skkn hướng dẫn học sinh tìm nhiệm nguyên của phương trình

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 Phòng giáo dục - đào tạo thanh oai * * * Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Tên đề tài Hớng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phơng trình Họ tên: Nguyễn Thị Bích Huệ Giáo viên: Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hà Nội Năm học 2010 - 2011 Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Độc lập Tự do Hạnh phúc *** Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 1 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 sơ yếu lí lịch Họ và tên : Nguyễn Thị Bích Huệ Ngày tháng năm sinh : 25/05/1973 Năm vào ngành :1996 Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai - Hà Nội Trình độ chuyên môn : Đại học toán Hệ đào tạo : Từ xa Bộ môn giảng dạy : Toán 9 Khen thởng : Giáo viên giỏi cơ sở . Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã đợc công nhận 1. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. 3. Hng dn hc sinh gii phng trỡnh vụ t. 4. Hớng dẫn học sinh giải phơng trình Không mẫu mực(đạt cấp thành phố) Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến ban giám hiệu và các thầy cô giáo dạy toán, các em học sinh trờng THCS Thanh Cao - huyện Thanh Oai - TP Hà Nội cùng các bạn bè, đồng nghiệp đã cung cấp cho tôi nhiều tài liệu quý báu để tôi hoàn thành đề tài. Để hoàn thành nội dung nghiên cứu tôi đã tham khảo, sử dụng trong đề tài rất nhiều ý kiến đánh giá, tài liệu nghiên cứu của các chuyên gia giáo dục, các nhà nghiên cứu trên nhiều lĩnh vực. Ngời viết xin đợc vô cùng cảm ơn. Xin chân thành cảm ơn hội đồng khoa học các cấp đã dành thời gian đọc, đánh giá đề tài. Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp cho đề tài đợc hoàn thiện hơn. Xin đợc chân thành cảm ơn! Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 2 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2011 Ngời viết Nguyễn Thị Bích Huệ Mục lục STT Nội dung trang 1 A. Mở đầu 6 2 Tên đề tài 6 3 B.Quá trình thực hiện đề tài 8 4 I. Khảo sát thực tế 8 5 II. Những biện pháp thực hiện 8 6 III.Nội dung chủ yếu của đề tài 9 7 1. Phơng pháp dùng tính chất chia hết 10 8 2. Phơng pháp xét số d của từng vế 18 9 3. Phơng pháp dùng bất đẳng thức 19 10 4. Phơng pháp sử dụng tính chất của số chính phơng 27 11 5. Phơng pháp a v phng trỡnh tng 31 12 6. Phơng pháp chng minh bng phản chứng 33 13 Mt s bi tp t luyn 36 14 C.Kt qu thc hin cú so sỏnh i chiu 37 15 D.Ti liu tham kho 37 16 E.Kt lun chung 38 17 F.Nhng kin ngh sau quỏ trỡnh thc hin ti 39 Chữ viết tắt dùng trong đề tài: 1.ĐHKHTN: Đại học khoa học tự nhiên 2.HSG: Học sinh giỏi 3. PT: Phơng trình 4. SGK: Sách giáo khoa. 5.TB: Trung bình Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 3 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 6.TP: Thnh ph 7.THCS: Trung học cơ sở 8.THPT: Trung hc ph thụng 9. VP: Vế phải 10. VT: Vế trái Phần A: Mở đầu 1. Tên đề tài: Hớng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phơng trình 2. Lí do chọn đề tài: a) Cơ sở lý luận: + Quan điểm về đổi mới phơng pháp dạy học và phơng pháp dạy học tích cực. + Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học: Luật giáo dục quy định "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, t duy sáng tạo của ngời học, bồi dỡng cho ngời học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên". Với mục tiêu giáo dục là "Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tính cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc". + Phơng pháp dạy học tích cực: Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 4 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 Giúp học sinh phát huy tính tích cực tự giác chủ động sáng tạo rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn tạo niềm tin, niềm vui hứng thú trong học tập. b) Cơ sở thực tiễn: Toán học là một môn khoa học nói chung nhng lại giữ một vai trò rất chủ đạo trong nhà trờng cũng nh đối với các ngành khoa học khác. Là một giáo viên giảng dạy bộ môn toán tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng cao chất lợng dạy học. Một trong những vấn đề rất cơ bản của đại số khối THCS là việc nắm đợc các phơng trình sơ cấp đơn giản và cách giải những phơng trình đó đối với những đối tợng là học sinh đại trà. Ngoài ra mở rộng các phơng trình khó hơn, phức tạp hơn đối với đối tợng học sinh khá giỏi. - Vi rt nhiu nhng chuyờn c cp n khi dy i s cp 2 v phng trỡnh i s, tụi mnh dn tp trung suy ngh sõu v phng trỡnh vi nghim nguyờn, cỏc dng ca nú v cỏc phng phỏp gii nú cho i tng l hc sinh cú nhu cu ham mun c khỏm phỏ loi phng trỡnh ny. 3. PHM VI V THI GIAN THC HIN - ti ny ca tụi c thc hin trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh gii lp 9 cng nh ụn luyn vo lp 10 nm hc 2010-2011 -Thi gian :15tit trong ú cú 2 tit kim tra. 4.PHNG PHP NGHIấN CU + Phng phỏp nghiờn cu lý thuyt Tỡm c cỏc ti liu tham kho: Sỏch bi dng mụn i s lp 9, sỏch phỏt trin i s lp 9, sỏch bi tp nõng cao cỏc chuyờn i s lp 9,sỏch Phng trỡnh v bi toỏn vi nghim nguyờn (Tỏc gi - V HU BèNH),sỏch Phng trỡnh v h phng trỡnh khụng mu mc (Tỏc gi-NGUYN C TN-PHAN NGC THO),sỏch chuyờn v bt ng thc v ng dng trong i s (Tỏc gi - NGUYN C TN ), cỏc thi hc sinh gii, chuyờn ca cỏc trng, huyn , thnh ph +Phng phỏp nghiờn cu thc tin -Quan sỏt trc tip cỏc i tng hc sinh phỏt hin ra nhng vn m hc sinh thy lỳng tỳng khú khn. -Kim tra hc sinh, tỡm hiu trỡnh v nhn thc ca hc sinh. Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 5 §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011 -Dạy học thực tiễn trên lớp để rút ra kinh nghiệm. NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi 6 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 II. QU TRèNH THC HIN TI: 1.Kho sỏt thc t: Trc khi thc hin ti ny cỏc em hc sinh ó c trang b nhng kin thc c bn tng i y ca chng trỡnh b mụn toỏn trong nh trng ph thụng trung hc c s. Quỏ trỡnh nhn thc ca cỏc em mc bỡnh thng cú th hon thnh cỏc bi toỏn trong SGK v cú kh nng gii c mt s bi cú tớnh nõng cao. Mc dự vy khi ng trc nhng bi gii phng trỡnh vi nghim nguyờn thỡ vic tỡm ra li gii nhiu khi vn gp khú khn v b tc. 2. Số liệu khảo sát trớc khi thực hiện đề tài: Khảo sát về việc giải phơng trình nghim nguyờn đối với 30 học sinh đợc kết quả nh sau: Trớc khi thực hiện đề tài Số lợng Tỉ lệ % Giỏi 1 3,3% Khá 3 10% TB 10 33,3% Dới TB 16 53,4% Với bảng số liệu trên việc giải các phơng trình nghim nguyờn đối với học sinh là vấn đề khó khăn, số học sinh đạt điểm khá, giỏi đạt tỉ lệ rất thấp, tỉ lệ học sinh đạt điểm dới trung bình rất cao. 3. Bin phỏp thc hin: Qua kinh nghim ging dy v c s giỳp ng viờn ca ng nghip, thụng qua mt s t liu tham kho tụi mun im li mt s c s lý thuyt v gii quyt mt s bi tp nhm giỳp cỏc em tỡm thy s b ớch v t kt qu khi hc chuyờn ny. Cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vi nghim nguyờn: 1.Phng phỏp dựng tớnh cht chia ht. -Phỏt hin tớnh chia ht ca n -a v phng trỡnh c s -Tỏch ra cỏc giỏ tr nguyờn Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 7 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 2.Phng phỏp xột s d ca tng v. 3.Phng phỏp dựng bt ng thc -Sp xp th t cỏc n s -Xột tng khong giỏ tr ca n -Ch ra nghim nguyờn -S dng iu kin 0 phng trỡnh bc hai cú nghim 4.Phng phỏp s dng tớnh cht ca s chớnh phng -S dng tớnh cht chia ht ca s chớnh phng -To ra bỡnh phng ỳng -Xột cỏc s chớnh phng liờn tip 5.a v phng trỡnh tng 6.Phng phỏp chng minh bng phn chng 4. Ni dung ch yu ca ti: A. C S Lí THUYT: Gii phng trỡnh cha cỏc n x, y, z, vi nghim nguyờn l tỡm tt c cỏc b s nguyờn (x, y, z,) tha món phng trỡnh ú. * Khi gii phng trỡnh vi nghim nguyờn, do phi li dng cỏc tớnh cht ca tp hp Z nờn ngoi cỏc bin i tng ng, ta cũn dựng cỏc bin i m cỏc giỏ tr ca n mi ch tha món iu kin cn. Trong trng hp ny ta cn kim tra li cỏc giỏ tr ú bng cỏch th vo phng trỡnh ó cho. * Gii phng trỡnh vi nghim nguyờn thng gm 2 bc: Bc 1: Gi s phng trỡnh cú nghim nguyờn (x 0, y 0 , z 0 ,) Ta suy ra cỏc n phi nhn cỏc giỏ tr no ú. Bc 2: Th li cỏc giỏ tr ú ca n khng nh tp nghim ca phng trỡnh. * Trong nhiu bi toỏn bc 1 khụng tỏch riờng mt cỏch tng minh v cỏc giỏ tr x 0 , y 0 , z 0 , vn c biu th bi x, y, z, Vi cỏc bi toỏn m cỏc bin i u tng ng, ta khụng cn bc 2. B. CC PHNG PHP GII PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN 1. Phng phỏp dựng tớnh cht chia ht: *. Phỏt hin tớnh cht chia ht ca n: Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 8 §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011 Ví dụ 1: Tìm (x, y) nguyên thỏa mãn: 3x + 17y = 159 (1) Giải: Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Do 159 M 3 và 3x M 3 => 17y M 3 vì (17,3) = 1 => y M 3 Đặt y = 3t (t ∈ Z ) Thay vào phương trình (1) ta có: 3x + 17.3t = 159 ⇔ x + 17 t = 53 ⇔ x = 53 – 17t Vậy phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên (x, y) biểu thị bởi công thức: 53 17 ( ) 3 x t t Z y t = −  ∈  =  Ví dụ 2: Tìm (x;y) nguyên thỏa mãn 12x – 7y = 45 (2) Giải: Giả sử x; y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (2). Do 12x M 3 và 45 M 3 => 7y M 3 mà (7;3) =1 => y M 3. Đặt y = 3k (k ∈ Z). Thay vào phương trình ta có: 4x – 7k = 15 => 7 15 1 2 4 4 4 k k x k + + = = + − . Đặt 1 4 k t + = => x = 7t +2 và y = 12t – 3 Vậy phương trình có nghiệm 7 2 12 3 x t y = +   = −  (t ∈ Z). Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 13y = 156 Giải: Giả sử x; y là các số nguyên thỏa mãn phương trình. Do 13y M 13 và 156 M 13 => 2x M 13 mà (2;13) =1 => x M 13. Đặt x = 13k (k ∈ Z). Thay vào phương trình ta có: 2k + y =12 => y = 12 – 2k. NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi 9 §Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm N¨m häc 2010 - 2011 Vậy phương trình có nghiệm 13 12 2 x k y k =   = −  (k ∈ Z). *. Đưa về phương trình ước số: Dùng các phép biến đổi đại số đưa phương trình về dạng f 1 (x 1 ,y 1 ,…)f 2 (x 2 ,y 2 , …)…f n (x n ,y n ,…)=a 1 .a 2 ….a n . Với a 1 ,a 2 , a n ∈ Z .Rồi sử dụng tính chất của tập hợp số tự nhiên ,số nguyên…,f 1 (x 1 ,y 1 , );f 2 (x 2 ,y 2 ,…);…;f n (x n ,y n ,…) ∈ Z. Xét mọi trường hợp có thể xảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình. Ví dụ 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: xy – x – y = 2 (2) Giải: Biến đổi phương trình (2) tương đương ⇔ x(y – 1) – y = 2 ⇔ x(y – 1) – (y – 1) =3 ⇔ (y – 1)(x – 1) = 3 Ta có x, y ∈ Z nên x - 1 và y – 1 ∈ Z và là ước của 3. Do vai trò của x, y trong phương trình như nhau nên ta giả sử x ≥ y =>x -1 ≥ y – 1.Ta có 1 3 1 1 x y − =   − =  hoặc 1 1 1 3 x y − = −   − = −  Do đó 4 2 x y =   =  hoặc 0 2 x y =   = −  Vậy nghiệm nguyên của phương trình: (4; 2), (2; 4), (0; -2), (-2; 0) Ví dụ 5: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: xy – 4x = 35 – 5y Giải: xy – 4x = 35 – 5y ⇔ (y – 4)(x + 5) = 15 Vì x, y ∈ N nên x + 5 ≥ 5; x + 5 là ước của 15 do đó ta có: 5 5 4 3 x y + =   − =  hoặc 5 15 4 1 x y + =   − =  NguyÔn ThÞ BÝch HuÖ – Trêng THCS Thanh Cao – Thanh Oai – Hµ Néi 10 [...]... kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 Đã tiến hành kiểm tra với hai đối tợng học sinh trớc khi thực hiện đề tài này là học sinh khỏ giỏi lớp 9 Giỏi Khá TB Dới TB Trớc khi thực hiện đề tài Số lợng Tỉ lệ % 1 3,3% 3 10% 10 33,3% 15 53,4% Sau khi thực hiện đề tài Số lợng Tỉ lệ % 9 30% 15 50% 6 20% 0 Nh vậy sau khi thực hiện đề tài kết quả học sinh nắm đợc phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên và áp dụng... tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 - Hng dn hc sinh phõn tớch u bi, phỏn oỏn cỏch gii chn phng phỏp gii cho phự hp v hiu qu nht - Rốn k nng gii phng trỡnh nghim nguyờn cho hc sinh thụng qua nhiu bi tp v khỏc nhau v thng xuyờn kim tra sa cha nhng sai lm cho cỏc em - Kt qu quỏ trỡnh nghiờm cu: Sau khi trc nghim mt s i tng hc sinh tụi ó thu c mt s kt di õy: + Hc sinh khụng ngi khi gp dng toỏn... v phng trỡnh v bi toỏn vi nghim nguyờn 4 Chuyên đề về phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực 5 Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số - E Kt lun chung * Qua vic trỡnh by nhng phng phỏp gii phng trỡnh vi nghim nguyờn, tụi t rỳt ra kt lun sau: - Dự l mt dng toỏn no v khú n õu ngi giỏo viờn cn cung cp cho hc sinh nm rừ khỏi nim vn cn nghiờn cu l gỡ Ngi giỏo viờn cn... viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy và kiến thức tích luỹ cha đợc nhiều, tài liệu tham khảo còn hạn chế, mong Hội đồng khoa học đóng góp ý kiến bổ sung cho đề tài đợc tốt hơn Xin chân thành cảm ơn ! Thanh Cao, Ngày 5 tháng 5 năm 2011 Tác giả Nguyễn Thị Bích Huệ ý kiến của hội đồng khoa học nhà trờng Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 36 ... ( thi tuyn sinh vo 10 chuyờn toỏn nm hc 2010/2011-TP H Ni) Gii: y2-x(x-2)(x2-2x+2) = 0 y2-(x2-2x)(x2-2x+2) = 0 y2-(x2-2x+1-1)(x2-2x+1+1) = 0 y2-[(x-1)2-1] [(x-1)2+1] = 0 y2-[(x-1)4-1] = 0 [y-(x-1)2] [y+(x-1)2 ] =-1 Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 13 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm y ( x 1) 2 = 1 * 2 y + ( x 1) = 1 2y = 0 y + ( x 1)2 = 1 Năm học 2010 - 2011... trỡnh l: (4; 12), (12; 4), (6; 6) Vớ d 30 : Tỡm cỏc s nguyờn dng x;y;z tho món: 2(y+z)=x(yz-1) (1) ( thi chn hc sinh gii toỏn 9 huyn Thanh Oai nm 2010/2011) Gii: Vi x=1 phng trỡnh cú dng 2(y+z)=yz-1 Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 20 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 (y-2)(z-2)=5 Do y,z Z + y 2 > 2; z 2 > 2 Ta cú nghim (x;y;z) l (1;3;7);(1;7;3) Vi x 2 Do... khụng ngi khi gp dng toỏn gii phng trỡnh nghim nguyờn + Mt s hc sinh khi hi cú tr li ó hng thỳ hn khi gp dng toỏn ny - Trờn õy l mt s nhng suy ngh v kinh nghim ca bn thõn tụi, xin c s úng gúp ý kin ca cỏc bn ng nghip cng nh cỏc thy cụ giỏo tụi c rỳt kinh nghim trong nhng nm dy hc tip theo c tt hn, cú hiu qu hn F Những kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài: Là giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy... Vớ d 10: Tỡm x,y nguyờn dng tho món:6x2+ 5xy- 25y2- 221= 0 ( thi tuyn sinh vo 10 chuyờn toỏn nm 2007/2008Tnh H Tõy) Gii: 6x2 + xy - 25y2 - 221 = 0 6x2 -10xy+ 15xy- 25y2 = 221 2x(3x-5y) +5y(3x-5y) = 221 (3x-5y)(2x+5y)=221=13.17=1.221 Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 12 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 Do x,y nguyờn dng nờn 2x + 5y 7 3x - 5y > 0 v l c ca... => 1 = 1 1 2 + y z y + Nu y = 1 => 1 = 0 ( loi) z + Nu y = 2 => 1 1 = => z = 2 z 2 => y = 1 hoc y = 2 Nguyễn Thị Bích Huệ Trờng THCS Thanh Cao Thanh Oai Hà Nội 18 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2010 - 2011 Vy nghim ca phng trỡnh l: (1; 2; 2) v cỏc hoỏn v Vớ d 26: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 5(x + y + z + t) = 2xyzt 10 (16) Gii: Do x; y; z; t bỡnh ng Gi s x y z t (16) 2 = 5 5 5 5... 1 1 4 + 2 + 2 + 2 . Năm học 2010 - 2011 6.TP: Thnh ph 7.THCS: Trung học cơ sở 8.THPT: Trung hc ph thụng 9. VP: Vế phải 10. VT: Vế trái Phần A: Mở đầu 1. Tên đề tài: Hớng dẫn học sinh tìm nghiệm nguyên của phơng trình. và 3 0y + = ⇔ y = -3 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (4; -3), (-4; -3), (5; -6), (5; 0), (-5; -6), (-5; 0). Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3xy + x – y = 1 Giải: 3xy +. − = = + − =       =    Vậy nghiệm của phương trình là: (2;0) ,(0;0) *. Tách ra các giá trị nguyên: Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: xy – x = y + 2 Giải: xy – x = y + 2 ⇔ x(y