SKKN: Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ

Mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Phần thứ nhất :  ĐẶT VẤN ĐỀ Xuất phát từ mục đích của việc dạy và học tốn ở trường THPT; trong  việc dạy học ta ln coi mục đích chủ  yếu của bài tập tốn là hình thành và  phát triển tư duy tốn học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng   kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương   pháp giải từng dạng tốn là hết sức cần thiết Bất phương trình vơ tỷ  là một trong những nội dung kiến thức quan   trọng trong chương trình tốn THPT. Bất phương trình vơ tỷ  thường được  dùng để  ra đề  thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Để  giải được bất   phương trình vơ tỷ  thì học sinh phải nắm vững định nghĩa về  bất phương   trình, định nghĩa về  bất  phương trình vơ tỷ  , hai bất phương trình tương  đương, các phép biến đổi tương đương bất phương trình…       Vấn đề  đặt ra là, làm thế  nào để  nâng cao chất lượng giảng dạy và kết   học tập của học sinh. Bước vào năm học 2014­2015 được phân cơng  giảng dạy mơn tốn lớp 12, trước khi dạy ơn thi THPT Qc gia mơn tốn   phần Bất phương trình vơ tỷ, tơi đã chuẩn bị đề tài này, xem như một cải tiến   phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vơ  tỷ” Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. CƠ SỞ LÝ LUẬN *). Định nghĩa  : Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng  có cùng tập nghiệm *)Tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ quả : +) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà khơng làm   thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương  đương.  +) Nhân (chia) hai vế  của bất phương   trình với cùng một biểu thức ( ln   dương hoặc  âm)  mà khơng làm thay  đổi  điều kiện của bất phương trình  tương đương  +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ  hai vế của một bất phương trình   tương đương  +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế  khi hai vế  của bất   phương trình cùng dương ta được bất phương trình tương đương  +) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi  chiều ta được bất phương trình tương đương   Từ  tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ  quả  ta rút ra một số  kỹ  năng sau trong phép biến đổi tương đương B. THỰC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Ba Đình, đặc biệt là học sinh  khối lớp 12 chuẩn bị thi THPT quốc gia, khi giải các bài tốn về bất phương   trình vơ tỷ các em gặp nhiều khó khăn, chưa định hình được cách giải. Ngồi       hay   vướng   mắc     sai   lầm       kết   hợp   nghiệm     bất   phương trình vơ tỷ   hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế  mà  khơng xét dấu của hai vế  dẫn tới phép biến đổi khơng tương đương….Tóm  lại kỹ năng giải cũng như  khai thác bài tốn về  bất phương trình vơ tỷ   của   học sinh cịn hạn chế. Kết quả khảo sát về giải bất phương trình vơ tỷ  thấp   so với u cầu. Cụ thể: Lớp Số  Điểm 8­10 Điểm từ 6,5  Điểm từ 5  Điểm từ 2  Điểm dưới  HS đến dưới 8 đến dưới  đến dưới 5 6,5 12A 45 6.7 13.4 17 37.7 13 28.8 13.4 12E 45 4.4 15.4 16 35.5 12 26.6 18.0 C. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN  Khi dạy phần bất phương trình vơ tỷ   tơi đã hướng dẫn học sinh theo   các phương pháp sau : I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kỹ năng lũy thừa hai vế 1.1. Một số phép lũy thừa hai vế: a)     k f ( x) b)      k f ( x) *)       2k 2k g ( x) g ( x) f (x) >g(x) *)        f (x)  Bất phương trình tương đương x2 – 3x  x x  Kết hợp điều kiện ta được x   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  Ví dụ 3 : x ( x 2) ( x 1)  3; x  Phân tích :  Khi gặp phải bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu nhiều khi học  sinh rất hoang mang bởi vì ta chưa  xác định được dấu của mẫu   Đối với bài tốn này việc xác định dấu của mẫu rất đơn giản   Ta cần có điều kiện  x  Với điều kiện  x  thì  ( x 1) cách giải sau  Giải : Điều kiện  x  Khi  x  ta có  ( x 1) x x  Do đó bất phương trình đã cho tương đương với   x( x 2) ( x 1) x2 2x x3 2x ( x 1)( x x3 3x  Do đó ta có  x x 2( x 1) x( x 1) x 2( x 1) x x x2 x) x 0   Vì x  nên x + 1>0  Khi đó  x x x x                                                x2 x x ( x2 x 1)  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là   x  5. Kỹ năng nhân chia liên hợp :  5.1. Cách giải:  +) Tìm giá trị của x làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau       Hướng dẫn học sinh nhẩm nghiệm hoặc ghi biểu thức lên máy để  tìm   nghiệm   +)  Nếu x = a là một giá trị  làm cho hai vế  bằng nhau thì biểu thức của bất  phương trình phải xuất hiện nhân tử chung  (x – a) 5.2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải BPT :   x 15 3x x  (1) Giải: Ta có (1)  x 15 x 15 x x 15 x2 x2 x Từ (2) ta có   3x 3x 3x x 15 x2 3x  (2) * Mặt khác:  (1)  x        x 15 3x x x 15 x x 15 x x2    x 2  nên  x 15 x x x 15 x2 Vậy  (3)  x x 3( x 1) x2 (3) x2 * Lại có : Vì  x x2 x x 15 x x2 Kết luận : BPT (1) có tập nghiệm là T =  1; Ví dụ 2 :Giải bất phương trình  x x x 3x Phân tích: Trong phương trình có chứa hai căn bậc hai, ngồi căn là một tam  thức bậc hai. Có thể  nhẩm được x = 2 là giá trị  làm cho hai vế  của bất  phương trình bằng nhau . Do đó ta có thể dùng phương pháp liên hợp    Giải :  Điều kiện x  Bất phương trình tương đương  x 3x 2( x 2)                                                  x                                                  Xét f(x) = x Ta có  f / ( x) x ( x ( x 2)( x 1) x ( x 2) x 3x f ( x) f ( ) >0 3 3x 3x 2)  Do đó bất phương trình  x x 1  3x 3x x2 >0  x x  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= ;3 * Chú ý: 1. Trong bài tốn này, việc thêm bớt, nhóm các số  hạng với nhau để  xuất hiện nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x = 2 thì hai vế của   BPT bằng nhau 2. Có thể xuất hiện bất phương trình có chỉ số căn khác nhau   Ví dụ 3 : Giải bất phương trình  x x x 2 x  Phân tích:  Nhiều khi học sinh nhìn thấy với bất phương trình có các chỉ số  căn khác nhau là cảm thấy lúng túng nhưng ta ln nghĩ đến phương pháp  nhẩm nghiệm để liên hợp . Nhận thấy x = 2 là một  giá trị làm cho hai vế của   bất phương trình bằng nhau . Thay x = 2 ta được  x  và  x  Vì  vậy ta có thể thêm bớt số để có cách giải  Giải : Điều kiện  x  Bất phương trình tương đương với :            ( x 2) 2( x 3) x 2 x         (x­2) ( x 6) 10 23 x x 5x  biểu thức trong ngoặc vng ln âm . Do đó bất phương trình   Với đk x tương đương  x­2  0 do đó ( 1)  x x x x 2x Đặt t =      ( t x  Vì  t nên t   x 2x x t 0)  ta có bất phương trình  2t x2 6x x 13 x 13 3t t 2 Kết hợp ĐK suy ra nghiệm của bất phương trình là S =  13; )  2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn   Đó là phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình về bất phương trình   gồm cả ẩn cũ và ẩn mới  Ví dụ : Giải bất phương trình  x (3x x 4) x Phân tích : Đây là bất phương trinh mà nhìn vào biểu thức tương đối phức   tạp . Nếu đổi ẩn hồn tồn thì bất phương trình trở về bất phương trình bậc  6 . Rõ ràng khơng dễ  gì mà giải được bất phương trình này . Do đó ta nghĩ   đến phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn  Giải : ĐK  x y Đặt  y =  x y x Bất phương trình trở thành  x (3x y ) y Nếu y = 0 thì x = ­1 bất phương trình ln đúng  Nếu y > 0 thì x > ­ 1 chia cả hai vế của bất phương trình cho y3 ta được  x ( )3 y x 3( ) y Nếu  x y x x x ( 1)( y y x 2) x x y x y     2 2 11 Nếu  x y x x 1 x Kết   hợp   với   điều   kiện   ta   có   tập   nghiệm     bất   phương   trình     T   =  1;  3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ   Ví dụ 1 : Giải bất phương trình  x 24 Điều kiện : x 12 Đặt  x 24 u 12 x v (v 0) x 24 u3 12 x v2 12 x   u3 v2 36(1) Ta có hệ  u v 6( 2) (1)  u3 36 v u 36 v Ta có bất phương trình   36 v v (v 6)(v 3)(v 10) x 88; 24 v 0;3 36 v (6 v ) 6;10 3; Kết hợp đk ta có tập nghiệm của bất phương trình là T =  88; 24 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : x x x2 3;13        (1) Giải: Điều kiện :  x −1   Nhận thấy x = ­1 là nghiệm của bất phương trình (1)  � Đặt :  ( x + 1)( x − x + 2) �( x − x + 2) + ( x + 1)   a = x2 − x + b = x +1 0   −−= x −+x = 2−�� x −+ �۳ x 2 x ( x 1) Có :  a −=b−+ Khi đó bất phương trình trở thành : 2 ab �a+2 �b−+ �� 2a−− �� 5ab −�۳ b2 (a 2b)(2a b) (a b)(a b) a 2b a a b  2b   Suy ra :  x − x + �2 x + � x − x + �4 x +           x − x −         � −�;   x �� � � � − 33 � � + 33 ; +�� �U � �  �� � Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là:  T =  � � + 33 ; + U{ −1}   � � 4. Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình lượng giác 12  Ví dụ : Giải BPT :  x Giải : Điều kiện :    x 0;1 * Đặt   x cos t  với  t Do  sin t sin t  và  nên   sin t 0;    x5  BPT (1) trở thành :  sin t cos t * Do đó BPT đã cho có nghiệm là  x  Bài tập tự luyện: Giải các BPT: 1)  x 3x x 3x      2)  x 7x 3)   x x2 x 4)  5)  x x x2 1 x2 7)   x 2x x 8)  x3 35 9) 1 10) 4x x x 6)   x 11)  x 12)   với  t 0; 0;1 x 42 x 181 14 x       x x x2        x x2 x x3 x 3 x                     35 x 30 x                       x2 x2 x 49 x sin t cos t cos t x x x x 18 3 x2 168 x       x3 4x 7x 1 3x 13)  x                           x2 14)  2x 2x 2x 2x 2x 2x III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc sử dụng phương pháp vec tơ 1. Kỹ năng sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1.1. Bất đẳng thức thông dụng:     * Bất đẳng thức Côsi:  Với  a1 0, a 0, , a n  ta có  a1 a a n n n a1 a a n Dấu “=” xảy ra khi  a1 a a n     * Bất đẳng thức Bunhiacopski : 13 Với mọi  a1 , a , , a n , b1 , b2 , , bn  ta ln có :                     a1b1 a b2 a n bn a12 a 22 a n2 b12 b22 bn2 Dấu « = » xảy ra khi  a1 b1 a2 b2 an bn 1.2. Các ví dụ : Ví dụ 1  : Giải BPT :  x Giải : Điều kiện :    Khi đó ( 1)  x x x 0 x x x       x2 x  (*) 2 x2 x2    4 x x4 16 x4 16 1 x2 x4 16 Điều này ln đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (*) 1;1 Vậy nghiệm của BPT là  x Ví dụ 2 : Giải BPT :  x 2x x  (2)   x Giải : Điều kiện:   x   (*).   * Ta có:  x x Vậy (2)  x x x2 x x2 x 1 x2 x2 x x x  (3) x Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có:              x x 1 1 x * Dấu bằng xảy ra khi  x x x x x x x x x 0  Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau:  x Giải : Điều kiện x  x  (4)  x x 1 + < 2x ( x 1) 2x ( x 1)  Áp dụng bất đẳng thức Bunhicỗpki  ta có  x x 1 + = x Đẳng thức xảy ra  x 1 +1 x x = 2 x x2  Vậy nghiệm của bất phương trình là x  ( x ) x 24 phương trình vơ nghiệm 2. Kỹ năng sử dụng tích vơ hướng của hai vectơ 14 2.1. Định nghĩa:  u.v u v cos(u, v) a) Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng:    +)  Trong hệ  tọa độ Oxy, nếu  u ( x; y ), v ( x' ; y ' )  thì  u.v x.x' y y '    +) Trong hệ  tọa độ Oxyz, nếu  u ( x; y; z ), v ( x' ; y ' ; z ' )  thì  u.v x.x' y y ' z.z ' b)   u.v u v    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u, v  cùng phương c)  u v u v  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u, v  cùng hướng 2.2. Ví dụ:  Ta quay lại bài thi  ĐH­A­2010:  Giải BPT   x x x2 x 1  (1)   Giải: Điều kiện:  x Do  2( x x 1) =  (2 x 2 x >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x 2( x x     (2) 2( x x (1 x)  Trong mặt phẳng tọa độ lấy  a (1 x; x) ,  b x           a.b x 1) x x2 x; a b ab Vậy (2) trở  thành    (1;1)  Khi đó:  x a.b  Điều này xảy ra khi    a, b  cùng hướng tức là  x tồn tại k > 0 sao cho:  a k b x k k x Nhận xét: Ta có thể xây dựng được một lớp các bài tốn tương tự trên bằng   cách lấy các vectơ thích hợp IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ    Giả sử hàm số f  đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của   D Khi đó  ta có :  f (u ( x)) f (v( x)) u ( x) v( x)   hoặc  u ( x) v( x)           (Tương tự cho các dấu  , , ) 1. Các ví dụ.   Ví dụ 1: Giải BPT :  x x Giải : Điều kiện :  *  Khi đó                      x 1 x x x x x x x x 2x     x  (*) x x 1 x x x x x x     x  (2) * Xét hàm số  f (t ) t t 2t  với  t  : 15     Có  f ' (t ) 3t 2t t  nên  f (t )  là hàm đồng biến trên  0; x 1 x *   Mặt   khác :   (2)   f ( x 1) f ( x ) x 1 x kết hợp với điều kiện (*) ta được :  x Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S =  1;0 Ví dụ 2: Giải bất phương trình  x 2 x x x 11 Giải : Điều kiện : 1 x   (1)  � x − x + + x − > − x + x − x + 11   0  x x   (1) x � ( x + 1) + + x − > (3 − x) + + − x   Xét hàm số :  f (t ) = t + + t   Ta có :  f '(t ) = t t +2 + t > 0∀t [ 1;3]   Nên f(t) đồng biến, suy ra f( x­1) > f(3 ­ x) ↔ x – 1 > 3 – x ↔ x > 2 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là : T = ( 2 ; 3] 2. Một số Bài tập tự luyện : Giải các BPT :  x2      2,  x x 1, x 2 3,  x x 5,   x x x             4,  x x x2 7, x 2 9,  x 11,   2x x x2 x 4 x x x      8,  2x 3x x 100 x 12     10,  x x 11      12,  x 40 x 40 2x x 2x 2x 40 34 x 10 x 2x x x 4x x 10 x 50 4x x 11         6,  x 50 x x2 2x x3 3x 4x 40 34 x 10 x x3 D. KIỂM NGHIỆM Khi chưa thực hiện đề  tài này, trong q trình giảng dạy tơi thấy học   sinh rất hay vướng mắc khi giải các bất phương trình vơ tỷ. Sau khi áp dụng  đề  tài này đã giúp học sinh giải được nhiều dạng tốn khó về  bất phương   trình vơ tỷ. Thơng qua giải các bất phương trình vơ tỷ, giúp học sinh rèn luyện  khả  năng tư  duy, phát huy tính chủ  động, tích cực, sáng tạo trong học tốn,  giúp các em tự tin hơn trong học tập Thực tế, khi thực hiện đề tài này, chất lượng môn học được nâng lên rõ  rệt. Kết quả cụ thể như sau: Lớp Số  Điểm 8­10 Điểm từ 6,5  Điểm từ 5  Điểm từ 2  Điểm dưới  HS đến dưới 8 đến dưới  đến dưới 5 16 12A 45 12E 45 13.3 17.8 13 15 28.9 33.3 22 19 6,5 48.9 42.2 9.8 6.7 0 0 Phần thứ ba:  KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Bất phương trình vơ tỷ  là dạng tốn khó đối với học sinh, vì vậy khi   giảng dạy phần này, cần lựa chọn phương pháp hợp lý và rèn luyện cho học   sinh khả  năng tư  duy, khả  năng hệ  thống kiến thức. Cần chú ý sửa cho học  sinh về cách trình bầy một cách tỷ mỉ Chất lượng của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào bài giảng của thầy,  vì vậy mỗi dạng tốn cần có sự phân loại và hệ thống được các phương pháp  giải Trên đây là một số  kinh nghiệm được rút ra từ  thực tiễn giảng dạy   phần bất phương trình vơ tỷ. Trong khn khổ có hạn của đề tài khơng tránh   khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp trao đổi để  nội dung đề  tài hồn   chỉnh hơn Xin chân thành cám ơn                                                                     Thanh Hóa, ngày    tháng 6 năm 2015 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG                     CAM KẾT KHÔNG COPI                                                                                                                                                                             Mai Thị Mơ 17 ... 2. Có thể xuất hiện? ?bất? ?phương? ?trình? ?có chỉ? ?số? ?căn khác nhau   Ví dụ 3 :? ?Giải? ?bất? ?phương? ?trình? ? x x x 2 x  Phân tích:  Nhiều khi? ?học? ?sinh? ?nhìn thấy với? ?bất? ?phương? ?trình? ?có các chỉ? ?số? ? căn khác nhau là cảm thấy lúng túng nhưng ta ln nghĩ đến? ?phương? ?pháp ...  tài này, trong q? ?trình? ?giảng dạy tơi thấy? ?học   sinh? ?rất hay vướng mắc khi? ?giải? ?các? ?bất? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỷ.  Sau khi áp dụng  đề  tài này đã giúp? ?học? ?sinh? ?giải? ?được nhiều dạng tốn khó về ? ?bất? ?phương   trình? ?vơ? ?tỷ.  Thơng qua? ?giải? ?các? ?bất? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỷ,  giúp? ?học? ?sinh? ?rèn luyện ... C. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN  Khi dạy phần? ?bất? ?phương? ?trình? ?vơ? ?tỷ   tôi đã? ?hướng? ?dẫn? ?học? ?sinh? ?theo   các? ?phương? ?pháp sau : I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kỹ năng lũy thừa hai vế 1.1.? ?Một? ?số? ?phép lũy thừa hai vế: