Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp 1: Đưa về góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau rồi sử dụng kiến thức hình học phẳng để tính góc đó ( hệ thức lượng trong tam giác , định lí sin, định lí cosin…). Góc gi ữa đường [r]
(1)Tailieumontoan.com
Sưu tầm
CHUYÊN ĐỀ
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
(2)PHẦN I
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Góc hai đường thẳng
Định nghĩa :
• Góc giữa hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn góc mà a b cắt tạo nên
• Góc giữa hai đường thẳng a b khơng gian góc hai đường thẳng a′ b′ qua
một điểm song song (hoặc trùng) với a b
• Chú ý : góc giữa hai đường thẳng ln góc nhọn vng
Phương pháp :
Phương pháp 1:
• Tính góc giữa hai đường thẳng cắt O song song với hai đường thẳng cho
Chú ý: Điểm O nằm đường thẳng a b
Phương pháp 2:
• Tính góc hai vectơ phương, từ suy góc hai đường thẳng
Chú ý: Nếu ,u v lần lựợt hai vectơ phương hai đường thẳng a b, :
- Nếu ( )
, 90
u v ≤ góc hai đường thẳng góc ( )u v ,
- Nếu ( )
, 90
u v > góc hai đường thẳng ( )
180 − u v ,
Một số công thức cần nhớ :
Để tính góc hai đường thẳng khơng gian cần nhớ công thức sau:
(3)• Định lý hàm số cosin tam giác : 2
2
AB AC BC
ABC cosBAC
AB AC
+ −
∆ =
1( 2 2)
2
AB AC=AB AC cosBAC = AB +AC −BC
• Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc gi ữa hai vectơ AB CDdựa vào công
thức ( ) ( )
; ;
AB CD AB CD
cos AB CD cos AB CD
AB CD AB CD
= ⇒ =
từ suy góc hai đường thẳng
AB CD
2 Góc đường thẳng mặt phẳng
Định nghĩa :
Cho đường thẳng d mặt phẳng ( )α
• Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( )α ta nói rằng góc đường thẳng d
mặt phẳng ( )α 900
• Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng ( )α ta nói góc đường thẳng
d hình chiếu d ' gọi góc đường thẳng d mặt phẳng ( )α
• Chú ý: - Nếu ϕ góc d ( )α ta ln có 00 ≤ ≤ϕ 900
Nếu đường thẳng d nằm (𝛼)
Phương pháp :
• Xác định giao điểm O của d ( )α
• Lấy điểm A tùy ý d khác với O
H A ( )α
d
d'
O A
(4)• ϕ góc d ( )α ϕ=AOH
3 Góc hai mặt phẳng
Định nghĩa :
• Góc hai mặt phẳng ( )α ( )β góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng
đó
• Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng
Phương pháp :
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vng góc với hai mặt phẳng ( )α ( )β Khi đó, góc hai mặt phẳng ( )α ( )β (( ) ( )α , β )=( )a b, Tính góc ( )a b ,
Phương pháp 2:
• Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng ( )α ( )β
• Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến c
một điểm c Khi đó: (( ) ( )α , β )=( )a b,
• Hay ta xác định mặt phẳng phụ ( )γ vng góc với giao tuyến c mà ( ) ( )α ∩ γ = , a ( ) ( )β ∩ γ = Suy b
ra (( ) ( )α , β )=( )a b,
(5)• Nếu có đoạn thẳng nối hai điểm A, B (A∈( )α ,B∈( )β ) mà AB⊥( )α qua A B ta
dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến c hai mặt phẳng I Khi (( ) ( )α , β )=AIB
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Góc hai mặt phẳng
Góc hai đường thẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng
(ABC), SA= 2a, tam giác ABC vuông cân tại B va AC= 2a (minh họa hình bên) Góc đường
thẳng SB mặt phẳng (ABC) bằng
A 30o B. 45o C 60o D. 90o
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định giao điểm đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) B
B2: Xác định hình chiếu S mặt phẳng (ABC) A
B3: Góc giữa SB mặt phẳng (ABC) SBA Tính SBA
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn B
Ta có: SB ((ABC)) B AB
SA ABC
∩ =
⇒
⊥
(6)( )
(SB ABC, ) ( SB AB, ) SBA.
⇒ = =
Do tam giác ABC vuông cân B
( )
2 2
2
2 2
2
2
2
AC AB BC
AC AB
a AB
AB a
⇒ = +
⇔ =
⇔ =
⇔ =
Xét tam giác SAB vuông tại A cóSA=AB=a
SAB
⇒ ∆ vng cân A⇒SBA 45 = o
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Cho tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi vng góc với nhau, biết AB= AC=AD=
Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng
A 45o B. 60° C 30° D. 90°
Lời giải
Chọn D
CÁCH Vì AB AC AB (ACD) AB CD
AB AD
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
CÁCH
Gọi M N P, , trung điểm cạnh BC AC AD, ,
Trong ∆ABC, có
//
1
2
MN AB
MN AB
= =
(Tính chất đường trung bình)
P
N M
1 1
1
D
C
B
(7)Trong ∆ACD, có //
1
2
NP CD
NP CD
= =
(Tính chất đường trung bình)
Trong ∆AMP, có
2
2 2
2 2
MP= AP +AM = + =
Ta có // ( ; ) ( ; )
//
MN AB
AB CD MN NP MNP
NP CD
⇒ = =
Áp dụng định lý Cosin cho MNP∆ , có
2 2
2 2
2
2 2
cos
2
2
2
NP NM MP
MNP
NP NM
+ −
+ −
= = = ⇒MNP 90= °
Hay (AB CD; )= ° 90
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a , AD=2a , SA=3a
SA vng góc với mặt đáy Góc đường thẳng SD mặt phẳng (ABCD )
A. SAD B ASD C. SDA D BSD
Lời giải
Chọn C
Ta có SA⊥(ABCD )
⇒ AD hình chiếu vng góc SD xuống mặt (ABCD )
( )
( , ) (, )
⇒ SD ABCD = SD AD =SDA
Câu (THPT Kim Liên – Hà Nội - Lần năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương
ABCD A BC D′ ′ ′ Tính góc mặt phẳng(ABCD ) (ACC A′ ′ )
A. 45° B. 60° C 30° D 90°
Lời giải S
A
B
C
(8)Do AA′⊥(ABCD) (⇒ ACC A′ ′) (⊥ ABCD)
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a SA=a SA vng góc mặt phẳng đáy Góc cạnh bên SC với đáy
A 60° B 30° C. 45° D. 90°
Lời giải Chọn C
Hình chiếu vng góc SC mặt phẳng (ABCD AC )
Do góc SC đáy góc SCA
Tam giác SAC có SC =SA=a nên tam giác SAC vuông cân
45 SCA
⇒ = °
Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ (hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng AC
A D′
A. 45° B. 30° C 60° D 90°
Lời giải
C
A
D
(9)Chọn C
Ta có AC // A C' ' nên (AC A D, ′ )=( A C A D′ ′ ′, )=DA C′ ′= ° 60
Tam giác A DC có: A D' ′ =A C′ ′=C D′ ⇒ ∆ABC
60 DA C′ ′
⇒ = °
Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Góc hai đường thẳng BA′ CD bằng:
A 45° B 60° C 30° D. 90°
Lời giải
Chọn A
Có CD AB// ⇒(BA CD′, ) (= BA BA′, )=ABA′=45° (do ABB A′ ′ hình vng)
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=2a, BC= Các cạnh bên a
của hình chóp a Tính góc hai đường thẳng AB SC
A. 45° B 30° C 60° D arctan
Lời giải
Chọn A
A
B C
D B′
D′ A′
(10)Ta có AB CD nên // (AB SC; )=(CD SC; )=SCD
Gọi M là trung điểm CD Tam giác SCM vng M có SC=a 2, CM = nên a
là tam giác vuông cân M nên SCD= ° Vậy 45 (AB SC; )= ° 45
Câu Cho chóp S ABCD có đáy hình vng, SA⊥(ABCD) Góc giữa đường SC mặt phẳng
(SAD góc? )
A CSA B CSD C CDS D SCD
Lời giải
Chọn B
Ta có CD AD CD (SAD)
CD SA
⊥
⇒ ⊥
⊥
Do góc SC (SAD b) ằng góc SC SD
Do góc CSD< ° nên chọn 90 B.
Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông B, SA⊥(ABC), SA= cm, cm
AB= , BC= cm Mặt bên (SBC h) ợp với đáy góc bằng:
A 30° B 90° C 60° D 45°
Lời giải Chọn C
A D
B C
S
M
C
A D
B
(11)S
A
B
C
α
Theo giả thiết SA⊥(ABC) nên SA⊥ AB, SA⊥BC Mặt khác BC AB⊥ nên BC⊥SB
Vậy góc (SBC ) đáy góc SBA= α
Trong tam giác vuông SAB ta có: tan SA 60
AB
α = = ⇒ = ° α
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S lên
(ABC trùng v) ới trung điểm H của cạnh BC Biết tam giác SBC tam giác Tính số đo
của góc SA (ABC )
A 30° B 75° C 60° D 45°
Lời giải
Chọn D
Dễ thấy AH hình chiếu vng góc SA lên mặt phẳng đáy
Do góc tạo SA (ABC ) SAH
Mặt khác, ABC∆ = ∆SBC
2
a
SH AH
⇒ = = Vậy tam giác SAH tam giác vuông cân đỉnh
H hay SAH = ° 45
Mức độ
Câu Cho hình chóp S ABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC , bi) ết AB=AC=a,
a
a a
a
a
H
A B
C
(12)A 30° B 150° C 60° D 120°
Lời giải
Chọn D
Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥AB SA⊥ AC
Ta có :
(SAB) (SAC) SA
SA AB
SA AC
∩ =
⊥
⊥
() ( )
( SAB , SAC ) (AB AC, ) BAC
⇒ = = (hoặc góc bù với nó)
Xét ∆ABC có
2 2
cos
2
AB AC BC
BAC
AB AC
+ −
= ( )
2 2
3 1
2
a a a
a a
+ −
= = − ⇒BAC 120= °
Vậy �(𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴), (𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴)� � = 60°
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a= ;
a
AD= Mặt bên SAB
là tam giác cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD Bi) ết
120
ASB= ° Góc hai mặt phẳng (SAD ) (SBC b) ằng:
A 60° B 30° C 45° D 90°
Lời giải
Chọn A
A
C B
(13)Gọi H trung điểm AB, theo đề ta SH ⊥(ABCD)
Dựng T, K hình chiếu H lên SA , SB ⇒HT ⊥(SAD) HK ⊥(SBC)
Vậy ((SAD) (; ; SBC))=(HT HK)
Xét tứ giác SKHT có hai góc vng đối diện nên SKHT tứ giác nội tiếp
60 KHT
⇒ = ° 120ASB= °
Vậy ((SAD) (; ; 60SBC))=(HT HK)=KHT = °
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB m) ột góc 45° Gọi I trung điểm cạnh
CD Góc giữa hai đường thẳng BI SD (Số đo góc làm tròn đến hàng đơn vị)
A 39° B 42° C 51° D 48°
Lời giải Chọn C
Ta có DA AB DA (SAB) A
DA SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒
⊥
hình chiếu D lên (SAB )
o 45 DSA
⇒ =
Trong mặt phẳng (ABCD g) ọi M trung điểm AB ⇒DM //BI
Góc BI SD bằng góc DM SD bằng SDM
Đặt AB a= ⇒SA= (Vì SADa ∆ vng cân A)
2
2
SD= SA +AD =a ,
2
2 2 a a
(14)2
a
MD= AD +AM =
2 2
2 2
5
2
10
4
cos
2 5
2
2
a a
a
SD MD SM
SDM
SD MD a
a
+ −
+ −
= = = ⇒SDM 51≈ °
Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ , góc hai đường thẳng A B′ B C′ là:
A 90° B 60° C 30° D 45°
Lời giải
Chọn B
Ta có B C′ // A D′ ⇒(A B B C′ ; ′ )=(A B A D′ ; ′ )=DA B′
Xét ∆DA B′ có A D′ =A B′ =BD nên ∆DA B′ tam giác
Vậy DA B′ = ° 60
Câu hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a 2, AD= , SA vng góc với a
đáy SA a= Tính góc SC (SAB )
A 90° B 60° C 45° D 30°
Lời giải Chọn D
Ta có: BC AB SA (SAB)
BC SA
⊥
⇒ ⊥ ⇒
⊥
SB hình chiếu vng góc SC lên (SAB)
( )
( SC SAB, ) CSB
⇒ =
D
D'
A
A' C
C'
B
(15)Tam giác SAB vuông tại A có: SB= SA2+AB2 =a
Tam giác SBC vng tại B có: tan 30
3 BC
CSB CSB
SB
= = ⇒ = °
Câu Cho chóp S ABC có SA vng góc v ới đáy, tam giác ABC vuông B Biết SA AB=
BC
= Tính góc giữa đường thẳng SB mặt phẳng (SAC )
A 30° B 45° C 60° D cos1
3
arc
Lời giải
Chọn A
Gọi I là trung điểm AC ⇒BI ⊥AC (vì ∆ABC vuông cân A) ( )1
Mặt khác: SA BI⊥ (vì SA⊥(ABC)) ( )2
Từ ( )1 ( )2 , suy ra: BI ⊥(SAC) SI
⇒ hình chiếu SB lên (SAC )
( )
(SB SAC, ) (SB SI, )
⇒ = =BSI.Xét ∆BSI vng I, ta có: sinBSI BI
SB
=
2
2
AB
AB
=
2
=
30 BSI
⇒ = °
Câu Cho hình chóp S ABCD có SA = , a SB=2a, SC=3a, ASB=BSC 60= ° , 90CSA= ° Gọi
α góc giữa hai đường thẳng SA BC Tính cosα
A cos
7
α = B cos
7
α = − C cosα =0 D cos
3
α =
Lời giải
I A
B
(16)cosα = cos(SA BC , )
SA BC
SA BC =
.( )
SA SC SB
SA BC − =
SA SC SA SB
SA BC − =
2
.S cos 90 cos 60
2.2 cos 60
SA C SA SB
a a a a a
° − °
=
+ − °
7
=
Câu Cho tứ diện ABCD , M là trung điểm cạnh BC Khi cos(AB DM b, ) ằng
A
6 B
2
2 C
3
2 D
1
Lời giải
Chọn A
Gọi N trung điểm AC a độ dài cạnh tứ diện
Ta có MN//AB ⇒(AB DM, ) (= MN DM, )=DMN
Tam giác DMN có
2
a
DM =DN = ,
2
a
MN = AB=
2 2
cos
2
DM MN DN
DMN
DM MN
+ −
=
2 2
3
2 2
cos
6
2
2
a a a
DMN
a a
+ −
⇔ = =
A
B
C
D
M
(17)Vậy cos( , )
AB DM =
Câu Cho tứ diện có tam giác cạnh , vng góc với ,
là trung điểm đoạn , gọi góc với đó:
A B C D
Lời giải
Chọn B
Gọi trung điểm Ta có góc với góc
+
+
Vậy
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA , SB , SC đơi vng góc với SA SB SC a= = =
Gọi M trung điểm AB Tính góc giữa hai đường thẳng SM BC
A 60° B 30° C 90° D 120°
Lời giải
Chọn A
ABCD BCD a AB mp BCD( ) AB=2a
M AD ϕ CM mp BCD( )
3 tan
2
ϕ = tan
3
ϕ= tan
2
ϕ= tan
3
ϕ =
N BC CM mp BCD( ) MCN
2
AB
MN = =a
3
a
CN =
2
tan
3 MN
a
CN a
ϕ = = =
a 2a
φ N
M
B D
(18)Gọi N trung điểm AC Khi góc SM BC góc SM MN
Ta có: AB=BC =CA suy ra:
1
SM = AB (trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)
1
SN = AC (trung tuyến tam giác vuông ứng với cạnh huyền)
1
MN = BC
Suy SM =MN =SN hay tam giác SMN đều Do (SM BC; )=SMN = ° 60
Mức độ
Câu Cho hình chóp S ABC có SA =SB=SC= AB=AC = , a BC=a Tính số đo góc
hai đường thẳng AB SC ta kết quả:
A 90° B 30° C 60° D 45°
Lời giải
Chọn C
N
M
S B
A C
N M
H A
B
(19)* Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC), theo đầu SA SB SC= =
tam giác ∆ABC vng cân A ta có H trung điểm BC Gọi M , N lần lượt trung
điểm SA, SB ta có: //
//
MN AB
HN SC
⇒ Góc AB SC góc MN HN
Xét tam giác ∆MNH ta có: ;
2
AB a
MN= = ;
2
SC a
HN = =
2
SA a
MH = = ( Do SHA∆ vuông
tại H)
⇒ tam giác ∆MNH tam giác ⇒ MNH = ° Vậy góc cần tìm 60° 60
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy, khối chóp S ABCD có thể tích
3
a
Gọi α góc hai mặt phẳng
(SAD ) (SBD Tính ) cosα
A cos
α = B cos
3
α = C cos 2
5
α = D cos 10
5
α =
Lời giải
Chọn D
Gọi O tâm hình vuông ABCD Kẻ AH SO⊥ H
Ta có: BD⊥ AO, BD⊥SA⇒BD⊥(SAO)⇒BD⊥AH Vậy AH ⊥(SBD)
Lại có: AB⊥(SAD), góc α hai mặt phẳng (SAD ) (SBD góc gi) ữa hai
đường thẳng AH AB Vậy α =BAH
Khối chóp S ABCD có thể tích
3
a
nên ta có:
3
1
3
a
SA a = ⇔SA=a
Tam giác SAO vuông tại A, đường cao AH nên: 2 12 12 12 42 52
2 2
(20)Suy ra: 10
a
AH = Từ đó: cos 10
5
AH AB
α = =
Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy, AB BC a= = SA a= Góc hai mặt phẳng (SAC ) (SBC b) ằng
A 60° B 90° C 30° D 45°
Lời giải
Chọn A
Gọi H là trung điểm cạnh AC
Ta có (SAC) (⊥ ABC) (vì SA⊥(ABC)) BH ⊥AC ⇒BH ⊥(SAC)
Trong mặt phẳng (SAC , k) ẻ HK SC⊥ SC⊥(BHK)⇒SC⊥BK
() ( )
( SAC , SBC ) SKH ϕ
⇒ = =
Mặt khác Tam giác ABC vng cân B có AB=BC= nên a AC =a
2
a
BH =
Hai tam giác CKH CAS đồng dạng nên HK HC SA
SC
=
2
3
HC SA a
HK
SA AC
⇔ = =
+
Tam giác BHK vng H có tan BH
BK
ϕ= = ⇒ =ϕ 60°
Vậy ((SAC) (, SBC))=60°
Câu Cho hình chóp S ABC có SA=SB=SC=AB=AC = , BC= Tính góc hai đường thẳng AB, SC
A 45° B 120° C 30° D 60°
Lời giải
Chọn D
S
A C
B K
H
(21)Tam giác ABC vuông tại A tam giác SBC vng S AB= AC= , BC=
1
SB=SC= , BC =
Ta có SC AB =SC SB( −SA) = SC SB −SC SA cos 60
SC SB
= − ° = −
Suy cos(SC AB; )= cos(SC AB ; )
SC AB
SC AB
= =
Vậy góc hai đường thẳng AB, SC
bằng 60°
Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ (hình bên) Tính góc đường thẳng AB′ mặt
phẳng (BDD B′ ′ )
A 60° B 90° C 45° D 30°
Lời giải
Chọn D
Gọi O tâm hình vng ABCD ta có AO BD⊥ (1)
Mặt khác ta lại có ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ hình lập phương nên BB′ ⊥(ABCD)⇒BB′⊥ AO (2)
Từ (1) (2) ta có AO⊥(BDD B′ ′)⇒(AB′,(ABCD))=(AB B O′ ′, )=AB O′
Xét tam giác vng AB O′ có sin
2 AO AB O
AB
′ = =
′ ⇒ 30AB O′ = °
Vậy (AB′,(ABCD))= ° 30
H
B C
A
S
O D' B'
A'
C'
C B
(22)Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có tất cạnh Gọi α góc hai mặt phẳng (AB C′ ′ ) (A BC′ ), tính cosα
A 1
7 B
21
7 C
7
7 D
4
Lời giải
Chọn A
Giả sử cạnh hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có độ dài a
Gọi M =A B′ ∩AB′ N = A C′ ∩AC′
Khi (AB C′ ′) (∩ A BC′ )=MN
Kẻ A I MN′ ⊥ (I∈MN) mà AA′ ⊥BC, BC MN// ⇒ AA′⊥MN Vậy AI MN⊥
Khi ((AB C′ ′) (, A BC′ ))=(AI A I, ′ )= α
Gọi J trung điểm BC
3
a
AJ = , 2
2
A J′ = AA′ +AJ = a
2
a
A I′ A J′
⇒ = =
Xét tam giác ∆A IA′ có:
2
cos
2
AI A I AA
A IA
AI A I
′ ′
+ − −
′ = =
′ ( ) ( )
1
cos cos , cos 180
7
AI A I A IA
α ′ ′
⇒ = = − =
Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi M là điểm đoạn SD
(23)
Tan góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD )
A 1
3 B
5
5 C
3
3 D
1
Lời giải
Chọn D
Ta có BD=a 2
2
a OD
⇒ =
Xét tam giác SOD vuông O có:
2
2 2 2
2
a a
SO= SD −OD = a − =
Kẻ MH ⊥BD H nên (BM;(ABCD))=MBH
Do MH ⊥BD ⇒MH//SO Ta có
3
MH MD HD
SO = SD = OD =
2
3
SO a
MH
⇒ = =
3
a
HD= OD= 2
6
a a
BH BD HD a
⇒ = − = − =
Xét tam giác BHM vng H có:
( )
( )
tan BM; ABCD MBH MH
BH
= = tan( ;( ))
5
BM ABCD
⇒ =
Câu Cho hình chóp S ABC có SC⊥(ABC) tam giác ABC vuông tại B Biết AB a= ,
AC =a , SC=2a Sin góc hai mặt phẳng (SAB , ) (SAC b) ằng
A
3 B
3
13 C 1 D
5 S
A
B C
D M
O H
S
A
B C
(24)Chọn B
Trong mặt phẳng (SAC t) ừ C kẻ CI SA⊥ , I∈SA Trong mặt phẳng (SAB t) I kẻ
IH ⊥SA cắt SB H
Ta có: AB⊥SC, AB⊥BC ⇒AB⊥(SBC) ⇒ AB⊥CHmà CH ⊥SB ⇒CH ⊥(SAB)
CH SA
⇒ ⊥ mà CI ⊥SA⇒SA⊥(CIH) Khi góc hai mặt phẳng (SAB , ) (SAC )
CIH Vì CH ⊥(SAB)⇒CH ⊥IH hay tam giác CHI vuông tại H
Xét tam giác vng SAC có:
2
SC CA CI
SC CA
=
+
2
3
a
=
Xét tam giác vng SBC có:
2
SC CB CH
SC CB
=
+
2
2 2
SC CA AB
SC CA AB
− =
+ −
2 78
13
a
=
Khi góc hai mặt phẳng (SAB , ) (SAC ) CIH nên sinCIH CH
CI
=
13
=
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , đường thẳng SO vng góc với
mặt phẳng (ABCD Bi) ết ,
3
a
BC =SB=a SO= Tìm số đo góc hai mặt phẳng
(SBC ) (SCD )
A 90° B 60° C 45° D 30°
Lời giải Chọn A
Gọi M là trung điểm SC , tam giác SBC cân B nên ta có SC⊥BM (1)
a a 2a
S
C
B
A I
H
S
A
B C
D
(25)Theo giả thiết ta có BD⊥(SAC)⇒SC ⊥BD Do SC⊥(BCM) suy SC⊥DM (2)
Từ (1) (2) suy góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD góc gi) ữa hai đường thẳng
BM DM
Ta có ∆SBO= ∆CBO suy
3
a
SO=CO=
Do
2
a
OM = SC=
Mặt khác 2
3
a
OB= SB −SO = Do tam giác BMO vng cân M hay góc
45
BMO= ° , suy 90BMD= °
Vậy góc hai mặt phẳng (SBC ) (SCD 90) °
Câu 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=2a ,
= =
AD DC a , SA a= 2, SA⊥(ABCD Tính cosin c) góc hai mặt phẳng (SBC )
(SCD )
A
3 B
5
3 C
6
3 D
7
3
Lời giải
Chọn C
Gọi M =BC∩AD Khi đó: ((SBC) (, SCD))=((SCM) (, SCD))
Gọi H hình chiếu D lên SC , kẻ HK//MC (K∈SM ta có: )
() ( )
( SCM , SCD )=KHD=α
1 1 1 a
S
A
D C
B
M
(26)2
2
= DC = a = a
HC
SC a
Do HK//MC mà
4 =
SH
SC nên
3
2
4
= = a
HK a ;
4
= =a
KM SM
Mặt khác ta có: KDM =DSA mà sin sin
3
= =
KMD DSA nên KDM =KMD
Do đó:
4
= = a
KD KM
Xét tam giác KDH ta có:
2 2
6 cos
2
α = HD +HK −KD =
HK HD
Mức độ
Câu Cho tứ diện ABCD có AB=AC= AD= ; 601 BAC= ° ; 90BAD= ° ; 120DAC= ° Tính cơsin
của góc tạo hai đường thẳng AG CD , G trọng tâm tam giác BCD
A
6 B
1
3 C
1
6 D
1
3
Lời giải
Chọn C
*∆ABC ⇒BC =
*∆ACD cân A có CD= AC2+AD2−2AC AD .cos120° =
*∆ABD vuông cân A có BD=
*∆BCD có 2
CD =BC +BD ⇒ ∆BCD vuông B
Dựng đường thẳng d qua G song song CD , cắt BC M
Ta có MG//CD⇒(AG CD, ) (= AG MG, )
M
G I
B D
(27)Gọi I là trung điểm BC , xét ∆BDI vuông Bcó DI = BD2+BI2 2 = + =
Ta có
3
IM MG IG
IC = CD = ID =
1
IM IC
⇒ =
3
BC
=
6
= ;
3
MG= CD= ; 1
3
IG= ID=
Xét ∆AIM vng I có AM = AI2+IM2
2 2
3
2
= + =
2
cos
2
AI ID AD
AID AI ID + − = 2 3
2 4 3
9 3 2 + − = = 2
2 cos
AG= AI +IG − AI IG AID
2 2
3 3
2
2 2
= + − =
Xét ∆AMG có
( )
cos AG MG, = cosAGM
2 2
2
AG GM AM
AG GM
+ −
=
2 2
3
3 3 1
6 3 3 + − = =
Câu Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB,
BC , C D′ ′ Xác định góc hai đường thẳng MN AP
A 60° B 90° C 30° D 45°
Lời giải
Chọn D
Ta có tứ giác AMC P′ hình bình hành nên AP//MC′ ⇒(MN AP, )=(MN MC, ′)=NMC′
Gọi cạnh hình vng có độ dài a
(28)Xét tam giác C CM′ vng tại C có 2 2
a
C M′ = C C′ +MC = C C′ +BC +MB =
Xét tam giác C CN′ vuông tại C có 2
2
a
C N′ = C C′ +CN =
Mà
2
AC a
MN= =
Xét tam giác C CM′ có
2 2
2 cos
2
MC MN C N
NMC
MC MN
′ + − ′
′ = =
′
45 NMC′
⇒ = ° ⇒(MN AP, )= ° 45
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy SA=a Cho biết AB=2AD=2DC=2a Tính góc hai mặt
phẳng (SBA ) (SBC )
A arccos
4
B 30° C 45° D 60°
Lời giải
Chọn D
Gọi K trung điểm AB Hlà hình chiếu C lên SB
Ta có CK AB
CK SA
⊥
⊥
⇒CK ⊥SB Do
SB CH
SB CK
⊥
⊥
⇒HK ⊥SB
Ta có
(SAB) (SBC) SB
CH SB
HK SB
∩ =
⊥
⊥
nên góc hai mặt phẳng (SBA ) (SBC góc ) CHK
Ta có
2
2
AC a
BC a
KB a
=
=
=
(29)Ta có CB AC
CB SA
⊥
⊥
⇒CB⊥SC nên 2
1 1
CH =CB +CS
2 3
CH a
⇒ =
Mặt khác CK AD a= =
Xét tam giác CHK vuông tại K có sinCHK CK
CH
=
2
= ⇒CHK 60= °
Câu Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có đáy hình thoi cạnh a , góc 60BAD= °, AA′ =a
M trung điểm AA′ Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (B MD′ ) (ABCD) Khi
cosϕ
A
3 B
5
3 C
3
4 D
3
3
Lời giải
Chọn D
Gọi N B M BA= ′ ∩ , (B MD′ ) (∩ ABCD)=DN
Vì ABCD hình thoi có BAD= ° nên tam giác 60 ABD đều cạnh a
AM là đường trung bình tam giác NBB′ nên AN AB a= = , suy ADN∆ cân A,
180 120
DAN = ° −BAD= ° Do 30ADN = ° Suy 60 30NDB= ° + ° = ° hay BD DN90 ⊥
Theo định lý ba đường vng góc ta có B D DN′ ⊥ , góc mặt phẳng (B MD ' )
(ABCD góc gi) ữa B D′ BD B DB′
Xét tam giác B DB′ vuông B, cosB DB BD
B D
′ =
′ 2
BD
BD BB
=
′
+ 2
2
a
a a
= +
3
=
Câu Cho lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B′ lên
mặt phẳng (ABC trùng v) ới trọng tâm G tam giác ABC Cạnh bên hợp với (ABC góc )
60° Sin góc AB mặt phẳng (BCC B′ ′ )
A B C D
N M
60o
a 2
D' C' B'
A'
D C B
(30)Lời giải
Chọn A
Ta có B G′ ⊥(ABC) nên BG hình chiếu BB′ lên mặt phẳng (ABC )
( )
(BB′, ABC ) (BB BG′, )
⇒ = =B BG 60′ = °
Gọi M là trung điểm BC H hình chiếu A lên B M′ , ta có
BC AM
BC B G
⊥
⊥ ′
⇒BC⊥(AB M′ )⇒BC⊥ AH
Mà AH ⊥B M′ nên AH ⊥(BCC B′ ′)
Do HB hình chiếu AB lên mặt phẳng (BCC B′ ′ )
( )
(AB BCC B, ′ ′ )
⇒ =(AB HB, )=ABH
Xét tam giác ABH vuông H có sinABH AH
AB
=
B G′ =BG tan 60°
2
a
= = a
2
B M′ = B G′ +GM
2
2
2
a
a
= +
39
a
=
Ta có ∆AHM ∆B GM′ AH AM B G
B M
′
⇒ =
′
3
3
39 13
6 a a
a
a
= =
Vậy
3 13 sin
a
ABH a
=
13
=
G M
B B'
C C'
A A'
(31)Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a , cạnh bên AA′ =2a Hình chiếu
vng góc A′ lên mặt phẳng (ABC trùng v) ới trung điểm đoạn BG (với G trọng
tâm tam giác ABC ) Tính cosin của góc ϕ hai mặt phẳng (ABC ) (ABB A′ ′ )
A cos
95
ϕ= B cos
165
ϕ = C cos
134
ϕ = D cos
126
ϕ =
Lời giải
Chọn B
Gọi M N, trung điểm AC AB, Gọi I là trung điểm BG
Qua I kẻ đường thẳng song song với CN cắt AB K IK ⊥AB (do CN ⊥AB) (1)
Vì A I′ ⊥(ABC) nên A I′ ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy AB⊥(A KI′ ) Do ϕ =A KI′
Vì I là trung điểm BG nên suy
2
IK = GN 1
2 3CN
= 1
2
a
=
4 a
=
Trong tam giác vng AIM ta có 2
AI =AM +MI
2
2
2
a a
= + 12 a =
Trong tam giác vng A AI′ ta có A I′ = A A′ 2−AI2 ( )
2 12 a a
= − 41
12 a
=
Trong tam giác vng A KI′ ta có A K′ = A I′ 2+KI2
2
41
12
a a
= + 165 48 a =
Suy 165
4 a
A K′ = Từ ta có cos KI
A K
ϕ =
′ 3165
4 a a = 165 =
Câu Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông A, AB= , a AC=a
Hình chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng (ABC ) trung điểm H của BC , A H′ =a
Gọi ϕ góc hai đường thẳng A B′ B C′ Tính cosϕ
(32)Lời giải
Chọn B
Gọi E là trung điểm AC ; D K điểm thỏa BD =HK =A B′ ′
Ta có B K′ ⊥(ABC) B D′ / /A B′ ⇒(A B B C′ , ′ ) (= B D B C′ , ′ ) =DB C′
Ta tính BC =2a⇒BH = ; a ( )
2
3
B D′ =A B′ = a +a = a
2 2
3
CD= AC +AD = a + a =a ;
2
2
3
4
a a
CK = CE +EK = + =a
2 3 3 6.
B C′ = B K′ +CK = a + a =a
2
cos
2
B D B C CD
CB D
B D B C
′ + ′ −
′ =
′ ′
2 2
4
2.2
a a a
a a
+ −
= =
Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm O Gọi M N lần lượt
trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD b) ằng 60°, cosin góc
MN mặt phẳng (SBD b) ằng:
A 41
41 B
5
5 C
2
5 D
2 41
41
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Gọi E , F lần lượt trung điểm SO ,OB EF hình chiếu MN (SBD )
a
a 3
K D E
H
C
B
A
C'
(33)Gọi P là trung điểm OA PN hình chiếu MN (ABCD )
Theo ra: MNP=60°
Áp dụng định lý cos tam giác CNP ta được:
2 2
2 cos 45
NP =CP +CN − CP CN °
2
2
3 2
2
4 4 2
a a a a a
= + − =
Suy ra: 10
4
a
NP= , tan 60 30
4
a
MP=NP ° = ; 30
2
a
SO= MP=
2
2
SB= SO +OB = a ⇒EF =a
Ta lại có: MENF hình bình hành ( ME NF song song bằng
2OA)
Gọi I là giao điểm MN EF, góc MN mặt phẳng (SBD ) NIF
cos
2 10
IK a
NIF
IN a
= = =
Câu Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình thoi c ạnh a góc A bằng 60°, cạnh SC
vng góc với đáy
2
a
SC = Giá trị lượng giác cơ-sin góc hai mặt phẳng (SBD )
và (SCD b) ằng A
6 B
5
5 C
2
5 D
30
6
Lời giải
Chọn A
Từ SC⊥(ABCD)⇒SC⊥BD
Từ BD SC BD (SAC)
BD AC
⊥
⇒ ⊥
⊥
Kẻ CK SO⊥ , từ BD⊥(SAC)⇒BD⊥CK Như CK ⊥(SBD)⇒CK ⊥SD
Kẻ CH SD⊥ , CK ⊥SD nên suy SD⊥(CHK)
Mặt khác (CHK) (∩ SBD)=HK (CHK) (∩ SCD)=CK nên góc hai mặt phẳng
(SBD ) (SCD b) ằng CHK
(34)2
2 2 2
1 1 1
3
6
a CH
CH =CD +SC =a +a = a ⇒ =
Vì ABCD hình thoi cạnh a góc A 60° nên
2
a
CO=
Trong tam giác SCO vng C , ta có:
2
2 2
1 1 1
2
3
2
a CK
CK =CO +SC =a +a =a ⇒ =
Xét tam giác CHK vng tại K, ta có
2
2
5 10
a a a
HK = CH −CK = − =
cos :
6
10
HK a a
CHK CH
= = =
Vậy, cô-sin góc hai mặt phẳng (SBD ) (SCD b) ằng
6
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, BC= , cạnh bên SA a
vng góc với đáy, SA=a Gọi M là trung điểm AC Tính cơtang góc hai mặt
phẳng (SBM ) (SAB )
A
2 B 1 C
21
7 D
2
7
Lời giải
Chọn A
O
B
A D
C S
H
(35)Kẻ AH SB⊥ AK ⊥SM
Vì tam giác ABC vuông cân tại Bvà BC= với a SA⊥(ABC) nên suy BM ⊥(SAC)
và
2
AC a
BM =AM = = Do BM ⊥AK
Từ BM ⊥ AK AK⊥SM suy AK ⊥(SBM)⇒ AK ⊥SB
Từ AH SB⊥ AK ⊥SB ta có (AHK)⊥SB Do đó, góc hai mặt phẳng (SBM )
(SAB b) ằng bù với góc AHK Ta có: 2 SA AB AH SA AB =
+ ( )2
2 3 a a a a = + a = 2 SA AM AK SA AM = +
( )2
2 2 a a a a = + 21 a =
Từ (AHK)⊥SB ta có HK ⊥SB nên ∆SHK ∆SMB, HK SK
MB = SB
Mặt khác
2
SK SM =SA
2 SA SK SM ⇒ = ( ) ( ) 2 3 a a a = + 14 a = ; 2
SB= SA +AB = a;
Nên 14
14
HK SK
MB = SB =
3 14 14
HK MB
⇒ = 14
14 14
a a
= =
Trong tam giác AHK ta có :
2
cos
2
AH HK AK
AHK
AH HK
+ −
=
2 2
3 21
2 14
3
2
2 14
a a a
a a + − = 21 =
Như vậy, góc hai mặt phẳng (SBM ) (SAB ) α với cos 21
7
α = sin
7 α
⇒ =
Bởi Vậy : cotα cosα
(36)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Góc hai đường thẳng
1 Định nghĩa:
Góc giữa hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn
góc mà a b cắt tạo nên
Góc giữa hai đường thẳng a b không gian góc hai
đường thẳng a′ b′ qua điểm song song
(hoặc trùng) với a vàb
Chú ý: góc giữa hai đường thẳng ln góc nhọn ( vuông )
2 Phương pháp
Phương pháp 1: Đưa góc đường thẳng cắt sử dụng kiến thức hình học phẳng để tính góc ( hệ thức lượng tam giác , định lí sin, định lí cosin…)
Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vecto phương (
vecto pháp tuyến ) hai đường thẳng a vàb góc ϕ hai đường thẳng xác
định công thức
( )
cos cos ,
u v u v
u v
ϕ= =
2 Góc đường thẳng mặt phẳng
Định nghĩa: Góc đường thẳng d mặt phẳng ( )α góc tạo d hình chiếu vng góc d lên ( )α
Phương pháp tính góc d ( )α : Trường hợp 1: Nếu ( )
( ) (( )) 00
d
d , d
α
α α
⇔ =
⊂
Trường hợp 2: Nếu đường thẳng d cắt mặt phẳng ( )α điểm
- Tìm giao điểm I của d mặt phẳng ( )α
- Chọn A d , vẽ AH ⊥ α( ) góc của d mặt phẳng ( )α AIH
- Dùng tỉ số lượng giác hệ thức lượng tam giác tính góc
3 Góc hai mặt phẳng
d' d
φ α
I
A
H
DẠNG TOÁN 26: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ
(37)1 Định nghĩa
Góc hai mặt phẳng ( )α ( )β góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt
phẳng
Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng
2 phương pháp tính góc hai mặt phẳng cắt
Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vng góc với hai mặt phẳng ( )α ( )β Khi đó, góc hai mặt phẳng ( )α ( )β (( ) ( )α , β )=( )a b, Tính góc ( )a b,
Phương pháp 2:
Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng ( )α ( )β
Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến
c điểm c Khi đó: (( ) ( )α , β )=( )a b,
Hay ta xác định mặt phẳng phụ ( )γ vng góc với giao tuyến c mà ( ) ( )α ∩ γ = , a
( ) ( )β ∩ γ = Suy b (( ) ( )α , β )=( )a b, Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt)
Nếu có đoạn thẳng nối hai điểm A, B (A∈( )α ,B∈( )β ) mà AB⊥( )β qua Ahoặc B
ta dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến c hai mặt phẳng H Khi
( ) ( )
( α , β )=AHB
4 Sử dụng phương pháp tọa độ hóa khơng gian
a) Giả sử hai đường thẳng a,b có hai vectơ phương u,v Khi
( ) u.v cos a,b
u v
=
b) Giả sử đường thẳng a có hai vectơ phương u mp(P) có vectơ pháp tuyến n Khi
( )
( ) ( ) u.n
sin a, P =cos u,n =
(38)c) Giả sử hai mp(P) mp( Q ) có hai vectơ pháp tuyến n ,n 1 2 Khi
( ) ( )
( )
1
n n
cos P , Q
n n
=
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Xác định tính góc hai đường thẳng
Xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng
Xác định góc hai mặt phẳng
Tổng hợp góc liên quan đến khoảng cách, thể tích, diện tích
…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc v ới mặt phẳng
(ABC , ) SA=a 2, tam giác ABC vuông cân tại B AC=2a (minh họa hình bên) Góc
đường thẳng SB mặt phẳng (ABC b) ằng
A 30° B 45° C 60° D 90°
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng 2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định hình chiếu SB mp(ABC)
B2: Tính góc giữa SB hình chiếu mp(ABC)
Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:
Lời giải
Chọn B
Vì SA vng góc với (ABC nên góc gi) ữa SB mặt phẳng (ABC b) ằng góc SBA S
A C
B S
A C
(39)Do tam giác ABC vuông cân ở B nên AB=CB=a
Tam giác ABC vuông ở A nên tan
2
= SA =a
SBA
AB a
tan
⇔ SBA= ⇔SBA 45= °
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC , BD vng góc với đôi
Khẳng định sau đúng?
A Góc giữa AC (BCD góc ACB ) B Góc AD (ABC góc ) ADB
C Góc giữa AC (ABD góc CBA ) D Góc giữa CD (ABD góc CBD )
Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết ta có AB BC AB (BCD)
AB CD
⊥
⇒ ⊥
⊥
Do (AC BCD,( ))=ACB
Câu Cho tam giác ABC vuông cân tại A BC= Trên đường thẳng qua a A vng góc với (ABC )
lấy điểm S cho
2
a
SA= Tính số đo góc đường thẳng SA (ABC )
A 30° B 45° C 60° D 90°
Lời giải
Chọn D
Ta cóSA⊥(ABC)⇒(SA ABC,( ))= ° 90
Câu Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a SA⊥(ABCD) Góc SC (ABCD )
A SCA B SBA C SDA D ABC
Lời giải
Chọn A
Ta có: SA⊥(ABCD)⇒SA⊥ AC
( )
( SC; ABCD ) SCA
(40)Câu Cho hình thoi ABCD có tâm O Lấy điểm S khơng thuộc (ABCD cho ) SO⊥(ABCD)
Góc giữa SC (ABCD )
A SCB B SCD C SCO D ACB
Lời giải
Chọn C
Ta có: SA⊥(ABCD)⇒SO⊥OC
Góc giữa SC (ABCD ) góc SCO
Câu Cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Giả sử tam giác AB C′ A DC′ ′ có góc nhọn Góc
hai đường thẳng AC A D′ góc sau đây?
A. BDB′ B AB C′ C. DB B′ D DA C′ ′
Lời giải
Chọn D
Ta có: AC // A C′ ′ (tính chất hình hộp)
(AC A D, ′ ) (A C A D′ ′ ′, ) DA C′ ′
⇒ = = (do giả
thiết cho DA C∆ ′ ′ nhọn)
Câu Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Lời giải Chọn D
Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD⇒ AH ⊥(BCD)
Gọi E là trung điểm CD ⇒BE⊥CD (do ∆BCD đều)
Do AH ⊥(BCD)⇒AH ⊥CD
Ta có: CD BE CD (ABE) CD AB (AB CD, ) 90
CD AH
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = °
⊥
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a
Gọi M N lần lượt trung điểm AD SD Số đo góc (MN SC b, ) ằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Lời giải Chọn D
Gọi O tâm hình vng ABCD ⇒ tâm đường O
trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1)
Ta có: SA=SB=SC=SD⇒ nằm trục đường trịn S
ngoại tiếp hình vng ABCD (2)
Từ (1) (2) ⇒SO⊥(ABCD)
Từ giả thiết ta có: MN // SA (do MN là đường trung
bình của SAD∆ ) ⇒(MN SC, ) (= SA SC, )
B
A D
C S
D'
B' C'
B A
D
C A'
H E
B D
C A
N
M O
D
A B
(41)Xét ∆SAC, ta có: �𝑆𝐴𝐴2 + 𝑆𝐴𝐴2 = 𝑎𝑎2+ 𝑎𝑎2 = 2𝑎𝑎2
𝐴𝐴𝐴𝐴2 = 2𝑎𝑎2 ⇒ 𝛥𝛥𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴vuông S ⇒SA⊥SC
(SA SC, ) (MN SC, ) 90
⇒ = = °
Câu Cho hình lập phương 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 Góc cặp vectơ 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ 𝐸𝐸𝐸𝐸�����⃗
A 90° B 60° C 45° D 120°
Lời giải Chọn C
Ta có: EG / / AC (do ACGE hình chữ nhật)
⇒ �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗, 𝐸𝐸𝐸𝐸�����⃗� = �𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗, 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗� = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴� = 45°
Câu 9. Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) AB⊥BC, gọi I là trung điểm BC Góc hai mặt
phẳng (SBC ) (ABC ) góc sau đây?
A SBA B SCA C SCB D.SIA
Lời giải Chọn A
Ta có: BC⊥SA BC, ⊥ AB⇒BC⊥SB
( ) ( ) ( ) ( )
,
,
SBC ABC BC
AB BC AB ABC
SB BC SB SBC
∩ =
⇒ ⊥ ⊂
⊥ ⊂
( ) ( )
( SBC , ABC ) SBA
⇒ =
Câu 10. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng
( )
SA⊥ ABCD , gọi O tâm hình vng ABCD Khẳng định
nào sau sai?
A Góc hai mặt phẳng (SBC ) (ABCD góc ) ABS
B Góc hai mặt phẳng (SBD ) (ABCD góc ) SOA
C Góc hai mặt phẳng (SAD ) (ABCD góc ) SDA
D (SAC) (⊥ SBD)
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
,
D,
SAD ABCD AD
AB AD AB ABCD
SA A SA SAD
∩ =
⊥ ⊂
⊥ ⊂
( ) ( )
( SAD , ABCD ) SAB
⇒ =
Câu 10. Cho hình lập phương ABCD A B C D G ' ' ' ' ọi góc hai mặt phẳng (A D CB ' ' )
(42)A 45
B
30
C
60
D
90
Lời giải
Chọn A
góc hai mặt phẳng (A D CB ' ' ) (ABCD) BA B' '
Ta có '
tan 45
' '
BB A B
Mức độ
Câu 1.Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ , góc hai đường thẳng A B′ B C′
A 90° B 60° C 30° D 45°
Lời giải
Chọn B
Ta có B C′ // A D′ ⇒(A B B C′ ; ′ )=(A B A D′ ; ′ )=DA B′
Xét ∆DA B′ có A D′ =A B′ =BD nên ∆DA B′ tam giác
Vậy DA B′ = ° 60
Câu Cho hình chóp S ABC có SA=BC=2a Gọi M, N lần lượt trung điểm AB, SC ,
3
MN =a Tính số đo góc hai đường thẳng SA BC
A 30° B 150° C 60° D 120°
Lời giải Chọn C
B S
A C
M
N
P
Q O
D
C A
D' A'
B' C'
B
D
D'
A
A' C
C'
B
(43)Gọi P, Q lần lượt trung điểm SB , AC Khi MP, NQ, MQ, PN lần lượt
đường trung bình tam giác SAB , SAC , ABC , SBC nên MP// NQ//SA;
// MQ // BC
PN
2
MP=NQ= SA=a;
2
PN =MQ= BC=a Suy góc hai đường
thẳng SA BC góc PMQ tứ giác MPNQ hình thoi
Xét hình thoi MPNQ: gọi O giao điểm hai đường chéo; MN =a nên
2
a
MO= ;
trong tam giác vng MOQ
2
4
a a
OQ= a − = ⇒PQ=a, tam giác PMQ
hay PMQ= ° 60
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt
đáy SA=a Tìm số đo góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD)
A 45o B 30o C 90o D 60o
Lời giải Chọn B
Dễ thấy 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⊥ (𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴) ⇒SD hình chiếu vng góc SC lên (SAD)
Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD) CSD
Tam giác CSDcó 90 ; ; tan
3
CD a
D CD a SD a CSD
SD a
= ° = = ⇒ = = =
Vậy CSD= ° 30
Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Độ dài cạnh bên hình
chóp để góc cạnh bên mặt đáy 60°
A 2
3 a
B
6 a
C
6
a
D 2
3 a
Lời giải
(44)Đặt SA x=
Gọi O tâm tam giác ABC ⇒SO⊥(ABC)
Hình chiếu SA mặt phẳng (BCD) AO ⇒ góc giữa cạnh bên SA mặt đáy góc
SAO= ° 60
Xét tam giác vuông SAO : cos 60 AO
SA ° =
3
cos 60
2 a
AO a
SA
⇒ = = =
°
Câu 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a AD, = ,a SA=3a
( )
SA⊥ ABCD Góc giữa đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD)
A 600 B 1200 C 300 D 900
Lời giải
Chọn A
Vì SA⊥(ABCD)⇒( SC;(ABCD))=SCA
Ta có 2
3
AC = AB +BC =a
tan 60
3
SA a
SAC SCA
AC a
⇒ = = = ⇒ =
Câu Cho hình chóp S ABC có m ặt ABC SBC tam giác nằm hai mặt
phẳng vng góc với Số đo góc đường thẳng SA (ABC)
A 45° B 75° C 60° D 30°
Lời giải Chọn A
C
A B
D
(45)Theo gia thiết ta có (ABC) (⊥ SBC)
Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SH BC⊥ ⇒SH ⊥(ABC) hay SH là đường cao hình chóp
Khi ta có (SA ABC,( ))=(SA AH, )=SAH
Mặt khác theo giả thiết tam giác SBC ABC tam giác nên H là trung điểm BC
và
2
a
AH =SH =
Xét tam giác vng SHA ta có tanSAH SH
AH
= = ⇒SAH 45= °
Vậy (SA ABC,( ))=45°
Câu 7. Cho hình lăng trụ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′có đáy tam giác cạnh 𝑎𝑎, 𝐴𝐴𝐴𝐴′ = 𝑎𝑎√6 Hình chiếu vng
góc 𝐸𝐸 𝐴𝐴 mặt phẳng (𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′) trùng với trọng tâm tam giác 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′ Cosin góc
giữa cạnh bên mặt đáy
A 15
15 B
6
3 C
2
3 D
2
Lời giải Chọn D
Gọi 𝑀𝑀 trung điểm 𝐴𝐴′𝐴𝐴′
Ta có: 𝐴𝐴′𝐸𝐸 =
3𝐴𝐴𝑀𝑀 =
𝑎√3
3 ; 𝐴𝐴𝐴𝐴′= 𝐴𝐴𝐴𝐴′= 𝑎𝑎√6
Ta có 𝐴𝐴𝐸𝐸 ⊥ (𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′)
⇒ 𝐴𝐴′𝐸𝐸 hình chiếu vng góc 𝐴𝐴𝐴𝐴′ lên mặt phẳng (𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′)
Vậy 𝜑𝜑 = 𝐴𝐴𝐴𝐴� góc 𝐴𝐴𝐴𝐴′𝐸𝐸 ′ mặt phẳng (𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′)
Tam giác 𝛥𝛥𝐴𝐴𝐴𝐴′𝐸𝐸 vuông 𝐸𝐸 ⇒ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜑𝜑 =𝐴′𝐻
𝐴𝐴′ = 𝑎√3
3
𝑎√6 = √3
3 √6=
√2
Vậy cosin góc cạnh bên mặt đáy √2
6
Câu Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên H
S
C A
(46)A 1
2 B
1
3 C
1
3 D
1
2
Lời giải
Chọn B
Gọi O trung điểm AC Vì S ABCD là hình chóp nên SO⊥(ABCD)
Gọi H là trung điểm BC góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABCD) α
Ta có (SBC) (∩ ABCD)=BC mà BC⊥SH BC ⊥OH nên SHO= α
SH đường cao tam giác SBC cạnh a nên
2
a
SH = ,
Xét tam giác SOH vng O có: cos OH
SH
α =
3
2 a
a
= =
Câu Cho tứ diện S ABC có cạnh SA , SB ; SC đôi vuông góc SA=SB=SC= Tính
cosα , α góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)?
A cos
2
α = B cos
2
α = C cos
3
α = D cos
3
α =
Lời giải
Chọn D
Cách 1:
Gọi D là trung điểm cạnh BC
A
O H
B S
C D
S A
B
C
(47)Ta có SA SB SA (SBC)
SA SC
⊥
⇒ ⊥
⊥
⇒SA⊥BC
Mà SD⊥BC nên BC⊥(SAD)
() ( )
( SBC , ABC ) SDA α
⇒ = =
Khi tam giác SAD vng S có
2
SD= ;
2
AD= cos SD
AD
α = cos
3 α
⇔ =
Cách 2:
Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ
Ta có S(0; 0; 0), A(0; 0;1), B(0;1; 0), C(1; 0; 0)
⇒ phương trình mặt phẳng (ABC):x+ + − =y z có VTPT n=(1;1;1)
Mặt phẳng (SBC)≡Oxy z: =0 có VTPT k=(0; 0;1)
Khi góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) cos
n k
n k
α =
cos
3 α
⇔ =
Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng đỉnh A, cạnh BC =a ,
=a
AC
các cạnh bên
2
a
SA=SB=SC= Tính góc tạo mặt bên (SAB) mặt phẳng đáy (ABC)
A
6 π
B
3 π
C
4 π
D arctan
Lời giải
Chọn B
S A
B
C z
x
(48)Vì
a
SA=SB=SC= nên hình chiếu S trùng với H tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
ABC Nhận xét H là trung điểm BC
Gọi M trung điểm AB, nhận xét AB⊥(SMH) nên góc tạo mặt bên (SAB) mặt
phẳng đáy (ABC) góc SMH
Xét tam giác SBH có 2
2
a
SH = SB −BH =
Trong tam giác SMH có
2
tan
3
6 a SH
SMH SMH
MH a
π
= = = ⇒ =
Câu 11.Cho hình lăng trụ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴′𝐴𝐴′𝐴𝐴′ có tất cạnh a Tính cosin góc mặt phẳng (𝐴𝐴′𝐴𝐴𝐴𝐴) mặt đáy (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴)
A
2 B
2
3 C
21
7 D
21
21
Lời giải
Chọn C
Gọi M trung điểm BC 𝐴𝐴𝑀𝑀 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴
Lại có 𝐴𝐴𝐴𝐴′ ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 suy (𝐴𝐴′𝑀𝑀𝐴𝐴) ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ⇔ ((𝐴𝐴′𝐴𝐴𝐴𝐴), (𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴))� = 𝐴𝐴′𝑀𝑀𝐴𝐴�
Mặt khác 𝐴𝐴𝑀𝑀 =𝑎√3
2 : 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴′𝑀𝑀𝐴𝐴� = 𝑀𝐴 𝐴′𝑀=
𝑀𝐴 √𝐴𝐴′2+𝐴𝑀2 =
𝑎√3
�𝑎2+3𝑎2
=√217
Mức độ
Câu 1. Cho tứ diện ABCD, M là trung điểm cạnh BC Khi cos AB DM b( , ) ằng:
A
6 B.
2
2 C.
3
2 D.
1
M H
A
B
(49)Lời giải
Chọn A
Gọi E trung điểmAC
Vì AB/ /ME nên góc giữa AB DM EMD∠ (hoặc o
180 − ∠EMD)
Ta có:
2 a
ME= ,
2
a
MD=DE= (độ dài trung tuyến tam giác cạnh a )
Áp dụng hệ định lí cosin cho EMD∆ , ta có:
( ) ( ) 2
cos , cos
2
ME MD DE
AB DM EMD
ME MD
+ −
= ∠ = =
Câu 2. Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC), đáy ABC tam giác vuông B với AB=2a,
2
BC = a , mặt phẳng (SBC t) ạo với đáy góc 60° Với N trung điểm AC ,
cosin góc giữa đường thẳng SN BC là:
A cos(SN BC, )= B cos( , )
4
SN BC =
C cos( , )
SN BC = D cos( , )
8
SN BC =
Lời giải
Chọn B
Gọi M trung điểm AB Khi MN/ /BC
Mặt khác 3; 2
2 BC
(50)Lại có BC SA BC (SBA) SBA ((SBC) (, ABC)) 60
BC AB
⊥
⇒ ⊥ ⇒ = = °
⊥
Do SA=ABtan 60° =2a
Do SM = SA2+AM2 =a 13
Do MN/ /BC⊥(SAB)⇒SM ⊥MN
Suy ( )
2
3
cos cos ,
4
3 13
MN a
SNM SN BC
SN a a
= = = =
+
Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc B′
lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB Biết khoảng cách đường
thẳng AB B C′
4
a
Gọi ϕ góc đường thẳng B C′ AA′ Chọn khẳng
định
A cos
8
ϕ = B cos
8
ϕ= C cos
2
ϕ= D cos
4
ϕ =
Lời giải
Chọn D
Ta có: B H′ ⊥ AB CH, ⊥AB⇒ AB⊥(B HC′ )
+) Dựng
4
a
HK⊥B C′ ⇒HK ⊥AB⇒HK =
+) Mặt khác: 2 2 2
2 a B H
HK = B H′ +HC ⇒ ′ =
Do AA′/ /BB′⇒(B C AA′ , ′)=(B C BB′ , ′)
Ta có: , ,
2 a
BB′= BC=a B C′ = a Khi cos(𝐴𝐴′�𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐴𝐴′)= �cos𝐴𝐴𝐴𝐴� � ′𝐴𝐴
= �𝐵′𝐶22𝐵+𝐵𝐵′𝐶.𝐵𝐵′2−𝐵𝐶′ 2� = √2
(51)Câu 4. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB=2a AD=3a Tam giác
SAB vuông cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi ϕ góc đường
thẳng SC AB Khẳng định sau
A cos
5
ϕ = B cos
11
ϕ = C cos
11
ϕ = D cos
2
ϕ =
Lời giải
Chọn B
Gọi H trung điểm AB ta có: SH ⊥AB Mặt khác (SAB) (⊥ ABCD) nên
( )
SH ⊥ ABCD Ta có:
2 AB
SH = = (do tam giác SAB vuông S) a
Do AB/ /CD⇒(SC AB, )=(SC CD, )
Ta có:SC= SH2+HC2 = SH2+HB2+HC2 =a 11;SD= SH2+HD2 =a 11
Khi cos 2 cos
2 11 11
SC CD SD
SCD
SC CD ϕ
+ −
= = ⇒ =
Câu 5. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB=2a, BC= , 120a ABC= °
Cạnh bên SD=a SD vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo SB
mặt phẳng (SAC)
A 3
4 B
3
4 C
1
4 D
3
7
Lời giải
Chọn C
S
D C
(52)Ta có sin(SB SAC;( )) d B SAC( ;( )) SB
= d D SAC( ; )
SB
=
Xét tam giác ABC ta có 2
2 cos
AC= BA +BC − BA BC BAC =a
2 2
2
BA BC AC
BO= + −
2 2
4
2
a +a a a
= − =
3
BD a
⇒ = 2
SB= SD +BD 2
3a 3a
= + =a
Xét tam giác ADC ta có
sin sin
AD AC
C = D
sin
sinC AD D
AC
⇒ = sin120
7 a a ° = 21 14 =
Gọi K hình chiếu D lên AC , I hình chiếu D lên SK Ta có
AC DK AC DI AC SD ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
Do
DI SK
DI AC
⊥
⊥
⇒d D SAC( ;( ))=DI
Mặt khác sinC DK
DC
= ⇒DK =DC.sinC 21
14 a = 21 a =
Xét tam giác SDK ta có
2 SD DK DI SD DK =
+ 2
21 21 49 a a a a = + a =
Vậy sin(SB SAC;( )) d D SAC( ; ) SB = DI SB = 6 a a = =
Câu 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B, AB=BC= ,a AD=2 ,a SA
vng góc với mặt đáy (ABCD), SA= Gọi ,a M N lần lượt trung điểm SB CD Tính ,
cosin của góc MN (SAC )
A
5 B
55
10 C
3
10 D
1
5
Lời giải
(53)Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ, với O A≡
Khi ta có: A(0; 0; 0), B a( ; 0; 0), C a a( ; ; 0), D(0; ; 0a ), S(0; 0;a)
Khi đó: ; 0;
2
a a
M
,
3
; ;
2
a a
N
Ta có: 1SA (0; 0;1) u
a
− = =; 1SC (1;1; 1) v
a = − =
Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (SAC) ta có n=[ ] (u v , = − −1; 1; 0)
Lại có: 2MN (0;3; 1) w
a = − =
Gọi α góc MN (SAC) ta có: sin
n w
n w
α = = ⇒ cos 55
10
α =
Câu 7. Cho hình chóp có tam giác vng , vng góc với , biết
Gọi góc tạo Tính
A B C D
Lời giải
Chọn D
a
2a
a a
z
y
x
N M
D A
B
C S
S ABC ABC B (SAC) (ABC)
,
AB=SC=a SA=BC=a α SA (SBC) sin α
1 13
1 13
3 13
(54)Kẻ vng góc với vng góc với
Vì nên
Lại có: nên
Kẻ Ta chứng minh Từ đó, suy
Ta có:
Vì nên vng
Xét tam giác có:
Vì // nên
Xét tam giác vng có:
Từ đó,
Vậy
Câu 8. Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với
= = = =
AC AD BC BD a , CD=2x Tính giá trị x cho hai mặt phẳng (ABC)
(ABD) vng góc với
A
2 a
B
3 a
C
3
a
D
3
a
Lời giải
Chọn C
SH AC ⇒ SH (ABC)
( )
SA∩ SBC =S sin sin(SA, (SBC)) d A SBC( ,( ))
SA
α = =
( )
AH∩ SBC =C ( )
( )
, ( )
, ( )
d A SBC AC
d H SBC = HC
HI ⊥BC HK ⊥SI HK ⊥(SBC) d H SBC( , ( ))=HK
2
2
AC = AB +BC = a
( )
SAC ABC c c c
∆ = ∆ ∆SAC S
2 2 2
1 1 1
3
a SH
SH SA SC a a a
⇒ = + = + = ⇒ =
AHC
2
2 2
4
a a
HC= SC −SH = a − =
HI AB 2 a a
HI HC AB HC a
HI
AB = AC ⇒ = AC = a =
SHI 2 12 12 42 162 522
3 52
a HK
HK = SH +HI = a +a = a → =
( ) 3
, ( )
52 13
AC a a
d A SBC HK
HC
= = =
( ) ( ,( ))
sin sin , (SBC)
13 13
d A SBC a
SA
SA a
(55)Gọi M , N trung điểm CD , AB
Ta có: AC= AD=BC=BD=a nên ∆ACD cân A, ∆BCD cân B, ∆CAB cân C ,
∆DAB cân D Suy AM =BM , CN =DN
Góc (ACD) (BCD) góc AMB= °90
Tính: BM = AM = AD2−MD2 = a2−x2
Xét ∆ABM vuông cân M có:
2
2
−
= AM = a x
MN ( )1
Góc (ABC) (ABD) là góc CN DN
Khi (ABC) (⊥ ABD) ⇔CN ⊥DN ⇔CND 90= °
Xét ∆CDN vng cân N có:
2
=CD =
MN x ( )2
Từ ( )1 ( )2 suy ra:
2
3
− = ⇔ =
a x a
x x
Câu 9.Cho hình chóp S ABC có SA vng góc v ới đáy, SA=2BC BAC =120° Hình chiếu vng
góc A lên đoạn SB SC M N Góc của hai mặt phẳng (ABC)
(AMN)
A 45° B 60° C 15° D 30°
Lời giải
Chọn D
N
M
C B
(56)Kẻ đường kính AD của đường trịn ngoại tiếp ABC∆ nên ABD= 90ACD= °
Ta có BD BA
BD SA
⊥
⊥
⇒BD⊥(SAB) hay BD⊥ AM AM ⊥SB hay AM ⊥(SBD)
AM SD
⇒ ⊥ Chứng minh tương tự ta AN SD⊥ Suy SD⊥(AMN), mà SA⊥(ABC)
( ) ( )
( ABC , AMN ) (SA SD, ) DSA
⇒ = = Ta có BC=2 sinR A
2
AD
= ⇒SA=2BC= AD
Vậy tanASD AD
SA
=
3
= ⇒ 30ASD= °
Câu 10.Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA
vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi α góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD)
Nếu tanα = góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) bằng
A 30° B. 60° C. 45° D. 90°
Lời giải
Chọn B
Gọi I AC BD= ∩
Hình vng ABCD có độ dài đường chéo a suy hình vng có cạnh a
Ta có
(SBD) (ABCD) BD
SI BD
AI BD
∩ =
⊥
⊥
( ) ( )
(SBD ; ABCD ) ( SI AI; ) SIA
⇒ = =
A C
B S
D M
(57)Ta có tan tanSIA SA SA a AI
α = = ⇔ =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Ta có A(0;0;0), B a( ;0;0), C a a( ; ;0), S(0;0;a) Khi SA=(0;0;−a); SC=(a a; ;−a); SB=(a;0;−a)
Mặt phẳng (SAC ) có vectơ pháp tuyến n1 = −( 1;1;0) Mặt phẳng (SBC ) có vectơ pháp tuyến n2 =(1;0;1)
Suy (() ( ))
1
cos ;
n n
SAC SBC
n n
= 1
2 2
= = ⇒((SAC) (; SBC))=60°
Câu 11. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có AB AC BB a= = ′= , 120BAC= ° Gọi I trung điểm CC′ Tính cos góc tạo hai mặt phẳng (ABC) (AB I′ )
A
2 B
2
2 C
3
12 D
30 10
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Ta có ABC∆ là hình chiếu ∆AB'I trên (ABC)suy
() ( )
( )
'
cos , ABC
AB I
S
ABC AB I
S
∆
∆
′ =
Mà
2
1
120
2
ABC
a
S∆ = .AB AC sin BAC = a.a.sin =
2 2
2 cos120
BC = AB +AC − AB AC ° =a2+a2−2 cos120a a ° =3a2 ⇒BC=a
( )
2
2 13
3
2
a
B' I B' C' C' I a a
⇒ = + = + =
Lại có ( )
2
2
2
a
AI = AC +CI = a + = a
Suy ∆AB' I vuông A nên 1 10
2 2
AB' I
S∆ = AI A B'= a .a = a
Vậy (() ( ))
'
3
cos ,
10 ABC
AB I
S
ABC AB I
S
∆
∆
′ = =
(58)Gọi O trung điểm BC , ta có:
2 2
2 cos120
BC = AB +AC − AB AC ° =a2+a2−2 cos120a a ° =3a2 ⇒BC=a
Tam giác AOB vng O có: 2
4
a
AO= AB −BO = a − a =
Chọn hệ trục O xyz (như hình vẽ) Ta có:
; 0;
a
A
,
3
0; ;
2
B′ − a a
,
3
0; ;
2
a
I a
Mặt phẳng (ABC) có VTPT k=(0; 0;1)
3
; ;
2
a
AB′ = − − a a
, ; ;
2 2
a a
AI = − a
( )
2 2
3 3
, ; ; 3;1;
4 4
AB AI a a a a
′
⇒ = − − − = −
Mặt phẳng (AB I′ ) có VTPT n=(3 3;1; 3)
( ) ( )
( ) ( )
cos , cos ,
k n
ABC AB I k n
k n
′ = =
30
10
=
Mức độ
Câu 1.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC tam giác vuông A, AB= , a AC=a Hình
chiếu vng góc A′ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm H của BC , A H′ =a Gọi ϕ
góc hai đường thẳng A B′ B C′ Tính cosϕ
A cos
2
ϕ= B cos
8
ϕ= C cos
4
ϕ = D cos
2
ϕ =
Lời giải
(59)Gọi E là trung điểm AC ; D K là điểm thỏa BD HK A B = = ′ ′
Ta có B K′ ⊥(ABC) B D′ / /A B′ ⇒(A B B C′ , ′ ) (= B D B C′ , ′ )=DB C′
Ta tính BC=2a⇒BH = ; a ( )
2
3
B D′ = A B′ = a +a = a
2 2
3
CD= AC +AD = a + a =a ;
2
2
3
4
a a
CK = CE +EK = + =a
2 2
3
B C′ = B K′ +CK = a + a =a
2
cos
2
B D B C CD
CB D
B D B C
′ + ′ −
′ =
′ ′
2 2
4
2.2
a a a
a a
+ −
= =
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân, AD=2AB=2BC=2CD=2a Hai
mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N,
trung điểm SB CD Tính cosin góc MN (SAC), biết thể tích khối chóp S ABCD
bằng 3 a
A
10 B
3 310
20 C
310
20 D
3
10
Lời giải Chọn C
Cách 1: Gọi ( )α mp qua MN song song với mp (SAD) Khi ( )α cắt AB tạiP, cắt SC Q , cắt AC K Gọi I là giao điểm MN QK ⇒ ∈I (SAC)
Suy ra:P, Q , K trung điểm củaAB, SC AC
Lại có: ABCD hình thang cân cóAD=2AB=2BC=2CD=2a
⇒ AD=2 ;a AB=BC =CD= ⇒a
2
a
CH = ;
2
2 3
2
ABCD
a a a a
S = + =
Nên
2
1 3
3 4
ABCD
a a
V = SA= ⇒SA=a
2
a
MP SA
⇒ = =
2 a
NP=
Xét tam giác MNP vuông P:
2
3 10
2 2
a a a
MN = + =
,
MP KQ đường trung bình tam giác ∆SAB, ∆SAC ⇒MP KQ SA// //
KN là đường trung bình tam giác
2
ACD KN AD a
(60)Xét tam giác AHC vuông H: 2 3 2 a a
AC= + =a
a KC ⇒ =
Suy ra: tam giác KNC vuông C ⇒C hình chiếu vng góc N lên (SAC)
⇒ góc giữa MN (SAC) góc NIC
Khi đó: 2 10 10
3 3
IN KN a a
IN MN
MN = NP = ⇔ = = =
Xét tam giác NIC vuông C : ; 10
2
a a
NC = IN =
2 2
10 31
3
a a a
IC
⇒ = − =
⇒cos 31: 10 310
6 20
IC a a
NIC IN
= = =
Cách Vì ABCD hình thang cân cóAD=2AB=2BC=2CD=2a
⇒ AD=2 ;a AB=BC=CD= a
⇒
2
a
CH = ;
2
2 3
2
ABCD
a a a a
S = + =
nên
2
1 3
.SA
3 4
ABCD
a a
V = = ⇒SA= a
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ hình vẽ
Ta có: K(0; 0; ,) ; 0; ,
2
a
B
3
0; ; ,
2
a
C
3
0; ; ,
2
a
A −
3
; ; ,
2
a a
N−
3
0; ; ,
2
a
S − a
3
; ;
4
a a a
M −
3 3
; ;
4
a a a
MN = − −
Chọn u1= −( 3;3 3; 2− )cùng phương với MN
Nhận xét: BK SA BK (SAC)
BK AC ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
; 0;
a
BK =
vtpt (SAC).Chọn n1 =(1; 0; 0) cùng phương với BK
Gọi α góc góc MN (SAC) Ta có 1
1
3 10
sin 20 u n u u α = =
cos 310
20 α
(61)Câu 3. Một khối lập phương lớn tạo 27 khối lập phương đơn vị Một mặt phẳng vng góc với đường chéo khối lập phương lớn trung điểm Mặt phẳng cắt ngang (khơng qua đỉnh) khối lập phương đơn vị?
A 16 B 17 C 18 D 19
Lời giải Chọn D
Gọi ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ khối lập phương lớn tạo 27 khối lập phương đơn vị O tâm hình
lập phương đó, khối lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh Ta xét mặt phẳng ( )P qua
O vng góc với AC′, cắt AC M , cắt A C′ ′ M ′
Ta có
3 3
AM AO
AC′ = AC =
3
.3
2 2
AM AC′
⇒ = = =
4
CM
⇒ =
Gọi A B C D m1 1 1 1 ặt phẳng chia lớp khối lập phương mặt với khối lập phương mặt thứ
2, gọi M1= A C1 1∩MM ′
Ta có 1 1 7
3 4
A M = CM = = 1 1 1 1 1 1
4
C M A C A M
⇒ = − =
Gọi A B C D m2 2 2 2 ặt phẳng chia lớp khối lập phương mặt thứ với khối lập phương mặt
thứ 3, gọi M2 = A C2 2∩MM ′
Ta có 2 2 5
3 4
A M = CM = = 2 2 2
7
C M A C A M
⇒ = − =
Giao tuyến mặt phẳng ( )P với mặt phẳng (ABCD) cắt cạnh hình vng, giao
tuyến mặt phẳng ( )P với mặt phẳng (A B C D1 1 1 1) cắt cạnh hình vng (hình vẽ),
trong hình vng có cặp hình vng chung hình lập phương đơn vị, nên suy
ra mặt phẳng ( )P cắt ngang khối lập phương mặt
O
M'
M
C' B'
D' D
B C
A
(62)Tương tự mặt phẳng ( )P cắt ngang khối lập phương mặt
Giao tuyến mặt phẳng ( )P với mặt phẳng (A B C D1 1 1 1) cắt cạnh hình vng, giao
tuyến mặt phẳng ( )P với mặt phẳng (A B C D2 2 2 2) cắt cạnh hình vng (hình vẽ),
trong có cặp hình vng chung với hình lập phương đơn vị, nên suy mặt phẳng
( )P cắt ngang khối lập phương mặt thứ hai
Vậy, mặt phẳng ( )P cắt ngang (không qua đỉnh) 6 19+ + = khối lập phương đơn vị
Cách khác
Giả sử đỉnh khối lập phương đơn vị (i j k , v; ; ) ới i, j , k∈{0;1; 2;3} đường chéo
đang xét khối lập phương lớn nối hai đỉnh O(0; 0; 0) A(3;3;3) Phương trình mặt trung
trực OA ( ):
2
x y z
α + + − = Mặt phẳng cắt khối lập phương đơn vị và
các đầu mút (i j k; ; ) (i+1;j+1;k+1) đường chéo khối lập phương đơn vị nằm hai
phía ( )α Do tốn quy đếm số 27 (i j k , v; ; ) ới i, j , k∈{0;1; 2}, có
bao nhiêu ba thỏa mãn:
( ) ( ) ( )
9
9
1 1
2
i j k
i j k
+ + − <
+ + + + + − >
( )
3
1
2 i j k
⇔ < + + <
M1
D1
C1
B1
A1
D A
C B
M
M2
D2
C2
B2
A2
M1
D1
C1
B1
(63)Các ba không thỏa điều kiện ( )1 , tức
3
i i k
i i k
+ + ≤ + + ≥ là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ 0; 0; ; 0; 0;1 ; 0;1; ; 1; 0; ; 1; 2; ; 2;1; ; 2; 2;1 ; 2; 2; }
S =
Vậy có 27 19− = khối lập phương đơn vị bị cắt ( )α
Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy,
cạnh bên SB tạo với đáy góc 45 Một mặt phẳng ( )α qua A vng góc với SC cắt hình
chóp S ABCD theo thi ết diện tứ giác AB C D′ ′ ′ có diện tích bằng:
A
2
a
B
2
a
C
2
a
D
2 3
a
Lời giải
Chọn C
Dễ thấy 45SBA= ° Ta có B D′ ′ ⊥SC BD⊥SC SC khơng vng góc với mặt phẳng
(SBD), suy BD/ /B D′ ′ Nên từ I SO AC′= ∩ nên từ I kẻ B D′ ′/ /BD cắt SB , SD B′ , D′
Từ suy B D′ ′⊥ AC′ AB SC AB SB
AB BC
′ ⊥
⇒ ′⊥
′ ⊥
Suy
2 AB C D
S ′ ′ ′ = AC B D′ ′ ′ Mà
a
AC′=
2
2
B D SB a
BD SB a
′ ′ ′
= = =
2
a B D′ ′
⇒ =
Vậy
2
AB C D
S ′ ′ ′ = AC B D′ ′ ′= a
Câu Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có AB=2a, AD=3a, AA′ =4a Gọi α góc hai mặt phẳng (AB D′ ′ ) (A C D′ ′ Giá trị cos) α
A 29
61 B
27
34 C
2
2 D
(64)Chọn A
Gọi E ,E l' ần lượt tâm hình chữ nhật ADD A′ ′ , A B C D′ ′ ′ ′
Khi đó: EE′=(DA C′ ′) (∩ AB D′ ′)
Dựng A H′ , D F′ đường cao hai tam giác DA C′ ′ , AB D′ ′
Dễ thấy: A H′ , D F′ , EE′ đồng qui K A K EE
D K EE
′ ⊥ ′
′ ⊥ ′
Hình chữ nhật DD C C′ ′ có: DC′= DD′2 +D C′ ′2 =2 5a
Hình chữ nhật ADD A′ ′ có: A D′ = AD2 +AA′2 =5a
Hình chữ nhật A B C D′ ′ ′ ′ có: A C′ ′= A B′ ′2+B C′ ′2 = 13a
Suy ra: S∆DA C′ ′ = 61a2 A H 2S DA C
DC
′ ′ ∆ ′
⇒ =
′
305 a
= 305
10
A K′ a
⇒ =
Hồn tồn tương tự ta có: 305
10
D K′ = a
Trong tam giác A D K′ ′ có:
2 2
29 cos
2 61
A K D K A D
x
A K D K
′ + ′ − ′ ′
= = −
′ ′
29
cos cos
61 x
α
⇒ = =
Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy tam giác ABC vuông A, AB= , AC= ,
61
AA′= Hình chiếu B′ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC , M trung điểm
cạnh A B′ ′ Cosin góc tạo mặt phẳng (AMC′) mặt phẳng (A BC′ )
A 11
3157 B
13
65 C
33
3517 D
33
3157
(65)Gọi H là trung điểm BC
Ta có: 2
5
BC= AB +AC =
Xét tam giác B BH′ vuông H: B H′ = BB′2−B H′ =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cóA trùng với O hình vẽ
VớiA(0; 0; 0), B(0;3; 0),C(4; 0; 0) 2; ; 03
2
H
⇒
là trung điểm BC
3 2; ;3
2
B′
⇒
Do BB ′=AA′=CC′ 2; 3;3
A′
⇒ −
;
3
6; ;3
2
C′ −
⇒M(2; 0;3)
(2; 0;3)
AM =
; 6; 3;3
2
AC′= −
nên vectơ pháp tuyến (MAC′) n(MAC′) , AM AC ′ = ;12; = − 2; ;
2
A B′ = − −
; 2; ; 33
2
A C′ = −
nên vectơ pháp tuyến (A BC′ ) n(A BC′ )
,
A B A C
′ ′
=
( 9; 12; 12)
= − − −
Gọi ϕ góc tạo mặt phẳng (AMC′) mặt phẳng(A BC′ )
( ) ( )
( ) ( )
cos
MAC A BC
MAC A BC
n n n n ϕ ′ ′ ′ ′ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
12 12 12
2
9
12 12 12
2 − + − − − = + + − − + − + − = 33 3157
Câu 7. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh AB=2, AD=3;AA′= Góc hai mặt
phẳng (AB D′ ′) (A C D′ ′ ) α Tính giá trị gần góc α ?
A 45, 2° B 38,1° C 53, 4° D 61, 6°
(66)Cách 1: Hai mặt phẳng (AB D′ ′) (A C D′ ′ ) có giao tuyến EF hình vẽ Từ A′ D′ ta
kẻ đoạn vng góc lên giao tuyến EF chung điểm H hình vẽ Khi đó, góc
hai mặt phẳng cần tìm góc hai đường thẳng A H′ D H′
Tam giác DEF có 13
2
D B
D E′ = ′ ′ = ,
2
D A
D F′ = ′ = ,
2 B A
EF = ′ =
Theo rơng ta có: 61
4 DEF
S = Suy 305
10 DEF
S D H
EF
′ = =
Tam giác D A H′ ′ có:
2 2
29 cos
2 61
HA HD A D
A HD
HA HD
′ + ′ − ′ ′
′ ′ = = −
′ ′
Do A HD 118,4′ ′ ≈ ° hay (A H D H′ , ′ )≈180° −118, 4° =61, 6°
Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ vào hệ trục tọa độ hình vẽ Khi
(0; 0; ,)
A B(2; 0; ,) D(0;3; ,) C(2;3; ,) A′(0; 0; ,) B′(2; 0; ,) D′(0;3; ,) C′(2;3; 4) Gọi n1là véc tơ pháp tuyến (AB D′ ′) Có n1= AB AD′; ′= −( 12; 8; 6− )
Gọi n2là véc tơ pháp tuyến (A C D′ ′ ) Có n2 = A C A D′ ′ ′; = −( 12;8; 6) Gọi α góc hai mặt phẳng (AB D′ ′) (A C D′ ′ )
1
1 29 cos
61 n n
n n
α = =
Vậy giá trị gần góc α 61,6°
Câu 8.Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Góc tạo mặt bên (SAB) với đáy α
Tỉ số diện tích tam giác SAB hình bình hành ABCD k Mặt phẳng ( )P qua AB
và chia hình chóp S ABCD thành hai ph ần tích Gọi β góc tạo mặt phẳng
( )P mặt đáy Tính cotβ theo α k
A cot cot
4 sink
B cot tan
sin
k
C cot cot
sin
k
D.cot tan
sin
k
Lời giải
(67)Giả sử mặt phẳng ( )P cắt SD , SC M , N Khi đó: MN CD //
Đặt: SM SN m
SD = SD = > Ta có: ( )
2 * S MNB S DCB S ABM S ABD
V SM SN
m
V SD SC
V SM m V SD = = = =
2 2
5 1
2
S ABNM S ABNM
S ABD S ABCD
V V
m m m m m m m
V V
−
⇒ = + ⇔ = + ⇔ + = ⇔ = (Vì m> )
Từ ( )* suy ra: ( )
S ABM
S ABM S ABD S ABM M ABD
M ABD
V m
V m V m V V
V m
+
= = + ⇒ = =
− ( )1
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
; .sin
3 .sin ; SAB SAB S ABM
M ABD ABD
ABD
S d M SAB S
V
V S d M ABD S
α β β −
= = ( )2
Từ ( )1 ( )2 ta có: sin( ) sin( )
1
2 sin .sin
2
SAB ABCD
ABD
ABCD
S k S
S S α β α β β β − − + = ⇔ + = ( ) sin
1 5
sin cot cos cot cot
2 sin 4 sin
k k k α β α β α β α β α − + + + ⇔ = ⇔ = − ⇔ = +
Câu 9.Cho hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có tất cạnh Gọi α góc hai mặt
phẳng (AB C′ ′) (A BC′ ), tính cosα
A 1 B 21 C D 4
(68)Lời giải
Chọn A
Giả sử cạnh hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ có độ dài a
Gọi M =A B′ ∩AB′ N = A C′ ∩AC′
Khi (AB C′ ′) (∩ A BC′ )=MN
Kẻ A I MN′ ⊥ (I∈MN) mà AA′ ⊥BC, BC MN// ⇒AA′⊥MN Vậy AI MN⊥
Khi ((AB C′ ′) (, A BC′ ))=(AI A I, ′ )=α
Gọi J trung điểm BC
3
a
AJ = , 2
2
A J′ = AA′ +AJ = a
2
a
A I′ A J′
⇒ = =
Xét tam giác ∆A IA′ có:
2
cos
2
AI A I AA
A IA
AI A I
′ ′
+ − −
′ = =
′ ( ) ( )
1
cos cos , cos 180
7
AI A I A IA
α ′ ′
⇒ = = − =
Câu 10.Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, BC= , cạnh bên SA vng a
góc với đáy, SA=a Gọi M là trung điểm AC Tính cơtang góc hai mặt phẳng
(SBM) (SAB)
A
2 B 1 C
21
7 D
2
7
(69)Kẻ AH SB⊥ AK ⊥SM
Vì tam giác ABC vuông cân tại Bvà BC= với a SA⊥(ABC) nên suy BM ⊥(SAC)
2
2
AC a
BM = AM = = Do BM ⊥AK
Từ BM ⊥ AK AK ⊥SM suy AK ⊥(SBM)⇒ AK ⊥SB
Từ AH SB⊥ AK ⊥SB ta có (AHK)⊥SB Do đó, góc hai mặt phẳng (SBM) (SAB)
bằng bù với góc AHK
Ta có: 2 SA AB AH SA AB =
+ ( )2
2 3 a a a a = + a = 2 SA AM AK SA AM = +
( )2
2 2 a a a a = + 21 a =
Từ (AHK)⊥SB ta có HK ⊥SB nên ∆SHK∆SMB, HK SK
MB = SB
Mặt khác
2
SK SM =SA
2 SA SK SM ⇒ = ( ) ( ) 2 3 a a a = + 14 a = ; 2
SB= SA +AB = a;
Nên 14
14
HK SK
MB = SB =
3 14 14
HK MB
⇒ = 14
14 14
a a
= =
Trong tam giác AHK ta có:
2
cos
2
AH HK AK
AHK
AH HK
+ −
=
2 2
3 21
2 14
3
2
2 14
a a a
(70)Như vậy, góc hai mặt phẳng (SBM) (SAB)là α với cos 21
α = sin
7 α
⇒ = Bởi
vậy: cot cos
sin
α α
α