skkn hướng dẫn học sinh tìm nhiệm nguyên của phương trình

Hớng dẫn học sinh giải phơng trình “ Không mẫu mực”đạt cấp thành phố Xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học các cấp đã dành thời gian đọc, đánh giá đề tài.. Một trong những vấn đề rất c

Phòng giáo dục - đào tạo thanh oai

Giáo viên: Trờng THCS Thanh Cao

Thanh Oai - Hà Nội

Năm vào ngành :1996

Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên Trờng THCS Thanh Cao

Thanh Oai - Hà NộiTrình độ chuyên môn : Đại học toán

Bộ môn giảng dạy : Toán 9

Khen thởng : Giáo viên giỏi cơ sở

Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đợc công nhận

1 Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2 Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

3 Hướng dẫn học sinh giải phương trỡnh vụ tỷ

4 Hớng dẫn học sinh giải phơng trình “ Không mẫu mực”(đạt cấp thành phố)

Xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học các cấp đã dành thời gian

đọc, đánh giá đề tài Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp cho đề tài đợc hoàn thiện hơn.

Xin đợc chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2011

Ngời viết

Chữ viết tắt dùng trong đề tài:

1.ĐHKHTN: Đại học khoa học tự nhiên

Với mục tiêu giáo dục là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trítuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tínhnăng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa,xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lênhoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc".

+ Phơng pháp dạy học tích cực:

Giúp học sinh phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo rèn luyện thóiquen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác kỹ năng vận dụng kiến thức vào nhữngtình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui hứngthú trong học tập

b) Cơ sở thực tiễn:

Toán học là một môn khoa học nói chung nhng lại giữ một vai trò rất chủ

đạo trong nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác Là một giáo viêngiảng dạy bộ môn toán tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nângcao chất lợng dạy học Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS làviệc nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó

đối với những đối tợng là học sinh đại trà Ngoài ra mở rộng các phơng trình khóhơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi

- Với rất nhiều những chuyờn đề được đề cập đến khi dạy đại số cấp 2 và phươngtrỡnh đại số, tụi mạnh dạn tập trung suy nghĩ sõu về phương trỡnh với nghiệmnguyờn, cỏc dạng của nú và cỏc phương phỏp giải nú cho đối tượng là học sinh cúnhu cầu ham muốn được khỏm phỏ loại phương trỡnh này

3 PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN

-Đề tài này của tụi được thực hiện trong quỏ trỡnh giảng dạy và bồi dưỡng học sinhgiỏi lớp 9 cũng như ụn luyện vào lớp 10 năm học 2010-2011

-Thời gian :15tiết trong đú cú 2 tiết kiểm tra

4.PHƯƠNG PHÁP NGHIấN CỨU

+ Phương phỏp nghiờn cứu lý thuyết

Tỡm đọc cỏc tài liệu tham khảo: Sỏch bồi dưỡng mụn đại số lớp 9, sỏch phỏttriển đại số lớp 9, sỏch bài tập nõng cao cỏc chuyờn đề đại số lớp 9,sỏch “Phươngtrỡnh và bài toỏn với nghiệm nguyờn” (Tỏc giả - VŨ HỮU BèNH),sỏch “ Phươngtrỡnh và hệ phương trỡnh khụng mẫu mực” (Tỏc giả-NGUYỄN ĐỨC TẤN-PHANNGỌC THẢO),sỏch chuyờn đề về bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (Tỏc giả

- NGUYỄN ĐỨC TẤN )…, cỏc đề thi học sinh giỏi, chuyờn của cỏc trường,huyện , thành phố

+Phương phỏp nghiờn cứu thực tiễn

-Quan sỏt trực tiếp cỏc đối tượng học sinh để phỏt hiện ra những vấn đề mà họcsinh thấy lỳng tỳng khú khăn

-Kiểm tra học sinh, để tỡm hiểu trỡnh độ và nhận thức của học sinh

-Dạy học thực tiễn trờn lớp để rỳt ra kinh nghiệm

II QUÁ TRèNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

1.Khảo sỏt thực tế:

Trước khi thực hiện đề tài này cỏc em học sinh đó được trang bị những kiếnthức cơ bản tương đối đầy đủ của chương trỡnh bộ mụn toỏn trong nhà trường phổthụng trung học cơ sở Quỏ trỡnh nhận thức của cỏc em ở mức độ bỡnh thường cúthể hoàn thành cỏc bài toỏn trong SGK và cú khả năng giải được một số bài cú tớnhnõng cao Mặc dự vậy khi đứng trước những bài giải phương trỡnh với nghiệmnguyờn thỡ việc tỡm ra lối giải nhiều khi vẫn gặp khú khăn và bế tắc

2 Số liệu khảo sát trớc khi thực hiện đề tài:

Khảo sát về việc giải phơng trình nghiệm nguyờn đối với 30 học sinh đợc kếtquả nh sau:

Trớc khi thực hiện đề tài

3 Biện phỏp thực hiện:

Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giỳp đỡ động viờn của đồng nghiệp,thụng qua một số tư liệu tham khảo tụi muốn điểm lại một số cơ sở lý thuyết vàgiải quyết một số bài tập nhằm giỳp cỏc em tỡm thấy sự bổ ớch và đạt kết quả khihọc chuyờn đề này

Cỏc phương phỏp giải phương trỡnh với nghiệm nguyờn:

1.Phương phỏp dựng tớnh chất chia hết.

-Phỏt hiện tớnh chia hết của ẩn

-Đưa về phương trỡnh ước số

-Tỏch ra cỏc giỏ trị nguyờn

2.Phương pháp xét số dư của từng vế.

3.Phương pháp dùng bất đẳng thức

-Sắp xếp thứ tự các ẩn số

-Xét từng khoảng giá trị của ẩn

-Chỉ ra nghiệm nguyên

-Sử dụng điều kiện  0 để phương trình bậc hai có nghiệm

4.Phương pháp sử dụng tính chất của số chính phương

-Sử dụng tính chất chia hết của số chính phương

Giải phương trình chứa các ẩn x, y, z,… với nghiệm nguyên là tìm tất cả các bộ

số nguyên (x, y, z,…) thỏa mãn phương trình đó

* Khi giải phương trình với nghiệm nguyên, do phải lợi dụng các tính chất của tậphợp Z nên ngoài các biến đổi tương đương, ta còn dùng các biến đổi mà các giátrị của ẩn mới chỉ thỏa mãn điều kiện cần Trong trường hợp này ta cần kiểm tra lạicác giá trị đó bằng cách thử vào phương trình đã cho

* Giải phương trình với nghiệm nguyên thường gồm 2 bước:

Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0, y0, z0,…) Ta suy ra các ẩn phảinhận các giá trị nào đó

Bước 2: Thử lại các giá trị đó của ẩn để khẳng định tập nghiệm của phương trình.

* Trong nhiều bài toán bước 1 không tách riêng một cách tường minh và các giá trị

x0, y0, z0, vẫn được biểu thị bởi x, y, z, Với các bài toán mà các biến đổi đềutương đương, ta không cần bước 2

B CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

1 Phương pháp dùng tính chất chia hết:

* Phát hiện tính chất chia hết của ẩn:

Vậy phương trình có nghiệm 13

* Đưa về phương trình ước số:

Dùng các phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng f1(x1,y1,…)f2(x2,y2,

…)…fn(xn,yn,…)=a1.a2….an Với a1,a2, an Z Rồi sử dụng tính chất của tập hợp số

tự nhiên ,số nguyên…,f1(x1,y1, );f2(x2,y2,…);…;fn(xn,yn,…)Z Xét mọi trường hợp

có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình

Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

Ta có x, y  Z nên x - 1 và y – 1  Z và là ước của 3

Do vai trò của x, y trong phương trình như nhau nên ta giả sử xy

Ví dụ 5: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:

 0

7

x y

Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là: (0; 7), (10; 5)

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Xét các trường hợp ta có x = 1; y = 0 và x = 0; y = -1

Vậy nghiệm của phương trình là: (1;0), (0;-1)

Ví dụ 8: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x;y) thoả mãn đẳng thức:

(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25

(Đề thi chuyên hệ THPT ĐHKHTN-năm2010)

Giải: (1+x2)(1+y2) +4xy+2(x+y)(1+xy)=25

 1+x2y2+x2+y2+4xy+2(x+y)+2(x+y)xy=25

 (x2+2xy+y2)+(x2y2+2xy+1)+2(x+y)(xy+1)=25

 (x+y)2+(xy+1)2+2(x+y)(xy+1)=25

 (x+y+xy+1)2=25

 (x+1)(y+1)=5 Do x,y là các số nguyên không âm

Nên nghiệm của PT là (4;0) ;(0:4)

Ví dụ 9 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :5x - 3y = 2xy – 11

(Đề thi thử chuyên Nguyễn Huệ năm 2010/2011)

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là : (2;3)

Ví dụ 10: Tìm x,y nguyên dương thoả mãn:6x2+ 5xy- 25y2- 221= 0

(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên toán năm Tỉnh Hà Tây)

2007/2008-Giải: 6x2 + xy - 25y2 - 221 = 0

 6x2 -10xy+ 15xy- 25y2 = 221

 2x(3x-5y) +5y(3x-5y) = 221

 (3x-5y)(2x+5y)=221=13.17=1.221

Do x,y nguyên dương nên 2x + 5y  7 3x - 5y > 0 và là ước của 221

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là : (6;1)

Vídụ11:Tìm các cặp số nguyên(x,y) thoả mãn đẳng thức : 2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy

(Đề thi HSG toán 9-Huyện Thanh Oai-2009/2010)

Giải:2y2x+x+y+1=x2+2y2+xy

Vậy nghiệm của phương trình là: (2;1),(0;1)

Ví dụ 12:Tìm các số nguyên (x,y)thoả mãn phương trình:y2-x(x-2)(x2-2x+2)=0

(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên toán năm học 2010/2011-TP Hà Nội)

2

2 2

02

y 8 0 8 0

Vậy nghiệm của phương trình là: (6;8), (4;0), (8;8), (2;0)

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 - x2y + 3x - 2y - 5 = 0

(Đề thi HSG toán 9 -huyện Thanh Oai –năm 2007/2008)

Xét các trường hợp x thoả mãn ta có nghiệm nguyên của PT là: (-1;-3),(5;5)

Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x - 3y = 2xy – 11

Giải: 5x-3y=2xy-11

 2xy + 3y = 5x + 11

Vậy nghiệm nguyên của PT là:(-1;6) ;(-2;-1);(2;3);(-5;2)

Ví dụ 18: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của PT: xy2 + 2xy - 243y + x = 0

* (y+1)2=1 y+1=1  y=0 loại

*(y+1)2=32  y+1=3 y=2 Ta có x=54

*(y+1)2=92  y+1=9 y=8.Ta có x=24

Nghiệm là : (24;8) ,(54;2)

2.Phương pháp xét số dư của từng vế :

* Vận dụng tính chất chia hết ,tính chất của phép chia có dư trong tập hợp

 x = k(k + 1)

Thử lại thấy x = k(k + 1), y = 3k + 1 thỏa mãn phương trình

VT của PT chia hết cho 5 còn VP không chia hết cho 5 ( vì x2 không có tận cùng là

2 hoặc 7) nên PT vô nghiệm

Ví dụ 21: Tìm nghiệm nguyên của PT: x3 + 5x + 2 =y2

Giải: x3 +5x +2 =y2

 x3-x+6x +2 =y2

 x(x2-1) +6x+2 =y2

 (x-1)x(x+1) +6x +2=y2

VT của PT chia cho 3 dư 2; VP của PT chia cho 3 dư 0 hoặc 1

Vậy PT vô nghiệm

Ví dụ 22: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:

19x2 + 28y2 =2001

Giải: Xét phương trình 19x2 + 28y2 =2001

Ta thấy VP là một số lẻ nên 19x2 là số lẻ, do đó x là số lẻ x2 chia cho 4 dư 1 nên19x2 chia cho 4 dư 3 => VT chia cho 4 dư 3 còn vế phải chia cho 4 dư 1 Vậyphương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 23 : Tìm nghiệm nguyên của PT: x3-100=225y

Giải: x3-100 =225y

Ta có 1005 ; 225y5 x3

5 x5 Đặt x=5z ta được 5z3-4=9y(5z3-4) 9 z chia cho 3 dư 2 Đặt z = 3k + 2 (kZ)

Vậy nghiệm nguyên của PT là: 15 3 10 2

3 phương pháp dùng bất đẳng thức:

* Nhận xét về các ẩn số:

Sắp xếp thứ tự các ẩn và xét các khoảng giá trị:

* Nếu các ẩn (x, y, z,…) có vai trò bình đẳng như nhau, thì ta có thể giả sử

x  y  z…hoặc x  y  z…Để thu hẹp miền xác định của bài toán

Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Nên x = y = 1 => 2 + z = z vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm là: (1; 2; 3) và các hoán vị

Ví dụ 25: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là: (1; 2; 2) và các hoán vị

Ví dụ 26: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Ta có nghiệm (35; 3; 1; 1), (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng

-Nếu z = 2; 3 phương trình không có nghiệm

=> t = 2 phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm ứng với t = 1

Ví dụ 27: Tìm nghiệm nguyên dương của PT : 2 2 2 2

Ví dụ 28: Tìm nghiệm nguyên dương của PT :xy xz yz 3

Vậy nghiệm nguyên dương của PT là (1,1,1)

Ví dụ 29: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Vậy các nghiệm của phương trình là: (4; 12), (12; 4), (6; 6)

Ví dụ 30 : Tìm các số nguyên dương x;y;z thoả mãn: 2(y+z)=x(yz-1) (1)

(Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 huyện Thanh Oai –năm 2010/2011)

Giải: Với x=1 phương trình có dạng 2(y+z)=yz-1

 (y-2)(z-2)=5 Do y,z Z

  y 2  2;z 2  2

Ta có nghiệm (x;y;z) là (1;3;7);(1;7;3)

Với x2 Do y;z có vai trò như nhau ,không làm mất tính tổng quát giả sử yz tacó:2(y+z)2(yz-1)=>yz-y-z-10 =>(y-1)(z-1)2 (2)

+ Nếu y=1 thì pt(1) có dạng2(1+z)=x(z-1)  (x-2)(z-1)=4 Do x  2 x 2 0 

Ta có nghiệm (x;y;z) là: (3;1;5) ;(4;1;3) ; (6;1;2) và hoán vị của y;z là (3;5;1);(4;3;1) (6;2;1)

+Nếu y  1 z 1 Từ (2) =>y=2 Khi đó pt(1) có dạng 2(2+z)=x(2z-1)

 (2z-1)(x-1)=5.Do x2 =>x-11 => (x;y;z)=(2;2;3) và hoán vị của y;z là(2;3;2)

Vậy pt có 10 nghiệm (x;y;z) là (1;3;7) ;(1;7;3) ;( 3;1;5) ;(4;1;3) ;(6;1;2) ;(3;5;1);(4;3;1) ;( 6;2;10;(2;2;3);(2;3;2)

*.Khử ẩn

Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau,như luỹ thừa cùng bậc của các số nguyên liêntiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp…thì ta “ khử ẩn” để đưa phương trình vềdạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn

Thường vận dụng hai nhận xét sau:

a xn < yn < (x+a)n ; (a Z)  y=(x+a+i)n với i=1;2;…;a-1

b x(x+1)…(x+n) < y(y+1)…(y+n) < (x+a)(x+a+1)…(x+a+n) ; (a Z+ )

 y(y+1)…(y+n) = (x+i)(x+i+1)…(x+i+n) , với i=1;2;3;…;n-1

Ví dụ 31: Tìm nghiệm nguyên của PT: y3-x3=3x

Giải: y3-x3=3x y3=x3+3x.Vì 3x2+1>0 với mọi x nên ta có :

(x3+3x)-(3x2+1)<x3+3x<x3+3x+(3x2+1)

 (x-1)3<y3<(x+1)3  y3=x3 Vậy x3=3x+x2  x=0=>y=0

Vậy nghiệm nguyên của PT là :( 0,0)

Ví dụ 32: Tìm nghiệm nguyên của PT: 1+x +x2 +x3=y3

Giải: Ta có x2+x+1=(x+1

2)2 + 34 >05x2+11x+7=5(x+11 2 19

)

10  20 >0

Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0)

Ví dụ 33:Tìm nghiệm nguyên của PT: (x+2)4-x4=y3

 (2x+1)3<8x3+24x2+32x+16<(2x+3)3

Hay  (2x+1)3<y3<(2x+3)3..Do đó y3 =(2x+2)3

=>(2x+2)3=8x3+24x2+32x+16 8x=-8  x=-1=>y=0

Nghiệm nguyên của PT là (-1;0)

Ví dụ 34:Giải phương trình nghiệm nguyên: x4+x2-y2+y+10=0

4 1

x x

 

 



 =>x=2;x=-2;x=1;x=-1Nghiệm nguyên của PT là (2;5);(-2;5);(1;2);(-1;2)

* Chỉ ra nghiệm nguyên:

Ví dụ 35: Tìm các số tự nhiên x sao cho:

2x + 3x = 5x

Với x = 0 thì vế trái của (1) bằng 2 (loại)

Với x = 1 thì vế trái của (1) bằng 1 (đúng)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: x = 1

Ví dụ 36: Tìm nghiệm nguyên của PT: x(x+1)(x+2)(x+3)=y2

Giải: Với y=0 thì x=0;-1;-2;-3

Với y 0 thì x0;-1;-2;-3 mà x(x+1)(x+2)(x+3)=y2 >0 =>x(x+3)>0

(x2+3x+2)=(x2+3x)2+2(x2+3)

=>(x2+3x)2<y2<(x2+3x+1)2 V« lý

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : (0;0) ,(-1;0); (-2;0); (-3;0)

Ví dụ 37:Tìm nghiệm nguyên của PT: 3x+1=2xy

Giải : Nhận thấy x=0 thì y=2 nghiệm đúng

Vậy nghiệm nguyên của PT là: (0;2); (1;2)

*Sử dụng điều kiện  0 để phương trình bậc 2 có nghiệm:

Ta viết phương trình f(x, y) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai đối với một

ẩn, chẳng hạn là x, khi đó y là tham số Điều kiện cần để phương trình có nghiệm

là  0 ( để có nghiệm nguyên cần  là số chính phương)

Ví dụ38: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Thử lại, các giá trị trên thỏa mãn phương trình (1)

Vậy nghiệm của phương trình là:

Với y = 0 thay vào phương trình ta có: x1 = 0; x2 = 1.

Với y = 1 thay vào phương trình ta có: x3 = 0

Vậy phương trình có nghiệm là: (0; 0), (1; 0), (0; 1)

Ví dụ 40: Tìm các số nguyên dương x,y thoả mãn đẳng thức : x2+y(y2+y-3x)=0

(Đề thi chuyên toán năm 2009/2010-Thành phố Hà Nội)

Giải : x2+y(y2+y-3x)=0

 x2 - 3yx +y3 +y2 = 0

Điều kiện để PT có nghiệm    0

=9y2-4y3-4y2=5y2-4y3=y2(5-4y) 0

=>y 5

4

 vì y nguyên dương nên y=1 Khi đó PT trở thành :x2-3x+2=0 =>x1=1;x2=2Vậy nghiệm nguyên dương của PT là: (1;1);(2;1)

Ví dụ 41: Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn: x2+2y2+2xy+y-2=0

(Đề thi chọn HSG toán 9 -Huyện Thanh Oai năm 2008/2009)

Giải: x2+2y2 +2xy+y-2=0

 x2 + 2yx + 2y2 + y – 2 = 0

Điều kiện để PT có nghiệm  ’0

’=y2-2y2-y+2=-y2-y+2=(1-y)(2+y) 0

*Các tính chất thường dùng:

- Số chính phương không có tận cùng là 2, 3, 7, 8

- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2

- Số chính phương chia cho 3 có số dư 0; 1

Số chính phương chia cho 4 có số dư 0; 1

Số chính phương chia cho 8 có số dư 0; 1; 4

Số chính phương (2n + 1)2 chia hết cho 3, nên cũng chia hết cho 9 Ta lại có 12x +

7 không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chia hết cho 9 điều này mâu thuẫnchứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào thỏa mãn: 9x + 5 = n(n +1)

Ví dụ 43: Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x;y;z thoả mãn:

x2+y2+z2=807

(Đề thi thử chuyên THPT KHTN – năm 2011)

Giải: Một số chính phương khi chia cho 8 có số dư là 0;1;4

Nên nếu có x;y;z thoả mãn đầu bài thì x2+y2+z2 chia cho 8 có số dư là 0;1;2;3;4;5;6

mà 807 chia cho 8 dư 7.Mâu thuẫn, vậy PT không có nghiệm nguyên