(Sáng kiến kinh nghiệm) phân dạng bài toán về tỷ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong đại số lớp 7

PHẦN I- ĐẶT VẤN ĐỀ I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Trong xu hướng phát triển chung, xã hội đặt yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính vậy, việc dạy học không ngừng đổi để đáp ứng yêu cầu ngày cao xã hội Trước tình hình đó, giáo viên phải ln tìm tịi, sáng tạo, tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh để phát huy cao tính chủ động, sáng tạo, tích cực người học, nâng cao lực phân tích, tìm tịi, phát giải vấn đề, rèn luyện hoàn thành kỹ vận dụng thành thạo kiến thức cách chủ động, sáng tạo thực tế sống Vấn đề đổi phương pháp giáo dục đào tào tạo theo định hướng lấy học sinh làm trung tâm người làm công tác giáo dục nước ta đặt từ lâu Thực điều cho phép ngành giáo dục đào tạo nên hệ người có khả tư sáng tạo có khả thích ứng cao với phát triển diễn ngày Thực điều có nghĩa giải vấn đề quan trọng hàng đầu giai đoạn CNH – HĐH đất nước, yếu tố người II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong trình giảng dạy mơn tốn tơi thấy phần kiến thức tỷ lệ thức dãy tỷ số chương trình Đại số lớp Từ tỷ lệ thức ta chuyển thành đẳng thức tích, tỷ lệ thức biết số hạng ta tính số hạng thứ tư Trong chương II, học đại lượng tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch ta thấy tỷ lệ thức phương tiện quan trọng giúp ta giải tốn Trong phân mơn Hình học, để học định lý Talet, tam giác đồng dạng(lớp 8) khơng thể thiếu kiến thức tỷ lệ thức Mặt khác học tỷ lệ thức tính chất dãy tỷ số cịn rèn tư cho học sinh tốt giúp em có khả khai thác tốn, lập tốn Với lý đây, tơi mạnh dạn nghiên cứu đưa vài kinh nghiệm nhỏ phân dạng toán tỷ lệ thức dãy tỷ số Đại số lớp III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng: Học sinh lớp THCS Phạm vi đề tài: Chương I, môn đại số lớp VI MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Rèn kỷ vận dụng kiến thức giải toán tỷ lệ thức, dãy tỷ số Học sinh nắm vững kiến thức, biết vận dụng vào giải tập làm số dạng toán tỷ lệ thức dãy tỷ số như: Tìm số hạng chưa biết, chứng minh liên quan đến tỷ số nhau, toán chia tỷ lệ, tránh sai lầm thường gặp giải toán liên quan đến dãy tỷ số nhau, sau vận dụng hình học định lý TaLet tam giác đồng dạng - Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập nhằm nâng cao chất lượng dạy, nâng cao trình độ cho thân, thơng qua giới thiệu cho bạn bè đồng nghiệp vận dụng vào trình giảng dạy mơn Tốn trường THCS đạt kết cao - Học sinh tìm tịi phát nhiệm vụ nhận thức có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức kỷ thu nhận PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận: - Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu q trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập sáng tạo cho học sinh trình lâu dài - Tư tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh thể số mặt sau: + Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khuôn máy móc + Có khả phân dạng tập, phát dạng tập tương tự nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh II Thực trạng vấn đề: Qua nhiều năm giảng dạy tơi thấy: - Học sinh yếu tốn kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập - Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Học không đôi với hành làm cho em củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kỷ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết - Không học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa biết phân dạng tập để giải Qua kết điều tra kiểm tra chương II học sinh lớp năm học trước kết sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 10 10 Trước thực trạng mạnh dạn phân vài dạng toán tỉ lệ thức, dãy tỷ số III CÁC BIỆN PHÁP: Định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức a) Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: a c = a:b=c:d b d Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ b) Tính chất Tính chất (Tính chất bản): a c = ⇒ ad = bc b d ( b, d ≠ ) Tính chất (Tính chất hốn vị) Từ tỉ lệ thức a c = b d ( a, b, c, d ≠ ) ta suy ba tỉ lệ thức khác cách: - Đổi chỗ ngoại tỉ cho - Đổi chỗ trung tỉ cho - Đổi chỗ ngoại tỉ cho đổi chỗ trung tỉ cho Cụ thể: Từ a c = b d ( a, b, c, d ≠ ) ⇒ a b b d c d = ; = ; = c d a c a b Tính chất dãy tỉ số a c a c a+c a−c = = suy = = (b ≠ ±d) b d b d b+d b−d a c e a c e a+c+e a+c−d c −e = = = = ta suy = = = b d f b d f b+d + f b+d − f d − f a) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức b) Tính chất 2: (Giả thiết tỉ số có nghĩa) * Nâng cao - Nếu - Từ k a + k c + k3 e a c e =k = = = k k1b + k d + k3 f b d f a c a±b c±d = = ⇒ b d b d (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: - Các số x, y, z tỉ lệ với số a, b, c ⇒ x y z = = a b c Ta viết x:y:z = a:b:c - Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ 2 a c a c k1a k c a c thức a = c = ( k1 , k2 )  ÷ =  ÷ = ; k = k (k ≠ 0); suy b d b d k1b k d b d b d  3 a c e c e a  c   e  a c e a Từ = = suy  ÷ =  ÷ =  ÷ = ;  ÷ = b d f b d   f  b d f b d f Thông qua việc giảng dạy học sinh xin đưa số dạng tập sau: DẠNG1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 1.Tìm số hạng chưa biết: a) Phương pháp: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức: Nếu a c b.d a.d a.d ⇒ ad = bc (với b,d≠0) ⇒ a = = ; b= ; c= b d d c b Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ biết b) Bài tập: Bài tập 1: Tìm x tỉ lệ thức sau(bài 46 SGK) - 0,52 : x = - 9,36 : 16,38 ⇒ x.(-9,36)=0,52.16,38 ⇒ x= −0,52.16,38 = 0,91 −9, 36 Học sinh tìm x cách xem x số chia, ta nâng mức độ khó sau: Tìm số hữu tỉ x tỉ lệ thức: (Bài 53 tr18 Nâng cao phát triển Toán 7) 3 a) 13 :1 = 26 : ( x − 1) , b) 0, :1 = : ( x + ) c, 0, x :1 = : ( x + ) Đối với tập đưa tỉ lệ thức đơn giản tìm x Bài tập 2: Tìm x biết( 69 SBT) x −60 = −15 x Cách giải sau: Từ x −60 ⇒ x.x=(-15) (-60) ⇒ x2=900 ⇒ x2=302 = −15 x Suy x=30 x=-30 Ta thấy tỉ lệ thức có hai số hạng chưa biết số hạng giống nên ta đưa lũy thừa bậc hai nâng cao tỉ lệ thức: x −1 −60 = ; −15 x −1 x −1 = x +1 Bài tập 3: Tìm x biết: a) x−3 = x+5 b) x −1 x − = x+2 x+3 Giải x−3 = ⇒ 7(x-3) = 5(x+5) Giải ta x = 23 a) Cách 1: Từ x+5 Cách 2: Từ x−3 x−3 x+5 = ⇒ = x+5 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Giải ta x = 23 b) Cách Từ x −3 x + x −3− x −5 = = =4 5−7 x −1 x − ⇒ (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2) = x+ x +3 (x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2 - x + 3x – = + 2x – 2x – Đưa 2x = -1 ⇒ x = Cách 2: x −1 x−2 2x +1 2x +1 ⇒ 2x+1=0 ⇒ x= +1= +1 ⇒ = (Do x+2 ≠ x+3) x+2 x+3 x+2 x+3 Trong tập x nằm số hạng tỉ lệ thức hệ số sau biến đổi x2 bị triệt tiêu, giải tập cách áp dụng tính chất dãy tỉ số 2.Tìm nhiều số hạng chưa biết a) Xét toán thường gặp sau : x a Tìm số x, y,z thỏa mãn : = y z = b c (1) x+y + z=d (2) (trong a,b,c, a+b+c ≠ và,b,c,d số cho trước) Cách giải : x a y z = =k thay vào (2) ⇒ x=k.a ; y=k.b ; z= k.c Ta có : b c d k.a+k.b+k.c=d ⇒ k.(a+b+c)=d ⇒ k = a+b+c a.d b.d c.d ; y= z= Từ ta tìm được: x = a+b+c a+b+c a+b+c Cách : Đặt = Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x+ y+z d a.d b.d ⇒ x= = = = = ; y= a b c a+b+c a +b+c a+b+c a+b+c b) Hướng khai thác toán sau: - Giữ nguyên điều kiện(1) thay đổi điều kiện (2)như sau: * k1x+k2y+k3z=e * k1x2+k2y2+k3z2=f *x.y.z =g - Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện(1) sau: + x y y z = ; = ; a1 a2 a3 a4 + a2x=a1y; a4y=a3z + b1x=b2y =b3z z= c.d a+b+c b1 x − b3 z b2 y − b1 x b3 z − b2 y = = a b c x − b1 y − b2 z − b3 = = + a1 a2 a3 + -Thay đổi hai điều kiện c) Bài tập Bài 1: Tìm x, y, z biết: x y z = = x – 3y + 4z = 62 Giải Cách (Đặt giá trị chung)  x = 4k x y z  Đặt = = = k ⇒  y = 3k  z = 9k  Mà x – 3y + 4z = 62 ⇒ 4k – 3.3k + 4.9k = 62 ⇒ 4k – 9k + 36k = 62 ⇒ 31k = 62 ⇒ k =  x = 4.2 =  Do  y = 3.2 =  z = 9.2 = 18  Vậy x = 8; y= 6; z = 18 Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x − y + z 62 = = = = =2⇒ − 3.3 + 4.9 31  x = 4.2 =   y = 3.2 =  z = 9.2 = 18  Cách (Phương pháp thế) x z 4z Từ = ⇒ x = ; y z 3z = ⇒y= 9 đưa 31z = 558 ⇒ z = 18 Mà x – 3y + 4z = 62 ⇒ Do x = 4.18 =8 ; Vậy x = 8; y = v z =18 Bài 2: Tìm x, y, z biết: a) x y = ; = 2x + 3y – z = 186 y z b) 2x = 3y = 5z =95 y= 3.18 =6 4z 3z − − z = 62 9 Giải a) Cách 1: Từ x x y x y y y z y z = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = y 4 15 20 z 7 20 28 x y z = = (*) 15 20 28 ⇒  x = 15.3 = 45 x y z 2x + 3y − z 186  = = = = = ⇒  y = 20.3 = 60 Ta có: 15 20 28 15.2 + 20.3 − 28 62  z = 28.3 = 84  Vậy x=45; y=60 z=84 Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt x y z = = =k 15 20 28 (Sau giải cách 2) Cách 3: Sau làm đến (*) dùng phương pháp giải cách b) Vì 2x = 3y = 5z ⇒ Mà 2x y 5z x y z ⇒ = = = = 30 30 30 15 10  x + y − z = 95 ⇒  x + y − z = −95  x = 75 x y z x + y − z 95  = = = = = ⇒  y = 50 +) Nếu x+y-z= 95 : Ta có 15 10 10 + −  z = 30   x = −75 x y z x + y − z −95  = = −5 ⇒  y = −50 +) Nếu x + y – z = - 95 : Ta có = = = 15 10 10 + −  z = −30  Vậy: x=75; y=50; z=30 x=-75; y=-50; z=-30 Bài 3: Tìm x, y, z biết: a) 18 x = y = z – x + z = -196 11 Giải 18 x y 18 z 6x 9y 18 z ⇒ x= y= z ⇒ = = = = 11 11 11.18 2.18 5.18  x = 231 x y z − x + z −196  = = = = = ⇒  y = 28 Ta có 33 −33 + −28  z = 35  Vì Vậy x = 231; y = 28 z = 35 a) x −1 y + z − = = 5z – 3x – 4y = 50 ⇒ x y z = = 33 Giải: Ta có: x − y + z − ( x + 1) ( y + 3) ( z − ) = = = = = 6 16 30 ( z − ) − ( x − 1) − ( y + ) 50 − 43 16 = = = =2 30 − − 16 8 x −1 =4 x =5   ⇒ y +3 =8 ⇒y =5 z −5 =12 z =17   Vậy x = 5; y = z = 17 b) = = x + y – z = - 10 3x − y z − x y − 3z Giải: 3x − y z − x y − 3z = = ⇒ = = 3x − y z − x y − 3z 12 x − y z − 12 x y − z 12 x − y + z − 12 x + y − z = = = = =0 16 16 + + Từ: 3 x −2 y =0 3 x =2 y   ⇒ 2 z −4 x =0 ⇒2 z =4 x 4 y −3 z =0 4 y =3 z   Từ y x  3 x = y x y z x + y − z − 10 2 = ⇒ y ⇒ = = = = = −10  z y = z + − =   3 x =−20  ⇒ y =−30 z =−40  Vậy x = - 20; y = -30 z = -40 Bài 4: Tìm x y, z biết: a) x: y: z = 2: 3: xyz = 810 x3 y z = = b) 27 64 + = - 650 Giải a) Vì x: y: z = 2: 3: ⇒ Cách (Đặt giá trị chung) x y z = = x =2k x y z  Đặt = = = k ⇒ y =3k z =5k  Mà xyz = 810 ⇒ 2k.3k.5k = 810 ⇒ 30 =810 ⇒ =27 ⇒ k = x =2.3 =6  ⇒ y =3.3 =9 Vậy x = 6; y = z = 15 z =5.5 =15  x y z x x y z xyz 810  x = = 27 ⇒ = ⇒ x = Cách 2: Từ = = ⇒  ÷ = =   2.3.5 30 Thay vào đề tìm y = ; z = 15 Vậy x = 6; y = z = 15 Cách 3: (Phương pháp thế) Làm tương tự cách 3 x3 y z x y z  x  y z b) Từ = = ⇒  ÷ =  ÷ =  ÷ ⇒ = = 27 64       Cách 1: (Đặt giá trị chung) –3 x =2k x y z  Đặt = = = k ⇒ y =3k z =4k  Mà +2 = - 650 ⇒4 4k + 2.9k − 3.16 k = −650 ⇒ −26k = −650 ⇒ k = 25 ⇒ k = ±5 x =10  * Nếu k = ⇒ y =15 z =20  x =−10  * Nếu k = -5 ⇒ y =−15 z =−20   x = 10; y = 15; z = 20 Vậy   x = −10; y = −15; z = −20 Cách (Sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau)  x = 100  x = ±10   x y z x y z x + y + 3z −650 = = 25 ⇒  y = 225 ⇒  y = ±15 Vì = = ⇒ = = = 4 16 + 2.9 + 3.16 −26  z = 400  z = ±20   Theo đề suy x,y,z dấu  x = 10; y = 15; z = 20 Vậy   x = −10; y = −15; z = −20 Cách (Phương pháp thế) Bài (Bài 39c sách Bồi dưỡng học sinh lớp 7) Tìm x, y, z biết: x y z = = = x+ y+ z y + z +1 x + z + y + x − (1) Giải: * Nếu ≠ , ta có: x y z x+ y+z x+ y+z = = = = = (2) y + z + x + z + y + x − ( y + z + 1) + ( x + z + ) + ( y + x − 3) ( x + y + z ) Từ (1) (2) ta có x + y + z = y +z = 12 −x x y z = =  ⇒ 1 x +z = − y thay vào đề ta được: − x +1 − y+2 − z −3 x +z = −z 2 2  x y z = = = −5 Hay −x −y −z 2 2 x 3 = +) − x ⇒ x = − x ⇒ x = ⇒ x = 2 2 y 3 = +) − y ⇒ y = − y ⇒ y = ⇒ y = 2 1 1 5 +) Có x + y + z = , mà x = y = ⇒ z = − − = − 2 2 6 −5 Vậy : x = ; y = ; z = 6 x y z = = =0 * Nếu x + y + z = ta có: (1) ⇒ y + z +1 x + z + y + x − ⇒ x=y=z=0 −5 Vậy x = ; y = ; z = x = y = z = 6 Bài 6: (Bài 62 sách Nâng cao phát triển Tốn 7) Tìm x, y biết: 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Giải: 1+ y 1+ y ⇒ 24(1+2y) = 18(1+4y) ⇒ 24 +48y = 18 +72y = Vì 18 24 1 1 + + Đưa 24y = ⇒ y = thay vào đề ta có 4= 4⇒ = 18 6x 18 x ⇒ ⇒ 18x = 90 ⇒ x = x = 18 2 DẠNG 2: CHỨNG MINH LIÊN QUAN ĐẾN DÃY TỶ SỐ BẰNG NHAU 1.Các phương pháp: Để chứng minh tỉ lệ thức: a c = Ta có phương pháp sau: b d *Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng: ad=bc *Phương pháp 2: Chứng tỏ tỷ số a c ; có giá trị đề b d cho trước tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung tỷ số tỷ lệ thức cho k từ tính giá trị tỷ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k *Phương pháp 3: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức biến đổi tỷ số vế trái (của tỷ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải *Phương pháp 4: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức để từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh * Một số kiến thức cần ý •) (n ⇒ •) 0) = (n N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) 2.Bài tập: Bài 1: Cho tỉ lệ thức a c a+b c+d = Chứng minh = b d a −b c −d Giải: Cách 1: Ta có: (a+b).(c+d)=ac – ad + bc – bd ; (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd Mà a = c nên ad = bc, (a+b).(c-d) = (a – b).(c+d) ⇒ a + b = c + d b d a −b c−d Cách : Đặt a c = = k ⇒ a = kb; c = kd b d a + b kb + b b ( k + 1) k + = = = a − b kb − b b ( k − 1) k − Từ (1) (2) ⇒ c + d kd + d d ( k + 1) k + = = = c − d kd − d d ( k − 1) k − (1) (2) a+b c+d = a −b c −d a c a b = ⇒ = Cách 3: Từ b d c d Ta có: a c = b d Cách 4: Từ ⇒ a c a+b c+d a+b b +1 = +1 ⇒ = ⇒ = b d b d c+d d ⇒ a c a −b c−d a −b b −1 = −1 ⇒ = ⇒ = b d b d c−d d Từ (1) (2) ⇒ a +b a −b = c+d c−d a c = Bài 2: Cho tỉ lệ thức b d = ⇒ (1) (2) a+b c+d = a−b c−d ab a − b = cd c − d Chứng minh (1) Giải: Cách 1: Từ a c = ⇒ ad=bc b d Có ab(c2-d2)= abc2-abd2 =acbc – adbd cd(a2 – b2) = cda2 – cdb2 =acad –bcbd nên ⇒ ⇒ Cách 2: Đặt  a = kb a c = =k ⇒ b d c = kd ab a − b = cd c − d thay vào vế (1) chứng minh vế có giá trị Cách 3: Vì a c a b a b a b = ⇒ = ⇒ ÷ = ÷ = b d c d c d c d  Bài 3: Chứng minh a c = b d ⇒ = = = 5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d a) 7a + 3ab 7c + 3cd = b) 11a − 8b 11c − 8d Giải a) Từ b) Từ a c a b 5a + 3b 5a − 3b 5a + 3b 5c + 3d = ⇒ = = = ⇒ = b d c d 5c + 3d 5c − 3d 5a − 3b 5c − 3d a c a b a b ab 7a 8b 3ab 11a = ⇒ = ⇒ = = = = = = b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a + 3ab 11a − 8b a + 3ab 7c + 3cd = = ⇒ = 7c + 3cd 11c − 8d 11a − 8b 11c − 8d Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng: a) a + b3 − c3  a + b − c  = ÷ b3 + c − d  b + c − d  a a + 8b + 125c b) = d b + 8c3 + 125d Giải: a) Vì b = ac ⇒ a b b c = ; c = bd ⇒ = nên b c c d a b3 c ( a + b − c ) a + b3 − c ⇒ = = 3= = 3 3 b c d (b+c−d) b +c −d a b c a +b−c = = = b c d b+c−d 3 3 Vậy a + b − c =  a + b − c   ÷ b3 + c − d  b + c − d  a b3 c a + 8b + 125c b) Ta có: = = = b c d b + 8c3 + 125d 3 a b c a a a mà  ÷ = = = b c d d b b a a + 8b + 125c = d b3 + 8c + 125d a b c = = 2014 2015 2016 Bài 5: Cho a, b, c thỏa mãn Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = Giải Từ ( a − b) ( b − c) a b c a −b b−c c −a ⇒ = = = = = = =c−a 2014 2015 2016 −1 −1 −1 −1 ⇒ ( a − b) ( b − c) = ( c − a ) nên Dạng : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 3x − y x Bài 1: Cho tỉ lệ thức x + y = Tính giá trị tỉ số y Giải: 3x − y Cách : Từ x + y = ⇒ 4(3x – y) = 3(x+y) ⇔ 12x – 4y = 3x + 3y ⇔ 12x – 3y = 3(x+y) ⇔ 9x = 7y Vậy x = y 3x −1 3x − y 3 y = Cách 2: Từ x + y = ⇒ x +1 y Đặt y = a ⇒ = a +1 Bài 2: Cho ⇒ x y z = = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k ≠ 0) 3k + 4k − 2k 5k = = 2k − 3k + 4k 3k Cách : Có y+z−x x y z = = Tính giá trị biểu thức P = x− y+z Cách 1: Đặt P= 3a − x Vậy P = x y z y+z−x y+z−x x− y+z x− y+z = = = = = = 3+ 4− 2−3+ y+z−x x− y+z y+z−x = ⇒ = x− y+z Vậy P = Bài : Cho dãy tỉ số giá trị biểu thức: M= a b c d = = = Tính b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a a+b b+c c+d d +a + + + c+d a+d a+b b+c Giải: Từ a b c d = = = b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a ⇒ a b c d +1 = +1 = +1 = +1 b+c+d a+c+d a+b+d b+c+a ⇒ a +b+c +d a +b+c + d a +b +c +d a +b +c +d = = = (*) b+c+d a+c+d a +b+d b+c+a +) Xét a + b + c + d = ⇒ a + b = −(c + d ); b + c = −(a + d ) ⇒ M = −4 +) Xét a + b + c + d ≠ Từ (*) ta có : b + c + d = a + c + d = a + b + d = b + c + a ⇒a=b=c=d ⇒ M =4 Bài 4: Cho a , b ,c đôi khác thỏa mãn a+b b+c c+a = = c a b     Tính giá trị biểu thức P = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ b c a a  b  c   Giải: a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b+c a+b+c a+b+c = = ⇒ +1 = +1 = +1 ⇒ = = (*) c a b c a b c a b Từ +) Xét a + b + c = ⇒ a + b = −c; a + c = −b; b + c = −a P= a + b b + c a + c −c − a −b −abc × × = × × = = −1 b c a b c a abc +) Xét a + b + c ≠ Từ (*) ta có : a = b = c ⇒ P = Bài : Cho số a; b; c khác thỏa mãn ab bc ca = = a+b b+c c+a ab + bc + ca Tính giá trị biểu thức P = 3 a +b +c Giải: Với a, b, c ≠ ta có : ⇒ ab bc ca = = a+b b+c c+a a+b b+c c+a 1 1 1 1 = = ⇒ + = + = + ⇒ = = ⇒ a = b = c ⇒ P =1 ab bc ca b a c b a c a b c Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ 1.Phương pháp giải Bước 1: Dùng chữ để biểu diễn đại lượng chưa biết Bước 2: Thành lập dãy tỉ số điều kiện Bước 3: Tìm số hạng chưa biết Bước 4: Kết luận c) Các ví dụ: Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3 Giải Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm , ( ĐK : a, b, c ∈ N * ,1 ≤ a ≤ 9, ≤ b, c ≤ ) ⇒ ≤ a + b + c ≤ 27 ⋮ 18 +) ⇔ ( 18=2.9 ƯCLN(2;9)=1 ) +) Các chữ số số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; Mà ⋮ ⇒ c ⋮ ⇒ a, b, c tỉ lệ với 1;3; a; b; c tỉ lệ với 3; 1; ⇒ +) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; Lại có Mà ⇒ a b c a+b+c ⇒a + b + c ⋮ = = = ⋮ 9⇔ a + b + c ⋮ ≤ a + b + c ≤ 27 a b c = = =3 nên a + b + c = 18 ⇒ (Thỏa mãn điều kiện) Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; ⇒ (Thỏa mãn điiều kiện) Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm 396; 936 Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh Nếu rút lớp 7A học sinh, rút lớp 7B số 1 số học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại lớp Tính số học sinh lớp ban đầu Giải Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A,7B.7C x,y, z (học sinh) ĐK: x, y, z ∈ N * , x, y, z < 144 +) Ba lớp 7A,7B,7C có tất 144 học sinh ⇒ x + y + z = 144 +) Nếu rút lớp 7A 1 học sinh, rút lớp 7B học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh lại lớp nhau, nên ta có: 3 6 x y z x + y + z 142 x= y= z⇒ x= y= z⇒ = = = = =6 24 42 18 + + 24  x = 48  =>  y = 42 (Thỏa mãn điều kiện)  z = 54  Vậy số học sinh lúc đầu lớp 7A, 7B, 7C 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh chia làm ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Tìm số học sinh tổ Giải Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A x, y, z.(học sinh) ĐK: x, y , z ∈ N * , x, y , z < 52 +) Lớp 7A có 52 học sinh ⇒ x + y + z = 52 +) Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm vào học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; nên ta có: 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3) ( x – 1) ( y – ) ( z + 3) = = 12 12 12 x – y – z ( )= ( ) = ( + 3) => x − = y-2 = z + = x + y + z = 52 = => 13 13  x − = 16  x = 17   ⇒  y − = 12 =>  y = 14 (Thỏa mãn điều kiện)  z + = 24  z = 21   => Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Sử dụng tính chất 1: Cho số hữu tỷ a c với b> 0; d>0 b d Chứng minh: a < c ⇔ ad < bc (Bài 3/33 SGK Đại 7) b d Giải: + Ta có a c < b d ( b > 0; d > ) ⇒ + Có ad < bc ( b > 0; d > ) ⇒ Vậy: ad cb < ⇒ ad < bc bd db ad bc a c < ⇒ < bd bd b d a c < ⇔ ad < bc b d Sử dụng tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a+c c < ⇒ < < (Bài 5/33 SGK Đ7) b d b b+d d Giải: Từ a c < b d ( b > 0; d > ) ⇒ ad < bc (1) thêm vào vế (1) với ab ta có: ⇒ ad + ab < bc + ab ⇒ a ( b + d ) < b ( c + a ) ⇒ a a+c < ( 2) b b+d + Thêm vào hai vế (1) với dc ta có: ( 1) ⇒ ad + dc < bc + dc ⇒ d ( a + c ) < c ( b + d ) ⇒ + Từ (2) (3) ta có: a+c c < ( 3) b+d d a c a a +c c < ⇒ < < (đpcm) b d b b+d d Sử dụng tính chất 3: a; b; c số dương nên : a Nếu b Nếu Bài Cho a; b; c; d > CMR: < a b c d + + + ( 1) (do d>0) a+b+c a+b+c+d a+b+c Mặt khác: a a > ( 2) a+b+c a+b+c+d + Từ (1) (2) ta có: Tương tự ta có: a a a+d < < ( 3) a +b +c +d a +b +c a +b +c +d b b b+a < < ( 4) a+b+c +d b+c +d a +b +c +d c c c+b d d d +c < < < < ( 5) ( 6) a +b+ c + d c + d + a c + d + a +b d+a+b+c d + a + b a + b + c + d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được: 1< a b c d + + + 0; d > ) Chứng minh rằng: a ab + cd c < < b b2 + d d Giải: Ta có a c a.b c.d ab cd < b; d > nên < ⇒ < b d b.b d.d b d Theo tính chất (2) ta có: ab ab + cd cd a ab + cd c < < 2⇒ < < 2 b b +d d b b +d2 d BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tìm số x,y,z biết rằng: a x−2 x+4 = x −1 x + b c x = y ; y = z x − y + z = 10 14 e x − = y − = z − 21 xyz = 6720 Bài 2.Tìm số x,y,z biết : x y z = = 10 21 x + y − z = 28 d x : y : z = 12 : : xyz = 20 f x + 16 y − 25 z + = = x − = 15 16 25 a x : y : z = : : z − x − y = 594 b ( x − 1) = ( y − ) ; ( y − ) = ( z − 3) x + y − z = 50 c 12 x − 15 y 20 z − 12 y 15 y − 20 z = = x + y + z = 48 11 Bài Tìm số x,y,z biết : x y a y = ; = x − y + z = z c b, x + y − 2x + y −1 = = 6x Bài Cho tỉ lệ thức 1+ y 1+ y 1+ 8y = = 13 19 5x y + z +1 x + z + y + x − = = = x y z x+ y+z d, a c = Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết b d tỉ số có nghĩa ) a a + 7b 2c + d = 3a − 4b 3c − 4d b, 2015a − 2016b 2015c − 2016 d = 2016c + 2017 d 2016a + 2017b a c Bài 5: Cho a + c = 2b 2bd = c ( b + d ) ; b, d ≠ Chứng minh : = b a a a a d 2014 Bài Cho dãy tỉ số : a = a = a = L = a Chứng minh ta có 2015 2014  a + a + a + L + a2014  a đẳng thức =  ÷ a2015  a2 + a3 + a4 + L + a2015  Bài Cho a c = số x, y, z, t thỏa mãn ax + yb ≠ zc + td ≠ b d Chứng minh : xa + yb xc + yd = za + tb zc + td Bài Cho tỉ lệ thức a a 2a + 13b 2c + 13d a c = Chứng minh : = 3a − 7b 3c − d b d a a a n −1 n Bài : Cho a = a = a = L = a = a n Tính : 1) A = a12 + a22 + L + an2 ( a1 + a2 + L + an ) 2) B = ( a1 + a2 + L + an ≠ ) a19 + a29 + L + an9 ( a1 + a2 + L + an ) x y z t x+ y y+z z +t t+x Bài 10 Biết y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z Tính P = z + t + t + x + x + y + y + z Bài 11 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ;2 ;3 Bài 12 : Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng tử tương ứng tỉ 196 lệ với 5, mẫu tương ứng tỉ lệ với IV HIỆU QỦA MANG LẠI Trên số ví dụ tiêu biểu mà tơi nghiên cứu để “Phân dạng toán tỷ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau” mang lại cho nhiều thành công công tác giảng dạy Thông qua việc áp dụng đề tài này, đa số em nhóm học sinh khá, giỏi tự tin hơn, chủ động gặp dạng tốn tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số Và sau áp dụng việc phân dạng toán vào cho học sinh lớp năm học sau kết thu sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 12 15 0 V KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI Khi nghiên cứu đề tài số dạng tập tỉ lệ thức dãy tỷ số môn Đại số lớp thấy việc áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, học sinh dễ hiểu hứng thú trình tiếp thu kiến thức, em biết khai thác sâu toán, biết tự đặt toán mới, tránh sai lầm mà hay mắc phải Do đề tài triển khai giảng dạy dạng chuyên đề chương I Đại số PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN Bản thân sau nghiên cứu xong đề tài thấy hiểu sâu sắc tỷ lệ thức dãy tỷ số Tôi giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh TB, Khá, Giỏi, tuỳ đối tượng mà chọn cho phù hợp thấy đa số em tiếp thu nội dung chuyên đề cách dễ dàng, em hứng thú tự lập toán Khi giảng dạy xong chuyên đề cho học sinh cho em làm kiểm tra thấy kết cao Qua đề tài nhận thấy muốn dạy cho học sinh hiểu vận dụng vấn đề trước hết người giáo viên phải hiểu vấn đề cách sâu sắc người giáo viên phải ln học hỏi, tìm tịi, đào sâu suy nghĩ tốn, khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân II KIẾN NGHỊ Khi giảng dạy đề tài cho học sinh, người giáo viên cần nghiên cứu kỹ để vận dụng phù hợp với đối tượng học sinh mình, chia nhỏ tập để gợi ý cho học sinh Trên mơt số dạng tốn tỷ lệ thức mà phân dạng q trình giảng dạy mà tơi mạnh dạn đưa Tuy cố gắng song không tránh khỏi sai sót vấn đề đưa chưa trọn vẹn mong góp ý hội đồng khoa học để bớt sai sót xảy đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! ... học sinh Nếu rút lớp 7A học sinh, rút lớp 7B số 1 số học sinh, rút lớp 7C học sinh số học sinh cịn lại lớp Tính số học sinh lớp ban đầu Giải Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A,7B.7C x,y, z (học sinh)... từ tỷ lệ thức cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh * Một số kiến thức cần ý •) (n ⇒ •) 0) = (n N*) Sau số tập minh họa ( giả thiết tỉ số cho có nghĩa) 2 .Bài tập: Bài 1: Cho tỉ lệ thức. .. chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức biến đổi tỷ số vế trái (của tỷ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải *Phương pháp 4: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỷ số nhau, tính chất đẳng thức