SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hinh học lớp 9

MỤC LỤCNội dungTrangI. PHẦN MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài22. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài23. Đối tượng nghiên cứu34. Giới hạn phạm vi nghiên cứu35. Phương pháp nghiên cứu3I. PHẦN NỘI DUNG1. Cơ sở lí luận42. Thực trạng 2.1 Thuận lợi – khó khăn 2.2 Thành công – hạn chế 2.3 Mặt mạnh – mặt yếu 2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động ... 2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra.556773. Giải pháp, biện pháp 3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp 3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp 3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp 8826264. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu27I. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ1. Kết luận282. Kiến nghị29I. PHẦN MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài:Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức toán học nói riêng là vô tận. Để chiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực thì cần phải có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp. Một trong những phương pháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ kết quả của các bài toán đã có. Trong quá trình dạy học Toán nói chung, người giáo viên phải biết lựa chọn phương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy sáng tạo ở học sinh. Trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra các bài tập trong sách giáo khoa và cho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ dừng lại các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học Toán đặc biệt là môn Hình học. Nếu áp dụng cách học này sẽ không kích thích được tính tò mò, tư duy sáng tạo cho học sinh. Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9, bản thân tôi nhận thấy việc suy luận, mở rộng và phát triển các bài toán từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa sẽ kích thích cho học sinh tính sáng tạo và phát triển tư duy, học sinh sẽ kết nối các kiến thức lại với nhau. Với cách học và cách dạy như thế sẽ luôn tạo cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt buộc học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để giải quyết các vấn đề đặt ra.Với những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng bộ môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng ở trường THCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các bài toán từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU

2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra

55677

3 Giải pháp, biện pháp

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp

3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp

3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

882626

4 Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề

có phương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp Một trong nhữngphương pháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ kết quả của các bài toán đã có.Trong quá trình dạy học Toán nói chung, người giáo viên phải biết lựa chọnphương pháp thích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy sáng tạo ở học sinh.Trong thực tế hiện nay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra các bài tậptrong sách giáo khoa và cho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ dừng lại các bàitập đơn lẻ sẽ gây cho học sinh sự nhàm chán trong học Toán đặc biệt là mônHình học Nếu áp dụng cách học này sẽ không kích thích được tính tò mò, tưduy sáng tạo cho học sinh Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏimôn Toán 9, bản thân tôi nhận thấy việc suy luận, mở rộng và phát triển các bàitoán từ một bài toán cơ bản trong sách giáo khoa sẽ kích thích cho học sinh tínhsáng tạo và phát triển tư duy, học sinh sẽ kết nối các kiến thức lại với nhau Vớicách học và cách dạy như thế sẽ luôn tạo cho học sinh tình huống có vấn đề, bắtbuộc học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để giải quyết các vấn đề đặt ra.

Với những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triểncác bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn gópphần nâng cao chất lượng bộ môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng ởtrường THCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các bài toán

từ cơ bản đến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ một vài kinhnghiệm giảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đónggóp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bảnHình học lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo chocác em phong cách học tập chủ động và sáng tạo Từ việc suy luận và phát triểnbài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàngtoán học ngày càng phong phú

Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, chủ động trong học tập để các

em luôn có thể tự học và tự sáng tạo, tạo cho mình một thói quen là sau khi đãtìm được lời giải bài toán Hình học, dù là đơn giản hay phức tạp, từ bài toán đã

có cần tiếp tục suy luận, đặc biệt hóa một số điều kiện hay thay đổi một số điềukiện trong giả thiết và áp dụng kiến thức vốn có của mình để phát triển các bàitoán mới Từng bước giúp các em học sinh chủ động sang tạo trong việc tiếp thukiến thức, làm chủ tình huống, từ đó càng yêu thích môn Hình học hơn

Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩygiúp các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sángtạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn

Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả giảng dạy,chất lượngbồi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được tính tíchcực, chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong quá trìnhdạy - học môn Hình học cấp THCS

3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số suy luận từ bài toán Hình học đã giải, phát triển thêm các bài toánmới, từng bước hình thành cho học sinh sự tự tin và niềm đam mê bộ môn

4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ suy luận và phát triển cácbài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9

Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình Chinh,

xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk

Thời gian: Năm học 2015 - 2016

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lí thuyết

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận

- Thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê ĐìnhChinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận:

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán cấp THCS tôi nhận thấy đa số họcsinh sợ học môn Hình học, nhiều em chưa có phương pháp học phù hợp với đặcthù bộ môn, những em khá, giỏi cũng ít hứng thú với môn Hình học Có rấtnhiều nguyên nhân, trong đó có thể xem xét một số nguyên nhân cơ bản sau:

- Đặc thù của môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năngnày học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năngtrình bày suy luận một cách logic, kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó.Đứng trước một bài toán Hình học các em thường không biết bắt đầu từ đâu,trình bày chứng minh như thế nào

- Trong quá trình dạy học, giáo viên đôi khi còn xem nhẹ hoặc chưa chútrọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở sách giáo khoahoặc chưa thực sự đầu tư vào lĩnh vực này Vì thế, chưa tạo được hứng thú chohọc sinh qua việc phát triển vấn đề từ bài toán cơ bản

Để giải quyết vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chútrọng các bài toán ở sách giáo khoa, biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp

để tăng vốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học vừa có điềukiện để tăng khả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản đã có, từ đó hìnhthành phẩm chất sáng tạo khi giải toán sau này Việc phát triển một bài toán phùhợp với từng đối tượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảotính vừa sức và là giải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạocho học sinh sự nhụt chí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tintrong quá trình học tập, bên cạnh đó còn phát huy được khả năng sáng tạo, pháttriển khả năng tự học, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích

thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, từ đó các em yêuthích và đam mê bộ môn hơn.

Nội dung ở sách giáo khoa Toán 9 được biên soạn khá công phu, hệ thốngkiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh Đặc biệt hệ thốngbài tập trong sách giáo khoa phong phú và hết sức cơ bản, được chọn lọc kĩ, cónhiều bài tập được viết dưới dạng mở chứa nhiều vấn đề để suy luận, khai thác

và phát triển, tạo điều kiện thuận lợi để học sinh và giáo viên khai thác, tìm tòithêm các bài toán mới nhằm phát huy sự sáng tạo trong giảng dạy và học tập

Khó khăn:

Một số gia đình học sinh hoàn cảnh còn khó khăn, chưa thực sự quan tâmđến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tưthời gian, vật chất, tinh thần cho con em học tập

Đa số học sinh chưa hứng thú khi học Hình học, bởi vì các bài toán trongphân môn Hình học rất đa dạng và khá trừu tượng, mỗi bài toán có thể có nhiềucách giải khác nhau, để chứng minh được bài toán Hình học thì học sinh phảivận dụng các định lí, các tiên đề đã được học một cách linh hoạt Thế nhưng, tất

cả kiển thức cơ bản đã học hầu như các em đã bị quên ngay từ ở lớp dưới

2.2 Thành công, hạn chế:

Thành công:

Chất lượng đại trà môn Toán tương đối tốt, tăng từng năm, có nhiều họcsinh tham gia thi học sinh giỏi văn hóa, thi giải toán qua mạng internet đạt kết

- Học sinh còn yếu về kỹ năng phân tích đa chiều một bài toán, chưa biếtkhai thác và tổng quát hóa bài toán đã cho

2.3 Mặt mạnh, mặt yếu:

Mặt mạnh:

Công nghệ thông tin ngày một phát triển, có nhiều phần mềm trình chiếuphục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ kích thích trí tò mò và tănghứng thú học tập cho học sinh

Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinhgiỏi văn hoá môn Toán, giải toán trên máy tính cầm tay CasiO, giải toán trênmạng Internet, là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút vàlôi cuốn học sinh đến với Toán học

Mặt yếu:

Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức cơbản của hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả năng tư duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt

Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy toán học ởhọc sinh còn mờ nhạt, nhiều em học không đi đôi với hành, làm cho bản thân ítđược củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếpthu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.

2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:

- Học sinh còn yếu về khả năng phân tích bài toán để tìm lời giải

- Học sinh không nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở cáclớp dưới nên khả năng vận dụng kiến thức vào giải một bài toán còn hạn chế

- Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với môn Hình học chưa cao

- Đa số học sinh chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải, chưa có tínhsáng tạo trong giải toán, khả năng vận dụng kiến thức còn chưa linh hoạt

- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa cóthời gian để ôn tập, giải bài tập nhiều

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:

Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trungbình, yếu, kém Đa số học sinh sợ học môn Hình học, khả năng tư duy, phân tíchtổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh không xác định được bàitoán, không vẽ được hình hoặc vẽ hình không chính xác nên rất khó khăn trongquá trình chứng minh Với đặc thù của phân môn Hình học là mọi suy luận đềuphải có căn cứ, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy luận một cáchlogic Kĩ năng này đối với học sinh thì tương đối khó, vì mức độ ghi nhớ cáckiến thức Hình học từ những lớp dưới của nhiều học sinh còn hạn chế Do đókhi gặp một bài toán Hình học học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trìnhbày chứng minh như thế nào Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức,hiểu một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, vận dụng linh hoạt các kiếnthức vào làm bài tập, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán nói chung và Hìnhhọc nói riêng cho các em học sinh là rất quan trọng đối với người giáo viên

Để giúp học sinh học tập tốt môn Hình học, hãy bắt đầu bằng những bài tập trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải Với đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hìnhhọc lớp 9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó còn góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích và suy luận cho học sinh,đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.

Mỗi bài toán đưa ra trong đề tài đều có phân tích cụ thể, định hướngchứng minh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, saukhi trình bày lời giải đều có những nhận xét từ các kết quả có được của bài toán

và đề xuất các bài toán mới Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng caokiến thức cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực,chủ động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giúp học sinh tự tin hơn, thích thúhơn với phân môn Hình học

Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các tiết

ôn tập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi

Sau khi áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ bản,các em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng hơn,yêu thích bộ môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự học tốt, biếtcách phát triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học

3 Giải pháp, biện pháp:

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:

Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán Hình học

cơ bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bàitoán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo Từ việc suy luận

và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làmcho kho tàng toán học ngày càng phong phú

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể theo nhiều hướng

khác nhau Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc khai thácthêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới nhằmrèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, pháthuy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục lòngsay mê học Toán cho học sinh Đề tài này không đề cập nhiều đến việc hìnhthành kĩ năng giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai thác, suy luận

để phát triển bài toán Bắt đầu từ bài toán cơ bản và quen thuộc sau:

a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 - SGK Toán 9 tập 1)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB Gọi

H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD

B A

⇒ S OMH+S OMK= S OMA+S OMB

Hay S∆HOK= S∆AMB

Kẻ MM’ ⊥ AB (M’ ∈ AB)

Vì S∆HOK= S∆AMB nên HK.OM = AB.MM’ (1)

C'

D' M'

M

K H

B O

Vẽ thêm CC’⊥AB, DD’⊥AB (C’, D’ ∈ AB), ta có:

MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’ MM ' CC' DD '

Qua nhận xét 1.1, ta có bài toán khó hơn bài toán 1 như sau:

Bài toán 1.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường

kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

CD Chứng minh rằng: SAHKB = S∆ACB + S∆ADB

* Nhận xét 1.2:

Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD không

cắt đường kính AB được thay thế bằng giả

thiết dây CD cắt đường kính AB thì kết

luận CH = DK vẫn đúng

Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta chứng

minh CD và HK có chung trung điểm

Qua O vẽ đường thẳng song song với BK và

AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F

Từ nhận xét 1.2 ta có bài toán 1.2 như sau:

Bài toán 1.2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G Gọi H

và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh: CH = DK

* Nhận xét 1.3:

Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp phản

chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở bên

ngoài đường tròn (O) Thật vậy, giả sử chân

đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD

là H’, H’ là điểm nằm giữa 2 điểm C và D

Xét ∆ACH'ta có: ACH' = ACB + BCD = 90 +BCD · · · 0 ·

·

⇒ACH' > 900Mà AH'C 90· = 0(theo giả sử)

K H

B O

H'

A

C

D

⇒ Tổng các góc trong của ∆ ACH' lớn hơn 180 0 Điều này vô lí

Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O) ⇒ H nằm ngoài đường tròn (O)

Chứng minh tương tự đối với điểm K

Từ nhận xét 1.3 ta có bài toán 1.3 như sau:

Bài toán 1.3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường

kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

CD Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)

* Nhận xét 1.4: Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn

thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : "Đường kínhvuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và định lí : "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” Với ý tưởng này, ta xây dựng một bài toán mà cách giải hoàn toàn tương tự như cách giải của bài toán 1:

Bài toán 1.4: Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính.

Qua C và D kẻ các đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H và K Chứngminh rằng AH = BK

Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI ⊥ CD(I ∈CD) ⇒ IC = ID (Quan hệ

vuông góc giữa đường kính và dây) Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường thẳng điqua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK

b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 - SGK toán 9 tập 1)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với

AB (Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm

M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng: a) COD 90· = 0

A

M C

KL a) COD 90 · = 0

b) CD = AC + BD

c) AC.BD không đổi khi M di động

trên nửa đường tròn

Hướng dẫn chứng minh:

Ở câu a) để chứng minh ·COD = 900 ta cần chứng minh OC và OD là các tia phângiác của hai góc kề bù AOM và BOM

Ở câu b) ta nhận thấy rằng CD = CM + MD Do đó để chứng minh CD = AC +

BD ta cần chứng minh CM = AC và MD = BD.

Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên)

Do đó để chứng minh AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta cần chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn

⇔CD // AB⇔ M là giao điểm nửa đường tròn tâm O và trung trực của AB

(hay M là điểm chính giữa của cung AB)

Vậy nếu M là điểm chính giữa của cung AB thì tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.Qua nhận xét 2.1, ta có bài toán 2.1:

Bài toán 2.1: Thêm vào bài toán 2 câu d: Xác định vị trí của điểm M để chu vi tứ

giác ABDC nhỏ nhất

* Nhận xét 2.2:

Nếu gọi N là giao điểm của BC và AD, ta chứng minh được MN//AC (MN//BD)