Ứng dụng giá trị tuyệt đối trong giải toán

Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toỏn Phòng gd & đt yên lạc Trờng THCS đại tù -o0o Chuyên đề: “Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán” Người thực hiện: Nguyễn Đức Thuận Người viết: Nguyễn Văn Thư Tổ chuyên môn: KHTN Trường THCS Đại Tự Huyện Yên Lạc - Tỉnh Vĩnh Phúc Tháng 3/ 2018 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Lý chọn chun đề Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức Giá trị tuyệt đối đa dạng phong phú, tiền đề để học sinh tiếp tục học lên cấp THPT Khi giải tốn có áp dụng Giá trị tuyệt đối đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức tốn tìm giá trị chưa biết, tìm GTLNGTNN, biết kết hợp điều kiện, phép biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lịng say mê học tốn cho học sinh Giá trị tuyệt đối loại toán mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh cách áp dụng Giá trị tuyệt đối để giải tốn nào? Có phương pháp nào? Các toán ứng dụng Giá trị tuyệt đối dạng tốn hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên Mặt khác, việc tìm hiểu phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối cịn giáo viên nghiên cứu Vì việc nghiên cứu chuyên đề: “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, giúp học sinh có kiến thức lựa chọn phương pháp giải tốn liên quan, góp phần nâng cao Chun đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Mục đích nghiên cứu + Nghiên cứu “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu + Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần Giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn + Nghiên cứu vấn đề cịn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành công Giá trị tuyệt đối Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tình hình dạy học học vấn đề nhà trường Hệ thống hố số phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối Tìm hiểu mức độ kết đạt triển khai đề tài Phân tích rút học kinh nghiệm Phạm vi đối tượng nghiên cứu 4.1) Đối tượng nghiên cứu: a Các tài liệu b Giáo viên, học sinh giỏi trường THCS Đại Tự 4.2) Phạm vi nghiên cứu: Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Các phương pháp ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán thường gặp bậc THCS Khai thác tính chất- cơng thức GTTĐ Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Giả thuyết khoa học Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng toán Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán PHẦN II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận Trong trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy Tốn không ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời địi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức Giá trị tuyệt đối đa dạng phong phú, tiền đề để học sinh tiếp tục học lên cấp THPT Khi giải tốn có áp dụng Giá trị tuyệt đối địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức tốn tìm giá trị chưa biết, tìm GTLNGTNN, biết kết hợp điều kiện, phép biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ từ đơn giản đến phức tạp “Ứng dụng Giá trị tuyệt đối giải toán” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lịng say mê học tốn cho học sinh Cơ sở thực tiễn Giá trị tuyệt đối loại toán mà học sinh THCS coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết cách áp dụng Giá trị tuyệt đối để giải toán nào? Có phương pháp nào? Các tốn ứng dụng Giá trị tuyệt đối dạng toán hay khó, có nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên Mặt khác, việc tìm hiểu phương pháp giải có ứng dụng Giá trị tuyệt đối cịn giáo viên nghiên cứu Chun đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải tốn Vì việc nghiên cứu phương pháp giải toán có ứng dụng Giá trị tuyệt đối thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi giáo viên giỏi trường THCS Thực trạng a) Thuận lợi: - Là giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy mơn Tốn - Chúng tơi đồng nghiệp góp ý kiến giảng dạy - Đa số học sinh khá, giỏi mong muốn nâng cao kiến thức b) Khó khăn: -Trong chương trình học tuần có tiết đại số bao gồm lý thuyết tập Nên tập SGK số tập SBT có dạng chứng minh BĐT đưa dạng làm quen Trong kỳ thi HSG thi vào THPT đề tập có liên quan tới GTTĐ dạng vận dụng cao nhiều Bên cạnh địi hỏi học sinh phải có tư sáng tạo Hầu hết số học sinh trường học sinh vùng quê, bố mẹ làm nơng nghiệp Do em trọng nâng cao kiến thức -Từ thuận lợi khó khăn trên, với chun đề tơi mong giáo viên giúp em có thêm kiến thức để tự tin học tập c) Thực trạng: Hiện nay, việc dạy học giáo viên học sinh thực tiễn Trường THCS Đại Tự cịn có số mặt đạt chưa đạt sau: * Những mặt đạt được: - BGH nhà trường quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để thực chuyên đề - Phòng học có trang bị máy tính, máy chiếu … đáp ứng tốt cho yêu cầu dạy học Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán - Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, Nhờ học sinh bước có nhiều tiến -Giáo viên mơn Tốn có trình độ chuẩn Có tinh thần trách nhiệm cao Tâm huyết với nghề Nhiệt tình giảng dạy * Những mặt chưa đạt: - Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu… để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Tốn cịn hạn chế - Học sinh vừa phải đảm bảo chương trình học khóa gồm nhiều môn học học bồi dưỡng đại trà nên học sinh có thời gian dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi ỨNG DỤNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG GIẢI TOÁN I Lý thuyết giá trị tuyết đối Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a (a số thực) * Giá trị tuyệt đối số khơng âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối Tổng quát: Nếu a 0  a a Nếu a   a  a Nếu x-a  0=> = x-a Nếu x-a  0=> = a-x Tính chất * Giá trị tuyệt đối số không âm * Tổng quát: a 0 với a  R * Cụ thể: =0 a=0 ≠ a ≠ Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán * Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối Tổng quát:  a b a b    a  b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối Tổng quát:  a a  a  a a  a 0; a  a  a 0 * Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn Tổng quát: Nếu a  b   a  b * Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ Tổng quát: Nếu  a  b  a  b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối Tổng quát: a.b  a b * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối Tổng quát: a a  b b * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số Tổng quát: a a * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu Tổng quát: a  b  a  b a  b  a  b  a.b 0 II Các dạng toán : Dạng 1: Tìm giá trị x thoả mãn A(x)k (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước) * Cách giải: Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán - Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt đối số không âm) - Nếu k = ta có A( x) 0  A( x) 0  A( x ) k - Nếu k > ta có: A( x) k    A( x )  k Bài 1.1: Tìm x, biết: a) x  4 b)   2x  4 c) 1  x  d)  2x 1  Giải: a) x  4 � 2x – =  * 2x – = * 2x – = – 2x = 2x = – x = 4,5 2x = x = 0,5 Vậy: x = 4,5 ; x =0,5 b)   2x  4 � 1  2x    4 12 5 14 � � �  2x  2x    x � � � 12 12 12 �� � � � � 12 5 14 � � �  2x   2x    x � 12 � 12 12 � 12 12 � � Vậy: x � � ; 8� � 12 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 x   b) 7,5   x  4,5 c) x    3,75   2,15 15 Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải tốn Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 3x   5 b) x  3 c)  x   3,5 Bài 1.4: Tìm x, biết: a) x  c)  5% 4  x  4 b)  5 x  4 d) 4,5  5 x  Bài 1.5: Tìm x, biết: a) 6,5  c) : x  2 15  2,5 : x  3 4 b) 11  : 4x   d) 21 x  :  6 Dạng 2: Tìm giá trị x thoả mãn A(x) B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách giải:  a b Vận dụng tính chất: a  b    a  b  A( x)  B( x ) Ta có: A( x)  B( x)    A( x)  B( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) x   x  b) x   3x  0 c)  3x  x  d) x   x  0 Giải: a) x   x  * 5x – = x + * 5x – = – x – 5x – x = + 5x + x = – + 4x = 6x = d) x  1 2 Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán x =1,5 x= Vậy: x= 1,5 ; x= BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 2.2: Tìm x, biết: a) x   4x  2 c) x  b) x   x 3 d)  x  0 x   x  0 Dạng 3: Tìm giá trị x thoả mãn A(x)B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: A( x )  B ( x) (1) Điều kiện: B(x) 0 (*)  A( x)  B( x ) (1) Trở thành A( x)  B( x)    A( x)  B( x) (Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*)) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a 0  a a Nếu a   a  a Ta giải sau: A( x)  B( x) (1)  Nếu A(x) 0 (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện )  Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) Ví dụ: Tìm x  Q biết =2x * Xét x+  , ta có x + = 2x � x  (TMĐK) Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán *Xét x+ < , ta có x + Vậy : x  = – 2x � x   (Không TMĐK) 15 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 3.1: Tìm x, biết: a) x 3  x b) x  3x  c) x x  12 d)  x 5 x  c) x   2 x d) x   x 21 c) x  15  3x d) x   x 2 Bài 3.2: Tìm x, biết: a)  x 2 x b) x  3x 2 Bài 3.3: Tìm x, biết: a)  x  x b) 3x    x Dạng 4: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt A(x) B(x) C(x)D(x) (1) Điều kiện: D(x) 0 kéo theo A( x) 0; B( x) 0; C ( x) 0 Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 4.1: Tìm x, biết: a) x   x   x  4 x b) x   x   x   x  5 x  Bài 4.2: Tìm x, biết: a) x  100  x  x   x  101x 101 101 101 101 b) x  1 1  x  x   x  100 x 1.2 2.3 3.4 99.100 c) x  1 1  x  x   x  50 x 1.3 3.5 5.7 97.99 d) x  1 1  x  x   x  101x 5 9.13 397.401 Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải tốn Dạng 5: Tìm giá trị x, y thoả mãn A  B 0 Vận dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng số không âm số không âm tổng số hạng tổng đồng thời * Cách giải chung: A  B 0 Bước1: Đánh giá: A 0   A  B 0 B 0  A 0  B 0 Bước 2: Khẳng định: A  B 0   Bài 5.1: Tìm x, y thoả mãn: a) 3x   y  0 b) x  y  y  0 25 c)  x  y  0 Bài 5.2: Tìm x, y thoả mãn: a)  b) x  y  0 11 23   x  1,5   y 0 17 13 c) x  2007  y  2008 0 Chú ý 1: Bài tốn cho dạng A  B 0 kết không thay đổi * Cách giải: A  B 0 (1) A 0   A  B 0 B 0 (2)  A 0  B 0 Từ (1) (2)  A  B 0   Chú ý 2: Do tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán Bài 5.3: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: a) x  y   y  0 b) x  y 2006 c)  x  y   2007 y  0 d) 2007  y4 2008 x  y   2007 y  3 0 2008 0 Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A m (1) Đánh giá: B m (2)  A m  B m Từ (1) (2) ta có: A  B   Bài 5.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x   x  3   y  2 c) y    10  x  6 12 b) x    x  y   2 d) x    x  y   Bài 5.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x   x   2 y  5  12 c) 3x   3x    y  3  16 b) x   x   y   y  10 d) x  y    y   Bài 5.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 a)  x  y  2   y   y  c) x  2007   y  2008  20 b)  x  2   y   30 d) x  y    y   6 Dạng 6: Sử dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối (|A| ≥ 0) * Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối, (|A| ≥ 0), vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức Bài 6.1 : Tìm giá trị lớn biểu thức: Chuyên đề: Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán a) A 0,5  x  3,5 d) D  x 3 3x  3x 2 b) B  1,4  x  c) C  e) E 5,5  x  1,5 f) F  10,2  3x  14 4x  Bài 6.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A 1,7  3,4  x b) B  x  2,8  3,5 c) C 3,7  4,3  x d) D  3x  8,4  14,2 e) E  x   y  7,5  17,5 f) F  2,5  x  5,8 Bài 6.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: 15 1 a) A 5  3x   21 b) B   815 x  21  Bài 6.4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 8 a) A 5  x   24 14 b) B   y   35 Bài 6.5: Tìm x, biết: a) x   x   x  4 x b) x  1,1  x  1,2  x  1,3  x  1,4 5 x Kết thực hiện: + Sau áp dụng chuyên đề “Ứng dụng giá trị tuyệt đối giải toán” vào giảng dạy bồi dưỡng học sinh, bước đầu đạt số kết khả quan áp dụng thực tế trường THCS Đại Tự năm học 2017-2018 + Điều tra kết áp dụng chuyên đề 20 HS lớp 7A 8A thu kết sau: *Trước áp dụng chuyên đề: Lớp Số HS Điểm Điểm Điểm Điểm 9-10 7,5=>8,5 =>7 => 5,5 SL % SL % SL % SL % Điểm Điểm 3,5 => 8,5 =>7 => 5,5 SL 7A 10 8A 10 % SL % SL % SL % Điểm Điểm 3,5 =>