SKKN ứng dụng định lý vi et trong giải toán

Vận dụng kiến thức Toỏn học để giải thớch cỏc hiện tượng trong tự nhiờn và vận dụng vào thực tế cuộc sống Muốn vậy việc giảng dạy Toỏn học phải hướng tới một mục đớch lớn hơn, thụng qua

ỨNG DỤNG ĐỊNH Lí VI-ET TRONG GIẢI TOÁN

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Toỏn học là một bộ mụn khoa học tự nhiờn nghiờn cứu, cú tớnh thực tế cao, ảnh hưởng lớn đến đời sống con người Cỏc cụng trỡnh nghiờn cứu khoa học đều cho rằng: Tất cả cỏc mụn khoa học khỏc đều liờn quan mật thiết với Toỏn học Vận dụng kiến thức Toỏn học để giải thớch cỏc hiện tượng trong tự nhiờn và vận dụng vào thực tế cuộc sống Muốn vậy việc giảng dạy Toỏn học phải hướng tới một mục đớch lớn hơn, thụng qua việc dạy học Toỏn mà học sinh phỏt triển trớ tuệ, hỡnh thành phẩm chất tư duy cần thiết Đổi mới phơng pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự phát triển của giáo dục Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng nổ thông tin, giáo dục đã và đang thay đổi

để phù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, sự phát triển của xã hội Nội dung tri thức khoa học cùng với sự đồ sộ về lợng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới phơng pháp dạy học Mục tiêu giáo dục thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi mới ph ơng pháp dạy học một cách phù hợp Để giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phơng pháp dạy học, đã có nhiều giáo s tiến sỹ, các nhà khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới phơng pháp dạy học

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dới sự tổ chức hớng dẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có

ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, trong đó

có đổi mới dạy học môn Toán Trong trờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giải toán là quá trình rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp tìm tòi

và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng

cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện đợc những kĩ năng cơ bản trong môn toán Từ đó rút ra

đợc nhiều phơng pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện

Phương trỡnh bậc hai và Định lý Vi-et học sinh được học trong chương trỡnh Đại số

9 và đặc biệt biệt Định lớ Vi-et cú ứng dụng rất phong phỳ trong việc giải cỏc bài toỏn bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trỡnh bậc hai, tỡm hai số biết tổng và tớch của chỳng, lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm cho trước, tỡm mối liờn hệ giữa cỏc nghiệm của phương trỡnh bậc hai….Tuy nhiờn, trong sỏch giỏo khoa chỉ trỡnh bày một số ứng dụng cơ bản với thời lượng chưa nhiều

Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-et và phương trình bậc hai phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập

Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về phương trình bậc hai trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình

Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài toán có ứng dụng Định lí Vi-et khá phổ biến

Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải Toán”

* Đề tài “Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải toán” đã có nhiều người nghiên cứu –

là những giáo viên giảng dạy lớp 9 tại các trường THCS Các thầy cô giáo tập trung vào việc nghiên cứu các dạng bài tập, các dạng toán cơ bản liên quan đến Định lý Vi-et, các dạng bài tập tổng hợp có liên quan đến Định lý Vi-et Điểm mới trong đề tài này, tôi tập trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et Đối với mỗi dạng toán đưa

ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng Trong

đề tài này tôi đưa ra đầy đủ các dạng toán từ dễ đến khó, các bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và vận dụng

1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài thực hiện tại trường đang giảng dạy

- Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí Vi-et trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS

2 PHẦN NỘI DUNG

2.1 Thực trạng việc dạy và học Toán:

a) Đối với giáo viên:

- Giáo viên đạt trình độ chuyên môn, có tinh thần trách nhiệm cao trong giảng dạy Luôn

có ý thức học tập, bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, năng lực sư phạm

- Luôn được ban giám hiệu Nhà trường, Tổ chuyên môn quan tâm chỉ bảo trong công tác Được đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ trong giảng dạy

b) Đối với học sinh:

- Học sinh đa phần chăm ngoan, có ý thức trong học tập, có tinh thần học hỏi, xây dựng bài, lĩnh hội kiến thức tốt

- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về việc học tập còn hạn chế Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều

- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm

- Nội dung Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai rất đa dạng và tương đối khó với học sinh Khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của một số học sinh còn chậm Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan như: phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại số…Trong khi đó, rất nhiều học sinh không nắm vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập

là rất khó khăn

c) Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài:

Trước khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh Kết quả đạt được như sau:

0 - < 2 2 - < 5 5 - < 6,5 6,5 - < 8 8 - 10

* Kết quả:

- Cơ bản học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-ét và những ứng dụng của Định lý

- Bên cạnh đó còn nhều học sinh chưa vận dụng được nội dung của Định lý vào giải toán Các dạng bài tập liên quan đến phương trình có chứa tham số: lập phương trình bậc hai, biến đổi các biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai, tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số còn chậm

- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập của học sinh còn hạn chế, nhiều em chưa biết cách biến đổi các biểu thức chứa nghiệm, kĩ năng giải phương trình, biến đổi biểu thức đại số, vận dụng các hằng đẳng thức còn chậm Đặc biệt là dạng toán tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số nhiều em chưa nắm được cách giải

2.2 Các giải pháp

2.2.1 Cung cấp kiến thức cơ bản

a) Hệ thức Vi-ét:

Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì:















a c x

x

a b x

x

2 1

2 1

b) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c

a

- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = -c

a

c) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu có hai số u và v thoã mãn: 









P v u

S v u

. thì u và v là hai nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0

(Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0)

- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh

- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm

- Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại cho các em một số dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et

2.2.2 Trang bị đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et cho các đối tượng học sinh.

I Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1

Phương pháp: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c

Ví dụ Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 3 2 8 11 0





x b) 2 2 5 3 0





x

Giải:

a) Ta có: abc 3  8  (  11 )  0 nên phương trình có một nghiệm là x1  1, nghiệm còn lại là 2   113

a

c x

b) Ta có: a bc 2  5  3  0 nên phương trình có một nghiệm là x1   1,

nghiệm còn lại là 2  23

a

c x

Bài tập Tìm nghiệm của phương trình:

a) 5x2  14x 9  0 b) 2 2 ( 5 ) 3 0









 m x m x

2 Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Phương pháp: - Thay giá trị 1 nghiệm vào phương trình để tìm hệ số

- Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tích hai nghiệm) để tính nghiệm còn lại

Ví dụ 1:

a) Phương trình 2 2 5 0





 px

x có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình

b) Phương trình 2 5 0





 x q

x có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

Giải

a) Thay x1  2 vào phương trình ta được 4  4p 5  0

4

9 0

4

Phương trình đã cho trở thành 5 0

2

9

2  x 

x

Theo Vi-et: 5 5 25

1 2 2

1    

x x x

2

9 2

9 2

9

1 2

2

1 x   x   x   

b) Thay x1  5 vào phương trình ta được 5 2 5 5 0





50





 q

Phương trình đã cho trở thành 2 5 50 0





x

1 2 2

1      

x x x

x

Ví dụ 2:

a) Phương trình 2 7 0





 x q

x biết hiệu hai nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của phương trình

b) Phương trình 2 50 0





 qx

x có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó

Phương pháp: - Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức

của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó

- Tìm hệ số chưa biết

Giải

a) Theo đề bài ta có x1 x2  11

Theo định lí Vi-et: x1x2  7



























2 9 7

11

2 1 2

1

2

1

x x x

x

x

x

=> q = x1x2  9 (  2 )   18

b) Ta có x 1 2x2























5

5 25

50 2

50

2

2 2

2 2

2 2

x x

x x

x

Với x2  5 thì x1  10, qx1 x2= 10 + 5 = 15

Với x2   5 thì x1   10, qx1 x2= (- 10) + (- 5) = - 15

Bài tập : Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) x2 mx 35 0  biết một nghiệm bằng – 5

b) 2x2  (m 4)x m  0 biết một nghiệm bằng – 3

c) mx2  2(m 2)x m  3 0  biết một nghiệm bằng 3

II Lập phương trình bậc hai

1 Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó

Phương pháp: - Từ 2 nghiệm đã cho tính tổng và tích của chúng

- Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích

Ví dụ 1 Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Giải: Ta có 



















6 2 3

5 2 3

2 1 2 1

x x P

x x S

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  Sx P  0

6 5

2





Ví dụ 2 Cho

2

1 3

1





3 1

1

2





x

Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2

Giải

Ta có:

2

1 3

1







 3 1

1

2

x

1 3 3







1

Nên:



























2 1 2

1 3 2 1 3

3 2

1 3 2

1 3

2 1

2 1

x x

x x

Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x2 - 3x + 21 = 0

Hay 2x2 - 2 3x + 1 = 0

Bài tập: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

c) 1  2 và 1  2 d) 2  3 và 21 3



2 Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm thỏa mãn biểu thức của 2 nghiệm của phương trình cho trước

Ví dụ 1 Cho phương trình 2 3 2 0





x có hai nghiệm x1; x2

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

2 1 2 1 2 1

1

;

1

x x y x x

- Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:

Cách 1: - Tính trực tiếp y1; y2 bằng cách: Tìm nghiệm x1; x2của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính y1; y2

Phương trình x2  3x 2  0 có abc 1  (  3 )  2  0 nên phương trình có hai nghiệm

là x1  1 ;x2  2

1

1 2 1

2 1 2 1

2

1          

x x y x

x y

- Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1)

2

9 2

3 3

2

9 2

3 3

2

1

2 1

















y

y

P

y y

S

Phương trình cần lập có dạng: 2 0





 Sy P

2

9 2

9

2  y 

y

hay 2 2 9 9 0





 y y

Cách 2: Không tính y1; y2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S y1 y2 ;Py1y2 sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là y1; y2

Theo Định lí Vi-et ta có:

2

9 2

3 3 )

( 1 1 ) ( 1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2































x x

x x x x x x x x x

x x x y y

S

2

9 2

1 1 1 2 1 1 1 )

1 ).(

1

(

2 1 2

1 2

1 1

2           

x x x

x x

x x

x

Phương trình cần lập có dạng: 2 0





 Sy P

2

9 2

9

2  y 

y

hay 2 2 9 9 0





 y y

Ví dụ 2: Cho phương trình 2 5 1 0





x có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc

2 2

4 1

1 x ;y x

Giải: Theo Định lý Vi-et ta có: 













1

5

2 1 2 1

x x x x





























1 ) (

727 2

2 2

4 2 1 4 4 2 1

2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 4 2 1

x x x x y y

x x x

x x

x x

x x

x x x y y

Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Bài tập:

Bài 1 Cho phương trình 2 2 8 0





x có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 3 ;y2 x2  3

Bài 2 Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 2 2



mx

x

Bài 3 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2thỏa mãn: 











26 2

3 3 2 1

x x x x

III Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: u.v P

thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

(Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P  0)

Ví dụ 1 Tìm hai số u và v biết u + v = - 3, uv = - 4

Giải:

Hai số u và v là nghiệm của phương trình x2  3x 4  0

Giải phương trình trên ta được x1 1 ;x2   4

Vậy nếu u = 1 thì v = - 4; nếu u = - 4 thì v = 1

Ví dụ 2 Tìm hai số u và v biết S = u + v = 3, P = uv = 6

Giải:

Hai số u và v là nghiệm của phương trình x2  3x 6  0

0 15 24 9 6 1 4





Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn đề bài

Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

0 15 24 9 6 4 3

2  P      

S nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn yêu cầu đề bài

mà chưa cần lập phương trình

Bài tập.

Bài 1 Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20

Bài 2 Tìm hai số x, y biết:

a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66

Bài 3, Tìm hai số x, y biết: x2 y2  25;xy 12

IV Dạng toán về biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

Biến đổi một số biểu thức thường gặp

 

2 1

1

1 1

2 2

2 3 4 2

2 2 1

2 1

2 2 1 2 2

2 1

2 2

2 1 2 2

2 1

2 1

2 1 2 1

2 2 1

2 2 1

2 2 1

2 2

2 1

2 2 2

2 1

4 2

4 1

2 1 2 1

3 2 1

3 2

3 1

2 1

2 2 1

2 2 1

2 1

2 2 1

2 2

2 1

x x

x x x

x x

x

x x x x

x x

x x x x

x x x

x x

x x x x

x x x

x x x x x

x x x

x x x

x x

x

x x x

x x x





























































Chú ý: Mọi biểu thức đều được biến đổi xuất hiện x 1 + x 2 và x 1 x 2

1 Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm

Phương pháp: - Không giải phương trình bậc hai, ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng

tổng và tích các nghiệm

- Vận dụng Định lý Vi-et để tính giá trị của biểu thức

Ví dụ: Cho phương trình x2  8x 15 0  có hai nghiệm x x1 ; 2 hãy tính

a) 2 2

1 2

1 2

x  x

Giải

Theo Định lý Vi-et ta có: x1 x2 b 8;x x1 2 c 15

a) x12 x22  (x1 x2 )2  2x x1 2  82  2.15 64 30 34   

1 2 1 2

15



Bài tập

Bài 1 Cho phương trình 2 5 3 0





x có hai nghiệm x x1 ; 2 hãy tính a) 2 2

1 2

2

2 1

1 1

x

x 

Bài 2 Cho phương trình x2  4x 7 có hai nghiệm x x1 ; 2 hãy tính

a) 3 3

1 2

2

1 x

x 

2 Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước

Phương pháp: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2