SKKN một số giải pháp giúp học sinh tránh những sai lầm trong việc ứng dụng định lí vi ét để giải toán trong chương trình toán 9

MỤC LỤC Nội dung MỞ ĐẦU Trang - Lí chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu NỘII DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề 2.2 Thực trạng vấn đề Nguyên nhân dẫn đến thực trạng 2.3 Gải pháp tổ chức thực 2.3 Kiểm nghiệm KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị 2 3 15 17 17 17 MỞ ĐẦU - Lí chọn đề tài: Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không đơn truyền thụ kiến thức cho học sinh mà phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thơng qua luyện tập, thực hành thí nghiệm Đối với mơn tốn, việc giải tốn xem hình thức vận dụng kiến thức học vào thực tế, vào trường hợp cụ thể giải toán mơn tốn khơng giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ mà cịn hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự tìm kiến thức Tuy nhiên, để đạt hiệu trên, người giáo viên phải biết tổ chức cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học tích cực Trong năm trở lại đây, đề thi học sinh giỏi toán đề thi vào lớp 10 PTTH chuyên, đề thi tốn giải hệ phương trình chiếm tỉ lệ không nhỏ định lý Viét đảo công cụ hữu hiệu để giải nhiều hệ phương trình Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa chưa đề nhiều, lượng tập chưa đa dạng làm cho học sinh gặp khơng khó khăn việc tìm cách giải cho hiệu Vì giáo viên nhiều năm dạy ơn luyện đội tuyến tốn, thấy tác dụng tích cực việc ứng dụng hệ thức vi –ét vào giải hệ phương trình nên tơi định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi-ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số 9” Đồng thời, qua giúp thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học tốn, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ giải tập, nghiên cứu phát triển tốn, tìm cách giải khác, Nhằm giúp nâng cao hiệu việc dạy học sau - Mục đích nghiên cứu Nâng cao khả giải tốn, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh Từ góp phần nâng cao chất lượng giáo dục đại trà phát nguồn học sinh giỏi cho lớp - Đối tượng nghiên cứu: Phát triển lực tư cho đối tượng học sinh lớp thông qua số toán vận dụng hệ thức Vi-ét đảo vào giải hệ phương trình - Phương pháp nghiên cứu: Tham khảo thu thập tài liệu Phân tích tổng hợp kinh nghiệm Kiểm tra kết chất lượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục giai đoạn phải đào tạo người có trí tuệ phát triển, giàu tính tư sáng tạo Để đạt mục tiêu phải áp dụng phương pháp dạy học bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề , khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại vào trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo học sinh, phải phù hợp với đặc điểm môn học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Bài tập phương trình hệ phương trình đa dạng phong phú, để giải học sinh cần có kỹ tốt, biết nhiều phương pháp cách vận dụng Tạo tảng kiến thức để học sinh lấy làm tiền đề tiếp tục hồn thiện học sang THPT Trang bị cho học sinh kỹ vận dụng hệ thức Vi-ét đảo để giải hệ phương trình, giải đề thi vào lớp 10 có nội dung liên quan đến hệ thức Vi-ét đảo 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Về phía giáo viên: Hầu hết đào tạo qui, phân công giảng dạy chuyên môn, nhiệt tình cơng việc Tuy đại đa số giáo viên dạy theo chương trình sách giáo khoa, việc tổng hợp dạng phương pháp làm thành hệ thống để học sinh dễ học, dễ nhớ giáo viên làm Đối với đại trà việc giảng dạy theo chương trình sách giáo khoa coi đạt yêu cầu cơng việc bồi dưỡng học sinh giỏi việc trang bị kiến thức không theo dạng phương pháp làm kèm theo chưa đảm bảo yêu cầu Về phía học sinh: Đa số học sinh ngoan ngỗn, có ý thức học, có ý thức phấn đấu vươn lên Tuy nhiên lực có hạn nên kiến thức sức tiếp thu chậm, chưa thấy hết tính đặc trưng, ưu việt phương pháp giải Đổi lại học sinh có tảng kiến thức tốt hồn tồn nắm vững phương pháp tạo tiền đề vững để học tốn trường THPT Trong q trình dạy tốn trường THCS nhận thấy kiến thức kỹ vận dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình giải hệ phương trình tảng chương trình tốn THCS hồn thiện chương trình tốn THPT Nội dung đề tài nghiên cứu triển khai nhiều năm giảng dạy toán 9, lần áp dụng xong tiến hành rút kinh nghiệm, có chỉnh sửa bổ xung thêm tính Chính đề tài “Phát triển tư cho học sinh thông qua việc ứng dụng hệ thức vi- ét đảo vào giải hệ phương trình – Chương trình đại số ” coi tài liệu để học sinh giáo viên tham khảo cơng tác giảng dạy mơn tốn khối 9, bồi dưỡng thi vào 10 Giới hạn đề tại: Hệ phương trình chuyên đề hay cần thiết cho học sinh THCS THPT giúp học sinh phát triển tư tốn học kỹ tính tốn, biến đổi, kỹ giải phương trình đặc biệt kỹ đặt ẩn phụ, áp dụng hệ thức Viét … vào giải hệ phương trình, chuyên đề tương đối rộng cấu trúc đề tài không cho phép nên nội dung đề tài đưa phương pháp giải hệ phương trình dạng đối xứng loại I, cịn dạng hệ phương trình đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp loại I, loại II… trình bày đề tài sau 2.3 Các giải pháp tổ chức thực A Kiến thức cần nhớ Hệ Thức Vi –ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ¹ 0) (*) b b Có hai nghiệm: x ;x x x Suy ra: Vậy đặt: 4a2 2a 2b a ( b)( b) xx 2a bb b 2a a b2 4a2 - Tổng nghiệm S: S = x1 - Tích nghiệm P: P= xx 4ac c 4a a x2 c b a a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a,b,c Đây nội dung Định lí Vi-et, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn Hệ Thức Vi-ét đảo : Cho S x x – 4P x1 ; x2 nghiệm phương trình có 12 với S2 P x1 x2 dạng: x Sx P Hệ phương trình đối xứng loại 1: Dạng tổng quát f (x, y) g(x, y) f (x, y) f (y, x) gọi hệ đối xứng loại I g(x, y) g(y, x) Phương pháp giải chung Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S 4P Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P dùng Viét đảo tìm x, y nghiệm phương trình: X2 – SX + P = (định lý Viét đảo) Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2=S2−2P; x3 + y3=S3−3SP… ii) Đôi ta phải đặt ẩn phụ: ii) u u ( x ) S u v v v(x) P uv Có hệ phương trình trở thành hệ đối xứng loại I sau ta đặt ẩn phụ Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S 4P iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v II Bài tập: Loại 1: Biến đổi đặt x + y = S; xy = P x y xy 11 Bài 1: Giải hệ phương trình sau: x y xy2 Hướng dẫn: 30 Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I Sau gợi ý cho hs biết cách biến đổi để đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y Cụ thể ta làm sau: Ta có SP11 x y xy 11 y xy 30 x x y xy 11 đặt x + y = S xy = P xy ( x y) 30 suy S = 6, P = S = 5, P = SP 30 * Với S = 6, P = khí x, y nghiệm pt X2 – 6X + = Giải ta (x;y) = (1;5), (5;1) nhiệm hpt * Với S = 5, P = khí x, y nghiệm pt X2 – 5X + = Giải ta (x;y) = (2;3), (3;2) nhiệm hpt Bài 2: Giải hệ phương trình sau: 5( x y ) xy 19 xy x y 35 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I 5S 2P 19 P 12 ( Thoả mãn) đặt x + y = S xy = P ta có 3PS 35 S x , y nghiệm hệ phương trình bậc hai X X 12 X 3, X Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-3;4), (4;-3) x Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 10 y x2 y2 58 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y x y 10 x y 10 đặt x + y = S xy = P ta Cụ thể ta làm sau: x y 2 58 (x y) S 10 xy 58 có S 2 P 58 Suy P = 21 * Với S = 10, P = 21 khí x, y nghiệm pt X2 – 10X + 21 = Giải ta (x;y) = (7;3), (3;7) nhiệm hpt Bài 4: Giải hệ phương trình sau: y 25 x xy 12 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I Sau gợi ý cho hs biết cách biến đổi để đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y Cụ thể ta làm sau: x y 2 25( x y ) xy 12 xy 12 đặt x + y = S xy = P ta có S P 25 xy 25 Suy S = S = -7 P 12 * Với S = 7, P = 12 khí x, y nghiệm pt X2 – 7X + 12 = Giải ta (x;y) = (4;3), (3;4) nhiệm hpt * Với S = -7, P = 12 khí x, y nghiệm pt X2 + 7X + 12 = Giải ta (x;y) = (-4;-3), (-3;-4) nhiệm hpt Bài 5: Giải hệ phương trình sau: x y xy x y xy8 Hướng dẫn: Trước hết cho hs nhận dang dạng hệ phương trình đối xứng loại I đặt x + y = S xy = P Tiếp theo áp dụng hệ thức Viét đảo để tìm nghiệm x, y Cụ thể ta làm sau: x x xy = P ta có y y ) xy xy 2x y y S y ) 2 xy x y (x P S S 2(S đặt x + y = S P 7)S8 S P P S S 22 P S (x * Với S = 3; P = khí x, y nghiệm pt: X2 – 3X + = Giải ta (x,y) = (1;2), (2;1) nhiệm hpt * Với S = -2; P = -3 khí x, y nghiệm pt: X2 + 2X - = Giải ta (x,y) = (1;-3), (-3;1) nhiệm hpt Bài 6: Giải hệ phương trình sau: x xy y x y Hướng dẫn: Ta biến đổi hệ phương trình trở thành xy xy x y x y x , y nghiệm hệ phương trình bậc hai x y X25X60 X12,X23 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (2;3), (3; 2) Bài 7: Giải hệ phương trình sau: x y x y3 26 Hướng dẫn: Dùng đẳng thức ta biến đổi hệ phương trình trở thành x y S đặt x + y = S xy = P ta có (x y) Þ xy ( x y) 26 3P.2 26 x , y nghiệm hệ phương trình bậc hai S P X22X30 X1 1,X23 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (-1;3), (3; -1) Bài 8: Giải hệ phương trình sau: x y xy x y xy 7 Hướng dẫn: S S 12 S P S13P12 S P7 S P Ta thấy (S1 = 3, P1 = 2) thoả mãn x , y nghiệm hệ phương trình bậc hai X X X 1, X 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (2;1), (1; 2) Bài 9: Giải hệ phương trình sau: x2 y2 3x y 3 9x y x y Hướng dẫn: S 2 xy 3( x y) x y 2P 3S S 2P 3S S ( x y ) ( x y xy ) 9( x y) S(S 2 (I) 3P) 9S S 23 P (II) S 2P 3S Giải hệ (I) Þ (S = 0, P = 0) Þ x = y = 3S9P S2 P Giải hệ (II) S P 3S S 3P 3S9P 9S180 S S1 = Þ P1 = Þ (x; y) = (0; 3); (3; 0) S2=6ÞP2=9 Þ (3; 3) Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (0; 3); (3; 0); (3; 3), (0; 0) x y 10 Bài 10: Giải hệ phương trình sau: x y y x Hướng dẫn: Điều kiện x ¹ 0, y ¹ x y 10 x y 10 Hệ x x y 10 200 Û 2 y xy (x y) 2xy xy xy 10 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm , 20 ; 20 33 , 10 x y xy 11 Bài 11: Giải hệ phương trình sau: x y 3( x y) 28 (ĐH Quốc gia Hà nội) Hướng dẫn: x y xy 11 (x y) 2 xy 3( x y ) 28 SP11 S 3S 2P 28 P11S S 5S500 S15;P16 S 10; P 21 +) Với S1 = 5; P1 = Þ Nghiệm (2, 3); (3, 2) +) Với S2 = -10; P1 = 21 Þ Nghiệm (-3, -7); (-7, -3) Kết luận: Hệ cho có nghiệm (2, 3); (3, 2); (-3, -7); (-7, -3) Bài 12: Giải hệ phương trình y xy x y3 x3 30 (ĐHSP1 Hà Nội) 35 Hướng dẫn: Đặt S x y , P xy , điều kiện S 4P Hệ phương trình trở thành: 30 P SP 30 S(S P) 35 S P S 90 S S x y xy x y x y 35 S Bài 13: Giải hệ phương trình x y xy y x y2 x4 (ĐH Sư phạm Vinh) 21 Hướng dẫn: x y xy x2 y2 x2y2 21 Hệ có nghiệm (x; y) (1;2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1) Bài 14: Giải hệ phương trình x y (Lam Sơn Thanh Hóa) x y xy Hướng dẫn: Ta biến đổi y 3 3xy ( x y) (x y) x y xy 8S 2x 0, y x x y xy 3PS S Đặt x + y = S, xy = P Hệ trở thành: S P Bài 15: Giải hệ phương trình x y2 x4 2P 0x 2; y x y y4 13 Hướng dẫn: 2 x2 y2 22 x y S x y x x y y 13 x2 y x y2 13 x y2 P x2, y2 nghiệm PT bậc 2: t2 – 5t + = t = 1, t = x y2 (1; 2), ( 1; 2), (1; 2), ( 1; 2) x 2; 2;1),(2; , y2 Bài 16: Giải hệ phương trình 2;1 , x x y x y y 1 x2 y2 Hướng dẫn: Điều kiện x ¹ 0, y ¹ Đặt x u;y v x x x y y u v x y y x ta có u v v2 u2 uv 13 y2 x 1, y TH1: u = 2, v = nghiệm 5, y TH2: u = 3, v = nghiệm x Vậy hpt có nghiệm (x;y) là: (1; 5),(1; ), ( ;1), ( 5;1) 2 Loại Dùng ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng loại Bài 16: Giải hệ phương trình x y x y 1 x y x 2 y Hướng dẫn: Bài đặt x + y = S; xy = P cách giải khó so với cách sau Điều kiện x ¹ 0, y ¹ x y x 1 x y u;y y u v x1 x v ta có y x Đặt u2 v2 u v 13 uv y2 TH1: u = 2, v = nghiệm x 1, y 10 5, y TH2: u = 3, v = nghiệm x Vậy hpt có nghiệm (x;y) là: (1; ),(1;3 ), (3 2 ;1), ( 5;1) 2 Bài 17: Giải hệ phương trình xy ( x y) x y3 Hướng dẫn: Đặt t y , S x t , P xt , điều kiện S 4P Hệ phương trình trở thành: xt ( x t ) x S x P t x y Bài 18: Giải phương trình x t SP S 3SP x Hướng dẫn: Đặt: x u x v Vậy ta có hệ: u v Û u v v (u v ) (u v ) u, v hai nghiệm phương trình: X - X Þ u 9- 12 x Þ 3uv v 19 u.v = 36 19 36 9 12 Û u u u 12 9- 53 x 12 Vậy phương trình có hai nghiệm: {x} = 12 ; 12 Bài 19: Giải phương trình xy x y 16 x y 2 x y 33 Hướng dẫn: 11 Ta có x y2 2x 4y 33 12 x y 22 y 38 nên đặt u x 1, v y2 u.v x y xy x y Do xy x y xy x y x Khi hệ phương trình trở thành: u v 16 uv u v 21 uv u v uv u v 21 uv u v2 u v 38 2uv 38 u v u v 80 u v 10 u v 31 u v u.v 13 TH1: u v 10, uv 31 TH2: u v 13 uv loại u 3, v u 4 3, v x 3 3, y 3, y 3 x 2 ïì x + y + z = Bài 20: Cho x, y, z nghiệm hệ phương trình í ï xy + yz + zx = ï Chứng minh - £ x,y,z £ ỵ ì x2 + y2 = Hướng dẫn: ï Hệ phương trình Û z2 ïì (x + y) - 2xy = - í Ûí ï xy + z(x + y) = ï xy + z(x + y) = ï ï ỵ z2 2 ì ỵ (x + y)2 + 2z(x + y) + (z2 - 16)=0 ïì (x + y) - 2[4 - z(x + y)] = - z Û ï ï xy + z(x + y) = ï xy + z(x + y) = Ûí í ï ï î î ìx+y=4-z Û ìx+y=-4-z ï ï xy = (z - 2) í ï ï Úí (x + y) ³ 4xy Û ï ỵ Do x, y, z nghiệm hệ nên: ï xy = (z + 2) ỵ é ê ê (4 - 2 z) ³ 4(z - 2) (- - z) ê ³ 4(z + 2) Û- 3£ z £ ë 8 Đổi vai trò x, y, z ta - £ x,y,z £ II Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có) ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S, P S 4P iii) Bước 3: Thay x, y S, P vào hệ phương trình Giải hệ tìm S, P theo m từ điều kiện (*) tìm m 12 Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) S = u + v, P = uv nhớ tìm xác điều kiện u, v x y x3 y3 m Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: Hướng dẫn: Trước hết ta biến đổi x y x y x3 ( x y ) 3xy ( x y ) m S S y3 m Đặt -y= u ; S = x + u, P = xu ta có: S 3PS m m Viét đảo x u nghiệm phương trình P theo định lí t2 - 2t + m = m m Phương trình có nghiệm' Vậy với m hệ phương trình có nghiệm Bài 22: Cho hệ phương trình x y m x y a Giải hpt với m = 26 b Xác định m để hpt vô nghiệm c Xác định m để hpt có nghiệm Hướng dẫn: Đây câu đề thi HSG cấp tỉnh yêu cầu học sinh cần trang bị tất kiến thức kỹ giải hệ phương trình 2 a Khi m = hệ phương trình trở thành x y 26 x y Đặt S = x + y, P = xy ta có: S2 (x y)2 x y 2xy 26 S 2P 26 S P Vậy x, y nghiệm pt X2-6X+5=0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ;y)=(-5;-1) ;(-1 ;-5) b Ta có x y m( x y)2 2xy m x y 6x y S Đặt S = x + y, P = xy ta có: 2P m S P S Vậy x, y nghiệm pt t2 - 6t + 36 m 36 m =0 Phương trình vơ nghiệm ' < 0m < 36 Vậy hệ phương trình vơ nghiêm m < 36 c Phương trình có nghiệm ' = m = 36 Vậy hệ phương trình vô nghiêm m = 36 13 x Bài 23: Tìm điều kiện m để hệ phương trình x- Đặt u = ³ 0, v = y - ³ hệ trở thành: ì u+v=4 ì ïu+v=4 ï í Û ï u + v = 3m - ï ï ï ï ï Suy u, v nghiệm (không âm) X2 - 4X + Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm khơng âm ï / ³ Û í S³0Û ï ỵï P³ ì 3m - 13 ï ï í ï 21- ïỵ ³0 Û 3m ³0 21- 3m í ï uv = ỵ D có nghiệm x y 3m Hướng dẫn: ì y 21- 3m = (*) ỵ 13 £ m £ Bài 24: (trích đề thi ĐH khối D – 2004) Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau xy có nghiệm thực: 3m x x y y Hướng dẫn: Điều kiện x , y ta có: ì x+ y=1 Û ïì x + y = í ( x)3 + ( y)3 = 1- 3m ï í ï x x + y y = 1- 3m ï ỵï Đặt S = ỵï 4P Hệ phương trình trở thành: Û ïì S = íP = m 3SP = 1- 3m ï x + y ³ 0, P = xy ³ ìS = ï í ïSï 0,S2³ ï ỵ ỵ Từ điều kiện S ³ 0, P ³ 0, S2 ³ 4P ta có £ m £ Bài 25: Tìm điều kiện m để hệ phương trình Hướng dẫn: ï ì í x + y + xy = m 2 ï x y + xy = 3m ï ï x y xy m y xy 3m x có nghiệm thực ì Û (x + y) + xy = m í ï xy(x + y) = 3m - ï ỵ ỵ ï Đặt S = x + y, P = xy, S ³ 4P Hệ ìS + P = m phương trình trở thành: í ï ï ỵ Suy S P nghiệm phương trình Þ ïì S = íP = m - ï ï ỵ ì SP = 3m - t2 - mt + 3m - = ïS=m-3 Ú íP = ï ï ỵ 14 é2 Từ điều kiện ta suy hệ có nghiệm ê (m - 3) ê ë Bài 26: Tìm điều kiện m để hệ phương trình ï Û ïì x + y + 4x + 4y = 10 ì í í ï ỵ ï ỵ ï xy(x + 4)(y + 4) = m ï 4(u + v) = m - ï uv - (x + 4x)(y Û ïì S=10 í P = m + 24 16 ï ïì u + v = 10 í (x2 + 4x) + (y2 + 4y) = 10 2 + 4y) = m 0, v = (y + 2)2 ³ Hệ phương trình trở thành: Đặt u = (x + 2)2 ³ ï (S = u + v, P = uv) ï ỵ ïì S2 ³ 4P Điều kiện ïí S ³ ï x xy ( x 4)( y 4) m Hướng dẫn: Û m £ 21 Ú m ³ + 12 ³ y x y 10 có nghiệm thực ³ 4(m - 3) ê Û ỵ Û - 24 £ m £ P³ ï ï ỵï ïì Bài 27: Tìm m để hệ phương trình x2 + xy + y2 = m + có nghiệm thực í 2x + xy + 2y = m ï ï ỵ Hướng dẫn: Hệ có nghiệm suy x = y, hệ trở thành: é ì Ûí ì ï í ï x + 4x = m Û ïì (x + y)2 - xy = í 2(x + y) + xy = - ï x+y=0 ï xy = - ï ì Úí ỵ ï î + m = 21: x + xy + y = 27 2x + xy + 2y = 21 ì Û í ì Úí ïx= ï x+ y =- ï xy = ì ï ê ê m=-3 m = 21 ë ï ì ỵ Ûí ù ù ù ị ợ 2(x + y) + xy = - ỵ ï ỵ + m = – 3: ï x2 + xy + y2 = ï 3x - = m ï x + 4x = 3x - ï ì ï 3x = m + ïx=- ïy=- ì ïỵ ïy= ïỵ ì Úí ïï x = - (loại) ïy=-1 ï ỵ ï (x + y) - xy = 27 Û í 2(x + y) + xy = 21 ï ï ï ỵ ỵ ïì x + y = - Ûí Ú ïì x + y = í ï xy = 37 ï ỵ Bài 29: Tìm m để hệ phương trình: Û ïì x = (nhận) í ï xy = ïy=3 ỵ ỵ ï Vậy m = 21 ï ì ï x + xy + y = m + í ï x2y + xy2 = m ïỵ có nghiệm thực x > 0, y > Hướng dẫn: 15 x + xy + y = m + ïì í 2 ï x y + xy = m ï ì (x + y) + xy = m + ï Û ïì x + y = Ûí í ỵ ỵ ï xy(x + y) = m ï ỵ Hệ có nghiệm thực dương Û Úí ï xy = m ï m>0 ïì ï xy = ï ỵ Û0