Đang tải... (xem toàn văn)
Mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Phần thứ nhất : ĐẶT VẤN ĐỀ Xuất phát từ mục đích của việc dạy và học tốn ở trường THPT; trong việc dạy học ta ln coi mục đích chủ yếu của bài tập tốn là hình thành và phát triển tư duy tốn học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng tốn là hết sức cần thiết Bất phương trình vơ tỷ là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình tốn THPT. Bất phương trình vơ tỷ thường được dùng để ra đề thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Để giải được bất phương trình vơ tỷ thì học sinh phải nắm vững định nghĩa về bất phương trình, định nghĩa về bất phương trình vơ tỷ , hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương bất phương trình… Vấn đề đặt ra là, làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy và kết học tập của học sinh. Bước vào năm học 20142015 được phân cơng giảng dạy mơn tốn lớp 12, trước khi dạy ơn thi THPT Qc gia mơn tốn phần Bất phương trình vơ tỷ, tơi đã chuẩn bị đề tài này, xem như một cải tiến phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vơ tỷ” Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. CƠ SỞ LÝ LUẬN *). Định nghĩa : Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm *)Tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ quả : +) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà khơng làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. +) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( ln dương hoặc âm) mà khơng làm thay đổi điều kiện của bất phương trình tương đương +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình tương đương +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương ta được bất phương trình tương đương +) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều ta được bất phương trình tương đương Từ tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ quả ta rút ra một số kỹ năng sau trong phép biến đổi tương đương B. THỰC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Ba Đình, đặc biệt là học sinh khối lớp 12 chuẩn bị thi THPT quốc gia, khi giải các bài tốn về bất phương trình vơ tỷ các em gặp nhiều khó khăn, chưa định hình được cách giải. Ngồi hay vướng mắc sai lầm kết hợp nghiệm bất phương trình vơ tỷ hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế mà khơng xét dấu của hai vế dẫn tới phép biến đổi khơng tương đương….Tóm lại kỹ năng giải cũng như khai thác bài tốn về bất phương trình vơ tỷ của học sinh cịn hạn chế. Kết quả khảo sát về giải bất phương trình vơ tỷ thấp so với u cầu. Cụ thể: Lớp Số Điểm 810 Điểm từ 6,5 Điểm từ 5 Điểm từ 2 Điểm dưới HS đến dưới 8 đến dưới đến dưới 5 6,5 12A 45 6.7 13.4 17 37.7 13 28.8 13.4 12E 45 4.4 15.4 16 35.5 12 26.6 18.0 C. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Khi dạy phần bất phương trình vơ tỷ tơi đã hướng dẫn học sinh theo các phương pháp sau : I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kỹ năng lũy thừa hai vế 1.1. Một số phép lũy thừa hai vế: a) k f ( x) b) k f ( x) *) 2k 2k g ( x) g ( x) f (x) >g(x) *) f (x) Bất phương trình tương đương x2 – 3x x x Kết hợp điều kiện ta được x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = Ví dụ 3 : x ( x 2) ( x 1) 3; x Phân tích : Khi gặp phải bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu nhiều khi học sinh rất hoang mang bởi vì ta chưa xác định được dấu của mẫu Đối với bài tốn này việc xác định dấu của mẫu rất đơn giản Ta cần có điều kiện x Với điều kiện x thì ( x 1) cách giải sau Giải : Điều kiện x Khi x ta có ( x 1) x x Do đó bất phương trình đã cho tương đương với x( x 2) ( x 1) x2 2x x3 2x ( x 1)( x x3 3x Do đó ta có x x 2( x 1) x( x 1) x 2( x 1) x x x2 x) x 0 Vì x nên x + 1>0 Khi đó x x x x x2 x x ( x2 x 1) Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là x 5. Kỹ năng nhân chia liên hợp : 5.1. Cách giải: +) Tìm giá trị của x làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau Hướng dẫn học sinh nhẩm nghiệm hoặc ghi biểu thức lên máy để tìm nghiệm +) Nếu x = a là một giá trị làm cho hai vế bằng nhau thì biểu thức của bất phương trình phải xuất hiện nhân tử chung (x – a) 5.2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải BPT : x 15 3x x (1) Giải: Ta có (1) x 15 x 15 x x 15 x2 x2 x Từ (2) ta có 3x 3x 3x x 15 x2 3x (2) * Mặt khác: (1) x x 15 3x x x 15 x x 15 x x2 x 2 nên x 15 x x x 15 x2 Vậy (3) x x 3( x 1) x2 (3) x2 * Lại có : Vì x x2 x x 15 x x2 Kết luận : BPT (1) có tập nghiệm là T = 1; Ví dụ 2 :Giải bất phương trình x x x 3x Phân tích: Trong phương trình có chứa hai căn bậc hai, ngồi căn là một tam thức bậc hai. Có thể nhẩm được x = 2 là giá trị làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau . Do đó ta có thể dùng phương pháp liên hợp Giải : Điều kiện x Bất phương trình tương đương x 3x 2( x 2) x Xét f(x) = x Ta có f / ( x) x ( x ( x 2)( x 1) x ( x 2) x 3x f ( x) f ( ) >0 3 3x 3x 2) Do đó bất phương trình x x 1 3x 3x x2 >0 x x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= ;3 * Chú ý: 1. Trong bài tốn này, việc thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x = 2 thì hai vế của BPT bằng nhau 2. Có thể xuất hiện bất phương trình có chỉ số căn khác nhau Ví dụ 3 : Giải bất phương trình x x x 2 x Phân tích: Nhiều khi học sinh nhìn thấy với bất phương trình có các chỉ số căn khác nhau là cảm thấy lúng túng nhưng ta ln nghĩ đến phương pháp nhẩm nghiệm để liên hợp . Nhận thấy x = 2 là một giá trị làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau . Thay x = 2 ta được x và x Vì vậy ta có thể thêm bớt số để có cách giải Giải : Điều kiện x Bất phương trình tương đương với : ( x 2) 2( x 3) x 2 x (x2) ( x 6) 10 23 x x 5x biểu thức trong ngoặc vng ln âm . Do đó bất phương trình Với đk x tương đương x2 0 do đó ( 1) x x x x 2x Đặt t = ( t x Vì t nên t x 2x x t 0) ta có bất phương trình 2t x2 6x x 13 x 13 3t t 2 Kết hợp ĐK suy ra nghiệm của bất phương trình là S = 13; ) 2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Đó là phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình về bất phương trình gồm cả ẩn cũ và ẩn mới Ví dụ : Giải bất phương trình x (3x x 4) x Phân tích : Đây là bất phương trinh mà nhìn vào biểu thức tương đối phức tạp . Nếu đổi ẩn hồn tồn thì bất phương trình trở về bất phương trình bậc 6 . Rõ ràng khơng dễ gì mà giải được bất phương trình này . Do đó ta nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Giải : ĐK x y Đặt y = x y x Bất phương trình trở thành x (3x y ) y Nếu y = 0 thì x = 1 bất phương trình ln đúng Nếu y > 0 thì x > 1 chia cả hai vế của bất phương trình cho y3 ta được x ( )3 y x 3( ) y Nếu x y x x x ( 1)( y y x 2) x x y x y 2 2 11 Nếu x y x x 1 x Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình T = 1; 3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ Ví dụ 1 : Giải bất phương trình x 24 Điều kiện : x 12 Đặt x 24 u 12 x v (v 0) x 24 u3 12 x v2 12 x u3 v2 36(1) Ta có hệ u v 6( 2) (1) u3 36 v u 36 v Ta có bất phương trình 36 v v (v 6)(v 3)(v 10) x 88; 24 v 0;3 36 v (6 v ) 6;10 3; Kết hợp đk ta có tập nghiệm của bất phương trình là T = 88; 24 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : x x x2 3;13 (1) Giải: Điều kiện : x −1 Nhận thấy x = 1 là nghiệm của bất phương trình (1) � Đặt : ( x + 1)( x − x + 2) �( x − x + 2) + ( x + 1) a = x2 − x + b = x +1 0 −−= x −+x = 2−�� x −+ �۳ x 2 x ( x 1) Có : a −=b−+ Khi đó bất phương trình trở thành : 2 ab �a+2 �b−+ �� 2a−− �� 5ab −�۳ b2 (a 2b)(2a b) (a b)(a b) a 2b a a b 2b Suy ra : x − x + �2 x + � x − x + �4 x + x − x − � −�; x �� � � � − 33 � � + 33 ; +�� �U � � �� � Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: T = � � + 33 ; + U{ −1} � � 4. Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình lượng giác 12 Ví dụ : Giải BPT : x Giải : Điều kiện : x 0;1 * Đặt x cos t với t Do sin t sin t và nên sin t 0; x5 BPT (1) trở thành : sin t cos t * Do đó BPT đã cho có nghiệm là x Bài tập tự luyện: Giải các BPT: 1) x 3x x 3x 2) x 7x 3) x x2 x 4) 5) x x x2 1 x2 7) x 2x x 8) x3 35 9) 1 10) 4x x x 6) x 11) x 12) với t 0; 0;1 x 42 x 181 14 x x x x2 x x2 x x3 x 3 x 35 x 30 x x2 x2 x 49 x sin t cos t cos t x x x x 18 3 x2 168 x x3 4x 7x 1 3x 13) x x2 14) 2x 2x 2x 2x 2x 2x III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc sử dụng phương pháp vec tơ 1. Kỹ năng sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1.1. Bất đẳng thức thông dụng: * Bất đẳng thức Côsi: Với a1 0, a 0, , a n ta có a1 a a n n n a1 a a n Dấu “=” xảy ra khi a1 a a n * Bất đẳng thức Bunhiacopski : 13 Với mọi a1 , a , , a n , b1 , b2 , , bn ta ln có : a1b1 a b2 a n bn a12 a 22 a n2 b12 b22 bn2 Dấu « = » xảy ra khi a1 b1 a2 b2 an bn 1.2. Các ví dụ : Ví dụ 1 : Giải BPT : x Giải : Điều kiện : Khi đó ( 1) x x x 0 x x x x2 x (*) 2 x2 x2 4 x x4 16 x4 16 1 x2 x4 16 Điều này ln đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (*) 1;1 Vậy nghiệm của BPT là x Ví dụ 2 : Giải BPT : x 2x x (2) x Giải : Điều kiện: x (*). * Ta có: x x Vậy (2) x x x2 x x2 x 1 x2 x2 x x x (3) x Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có: x x 1 1 x * Dấu bằng xảy ra khi x x x x x x x x x 0 Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: x Giải : Điều kiện x x (4) x x 1 + < 2x ( x 1) 2x ( x 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicỗpki ta có x x 1 + = x Đẳng thức xảy ra x 1 +1 x x = 2 x x2 Vậy nghiệm của bất phương trình là x ( x ) x 24 phương trình vơ nghiệm 2. Kỹ năng sử dụng tích vơ hướng của hai vectơ 14 2.1. Định nghĩa: u.v u v cos(u, v) a) Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng: +) Trong hệ tọa độ Oxy, nếu u ( x; y ), v ( x' ; y ' ) thì u.v x.x' y y ' +) Trong hệ tọa độ Oxyz, nếu u ( x; y; z ), v ( x' ; y ' ; z ' ) thì u.v x.x' y y ' z.z ' b) u.v u v Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng phương c) u v u v Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng 2.2. Ví dụ: Ta quay lại bài thi ĐHA2010: Giải BPT x x x2 x 1 (1) Giải: Điều kiện: x Do 2( x x 1) = (2 x 2 x >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x 2( x x (2) 2( x x (1 x) Trong mặt phẳng tọa độ lấy a (1 x; x) , b x a.b x 1) x x2 x; a b ab Vậy (2) trở thành (1;1) Khi đó: x a.b Điều này xảy ra khi a, b cùng hướng tức là x tồn tại k > 0 sao cho: a k b x k k x Nhận xét: Ta có thể xây dựng được một lớp các bài tốn tương tự trên bằng cách lấy các vectơ thích hợp IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số f đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của D Khi đó ta có : f (u ( x)) f (v( x)) u ( x) v( x) hoặc u ( x) v( x) (Tương tự cho các dấu , , ) 1. Các ví dụ. Ví dụ 1: Giải BPT : x x Giải : Điều kiện : * Khi đó x 1 x x x x x x x x 2x x (*) x x 1 x x x x x x x (2) * Xét hàm số f (t ) t t 2t với t : 15 Có f ' (t ) 3t 2t t nên f (t ) là hàm đồng biến trên 0; x 1 x * Mặt khác : (2) f ( x 1) f ( x ) x 1 x kết hợp với điều kiện (*) ta được : x Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = 1;0 Ví dụ 2: Giải bất phương trình x 2 x x x 11 Giải : Điều kiện : 1 x (1) � x − x + + x − > − x + x − x + 11 0 x x (1) x � ( x + 1) + + x − > (3 − x) + + − x Xét hàm số : f (t ) = t + + t Ta có : f '(t ) = t t +2 + t > 0∀t [ 1;3] Nên f(t) đồng biến, suy ra f( x1) > f(3 x) ↔ x – 1 > 3 – x ↔ x > 2 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là : T = ( 2 ; 3] 2. Một số Bài tập tự luyện : Giải các BPT : x2 2, x x 1, x 2 3, x x 5, x x x 4, x x x2 7, x 2 9, x 11, 2x x x2 x 4 x x x 8, 2x 3x x 100 x 12 10, x x 11 12, x 40 x 40 2x x 2x 2x 40 34 x 10 x 2x x x 4x x 10 x 50 4x x 11 6, x 50 x x2 2x x3 3x 4x 40 34 x 10 x x3 D. KIỂM NGHIỆM Khi chưa thực hiện đề tài này, trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh rất hay vướng mắc khi giải các bất phương trình vơ tỷ. Sau khi áp dụng đề tài này đã giúp học sinh giải được nhiều dạng tốn khó về bất phương trình vơ tỷ. Thơng qua giải các bất phương trình vơ tỷ, giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo trong học tốn, giúp các em tự tin hơn trong học tập Thực tế, khi thực hiện đề tài này, chất lượng môn học được nâng lên rõ rệt. Kết quả cụ thể như sau: Lớp Số Điểm 810 Điểm từ 6,5 Điểm từ 5 Điểm từ 2 Điểm dưới HS đến dưới 8 đến dưới đến dưới 5 16 12A 45 12E 45 13.3 17.8 13 15 28.9 33.3 22 19 6,5 48.9 42.2 9.8 6.7 0 0 Phần thứ ba: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Bất phương trình vơ tỷ là dạng tốn khó đối với học sinh, vì vậy khi giảng dạy phần này, cần lựa chọn phương pháp hợp lý và rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, khả năng hệ thống kiến thức. Cần chú ý sửa cho học sinh về cách trình bầy một cách tỷ mỉ Chất lượng của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào bài giảng của thầy, vì vậy mỗi dạng tốn cần có sự phân loại và hệ thống được các phương pháp giải Trên đây là một số kinh nghiệm được rút ra từ thực tiễn giảng dạy phần bất phương trình vơ tỷ. Trong khn khổ có hạn của đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp trao đổi để nội dung đề tài hồn chỉnh hơn Xin chân thành cám ơn Thanh Hóa, ngày tháng 6 năm 2015 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPI Mai Thị Mơ 17 ... 2. Có thể xuất hiện? ?bất? ?phương? ?trình? ?có chỉ? ?số? ?căn khác nhau Ví dụ 3 :? ?Giải? ?bất? ?phương? ?trình? ? x x x 2 x Phân tích: Nhiều khi? ?học? ?sinh? ?nhìn thấy với? ?bất? ?phương? ?trình? ?có các chỉ? ?số? ? căn khác nhau là cảm thấy lúng túng nhưng ta ln nghĩ đến? ?phương? ?pháp ... tài này, trong q? ?trình? ?giảng dạy tơi thấy? ?học sinh? ?rất hay vướng mắc khi? ?giải? ?các? ?bất? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỷ. Sau khi áp dụng đề tài này đã giúp? ?học? ?sinh? ?giải? ?được nhiều dạng tốn khó về ? ?bất? ?phương trình? ?vơ? ?tỷ. Thơng qua? ?giải? ?các? ?bất? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỷ, giúp? ?học? ?sinh? ?rèn luyện ... C. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Khi dạy phần? ?bất? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỷ tôi đã? ?hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?theo các? ?phương? ?pháp sau : I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kỹ năng lũy thừa hai vế 1.1.? ?Một? ?số? ?phép lũy thừa hai vế: