skkn phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng

skkn phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng

A. MỞ ĐẦU Trong quá trình giảng dạy cho học sinh lớp 7 về giải các bài toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc khai thác đề bài đó là từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa hai tỉ số trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được số hạng thứ tư. Việc nghiên cứu tỉ lệ thức giúp cho học sinh giải tốt các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch trong đại số, còn trong hình học để học được định lí Talet, tam giác đồng dạng thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức. Vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã khai thác các kiến thức cơ bản trong SGK kết hợp với việc nghiên cứu các tài liệu rút ra được kinh nghiệm viết thành chuyên đề: ” Phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng”. 1 B. NỘI DUNG. I. Ví dụ giải mẫu và lời bình. VD: Cho tỉ lệ thức: 1≠= d c b a với a, b, c, d ≠ 0 CMR: c dc a ba − = − Lời giải Cách 1: bcad d c b a =⇒= Xét tích: (a-b)c = ac-bc = ac-ad = a(c-d) Vậy (a-b)c = a(c-d) = c dc a ba − = − Lời bình: Trong cách này để chứng minh tỉ lệ thức c dc a ba − = − ta chứng minh: (a-b)c = a(c-d) Cách 2: Ta đặt: kdckbak d c b a ==⇒== ; thế thì: k k kb kb kb bkb a ba 1)1( − = − = − = − (1) k k kd kd kd dkd c dc 1)1( − = − = − = − (2) Từ (1) và (2) suy ra: c dc a ba − = − 2 Lời bình: Trong cách giải này để chứng minh tỉ lệ thức c dc a ba − = − ta chứng minh hai tỉ số ở 2 vế cùng bằng 1 tỉ số thứ ba. Để làm được điều đó ta đã đặt giá trị chung của các tỉ số ở tỉ lệ thức đã cho là k từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k. Cách 3: Từ dc ba d b c a d c b a − − ==⇒= Vậy: c dc a ba c a dc ba − = − ⇒= − − Lời bình: Trong cách giải này khi hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức đã cho ta dùng tính chất của dãy tỉ số bằng. Cuối cùng lại hoán vị các trung tỉ của tỉ lệ thức mới được tạo ra để đi đến tỉ lệ thức phải chứng minh. Cách 4: Vì: d c b a = nên c d a b = Ta có: c dc c d a b a b a a a ba − =−=−=−= − 11 Vậy: c dc a ba − = − Lời bình: Trong cách này ta đã biến đổi tỉ số ở vế trái (của một tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải đó cũng là cách thường dùng để chứng minh một đẳng thức nói chung. Cách 5: 3 Ta có: ⇔−=−⇔=⇔= c d a b c d a b d c b a 11 c dc a ba − = − Lời bình: Trong cách giải này từ tỉ lệ thức đã cho ta đã biến đổi dần thành tỉ lệ thức phải chứng minh bằng cách dùng các tính chất hoán vị, tính chất của đẳng thức, Trên đây là 5 cách giải chứng minh 1 tỉ lệ thức tạm gọi là 5 phương pháp chứng minh tỉ lệ thức. Tuy nhiên vào bài toán cụ thể ta có thể áp dụng phương pháp nào cho đơn giản và hiệu quả. 4 II. Bài tập áp dụng và hướng đề xuất bài toán mới. Bài toán 1: Cho a x k a = ; b y k b = . Chứng minh rằng: y x b a = 2 2 Lời giải Từ kxa a x k a =⇒= 2 Từ kyb b y k b =⇒= 2 Ta có: y x ky kx b a == 2 2 (đpcm) Nhận xét 1: Thay a bởi a 2 Thay b bởi b 2 Ta có bài toán mới: Cho 2 2 a x k a = và 2 2 b y k b = . CMR: y x b a = 4 4 Nhận xét 2: Thay a bởi a n và b bởi b n . Ta có bài toán tổng quát sau: Cho n n a x k a = và n n b y k b = . CMR: y x b a n n = 2 2 Bài toán 2: Cho d c b a = ( dc 5 3 ±≠ ) CMR: dc ba dc ba 35 35 35 35 − − = + + Lời giải Từ d c b a = ==⇒=⇒ d b c a d b c a 3 3 5 5 dc ba dc ba 35 35 35 35 − − = + + Nhận xét: Lời giải của bài toán trên cho ta nhiều bài toán mới sau: 5 Bài 1: Cho d c b a = . CMR: dycx dycx byax byax − + = − + với giá trị các tỉ số đều có nghĩa. Bài 2. Cho d c b a = .CMR: (a+b)(c-d) = (a-b)(c+d) Bài 3: Cho d c b a = và xb+yd ≠ 0 (x, y ∈ Q). CMR: ydxb ycxa b a + + = . Bài 4: CMR: Nếu d c b a = thì 22 2 22 2 811 37 811 37 dc cdc ba aba − + = − + . Bài 5: Cho d c b a = . CMR: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). Bài 6: Cho d c b a = . CMR: 44 44 4 dc ba dc ba + + =       − − Bài toán 3: Cho d c b a = với b+d ≠ 0 CMR: 2 2 22 22 )( )( db ca db ca + + = + + Lời giải Từ d c b a = db ca d c b a + + ==⇒ 2 2 2 2 2 2 22 )( )( )()( db ca d c b a db ca d c b a + + ==⇒       + + ==⇒ Vậy: 2 2 22 22 )( )( db ca db ca + + = + + Nhận xét 1: d c b a = nên: bd ac d c b a b a ==       . 2 6 Ta có bài tập mới: Cho d c b a = (b+d ≠ 0). CMR: a. bd ca db ca . 22 22 = + + b. bd ac db ca = + + 2 2 )( )( Nhận xét 2: Với lời giải trên nếu: b-d ≠ 0. Ta cũng có bài tập mới: Cho d c b a = (b-d ≠ 0) CMR: 2 2 22 22 )( )( db ca db ca − − = + + Nhận xét 3: Số mũ “2” trong bài tập trên có thể thay bằng số mũ n (n∈N * ) Ta cũng có bài tập mới: Cho d c b a = (b+d ≠ 0). CMR: a. 2003 2003 20032003 20032003 )( )( db ca db ca + + = + + b. n n nn nn db ca db ca )( )( + + = + + (với n∈N * ) Nhận xét 4: Nếu cho thêm điều kiện a = d ≠ 0 thì ta có bài tập mới: Cho a, b ≠ 0 thoả mãn a 2 = bc. CMR: b c ba ca = + + 22 22 7 Nhận xét 5: Từ d c b a = đổi chỗ 2 thành phần ⇒ bài tập mới. Cho d c b a = (c ≠ 0; c+d ≠ 0). CMR: a. 2 2 22 22 )( )( db ba dc ba + + = + + b. bd ab dc ba = + + 22 22 8 Bài toán 4: Cho a c c b b a == và a+b+c ≠ 0. CMR: a = b = c. Lời giải Cách 1: Ta có: a c c b b a == 1= ++ ++ ===⇒ acb cba a c c b b a ba b a =⇒= 1 cb c b =⇒= 1 ac a c =⇒= 1 Do đó: a = b = c Cách 2: Đặt a c c b b a == = k. Ta có: a = kb; b = kc; c = ka. Do đó: a = kb = k(kc) = k[k(ka)] = k 3 a ⇒ k 3 = 1⇒ k = 1 a c c b b a == = 1 ⇒ a = b = c Cách 3: a c c b b a == ⇒ = a c c b b a 11 33 =⇒=       ⇒       b a b a b a Ta có: a c c b b a == = 1 ⇒ a = b = c Nhận xét: Qua việc nghiên cứu lời giải của bài toán trên ta có các bài toán sau: Bài1. Cho a c c b b a == (a+b+c ≠ 0) và a = 2003. Tính b; c? 9 Bài 2. Cho a c c b b a == (a+b+c ≠ 0). Tính giá trị của 2004 200322 b cba M = Bài 3. Cho a d d c c b b a === trong đó: (a+b+c +d ≠ 0). Tính giá trị của biểu thức: M = cb ad ba dc ad cb dc ba + − + + − + + − + + − 2222 Bài 4: Cho a e e d d c c b b a ==== trong đó (a+b+c+d+e ≠ 0). Tính giá trị của biểu thức: A = dbc ae acb ed eba dc ead cb edc ba ++ + + ++ + + ++ + + ++ + + ++ + 22222 Mở rộng bài toán 4 thành bài toán tổng quát như sau: Cho 1 1 3 2 2 1 a a a a a a a a n n n ==== − và a 1 +a 2 + +a n-1 +a n ≠ 0 Tính: a. 2 21 22 2 1 2 ) ( n n aaa aaa +++ +++ b. 7 21 77 2 1 7 ) ( n n aaa aaa +++ +++ Bài toán 5: CMR nếu d c c b b a == thì d a dcb cba = ++ ++ 333 333 Lời giải Từ d c c b b a == =       =       =       ⇒ 333 d c c b b a d a d c c b b a = Vậy: 3 3 3 3 3 3 d c c b b a == = d a dcb cba = ++ ++ 333 333 10 [...]... +c +d +m m Bài 2: Cho b2 = ac; c2= bd; d2 = cm CM: a 3 + b3 − c3 − d 3 ( a + b − c − d )3 = b3 + c 3 − d 3 − m3 (b + c − d − m)3 Nhận xét 3: Có thể tổng quát bài toán trên như sau: Cho a1 a2 a a = = n −1 = n a2 a3 an a n +1 CMR: a n1 + a n 2 + + a n n a = 1 n n n a2 + a 3 + + a n +1 an +1 11 C KẾT LUẬN Trên đây là một số bài toán xoay quanh vấn đề về Tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng và khai thác lời... phân tích thành bài toán tổng quát việc khai thác giúp cho các em phát triển tư duy sáng tạo, linh hoạt và khả năng tự nghiên cứu Qua quá trình giảng dạy đúc rút kinh nghiệm của chính bản thân cũng như sự trao đổi kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp, tôi đã tìm ra nhiều điều bổ ích, rút ra những phương pháp nghiên cứu vấn đề theo cách toàn diện nhất Về phía các em học sinh tôi nhận thấy các em đã phần... c d Nhận xét 1: Từ có thể thay: b2 = ac và c2= bd Ta có bài tập sau: Bài 1: Cho b2 = ac và c2= bd với b, c, d ≠ 0; b+c ≠ d; b3+c3≠ d3 CMR: a3 + b3 − c3  a + b − c  =  b3 + c3 − d 3  b + c − d  3 Bài 2: Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d thoả mãn b2 = ac; c2= bd và b3+27c3+8d3 ≠ 0 CMR: a a 3 + 27b3 + 8c 3 = d b3 + 27c 3 + 8d 3 3 Nhận xét 2: Có thể mở rộng tỉ số như sau: Bài 1: CMR: Nếu a b c d a 4 . trong SGK kết hợp với việc nghiên cứu các tài liệu rút ra được kinh nghiệm viết thành chuyên đề: ” Phát triển tư duy, sáng tạo cho học sinh qua việc học tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng . 1 B. NỘI. giữa hai tỉ số trong một tỉ lệ thức nếu biết ba số hạng ta có thể tìm được số hạng thứ tư. Việc nghiên cứu tỉ lệ thức giúp cho học sinh giải tốt các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. dạy cho học sinh lớp 7 về giải các bài toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc khai thác đề bài đó là từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức