SKKN PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1. Bối cảnh của sáng kiến. Thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “Hai không”; “Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” cùng với phong trào xây dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực”; Nghị quyết TW2 khóa VIII cũng đã khẳng định “Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến…”. Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm đến học sinh vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải thực hiện được thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang cách dạy học, vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất; đồng thời phát triển cách đánh giá kết quả giáo dục từ nặng về kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá năng lực vận dụng kiến thức giải quyết vấn đề, coi trọng cả kiểm tra đánh giá kết quả học tập với kiểm tra đánh giá trong quá trình học tập để có thể tác động kịp thời nhằm nâng cao chất lượng của các hoạt động dạy học và giáo dục. Toán học cũng không nằm ngoài xu hướng phát triển chung đó. Hơn nữa, từ năm học 2016 – 2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đề thi môn toán thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường, đòi hỏi học sinh cần phải nắm vững kiến thức từ cơ bản đến nâng cao , làm thuần thục các dạng toán quan trọng đồng thời cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án; giáo viên cũng phải tích cực nghiên cứu các dạng bài tập và phương pháp giải phong phú đa dạng vừa giúp học sinh rèn luyện nâng cao khả năng tư duy vừa tạo hứng thú và niềm yêu thích học tập đối với môn toán cho học sinh. 2. Lý do chọn sáng kiến Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải. Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong SGK còn nhiều hạn chế. Để giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề, tôi phát hiện ra rằng rất nhiều bài toán về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán hình học trong mặt phẳng nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính toán sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,. thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình. Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC” . 3. Phạm vi và đối tượng của sáng kiến. Phạm vi của sáng kiến: trên cơ sở lý luận của tư duy sáng tạo, áp dụng vào nội dung dạy giải bài tập toán, từ đó phân loại các dạng bài tập và xây dựng hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao đáp ứng được yêu cầu của học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi. Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu là toàn bộ chương Số phức và phần Hình học giải tích trong mặt phẳng thuộc môn toán Trung học phổ thông. Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán số phức. 4. Mục đích nghiên cứu. Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài liệu tham khảo nhỏ hỗ trợ giáo viên trong quá trình giảng dạy, đồng thời giúp các em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán số phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất hình học đã học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các em phát triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi.

1 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Bối cảnh sáng kiến Lý chọn sáng kiến Phạm vi đối tượng sáng kiến Mục đích sáng kiến PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I THỰC TRẠNG CỦA NỘI DUNG Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn 2.1 Thực trạng 2.2 Tiềm II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Các giải pháp 1.1 Giải tốn tính tốn mơđun số phức, tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước 1.2 Giải toán cực trị môđun số phức 1.2.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường thẳng, đoạn thẳng 1.2.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn 1.2.3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức elip 1.2.4 Tập hợp điểm biểu diễn số phức hai đường 1.2.5 Các toán khác BÀI TẬP RÈN LUYỆN 2.Hiệu việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn III KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN IV KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ Kết luận Đề xuất – Kiến nghị DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 4 4 4 5 11 12 15 20 20 24 29 32 33 33 33 34 35 PHẦN MỞ ĐẦU Bối cảnh sáng kiến Thực vận động “Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “Hai khơng”; “Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” với phong trào xây dựng “Trường học thân thiện, học sinh tích cực”; Nghị TW2 khóa VIII khẳng định “Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến…” Giáo dục phổ thông nước ta thực bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận lực người học, nghĩa từ chỗ quan tâm đến học sinh học đến chỗ quan tâm đến học sinh vận dụng qua việc học Để đảm bảo điều đó, định phải thực thành công việc chuyển từ phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ chiều” sang cách dạy học, vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành lực phẩm chất; đồng thời phát triển cách đánh giá kết giáo dục từ nặng kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra, đánh giá lực vận dụng kiến thức giải vấn đề, coi trọng kiểm tra đánh giá kết học tập với kiểm tra đánh giá trình học tập để tác động kịp thời nhằm nâng cao chất lượng hoạt động dạy học giáo dục Tốn học khơng nằm ngồi xu hướng phát triển chung Hơn nữa, từ năm học 2016 – 2017, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia đề thi mơn tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường, đòi hỏi học sinh cần phải nắm vững kiến thức từ đến nâng cao , làm thục dạng tốn quan trọng đồng thời cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án; giáo viên phải tích cực nghiên cứu dạng tập phương pháp giải phong phú đa dạng vừa giúp học sinh rèn luyện nâng cao khả tư vừa tạo hứng thú niềm yêu thích học tập mơn tốn cho học sinh Lý chọn sáng kiến Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thơng giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hoàn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải Số phức vấn đề hồn tồn khó học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển tốn để tạo nên lơi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng tốn với nội dung hấp dẫn hồn tồn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế Để giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Trong trình giảng dạy, ôn thi, làm đề, phát nhiều toán số phức xây dựng sở số tốn hình học mặt phẳng học sinh tiếp cận theo hướng đại số túy tính tốn khó giải vấn đề thời gian ngắn Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, em giải tốt tốn Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc Chính lý nên tơi tổng hợp kinh nghiệm trình giảng dạy mình, sưu tầm dạng điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TỐN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC” Phạm vi đối tượng sáng kiến Phạm vi sáng kiến: sở lý luận tư sáng tạo, áp dụng vào nội dung dạy giải tập toán, từ phân loại dạng tập xây dựng hệ thống tập từ đến nâng cao đáp ứng yêu cầu học sinh đặc biệt học sinh giỏi Phạm vi nghiên cứu đề tài chủ yếu toàn chương Số phức phần Hình học giải tích mặt phẳng thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ số phức với hình học tọa độ mặt phẳng, qua chọn lọc số tốn đặc trưng hình học chuyển hóa thành tốn số phức Mục đích nghiên cứu Tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ hỗ trợ giáo viên trình giảng dạy, đồng thời giúp em học sinh giỏi nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp tốn số phức Sau khuyến khích em dựa vào tính chất hình học học để sáng tạo tập hay tập số phức, qua giúp em phát triễn tư logic, tổng hợp phần, chương học để chọn nhanh hướng tiếp cận câu hỏi trắc nghiệm mức độ vận dụng đề thi PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I THỰC TRẠNG CỦA NỘI DUNG Cơ sở lý luận Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học mơn Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT có cách nhìn hướng tư để giải tốn số phức Đó việc chuyển toán số phức toán hình học vận dụng phương pháp hình học để giải Cơ sở thực tiễn 2.1 Thực trạng Hiện gặp dạng toán số phức phát triển từ tốn hình học thường làm học sinh kể học sinh giỏi lúng túng từ khâu phát nút thắt mấu chốt cách xử lý Đa số em không nhận “bẫy” đề bài, sa đà vào tính tốn, gây thời gian mà thường không thu kết mong đợi Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách phối hợp tư hình học tính tốn đại số Một thực tế nhiều học sinh làm tốn loại chương hình học làm thành thạo chương số phức với ngơn từ, giả thiết khác em lại không phát vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà lúng túng gặp tốn Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm chất vấn đề cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc tốn 2.2.Tiềm Trong q trình học tốn kĩ vận dụng toán học quan trọng nhất, nhà trường phổ thông không cung cấp cho học sinh kiến thức tốn học, mà cịn rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng tính đọc lập, độc đáo khả sáng tạo Chính điều quan trọng hệ thống tập cần phải khai thác sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả phát triển tư sáng tạo biểu mặt như: khả tìm hướng (khả tìm nhiều lời giải khác cho tốn), khả tìm kết (khai thác kết tốn, xem xét khía cạnh khác toán) Chủ đề số phức giải tập số phức phương pháp hình học chứa nhiều tiềm to lớn việc giúp học sinh quy toán số phức “lạ lẫm” tốn hình học quen thuộc Bên cạnh giúp học sinh giải tập sách giáo khoa, giáo viên khai thác tiềm thơng qua việc xây dựng hệ thống tập sở hệ thống tập bản, tạo hội cho học sinh phát triển lực sáng tạo Hơn tập giải phương trình, bất phương trình khơng có thuật giải rõ ràng, muốn giải tập học sinh cần phải huy động nhiều kiến thức tư phải linh hoạt dạy gải tập tốn nội dung tốt để phát triển tư sáng tạo cho học sinh II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN Các giải pháp A CƠ SỞ LÍ THUYẾT Số phức + Một số phức biểu thức dạng z = a + bi với a, b �� i =- 1, i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức + Tập hợp số phức kí hiệu � + Chú ý: - Khi phần ảo b = � z = a � z số thực - Khi phần thực a = � z = bi � z số ảo - Số = + 0i vừa số thực, vừa số ảo + Hai số phức z1 = a + bi; z2 =- a - bi gọi hai số phức đối Hai số phức �a = c ;a, b, c, d �� + Hai số phức nhau: a + bi = c + di � � � � b = d � Số phức liên hợp Số phức liên hợp z = a + bi với a, b ��là a - bi kí hiệu z  z = z; z + z � = z + z� ; z - z� = z - z� ; �z � z � = ; z z = a + b z z � = z.z � ; � � � � � �z � � z� Môđun số phức Môđun số phức z = a + bi ( a, b ��) z = a + b z z = z� z�  z.z �= z z �   z - z �� z + z �� z + z �  z - z �� z - z �� z + z � Các phép toán số phức  Phép cộng hai số phức Cho số phức z1 = a + b.i z2 = c + d i Khi z1 + z2 = ( a + b.i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i  Phép trừ hai số phức z1 - z2 = ( a + b.i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i  Phép nhân hai số phức z1 z2 = ( a + b.i ) ( c + d i ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc) i k z = k ( a + bi) = ka + kbi  Phép chia hai số phức ( a + b.i ) ( c - d i ) ac + bd bc - ad z1 z z z z = = 22 = = + i z z2 z2 c2 + d c + d c2 + d z2 Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox trục thực, Oy trục ảo ), số phức z = a + bi với a, b ��được biểu diễn điểm M ( a; b) + Số phức liên hợp z = a - bi có điểm biểu diễn N (a;- b) Hai điểm M N đối xứng qua trục hoành Ox uuur uuur z = z = OM = ON = a + b r + Số phức z = a + bi tương ứng với vectơ u = ( a; b) + Gọi M , N điểm biểu diễn cho số phức z1 ; z2 � z1 - z2 = MN Một số tập hợp thường gặp + Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - a - bi = R đường tròn tâm I , bán kính R Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz - a - bi = R � z + - a - bi R = i i � z + b + = R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z - a - bi = R � z - a + bi = R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( c + di ) z - a - bi = R � z + - a - bi R R = = c + di c + di c2 + d Hay viết gọn z0 z - z1 = R � z - z1 R = (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 + Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - a - bi = z - c - di đường trung trực đoạn AB với A( a; b) , B ( c; d ) Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z - a - bi = z - c - di Khi ta biến đổi z - a - bi = z - c - di � z - a + bi = z - c - di Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz - a - bi = z - c - di Khi ta biến đổi iz - a - bi = iz - c - di � z + - a - bi - c - di = z+ � z + b + = z + d + ci i i + Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z - c + z + c = 2a ,( a > c ) x2 y2 =1 Elip: + a a - c2 B CÁC GIẢI PHÁP 1.1 Giải tốn tính tốn mơđun số phức, tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: - Từ điều kiện toán chuyển sang điều kiện hình học phẳng tương ứng - Sử dụng kiến thức hình học, hệ thức lượng tam giác giải toán MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU Bài tập Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 = z1 - z2 = Tính z1 + z2 Lời giải Giả sử z1 , z2 biểu diễn điểm M , M mặt phẳng Oxy Gọi I trung điểm M M Ta có = z1 = z2 = z1 - z � OM = OM = M M =1 , suy D OM M có cạnh uuuur uuuur uur Khi z1 + z2 = OM + OM = OI = 2OI = � = Vậy z1 + z2 = Bài tập Cho số phức z1 ; z2 ; z3 thỏa mãn điều kiện z1 = z2 = z3 =1 z1 + z2 + z3 = Tính giá trị biểu thức P = z1 - z2 + z2 - z3 + z3 - z1 Lời giải Gọi A, B, C điểm biểu diễn z1 ; z2 ; z3 mặt phẳng phức z1 = z2 = z3 =1 � OA = OB = OC � O tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC uur uur z1 ޺=�=�=++�=++ z2 z3 OA OB uuu r OC r uuu r 3OG r uuu r OG r G O ( với G trọng tâm D ABC ) � D ABC tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R = OA =1 � AB = BC = AC = P = z1 - z2 + z2 - z3 + z3 - z1 = AB + BC + AC = 3 Bài tập Cho ba số phức z; z1 ; z2 thỏa mãn z - i = + iz z1 - z2 =1 Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 Lời giải Đặt z = x + yi ( x; y ��) z - i = + iz � x + y =1 Gọi A, B hai điểm biểu diễn z1 ; z2 uur uur Ta có z1 - z2 = OA - OB = AB =1 � AB = OA = OB � D OAB uur uur P = z1 + z2 = OA + OB = 2OM = Bài tập Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 =1 Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 + z1 - z2 Lời giải Gọi M , N hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Khi uuur uuur uur uuur z1 = OM =1 , z2 = ON = , z1 + z2 = OP , z1 - z2 = NM với OMPN hình bình hành 10 Tam giác OMN có OI = OM + ON OI 2 OP MN � =1 � OP + MN = 4 Bài tập Gọi z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z - + 2i = z1 - z2 = Tìm môđun số phức w = z1 + z2 - + 4i Lời giải Gọi A điểm biểu diễn số phức z1 , B điểm biểu diễn số phức z2 Theo giả thiết z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z - + 2i = nên A B thuộc đường tròn tâm I ( 1;- 2) bán kính r = Mặt khác z1 - z2 = � AB = Gọi M trung điểm AB suy M điểm biểu diễn số phức z1 + z2 IM = Do ta có = IM = z1 + z2 - + 2i � = z1 + z2 - + 4i � z1 + z2 - + 4i = 2 � w =6 Bài tập Tìm giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z =1 z - +i = m Lời giải 21 Gọi z = x + iy,( x, y ��) Ta có z - = 34 � M , N thuộc đường trịn ( C ) có tâm I ( 1;0) , bán kính R = 34 Mà z +1 + mi = z + m + 2i � x + yi +1 + mi = x + yi + m + 2i 2 � ( x +1) + ( y + m) = ( x + m ) + ( y + 2) � 2( m - 1) x + 2( m - 2) y - = Suy M , N thuộc đường thẳng d : 2( m - 1) x + 2( m - 2) y - = Do M , N giao điểm đường thẳng d đường trịn ( C ) Ta có z1 - z2 = MN nên z1 - z2 lớn MN lớn � MN đường kính ( C ) Khi z1 + z2 = 2OI = Bài tập Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 - i z +i =1; = Tìm z1 + - 3i z2 - + i giá trị nhỏ z1 - z2 Lời giải Giả sử z1 = x1 + y1i với x1 ; y1 �� Khi đó: z1 - i =1 � z1 - i = z1 + - 3i � x1 + ( y1 - 1) i = ( x1 + 2) + ( y1 - 3) i z1 + - 3i 2 � x12 + ( y1 - 1) = ( x1 + 2) + ( y1 - 3) � x1 - y2 + = � Quỹ tích điểm � A� H = AH tan 60�= a biểu diễn số phức z1 đường thẳng D : x - y +3 =0 Giả sử z2 = x2 + y2 i với x2 ; y2 �� Ta có: z2 + i = � z2 + i = z2 - + i � x2 + ( y2 + 1) i = ( x2 - 1) + ( y2 + 1) i z2 - + i 2 � x22 + ( y2 +1) = ( x2 - 1) + ( y2 +1) � x22 + y22 - x2 + y2 + = � Quỹ tích điểm N biểu diễn số phức z2 đường tròn ( C) : x2 + y - 4x + y + = R = 22 + ( - 1) - = có tâm I ( 2;- 1) bán kính 22 Khoảng cách từ I đến D là: d ( I ; D ) = - ( - 1) + + ( - 1) 2 = > R � đường thẳng D đường tròn C khơng có điểm chung Quỹ tích điểm biểu diễn số phức z1 - z2 đoạn thẳng MN � z1 - z2 nhỏ MN nhỏ Dễ thấy MN = - =2 Bài tập Cho số phức z thỏa mãn z - - 4i = Tìm giá trị lớn giá trị 2 nhỏ biểu thức P = z + - z - i Lời giải Đặt z = x + yi , với x, y �� 2 Ta có: z - - 4i = � ( x - 3) + ( y - 4) i = � ( x - 3) + ( y - 4) = , hay tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I ( 3;4) , bán kính r= 2 2 Khi : P = z + - z - i = ( x + 2) + y - x - ( y - 1) = x + y + � x + y + - P = , kí hiệu đường thẳng D Số phức z tồn đường thẳng D cắt đường tròn ( C ) 23 - P � d ( I ; D ) �r ޺ۣ � P - 23 �10 ޺ۣ� 13 P 33 Suy M = 33 m =13 � w = 33 +13i Vậy w = 1258 Bài tập Cho hai số phức z , w thỏa mãn z - = , w - 2i = 2 Biết z - w đạt giá trị nhỏ z = z0 , w = w0 Tính 3z0 - w0 A 2 B C Lời giải D 23 Ta có: + z - = , suy tập hợp điểm biểu diễn M biểu diễn số phức z ( ) đường tròn có tâm I ;0 , bán kính r = + w - 2i = 2 , suy tập hợp điểm biểu diễn N biểu diễn số phức w ( ) đường tròn có tâm J 0;4 , bán kính R = 2 Ta có z - w = MN + IJ = 2; IM = r = 2; NJ = R = 2 Mặt khác MN �5 - IM + MN- + NJ- �IJ ޺ MN IJ IM NJ hay - 2 =2 Suy MN = 2 I , M , N , J thẳng hàng M , N nằm I , J (Hình vẽ) uur uuu r uuu r uur r Ta có IN = 3IM � 3IM - IN = Do uuur uuu r uur uuu r uur uur uur 3z0 - w0 = 3OM - ON = OI + IM - OI + IN = 2OI = 2.OI = 2.3 = ( ) ( ) Bài tập Cho hai số phức z w= a + bi thỏa mãn z + + z 5a - 4b - 20 = Tìm giá trị nhỏ z - w Lời giải =6; 24 ( Đặt F1 - ) ;0 , F2 ( ) ;0 , < nên tập hợp điểm M biểu diễn số phức � a =3 x2 y2 2 z thuộc elip có � � b = a c = � suy ( E ) : + =1 � c= � Tập hợp điểm N biểu diễn số phức w thuộc đường thẳng D : x - y - 20 = Yêu cầu toán trở thành tìm điểm M �( E ) N �D cho MN nhỏ Đường thẳng d song song với D có dạng d : x - y + c = , ( c �- 20) � c =17 2 d tiếp xúc với ( E ) c = + ( - 4) = 289 � � � c =17 � Với c =17 � d ( d , D ) = - 20 - 17 + ( - 4) Với c =- 17 � d ( d , D ) = Vậy ( MN ) = = - 20 +17 52 + ( - 4) 37 41 = 41 41 1.2.5 Các toán khác Bài tập Cho số phức z thỏa mãn z + z + z - z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = z - - 2i Lời giải Giả sử: z = x + yi,( x, y ��) � N ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z + z + z - z = � x + y = � N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) 25 y I B E F C -2 O x D -2 2 • P = z - - 2i � P = ( x - 2) + ( y - 2) � P = d ( I ; N ) với I ( 2;2) Từ hình ta có: E ( 1;1) 2 M = Pmax = ID = 42 + 22 = m = Pmin = IE = ( - 1) + ( - 1) = ( ) Vậy, A = M + m = + � 34;6 Bài tập Cho hai số phức z w thỏa mãn z + 2w = - 6i z - w = Tìm giá trị lớn biểu thức z + w Lời giải Giả sử M , N điểm biểu diễn cho z w Suy uuur uuu r uuu r uur OM + ON = OF = 2OI , z - w = MN = OF = 2OI =10 a Đặt z = ON = ; w = OM = b Dựng hình bình hành OMFE �a + b ME � = 25 � � 264 2 � � a + b = Ta có � � b + ME a � = 16 � � � ( z + w) 2 � � � a 1� 2 � � � =� + b � a + b + = 66 ( ) � � � � � � � � � � � 2� 26 Suy a + b � 66, dấu “=” xảy a = b = 66 Vậy ( a + b) max = 66 Bài tập Cho số phức z thỏa mãn z + z + z - z = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = z - - 3i Lời giải �x �4 Gọi z = x + yi, x, y ��, ta có z + z + z - z = � x + y = � � � , tập � y � � hợp K ( x; y ) biểu diễn số phức z thuộc cạnh cạnh hình thoi ABCD hình vẽ P = z - - 3i đạt giá trị lớn KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn K �D hay K ( - 4;0) suy M = 49 + = 58 P = z - - 3i đạt giá trị nhỏ KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ K �F ( F hình chiếu E AB Suy F ( 2;1) AE = AB nên F trung điểm AB Suy m = + = Vậy M + m = 58 + Bài tập Biết hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 - - 4i =1 z2 - - 4i = Số phức z có phần thực a phần ảo b thỏa mãn 3a - 2b =12 Tìm giá trị nhỏ P = z - z1 + z - z2 + Lời giải 27 Gọi M , M , M điểm biểu diễn cho số phức z1 , 2z2 , z hệ trục tọa độ Oxy Khi quỹ tích điểm M đường trịn ( C1 ) tâm I ( 3;4) , bán kính R =1 ; quỹ tích điểm M đường ( C2 ) tròn tâm I ( 6;8) , bán kính R =1 ; quỹ tích điểm M đường thẳng d : 3x - y - 12 = Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ MM + MM + � � 138 64 � ; � Gọi ( C3 ) có tâm I � , R =1 đường tròn đối xứng với ( C2 ) qua d Khi � � �13 13 � � ( MM + MM + 2) = ( MM + MM + 2) với M �( C3 ) Gọi A , B giao điểm đoạn thẳng I1 I với ( C1 ) , ( C3 ) Khi với điểm M �( C1 ) , M �( C3 ) , M �d ta có MM + MM + �AB + , dấu "=" xảy 9945 M �A, M �B Do Pmin = AB + = I1 I - + = I1 I = 13 Bài tập Cho số phức z , z , z thỏa mãn z = z = z =1 Tính giá trị lớn 3 2 biểu thức P = z1 - z2 + z2 - z3 + z3 - z1 Lời giải Gọi A( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) ; C ( x3 ; y3 ) điểm biễu diễn số phức C ; ABC ; C Vì z1 = z2 = z3 suy A ; B ; C thuộc đường trịn tâm O bán kính Ta có z1 - z2 = AB ; z2 - z3 = BC z3 - z1 = AC 28 2 Suy P = z1 - z2 + z2 - z3 + z3 - z1 = AB + BC + AC uur uur uur uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r = AO + OB + BO + OC + AO + OC = - OA.OB + OB.OC + OA.OC ( ) ( ) ( ( ) ) uur uur uuu r uuu r = - OA + OB + OC = - 3OG = - OG �9 ( ) ( ) ( với G trọng tâm tam giác ABC ) Dấu “ = “ xảy G �O , hay D ABC Bài tập Cho số phức z thỏa mãn z + z + z - z �12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ z - + 3i Lời giải Gọi z = x + yi ; x; y �� Xét z + z + z - z �12 � x + y �6 (1) Ta có: P = z - + 3i = ( x - 4) + ( y + 3) ( 2) Tập hợp điểm biểu diễn z = x + yi ; x; y �� thỏa mãn (1) miền (tính biên) hình thoi ABCD với A( 0;3) ; B ( - 2;0) ; C ( 0;- 3) ; D ( 2;0) tạo đường thẳng x + y = Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) đường tròn tâm I ( 4;- 3) bán kính R = P �0 P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD 29 Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: x - y - = tương ứng có m = 3.4 + 2.3 - 32 + 22 = 12 Điểm giao 13 xa đỉnh A( 0;3) hình thoi Do M = 42 + 62 = 13 � M m = 24 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn | z1 |=| z2 |=1 , | z1 + z2 |= Tính | z1 - z2 | B C D Câu Cho số phức z1 , z2 , z3 thoả mãn điều kiện z1 = z2 = z1 - z2 = A Mô đun số phức z1 + z2 3 D Câu Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 =1 , z2 = z1 + z2 = Giá trị A B 3 C z1 - z2 A D z+z + , gọi Câu Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện sau: z +1 = số phức z = a + bi số phức có mơđun nhỏ Tính S = 2a + b A - B C - D B C Câu (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z - = 34, z + + mi = z + m + 2i (trong m số thực) cho z1 - z2 lớn Khi giá trị z1 + z2 A B 10 C D 130 Câu (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z - + z + = 20 Gọi M , n môđun lớn nhỏ z Tính M - n A M - n = B M - n = C M - n = D M - n =14 30 Câu Biết số phức z thỏa mãn iz - = z - - i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng: 2 A B C - D - 5 5 Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức z thỏa mãn z - - 3i = Số phức z mà z - nhỏ A z =1 + 5i B z =1 + i C z =1 + 3i D z =1 - i Câu (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong số phức z thỏa mãn z - + i = z +1 - 2i , số phức z có mơ đun nhỏ có phần ảo A 10 B Câu 10 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn C - D - 10 z1 - i z +i =1; = Giá trị z1 + - 3i z2 - + i nhỏ z1 - z2 A 2 B C D - Câu 11 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z = a + bi ( a, b �R) số phức thỏa mãn điều kiện z - - 2i + z + - 3i = 10 có mơ đun nhỏ Tính S = 7a + b ? A B C D - 12 Câu 12 Trong số phức z thỏa mãn z - - 4i = có hai số phức z1 , z2 thỏa 2 mãn z1 - z2 =1 Giá trị nhỏ z1 - z2 A - 10 B - - C - D - - Câu 13 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho số phức z1 =- + i , z2 = + i số 2 phức z thay đổi thỏa mãn z - z1 + z - z2 = 16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M - m A 15 B C 11 D Câu 14 (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z - 2i � z - 4i z - - 3i =1 Giá trị lớn biểu thức P = z - là: 31 A 13 +1 B 10 +1 C 13 D 10 Câu 15 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Xét số phức z = a + bi ( a, b ��) thỏa c mãn z - - 2i = Tính a + b z +1 - 2i + z - - 5i đạt giá trị nhỏ A - C B + D + Câu 16 (SGD Cần Thơ 2019) Cho số phức z thoả mãn z - + 2i = Giá trị lớn z +1 + i A C 20 B D Câu 17 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có mơđun nhỏ thoả mãn - - 3i + z = z - i A Câu 18 - i 5 + i 5 C - i 5 D + i 5 (Sở GD Nam Định - 2019) Trong số phức z thỏa mãn ( 12 - 5i ) z +17 + 7i z - 2- i A B 13 26 =13 Tìm giá trị nhỏ z B C D Câu 19 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho số phức z , z1 , z2 thay đổi thỏa mãn điều kiện sau: iz + 2i + = , phần thực z1 2, phần ảo z2 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = z - z1 + z - z2 A B C D Câu 20 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức z = a + bi ( a , b ��) thỏa mãn z =1 Tìm giá trị lớn biểu thức A = z + + z - A 10 B C 10 D Câu 21 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn z - + 3i = z1 - z2 = Giá trị lớn z1 + z2 A B C D + 32 Câu 22 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Giả sử z1 , z2 hai số phức thỏa mãn ( z - 6) ( + zi ) số thực Biết z1 - z2 = Giá trị nhỏ z1 + z2 A - 21 B 20 - 21 C 20 - 22 D - 22 Câu 23 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét số phức z = a + bi ( a, b ��) thỏa mãn z + - 3i = 2 Tính P = 2a + b z +1 + 6i + z - - 2i đạt giá trị lớn A P = B P =- C P =1 D P = Câu 24 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z1 , z2 nghiệm phương trình - 3i + iz = z - - 9i thỏa mãn z1 - z2 = Giá trị lớn z1 + z2 56 28 A B C D 5 Câu 25 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + - i + z1 - - 7i = iz2 - + 2i =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = z1 + z2 A 2 +1 B - C 2 - D +1 Hiệu sáng kiến Đề tài thu kết sau đây: Đề tài góp phần làm rõ sở lí luận thực tiễn việc khắc sâu mở rộng kiến thức sách giáo khoa theo hướng bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông giỏi Đề tài cụ thể việc bồi dưỡng yếu tố tư sáng tạo học tập cho học sinh biện pháp Trong biện pháp có ví dụ minh họa, ví dụ có hướng dẫn, gợi mở giáo viên để học sinh phát giải vấn đề Đề tài làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Tôi thực đề tài giảng dạy lớp 12A2 trường THPT Bắc Lý làm kiểm tra gồm 20 câu hỏi gồm mức độ TH – VD – VDC thu kết 33 sau: Tháng năm 2021 (Chưa áp dụng sáng kiến) Số Điểm giỏi Điểm Điểm trung bình HS 40 SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 12,5% 10 25% 18 45% Tháng năm 2021 (Sau áp dụng sáng kiến) Số Điểm giỏi Điểm Điểm trung bình HS 40 SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ 15 37,5% 17 42,5% 20% III KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN Điểm yếu, SL Tỷ lệ 18,9% Điểm yếu, SL Tỷ lệ 0% Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 12 số ôn tập, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung ứng dụng hình học giải toán số phức giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ nhiều tốn số phức hình học, học sinh biết cách chuyển số toán số phức dạng hình học áp dụng kiến thức hình học để giải Đề tài coi tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh Với hệ thống tập đa dạng phong phú giúp học sinh rèn luyện nâng cao kĩ giải toán số phức phương pháp hình học, đồng thời phát huy tư sáng tạo Đề tài cung cấp số tập nâng cao nguồn tham khảo để ôn tập cho câu vận dụng vận dụng cao đề thi tốt nghiệp THPT Đề tài xây dựng theo dạng tập từ dễ đến khó, dạng lại xếp từ dễ đến khó phù hợp với học sinh Sáng kiến kinh nghiệm tơi trình bày có hiệu q trình giảng dạy cho học sinh, đặc biệt học sinh giỏi IV KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ Kết luận Như nói trên, phương pháp chuyển hình học giúp học sinh giải tất dạng tốn số phức, nhìn chung phương pháp hay giúp em có thêm cách tiếp cận cho toán số phức Mặc dù chưa áp dụng rộng rãi cho nhiều học sinh qua thực tế áp dụng cho năm nhận thấy học sinh biết nhận dạng, có kỹ biến đổi loại tập đơn giản biết cách xử lý tốn khó cách hợp 34 lý Học sinh có hứng thú việc đưa tốn số phức dạng tốn hình học quen thuộc để giải, đặc biệt em giỏi Tôi nhận thấy việc biên soạn tài liệu ôn tập cho học sinh cần thiết, giáo viên biên soạn bám sát theo sách giáo khoa áp dụng hợp lý cho đối tượng học sinh để làm điều giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ em, song song với việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu Việc cần thực tiết học, biện pháp rèn luyện tích cực giúp em ngày tiến Học sinh trang bị thêm tư hình học giải tập số phức chương trình giáo khoa 12 Từ em có cách giải hợp lí q trình ơn tập luyện thi, biết cách chọn phương án tối ưu để giải toán Đề xuất – Kiến nghị Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên số lượng chưa có nhiều phong phú, đa dạng Hơn đa số sách xuất lâu nên theo phương thức tự luận nhiều, chưa cập nhật nhiều dạng tập theo hình thức trắc nghiệm Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tịi rèn luyện thêm Mặc dù thân cố gắng nhiều, song điều viết khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý đồng nghiệp bạn đọc nhằm nâng cao hiệu giảng dạy học tập Bắc Lý, ngày tháng năm 2021 Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu) Bắc Lý, ngày tháng năm 2021 Người viết sáng kiến (Ký, ghi rõ họ tên) Nguyễn Thị Quyên 35 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng, Bộ giáo dục đào tạo SGK giải tích 12, NXB giáo dục, Bộ giáo dục đào tạo Thư viện giáo án điện tử Violet Nguồn internet: https://www.mathvn.com/ https://toanmath.com/ https://diendantoanhoc.net/ ... điển hình hay gặp đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TỐN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC” Phạm vi đối tư? ??ng sáng kiến... hình học giải toán số phức giúp cho học sinh thấy liên hệ chặt chẽ nhiều tốn số phức hình học, học sinh biết cách chuyển số toán số phức dạng hình học áp dụng kiến thức hình học để giải Đề tài... cách giải Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT có cách nhìn hướng tư để giải tốn số phức Đó việc chuyển toán số phức toán hình học vận dụng phương pháp hình