1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học môn khoa học quan trọng việc hình thành khả sáng tạo tư lơ gic cho học sinh Việc hình thành lực giải Toán cho học sinh trung học sở việc làm khơng thể thiếu người thầy, rèn luyện cho em có khả tư sáng tạo, nắm kiến thức bản, gây hứng thú cho em u thích mơn Tốn Ngồi việc giải dạng toán sách giáo khoa, cần hướng dẫn học sinh giải tập nâng cao, phát huy khả học sinh giỏi Trong chương trình đại số dạng tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số có tầm quan trọng lớn cho việc học chủ đề sau Và toán thường có mặt đề khảo sát chất lượng cuối năm học, đề thi học sinh chất lượng mũi nhọn hay đề thi giải toán mạng thời lượng phân phối chương trình cho phần cịn hệ thống tập sách giáo khoa sách tập chưa nhiều, xếp tập chưa phân theo dạng Với học sinh lớp việc làm quen dạng toán tiếp xúc từ lớp cách áp dụng tính chất phân số (tính chất tỉ lệ thức), nhiên gắn vào tập tính chất tỉ lệ thức khơng giúp học sinh giải tập nên học sinh thường rơi vào trạng thái chán nản, khơng có hướng cho tập Nhất với em học sinh miền núi trường THCS Tam Thái làm dạng tốn cịn gặp nhiều lúng túng hay sai sót bước lập luận, trình bày Để giúp học sinh khắc phục sai sót thường mắc phải có kĩ gải tốn liên quan đến áp dụng tính chất dãy tỉ số đưa đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số 1.2 Mục đích nghiên cứu Phân loại dạng tập áp dụng tính chất dãy tỉ số Các phương pháp thường dùng để giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số Rèn kĩ vận dụng kiến thức giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp giải dạng tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số chương trình tốn Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp lớp trường THCS Tam Thái NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm - Tỉ lệ thức Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số Tính chất tỉ lệ thức a c Tính chất 1: Nếu = ad = bc b d Tính chất 2: Nếu ad = bc a b a c d c = ; = ; = ; b d b a c d - Tính chất dãy tỉ số a c a+ c a− c a c = - Từ = suy = = b d b d b+ d b− d Mở rộng a c = b d d b = c a a c e a+ c+ e a−c+ e = = = = = b d f b+ d + f b− d + f Suy từ tính chất a c = =k b d 2 a c a.c ⇒ ÷ = ÷ = = k2 b d b.d Chú ý : Khi có dãy tỉ số a b c = = ta nói số a,b,c tỉ lệ với 2; 3;5 Ta viết a : b: c = : : - Lũy thừa thương 2.2 Thực trạng vấn đề 2.2.1 Đặc điểm tình hình học sinh Lớp có số lượng học sinh không đồng mặt nhận thức gây khó khăn cho giáo viên việc lựa chọn phương pháp phù hợp Nhiều học sinh có hồn cảnh khó khăn việc đầu tư thời gian sách bị hạn chế ảnh hưởng không nhỏ đến nhận thức phát triển tư em Đa số em hay thoả mãn học tập, em cho cần học thuộc lịng kiến thức SGK đủ Chính mà em tiếp thu kiến thức cách thụ động, khơng tự mày mị, khám phá kiến thức mới, tập phát triển Qua thời gian tiến hành điều tra thu kết sau + Lớp 7A: Số em lười học bài, lười làm tập chiếm khoảng 50%, số học sinh nắm kiến thức biết vận dụng vào tập chiếm khoảng 30% + Lớp 7B: Số em lười học bài, lười làm tập chiếm khoảng 45%, số học sinh nắm kiến thức biết vận dụng vào tập chiếm khoảng 35% 2.2.2 Nguyên nhân Nguyên nhân vấn đề em chưa có ý thức tự giác học tập, chưa có kế hoạch thời gian hợp lý tự học nhà, học cịn mang tính chất lấy điểm, chưa nắm vững hiểu sâu kiến thức tốn học, khơng tự ôn luyện thường xuyên cách hệ thống Học sinh làm tương tự thay đổi số kiện toán Đứng trước thực trạng thấy dạy dạng tập cho học sinh cần xếp theo dạng có phân hóa mịn mức độ tập để học sinh hứng thú với việc giải tập tương tự làm sau thay đổi số điều kiện ban đầu 2.3 Các dạng toán áp dụng tính chất dãy tỉ số Dạng 1: Tìm giá trị biến dãy tỉ số Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết : x y = x+y=16 Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y x + y 16 = = = =2 3+5 x Vậy = ⇒ x = 3.2 = y = ⇒ y = 5.2 = 10 Bài tập tương tự : a) Tìm hai số x y biết : x y = x+y=33 x y z = x+y+z = -360 tìm x,y,z x c) cho y = 11 x + y = 60 tìm x,y Ví dụ 2: Tìm hai số x y, biết x : = y : (−5) x − y = −7 Với nhiều học sinh cho x : = y : (−5) Các em chưa ‘nhìn thấy’ dãy tỉ số b) cho = Ta phải đưa dãy tỉ số : x y = −5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: x y x− y −7 = = = = −1 −5 − (−5) x Vậy = −1 ⇒ x = 2.(−1) = −2 y = −1 ⇒ y = (−5).(−1) = −5 Ví dụ : x y y z = ; = x + y + z = 92 Học sinh gặp phải khó khăn: Chưa có dãy tỉ số ba biến x ;y ;z Đưa dãy tỉ số : Vậy x = ⇒ x = 2.10 = 20 10 y = ⇒ y = 2.15 = 30 15 z = ⇒ z = 2.21 = 42 21 x y z x+ y+z 92 = = = = =2 10 15 21 10 + 15 + 21 46 Bài tập tương tự: Tìm x,y, z biết x y x a) y = ; = x − y + z = −15 z b) x = y = 20 z x − y − z = Hướng dẫn: Áp dụng tính chất tỉ lệ thức x y y y z a) y = ⇒ = ; = ⇒ = từ ta lập dãy tỉ số z Ví dụ : Tìm x,y,z biết 3x=2y , 7y=5z x-y+z=32 - Áp dụng tính chất tỉ lệ thức làm xuất dãy tỉ số - Biến đổi dãy tỉ số dãy tỉ số có chứa biến x,y,z x = y y = 5z ⇒ = 3x = y ⇒ y z Đưa dãy tỉ số : Vậy x = ⇒ x = 2.10 = 20 10 y = ⇒ y = 2.15 = 30 15 z = ⇒ z = 2.21 = 42 21 Ví dụ 5: Tìm x,y biết x y z x− y+z 32 = = = = =2 10 15 21 10 − 15 + 21 16 x y = x − y = 36 12 Ta thấy xuất 2x, 5y dãy tỉ số phải biến đổi để xuất 2x ;5y Áp dụng tính chất phân số: Nhân tử mẫu với số ta có : x y 2x y = = = 12 24 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số : x y x − y 36 = = = =4 24 15 24 − 15 Vậy : x = ⇒ x = 12.4 = 48 12 y = ⇒ y = 4.3 = 12 Bài tập tương Tự x y z = = x − y + z = 62 x y y z b) = ; = x − y + z = 186 x y c) y = 20 ; = x + y − z = 100 z a) Hướng dẫn: Ta cần kết hợp ví dụ để đưa dãy tỉ số sau làm tương tự ví dụ Ví dụ 6:Tìm x,y,z biết 3( x − 1) = 2( y − 2) , 4( y − 2) = 3( z − 3) x + y − z = 50 x −1 y − ; y −2 z −3 ( x − 1) = ( y − ) ⇒ = ( y − ) = ( z − 3) ⇒ = x −1 y − z − = = Ta có dãy tỉ số : 4 Ta cần biến đổi để xuất 2x ; 3y x − y − z − ( x − 1) ( y − ) z − 2x − 3y − z − = = = = = ⇒ = = 4 4 x − + y − − ( z − ) x + y − z − − + 50 − 45 = = =5 = 9 4+9−4 x −1 y − z − = = =5 Vậy = Từ ta tính x,y,z Bài tập tương Tự x −1 y − z − = = x − y + 3z = 14 a −1 b + c − = = ;5a − 3b − 4c = 46 b) Cho a − a − a3 − a −9 = = = c) Tìm a biết = a1 + a2 + a3 + + a9 = 90 a) Hướng dẫn a1 − a2 − a2 − a − a1 − + a2 − + a3 − + + a9 − = = = = = 9 + + + + a1 + a2 + a3 + + a − ( + + + + ) 90 − 45 = = =1 + + + + 45 a −1 Vậy = ⇒ a1 = −1 = ⇒ a1 = 10 c) ( ) a2 − = ⇒ a2 − = ⇒ a2 = 10 2x + y − 2x + y −1 = = Ví dụ : Tìm x,y biết 6x 2x + y − 2x + y −1 2x + y −1 = = = Ta có : 6x 12 ⇒ x = 12 ⇒ x = 2.2 + = ⇒ 3y − = ⇒ 3y = ⇒ y = Thay x = vào Bài tập tương Tự 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Ví dụ 8: Tìm hai số x y,biết : x y x y xy = xy = 10 dạng học sinh thường nhầm lẫm = = nên dẫn đến 5 2.5 lời giải sai x y = =k : 2 x y x y = k2 Ta có : ÷ = ÷ = 2.5 2 5 Gọi 2 x y 10 x y = =1 Vậy ÷ = ÷ = 2.5 10 2 5 x x x Vậy ÷ = ⇒ = = −1 2 2 x Với = ⇒ x = 2; x Với = −1 ⇒ x = 2.(−1) = −2 x.y =10 với x= y = Bài tập tương tự: với x = - y = -5 x y z = = xyz = 20 12 b) Tìm x,y biết 4x=11y x − y = 803 a) Tìm x,y,z biết c) 15x =10y = 6z xyz = -1920 x3 y z3 = = x + y + z = 14 64 216 3 3 3 x y z x y z Từ = = hay ÷ = ÷ = ÷ 64 216 2 4 6 x y z x y z ⇒ = = đặt = = = K 6 Ví dụ 9: Tìm x,y,z biết 2 x2 y z x y z ⇒ ÷ = ÷ = ÷ ⇒ = = = K2 16 36 2 4 6 2 2 x y z x + y + x 14 = = áp dụng = = = 16 36 + 16 + 36 56 x2 1 ⇒ = ⇒ x = = ⇒ x = x = −1 4 y 1 = ⇒ y = 16 = ⇒ y = y = −2 16 4 z 1 = ⇒ z = 36 = ⇒ z = z − 36 4 x,y,z dấu x = 1; y = 2; z = x = −1; y = −2; z = −3 Bài tập tương tự tìm x,y,z biết x y z = x + y − z = 585 x y z b) = = x + y − z = −16 a) = Dạng 2: Chia tỉ lệ Ví dụ Số học sinh khối 6; 7; 8; trường THCS tỉ lệ với 9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường Giải: Gọi số học sinh khối 6; 7; 8; x, y, z, t ( x, y, z, t ∈ N* ) x y z t Theo đầu ta có : = = = x – t = 10 11 Áp dụng tính chất dãy tỉ số x y z t x −t = = = = = =8 10 11 − Suy : x = 9.8 = 72 ; y = 10.8 = 80 z = 11.8 = 88 ; t = 8.8 = 64 Vậy số học sinh khối 6, 7, 8, là: 72; 80; 88; 64 học sinh Bài tập tương tự: Số học sinh bốn khối 6,7,8,9 tỉ lệ với số ;8 ;7 ;6 Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số hoc sinh khối ? Ví dụ 2: Học sinh lớp 7A chia thành ba tổ, cho biết số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ tỉ lệ với 2; 3; Tìm số học sinh tổ lớp 7A biết số học sinh lớp 7A 45 học sinh Hướng dẫn Gọi số học sinh tổ 1, tổ 2, tổ x, y, z ( x, y, z ∈ N* ) Theo đầu ta có : x y z = = x + y + z = 45 Áp dụng dạng ta giải tiếp tập Ví dụ 3: Tìm số đo góc tam giác biết số đo góc tam giác tỉ lệ với 2, 3, Giải Gọi số đo góc tam giác x, y,z x y z = = x + y + z = 1800 dụng tính chât dãy tỉ số ta có x y z x + y + z 1800 = = = = = 200 +3 + 0 ⇒ x = 2.20 = 40 ; y = 3.20 = 60 ; z = 4.20 = 800 Vậy số đo góc tam giác là: 400 ; 600 ; 800 Ví dụ 4: Tìm diện tích hình chữ nhật biết tỉ số hai cạnh chu vi 28 m Để biết diện tích hình chữ nhật ta cần biết kích thước Gọi x chiều rộng, y chiều dài x x y Ta có : y = ⇒ = ( x + y ).2 = 28 ⇒ x + y = 14 áp dụng tính chất dãy tỉ số Ta có : x y x + y 14 = = = =2 2+5 x = ⇒ x = 2.2 = y = ⇒ y = 5.2 = 10 Vậy diện tích hình chữ nhật S = x.y = 4.10 = 40 (m2) Dạng 3: Chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh từ tỉ lệ thức a c = (a-b ≠ ,c-d ≠ 0) ta suy b d a+b c+d = a −b c −d Ta thấy xuất a + b a − b ta cần đưa a,b tử dãy tỉ số : a c a b a+b Từ = ⇒ = = (1) b d c d c+d a c a b a −b = ⇒ = = (2) b d c d c−d tỉ lệ thức: Từ (1) (2) ta có a +b a −b = c+d c−d Áp dụng tính chất tỉ lệ thức a +b a −b a+b c+d = ⇒ = c+d c−d a −b c −d a c 2a + 3b 2c + 3d = chứng minh = b d 2a − 3b 2c − 3d a c a b 2a 3b 2a + 3b = ⇒ = = = = Từ (1) b d c d 2c 3d 2c + 3d a b 2a 3b 2a − 3b 2a + 3b 2c + 3d ⇒ = Ta có = = = = (2) c d 2c 3d 2c − 3d 2a − 3b 2c − 3d 2a + 3b 2a − 3b 2a + 3b 2c + 3d = ⇒ = Từ (1) (2) ta có : 2c + 3d 2c − 3d 2a − 3b 2c − 3d Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức biết Bài tập tương tự Cho tỉ lệ thức biết Ví dụ 3: a c 5a + 3b 5c + 3d = chứng minh = b d 5a − 3b 5c − 3d a c 2a − 3ab + 5b 2c − 3cd + 5d = = Cho tỉ lệ thức chứng minh b d 2b + 3ab 2d + 3cd Với điều kiện mẫu xác định Ap dụng tính chất tỉ lệ thức ta có a c a b a b a.b = ⇒ = ⇒ = = b d c d c d c.d Ta cần biến đổi để xuất : 2a ;3ab;5b Ta có a 2a 3ab 5b2 2a − 3ab + 5b = = = = (1) c 2c 3cd 5d 2c − 3cd + 5b a ab b 3ab 2b 2b + 3ab = = = = = (2) c cd d 3cd 2d 2d + 3cd Ta có Từ (1) (2) 2a − 3ab + 5b 2b + 3ab = 2c − 3cd + 5d 2d + 3cd a b c Ví dụ 4: cho = = chứng minh b c d ⇒ a+b+c a ÷ = b+c+d d a b c a +b+c a b c a a = = = = k ⇒ = = k b c d b+c+d b c d d d 3 a a+b+c mà ÷ = ÷ =k b b + c + d a+b+c a ⇒ = = k3 b+c+d d KẾT LUẬN 3.1 Những điểm hạn chế giới hạn sáng kiến kinh nghiệm: - Mỗi dạng toán đưa số tốn điển hình làm mẫu - Chưa trình bày nhiều cách giải khác toán - Phần khai thác toán làm đại diện số toán - Do thời gian hạn chế nên muốn thực giải pháp phải đưa vào dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi khơng khơng có thời gian để luyện tập cho học sinh 3.2 Bài học kinh nghiệm Tuy có hạn chế nhìn chung giải pháp “Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp 7” trang bị cho học sinh kiến thức chuyên sâu nhằm vận dụng để giải tập toán nâng cao tỉ lệ thức toán dãy tỉ số cách có hiệu Vì vậy, để thực có hiệu quả, chúng tơi xin đưa số đề xuất: +Trước giải học sinh nhận xét thử biện pháp từ đễ đến khó để tìm phương pháp phù hợp để giải Sau học sinh giải tập tương tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phương pháp giải +Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức phần mở rộng, phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh khơng bị sai sót +Trong q trình giảng dạy ý rèn kĩ phân tích đề xem cho điều yêu cầu chứng minh tìm Bài tập sau có khác so với tập trước, rèn cho em cách nhìn phân tích tốn thật nhanh +Sau tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu ghi nhớ +Tôi nghĩ với vấn đề, chuyên đề toán học dạy theo dạng, sâu dạng tìm hướng tư duy, hướng giải phát triển toán Sau tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề Và tơi tin tốn học niềm say mê với tất học sinh 3.3 Lời kết - Được giúp đỡ ủng hộ nhiệt tình đồng nghiệp trường tơi cố gắng tìm tịi, học hỏi chọn hệ thống tập tương đối phù hợp để minh hoạ cho sáng kiến kinh nghiệm Trong trình viết sáng kiến điều kiện hạn hẹp thời gian kinh nghiệm, lực thân hạn chế nên tập đưa mang tính chất giới thiệu nhằm ý kiến xây dưng với đồng chí để đồng chí rút kinh nghiệm qua tiết ôn tập cho học sinh Vì kinh nghiệm chưa thể đáp ứng đầy đủ nhu cầu người đọc Tôi mong tiếp thu ý kiến đóng góp quý báu đồng chí để sáng kiến hồn chỉnh Tơi xin trân thành cảm ơn! 10 ... tự: Số học sinh bốn khối 6 ,7, 8,9 tỉ lệ với số ;8 ;7 ;6 Biết số học sinh khối số học sinh khối 70 học sinh Tính số hoc sinh khối ? Ví dụ 2: Học sinh lớp 7A chia thành ba tổ, cho biết số học sinh. .. dưỡng học sinh giỏi khơng khơng có thời gian để luyện tập cho học sinh 3.2 Bài học kinh nghiệm Tuy có hạn chế nhìn chung giải pháp ? ?Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp 7? ??... Dạng 2: Chia tỉ lệ Ví dụ Số học sinh khối 6; 7; 8; trường THCS tỉ lệ với 9; 10; 11; Biết số học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường Giải: Gọi số học sinh khối 6; 7; 8; x,