CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀI 14 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG MẶT PHẲNG SONG SONG I Lý thuyết * Tính khoảng cách a b (1) Cấp độ 1: đường a, b đường cao chóp => Dựng: Từ chân đường vng góc chóp, dựng đường vng góc xuống đường thẳng Ví dụ Cho hình chóp SABCD có SA vng góc với đáy Đáy hình vng cạnh a, SC tạo với đáy góc 450 a) Tính d(SA, BD) b) Tính d(SA, DI) , biết I ∈ BC BI = 2IC Giải a) Dựng: AO ⊥ BD => AO = d(SA, BD) 𝐴𝑂 ⊥ 𝐵𝐷 𝐴𝑂 ⊥ 𝑆𝐴 => AO = d(SA, BD) +) Chứng minh: +) Tính: AO = 𝑎 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa b) Dựng: AH ⊥ DI => AH = d(SA , DI) 𝐴𝐻 ⊥ 𝐷𝐼 𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐴 => SA = d(SA, DI) +) Chứng minh: +) Tính: S∆AID = AD CD = S∆AID = AH ID = 2 𝑎2 𝑎2 AH ( 𝐶𝐷2 + 𝐼𝐶 ) = AH => AH = 𝑎 10 3𝑎 = 𝑎2 𝑎2 10 (2) Cấp độ 2: B1: Tìm (P) chứa b cho (P) ⊥ a B2: (P) ⊥ a = {H} => Dựng từ H đoạn HK vng góc với b => d(a, b) = HK Ví dụ Cho hình chóp SABC có (SAB) , (SAC) vng góc với đáy, SA = a Đáy tam giác cạnh a, I trung điểm AB Tính khoảng cách d(SB, CI) ? Giải +) Dựng: SB ⊂ (SAB) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa 𝐶𝐼 ⊥ 𝑆𝐴 => (SAB) ⊥ CI = {I} 𝐶𝐼 ⊥ 𝐴𝐵 Từ IH ⊥ SB => IH = d(SB, CI) Ta có: +) Chứng minh: 𝐼𝐻 ⊥ SB 𝐼𝐻 ⊥ CI (do CI ⊥ SAB ) => IH = d(SB, CI) +) Tính: Ta có: ∆ BHI ∽ ∆ BAS => 𝐼𝐻 𝐼𝐵 𝑆𝐴 = => IH = 𝑆𝐵 𝑎 𝑎 2𝑎 Vậy d(SB, CI) = 𝐼𝐻 = (g.g) = 𝑎 𝑎 2𝑎 𝑎 𝑎 Ví dụ Cho chóp SABCD , đáy tâm O, cạnh a, SC = 𝑎 Tính khoảng cách d(AC, SD) ? Giải +) Dựng SD ⊂ (SBD) 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 => AC ⊥ (SBD) = {O} 𝐴𝐶 ⊥ 𝑆𝑂 Từ OH ⊥ SD => OH = d(AC, SD) Ta có: +) Chứng minh: tự CM +) Tính: BD = 𝑎 => OD = 𝑎 2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa Xét tam giác vng SCO có: SO2 = SC2 – OC2 = 3𝑎 2 − 𝑎2 = 𝑎2 => SO = a Xét tam giác vng SOD có: => OH = 𝑂𝐻 = 𝑆𝑂 + 𝑂𝐷 = 𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎2 𝑎 Ví dụ (Trích đề ĐH khối D năm 2014) Cho SABC đáy tam giác vuông cân A Tam giác SBC tam giác cạnh a Mặt phẳng (SBC) vng góc với đáy Tính d(SA, BC) ? Giải +) (SBC) ⊥ (ABC) = AB SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABC) +) d(SA, BC) = ? SA ⊂ (SAH) ⊥ BC 𝐵𝐶 ⊥ SH => BC ⊥ (SAH) = {H} 𝐵𝐶 ⊥ AH => HK ⊥SA => d(SA, BC) = HK Ta có: +) Xét tam giác SBC => SH = 𝑎 +) Do AH trung tuyến tam giác vuông ABC => AH = BC => AH = +) 𝐻𝐾 = => HK = 𝑆𝐻 + 𝐴𝐻 = 𝑎 3𝑎 + 𝑎2 = 13 3𝑎 𝑎 13 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa Vậy khoảng cách d(SA, BC) = HK = 𝑎 13 Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a M, N trung điểm AB, AD Giao CN DM điểm H, SH vng góc với mp (ABCD), SH = 𝑎 Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC Giải +) ∆ CND = ∆ DMA (c.g.c) => 𝐴𝐷𝑀 = 𝐷𝐶𝑁 Ta có: 𝐴𝐷𝑀 + 𝑀𝐷𝐶 = 900 => 𝐶 + 𝐷 = 900 => CH ⊥ DM => SC ∈ (SCH) ⊥ DM = {H} Ta có: HK ⊥ SC => d(DM, SC) = HK +) Tính Theo định lý Py-ta-go ta có: NC2 = ND2 + CD2 = => NC = 𝑎2 + a2 = 5𝑎 𝑎 Xét tam giác vng DNC có: HC CN = CD2 HC 𝑎 = a2 => HC = 2𝑎 Xét tam giác vng SHC có: => HK = 𝐻𝐾 = 𝐻𝐶 + 𝑆𝐻 = 4𝑎 + 3𝑎 = 19 12𝑎 2𝑎 19 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa ... Py-ta-go ta có: NC2 = ND2 + CD2 = => NC = 2 + a2 = 5