,3; hoặc x-1,7 = -2,3
+ Xét x-1,7= 2,3 x= 2,3 + 1,7 x= 4
+ Xét x-1,7 = -2,3 x = -2,3 +1,7 x=-0,6
Vậy x=4 hoặc x=-0,6
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra ví dụ khó dần
Ví dụ 2 : ( bài 25b SGK trang 16 tập 1)
Tìm x biết 0
3
1 4
3
x
Với bài này tôi đặt câu hỏi ‘Làm sao để đưa về dạng cơ bản đã học ‘
Từ đó học sinh biến đổi đưa về dạng x 3 1
4 3
Bài giải
Ta có: 0
3
1 4
3
x
Trang 6 3 1
x
4 3
x +
4
3
=
3
1
hoặc x +
4
3
=
-3 1
+ Xét x +
4
3
=
3
1
x = 5
12
+ Xét x +
4
3
=
-3
1
x = 13
12
Vậy x = 13
12
hoặc x = 5
12
Ví dụ 3 Tìm x biết
39 2x -17 =16
Làm thế nào để đưa về dạng cơ bản đã học?
Từ đó học sinh đã biến đổi đưa về dạng cơ bản đã học 9 2x = 11
Bài giải
Ta có: 39 2x -17 =16
39 2x = 33
9 2x = 11
9-2x =11 hoặc 9-2x = -11
+ Xét 9-2x = 11 -2x = 2 x= -1
+ Xét 9-2x = -11 -2x = - 20 x= 10
Vậy x = -1 hoặc x = 10
d Bài tập cũng cố:
Bài 1.1: Tìm x, biết:
4
5 3
1
x c) 12 x51 31 d)
8
7 1
2
4
3
x
Bài 1.2: Tìm x, biết:
Trang 7a) 2 2x 3 21 b) 7 , 5 3 5 2x 4 , 5 c) 3 , 75 2 , 15
15
4
x
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 2 3x 1 1 5 b) 1 3
2
x
2
1 5
2
3
1
x
Bài 1.4: Tìm x, biết:
4
3
4
1
x b) 2 23x 14 45 c) 2354 x 43 74 d)
6
5 3
5 2
1
4
3
5
,
4 x
Bài 1.5: Tìm x, biết:
3
1 :
4
9
5
,
6 x b) : 4 51 27
2
3 4
11
2
1 4
3 : 5 , 2 4
15
6 3
2
4
:
3
5
21
x
1.2 Dạng cơ bản A (x) = B(x) ( Trong đó biểu thức B (x) có chưá biến x)
a Cách tìm phương pháp giải
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên , học sinh thấy được đẳng thức không xảy
ra khi B(x) <0 Vậy cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản đế suy luận tìm ra cách giải bài toán trên không? Có thể tìm ra mấy cách ?
b Phương pháp giải
Cách 1 : ( Dựa vào tính chất )
A (x) = B(x)
Với điều kiện B(x) 0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x) sau đó giải hai trường hợp với điều kiện B(x) 0
Cách 2 : Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa
dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
)
(x
A = B(x)
+Xét A(x) 0 x? Ta có A(x) = B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) 0 )
Trang 8+ Xét A(x) < 0 x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải tìm x để thoả mãn A(x) < 0) + Kết luận : x = ?
Lưu ý : Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều
chứa một dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau ( A (x) =m 0 dạng đặc biệt của dạng hai)
Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng A =B (Nếu B0 đó là dạng đặc biệt, còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra Nếu B là biểu thức có chứa biến là dạng hai và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối
c Ví dụ
Ví dụ 1 Tìm x biết: 9 3x = x- 7
* Cách 1 :
Với x-70 x7 ta có 9-3x = x-7 hoặc 9-3x = -( x-7 )
+ Nếu 9-3x = x-7 -4x = -16 x = 4 (Thoả mãn)
+ Nếu 9 - 3x = -( x-7) 9- 3x = -x +7 x= 1
2 (Thoả mãn) Vậy x = 1
2 hoặc x = 4
* Cách 2 :+ Xét 9-3x 0 x 3 ta có 9-3x= x-7 x= 4(Thoả mãn) + Xét 9-3x< 0 x > 3 ta có -(9-3x)= x-7 x= 1
2(Thoả mãn) Vậy x = 1
2 hoặc x = 4
Ví dụ 2 Tìm x biết x 3 -x = 7
*Cách 1 : x 3 -x = 7
x 3 = x+7
Với x+7 0 x-7 ta có x-3 = x+7 hoặc x-3 =-( x+7)
Trang 9+ Nếu x-3 = x+7 0x = 10 ( loại )
+ Nếu x-3 =-( x+7) x-3 = -x-7 2x= -4 x=-2 ( Thoả mãn)
Vậy x = -2
*Cách 2 : x 3 -x = 7
+ Xét x-3 0 x 3 ta có x-3 -x= 7 0x= 10 ( loại )
+ Xét x-3<0 x< 3 ta có -(x-3) -x = 7 -x+3 -x=7 2x= -4 x=-2 ( Thoả mãn)
Vậy x= -2
d Bài tập cũng cố:
Bài 1.2.1: Tìm x, biết:
a) x 3 2x
2
1
b) x 1 3x 2 c) 5x x 12 d) 7 x 5x 1
Bài 1.2.2: Tìm x, biết:
a) 9 x 2x b) 5x 3x 2 c) x 6 9 2x d) 2x 3 x 21
Bài 1.2.3: Tìm x, biết:
a) 4 2x 4x b) 3x 1 2 x c) x 15 1 3x d) 2x 5 x 2
Bài 1.2.4: Tìm x, biết:
a) 2x 5 x 1 b) 3x 2 1 x c) 3x 7 2x 1 d) 2x 1 1 x
Bài 1.2.5: Tìm x, biết:
a) x 5 5 x b) x 7 x 7 c) 3x 4 4 3x d) 7 2x 7 2x
1.3 Dạng A x + B x =0
a Cách tìm phương pháp giải
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm ) Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào? (Cả hai số đều bằng không ) Vậy ở bài
Trang 10này tổng trên bằng không khi nào ? [A(x) =0 và B(x)=0 ] Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) =0 và B(x)=0
b Phương pháp giải
Tìm x thoả mãn hai điều kiện : A(x) =0 và B(x)=0
c Ví dụ
Tìm x , biết
1, x 2 + x2 2x
=0
2, x 2 x
+x 1x 2 =0
Bài giải
1, x 2 + x2 2x
=0
x 2 =0 và x2 2x
=0 + Xét x 2 =0 x+2=0 x=-2 (1)
+ Xét x2 2x
=0 x2 +2x=0 x(x+2) =0 x=0 hoặc x+2 =0 x=-2 (2)
Kết hợp (1)và (2) x=-2
2, x 2 x
+x 1x 2 =0
x 2 x =0 và x 1x 2 =0
+ Xét x 2 x
=0 x2 + x=0 x(x+1) =0 x=0 hoặc x+1 =0 x=-1 (1) + Xét x 1x 2 =0 ( x+1)(x-2) =0 x+1=0 hoặc x-2 =0
x=-1 hoặc x=2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được x= -1
Lưu ý : Ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải ghi kết luận giá trị tìm được
thì giá trị đó phải thoả mãn hai đẳng thức A x =0 và B x =0
d Bài tập cũng cố:
Bài 1.3.1: Tìm x, y thoả mãn:
Trang 11a) 3x 4 3y 5 0 b) 0
25
9
y y x
c) 3 2x 4y 5 0
Bài 1.3.2: Tìm x, y thoả mãn:
7
2 4
3
13
23 17
11 5 , 1 4
3 2
1 3
2
0 2008
x
* Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A B 0 (1)
0 0
0
B A B
A
(2)
Từ (1) và (2) A B 0
0 0
B A
1.4 Dạng A x = B x hay A x - B x =0
a Cách tìm phương pháp giải
Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy đây là dạng đặc biệt ( vì đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải quyết
Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được đấu giá trị tuyệt đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải: Xét các trường hợp
xảy ra của A(x) và B(x) (dựa vào định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất hai số
đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x) =B(x); A(x) =-B(x) (vì
ở đây cả hai vế đều không âm do A x 0 và B x 0) Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được
b Phương pháp giải
*Cách 1 : Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối.
*Cách 2 : Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) =B(x) hoặc A(x) =-B(x).
c Ví dụ
Ví dụ 1 : Tìm x biết x 3 = 2 x 1
Trang 12 x+3 = 2x-1 hoặc x+3 =-(2x-1)
+ Xét x+3 = 2x-1 x=4
+ Xét x+3 =-(2x-1) x+3 = -2x +1 x=- 2
3
Vậy x= 2
3
hoặc x=4
Ví dụ 2: Tìm x biết x 2 + x 4 = 8
Bước 1 : Lập bảng xét dấu :
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x-2=0 x=2 và x+4 =0 x=-4
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn
Ta có bảng sau:
X -4 2
x-2
- 0 + +
Bước 2 : Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị
của biến Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ -4 x<2)
Cụ thể : Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau :
+ Nếu x<-4 ta có x-2<0 và x+4 <0
nên x 2 = 2-x và x 4= -x-4
Đẳng thức trở thành 2-x -x-4 = 8
-2x = 10
x=-5 ( thoả mãn x< -4)
+ Nếu -4 x<2 ta có x 2 = 2-x và x 4= x+4
Đẳng thức trở thành 2-x +x+ 4 = 8
0x= 2 (vôlí )