Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh qua giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng tọa độ oxy

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA GIẢI TỐN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ OXY BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÌNH HỌC PHẲNG I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam qui định giáo dục phổ thông sau : “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng lực tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” (Luật giáo dục chương II, mục 2, điều 28) Trong công đổi giáo dục Bộ giáo dục Đào tạo tiến hành theo ba hướng : + Đổi chương trình sách giáo khoa + Đổi phương pháp dạy học + Đổi cách kiểm tra đánh giá học sinh Đi đôi với đối sách giáo khoa,đổi chương trình dạy học đổi phương pháp dạy học Vấn đề đổi phương pháp dạy học để phát huy lực học sinh đòi hỏi cấp bách tiến trình đổi giáo dục Trong năm qua, thầy, giáo Tổ Tốn trường THPT Long Khánh có nhiều cố gắng việc đổi cải tiến phương pháp dạy học Tuy nhiên thầy, cô gặp vướng mắc định, vấn đề khó Trong đề thi đại học năm học gần Đặc biệt chuẩn bị cho kỳ thi : “Trung học phổ thông Quốc Gia”, tốn hình học giải tích mặt phẳng câu khó khơng học sinh mà giáo viên lúng túng Làm để dạy cho học sinh tiếp thu kiến thức cách tốt nhất, chủ động, tích cực sáng tạo, để em đạt kết cao kỳ thi ? để đồng nghiệp giải vướng mắc dạng Toán ? Bởi qua nhiều lần trao đổi đồng nghiệp học sinh, chúng tơi thấy cần thiết phải có giải pháp dạy học chủ đề nhằm nâng cao chất lượng học tập em đơn vị mà cho học sinh đồng nghiệptrong đơn vị khác Mơn hình học giải tích mặt phẳng nội dung chương trình hình học, mà học sinh học lớp 10 Để giải loại toán học sinh phải có kiến thức tổng hợp,biết vận dụng kiến thức hình học phẳng khả phán đốn , khả cảm nhận , trực quan hình học tốt Thực loại toán rèn luyện nhiều phẩm chất tư cho học sinh.Bởi tốn hình học giải tích mặt phẳng Oxy gắn với tính chất hình học phẳng tốn khó kỳ thi tuyển sinh đại học, kỳ thi chọn học sinh giỏi Bài toán hình giải tích mặt phẳng hình thành theo hai hướng : + Tham số hóa tốn hình học , chuyển “ Đại số” + Khai thác tính chất hình học phẳng từ “ Đại số hóa” Qua ba mươi năm dạy học, thấy học sinh thường làm toán dạng toán khơng đòi hỏi học sinh phải khai thác tính chất hình học phẳng, mả cần “ Đại số hóa tốn hình học ” Các em lúng túng gặp Toán mà giả thiết “ ẩn” dạng phải “ Khai thác tính chất hình học phẳng ” giải Bởi sáng kiến đề cập đến “ khai thác tính chất hình học phẳng” để giải loại toán Đây mấu chốt để giúp cho em có suy luận tìm lời giải cho loại Toán Qua để phát huy khả tư Toán học học sinh II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN: a) Phương pháp dạy học nêu vấn đề phương pháp dạy học giáo viên tạo tình có vấn đề, tổ chức để học sinh tìm tòi giải vấn đề Phương pháp dạy học nêu vấn đề thích hợp dạy học mơn Tốn Với mơn hình học phương pháp phát huy ưu điểm: - Phương pháp góp phần tích cực vào rèn luyện tư phê phán, tư sáng tạo cho học sinh - Phương pháp tạo cho học sinh có hứng thú học tập - Thông qua phương pháp học sinh tiếp thu kiến thức chủ động, sáng tạo - Phương pháp đòi hỏi giáo viên phải đầu tư nhiều thời gian công sức Bởi lực giáo viên rèn luyện phát triển b) Kiến thức hình học giải tích mặt phẳng học sinh học từ lớp 10, nhiên với đặc điểm tư em hạn chế phải tiếp thu kiến thức mới, nên yêu cầu chưa cao Chủ yếu yêu cầu em hoàn thiện kiến thức c) Khó khăn: + Học sinh yếu với mơn học “Hình học phẳng” vốn học cấp hai + Học sinh khơng có thói quen “ Khai thác tính chất hình học phẳng” để giải tốn “ hình giải tích mặt phẳng” + Số tiết luyện tập nên rèn luyện kĩ nâng cao không thực + Thực tế tập thi yêu cầu cao, đa dạng, đòi hỏi có nhiều kỉ năng, kỉ xảo học sinh phải luyện tập nhiều + Số lượng tập tham khảo không đầy đủ đồng Từ thực tế nói trên, mục đích đề tài là: + Xây dựng phương pháp tìm tòi có để giải tốn + Góp phần giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, hứng thú học tập từ vận dụng để giải tốt tập hình học phẳng oxy, đạt kết cao kỳ thi vào đại học, thi chọn học sinh giỏi Để tìm hướng cho lời giải, chất “men” để học sinh có hứng thú học Thế dựa vào đâu để tìm tòi? Theo tơi dấu hiệu phương pháp Chúng ta phải làm cho học sinh tiếp cận với dấu hiệu Để phát dấu hiệu theo - Dựa vào tính chất hình học phẳng - Dùng trực giác để từ hình vẽ tìm thấy nét đặc biệt quan hệ yếu tố điểm, đường thẳng, dùng giả thiết để kết nối mối quan hệ lại III TỔ CHỨC THỰC HIỆN: A.Một số kiến thức liên quan: I.Vectơ: ur ur Cho a = (a1; a2 ) b = (b1; b2 ) ur ur a phương b ⇔ a = tb1 b = tb2 Nếu b1 ≠ b2 ≠ ,thì: a1 a2 r r a phương b ⇔ b = b ur ur ur ur a ⊥ b ⇔ a.b = ⇔ a1.b1 + a2 b2 = ur ur cos(a; b) = a1.b1 + a2 b2 a12 + b12 a22 + b22 II Đường thẳng: Vectơ phương đường thẳng r Vectơ ur ≠ gọi vectơ phương đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ r r Nhận xét:– Nếu u VTCP ∆ ku (k ≠ 0) VTCP ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTCP Vectơ pháp tuyến đường thẳng r Vectơ nr ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng ∆ giá vng góc với ∆ r r Nhận xét: – Nếu n VTPT ∆ kn (k ≠ 0) VTPT ∆ – Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm VTPT r r r r – Nếu u VTCP n VTPT ∆ u ⊥ n Phương trình tham số đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0(x0; y0) có VTCP u = (u1; u2)  x = x + tu Phương trình tham số ∆:  y = y0 + tu1 ( t tham số)   x = x + tu Nhận xét: – M(x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃ t ∈ R:  y = y0 + tu1  Phương trình tắc đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M0(x0; y0) có VTCP u = (u1; u2) Phương trình tắc ∆: x − x0 y − y0 = u1 u2 (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Phương trình tham số đường thẳng PT ax + by + c = với a2 + b2 ≠ phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có: r r r VTPT n = (a; b) VTCP u = (−b; a) u = (b; −a) r – Nếu ∆ qua M0(x0; y0) có VTPT n = (a; b) phương trình ∆ là: a(x − x0) + b(y − y0) = • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M0(x0; y0) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k(x − x0) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2x + b2y + c2 = Toạ độ giao điểm ∆1 ∆2 nghiệm hệ phương trình:  a1x + b1y + c1 =  a x + b y + c = (1)  2 • ∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có nghiệm ⇔ • ∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vơ nghiệm ⇔ a1 b1 ≠ (nếu a2, b2,c2 ≠ ) a2 b2 a1 b1 c1 = ≠ (nếu a2, b2,c2 ≠ ) a2 b2 c2 • ∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vơ số nghiệm ⇔ a1 b1 c1 = = (nếu a2, b2,c2 ≠ ) a2 b2 c2 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2x + b2y + c2 = r r n1.n2 a1b1 + a2b2 r r · · cos(∆1, ∆2) = cos(n1, n2) = r r = n1 n2 a12 + b12 a22 + b22 • ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1x + m1, ∆2: y = k2x + m2 thì: + ∆1 // ∆2 ⇔ k1 = k2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M0(x0; y0) Chú ý: d(M0, ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b2 • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M (xM ; yM ), N(xN ; yN ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2: a2x + b2y + c2 = 0cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1x + b1y + c1 a12 + b12 =± a2x + b2y + c2 a22 + b22 III Đường tròn: 1)Đường tròn(C) có tâm I (a; b) bán kình R có phương trình là: ( x − a ) + ( y − b) = R 2)Phương trình x + y − 2ax − 2by + c = ,điều kiện: a + b2 − c >0 phương trình đường tròn có tâm I(a;b) bán kính R = a + b2 − c 3)Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) là: (a − x0 )( x − x0 ) + (b − y0 )( y − y0 ) = B.CÁC GIẢI PHÁP ( x − a ) + ( y − b) = R Ví dụ mở đầu : Trong sách giáo khoa “ Hình học lớp 10 nâng cao nhà xuất Giáo Dục” có nêu ví dụ : “ Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G tâm đường tròn ngoại tiếp O uuur uur a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AH = 2OI uuu r uuu r uuu r uuur b) Chứng minh OA = OA + OB + OC c) Chứng minh ba điểm O, G, H thẳng hàng.” (Trang 21 sách giáo khoa Hình Học lớp 10 nâng cao ) Đường thẳng qua ba điểm : O, G, H gọi đường thẳng Ơle Chúng ta phân tích tập sau : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(3;-2), tâm đường tròn ngoại tiếp O(8;11) hình chiếu A xuống BC K(4;-1).Xác định tọa độ đỉnh A,B,C Từ gỉa thiết tốn ta dễ dàng viết phương trình đường thẳng BC ( qua K uuur có véc tơ pháp tuyến HK ) Do ta xác định trung điểm I BC Điều xảy biết tọa độ ba điểm H, O, I ? Điểm A có liên quan đến O , H , I ?Từ hệ uuur uur thức véc tơ AH = 2OI nói ta xác định tọa độ điểm A Xác định tọa độ A giải điểm then chốt tốn Từ ta viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giao điểm đường tròn với BC B, C cần tìm Như để giải toán em vận dụng tính chất hình học phẳng, uuur uur AH = 2OI Ngoài ta suy nghỉ thêm chút điểm A đường tròn mà ta xác định tọa độ, xác định điểm ? Ta thấy điểm H’ đối xứng với H qua BC điểm thuộc đường tròn Có tọa độ H có phương trình BC xác định tọa độ H’ Như vậy,ở lại khai thác tính chất nũa hình học phẳng : “ Trong tam giác điểm đối xứng với trực tâm qua cạnh nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác” Một ví dụ : “ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;4), tiếp tuyến với đường tròn ( O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D , đường phân giác góc ADB có phương trình x – y + = 0, điểm M(4;-1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB” Để viết phương trình cạnh AB , có A(1;4) tìm thêm điểm thuộc AB? Tại đề lại cho điểm M cạnh AC ? Điểm M liên quan đến điểm cần tìm cạnh AB ? Nếu biết phương trình đường phân giác góc BAC kết hợp với M ta tìm điểm cạnh AB Lời giải tốn có chiều hướng tốt Vậy làm cách để viết phương trình phân giác góc BAC ? Bằng trực quan ta dự đốn phân giác góc BAC phân giác góc ADB vng góc với N ếu điều xảy tam giác ADI phải cân D Cuối ta phải chứng minh Tốn hình học phẳng : “ Tam giác ADI cân D” Bài tập em phải có khả suy luận , khả phán đốn kỷ chứng minh hình học phẳng Bài tập giải sau : +Chứng minh tam giác ADI cân D Góc ABC = góc DAC ; góc BAI = góc IAC Vậy góc IAD = góc IAC+ góc CAD = góc ABC + góc BAI = góc AID Do tam giác ADI cân D +Do tam giác ADI cân D DE phân giác góc ADI nên DE vng góc với AI Từ phương trình AI : x+ y – = + M’ điểm đối xứng M qua AI , suy M’(4;9) + Phương trình AB 5x – 3y + = Tóm lại để giải toán phải biết khai thác tính chất hình học phẳng Trong q trình dạy học loại Toán dạng mà giả thiết “ ẩn” luôn cố gắng hướng dẫn em tìm tòi để khai thác tính chất hình học phẳng , từ em biết vận dụng vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng cách tốt nhất.Qua việc tìm tòi lời giải phát huy tư sáng tạo cho em học tập.Trong trình hướng dẫn em , xây dựng giải pháp để giải loại Tốn này.Sau chúng tơi xin phép trình bày giải pháp sáng kiến kinh ngiệm Giải pháp 1: Khai thác tính chất đường phân giác Tính chất: Hai đường thẳng ∆1; ∆ cắt I, đường phân giác góc ∆1; ∆ (d).M điểm ∈ ∆1 , M’ điểm đối xứng với M qua (d), M’∈ ∆ Chứng minh: ˆ ' ⇒M’∈ ∆ M’ đối xứng với M qua(d)⇒∆MIM’cân tạ I⇒ (d) phân giác MIM Trong số tốn hình phẳng có nhiều giả thiết cho phương trình đường phân giác góc tam giác Khai thác tính chất đường phân giác ? Đó biết tọa độ điểm tia góc ta xác định điểm đối xứng qua đường phân giác tia lại Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC, có đỉnh B(-4;1), trọng tâm G(1;1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ A C (Đề thi khối D-2011) *Tìm tòi lời giải: M trung điểm AC, G trọng tâm tam giác.Từ mối quan hệ ba điểm B;G;M em tìm tọa độ điểm nào? Từ em tìm tọa đọ diểm M AD phân giác góc A, B điểm biết tọa độ thuộc AB, điểm K đối xứng B qua AD thuộc đường thẳng nào? Áp dụng tính chất đường phân giác em phát K thuộc AC Do M K điểm thuộc AC phương trình AC viết được, suy tọa độ A C *Lời giải: Tìm tọa độ M ( xM ; yM ) ,theo tính chất trọng tâm G, có:  uuuuur  xM = BG = BM ⇔   y =1  M uuuur Tìm tọa độ K đối xứng với B qua AD I trung điểm BK ⇒I ( ur uuuur xK − yK + ; ) 2 uuuurur BK = ( x + 4; y −1) ⊥ với vectơ phương AD a = (1;1) Ta có BK a = ⇔ xK + yK = −3 Mà I ∈AD ⇒ xK − yK = Từ K(2;-5) +Phương trình AC là: x − y −13 = +Tọa độ A nghiệm hệ phương trình: Vậy A (4;3) +Tọa độ C: M trung điểm AC, ta có:  xC = xM − x A =   yC = yM − y A = −1 Vậy C (3;-1) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, mặt phẳng với hệ trục Oxy, phân giác góc A có phương trình: x − y + = , đường cao kẻ từ B có phương trình: x + y −1 = , H (-1;-1) hình chiếu vng góc C lên AB Tìm tọa độ C? (Đề thi khối B – 2008) *Tìm tòi lời giải: 10 BD vng góc với I(2;3) Viết phương trình đường thẳng BC,biết C có hồnh độ dương ĐS: 4x+3y – 27 = d) Giải pháp 4: Khai thác khoảng cách từ điểm đến đường thẳng *Cho đường thẳng ( ∆ ): ax + by + c = Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến (∆) d ( M , ∆) = ax0 + by0 + c a + b2 *Cho tam giác ABC vuông A, AH đường cao Ta có: 1 = + AH AB AC Khai thác khoảng cách đưa đến cho tốn phương trình Dạng khoảng cách ẩn dạng cạnh hình vng, đường cao tam giác, diện tích tam giác Ví dụ 19: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A ( 2; −1) , B ( 1; −2 ) , trọng tâm G ∈ (d ) : x + y − = Diện tích tam giác ABC 27 Viết phương trình AC Tìm tòi lời giải: Để viết phương trình AC ta cần xác định C Để xác định C ta phải xác định G Do G ( t;2 − t ) nên G cần phương trình với ẩn t Diện tích tam giác chắn có liên quan đến khoảng cách từ C đến AB Theo giả thiết khoảng cách xác định Vậy khoảng cách liên quan đến G chỗ nào? Vấn đề chỗ Theo tính chất trọng tâm ⇒ d ( G; AB ) = d ( C; AB ) Bài toán giải Lời giải: + Chứng minh d ( G; AB ) = d ( C ; AB ) + Viết phương trình AB: x − y − = 27 + d ( C; AB ) = + d ( G; AB ) = ⇒ G ( 7; −5) ⇒ C ( −9;15) + Phương trình AC: 16 x + 11y − 21 = Ví dụ 20: 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm CD cho CN = 2.ND AN có phương trình: x − y − =  11  M  ; ÷ Tìm toạ độ A  2 (Đề thi TSĐH Khối A – 2012) Tìm tòi lời giải: A ∈ AN : x − y − = ⇒ A ( a;2a − 3) Làm cách để lập phương trình cho ẩn a? Rõ ràng khoảng cách từ M đến AN tính Gọicạnh hình vng p ta có p 10 AN = p2 Diện tích tam giác AMN 12 p 10 p 10 MH = ⇒ = ⇒ p=3 4 10 ⇒ A ( 1; −1) , A ( 4;5) Ví dụ 21: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) (Đề thi ĐH khối A – 2013) ⇒ AM = Tìm tòi lời giải: Để lập phương trình đường tròn (C) cần xác định tâm I Ta có PI ⊥ ∆ H IH PH khoảng cách từ I; P đến ∆ PI ⊥ ∆ ⇒ PI có phương trình dạng x + y + c = Chỉ cần xác định phương trình PI tìm toạ độ H Biết toạ độ H tìm toạ độ tâm I Vậy mục tiêu hướng đến tìm độ dài PH PH liên quan đến yếu tố biết? Dễ thấy PH IH = HA2 Từ càn xác định IH IH lại dễ dàng tính thơng qua tam giác vng AHI 32 Lời giải: Từ tam giác vuông IHA ⇒ IH = Từ PH IH = HA2 ⇒ PH = Đường thẳng PI ⊥ ∆ ⇒ PI có phương trình dạng x + y + c = Theo giả thiết P ( 0; −c ) ( c ≤ P thuộc tia Oy) c PH = d ( P, ∆ ) = = ⇒ c = −8 a = I ( a;8 − a ) mà d ( I , ∆ ) = IH = ⇒  a = Do P I hai phía ∆ ⇒ a = ⇒ I ( 5;3) tâm đường tròn Phương trình đường tròn là: ( x − 5) + ( y − 3) = 10 Nhận xét: Để giải toán phải hướng cho học sinh khai thác triệt để hai khoảng cách, d ( P, ∆ ) = 2; d ( I , ∆ ) = 2 Ví dụ 22: 1  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0 ÷ Đường thẳng 2  chứa cạch AB có phương trình x − y + = , AB = 2.AD, x A ≤ Lập phương trình cạnh AD, DC, BC Tìm tòi lời giải: Biết toạ độ điểm I, biết phương trình AB Vậy biết d ( I ; AB ) ⇒ d ( I ; AD ) Lời giải: M trung điểm AB ⇒ IM ⊥ AB A ∈ AB : x − y + = ⇒ A ( 2a − 2; a ) Do x A ≤ ⇒ a ≤ IM = d ( I ; AB ) = Do AB = 2.AD ⇒ AM = 2.IM = a = 25 ⇒ IA2 = IM + AM = ⇔ a − 2a = ⇔   a = (l ) Vậy A ( −2;0 ) Phương trình AD x + y + = I trung điểm AC ⇒ C ( 3;0 ) Phương trình CD: x − y − = Phương trình BC: x + y − = Bài tập tự luyện: Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình : 33 x + y − x − y = điểm A(-1;3) Tìm tọa độ đỉnh hình chử nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C) có diện tích 10 ĐS: B(2;4) C(3;1) D(0;0) Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình đường chéo :3x+y -7 = điểm B(0;-3) Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 20 ĐS: A(4;-5) C(2;1) D(6;-1) hay A(2;1) C(4;-5) D(6;-1) Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình : x + y − x + y − = đường thẳng (d) có phương trình : x+y-2=0 A,B giao điểm (d) với đường tròn Tìm tọa độ điểm C thuộc đường tròn cho diện tích tam giác ABC 14 + 17 −1 − 17 − 17 −1 + 17 ; ) C4 ( ; ) ĐS: C1 (1; 2) C2 (4; −1) C3 ( 2 2 Bài 4:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho M(2;-1), đường thẳng d1 : x + y − = , d : x + y + = Viết phương trình đường tròn (C) qua M tiếp xúc d1 , d ĐS : (C1 ) : x + ( y + 3) = (C2 ) : ( x − 20 ) + ( y + )2 = 9 81 Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình : ( x − 2) + ( y − 3) = 10 nội tiếp hình vuông ABCD, AB qua M(-3;-2) x A > ĐS: A(6;1) B(0;-1) C(-2;5) D(4;7) Bài : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD M trung điểm BC AM có phương trình : 3x + y - =0, B(4;1) Tìm tọa độ đỉnh hình vng, biết A có tung độ dương M có tung độ âm ĐS: A(1;4) C(1;-2) D(-2;1) Giải pháp 5: Khai thác góc hai đường thẳng *Trong mặt phẳng cho tam giác ABC: uuuuruuuur uuuur uuuur AB AC cos A = cos AB; AC = uuuur uuuur AB AC ( ) *Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆1, ∆ có phương trình: a1x + b1 y + c1 = 0; a2 x + b2 y + c2 = : cos ( ∆1; ∆ ) = a1a2 + b1b2 a12 + b12 a22 + b22 Khi đường thẳng di qua điểm tạo với đường thẳng cho trước góc xác định, phương trình đường thẳng viết phương trình.Dấu hiệu sử dụng kết giả thiết cho phương trình đường thẳng đường thẳng ‘’đối tác’’ lại qua điểm biết tọa độ Ví dụ 23: 34 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng cân A Biết phương trình cạnh BC (d): x + y − 31 = 0, điểm N ( 7;7 ) thuộc AC, M ( 2; −3) thuộc AB ngồi đoạn AB Viết phương trình AB, AC Tìm tòi lời giải: Tam giác ABC vng cân A, Bˆ = Cˆ = 450 AC đường thẳng qua N tạo với BC góc 450, AB đường thẳng qua M ⊥ AC Lời giải: AB có phương trình dạng: a ( x − ) + b ( y + 3) = ⇔ ax + by − 2a + 3b = AB tạo BC góc 450 ⇒ cos ( AB; BC ) = 3a = 4b ⇔ 12a − 7ab −12b2 = ⇔   4a = −3a *Khi 3a = 4b, chọn a = 4, b = có phương trình: AB: x + y + = Phương trình AC: 3x − y + = * Khi 4a = −3b Phương trình AB: 3x − y −18 = Phương trình AC: x + y − 49 = Trường hợp AB, AC, BC đồng quy nên loại Do phương trình AB: x + y + = , AC: 3x − y + = Ví dụ 24: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho P ( −7;8 ) hai đường thẳng ( d1 ) : x + y + = 0; cắt A Viết phương trình đường thẳng ( d3 ) qua P tạo 29 với d1, d2 tam giác cân A có diện tích S = Tìm tòi lời giải: ( d2 ) :5x − y − = 35 Dễ dàng thấy d1 ⊥ d2 , ∆ABC cân A ∆ABC tam giác vng cân A d3 đường thẳng qua P tạo với d1 góc 450 Lời giải: A = d1 ∩ d ⇒ A ( 1; −1) ( ) d3 đường thẳng có phương trình dạng ax + by + 7a − 8b = a + b2 > 3a = 7b ⇔ 7a = −3b *Khi 3a = 7b ⇒ d3 : x + y + 25 = 29 58 Do diện tích tam giác ABC ⇒ BC = 58 ⇒ d ( A; BC ) = 2 Phương trình BC x + y + 25 = *Khi 7a = −3b Tương tự không thoả yêu cầu (loại) Ví dụ 25: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12 Tâm I giao điểm d1 : x − y − = d2 : x + y − = Trung điểm cạnh AB giao điểm d1 với Ox Viết phương trình cạnh lại hình chữ nhật Tìm tòi lời giải: I = d1 ∩ d ⇒ biết toạ độ I cos ( d1, d3 ) = cos 450 = M = d1 ∩ Ox ⇒ biết toạ độ M Phương trình AB lập được, phương trình CD lập Biết diện tích HCN AD = MN ⇒ AB ⇒ d ( I , AD ) Lời giải: 9 3 I = d1 ∩ d ⇒ I  ; ÷ 2 2 M trung điểm AB M = d1 ∩ Ox ⇒ M ( 3;0 ) Phương trình AB: x + y − = N = MI ∩ DC ⇒ N ( 6;3) Phương trình CD: x + y − = S ABCD = 12 ⇒ d ( I ; AD ) = Gọi phương trình AD: x + y + c = c = d ( I ; AD ) = ⇔  c =  AD : x − y − = *c = 5⇒   DC : x − y − =  AD : x − y − = * c = 1⇒   DC : x − y − = Ví dụ 26 36 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vng ABCD có A(1;3) M(6;4)∈BC N ( ; ) ∈DC Tìm tọa độ B,C,D (Đề thi học sinh giỏi khối 11-Nghệ An năm 2014) *Tìm tòi lời giải: Gỉa thiết cho tọa độ ba điểm A,M,N A,M,N thẳng hàng Vậy khai thác từ ba điểm thẳng hàng? Trước hết ta phải quan tâm đến tỉ số hai đoạn thẳng ⇒ MN NC = Bài tốn xuất thêm tính song song MC AD ⇒ = MA CD ⇒ND, AD tính theo AD⇒tỉ số AD · không đổi Mà tỉ số gì? Đó cos AND NA · Đến xuât tín hiệu tốt xác định cos AND ⇒tọa độ D mấu chốt mà qua ta tìm đỉnh lại Nhìn lại q trình tìm tòi lời giải có lúc thấy “mịt mù” tín hiệu “le lói” khai thác tốt Bởi dù “mong manh” niềm hy vọng chừng hội để vượt qua Chúng dạy cho em cách để tìm kiếm “cơ hội” tốn tính kiên trì để hiên thực hóa hội *Lời giải: · +Chúng minh cos AND = 26 ; AM = 26; MN = 13 uuuuur uuuuu r 1 uuuuur AM = (5;1); MN = ( ; ) = AM 2 37 ⇒Vậy A,M,N thẳng hang AM=2MN Do MC//AD⇒ +Gọi a cạnh hình vng, có ND = MN NC = = MA ND · 3a a 13 ND ; AN = ⇒ cos AND = = 2 AN 13 +Lập phương trình CD CD qua N tạo với NA góc có cosφ = Phương trình CD có dạng a( x − ⇔ax + by − · cos( NA, ND) = cos AND = 13 17 ) + b( y − ) = 2 17a 9a − =0 2 a − 5b  a = −b 3 ⇔ = ⇔  31 13 17a = 7b 2b(a + b2 ) -Khi a=-b⇒CD: x − y − = AB: x − y + = AD: x + y − = BC: x + y − 10 = ⇒B(4;6) C(7;3) D(4;0) -Khi 17a=7b ⇒ CD: x + 17 y −136 = AB: x + 17 y − 58 = AD: 17 x − y + = BC: 17 x − y − 74 = ⇒B = ( 64 18 85 69 34 90 ; ); C ( ; ); D( ; ) 13 13 13 13 13 13 Nhận xét Bài tập , cho em khai thác khoảng cách từ điểm tới đường thẳng có kết thú vị Đó khoảng cách từ M tới AD khoảng cách từ N tới AB Bài tập tự luyện: Bài 1:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, phương trình AB,BC : 3x-y+10=0, x+2y-2= 0.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết M(2;2) thuộc cạnh AC 38 ĐS: I( 33 + 31 81 − 62 ; ) 49 49 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chử nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x - 2y – 1= 0, BD có phương trình :x- 7y +14 = 0, AC qua điểm E(2;1) Tìm tọa độ đỉnh hình chử nhật ĐS: A(1;0) B(7;3) C(6;5) D(0;2) Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, phương trình cạnh đáy BC : x+y+1 = Đường cao BH : x- 2y – = M(2;1) thuộc đường cao CK Viết phương trình AB, AC ĐS: AB có phương trình x + 2y +2 = AC có phương trình 6x + 3y +1 = Bài 4:Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A, phương trình AB, AC : 2x+ y -1 = x+ 4y + = Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B ĐS: 31x+22y – = V Bài học kinh nghiệm: Khi em học sinh bắt tay vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng với hệ trục Oxy, với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy rút số kinh nghiệm sau: Đa số em chuyển thẳng từ tốn hình học phương pháp giải“đại số” cách mã hóa giả thiết hình học dạng ẩn số Ví dụ tơi cho em toán sau đây: “Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, biết A(2;1), trực tâm H(-6;-3), trung điểm BC M(2;2) Lập phương trình cạnh tam giác” *Các em giải toán sau uuuuu r +Tính AH +Viết pt BC uuuuu r uuuur +Dùng điều kiện vng góc AH với BD tìm tọa độ, suy toạ độ C, suy phương trình AB, AC Đây toán dể, em cần nắm vững kiến thức làm Những tốn khai thác tính chất hình học phẳng em bối rối với học sinh giỏi Tại vậy? Đó thầy, giáo học sinh quan tâm đến 39 mảng thứ mà Để cải thiện điều này, thường xây dựng tập mà bắt buộc học sinh phải sử dụng hai mảng tốn Tơi lấy ví dụ sau Tơi cho em giải tập: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(2;0), C nằm đường thẳng có phương trình x + y – = M trung điểm BC, N điểm thuộc cạnh CD cho AN = 2.ND Phương trình MN: 7x – 5y – = Tìm tọa độ B, C, D” Tôi đưa yêu cầu giải tập theo hai cách là: Cách 1: Mã hóa giả thiết dạng ẩn lập phương trình dạng đại số, tính tốn kết Cách 2: Nghiên cứu tính chất hình học, cách phát mối quan hệ điểm thẳng hàng M, I, N với I = AC ∩ MN Năng lực tiếp thu hình học phẳng học sinh yếu, tập khai thác tính chất hình học phẳng học sinh thường lúng túng Bởi câu hình phẳng Oxy thường xếp vào loại câu “khó” đề tuyển sinh đại học đề thi kỳ thi “THPT Quốc Gia” VI Hiệu đề tài: Đề tài nghiên cứu hai năm: 2013 – 2014 2014 – 2015 hai lớp chọn 12C1 12B1 Sau hai năm nghiên cứu áp dụng, chúng tơi xây dựng quy trình sau: Xây dựng số tính chất thơng dụng hình học phẳng Nghiên cứu hình vẽ để phát tính chất hình học phẳng Thiết lập mối quan hệ điểm để giải vấn đề “then chốt” toán Thiết lập mối quan hệ lại Giải tốn Dùng tính chất hình học phẳng để đề xuất toán Các em học sinh bước đầu chưa áp dụng kết thường rơi vào trạng thái “mơ hồ” “mò mẫm” vào ngõ cụt Sau trình giáo viên thực hành tìm tòi lời giải năm giải pháp nêu, em tích cực học tập hiệu suất giải nâng lên rõ rệt Số liệu thu từ điều tra sau: Điều tra 1: 40 Tôi cho học sinh giải tập sau: Bài toán: “Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh  8 B(0;4) M N trung điểm cạnh BC CD H  ; ÷là giao AM với  5 BN Xác định đỉnh hình vuông biết A thuộc (d): x + y + = ” Bài tập làm trước triển khai đề tài: Lớp 12C1 (2013 – 2014): Học sinh làm được: 5/38 tỉ lệ 13% Lớp 12B1 (2014 – 2015): Học sinh làm được: 3/36 tỉ lệ 8,3% Bài tập làm sau triển khai đề tài: Lớp 12C1 (2013 – 2014): Học sinh làm được: 30/38 tỉ lệ 79% Lớp 12B1 (2014 – 2015): Học sinh làm được: 25/36 tỉ lệ 69,5 % Điều tra 2: Tôi cho học sinh làm tập sau: “ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A M điểm AC cho AB = 3.AM Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM D Xác định tọa độ 4  đỉnh tam giác ABC biết BC qua N  ;0 ÷, phương trình CD: x − y − = 3  xC > ” Với khảo sát 50 học sinh lớp thêm chưa triển khai đề tài kết cho thấy có học sinh làm được, tỉ lệ 4% Sau triển khai có 20 học sinh làm được, tỉ lệ 40% Điều tra 3: Tôi cho học sinh làm tập sau: “ Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D(2;-1) , E(2;2) , F(-2;2) chân đường cao hạ từ A , B , C Xác định tọa độ đỉnh A, B , C” Với yêu cầu 41 a)Gọi tọa độ A( xA ; y A ) , B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Dùng tính chất vng góc ba điểm thẳng hàng lập phương trình cho ẩn tọa độ A , B , C Giải hệ phương trình tìm tọa độ A , B , C b)Chứng minh : AD , BE , CF đường phân giác tam giác DEF Từ viết phương trình AD , BE , CF , suy phương trình : BC , CA , AB Từ tìm tọa độ A , B , C Kết khảo sát cho thấy : +Ở câu (a) khả lập phương trình tương đối tốt: 90% lập phương trình Khả tính tốn khơng tốt : 47% tính sai không giải Lượng thời gian nhiều : 20’ +Ở câu (b) 70% chứng minh có kết Thời gian làm 15’ Kết luận: Mặc dù học sinh làm tập sau học đề tài xây dựng hướng tìm tòi lời giải rõ rang Bước đầu tỉ lệ học sinh làm nâng cao rõ rệt Học sinh hứng thú tiếp thu đề tài.Trong kỳ thi đại học 2013 – 2014 nhiều em học sinh làm tốt hình học phằng Với cách tiếp cận tốn dạng tìm tòi lời giải dựa tảng tính chất hình phẳng chúng tơi hình thành cách định hướng tìm tòi lời giải Với phương pháp giúp cho học sinh tiếp thu kiến thức dễ dàng qua phát triển tư học sinh tạo hứng thú cho em học mơn Tốn Đề tài tiếp tục phát triển cách khai thác tính chất hình học phẳng mà đề tài chưa khai thác hết Từ phát triễn xây dựng thành hệ thống hồn chỉnh giải tích mặt phẳng dùng cho học sinh khối 10, bồi dưỡng cho học sinh thi HSG, luyện thi kỳ thi THPT Quốc Gia giáo viên tham khảo giảng dạy Đề xuất: Dựa vào kết đạt Trong bối cảnh cải cách triệt để giáo dục nước nhà Dạy cho học sinh biết tìm tòi lời giải, tức hướng vào người học, rèn luyện phát triển khả suy nghỉ, khả giải vấn đề cách động, độc lập, sáng tạo, khả giải vấn đề Trước mắt thực tốt kì thi THPT Quốc Gia mà tốn “hình học giải tích mặt phẳng Oxy” tốn khó học sinh giáo viên, tơi xin kiến nghị đề tài phổ biến rộng rãi ngành giáo dục 42 tỉnh Đồng Nai để em học sinh tiếp cận rộng rãi Cũng tài liệu để giáo viên nghiên cứu giảng dạy III Danh mục tài liệu tham khảo: Toán nâng cao phát triển lớp Vũ Hữu Bình Một số vấn đề phát triển hình học lớp Vũ Hữu Bình Hình học 10 Bộ Giáo dục Đào tạo Nhóm tác giả : Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương ( Chủ biên) –Phạm Vũ Khuê – Bùi Văn Nghị Các đề thi tuyển sinh Đại học đề thi địa phương Báo Toán học Tuổi Trẻ Một số tập Internet Thị xã Long Khánh, ngày 20 tháng 04 năm 2015 Người thực hiện: HÀ LÊ ANH 43 BM04-NXDDGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT Long Khánh CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc Long khánh, ngày …tháng 5, năm 2015 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2014 – 2015 Tên sáng kiến kinh nghiệm: Phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh qua giải tốn hình học giải tích mặt phẳng tọa độ Oxy cách khai thác số tính chất hình học phẳng Họ tên tác giả: Hà Lê Anh Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán Đơn vị: Trường THPT Long Khánh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  –Phương pháp dạy học mơn: Tốn  - Phương pháp giáo dục  – Lĩnh vực khác: …………………………………  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Đề giải pháp thay hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đắn  - Đề giải pháp thay phần giải pháp có, đảm bảo tính khoa học, đắn  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Hiệu quả: (Đánh dấu X vào ô đây) - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực tồn ngành có hiệu cao  - Giải pháp thay hoàn toàn mới, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp thay phần giải pháp có, thực đơn vị có hiệu cao  - Giải pháp gần áp dụng đơn vị khác chưa áp dụng đơn vị mình, tác giả tổ chức thực có hiệu cho đơn vị  Khả áp dụng: (Đánh dấu X vào dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong quan, đơn vị, sở GD&ĐT  Trong ngành  Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá Đạt  Không xếp loại  Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết chịu trách nhiệm không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ Tổ trưởng Thủ trưởng đơn vị xác nhận kiểm tra ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm tổ chức thực đơn vị, Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không chép tài liệu người khác chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ tác giả 44 NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hà Lê Anh THAM KHẢO HƠN 1000 SKKN TẤT CẢ CÁC MÔN HỌC THPT https://drive.google.com/drive/folders/1_smOnrHP-R75qMV0czPYwsMzfAlXkucX?usp=sharing 45 ... thức c) Khó khăn: + Học sinh yếu với mơn học Hình học phẳng vốn học cấp hai + Học sinh khơng có thói quen “ Khai thác tính chất hình học phẳng để giải tốn “ hình giải tích mặt phẳng + Số tiết... để khai thác tính chất hình học phẳng , từ em biết vận dụng vào giải tốn hình học giải tích mặt phẳng cách tốt nhất .Qua việc tìm tòi lời giải phát huy tư sáng tạo cho em học tập .Trong trình hướng... , trực quan hình học tốt Thực loại tốn rèn luyện nhiều phẩm chất tư cho học sinh. Bởi tốn hình học giải tích mặt phẳng Oxy gắn với tính chất hình học phẳng tốn khó kỳ thi tuyển sinh đại học, kỳ